Induzione
elettromagnetica
1
1. Il flusso magnetico
Come possiamo esprimere matematicamente l’assenza di monopòli magnetici?
Costruiamo ora una grandezza che chiameremo flusso magnetico attraverso una
superficie S, S (B ) , concettualmente analoga a quella a suo tempo introdotta per il
campo elettrico, cioè con lo scopo di misurare quante linee di campo attraversano una
superficie qualsiasi. Avendo adottato il criterio di Faraday (per il quale le linee sono tanto
più ravvicinate quanto più il campo è intenso), sappiamo che il numero di linee per unità
di area che bucano ortogonalmente una superficie ove B sia uniforme, risulta
direttamente proporzionale all’intensità del campo. Il numero di linee per unità di area
può essere reso uguale (anziché solo proporzionale) all’intensità di B , facendo la scelta
di rappresentare un campo magnetico avente il valore unitario di 1 T con una linea per
ogni metro quadro di superficie. In tal modo abbiamo che, come per il campo elettrico, il
numero di linee di campo che attraversano una superficie piana è dato dalla componente
di B lungo la normale alla superficie (cioè |B | cos , pari alle linee per metro quadro in
quella direzione) moltiplicata per l’area A della superficie:
|B | A cos
Il segno del flusso magnetico elementare |B | A cos è positivo se il campo attraversa la
superficie nel verso della normale, negativo se la passa in verso contrario. Consideriamo
ora il caso generale, in cui il campo B non è uniforme e le superfici non sono piane.
Come abbiamo già fatto per il campo elettrico, per ottenere il numero totale di linee che
bucano una superficie qualunque dovremo scomporla in tanti quadrati di area A , così
piccoli da poter considerare B uniforme al loro interno, e poi addizionare i contributi di
flusso provenienti da ciascuno di essi:
S (B )
|B | A cos
1
|B | è il numero di linee
per unità di area ortogonale
S (B ) è il numero totale
di linee che attraversano S
B
n̂
A
flusso
positivo
A
A
flusso
negativo
B
L’unità di misura del flusso magnetico è il tesla per metro quadrato, per il quale si usa il
nome di weber (wb): 1 wb 1 Tm 2 . Il flusso complessivo risulta positivo se il
numero di linee che bucano la superficie nel verso della normale è maggiore di
quelle che la passano in senso opposto ad essa, negativo se è minore, e nullo se il
numero di linee nei due versi è uguale.
Quanto vale il flusso magnetico attraverso una superficie chiusa?
Poiché non esiste il monopolo magnetico, le linee di B sono curve chiuse1. Infatti, non
essendoci poli singoli da cui le linee di campo possono nascere, o in cui possono
terminare, le linee non possono avere né inizio né fine. Se calcoliamo il flusso magnetico
attraverso una superficie S chiusa, ogni linea chiusa che entra nello spazio dentro S deve
anche riuscirne, e quindi buca la superficie due volte con versi opposti, così che il suo
contributo al flusso magnetico risulta nullo. Analogamente sarà nullo il flusso magnetico
delle linee interamente racchiuse, e di quelle totalmente esterne. La corrispondente
espressione matematica di questa proprietà è detta legge di Gauss per il campo B .
Legge di Gauss per il campo magnetico
Il flusso magnetico attraverso una superficie chiusa S è sempre nullo.
S (B ) 0
[S chiusa ]
L
1
2
3
concatenata
Che cos’è il flusso concatenato ad un percorso?
Poiché le linee del campo magnetico sono curve chiuse, il flusso magnetico assume lo
stesso valore per tutte le superfici aperte che hanno una stessa curva chiusa L come
contorno, ad esempio le 1 , 2 e 3 in figura. Infatti, presa una qualsiasi linea di campo,
ci sono due possibilità: può essere concatenata ad L (vale a dire che non si può separare
da L senza aprirla, come la linea grande in figura, che forma con L una catena) oppure
può essere non concatenata, cioè separabile senza tagliarla (linea piccola in figura). Le linee
di campo concatenate ad L bucano lo stesso numero di volte tutte le superfici aventi contorno
L , ad esempio bucano una sola volta le 1 , 2 e 3 . Invece, le linee di campo non
concatenate ad L , non sempre bucano le superfici di contorno L , ma quando lo fanno è
sempre una volta in ingresso ed una in uscita, così che il loro contributo al flusso è nullo.
Questa proprietà fa si che si possa associare un valore di flusso direttamente alla curva
chiusa L senza individuare la superficie, dato che il numero di attraversamenti è lo stesso
per tutte le superfici aperte di contorno L . A questa grandezza si dà il nome di flusso
magnetico concatenato ad L .
Quand’è che il flusso concatenato ha segno positivo?
L
n̂
orientamento di L
e direzione di nˆ
Il segno del flusso concatenato dipende dall’angolo fra il campo magnetico e il versore
normale alla superficie piana delimitata dal contorno L . Quando le linee del campo B
passano dentro al contorno seguendo il verso indicato da n̂ , il calcolo del flusso
concatenato dà un valore positivo, quando vi passano in senso opposto, negativo.
Tuttavia, per ogni contorno piano L ci sono sempre due versi possibili per n̂ . Ad
esempio, se il contorno è una circonferenza appoggiata su un tavolino, possiamo
scegliere come versore normale quello che punta al soffitto oppure quello che punta al
pavimento. Per superare quest’ambiguità, si è stabilito che verso di n̂ sia determinato
dalla scelta di un orientamento lungo il percorso L . Fissato l’orientamento, il verso di n̂
è assegnato dalla regola della mano destra. Più precisamente, il pollice della mano destra
punta come n̂ quando si fanno girare le dita lunghe nel senso in cui L è stato orientato.
Osserviamo che così si stabilisce un legame fra il verso positivo lungo il contorno, e il
1
Nei casi più complessi di quelli qui considerati, si tratta di curve senza inizio né fine.
2
verso positivo della normale alla superficie (piana) limitata dal contorno. Il versore n̂
indica sempre un osservatore che vede antiorario il verso di percorrenza del contorno.
B
Esercizi
11. Una scatola a forma di cubo di spigolo 40.0 cm è appoggiata sul pavimento di una
stanza dove si trova un campo magnetico uniforme di intensità 2.50 103 T . Sapendo
che le linee di B formano col pavimento l’angolo di 40.0 in figura, calcolare il
flusso magnetico complessivo attraverso tutte le facce che non poggiano sul pavimento.
40
Sappiamo che il flusso magnetico attraverso una superficie chiusa è sempre nullo, quindi
il flusso attraverso tutte le superfici che non poggiano deve essere uguale e contrario a
quello attraverso la superficie a contatto col pavimento, in modo che la somma sia zero.
Essendo il cubo una superficie chiusa, le normali sono tutte uscenti, quindi l’angolo che
B forma con la normale alla superficie appoggiata è:
90.0 90.0 40.0 130
da cui si ha il flusso magnetico attraverso di essa:
S appoggiata (B) |B | A cos (2.50 103 0.4002 cos130) Tm2 0.257 Tm2
n̂
e quindi il flusso magnetico attraverso le altre:
altrefacce S appogg 0 altrefacce S appogg (B) 0.257 Tm2
Il valore (a parte il segno) viene uguale perché si tratta del flusso magnetico concatenato
alla linea chiusa costituita dal perimetro della faccia appoggiata al pavimento.
12. Un paracadute a semisfera, di raggio R 2.50 m sta atterrando in una regione dove
3
si trova un campo magnetico uniforme di intensità 5.20 10 T inclinato di 45.0
rispetto alla normale al terreno. Calcolare il flusso concatenato alla linea formata dal
bordo del paracadute ed il flusso magnetico attraverso il paracadute.
B
n̂
45
[R: 0.102 Tm2 ]
13. Una cornice quadrata il cui lato esterno misura 1 30.0 cm ed il cui lato interno è
2 25.0 cm viene posta su di un piano orizzontale in un campo magnetico uniforme
B
di 6.00 103 T inclinato di 20.0 rispetto alla direzione verticale. Calcolare il flusso
magnetico attraverso la superficie delimitata dalla cornice.
[R: 0.155 Tm2 ]
14. Calcolare il numero di linee di campo che attraversano una superficie quadrata di lato
80.0 m la cui normale forma un angolo di 75.0 con un campo magnetico uniforme
6.00 102 T se si rappresenta l’intensità di 1 T con una linea per ogni metro quadro di
superficie ortogonale. Calcolare il numero massimo di linee che possono attraversare la
superficie.
[R: 131 linee, 384 linee ]
B
15. Calcolare il flusso magnetico concatenato a un percorso chiuso avente la forma del
triangolo costituito dalle diagonali di tre facce adiacenti di un cubo di spigolo
s 80.0 cm . Il cubo è appoggiato su di un piano orizzontale ed immerso in un
campo magnetico verticale, uniforme, di intensità |B | 0.150 T . [R: 4.80 102 Tm2 ]
s
16. Il flusso magnetico attraverso un piano perpendicolare all’asse di un solenoide
vale 7.70 107 Tm 2 . Sapendo che il solenoide è composto da un filo di diametro
1.00 mm lungo L 7.00 m avvolto in 100 spire circolari strettamente serrate,
calcolare la corrente che vi scorre.
[R: 0.159A ]
3
2. L’induzione elettromagnetica
Nel 1821 il fisico danese Oersted aveva osservato come la corrente stazionaria in un
filo generava un campo magnetico stazionario tutt’intorno. La parola stazionario indica
che il vettore B , pur non avendo intensità e direzione costanti, fissato un punto dello
spazio, il suo valore in quel punto non cambia nel tempo. Ad esempio, è stazionario il
campo espresso dalla legge di Biot e Savart, che ha direzione e verso che variano nello
spazio, ma non nel tempo. Negli anni immediatamente dopo il 1821 i fisici ritennero
ragionevole supporre che, così come la corrente generava un campo B , il campo B
stazionario avrebbe dovuto generare corrente. Questa ipotesi, per quanto verosimile, era
errata, perché un campo B stazionario, come sappiamo, non compie lavoro sulle
cariche, e non può quindi conferire loro l’energia che occorre per innescarne il
movimento in un circuito. Nel 1831 il fisico inglese Michael Faraday scoprì che, affinché
B potesse mettere in moto le cariche in un circuito, doveva attingere ad una sorgente
esterna di energia, che facesse variare l’intensità oppure la direzione e il verso di B . Il
campo magnetico variabile così prodotto, trasferiva l’energia dalla sorgente esterna alle
cariche, riuscendo a metterle in movimento. In questo modo Faraday stabilì l’esistenza
di una stretta connessione fra le variazioni del campo magnetico e l’apparire di un campo
elettrico, un fenomeno fisico fondamentale detto induzione elettromagnetica. In particolare
egli scoprì che le variazioni del flusso magnetico concatenato ad un circuito, generano
corrente nel circuito stesso.
B1
Induzione elettromagnetica
Quando il flusso magnetico concatenato ad un circuito chiuso subisce una variazione,
appare una corrente elettrica nel circuito stesso, detta corrente indotta.
B2
I
Consideriamo la figura a lato come esempio. Abbiamo una spira quadrata di filo
metallico, attraversata dalle linee di un campo magnetico uniforme B1 . Se facciamo
crescere il flusso del campo magnetico concatenato alla spira, aumentando il campo fino
a B2 , nella spira si genera la corrente indotta I , con il verso come nel disegno.
Che cosa indica l’apparire di questa corrente?
B A
f VB VA
L’apparire di una corrente indica che la variazione del flusso magnetico concatenato
produce nel circuito una forza elettromotrice f , detta forza elettromotrice indotta. Come
sappiamo, “forza elettromotrice” è il nome che si usa per indicare il lavoro per unità di
carica eseguito - in un percorso chiuso - dalle forze che producono la corrente. Se il circuito viene
aperto, come in figura, il valore di f si manifesta come differenza di potenziale
misurabile fra i capi A e B, dove si accumulano le cariche messe in moto nel circuito,
impossibilitate a completare il percorso chiuso. Analogamente, la forza elettromotrice di
una batteria è uguale alla differenza di potenziale che si misura fra i terminali della
batteria. Trattando i circuiti elettrici abbiamo visto che il campo elettrostatico, cioè quello
regolato dalla legge di Coulomb, è conservativo, cioè incapace di compiere lavoro su di
un percorso chiuso. Pertanto, ogni volta che c’è corrente in un circuito, e quindi una forza
elettromotrice, si produce nel circuito un particolare tipo di campo elettrico non
conservativo, capace di innescare il moto delle cariche in un percorso chiuso. Questo
campo originato dall’induzione elettromagnetica si dice campo elettrico indotto. Quindi, il
campo magnetico e il campo elettrico appaiono connessi, giacché una variazione del
flusso di B genera la comparsa di E indotto.
Quali leggi regolano il fenomeno dell’induzione elettromagnetica?
Gli esperimenti mostrano che la forza elettromotrice generata dall’induzione
elettromagnetica in un circuito, non dipende dal modo in cui il cambiamento nel flusso
4
magnetico viene prodotto, ma soltanto dalla rapidità con cui il flusso varia. Come sappiamo,
il flusso magnetico concatenato a un circuito dipende da tre grandezze fisiche: l’intensità
del campo, l’area delimitata dal circuito e l’angolo che il versore normale forma col
campo. Quindi possiamo produrre una forza elettromotrice in un circuito in tre modi:
(1) cambiando l’intensità del campo B concatenato al circuito (ad esempio mentre gli
avviciniamo o allontaniamo un magnete);
(2) variando l’area del circuito (ad esempio schiacciando una spira circolare facendole
assumere una forma ovale molto stretta);
(3) ruotando il circuito in modo che cambi la sua inclinazione rispetto al campo.
La forza elettromotrice indotta in tutti questi casi è sempre regolata dalla seguente:
Legge di Faraday-Neumann
La forza elettromotrice media indotta in un circuito in un intervallo t , è pari al rapporto
fra la variazione (B ) del flusso magnetico concatenato al circuito, e l’intervallo stesso,
cambiata di segno:
(B )
f
t
Quando l’intervallo t è così piccolo da chiudersi attorno ad un singolo istante, la forza
elettromotrice indotta istantanea è la variazione istantanea del flusso magnetico
concatenato - cioè la derivata rispetto al tempo di (B ) - cambiata di segno:
d (B )
f
dt
La Controfisica
In realtà Faraday, pur essendo il
primo ad aver dato notizia di aver
rivelato l’effetto, vista la sua avversione per la matematica, non
scrisse mai la formula che lega la
forza elettromotrice indotta alla
variazione del flusso concatenato.
Altri importanti esperimenti che
condussero alla formulazione
della legge dell’induzione, condotti quasi in contemporanea a
quelli di Faraday, si devono al
fisico statunitense Joseph Henry
(1797-1878). La legge dell’induzione elettromagnetica venne
stabilita matematicamente nel
1845 dal fisico tedesco Franz
Ernst Neumann (1798–1895), e
per questo è nota come legge di
Faraday-Neumann.
Come si esprime la fem in una spira che ruota in un campo uniforme?
Consideriamo una spira di area A che ruota con velocità angolare costante,
mantenendo il suo asse di rotazione (tratteggiato in figura) perpendicolare a un
campo magnetico uniforme B . Il versore n̂ normale alla spira forma con B un
angolo che in ogni istante si può scrivere t (proprio come nel moto rettilineo
uniforme si scrive x vt ). Quindi il flusso concatenato al circuito all’istante t è:
(t ) |B | A cos t
n̂
wt
B
f(t )
La derivata rispetto al tempo della funzione composta cos t è sin t , e quindi la
forza elettromotrice istantanea in funzione del tempo f (t ) risulta:
A |B |
f (t ) (t ) |B | A( sin t ) |B | A sin t
Che come si vede è una funzione oscillante, il cui valore massimo |B | A è tanto mag-
t
A |B |
giore quanto maggiore è , cioè quanto più rapidamente avviene la rotazione, (e quindi
quanto più rapida è la variazione del flusso).
Come si esprime la fem di un circuito che varia la sua area?
Consideriamo un circuito come quello in figura, formato da due rotaie collegate, e da
una barra conduttrice mobile che scorre verso destra a velocità costante v . Il disposi
tivo è immerso in un campo magnetico B , perpendicolare al piano del circuito. Indicando con la lunghezza del tratto che unisce le rotaie, sappiamo dalla cinematica
che, in un moto a velocità costante, la distanza x della barra mobile da questo tratto,
aumenta col tempo secondo la legge x vt . Scegliamo come versore normale quello
che punta al lettore e, di conseguenza, verso di percorrenza positivo del circuito
quello che il lettore vede antiorario. Il flusso magnetico concatenato vale:
(t ) |B | vt
La fem istantanea f (t ) è la derivata rispetto al tempo del flusso, cambiata di segno:
5
B
I
x vt
v
f (t ) (t ) |B | v
Il segno meno nella forza elettromotrice indica che la corrente indotta scorre in senso
opposto al verso di percorrenza positivo del circuito.
La forza elettromotrice indotta dipende dal valore del flusso magnetico?
È importante notare che la forza elettromotrice indotta non dipende dal valore del flusso
magnetico concatenato, ma è legata alla rapidità del cambiamento di tale flusso. Infatti,
rapporto (B )/t è tanto più grande quanto più piccolo è l’intervallo in cui è
avvenuta la variazione. Sottolineiamo che questo rapporto fornisce solo un valore
medio della forza elettromotrice indotta durante t . La formulazione rigorosa della
legge di Faraday è quella tramite la derivata rispetto al tempo, che dà il valore di f
istante per istante.
n̂
Qual è il significato del segno meno nella legge di Faraday?
La Controfisica
Se per legare il versore normale
all’orientamento del percorso,
avessimo scelto la convenzione
della mano sinistra - anziché quella della mano destra - nella legge
di Faraday-Neumann ci sarebbe
stato un segno positivo.
B2
I
B
v
I
S
N
F
Legge di Lenz
La corrente indotta ha sempre verso tale da contrastare la variazione del flusso
magnetico concatenato che l’ha generata.
Che cosa prevede la legge di Lenz quando un magnete si avvicina ad una spira?
avvicinamento
v
S
Ricordiamo che si ha un flusso concatenato di segno positivo quando le linee del campo
B attraversano la superficie delimitata dal circuito nel senso indicato dal versore n̂ . E se
il numero di linee di campo nel verso di n̂ aumenta, si ha d /dt 0 . Invece, la forza
elettromotrice f è positiva se produce corrente nel senso scelto come positivo per il
circuito. Come abbiamo visto però, il verso di n̂ e l’orientamento del circuito non sono
indipendenti, ma per convenzione si è stabilito che il versore normale deve sempre
puntare ad un osservatore che vede antiorario l’orientamento del circuito. Oppure – che è
lo stesso – i due versi sono legati dalla regola della mano destra. Avendo presente questa
scelta degli orientamenti, il segno meno davanti alla variazione del flusso indica che le
quantità f e d /dt hanno sempre segni opposti. Se aumenta il flusso in direzione di n̂ ,
la corrente indotta ha verso opposto all’orientamento del circuito, e se diminuisce il
flusso in direzione di n̂ , la corrente indotta ha il verso dell’orientamento del circuito. Ciò
significa che la corrente indotta è sempre diretta in modo da contrastare la variazione di
flusso che l’ha generata. Infatti, essa produce un proprio campo magnetico, il cui verso è
stabilito dalla regola della mano destra (come normalmente accade per tutti i campi
prodotti da una spira). In base alla scelta degli orientamenti, il flusso di questo campo
aggiuntivo ha lo stesso segno della corrente indotta. Esso, quindi, tende a riportare il
flusso concatenato al valore che aveva prima che la corrente comparisse. In figura è
riportata la sua direzione, con riferimento all’esempio di inizio paragrafo. Tale proprietà
è un corollario della legge di Faraday-Neumann, ma per la sua importanza viene
enunciata esplicitamente dalla seguente legge di Lenz.
N
F
allontanamento
I
Come sappiamo, quanto più siamo vicini ad un magnete, tanto maggiore è l’intensità del
campo B . E tanto maggiore è anche il numero di linee di campo che attraversano l’unità
di superficie ortogonale, in accordo col criterio di Faraday. Quindi, in un moto relativo di
avvicinamento fra il magnete e una spira di filo conduttore, aumenta il flusso magnetico
concatenato alla spira stessa. Per effetto della legge dell’induzione di Faraday, nella spira
compare una corrente indotta, con verso tale da generare un campo magnetico le cui
linee tendono a riportare il flusso al valore precedente l’avvicinamento. Un modo
diverso di vedere il fenomeno è pensare che la spira divenga un elettromagnete i cui poli
sono orientati in modo da respingere quelli del magnete mentre avanza, esercitando su
di esso una forza repulsiva. In figura il magnete in avvicinamento ha il polo nord verso la
destra di chi legge, quindi la corrente indotta trasforma la spira. in un magnete col nord a
sinistra. Il fenomeno non dipende dal fatto che sia la spira a spostarsi verso il magnete
6
oppure che sia il magnete a spostarsi verso la spira, ma solo dall’esistenza di un moto
relativo di avvicinamento. Viceversa, in un moto relativo di allontanamento fra magnete e
spira, il flusso concatenato diminuisce, e fra i due oggetti si genera una forza attrattiva.
Con riferimento alla figura, questa volta la corrente indotta trasforma la spira in un
magnete col sud alla sinistra di chi legge.
In cosa si trasforma l’energia cinetica del magnete che viene rallentato?
La forza repulsiva che la legge di Lenz innesca fra la spira e il magnete che ad essa si
avvicina, esegue un lavoro resistente che rallenta il magnete. Mentre il magnete perde
velocità, la sua energia cinetica è convertita in energia cinetica degli elettroni che si
mettono in moto all’interno della spira, formando la corrente indotta. La corrente indotta
a sua volta produce un riscaldamento del circuito per effetto Joule, così che alla fine del
processo, l’energia cinetica del magnete sulla scala degli oggetti si è trasformata in energia
di agitazione termica sulla scala delle particelle. Sulla base di queste considerazioni,
appare chiaro che le forze attivate dalla legge di Lenz non potrebbero mai far aumentare la
velocità del magnete, perché altrimenti violerebbero la legge di conservazione dell’energia.
Infatti, il contenuto energetico del sistema isolato costituito dal magnete e dalla spira, non
può cambiare. Ad ogni diminuzione nell’energia cinetica in una parte di un sistema
isolato, deve necessariamente accompagnarsi un incremento energetico in un'altra sua
parte. Se, in assenza di azioni dall’esterno del sistema spira-magnete, il magnete
aumentasse la propria velocità, e contemporaneamente il filo si riscaldasse per effetto
Joule, avremmo incrementato l’energia complessiva del sistema senza attingere ad alcuna
sorgente , in palese violazione dei principi della fisica. Analogamente, anche il magnete in
allontanamento dalla spira viene rallentato dal lavoro resistente delle forze innescate dal
fenomeno dell’induzione magnetica, e la sua energia cinetica convertita in energia di
agitazione termica al livello delle particelle nella spira. Per mantenere il magnete in moto
a velocità costante, in allontanamento o avvicinamento , è necessario che una forza
esterna al sistema compia lavoro sul magnete, in modo da mantenerne costante l’energia
cinetica.
Il lavoro di una forza esterna è necessario anche nei casi precedentemente esaminati?
Sì, in presenza di un campo magnetico uniforme, bisogna lavorare dall’esterno sia per far
ruotare una spira con velocità angolare costante, sia per mantenere in moto la barretta
mobile del circuito con le due rotaie collegate. In mancanza di lavoro esterno, la spira
rotante e la barretta mobile si arresterebbero non appena tutta la loro energia cinetica
iniziale fosse stata trasformata in energia di agitazione termica delle particelle cariche in
moto. Uno dei modi in cui le centrali idroelettriche producono corrente è proprio quello
di far lavorare la forza gravitazionale, facendo mantenere in rotazione una spira in un
campo magnetico attraverso il flusso di acqua che, precipitando da una cascata colpisce
delle pale solidali alla spira, simili a quelle di una ruota di mulino.
Esercizi
18. Un avvolgimento di N 300 spire circolari di raggio r 3.60 cm , di resistenza
R 6.00 giace su un piano orizzontale, immerso in un campo magnetico uniforme
verticale, diretto dal basso in alto, d’intensità |B | 0.500 T . Si calcoli la corrente indotta
media nell’avvolgimento se: (a) la spira viene ruotata di 180° in t 0.150 s ; (b) in un
intervallo t 0.150 s le spire vengono schiacciate al punto che l’area racchiusa diviene
nulla. (c) Calcolare la corrente indotta istantaneamente se le spire ruotano attorno al loro
asse orizzontale passante per il centro, con una velocità angolare costante 4.00 rad/s
.
(a) Calcoliamo il flusso magnetico concatenato inizialmente all’avvolgimento, quando il
versore normale è parallelo al campo magnetico:
1 (B ) N |B | A cos 0 N |B | r 2
Dopo che la spira è stata ruotata di 180 il flusso è diventato:
7
B
n̂
2 (B ) N |B | A cos 180 N |B | r 2
La forza elettromotrice media generata dal capovolgimento di 180° è:
2 1
(N |B | r 2 N |B | r 2 ) 2N |B | r 2
fa
t
t
t
t
2 300 0.500 3.14 0.03602
8.14 V
0.150
e la corrente indotta media vale:
f
8.14
Ia a
A 1.36 A
R
6.00
(b) La forza elettromotrice media, si calcola osservando che dopo lo schiacciamento
2 (B ) 0 :
2 1
(0 N |B | r 2 ) N |B | r 2
fb
t
t
t
t
n̂
B
wt
300 0.500 3.14 0.03602
4.07 V
0.150
e la corrente indotta media vale:
f
4.07
Ib b
A 0.678 A
R
6.00
(c) Mentre la spira ruota, il suo versore n̂ forma con il campo B un angolo che
all’istante t vale t . Quindi il flusso concatenato al circuito all’istante t è:
(t ) N |B | A cos t
Calcolando la derivata di questa espressione abbiamo la forza elettromotrice
istantanea in funzione del tempo:
f (t ) (t ) N |B | A( sin t ) N |B | A sin t
4.00 300 0.500 3.14 0.03602 sin 4.00t 2.44 sin 4.00t
Che come si vede è una funzione oscillante, il cui valore massimo N |B | A 2.44 V è
tanto maggiore quanto maggiore è , cioè quanto più rapidamente avviene la rotazione,
(e quindi la variazione del flusso). La corrente indotta all’istante t vale:
f (t) 2.44 sin 4.00t
i(t )
0.407 sin 4.00t
R
6.00
B (t )
19. Una spira circolare di raggio r 6.00 cm è immersa in un campo magnetico
uniforme B0 0.0600 T , attraversata perpendicolarmente dalle linee di B come in
r
figura. Ad un certo istante l’intensità del campo inizia a variare nel tempo, secondo la
legge B(t ) B0 0.0500t 2 . Sapendo che la spira è costruita con un filo d’argento
( 1.62 108 m) di sezione A 1.20 mm2 , calcolare la corrente indotta al suo
interno dopo 4.00 s , e stabilirne il verso.
8
