indice
Il termine
E di una superficie piana uniformemente carica
L’elettrizzazione. Isolanti e conduttori
E di due superfici piane uniformemente cariche
Elettroscopio. Segno delle cariche
E di una sfera uniformemente carica
Elettrizzazione per strofinio
Lavoro della forza elettrostatica
Elettrizzazione per contatto
Lavoro di E costante e uniforme
Elettrizzazione per induzione
Elettroforo di Volta
Pozzo Beccaria-Faraday
Il coulomb
Lavoro di E costante e radiale
Conservatività di E. Energia potenziale U
Elettrostatica
U di E costante e uniforme
Conservazione della carica elettrica
U di E costante e radiale
Legge di Coulomb
Potenziale elettrico V
Campo Elettrico E
Superfici equipotenziali
Linee di campo
Linee di forza e superfici equipotenziali
Polarizzazione dei dielettrici
Visualizzazione linee di forza
Legge di Coulomb in un dielettrico
Flusso di un campo vettoriale
Flusso di E. Teorema di Gauss
Circuitazione di un campo vettoriale
Circuitazione di E
Equazioni di Maxwell per il campo elettrostatico
di Antonio Covello
Il termine
Si spiegano così lo scorrere delle acque, la caduta dei fulmini, e
la meravigliosa forza d'attrazione dell’ambra e della calamita:
in nessuno di tutti questi oggetti vi è la forza attraente, ma
poiché il vuoto non c’è, questi corpi si respingono in giro l'uno
con l'altro, e separandosi e congiungendosi, cambiano di posto, e
vanno ciascuno nella propria sede. Dall’intrecciarsi di queste
influenze reciproche si sono operati tutti quei prodigi, come
sembrerà a chi sappia indagare bene.
Platone: Timeo XXXVII c
AMBRA = ÉLEKTRON
1-2
Il termine
L’ambra è una resina fossile
(prodotta in diverse epoche geologiche da 130 a 8 milioni di anni fa da vari tipi di piante: pini, larici, abeti, sequoie)
STROFINANDOLA
acquista la proprietà di
ATTRARRE
piccoli corpi molto leggeri
2-2
L’elettrizzazione. Isolanti e conduttori
Ogni atomo è formato da un
NUCLEO
dotato di carica positiva, e dagli
ELETTRONI
-
carichi negativamente, che gli “ruotano” attorno
-
-
3-7
L’elettrizzazione. Isolanti e conduttori
Normalmente in un atomo la carica
positiva del nucleo e quella negativa
degli elettroni risultano esattamente
uguali e contrarie.
Ovvero:
l’atomo tende ad essere elettricamente neutro
4-7
L’elettrizzazione. Isolanti e conduttori
Se un atomo acquista elettroni diventa
carico
negativamente
-
-
-
-
5-7
L’elettrizzazione. Isolanti e conduttori
Se un atomo perde elettroni diventa
6-7
carico
positivamente
-
-
L’elettrizzazione. Isolanti e conduttori
i corpi si distinguono in
ISOLANTI
Tutte le cariche in posizioni “fisse”
gomma, plexigas, legno, vetro, porcellana, ecc.
CONDUTTORI
Sono presenti cariche libere di muoversi lungo tutto il corpo
argento, rame, oro, alluminio, ferro, il nostro corpo, ecc.
7-7
1-7
Come si può scoprire se un corpo
è elettrizzato?
Come si può scoprire se un corpo è elettrizzato?
Per sapere se un corpo è elettrizzato si ricorre allo
ELETTROSCOPIO
Strumento messo a punto da Volta nella seconda metà del ‘700
Elettroscopi utilizzati da Volta
Elettroscopio a pendolino
(introdotto da Faraday)
2-7
1-5
Come possiamo
elettrizzare i corpi?
Per stofinio
Per contatto
Per induzione
in particolare gli isolanti
i conduttori
3-5
SERIE TRIBOELETTRICA
Perché i corpi si
elettrizzano?
Dipende dal
tipo di materiali
a contatto?
Dipende
dall’intensità
dello strofinio?
cuoio
amianto
vetro
capelli umani
nylon
lana
pelliccia
piombo
seta
alluminio
carta
cotone
legno
acciaio
ambra
gomma
nickel, rame
ottone, argento
oro, platino
poliestere
stirene
poliuretano
polietilene (scotch)
PVC
teflon
Massima carica positiva
Sfregando fra
loro due
materiali:
il più alto nella
lista si carica
positivamente,
il più basso
negativamente.
Massima carica negativa
2-8
+
--
+
+
Induzione elettrostatica:
ridistribuzione della carica, in un conduttore neutro,
causata dalla presenza di un corpo carico.
Il conduttore rimane neutro
Il coulomb
Nel sistema internazionale l’unità di misura della carica elettrica è il
coulomb: C.
La carica più piccola osservata è la carica dell’elettrone la quale costituisce,
quindi, la carica elementare: e = 1,6022•10-19 C.
1-1
La cariche elettriche si conservano
Importante principio dovuto a Franklin
In un sistema isolato la somma algebrica delle cariche
elettriche rimane costante nel tempo
1-1
Coulomb e la bilancia a torsione
Charles-Augustin de Coulomb (1736 - 1806)
1-5
Legge di Coulomb
Si osserva che l’interazione tra due cariche elettriche avviene lungo la retta
che congiunge le due cariche puntiformi.
Inoltre:
cariche di stesso segno si respingono: forza repulsiva (verso l’esterno),
cariche di segno opposto si attraggono: forza attrattiva (verso l’interno).
2-5
Legge di Coulomb
3-5
Nel vuoto, la forza elettrica tra due cariche puntiformi è:
direttamente proporzionale al prodotto delle cariche
(ovvero a ciascuna carica)
+
2+
F
F
2F
3F
+
0.5+
2+
2F
3F
F/2
4F
3-
F/2
4F
-
2-
Legge di Coulomb
3-5
Nel vuoto, la forza elettrica tra due cariche puntiformi è:
direttamente proporzionale al prodotto delle cariche
(ovvero a ciascuna carica)
e inversamente proporzionale al quadrato della distanza
fra le cariche
F
+
+
F/4
F
-
R
F/4
-
2R
+
F/9
F/9
3R
-
Legge di Coulomb
Principio di sovrapposizione
L’effetto totale di una forza elettrica, generata da un sistema di cariche e
agente su una carica elettrica q, è pari alla somma vettoriale delle singole
forze che agirebbero su q se ogni singola carica agisse da sola.
+q
+
2+
4-5
Legge di Coulomb
Come si unifica tutto ciò?
1
k0 =
4!ε 0
Q1
2
C
ε 0 = 8,854 ⋅10-12
N ⋅ m2
R21
1 Q1Q 2 R 21
F =
2
4!ε 0 r R 21
Q2
5-5
1-1
Il campo elettrico
F
E =
q
È il rapporto tra la forza che si sviluppa tra la carica generatrice e una carica
esploratrice (piccola e positiva) posta nel punto P e il valore di quest’ultima
carica.
F
1 Q
E =
=
2
q 4!ε 0 R
Le linee del campo elettrico
Il vettore E è tangente alle linee di forza in ogni loro punto.
Sono orientate come E .
Sono prese uscenti dalle cariche positive ed entranti in quelle negative (è
una scelta convenzionale).
Ad almeno uno dei due estremi c’è sempre una carica, possono essere di lunghezza infinita (finita solo se sono fra due cariche).
Non si possono intersecare.
L’intensità del campo elettrico è direttamente proporzionale al numero di linee
che attraversano una superficie unitaria.
(Criterio di Faraday)
Più intenso
Meno intenso
1-6
2-6
Rappresentazione schematica della dipendenza dal quadrato della distanza
R
2R
r
Ad es., ad una distanza R, 4 linee di forza attraversano una superficie di area S,
a 2R ne passa una per una superficie di estensione pari ad S, 4 attraverso una
superficie 4 volte più estesa di S. (La superficie a distanza R è parallela a quelle posta a distanza 2R).
Polarizzazione dei dielettrici
1-1
E=O
E≠O
E=O
Polarizzazione:
ridistribuzione della carica, in un isolante neutro, causata dalla presenza di un corpo carico.
Il dielettrico rimane neutro
La legge di Coulomb in un dielettrico
;
2
1
C
-12
; ε 0 = 8,854 ⋅10
k0 =
2
N
⋅
m
4!ε 0
Nella materia isolante si deve tener conto della polarizzazione del dielettrico il
quale, fungendo da schermo, affievolisce l’effetto dell’interazione elettrica fra le
cariche Q1 e Q2, pertanto va introdotta la costante dielettrica assoluta: ε = ε0
εr ; εr è detta costante dielettrica relativa ed è un numero puro maggiore di 1.
Q1
R21
1 Q1Q 2 R 21
F =
2
4!ε 0 R R 21
Q2
1-1
Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie
S
v
α
S = S ^n
La superficie in grigio è pari a
Scosα ed è la superficie che
“va considerata” ai fini del
flusso.
ФS( v ) = v· S = v· S ^n = vScosα
^ è un vettore di modulo 1 detto versore: dà solo direzione e verso.
n:
N. B.: il flusso è una grandezza fisica scalare.
1-2
Flusso del campo elettrostatico:
Φs E
()
= E ⋅S
Legge di Gauss o prima equazione di Maxwell (nel vuoto ε0 , in un altro dielettrico ε=ε0εr )
Φs E
()
Σq
=
ε0
Il flusso del campo elettrico uscente da una superficie chiusa S è pari alla somma algebrica (il simbolo Σ indica la somma) delle cariche contenute all’interno della superficie stessa diviso la costante dielettrica.
La formula di Gauss è applicabile a qualsiasi campo vettoriale. Applicata al campo elettrico costituisce la prima equazione di Maxwell.
Quando si dice superficie chiusa si deve intendere una superficie tridimensionale che divide lo spazio fra un dentro
ed un fuori. Una superficie bidimensionale lo spazio lo divide, ad es., fra destra e sinistra.
Questa equazione reca in sé sia il principio di conservazione della carica sia la
condizione secondo cui le linee di forza debbono iniziare e terminare su cariche elettriche.
1-3
Il flusso del campo elettrico non dipende dalla superficie dentro cui è
posizionata la carica.
R
Φs E
()
q
=
ε0
2-3
3-3
Se la carica è esterna ad una
superficie, il flusso del campo
elettrico uscente da essa è nullo:
tante linee di forza entrano nella
superficie, tante ne escono.
Φs E
()
= 0
σ
E=
2ε
++++++++++++++++
Campo elettrico di una superficie piana uniformemente carica
σ
E=
2ε
Q
è la densità superficiale di carica
σ=
ΔS
1-2
Campo elettrico di una superficie piana uniformemente carica
- - - - - - - - - - - - - - - -
σ
E=
2ε
σ
E=
2ε
2-2
E=O
σ
E=
2ε
σ
E=
ε
σ
E=
2ε
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Si annullano
perché le linee di
forza sono uguali
ed opposte
++++++++++++++++ ++++++++++++++++
Campo elettrico generato da due superficie piane uniformemente cariche e parallele
Il campo è uniforme e costante
Si annullano
perché le linee di
forza sono uguali
ed opposte
E=O
1-1
Campo elettrico generato da una sfera uniformemente carica
L’unica variabile è la
distanza dal centro
della sfera: r
R
1 Qtot
E=
⋅
r
3
4πε R
All’esterno della sfera: r > R
1 Q tot
E=
2
4!ε r
E
Dentro la sfera: r ≤ R
R
r
1-1
1-2
Lavoro della forza elettrostatica
Il lavoro di una forza è definito:
W(da A a B) = F ⋅ ΔS = F ΔS cosα
Per il campo di forze elettrostatico:
q è una carica
di prova che, salvo
diversa indicazione,
considereremo qui, e
nel seguito, sempre
positiva.
B
E
α
q
A
Se il percorso da A a B fosse curvilineo, lo si potrebbe pensare suddiviso in tanti
segmenti e poi sommare tutti i prodotti scalari fra i vari segmenti e il valore di E in quel
tratto:
W(da A a B) = ∑ qE i ⋅ ΔSi = ∑ qE i ΔSi cosα i
ΔSi
A
αi
B
E
Lavoro della forza elettrostatica
Il percorso lungo cui si calcola il lavoro può anche essere chiuso.
Chiamiamo Γ la curva, scegliamo un verso di percorrenza e la
consi-deriamo composta da tanti segmenti.
Il lavoro del campo elettrico sarà dato dalla somma dei lavori da esso
compiuti lungo i vari tratti con i quali il percorso è stato suddiviso:
ΔSj
Γ
ΔSi
E
Il lavoro di E è: WΓ ( E ) = ∑ qE i ⋅ ΔSi = ∑ qE i ΔSi cosα i
Nel caso del percorso rappresentato, il lavoro ha sempre lo stesso segno?
Vi sono dei tratti in cui è positivo o negativo o nullo?
2-2
Lavoro di un campo elettrostatico costante e uniforme
Calcoliamo il lavoro di E per un campo costante ed uniforme lungo il percorso
CHIUSO - Γ - rappresentato
B
E
α
A
α è l’angolo
formato fra il
vettore
spostamento
e il vettore E.
Γ WBC = qE BC cos90° = 0
C
WBC = qE CA cos180° = – qEAC
WΓ( E ) = WAB + WBC + WCA = 0
Costante: non varia nel tempo (caratteristica temporale) le frecce rosse non cambiano nel tempo.
Uniforme: non dipende dalla posizione (caratteristica spaziale) le frecce rosse non dipendono dalla posizione.
1-3
Lavoro di un campo elettrostatico uniforme
Dovrebbe essere chiaro che il perimetro (il percorso) di una figura piana (anche curva) possa essere considerato costituito da almeno un lato di un numero opportuno di
triangoli dalle opportune dimensioni.
Γ
Γ
Γ
α
2-3
Lavoro di un campo elettrostatico uniforme
Allora, per ogni percorso chiuso:
WΓ ( E ) = 0
Γ
Γ
α
Γ
3-3
1-3
Energia potenziale del campo elettrostatico
Il valore nullo del lavoro, lungo ogni percorso chiuso, si potrebbe
generalizzare per ogni genere di campo elettrostatico.
Dire che il lavoro del campo elettrostatico, nello spostamento di una
carica di prova lungo un qualunque percorso chiuso, è nullo è analogo a dire che il lavoro compiuto dal campo elettrostatico per spostare una carica di prova da un punto A ad un altro B non dipende dal
percorso per andare da A a B, ma solo dalle posizioni A e B.
Infatti:
WΓ = 0
B
α
Γ
A
Sono analoghe
β
WΓ = Wα (da A a B) + Wβ (da B ad A) = 0
Wα (da A a B) = – Wβ (da B ad A)
Wα (da A a B) = + Wβ (da A a B)
Cambia il segno,
ma anche il senso
di percorrenza.
Energia potenziale del campo elettrostatico
Il valore nullo del lavoro, lungo ogni percorso chiuso, si potrebbe
generalizzare per ogni genere di campo elettrostatico.
Dire che il lavoro del campo elettrostatico, nello spostamento di una
carica di prova lungo un qualunque percorso chiuso, è nullo è analogo a dire che il lavoro compiuto dal campo elettrostatico per spostare una carica di prova da un punto A ad un altro B non dipende dal
percorso per andare da A a B, ma solo dalle posizioni A e B.
Se il lavoro dipendesse dalla traiettoria, potremmo scegliere il percorso in cui il lavoro è minimo per andare da A a
B e ritornare da B ad A percorrendo la traiettoria in cui il lavoro è massimo. Siccome il lavoro compiuto dalla forza
elettrostatica lungo il percorso da B ad A si trasforma in energia cinetica della q, vi sarebbe un guadagno di energia
nel viaggio di ritorno rispetto a quello di andata: si potrebbe così ottenere una sorgente perpetua di energia!
Il verificarsi di siffatta proprietà indica che il campo è conservativo.
Ciò comporta la possibilità di definire una funzione, detta energia
potenziale, la quale è una funzione scalare dello spazio (dipende solamente dalla posizione) e rappresenta la capacità di compiere lavoro legata alla posizione che la carica di prova occupa all’interno del
campo elettrostatico. 2-3
3-3
Energia potenziale del campo elettrostatico
Quanto detto vuol dire che il lavoro compiuto da E, per spostare una carica q da A a B, è
pari a:
A
α
B
W(da A a B) = U A − U B = − ( U B − U A ) = −ΔU
U è chiamata energia potenziale della carica q.
L’unità di misura di U è il joule, J.
Convenzionalmente si può attribuire a UB il valore zero. In tal modo, l’energia potenziale di q nel punto A ( UA ) rappresenterebbe il
lavoro compiuto dalla forza del campo per portare la carica q da A al
punto B scelto come livello di riferimento dell’energia potenziale.
L’espressione analitica di U, ovviamente, dipende dal particolare campo elettrico considerato.
È bene ribadire: l’energia potenziale è un’energia associata
ad una carica di prova q immersa in un campo elettrico.
1-2
U(x) = qExq
in cui xq è la distanza di q dal piano negativo.
y
q
xq
++++++++++++++++
Prendendo come riferimento zero l’energia di una
q posta sulla lastra negativa, si potrebbe dimostrare che per un campo uniforme e costante l’espressione analitica di U è:
----------------
Energia potenziale di un campo elettrostatico
costante e uniforme
x
Supponendo che i piani siano a distanza d, quanto vale l’energia potenziale di
q quando si trova sulla piastra positiva?
Dovrebbe essere evidente che: U = qEd.
È chiaro che q (positiva) si muoverà spontaneamente dal piano positivo verso quello negativo.
Ciò indica che l’energia potenziale tende a diminuire.
È proprio questa naturale tendenza a far sì che il campo possa compiere un lavoro.
Energia potenziale di un campo elettrostatico
costante e uniforme
Abbiamo appena detto che spontaneamente una q positiva andrebbe verso la lastra negativa: UA > UB , per
cui il lavoro compiuto dal campo elettrico sarebbe positivo: l’energia potenziale tende a diminuire.
“ spontaneità = U diminuisce ”
----------------
Al contrario, siccome una carica q positiva non va spontaneamente verso la lastra positiva, per portarcela occorre vincere una resistenza: compiere un lavoro.
Questo lavoro viene accumulato sotto forma di energia
potenziale.
Energia potenziale che sarà restituita come lavoro (o
meglio, come energia cinetica) quando la carica sarà lasciata in “balìa” del solo campo.
++++++++++++++++
----------------
++++++++++++++++
2-2
Per una q negativa avverrebbe il contrario: si dovrebbe compiere un lavoro dall’esterno per portarla dalla piastra
positiva alla negativa facendone aumentare la sua energia potenziale e questa energia sarebbe restituita qualora la
carica fosse lasciata libera di tornare sulla piastra positiva.
Energia potenziale di un campo elettrostatico radiale
Si potrebbe dimostrare che per un campo radiale:
Q +
q
1 Qq
U=
+ costante
4!ε r
Essa significa che facendo crescere sempre più r (la q positiva
che si allontana sempre di più da Q) U diventa pari alla costante (siccome il termine con r al denominatore diventa sempre
più piccolo). Possiamo quindi dare alla costante valore zero
prendendo come livello di riferimento l’energia potenziale (nulla) all’infinito.
In tutti i calcoli di trasferimento di energia sono presenti solo variazioni di energia potenziale. È comunque utile poter parlare di energia
potenziale di una q in un punto P a distanza r da una Q, ovvero: si vuole dare una definizione “assoluta” di energia potenziale, per tale ragione
si sceglie un riferimento arbitrario (il livello zero) rispetto al quale misurare l’energia potenziale.
Quindi:
1 Qq
U=
4!ε r
L’energia potenziale di una q in un punto a distanza r dalla Q è pari al lavoro compiuto dal campo quando porta q da quel punto all’infinito.
Analogamente: l’energia potenziale di una q in un punto a distanza r dalla Q è pari al lavoro che
bisogna spendere per spostare q dall’infinito in quel punto.
1-3
2-3
Energia potenziale di un campo elettrostatico radiale
Per capire l’energia potenziale è bene tracciarne il grafico su un piano cartesiano di ascissa r e ordinata U.
Supponiamo Q e q entrambe positive: campo
elettrico repulsivo.
Spontaneamente q tende ad allontanarsi da Q:
U diminuisce al crescere di r.
U
1 Qq
U=
4!ε r
+
U
r
–
U=
1 Qq
4!ε r
r
Se Q è negativa e q positiva, campo elettrico attrattivo,
q tende ad avvicinarsi a Q spontaneamente:
U diminuisce al diminuire di r.
Dovrebbe essere chiaro perché la curva è sotto l’asse
delle ascisse: siccome Q è negativa e q positiva, il loro
prodotto è negativo pertanto U sarà negativa.
Ovviamente, se Q e q sono entrambe negative si ripropone il primo caso.
Quando sono di segno opposto il secondo.
Il potenziale elettrico
L’energia potenziale è una grandezza fisica che collega dal punto di vista energetico il
campo elettrico generato da una certa distribuzione di cariche con una carica di prova
q. Quel che si vuole ora è una grandezza che caratterizzi il campo indipendentemente
da q (come fu fatto con la forza di Coulomb e il campo elettrostatico cfr diap. 41).
Viene definito potenziale elettrico o tensione (per la ragione di questo termine v. diap. 101) il rapporto:
Ad es., considerando il campo generato da una carica puntiforme Q, facilmente si
vede che V non dipende da q:
1 Qq
U 4!ε r
1 Q
V= =
=
q
q
4!ε r
1-3
Il potenziale elettrico
L’energia potenziale è una grandezza fisica che collega dal punto di vista energetico il
campo elettrico generato da una certa distribuzione di cariche con una carica di prova
q. Quel che si vuole ora è una grandezza che caratterizzi il campo indipendentemente
da q (come fu fatto con la forza di Coulomb e il campo elettrostatico cfr diap. 41).
Viene definito potenziale elettrico o tensione (per la ragione di questo termine v. diap. 101) il rapporto:
Da questa definizione è chiaro che pure per V valgono le stesse considerazioni fatte su U riguardo alla scelta del livello zero rispetto al quale misurare V. E dato che nei calcoli sono presenti solo variazioni di potenziale, si usa
parlare di differenza di potenziale, simbolo: ddp.
Questa nuova funzione sarà legata al lavoro dalla seguente relazione:
ovvero:
La sua unità di misura è il volt: V
Tra due punti A e B di un campo elettrico esiste una differenza di potenziale di un volt (ddp=1V) se la forza elettrica del campo compie un lavoro di 1J per portare una carica di 1C da A a B.
Dire che in un punto A c’è un potenziale di 1V significa che per portare una carica di 1C dall’infinito fino a quel
punto è stato compiuto un lavoro di 1J (scelta del livello zero del potenziale a distanza infinita).
2-3
Potenziale di un campo elettrostatico radiale
1 Q
V=
4!ε r
V
VA
ddp
VB
+
A
B
r
In un moto spontaneo di una q positiva la variazione di potenziale sarebbe
negativa: VA> VB, VB – VA < 0.
Le q positive si muovono da punti a potenziale maggiore verso punti a
potenziale minore.
Per una q negativa vale l’opposto.
3-3
Superfici equipotenziali
Prendiamo come esempio una carica puntiforme Q, il suo potenziale sarà:
1 Q
V=
4!ε r
Si vede facilmente che tutti i punti alla stessa distanza dalla carica hanno lo stesso potenziale. Questi punti rispettano una particolare simmetria e, nel nostro caso di campo radiale, sono tutte delle sfere centrate su Q.
Superfici equipotenziali:
luogo dei punti dello spazio in cui il
potenziale è lo stesso.
1-4
Linee di forza e superfici equipotenziali
Dalle figure precedenti si nota che le linee di forza e le superfici equipotenziali sono
perpendicolari. Questa è un’importante proprietà rispettata in generale e non solo nei
i casi rappresentati.
4-4
2-2
W = −ΔU
U Energia potenziale
ΔU
ΔV =
q
V potenziale
ΔV
E=−
Δs
Si misura in joule, J.
Si misura in volt:
.
E campo elettrico
Si misura anche in volt al metro.
Circuitazione di un campo vettoriale
1-4
La circuitazione di un campo vettoriale è definita dal prodotto scalare:
C Γ ( v ) = ∑ v i ⋅ Δγ i = ∑ v i Δγ icosα i
In cui Γ è un percorso chiuso e γi è uno dei generici tratti rettilinei
mediante i quali si può pensare composto il percorso per poter
calcolare il prodotto scalare.
Circuitazione di un campo vettoriale
Per cogliere il significato fisico della circuitazione, applichiamone la definizione matematica ad
un tubo di flusso in condizioni di stazionarietà (flusso laminare) di un fluido.
Consideriamo un percorso ABCD rettangolare, ma teniamo presente che il risultato si può
generalizzare per ogni tipo di percorso chiuso.
D
C
Γ
v
A
B
Gli angoli che il vettore velocità v forma con i quattro tratti con cui suddividiamo il percorso
sono: 0° con AB, 90° con BC, 180° con CD, 270° con DA. Ricordando i valori del coseno per
questi angoli si ottiene, per la somma di tutti i prodotti scalari, un valore nullo:
C Γ (v) = ∑ v i ⋅ Δγ i = vABcos0 + vBCcos90° + vCDcos180° + vDAcos270° = vAB − vCD = 0
Ovvero:
CΓ( v ) = 0
2-4
3-4
Circuitazione di un campo vettoriale
E se applichiamo la formula della circuitazione ad un fluido che presenta un moto vorticoso?
Γ
v del fluido
Elemento di Γ
Non diamo importanza al fatto che
nella realtà la velocità dei venti di un ciclone non sia costante in tutti i punti
del percorso circolare, il nostro è solo
un esempio. L’elemento importante è il
valore della circuitazione che si ottiene
in condizioni vorticose o, in generale,
non stazionarie.
Gli angoli che il vettore velocità v forma con gli elementi rettilinei in cui il percorso viene suddiviso sono sempre di 0°, pertanto gli addendi della somma di tutti i prodotti scalari avranno
sempre lo stesso segno algebrico, quindi la circuitazione non sarà nulla.
CΓ(v) ≠ 0
Circuitazione di un campo vettoriale
Il calcolo della circuitazione di un campo vettoriale ci
permette di determinare se siamo in presenza di un
flusso laminare o turbolento.
4-4
1-1
Lavoro e circuitazione di un campo elettrostatico
Abbiamo visto che il lavoro di E vale:
WΓ ( E ) = ∑ qE i ⋅ ΔSi = ∑ qE i ΔSi cosα i
ΔSj
Γ
ΔSi
E
Applicando ad E la definizione di circuitazione troveremmo:
C Γ ( E ) = ∑ E i ⋅ ΔSi = ∑ E i ΔSi cosα i
W e C si corrispondono a meno della carica di prova q: a meno di una
costante. Quindi tutte le considerazione svolte su W valgono anche per la
circuitazione. Ma se W ci dice qualcosa sulle proprietà energetiche di E in
relazione ad una carica esploratrice q, C ci dice qualcosa relativo ad E stesso,
in particolare che il campo elettrostatico è irrotazionale e conservativo.
CΓ( E )=0 per ogni percorso chiuso Γ implica la possibilità di definire una
funzione scalare, detta potenziale, di cui abbiamo già parlato e che dà del
campo una rappresentazione energetica.
CΓ( E )=0 per ogni Γ chiusa costituisce la terza equazione di
Maxwell per il campo elettrostatico.
Equazioni di Maxwell per il campo elettrostatico
1)
Σq
ΦΩ (E) =
ε
Il flusso del campo elettrico, attraverso una superficie chiusa Ω, è pari alla somma algebrica delle cariche in essa contenute fratto la costante dielettrica del
mezzo in cui si trovano le cariche.
Equivale alla conservazione della carica elettrica. Significa che esiste la singola carica elettrica (positiva o negativa). Significa che le linee di forza del campo elettrico possono anche essere delle semirette (con origine e senza fine).
3)
Lungo un qualunque percorso chiuso Γ la circuitazione
del campo elettrostatico è nulla.
È il modo matematico per esprimere la proprietà del campo elettrostatico di essere conservativo, ovvero: che il lavoro compiuto dal campo elettrostatico non dipende dal percorso, ma dal punto iniziale e finale del percorso (o, in modo analogo, che lungo un qualunque percorso chiuso il lavoro è nullo); e irrotazionale.
Significa che per conoscere il campo elettrico dal punto di vista energetico può
essere definita una funzione dipendente soltanto dalla posizione (il potenziale) e il
lavoro compiuto su una carica può essere conosciuto tramite una funzione della
sola posizione detta energia potenziale.
1-1
Conduttori carichi isolati
(in assenza di campo esterno)
Il processo di elettrizzazione di un conduttore consiste in
un movimento di cariche elettriche.
Non appena il processo di carica termina, il conduttore
raggiunge uno stato di equilibrio in cui le cariche elettriche sono ferme rispetto ad esso, il conduttore si dice in
equilibrio elettrostatico
tutte le cariche che costituiscono il sistema sono ferme
Vediamo cosa si verifica in un conduttore in equilibrio elettrostatico.
1-1
Conduttori carichi isolati
(in assenza di campo esterno)
1. Il campo elettrico all’interno del conduttore è nullo.
Altrimenti le cariche libere del conduttore sarebbero soggette ad una forza elettrica qE che le terrebbe in movimento. Ciò vale anche se il
conduttore è cavo, fino a immaginare di scavare internamente il conduttore tanto da ridurlo ad un sottilissimo involucro corrispondente alla
sua superficie esterna. L’elettrostatica non distingue un conduttore massiccio da un altro di stessa forma e dimensioni, ma internamente cavo. L’interno di questi conduttori è isolato elettricamente dall’esterno per qualunque campo elettrico esistente nello spazio esterno. Un involucro metallico chiuso è uno schermo elettrostatico, come la gabbia di Faraday.
2. Le cariche sono tutte sulla superficie.
Basta applicare la I equazione di Maxwell ad una qualunque superficie chiusa, S1 , interna al conduttore e a una qualunque superficie chiusa,
S2 , in cui il conduttore è contenuto e considerare il punto 1: E=0 all’interno del conduttore. Più semplicemente, per la mobilità delle cariche libere (tutte dello stesso segno), le interazioni coulombiane repulsive che si esercitano tra di esse portano queste cariche a distribuirsi
sulla superficie del corpo conduttore.
3. Il campo elettrico è perpendicolare alla superficie del conduttore.
Se E avesse una componente parallela alla superficie del conduttore le cariche sarebbero soggette a questa componente parallela che le
terrebbe in movimento.
4. Il potenziale ha lo stesso valore all’interno e sulla superficie del conduttore.
Siccome E = 0 all’interno del conduttore, allora è zero anche il lavoro compiuto su una carica q spostata fra due punti qualunque A e B del
conduttore: WAB = q ( VA – VB ) = 0, ovvero VA = VB. Le superfici dei conduttori in equilibrio elettrico sono equipotenziali.
1-7
Campo elettrico sulla superficie di un conduttore
in equilibrio elettrostatico. Teorema di Coulomb
Abbiamo già visto che la sua direzione è perpendicolare alla superficie
del conduttore, il verso entrante se la carica è negativa, uscente se
positiva.
Per il suo modulo si ricorre al Teorema di Coulomb: in condizioni di
equilibrio elettrostatico, il campo elettrico in ogni punto della superficie
del conduttore è pari a:
σ
E=
ε
ΔQ
dove σ =
è la densità di carica superficiale.
ΔS
ΔQ
ΔS
1-1
1-1
E e V per un involucro sferico carico e di materiale conduttore
R
V(r)
1 Q tot
Vint =
4!ε R
N. B.: il raggio della
sfera è fissato ed è
pari a R anche la
carica presente sulla
sfera è fissata
ed è pari a Q.
Il parametro variabile
è r ed indica la
distanza
dalla sfera.
1 Q tot
Vest =
4!ε r
r
E(r)
Eint = 0
1 Q tot
E est =
4!ε r 2
σ
ER =
ε
r
Come afferma
il teorema di
Coulomb.
1-10
Cosa accade a due conduttori
precedentemente elettrizzati
ed in seguito posti a contatto?
Come nei vasi comunicanti un liquido raggiunge lo stesso livello: equilibrio idrostatico (stesso potenziale gravitazionale).
Allo stesso modo due sfere conduttrici raggiungono l’equilibrio elettrostatico (stesso potenziale elettrostatico VA = VB) se messe a contatto
mediante un conduttore.
A
VA = VB
B
È questa tendenza a raggiungere l’equilibrio, non appena si hanno le condizioni, che fa chiamare la ddp anche tensione.
2-10
3-10
Consideriamo il caso di due sfere metalliche A e B di raggi R1 e R2 poste ad una distanza tale da poter escludere la reciproca influenza di
campo elettrico.
Portiamo le sfere ad uno stesso potenziale V attraverso il contatto con
due puntali conduttori.
V
V
R1
R2
Ci chiediamo:
Quando le due sfere sono portate allo stesso potenziale:
1. quale delle due ospiterà una quantità di carica maggiore?
2. quale delle due sarà sede del campo elettrico più intenso?
3. quali saranno le densità superficiali di carica?
Per rispondere occorre ricordare:
1. che per una sfera di raggio R e con carica totale Q, il potenziale elettrostatico, nel vuoto, vale:
1 Q
V=
4!ε 0 R
2. che l’area della superficie di una sfera di raggio R è: 4πR2.
3. che la densità superficiale di carica, σ, di un conduttore con carica
Q e superficie S è definita:
.
4-10
5-10
Per la carica
1 Q1
Per la sfera A, dopo il contatto: V =
4!ε 0 R 1
1 Q2
Per la sfera B , dopo il contatto: V =
4!ε 0 R 2
R1
R2
Quindi:
All’equilibrio elettrostatico il rapporto delle
cariche presenti sulle due sfere
è uguale al rapporto dei raggi.
Sfera maggiore carica maggiore
Per il campo
1 Q1
Sapendo che E1 =
4!ε 0 R 12
e
1 Q2
E2 =
4!ε 0 R 22
si ha:
All’equilibrio elettrostatico
il rapporto dei campi elettrici
sulle superfici delle due sfere è uguale
all’inverso del rapporto dei raggi.
Sfera maggiore campo minore
7-10
Per la densità di carica
si arriva a dimostrare:
La densità di carica superficiale è direttamente proporzionale al potenziale elettrico sulla superficie ed inversamente proporzionale al raggio
del conduttore. Nel caso di una sfera, essendo R costante, significa che
le cariche sono uniformemente distribuite.
All’equilibrio elettrostatico
le densità di carica delle due sfere sono
inversamente proporzionali ai raggi delle sfere.
Sfera più piccola
Densità di carica maggiore
9-10
2-5
Supponiamo di avere un conduttore come in figura:
R1
R2
è facile immaginare in esso due sfere con raggi diversi.
Quindi, per quanto detto, sull’estremo più curvo dobbiamo aspettarci
una densità di carica maggiore e un campo elettrico più intenso.
Alcuni effetti di queste distribuzioni di cariche li abbiamo mostrati nelle esperienze col conduttore appuntito. Infatti, una punta esalta quanto descritto in quanto può essere considerata una sfera con un raggio piccolissimo.
Generalizziamo dicendo che un qualunque conduttore avrà una σ maggiore ed un E più intenso in quelle parti in
cui la sua superficie presenta una curvatura più accentuata rispetto a quelle meno incurvate e che le zone della superficie incavate sono quelle con minor σ ed E.
Capacità elettrica
La capacità, C, è una grandezza fisica scalare che indica la possibilità di un conduttore di immagazzinare carica elettrica.
È così definita:
Al variare della quantità di carica posta sul conduttore varia pure il potenziale, però il
rapporto tra le due grandezze resta sempre costante ed è pari a C.
Nel Sistema Internazionale la capacità elettrica si misura in farad, F.
Un conduttore ha la capacità di un farad se assume un potenziale di un volt quando è
caricato con una carica di un coulomb.
1-1
Capacità di una sfera conduttrice
(cariche distribuite - e uniformemente - solo sulla superficie)
R
1 Q
Vint =
4!ε R
V(r)
1 Q
Vest =
4!ε r
Q
Q
C=
=
= 4!ε R
1 Q
Vsfera
4!ε R
1-2
Capacità elettrica
Si osservi che quanto trovato per la capacità di una sfera (C =
4πεR) indica che essa sia una grandezza legata solo alle
caratteristiche geo-metriche del corpo conduttore, visto che compare
solo R.
Inoltre, possiamo renderci conto di quanto sia enorme 1F dal fatto
che la capacità della Terra (R = 6,37·106m) vale: ~10-3F e che una
sfera per avere una C = 1F dovrebbe avere un raggio di nove milioni
di km!
Perciò si usano i sottomultipli:
Microfarad: μF = 10-6F
Nanofarad: nF = 10-9F
Picofarad: pF = 10-12F.
2-2
1-1
Condensatore
A
A è una sfera conduttrice carica isolata. Il suo potenziale è quindi fissato.
Avvicinando ad A un conduttore neutro B, B subirà il fenomeno dell’induzione ed essendo la
parte più vicina di B ad A di segno opposto alla carica di A, il potenziale di A ne sarà influenzato subendo una diminuzione.
A
B
B
Se volessimo riportare il potenziale di A al valore precedente occorrerebbe fornirgli altra carica:
la presenza di B ha accresciuto la capacità elettrica di A.
Collegando B a terra, non ci sarà nemmeno la carica positiva sull’estremo di B a limitare gli effetti su A, quindi il potenziale di A cala ancora mentre la sua capacità immagazzinare carica aumenta:
A
B
Quanto detto vale per conduttori di qualunque forma.
Ciò che si deduce è che un sistema formato da due conduttori ha una capacità maggiore di ognuno dei due conduttori preso separatamente.
Il più semplice sistema per accumulare cariche è costituito da due conduttori ed è detto condensatore, i due conduttori che lo costituiscono sono chiamati armature
del condensatore.
1-2
Capacità di un condensatore piano
La capacità di un condensatore è indipendente dalla carica sulle armature:
carico o scarico, la sua capacità è fissata. La sua capacità dipende dalla geometria del sistema e se fra le armature viene interposto un dielettrico.
Consideriamo un condensatore piano, con questa
disposizione, ciò che conta ai fini della capacità è la
distanza, d, fra le armature, l’area delle superfici, S, e
la presenza di un dielettrico, εr , interposto fra esse.
Si dimostra che la sua capacità è:
Q
S
C = = ε 0ε r
V
d
d
Per aumentare la capacità di un condensatore piano si può far crescere l’area
delle superfici e/o portarle più vicine e/o interporre un dielettrico.
Lavoro di carica di un condensatore
Caricare un condensatore, significa aggiungere su una armatura cariche tutte
delle stesso segno: bisogna quindi vincere la repulsione coulombiana fra esse,
ovvero spendere un lavoro.
Si può dimostrare che il lavoro per caricare un condensatore vale, con ovvio
significato dei simboli:
La quale, ricorrendo alla definizione di capacità,
, può anche scriversi:
Ma dove va a finire questo lavoro? Questa energia spesa?
1-1
Densità di energia del campo elettrico
Prima della carica
Dopo la carica
Il lavoro è immagazzinato sotto forma di energia elettrica, basterebbe collegare le armature con un filo conduttore
ed un flusso di cariche annullerebbe sia la ddp fra le armature che il campo elettrico, con la restituzione dell’energia spesa per il processo di carica.
Possiamo immaginare che l’energia spesa sia stata utilizzata per generare il campo elettrico, che esso l’abbia accumulata. Questa energia è impacchettata nel volume fra le armature in cui esiste il campo elettrico, per questo viene
introdotta la densità di energia del campo elettrico, ovvero il lavoro di carica fratto il volume compreso fra le armature del condensatore:
1
WE = ε E 2
2
Questo risultato è stato ottenuto per un condensatore piano, ma è valido in generale: in ogni spazio in cui è presente un campo elettrico è presente un’energia la cui densità è data dalla precedente formula.
1-2
