Tracce appelli ed esoneri precedenti di ingegneria edile

Raccolta (quasi completa) di tracce di appelli ed
esoneri
di Fisica Generale I e di Fisica Generale
per il corso di laurea in Edile
dal 1996 ad oggi
Gran parte delle tracce sono prese dal libro di testo
consigliato:
Halliday, Resnick, Walker - Fondamenti di Fisica - Casa
Editrice Ambrosiana
Prova scritta di Fisica I per Ingegneria Edile 10 giugno 1996
Un proiettile di tre grammi, che si muove con una velocità di 300 m/s, attraversa un blocco di 400 g
sospeso mediante un lungo filo. A causa dell'impulso comunicato al blocco, quest'ultimo comincia a
muoversi con una velocità di 1,5 m/s. Trovare:
1) La velocità del proiettile dopo aver attraversato il blocco.
2) L'altezza massima a cui si porta il centro di massa del blocco dopo il passaggio del proiettile.
3) L'energia persa dal proiettile durante l'interazione con il blocco.
4) L'energia meccanica trasformata in energia interna dei corpi interagenti.
Un corpo rigido a forma quadrata è costituito da quattro
sbarrette di lunghezza L=50 cm e massa m=200 g. In due
vertici opposti sono connessi rigidamente due dischi di
raggio=L/4 e massa m come mostrato in figura. Il corpo ruota
attorno ad un asse verticale AB con velocità costante
compiendo 45 giri al minuto. Determinare:
1) L'energia cinetica del corpo rigido.
2) Il momento angolare assiale.
3) Il momento angolare rispetto al centro del quadrato (O)
qualora fossero presenti altre componenti oltre a quella assiale.
4) La risultante delle forze esterne e il momento risultante delle
forze esterne necessarie per mantenere il corpo rigido in
rotazione con velocità costante.
w
A
O
L
B
Una macchina opera secondo un ciclo reversibile così costituito: (i) un gas ideale biatomico espande
adiabaticamente, in modo da raffreddarsi da una temperatura di 330 °C a 30°C; (ii) viene compresso
isotermicamente fino a raggiungere il valore iniziale; e (iii) viene quindi riscaldato a volume costante finché
raggiunge la temperatura iniziale. Calcolare il rendimento del ciclo e confrontarlo con il rendimento di Carnot
che corrisponde a queste temperature estreme. Determinare la variazione dei entropia subita dal gas e
dall'ambiente in ciascuna trasformazione.
Discutere le differenze tra la macchina precedentemente descritta ed una macchina in cui la trasformazione
(iii) venga realizzata mettendo il gas a volume costante direttamente in contatto con un serbatoio di calore
alla temperatura di 330 °C. Determinare in questo caso l'aumento di entropia dell'universo nel ciclo.
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prova scritta di Fisica I per il Corso di Laurea in Ingegneria Edile. 28 Ottobre 1996
Una molecola di gas di velocità v1=300 m/s urta elasticamente un'altra molecola
identica ferma. Dopo l'urto la prima molecola si muove sulla retta che forma l'angolo
θ 1=30°, rispetto alla direzione iniziale. Determinare le velocità finali delle molecole.
y
y
v'1
1
v1
1
2
x
2
v'2
x
Una lunga sbarra omogenea di lunghezza L = 2m e massa m = 2 kg è sospesa al
soffitto per il suo centro di massa C, tramite una staffa di lunghezza lo. Una molla di
costante elastica k = 100 N/m, avente lunghezza a riposo pari ad lo, disposta
verticalmente, collega un estremo della sbarra al soffitto.
Supponendo che la sbarra possa ruotare senza attrito attorno ad un asse
perpendicolare al piano della figura, passante per C, determinare il periodo delle
piccole oscillazioni che si innescano, quando la sbarra viene ruotata di un piccolo
angolo rispetto alla configurazione di equilibrio.
lo
C
Un cilindro a pareti adiabatiche è chiuso da uno stantuffo di massa trascurabile, pure
adiabatico di sezione S = 1 dm2. Il cilindro disposto verticalmente contiene n = 0.5 moli
di gas ideale monoatomico a temperatura To = 300 K e a pressione po = 1 atm. Sullo
stantuffo viene poggiato un corpo di massa M = 120 kg, dopo una serie di oscillazioni
lo stantuffo si ferma in una nuova posizione. Calcolare:
a) i parametri del gas nello stato finale;
b) la variazione di entropia del gas;
c) la variazione di entropia dell'universo.
Le tracce fanno parte di una raccolta di "Problemi di Meccanica e Termodinamica" di N.A. Armenise
(Adriatica Editrice).
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prova scritta di Fisica I per Ingegneria Edile.
9 gennaio 1997
Un corpo di massa M = 2 Kg viene lanciato verso l'alto con velocità iniziale v = 50 m/s.
Calcolare la massima altezza raggiunta dal corpo ed il tempo impiegato a
raggiungerla:
1) quando il corpo si muove nel vuoto
2) quando si muove in un mezzo in cui la forza resistente è F= - kv con k = 0.98 Kg/s
Un disco di raggio r = 5 cm e massa m = 100 g è saldato sulla faccia di un altro disco di
raggio R = 25 cm e massa M = 1 Kg. Il centro del disco piccolo è sul bordo del disco
grande. Il sistema può oscillare in un piano verticale attorno ad un asse orizzontale,
senza attrito, passante per il centro del disco grande. Se il sistema è abbandonato da
fermo dalla posizione θ = 45°, determinare
1) la velocità con cui il centro del disco piccolo passa per la posizione di equilibrio;
2) la reazione vincolare esercitata dall'asse in tale posizione.
Si calcoli inoltre il periodo delle piccole oscillazioni.
Un gas perfetto è compresso con pressione costante di 2.0 atm da 10.0 litri a 2.0 litri. (
in questo processo un po' di calore viene ceduto dal gas e la temperatura scende.) Viene
poi fornito del calore al gas a volume costante finché la temperatura non raggiunge il
suo valore iniziale. Calcolare per ciascuna trasformazione e per l'intero processo il
lavoro e il calore scambiato con l'ambiente e le variazioni di energia interna e di
entropia. (Se serve si assuma come temperatura iniziale e finale 400 K.)
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prova scritta di Fisica I per Ingegneria Edile. 3 febbraio 1997
La curva sopraelevata di una autostrada è stata progettata per una velocità di 95
Km/h. Il raggio della curva è di 210 m. In condizioni di cattivo tempo meteorologico il
traffico percorre l'autostrada ad una velocità di 52 km/h.
a) Quale deve essere il minimo valore del coefficiente di attrito che consente di
superare la curva senza scivolare?
b) Usando tale valore per il coefficiente di attrito, con quale la velocità massima si può
affrontare la curva senza scivolare?
Dalla sommità di un tetto spiovente viene lasciata cadere, con velocità iniziale nulla,
una boccia di raggio r = 6 cm e massa pari a 1500 g. La boccia, muovendosi lungo lo
spiovente rotola senza strisciare. Determinare a quale distanza dal muro la boccia
tocca terra ed il suo momento angolare rispetto al punto O della figura
immediatamente prima di toccare terra.
30°
3m
3m
O
Una mole di gas ideale monoatomico è portata dallo stato di pressione Po e volume Vo
a quello a pressione 2Po e volume 2V o mediante due diverse trasformazioni. (I) Si
espande isotermicamente fino a raddoppiare il volume e poi si espande a volume
costante fino allo stato finale scambiando calore con un serbatoio alla temperatura
dello stato finale. (II) Viene compresso isotermicamente fino a raddoppiare la
pressione e poi si espande a pressione costante fino allo stato finale scambiando calore
con un serbatoio alla temperatura dello stato finale. Si rappresentino queste
trasformazioni nel piano PV. Per ciascuna trasformazione si calcolino in funzione di Po
e Vo
a) il calore assorbito dal gas
b) il lavoro fatto dal gas
c) la variazione di energia interna del gas
d) la variazione di entropia del gas e dell'universo.
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prova scritta di Fisica I per Ingegneria Edile.
17 aprile 1997
Una massa m appoggiata sulla superficie liscia di un tavolo è attaccata a due molle
aventi la stessa lunghezza a riposo x o e una costante elastica uguale a k. Determinare
(a)l'energia potenziale del sistema ponendo U o = 0 nella condizione di equilibrio,
(b)il suo periodo di oscillazione
(c) la velocità massima che la massa raggiunge se viene lasciata libera a partire dalla
posizione x=xo/2 indicando il punto in cui la raggiunge.
k
m
O
-xo
k
xo
Una piattaforma di massa m 1 è appoggiata su due cilindri pieni di massa uguale,
m2=m3, e diametro d. Supponendo che la condizione iniziale sia quella indicata in
figura, determinare la velocità v raggiunta dalla piattaforma quando la massa m4 ha
percorso la distanza verticale h. Si assuma che, sia rispetto alla piattaforma che
rispetto al piano di appoggio i cilindri rotolino senza scivolare e che la carrucola possa
essere considerata priva di attrito e di massa trascurabile.
m1
d
m2
m3
m4
Un pezzo di ghiaccio di massa 1 kg a 0°C viene convertito reversibilmente in vapore a
100 °C alla pressione costante di 1 atm. Determinare
a) la variazione di entropia del sistema acqua ghiaccio vapore;
b) di quanto aumenta l'entropia dell'universo se i serbatoi che forniscono il calore
necessario al processo si trovano a 120 °C
c) Assegnando arbitrariamente il valore 0 all'entropia dell'acqua a 1 atm e 0°C,
determinare l'entropia di 1 kg di acqua (liquido) a 100 °C.
(λf=333,6 J/g, λe=2257 J/g, c=1 cal/g)
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prova scritta di Fisica Generale I per Ingegneria Edile - maggio 1997
O
Un pendolo composto, libero di ruotare
attorno ad un asse orizzontale
passante per O, è formato da due aste
m 1,L 1
di masse e lunghezze m1, L1, m2 , L2 : la
seconda asta è a 90° rispetto alla
prima, come mostrato in figura. In
particolare si consideri il caso m 1 =
1kg, m2 = 250 g, L1 = 1 m, L2 = 25 cm.
m ,L 2
Il pendolo viene abbandonato con
2
velocità nulla dalla posizione in cui
l'asta di lunghezza L1 è orizzontale.
Quando l'asta di lunghezza L1 diventa verticale, posizione mostrata in figura, urta
elasticamente contro un blocco di massa m=1 kg, inizialmente fermo.
Se il coefficiente di attrito dinamico tra il blocco ed il piano di appoggio è µ=0,3
determinare lo spazio percorso dal blocco prima di fermarsi.
Determinare inoltre l'ampiezza delle oscillazioni del pendolo, ed il suo periodo
supponendo che le oscillazioni siano piccole.
Si abbiano due recipienti A e B. Il recipiente A è un cilindro, a pareti adiabatiche,
chiuso nella parte superiore da un pistone di massa trascurabile e scorrevole senza
attrito. Il recipiente B è a pareti sottili, rigide e conduttrici. Nel cilindro A sono
contenute nA = 2 moli di gas ideale biatomico alla temperatura TA = 300 K in equilibrio
con la pressione esterna pA = 1 bar: Nell'altro recipiente sono contenute nB = 3 moli di
gas ideale monoatomico alla temperatura TB = 600 K. Sia V B = 10-2 m3 il volume del
recipiente B. Il recipiente B viene introdotto nel recipiente A. Si determini la
temperatura di equilibrio del sistema ed i volume di A. Si verifichi infine che l'entropia
dell'universo è aumentata durante il processo.
G.P.
G.P.Maggi
Maggi - - Fisica
FisicaGenerale
Generaleper
perIngegneria
IngegneriaEdile
Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prova scritta di Fisica Generale I per il corso di laurea in Ingegneria edile.
18 Luglio 1997
Una sfera piena ed omogenea di raggio R = 0.1 m e massa M = 1 kg è posta su un piano
inclinato scabro ( µs = 0.11; µd = 0.10) formante un angolo di 30° con l'orizzontale. La
sfera viene lasciata cadere da ferma sotto l'azione del peso:
1) stabilire se il moto di discesa è un rotolamento puro;
2) determinare la velocità del centro di massa v e la velocità angolare della sfera dopo
che essa ha percorso una distanza l=1 m lungo il piano inclinato;
3) calcolare, nelle condizioni della domanda precedente, il lavoro eseguito dalla forza di
attrito.
U
U2
U1
O
d
x
Un punto materiale di massa m=10g si muove lungo l'asse x sotto l'azione di forze
conservative: la dipendenza della energia potenziale U dalla posizione è mostrata in
figura, dove d=1m, U1=0,2 J e U2=0,45 J.
a) Quanto vale la componente x della forza per x<0, per 0<x<d e per x>d?
b) Il punto si muove con velocità vo lungo il semiasse negativo verso l'origine O e giunge
nel punto di ascissa x=d/2 con velocità nulla: quanto vale vo?
c) Se la velocità del punto sul semiasse negativo fosse 3vo con quale velocità v*
arriverebbe nella regione x>d?
Una mole (n=1) di gas perfetto monoatomico subisce le seguenti trasformazioni.
a) Una trasformazione adiabatica irreversibile dallo stato iniziale con pressione Po
=1atm e volume Vo=22,4 litri, ad un certo stato A. Una successiva compressione
isobarica reversibile fino ad uno stato B caratterizzato da VB=V A/2; il lavoro
compiuto dal gas in questa trasformazione è L=-1,5 103 J: Si calcoli il lavoro L*
compiuto nella trasformazione irreversibile.
b) Lo stato B è tale che con una trasformazione adiabatica reversibile il gas torna nelle
condizioni iniziali P o e V o. Si calcoli la pressione, il volume e la temperatura negli
stati A e B e la variazione di entropia nella trasformazione adiabatica irreversibile.
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prova scritta di Fisica Generale I. Corso di laurea in Ingegneria Edile.
9 settembre 1997
Un proiettile di 10 gr lascia la canna di un fucile con una velocità (rispetto al suolo) di
600 m/s verso Est. Se la canna ha una lunghezza di un metro e la massa del fucile è di
4 Kg, qual è:
a) la velocità di rinculo del fucile;
a) l'impulso impresso al proiettile ed al fucile;
b) l'energia cinetica fornita al proiettile ed al fucile;
R
R
c) la forza esercitata sul proiettile e sul fucile;
d) la durata dell'accelerazione del proiettile.
Si supponga che la forza che agisce sul proiettile,
mentre si trova nella canna, sia costante.
h
Un cilindro orizzontale di massa M=10 kg e raggio
R=20 cm può ruotare attorno al suo asse di
simmetria. Come mostrato in figura, una corda
inestensibile è arrotolata più volte attorno al
cilindro e, all'altro capo, è attaccata ad un corpo di massa m=1kg. Il corpo poggia su di
un supporto disposto in modo tale che la corda sia verticale ma non in tensione. Il corpo
viene sollevato verticalmente di una altezza h = 1 m e quindi lasciato cadere, mentre il
supporto viene rimosso.
Valutare
a) la velocità angolare ωo del cilindro, la velocità vo del corpo che cade e l'energia
cinetica del sistema un istante prima che la corda diventi tesa;
b) le stesse quantità un istante dopo che la corda sia diventata tesa;
c) quanta energia si è persa nell'istante in cui la corda si è tesa e spiegare dove è
andata a finire.
Esprimere infine la velocità angolare del cilindro in funzione del tempo assumendo
come istante iniziale quello in cui la corda è diventata tesa.
Una macchina frigorifera di coefficiente di prestazione 3 mantiene a temperatura
costante T 1 =250 K in una cella frigorifera, scaricando il calore nell'ambiente esterno, a
temperatura di 300 K. Il motore della macchina, posto all'esterno, trasforma in lavoro
utile il 90% dell'energia assorbita dalla rete elettrica. Il rimanente 10% viene
dissipato in calore.
L'isolamento delle pareti che separano la cella frigorifera dall'ambiente esterno è tale
che ogni ora essa assorbe una quantità di calore Q1=4,2 x 10 7 J che deve essere
sottratta per mantenere costante la sua temperatura T1.
Si domanda:
a) la potenza utile fornita dal motore e quella assorbita dalla rete;
b) il calore complessivo scaricato all'esterno in un'ora;
c) la variazione di entropia, dopo un'ora, della cella frigorifera e dell'ambiente esterno;
d) La potenza che il motore assorbirebbe dalla rete, se il frigorifero funzionasse da
macchina di Carnot reversibile, ed il calore scaricato all'esterno in un'ora.
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prova scritta di Fisica Generale I per Ingegneria Edile. 30 settembre 1997
Una corda uniforme, la cui massa per unità di lunghezza è λ m, è sospesa in maniera
tale che il suo estremo inferiore tocchi la superficie di un tavolo. Se si lascia cadere la
corda, essa si ammonticchia sul tavolo. Dimostrare che quando la corda è caduta di un
tratto y, la forza esercitata sul tavolo è equivalente al peso di un tratto di corda di
lunghezza pari a 3y.
y
Una sbarra sottile rettilinea ed omogenea, di massa m=1
kg e lunghezza L= 1m, è incernierata ad una estremità, in
maniera da poter ruotare, senza attrito, in un piano
verticale. L'estremo libero dell'asta è mantenuto al di
sopra del vincolo, molto vicino alla verticale passante per il
vincolo e quindi lasciata cadere. Calcolare l'accelerazione
angolare della sbarra nel momento in cui essa forma un
angolo θ= 45° con la verticale.
θ
Allo stesso angolo, calcolare le componenti radiale e
trasversa dell'accelerazione dell'estremo libero della
sbarra, nonché le componenti della reazione vincolare A
applicata dal vincolo sulla sbarra.
B
Il volume di un kg di acqua a 100 °C è all'incirca 1x10 -3 m3. Il volume del vapore
prodotto nel corso dell'ebollizione dell'acqua a 100 °C, alla pressione atmosferica è
1.671 m 3. Qual è il lavoro fatto dall'acqua contro l'atmosfera durante l'ebollizione?
Qual è la variazione di energia interna subita dall'acqua durante l'ebollizione?
Se il calore necessario per far evaporare il kg di acqua viene sottratto ad una sorgente
a 120 °C qual è la variazione di entropia dell'universo?
(λ e= 22.6x105 J/kg)
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prova scritta di Fisica Generale I per Ingegneria Edile.
11 Dicembre 1997
Una guida liscia, a forma di quarto di cerchio di
O
raggio 6 m, è situata in un piano verticale. Una
P2
particella di peso 4 N si sposta da P1 a P2 lungo la
guida. Alla particella sono applicate le forze F1,
θ
F2, F3 oltre alla eventuale reazione vincolare. La
F1
forza F1 è sempre orientata verso P2 ed ha un R=6m
modulo costante di 20 N, la forza F2 è sempre
orientata secondo l'orizzontale ed ha un modulo
F3
costante di 30 N, la forza F3 è tangente alla pista
F2
e il suo modulo vale (15-10.s)N, dove s è la
P
P1
lunghezza dell'arco percorso a partire da P1
espresso in metri. Qual è la velocità della
particella in P2 se la sua velocità in P1 è di 4m/s? Quali delle forze F1, F2, F3, il peso P e
la reazione vincolari sono conservative? Quanto vale il modulo direzione e verso della
reazione vincolare quando l'angolo θ è di 45°?
Un pendolo fisico è costituito da un disco omogeneo di raggio R= 20 cm
e massa M=1kg libero di ruotare attorno ad un asse orizzontale
perpendicolare al disco e passante per il bordo. Determinare il periodo
del pendolo e la sua lunghezza ridotta.
O
Un bidone di rame, di capacità termica trascurabile, contiene 1000 kg di acqua ad una
temperatura leggermente superiore al punto di congelamento, mentre un secondo
bidone identico contiene 800 kg di acqua ad una temperatura leggermente inferiore
alla temperatura di ebollizione. La pressione è quella atmosferica. I due bidoni
vengono messi in contatto termico. Trovare la variazione di entropia del sistema.
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prova scritta di Fisica I per Ingegneria Edile. 5 febbraio 1998
Un corpo di massa m, lanciato con velocità vo, scivola sopra una superficie orizzontale
scabra con coefficiente di attrito dinamico µd =0,2 Percorso un tratto L1 = 2 m, il corpo
incontra un piano inclinato, con uguale coefficiente di attrito, di lunghezza L2= 3 m e
pendenza di 30°.Il corpo sale fino alla sommità del piano inclinato dove giunge con
velocità nulla. Si determini:
a) il valore di vo;
b) il valore minimo del coefficiente di attrito statico del piano inclinato affinché il corpo
non ridiscenda;
c) Il tratto percorso dal corpo sul piano orizzontale prima di fermarsi se l'attrito
statico non è in grado di tenere fermo il corpo.
Due sbarrette omogenee, di dimensioni trasversali trascurabili e stessa lunghezza
L=30 cm, sono saldate assieme per uno dei due estremi in maniera da formare un
angolo retto. La massa della prima sbarretta è m1=120g mentre quella della seconda
è m2=60 g. Determinare
1) la posizione del centro di massa delle due sbarrette;
2) L'energia cinetica posseduta dal sistema formato dalle due sbarrette se esso ruota
attorno ad un asse coincidente con la prima delle due sbarrette compiendo 300 giri
al minuto.
3) Il momento delle forze che deve essere applicato alle due sbarrette per mantenere
in rotazione, attorno all'asse coincidente con la prima delle due sbarrette, alla
velocità costante di 300 giri al minuto il sistema delle due sbarrette.
Una mole di gas perfetto monoatomico, inizialmente alla pressione pA= 1 Atm e
temperatura T A= 500 K, subisce le seguenti trasformazioni:
i) isoterma reversibile dallo stato A allo stato B caratterizzato da VB=2V A;
ii) adiabatica irreversibile dallo stato B allo stato C tale che VC=3V B e TC=TA/2;
iii) Isoterma reversibile fino ad un certo stato D;
iv) isobara reversibile dallo stato D allo stato iniziale A.
Si calcoli:
a) pressione volume e temperatura del gas negli stati A, B, C e D;
b) i lavori eseguiti dal gas nelle quattro trasformazioni;
c) le quantità di calore scambiate dal gas nelle quattro trasformazioni;
d) il rendimento del ciclo realizzato;
e) la variazione di entropia del gas nella adiabatica irreversibile.
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prova scritta di Fisica Generale I per Ingegneria Edile. 24 marzo 1998.
Un barattolo, di massa M=500 g, posto sulla cima di un palo
alto 30 m, viene colpito da una distanza di 20 m dal palo da un
proiettile di massa m=10g che raggiunge il barattolo con una
velocità di 450 m/s. Assumendo che il proiettile rimanga
conficcato nel barattolo, determinare:
a) l'altezza raggiunta dal proiettile rispetto alla cima del palo;
b) a che distanza dalla base del palo il proiettile colpisce il
terreno.
A una sottile sbarra uniforme di massa M e lunghezza L,
inizialmente in quiete su di un piano orizzontale privo di attrito,
viene impartito un impulso J in direzione orizzontale,
perpendicolarmente alla sbarretta stessa, ad una delle sue
estremità.
Determinare di quanto si sposta il centro di massa della sbarra
nel tempo in cui questa compie un giro completo.
30m
20m
J
Una mole di gas ideale monoatomico viene portata in due passaggi da (p1,V 1) a
(p1,3V 1) a (0,25p 1,3V 1) con trasformazioni termodinamiche reversibili rappresentate
da linee rette nel diagramma pV.
1) Qual è la variazione complessiva dell'energia interna del gas?
2) Qual è il lavoro totale fatto dal gas?
3) Quanto calore viene ceduto (o assorbito) in totale?
4) Qual è la variazione di entropia?
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prova scritta di Fisica Generale I per il corso di Ingegneria Edile.
22 giugno 1998
Un pendolo balistico è costituito da un blocco di legno di massa M= 8 Kg, sospeso
lungo la verticale. Quando il blocco di legno viene colpito da un proiettile di massa m=
50 g e velocità vp , diretta orizzontalmente, il suo centro di massa varia la sua quota di
25 cm. Calcolare la velocità vp .
Calcolare anche la variazione di quota del centro di massa del blocco nel caso in cui il
proiettile, anziché orizzontalmente, viene sparato con una inclinazione di 30° rispetto
all'orizzontale verso il basso.
Un cilindro pieno di raggio 10,4 cm e massa 11,8 kg
parte da fermo e rotola senza strisciare per 6,12 m
lungo il tetto di una casa inclinato di 27,0°.
a) qual è la velocità angolare del cilindro nel
momento in cui abbandona il tetto della casa.
b) Se il muro della casa è alto 5,16 m, a quale
distanza d dal muro il cilindro arriverà al suolo?
6,12 m
27.0°
d
5,16 m
Un cilindro orizzontale, termicamente isolato, con ambedue le basi fisse, ha al suo
interno uno stantuffo conduttore, di spessore trascurabile, che può scorrere senza
attrito all'interno del cilindro. Inizialmente lo stantuffo è fisso in posizione tale da
determinare a sinistra un volume V o e a destra un volume 3Vo. L'ambiente di sinistra
contiene gas ideale monoatomico a temperatura T o e pressione 2Po, l'ambiente a
destra contiene gas identico all a temperatura T o e
pressione Po. Si sblocca lo stantuffo e i due gas
raggiungono l'equilibrio termodinamico; calcolare:
a) la temperatura di equilibrio;
b) i volumi finali dei due ambienti;
c) La variazione di entropia dell'universo.
Si assuma Vo=20 litri, Po= 1atm, To=300K.
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prova scritta di Fisica Generale I per il corso di Ingegneria Edile.
26 maggio 1998
Una biglia di massa m = 10 g è lanciata con velocità v = 8 m/s in una canna di un fucile
a molla di massa M = 90 g, inizialmente in quiete su di una superficie liscia.
La molla ha una costante
elastica k = 10 3 N/m e massa
trascurabile. Calcolare:
1) la velocità del fucile nel
momento
di
massima
compressione della molla;
2) la massima compressione
della molla;
3) le energie cinetiche del
cannoncino e della biglia alla
fine dell'urto.
Un giocatore di bocce lancia una boccia di raggio r= 6 cm e massa m radente al terreno
con velocità del centro di massa v = 5 m/s, imprimendole una rotazione in senso
contrario a quello di avanzamento con velocità ω = 1 rad/s. La boccia scivola e rotola
sul terreno. Calcolare:
1) dopo quanto tempo cessa lo scivolamento,
se il coefficiente di attrito del terreno è
µ = 0.8;
2) qual è la velocità del centro di massa
della boccia una volta cessato
lo
scivolamento?
3) assumendo v = 50 cm/s, quale deve essere
il valore w della velocità angolare da
imprimere alla boccia, perché questa,
cessato lo scivolamento, torni indietro con
velocità v' = 30 cm/s.
Termodinamica
Un cilindro, di diametro pari a 20 cm, chiuso superiormente da
un pistone mobile, contiene una mole di gas biatomico in
equilibrio con l'ambiente esterno e cioè alla pressione
atmosferica e alla temperatura di 25 °C. Ad un certo istante
viene appoggiato sul pistone un peso di 40 Kg. Supponendo di
poter schematizzare il processo conseguente come una rapida
compressione adiabatica seguita da una più lenta
trasformazione isobara, determinare l'altezza della colonna di
gas contenuta nel cilindro
a) all'inizio del processo
b) subito dopo la compressione adiabatica
c) alla fine del processo
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Determinare la variazione di entropia dell'universo durante la compressione
adiabatica ed in tutto il processo.
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prova scritta di Fisica Generale I per il corso di Ingegneria Edile.
9 settembre 1998
Un corpo A, di massa mA=100 kg, poggia su un piano orizzontale scabro con coefficiente
di attrito µA=0,2. Un secondo corpo B, di massa mB=20 kg, è posato su A (vedi figura). Il
coefficiente di attrito statico fra i due corpi è µB=0,1. Si determini:
1. l'intensità Fmin della forza parallela al piano
orizzontale da applicare al corpo A, superando la quale
il corpo A si mette in movimento;
B
2. l'intensità massima Fmax della forza parallela al piano
orizzontale che può essere applicata al corpo A senza
A
che il corpo B sfugga da A ( si assuma che il coefficiente
di attrito dinamico uguale a quello statico).
Il sistema riprodotto in figura viene lasciato libero di
muoversi sotto l'azione della forza peso: inizialmente il
corpo A, di massa m A=2kg, è al suolo, il corpo B, di massa
mB=4kg, è ad altezza h=3m rispetto al suolo. L'energia
dissipata per attrito tra il filo (di massa trascurabile) e la
carrucola è trascurabile. Si calcoli il modulo v della
velocità con cui il corpo B giunge al suolo:
a) se il momento di inerzia I della carrucola rispetto
all'asse di rotazione è nullo;
b) Se I = 0,02 kg m2 e il raggio della carrucola è r = 0,1m.
B
A
h
Una macchina termica ciclica funziona tra due sorgenti costituite rispettivamente da
una massa m di vapore d'acqua a 100°C e da una massa m1=1kg di ghiaccio a 0°C. la
macchina preleva calore dalla sorgente calda e viene fatta funzionare finché tutto il
ghiaccio si è fuso o il vapore si è liquefatto.
a) la macchina termica sia irreversibile con rendimento η*=0,2: si calcoli il valore
minimo mmin di m se si vuole fondere tutto il ghiaccio.
Si dica quale tipo di macchina si deve usare per fondere il ghiaccio facendo liquefare
b) la massa minima di vapore,
c) la massa di vapore più grande possibile (mmax).
Nei casi b) e c) si calcoli la variazione di entropia del sistema costituito dalle sorgenti e
dalla macchina termica. Si usino i seguenti valori approssimati: calore latente di
fusione del ghiaccio λ f = 79,7 cal/g, calore di liquefazione del vapore di acqua λ e = 539
cal/g.
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prova scritta di Fisica I per il corso di laurea in Ingegneria Edile.
25 febbraio 1999
Il periodo di rotazione della luna attorno alla terra è TL = 27,32 giorni e la sua orbita è
approssimativamente circolare di raggio d = 384.400 km; l'accelerazione di gravità
sulla superficie terrestre è g = 9,81 m/s2. Usando i dati precedenti si calcoli:
a) Il raggio rT della terra,
b) La distanza ds dal centro della terra e la velocità vs di un satellite artificiale in
rotazione su un'orbita circolare situata nel piano equatoriale terrestre, con un
periodo Ts = 1 giorno ( si trascuri l'attrazione esercitata sul satellite dalla luna e
dagli altri corpi celesti.)
Una trave di massa m è appoggiata su due rulli cilindrici omogenei uguali di raggio r:
ogni rullo ha massa m1. Tra la trave e i rulli e tra i rulli e il suolo c'è attrito: la trave
rotola sopra i rulli senza strisciare, così come i rulli sul suolo. La trave si sposta
parallelamente al suolo con velocità v. Si calcoli l'energia cinetica Ec complessiva della
trave e dei rulli. (Si assuma m=10 kg, m1=5 kg, r= 10 cm, v = 0.5 m/s)
v
Un recipiente chiuso superiormente da un pistone scorrevole senza attrito, contiene
n=10 moli di un gas perfetto monoatomico alla temperatura To=250 K e pressione
atmosferica. Il pistone e le pareti del recipiente, tranne la base inferiore che è
costituita da un cattivo isolante termico, sono impermeabili al calore; la capacità
termica complessiva del recipiente e del pistone è C = 1 kcal/K. Il recipiente viene
appoggiato su un corpo di capacità termica C1 = 2 kcal/K e temperatura T1 = 400 K: il
gas si riscalda molto lentamente e il pistone si solleva molto lentamente fino a che non
si raggiunge l'equilibrio termico; la quantità di calore scambiata dal corpo con
l'atmosfera esterna è trascurabile. Si calcoli:
a) la temperatura finale T f del gas;
b) la variazione ∆U dell'energia interna del gas e il lavoro W compiuto dal gas durante
la trasformazione;
c) la corrispondente variazione ∆S dell'entropia del corpo e dell'universo.
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prova scritta di Fisica Generale I per Ingegneria Edile - 28 giugno 1999.
Due masse scivolano senza attrito lungo i lati di una ciotola emisferica. Ciascuna di
esse parte con velocità nulla dal bordo, che è ad altezza h= 20 cm dal fondo. Si muovono
in direzioni opposte e collidono elasticamente al fondo della ciotola. Si supponga che le
masse siano rispettivamente m=50 g e M= 300 g.
a) Di quanto la massa più leggera supererà il bordo dopo la collisione?
b) Se invece le masse si uniscono nel contatto, quale altezza al di sopra del fondo della
ciotola raggiungeranno?
c) Calcolare infine il valore della reazione vincolare esercitata dalla ciotola su
ciascuna delle due masse immediatamente prima della collisione.
h
h
Un anello ed un disco aventi la stessa massa M = 2 Kg e lo stesso raggio R=10 cm,
vengono fatti scendere, partendo da fermi e dalla stessa quota, su un piano, inclinato
di un angolo di 30° rispetto all'orizzontale, con moto di puro rotolamento. Si supponga
che la differenza di quota del centro del disco o dell'anello tra la posizione iniziale e
quella finale quando hanno raggiunto il piano orizzontale sia di 1 m. Si determini
1) quale dei due oggetti raggiunge per primo la fine del piano inclinato;
2) e quanto tempo prima l'oggetto più veloce raggiunge la fine del piano inclinato.
3) Si determini infine quale valore deve avere il coefficiente di attrito del piano
inclinato perché entrambi gli oggetti si muovano rotolando senza strisciare.
Una mole (n=1) di gas perfetto monoatomico, inizialmente alla pressione pA=1 atm e
temperatura T A=500 K, subisce le seguenti trasformazioni:
i) isoterma reversibile dallo stato iniziale A allo stato B caratterizzato da VB=2V A;
ii) adiabatica irreversibile dallo stato B allo stato C tale che VC= 3 V B e TC = TA/2;
iii) isoterma reversibile fino ad un certo stato D;
iv) isobara reversibile dallo stato D allo Stato A.
Si calcoli:
a) pressione, volume e temperatura del gas negli stati A,B,C,D;
b) i lavori eseguiti dal gas nelle quattro trasformazioni;
c) le quantità di calore scambiate dal gas nelle quattro trasformazioni;
d) il rendimento del ciclo utilizzato;
e) la variazione di entropia del gas nella adiabatica irreversibile.
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prova scritta di Fisica Generale I per Ingegneria Edile. 16 luglio 1999
Nella figura A e B sono due blocchi rispettivamente di 4.4 kg e 2.6 kg. I coefficienti di
attrito statico e dinamico tra il blocco A e il piano sono rispettivamente 0,18 e 0,15.
a) Si determini la minima massa del corpo C che impedisce ad A di scivolare.
b) Improvvisamente il blocco C viene tolto da A. Valutare l'accelerazione di A e la
tensione nella corda.
Verificare infine che, quando il blocco A si trova ad una distanza di 0.5 m dal punto di
partenza, il lavoro fatto dalla forza di attrito è uguale alla variazione dell'energia
meccanica totale dei due corpi A e B e che la somma dei lavori fatti dalla tensione
agente su A e da quella agente su B è nulla.
C
A
B
Un anello di massa m=0.5 kg e raggio r=35 cm è appeso ad un chiodo. Determinare il
periodo delle piccole oscillazioni.
Determinare inoltre il valore della forza esercitata dal chiodo sull'anello nell'istante in
cui l'anello passa per la sua posizione di equilibrio supponendo che l'ampiezza delle
oscillazioni sia di 10°.
Una persona prepara del te freddo mescolando 520 gr di tè caldo (sostanzialmente
acqua) con una eguale quantità di ghiaccio a 0°. Quali sono la temperatura finale e la
massa di ghiaccio eventualmente restante se la temperatura del tè caldo è di
a) 90°
b) 70°?
Calcolare nel secondo caso la variazione di entropia dell'universo.
Il calore latente di fusione del ghiaccio è 333x103 J/kg, il calore specifico dell'acqua è
4190 J/(kg °C).
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prova scritta di Fisica Generale I per Ingegneria Edile. 13 dicembre 1999
Un corpo di massa m= 60kg scivola lungo un piano liscio, inclinato di θ=5°; esso parte
con velocità nulla e percorre lungo il piano la distanza d=4m. Alla fine del piano
inclinato esso si muove su un tratto orizzontale liscio lungo h=2m e urta una molla di
lunghezza a riposo xo=0.5 m, fissata a un muro. Calcolare quanto deve valere la
costante elastica della molla affinché il corpo tocchi il muro con velocità nulla. Ripetere
il calcolo se nel tratto orizzontale c'è un coefficiente di attrito µ=0.14. Quanto dovrebbe
valere µ affinché il corpo giunga alla molla con velocità nulla?
45°
h
xo
F
Un corpo di massa m= 50 kg è sospeso tramite una corda come in figura; la carrucola si
può approssimare come un disco di massa m'=20 kg. Alla corda è applicata una forza
F. Calcolare i moduli di F e della reazione vincolare R esercitata dall'asse della
carrucola in condizioni di equilibrio e quando il corpo sale con accelerazione costante
a=4.2 m/s 2.
Un cilindro a pareti adiabatiche e capacità termica trascurabile è chiuso da un pistone
adiabatico scorrevole senza attrito. Il cilindro contiene una mole di gas ideale
biatomico alla pressione p1 = 2.4 bar e temperatura T1 = 600 K. Poiché la pressione
esterna, po = 1 bar, è minore di quella del gas, il pistone è inizialmente bloccato
tramite un fermo. A un certo istante si toglie il blocco, permettendo al gas di
espandersi. Dopo un intervallo di tempo sufficientemente lungo, il gas raggiunge uno
stato di equilibrio alla temperatura T2 = 500 K.
Si determini:
a) il lavoro compiuto dal gas,
b) la variazione di entropia del gas,
c) la temperatura finale se l'espansione avvenisse in modo reversibile.
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prova scritta di Fisica Generale I per Ingegneria Edile.
26 gennaio 2000
Un blocco di 3.0 kg è tenuto contro una molla di costante elastica k=25 N/cm,
comprimendo la molla di 3 cm dalla sua posizione rilassata. Quando il blocco è
rilasciato, la molla si espande e spinge il blocco verso l'alto lungo una superficie ruvida
inclinata di un angolo di 20°. Il coefficiente di attrito dinamico tra il blocco e la
superficie è µd =0.1.
a) Quant'è il lavoro fatto dalla molla mentre si espande dalla sua posizione compressa
alla sua posizione di equilibrio?
b) Quello fatto dall'attrito mentre il corpo si muove di 3 cm come nella domanda a)?
c) Quello fatto dalla gravità durante lo stesso moto?
d) Quant'è la velocità del blocco quando la molla raggiunge la sua posizione di
equilibrio?
e) Se il corpo non è attaccato alla molla, quanto scivolerà sul piano inclinato prima di
fermarsi?
f) Se invece il corpo è attaccato alla molla cosicché la molla si estende quando il blocco
scivola oltre il punto di equilibrio, di quanto si estende la molla prima che il blocco
si fermi?
Un cilindro pieno, di densità costante, di massa M e raggio R è lanciato verso l'alto
lungo un piano inclinato di un angolo θ. Esso rotola senza strisciare partendo con una
velocità del centro di massa pari a vo. Quale distanza s percorrerà il cilindro prima di
ricadere all'indietro.
Cinquanta grammi di ossigeno gassoso a 320 K compiono 80 J di lavoro mentre viene
assorbita una quantità di calore di 40 cal.
a) Qual è la variazione di energia interna?
b) La variazione di temperatura?
c) La variazione di entropia considerando la trasformazione isobara?
(L'ossigeno è biatomico con peso atomico 16. 1 cal = 4.186 J)
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prova scritta di Fisica Generale I per Ingegneria Edile.
Bari 7 aprile 2000
Un piccolo disco di massa m 0,2 kg si muove lungo una circonferenza di raggio pari a
0.5 m nella parte superiore di un tavolo. Il disco è vincolato con un filo privo di massa
ad un chiodo posto nell'origine (vedi figura). Il coefficiente di attrito dinamico tra il
disco e la superficie del tavolo è 0,2. All'istante di tempo t = 0 s il disco si trova sul
semiasse positivo delle x con velocità di 10 m/s diretta secondo l'asse y.
a) Qual è la tensione nel filo al tempo t = 0 s?
b) Qual è la tensione nel filo alla fine della prima rivoluzione?
y
v
x
Un'unità di soccorso per incendi utilizza una rete fittamente intrecciata per prendere
una persona di 60 kg che salta da un edificio in fiamme da un'altezza di 14 m. Quant'è
l'impulso trasmesso alla rete? Se la rete scende di 50 cm mentre rallenta il saltatore,
quant'è la forza media esercitata sul saltatore dalla rete?
Una macchina opera secondo un ciclo reversibile così costituito:
i) un gas ideale biatomico espande adiabaticamente in modo da raffreddarsi da una
temperatura di 330°C a 30°C
ii) viene compresso isotermicamente fino a raggiungere il volume iniziale
iii) viene quindi riscaldato a volume costante finché raggiunge la temperatura finale.
Calcolare il rendimento del ciclo e confrontarlo con il rendimento di Carnot che
corrisponde alle stesse temperature.
Come cambia il rendimento del ciclo se l'ultima trasformazione viene realizzata
mettendo direttamente a contatto il gas con il serbatoio a temperatura più elevata?
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prova scritta di Fisica Generale I per Ingegneria Edile. Bari 23 maggio 2000.
Una massa m1 è attaccata a un filo di lunghezza L1, fissato ad un estremo. La massa m1 si muove
sun una circonferenza orizzontale sostenuta da una superficie liscia. Una seconda massa m2 è
attaccata alla prima con un filo di lunghezza L2 e si muove anch’essa su di una circonferenza come
mostrato in figura. Se la velocità angolare è ω, si trovi la tensione in ciascuno dei due fili.
Una corda elastica lunga 25 cm obbedisce alla legge di Hooke Fx = -kx, dove x rappresenta
l’allungamento rispetto alla posizione di equilibrio. Quando alla corda viene appeso un oggetto di
150g, essa si allunga di 5 cm. Se l’oggetto attaccato ad una estremità della corda viene lasciato
cadere dal punto in cui è ancorata l’altra estremità, si trovi la distanza che esso deve percorrere
prima di fermarsi per la prima volta.
Una mole di acqua a 100 °C viene fatta evaporare alla pressione costante di 1 atm.
a) Si trovi la quantità di calore fornita.
b) Il lavoro fatto dal sistema nell’espandersi contro la pressione atmosferica (si consideri il vapore
d’acqua come un gas perfetto)
c) La variazione di energia interna dell’acqua
d) La variazione di entropia
Si consideri pei il calore latente di ebollizione Λe=2257 kJ/kg, la densità dell’acqua pari a 1 kg/dm3.
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prova scritta di Fisica Generale I per Ingegneria Edile. Bari 23 maggio 2000.
Una corda elastica lunga 25 cm obbedisce alla legge di Hooke Fx = -kx, dove x rappresenta
l’allungamento rispetto alla posizione di equilibrio. Quando alla corda viene appeso un oggetto di
150g, essa si allunga di 5 cm. Se l’oggetto attaccato ad una estremità della corda viene lasciato
cadere dal punto in cui è ancorata l’altra estremità, si trovi la distanza che esso deve percorrere
prima di fermarsi per la prima volta.
Un corpo rigido a forma di “T” è costituito da un’asta di massa 1 kg e lunghezza 1m a cui è
attaccata rigidamente ad uno dei suoi estremi una seconda asta di lunghezza 25 cm e massa 250 g.
L’altro estremo della sbarra è incernierato ad un asse orizzontale, ortogonale al corpo rigido, privo
di attrito. Calcolare:
a) il momento di inerzia del corpo rigido rispetto all’asse di rotazione.
b) La posizione del Centro di Massa del corpo.
Il corpo rigido viene abbandonato da fermo quando la posizione della sbarra più lunga è orizzontale.
Quando la sbarra più lunga raggiunge la posizione verticale urta elasticamente un blocco di massa
0.5 kg che inizia a muoversi su di un piano orizzontale liscio. Calcolare:
c) La velocità del blocco dopo l’urto;
d) l’ampiezza delle oscillazioni del pendolo
e) la loro durata (supponendo che siano piccole);
f) la variazione di quantità di moto subita dal sistema blocco più corpo rigido.
Una mole di gas ideale biatomico, inizialmente in equilibrio alla pressione p1 e volume V1=12x10-3
m3, si espande adiabaticamente contro la pressione esterna costante p2=1.013 bar fino la volume
V2=25x10-3 m3. Il gas viene poi compresso e reversibilmente e in tale processo cede il calore Q23= 6280 J. Infine il gas ritorna allo stato iniziale mediante una trasformazione reversibile in cui compie
il lavoro W31=6500 J. Calcolare i valore di T1, V3,Q31 e la variazione di entropia dell’universo in un
ciclo.
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prova scritta di Fisica Generale I per Ingegneria Edile. 14 luglio 2000.
Un blocco di 3.22 kg scivola lungo un piano inclinato di 28.0° e privo di attrito e, dopo avere
percorso una distanza d, comprime una molla per 21.4 cm per poi arrestarsi momentaneamente. La
costante elastica della molla è di 427 N/m.
a) Quanto misura d?
b) Dopo aver compresso la molla, il blocco aumenta la sua velocità prima di iniziare a decelerare
nuovamente. Quale distanza percorre prima di raggiungere la sua massima velocità e
cominciare a rallentare?
Una ruota schematizzata come un disco omogeneo ha un raggio di 23 cm e una massa di 1.40 kg.
Essa ruota senza attrito attorno al suo asse con una velocità angolare di 840 giri al minuto. Per
fermare la ruota, un pattino è premuto contro il suo bordo con una forza radiale di 130 N. Prima di
fermarsi la ruota compie 2.80 giri. Si determini il coefficiente di attrito tra il pattino e il bordo della
ruota.
Un pezzo di 50.0 g di rame alla temperatura di 400 K viene posto in una scatola isolante insieme a
un pezzo di 100 g di piombo alla temperatura di 200 K.
a)
Qual è la temperatura di equilibrio dei due pezzi di metallo?
b)
Qual è la variazione di energia interna del sistema costituito dai due pezzi di metallo, tra lo
stato di equilibrio finale e lo stato iniziale?
c)
Qual è la variazione di entropia del sistema?
(calori specifici: piombo 129 J/(kg K), rame 387 J/(kg K))
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prova scritta di Fisica Generale I per Ingegneria Edile. 15 settembre 2000.
Un giocatore di bowling lancia la palla di raggio R=11 cm lungo la corsia. La palla scivola lungo la
corsia con velocità iniziale vcmo=8,5 m/s e velocità angolare iniziale ωo=0. Il coefficiente di attrito
dinamico tra la palla e la corsia è 0,21. La forza di attrito dinamico che agisce sulla palla imprime
un’accelerazione lineare alla palla e, allo stesso tempo, applica un momento della forza che imprime
alla palla un’accelerazione angolare. Quando la velocità lineare è scesa opportunamente e la
velocità angolare ω è crescita abbastanza, la palla cessa di strisciare e rotola dolcemente.
a) Come si può esprimere vcm in termini di ω?
Durante lo slittamento quali sono
b) l’accelerazione lineare e
c) l’accelerazione angolare della palla?
d) Per quanto tempo la palla slitta?
e) Per quale distanza la palla slitta?
f) Qual è la velocità della palla quando inizia il puro rotolamento?
g) Quanto vale la forza di attrito tra la palla e la corsia in queste condizioni?
Il momento di inerzia di una sfera omogenea rispetto ad un suo diametro è (2/5 MR2).
I due blocchi della figura, di massa m=16 kg e M 88 kg, non sono collegati tra loro. Il coefficiente
di attrito tra i blocchi è µs=0,38, mentre la superficie su cui appoggia M è priva di attrito. Qual è
l’intensità minima della forza orizzontale F necessaria per mantenere m contro M?
m
F
M
Un thermos isolato contiene 130 cm3 di caffè caldo, ad una temperatura di 80.0 °C. Per raffreddare
il caffè aggiungete un cubetto di ghiaccio di 12.0 g al suo punto di fusione. Di quanti gradi si sarà
raffreddato il vostro caffè dopo che il ghiaccio si è fuso? Trattate il caffè come se fosse acqua pura.
Il calore latente di fusione del ghiaccio è 333 kJ/kg.
Qual è la variazione di entropia dell’universo.
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prova scritta di Fisica Generale I per Ingegneria Edile. 13 dicembre 2000
I blocchi A e B della figura hanno rispettivamente massa di 4,4 e 2,6 kg, mentre la carrucola C, che
può essere assimilata ad un disco, ha una massa di 1,5 kg e un raggio di 10 cm.. I coefficienti di
attrito statico e dinamico tra il blocco A e il tavolo sono rispettivamente 0,18 e 0,15. Si determini la
minima massa del corpo D che impedisce ad A di scivolare. Improvvisamente il corpo D viene
tolto da A. Si determini l’accelerazione di A.
D
A
C
B
Una palla di acciaio di massa 0,414 kg è agganciata a una corda lunga 68,7 cm fissa all’altra
estremità e viene abbandonata quando la corda è orizzontale. Giunta nel punto più basso della sua
traiettoria, la palla colpisce un blocco di acciaio di 2,63 kg inizialmente fermo su una superficie
orizzontale priva di attrito. Durante l’urto metà dell’energia cinetica della palla si trasforma in
energia interna dei due corpi. Si calcoli
a)
la velocità della palla
b)
la velocità del blocco
subito dopo l’urto. Si determini infine il valore della tensione nella corda subito prima e subito dopo
l’urto.
Un inventore sostiene di aver inventato cinque motori, ciascuno operante tra i serbatoi termici a 400
e 300 K. Per ogni ciclo, i dati di ogni motore sono i seguenti:
1)
Qa=200 J, Qc=-175 J, W=40 J
2)
Qa=200 J, Qc=-150 J, W=50 J
3)
Qa=600 J, Qc=-200 J, W=400 J
4)
Qa=100 J, Qc=-90 J, W=10 J
5)
Qa=500 J, Qc=-200 J, W=400 J
Dire quali dei due principi della termodinamica (eventualmente entrambi) vengono violati da
ciascun motore. Nel caso invece entrambi i principi della termodinamica risultino soddisfatti,
stabilire se il ciclo è reversibile e calcolare la variazione di entropia dell’universo.
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prova scritta di Fisica Generale I per Ingegneria Edile. 30 gennaio 2001
Un piccolo oggetto di massa m viene posto sul piatto orizzontale girevole di un giradischi, a
distanza d = 12 cm dall’asse di rotazione.
Si osserva che:
a) il corpo resta ferma sul piatto se questo ruota ad una velocità angolare ωa=33 giri/min
a) scivola via se la velocità angolare è ωb=45 giri/min.
Considerando l’oggetto come puntiforme, utilizzare queste osservazioni per stabilire dei limiti sul
coefficiente di attrito tra l’oggetto ed il piano.
Un disco omogeneo di massa M e raggio R è libero di ruotare attorno ad un asse orizzontale fisso
passante per il centro del disco e perpendicolare ad esso (vedi figura).
Al disco, inizialmente in quiete viene applicata, mediante una corda avvolta su di esso, una forza
orizzontale costante F. determinare il modulo ω della velocità angolare acquistata dal disco dopo n
giri attorno all’asse. (Si assuma per esempio M=1kg, R=20 cm, F = 10N, n=10 giri)
F
Con n=2 moli di gas perfetto monoatomico si effettua un ciclo reversibile costituito dalle seguenti
trasformazioni:
i)
una trasformazione isocora a partire dallo stato A, con VA=8 litri, TA=580 K, fino allo stato
B con TB=TA/2;
ii)
una compressione adiabatica fino allo stato C con TC= TA;
iii)
una espansione isoterma dallo stato C allo stato A.
Si calcoli il volume VC e il rendimento del ciclo.
Si supponga ora che lo stesso ciclo venga realizzato sostituendo la prima trasformazione (isocora
reversibile) con una trasformazione sempre isocora ma ottenuta mettendo direttamente a contatto il
gas con una sorgente di calore a temperatura TB. Calcolare il rendimento del nuovo ciclo e la
variazione di entropia dell’universo per ciclo.
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prova scritta di Fisica Generale I per Ingegneria Edile.
23 febbraio 2001
Le due masse mostrate in figura inizialmente sono poste ciascuna a 1.80 m dal suolo e la carrucola,
priva di massa e di attrito, è a 4.80 m dal suolo. Qual è l’altezza massima raggiunta dal corpo più
leggero una volta che il sistema viene lasciato libero di muoversi?
4,80 m
2,2 kg
3,2 kg
1,80 m
Una asta uniforme di massa M e lunghezza L può ruotare liberamente attorno ad un cardine
attaccato al muro come in figura. L’asta viene tenuta orizzontalmente poi lasciata andare. Al
momento del rilascio determinare
1. l’accelerazione angolare dell’asta;
2. l’accelerazione lineare dell’estremità dell’asta;
M
Determinare infine
L
3. la velocità angolare dell’asta quando essa raggiunge la
posizione verticale.
Si supponga che una centrale elettrica produca energia con una potenza di 900 MW utilizzando
turbine a vapore. Il vapore entra nelle turbine ad una temperatura di 600 K e scarica il calore non
utilizzato nell’acqua di un fiume che giunge alla centrale ad una temperatura di 285 K. Supponendo
che la turbina operi come una macchina ideale di Carnot, calcolare quanto calore viene ceduto al
secondo all’acqua del fiume.
Se la portata del fiume è di 37 m3/s, calcolare l’aumento medio di temperatura dell’acqua del fiume
che scorre a valle della centrale. Calcolare poi l’aumento di entropia per kg di acqua che scorre a
valle della centrale in J/kg.K.
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prova scritta di Fisica Generale I per Ingegneria Edile.
14-6-2001
Un proiettile di massa m = 10 g colpisce, restandovi conficcato, un blocco di massa
M = 990 g che sta fermo su una superficie orizzontale liscia ed è fissato ad una molla come
mostrato in figura. L'urto è tale da comprimere la molla di ∆x = 10 cm. Una precedente
calibrazione della molla ha indicato che occorre una forza F = 12 N per comprimere la molla di 3
cm. Calcolare:
a) la massima energia potenziale acquistata dalla molla;
b) la velocità V del blocco dopo l'urto;
c) la velocità iniziale v del proiettile
d) la frazione di energia cinetica dissipata nell'urto.
Un cilindro pieno di raggio 10,4 cm e massa 11,8 kg parte da
fermo e rotola senza strisciare per 6,12 m lungo il tetto di una
casa inclinato di 27,0°.
a) qual è la velocità angolare del cilindro nel momento in cui
abbandona il tetto della casa.
b) Se il muro della casa è alto 5,16 m, a quale distanza d dal
muro il cilindro arriverà al suolo?
6,12 m
27.0°
d
5,16 m
Una persona prepara del te freddo mescolando 520 gr di tè caldo (sostanzialmente acqua) con una
eguale quantità di ghiaccio a 0°. Quali sono la temperatura finale e la massa di ghiaccio
eventualmente restante se la temperatura del tè caldo è di
a) 90°
b) 70°?
Calcolare nel secondo caso la variazione di entropia dell'universo.
Il calore latente di fusione del ghiaccio è 333x103 J/kg, il calore specifico dell'acqua è 4190 J/(kg
°C).
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
FISICA GENERALE I per Ing. Edile. Prova di esonero di termodinamica e recupero di meccanica
22 giugno 2001
Un’automobile esegue una frenata di emergenza su una strada orizzontale in modo tale che tutte e
quattro le ruote si bloccano e strisciano sulla strada. Il coefficiente di attrito dinamico tra i
pneumatici e la strada è 0,40. La distanza tra l’asse anteriore e l’asse posteriore è 4.20 m e il centro
di massa dell’automobile si trova 1.80 m dietro l’asse anteriore a 0.75 m sopra la strada.
L’automobile ed il guidatore pesano complessivamente 11.0 kN. Calcolare
1. La decelerazione dell’automobile.
2. La forza normale
3. e la forza di frenamento agenti su ciascuna ruota anteriore e posteriore.
Due masse scivolano senza attrito lungo i lati di una ciotola emisferica. Ciascuna di esse parte con
velocità nulla dal bordo, che è ad altezza h= 20 cm dal fondo. Si muovono in direzioni opposte e
collidono elasticamente al fondo della ciotola. Si supponga che le masse siano rispettivamente
m=50 g e M= 300 g.
a) Di quanto la massa più leggera supererà il bordo dopo la collisione?
b) Se invece le masse si uniscono nel contatto, quale altezza al di sopra del fondo della ciotola
raggiungeranno?
c) Calcolare infine il valore della reazione vincolare esercitata dalla ciotola su ciascuna delle due
masse immediatamente prima della collisione.
h
Una macchina termica ciclica funziona tra due sorgenti costituite rispettivamente da una massa m di
vapore d'acqua a 100°C e da una massa m1=1kg di ghiaccio a 0°C. la macchina preleva calore dalla
sorgente calda e viene fatta funzionare finché tutto il ghiaccio si è fuso o il vapore si è liquefatto.
a) la macchina termica sia irreversibile con rendimento η*=0,2: quale deve essere il valore della
massa del vapore m se si vuole fondere tutto il ghiaccio?
Si dica quale tipo di macchina si deve usare per fondere il ghiaccio facendo liquefare
b) la massa minima di vapore,
c) la massa di vapore più grande possibile (mmax).
Si calcoli la variazione di entropia del sistema costituito dalle sorgenti e dalla macchina termica nei
tre casi considerati. Si usino i seguenti valori approssimati: calore latente di fusione del ghiaccio λf
= 79,7 cal/g, calore di liquefazione del vapore di acqua λe = 539 cal/g.
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prova scritta di Fisica Generale I per Ingegneria Edile –16 luglio 2001
Una cassettiera di larghezza 58 cm, lunghezza 1,6 m e altezza 1 m viene tirata mediante una fune
orizzontale fissata ad una altezza di 58 cm al punto di mezzo della lunghezza (vedi figura). La forza
applicata fa muovere la cassettiera con velocità uniforme.
a) esprimere la forza sulle gambe che si trovano sul lato della corda e quella sulle gambe che si
trovano sul lato opposto in termini del coefficiente di attrito dinamico µk;
b) per quale valore di µk la cassettiera si ribalterà?
Un impianto a carbone da 1000 MW opera tra 800 e 300 K con un rendimento pari a due terzi del
massimo possibile. Con che ritmo si perde il calore prodotto? Supponiamo che si usi l’acqua per
eliminare il calore in eccesso e, in questo modo il liquido si riscalda di 8 °C. Quanta acqua deve
fluire al secondo attraverso l’impianto. Di quanto aumenta l’ entropia dell’universo in un secondo?
Una particella di massa m= 50g scivola all’interno di una ciotola la cui sezione ha archi circolari su
ciascun fianco ed una parte centrale orizzontale piatta tra i punti a e b di larghezza 20 cm. Le parti
curve sono prive di attriti mentre per la parte piatta il coefficiente di attrito dinamico è µk= 0,15. L
particella è rilasciata a riposo sul bordo della ciotola che è 10 cm al di sopra della parte piatta.
a) Qual è la velocità in a?
b) Quella in b?
c) Dove si fermerà alla fine la particella?
58 cm
1m
10 cm
58 cm
a
20 cm
b
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
FISICA GENERALE I per Ing. Edile. Prova scritta 11-9-2001
Un barattolo, di massa M=500 g, posto sulla cima di un palo alto 30 m,
viene colpito da un proiettile di massa m=10g sparato dal suolo da una
distanza di 20 m dal palo che raggiunge il barattolo con una velocità di
450 m/s (data l’elevata velocità, si può ritenere che la traiettoria del
proiettile sia rettilinea). Assumendo che il proiettile rimanga conficcato
nel barattolo, determinare:
a) l'altezza raggiunta dal proiettile rispetto alla cima del palo;
b) a che distanza dalla base del palo il proiettile colpisce il terreno.
Il sistema riprodotto in figura viene lasciato libero di muoversi
sotto l'azione della forza peso: inizialmente il corpo A, di massa
mA=2kg, è al suolo, il corpo B, di massa mB=4kg, è ad altezza
h=3m rispetto al suolo. L'energia dissipata per attrito tra il filo (di
massa trascurabile) e la carrucola è trascurabile. Si calcoli il
modulo v della velocità con cui il corpo B giunge al suolo:
a) se il momento di inerzia I della carrucola rispetto all'asse di
rotazione è nullo;
b) Se I = 0,02 kg m2 e il raggio della carrucola è r = 0,1m.
30m
20m
B
A
h
Una mole di gas ideale monoatomico viene portata in due passaggi da (p1,V1) a (p1,3V1) a
(0,25p1,3V1) con trasformazioni termodinamiche reversibili rappresentate da linee rette nel
diagramma pV.
1) Qual è la variazione complessiva dell'energia interna del gas?
2) Qual è il lavoro totale fatto dal gas?
3) Quanto calore viene ceduto (o assorbito) in totale?
4) Qual è la variazione di entropia?
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prova scritta di Fisica Generale I per Ingegneria Edile -
12 novembre 2001
Una palla viene lanciata contro un muro con la velocità iniziale di 25.0 m/s a un angolo di 40°
rispetto al suolo orizzontale come mostrato in figura. Il muro si trova a22 m dal punto di lancio.
Trascurando la resistenza dell’aria determinare:
1. quanto tempo la palla rimane in aria prima di colpire la parete.
2. quali sono le componenti orizzontale e verticale della velocità all’istante in cui la palla colpisce
la parete
3. se nel momento in cui tocca la parete ha già superato il vertice della traiettoria.
Supponendo infine che l’urto sulla parete sia elastico è che il suolo si trova 1.5 m al di sotto del
punto di lancio, determinare:
4. se nell’urto si eè conservata la quantità di moto
5. la distanza dalla parete del punto di impatto della palla con il suolo.
Un corpo rigido è formato da tre asticelle sottili identiche di lunghezza L, unite tra loro in modo da
assumere la forma della H come mostrato in figura.
L’insieme è libero di ruotare attorno ad un asse orizzontale fisso, che coincide con una delle gambe
della H. Partendo da una situazione di riposo in cui il piano della H è orizzontale, il sistema è
lasciato libero di cadere. Qual è la velocità angolare del corpo quando il piano della H arriva in
posizione verticale?
Un litro di gas con γ=1.3 inizialmente è in equilibrio termico a 273 K di temperatura e a 1.0
atmosfera di pressione. Esso viene compresso adiabaticamente a metà del suo volume originario.
Trovate la sua pressione e la sua temperatura finali. Successivamente il gas viene raffreddato
lasciando disperdere, a pressione costante, il calore nell’ambiente esterno e fino a riportarlo alla
temperatura dell’ambiente, 273 K, Qual è il suo volume finale.
Calcolare la variazione di entropia del sistema e dell’ambiente esterno nelle due trasformazioni.
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prova di recupero (urti, corpo rigido, termodinamica) di Fisica Generale per Ingegneria Edile
aa 2001/2002.
Prova scritta di Fisica Generale per Ingegneria Edile
19 febbraio 2002
Una biglia di 3.0 g, inizialmente a riposo, viene colpita da una seconda biglia di 2.0 g che si
muove lungo lasse x con una velocità di 3 m/s. Dopo l’urto la biglia da 2.0 g si muove con
una velocità di 1 m/s lungo una direzione che forma un angolo di 32° con l’asse x.
Determinare:
1. La velocità dell’altra biglia in intensità e direzione.
2. L’energia persa nella collisione.
θ
32°
Un cilindro, di raggio r=10 cm e massa m = 5kg, rotola senza strisciare lungo un piano
inclinato di 30°. Determinare il minimo valore del coefficiente di attrito statico tra il piano ed
il cilindro perché il moto sia di puro rotolamento.
Se il cilindro parte da fermo quando si trova ad un altezza h=1m, determinare, usando (se è
possibile) la conservazione dell’energia, la sua velocità alla fine del piano inclinato.
h
Alla pressione atmosferica l’etanolo bolle alla temperatura di 78°C, congela a –114 °C e
possiede un calore latente di evaporazione di 879 kJ/kg, un calore latente di fusione di 109
kJ/kg e un calore specifico di 2.43 kJ/(kg K).
Quanto calore deve cedere un campione di massa 0,510 kg, inizialmente in fase aeriforme alla
temperatura di 78°C, per diventare solido alla temperatura di –114 °C?
Qual è la variazione di entropia subita dal campione in questo processo?
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prova scritta di Fisica Generale I e Fisica Generale per Edile (quinquennale e triennale).
27 marzo 2002
1) Una palla d’acciaio di massa 0.514 kg è agganciata ad una corda lunga 68.7 cm fissata
all’altra estremità e viene abbandonata quando la corda è orizzontale. Giunta nel punto
più basso della traiettoria, la palla colpisce un blocco d’acciaio di 2.63 kg inizialmente
fermo su una superficie orizzontale priva di attrito. L’urto è elastico. Si calcoli la velocità
della palla e quella del blocco subito dopo l’urto. Cosa cambia se l’urto è totalmente
anelastico ?
2) Ognuna delle 3 pale del rotore di un elicottero è lunga 5.20 m e ha una massa di 240 kg. Il
rotore ruota a 350 giri/min. a) Qual è il momento di inerzia delle pale del rotore rispetto
all'asse di rotazione? (Ogni pala può essere trattata come una sbarra sottile). b) Qual è la
loro energia cinetica di rotazione?
3) 5 grammi di idrogeno vengono posti in un recipiente alla temperatura di 20 °C ed alla
pressione atmosferica e vengono compressi adiabaticamente, spingendo uno stantuffo,
fino a raggiungere una pressione di 20 atm. Trovare la temperatura finale, il volume finale
e il lavoro fatto sul gas per comprimerlo, assumendo che questo si comporti come un gas
ideale. Di quanto varia l’energia interna del gas ? Quanto calore deve essere sottratto al
gas per riportarlo alla temperatura iniziale mantenendolo nel suo volume finale? Quanto
calore deve essere sottratto o fornito al gas per riportarlo ora anche al volume iniziale
lungo una isoterma reversibile? Quanto calore dovrebbe invece essere sottratto o fornito
al gas se quest’ultima espansione fosse ottenuta aprendo semplicemente un forellino sullo
stantuffo ?
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Soluzioni della prova scritta di Fisica Generale I e Fisica Generale per Edile (quinquennale e
triennale).
27 marzo 2002
1) Una palla d’acciaio di massa 0.514 kg è agganciata ad una corda lunga 68.7 cm fissata
all’altra estremità e viene abbandonata quando la corda è orizzontale. Giunta nel punto
più basso della traiettoria, la palla colpisce un blocco d’acciaio di 2.63 kg inizialmente
fermo su una superficie orizzontale priva di attrito. L’urto è elastico. Si calcoli la velocità
della palla e quella del blocco subito dopo l’urto. Cosa cambia se l’urto è totalmente
anelastico ?
Indichiamo con mp la massa della palla, mb la massa del blocco, con l la lunghezza della
corda.
Trascureremo le dimensioni della palla rispetto alla lunghezza della corda.
Nel problema si possono riconoscere due fasi:
a)
La caduta della palla di acciaio dalla posizione iniziale in cui la corda è orizzontale a
quella finale in cui la corda è verticale (la palla si trova nella punto più basso della
traiettoria, che nel nostro caso è una traiettoria circolare di raggio pari alla lunghezza
della corda).
b)
La fase dell’urto vero e proprio quando la palla di acciaio colpisce il blocco.
Fase a).
Il moto della palla avviene sotto l’azione della forza peso (conservativa) e della tensione della
corda.
La variazione dell’energia meccanica totale, che in genrale è uguale al lavoro delle forze non
conservative, nel caso in esame diventa:
∆E = Wnc = WT
Poiché la corda è sempre diretta radialmente, la tensione T è sempre perpendicolare alla
traiettoria. Il lavoro compiuto dalla tensione durante la fase a) è nullo:
f
r r
r
r
WT = T • dr = 0 perchè T è sempre perpendicolare a dr
∫
i
Dunque l’energia meccanica totale si conserva.
∆E = 0
⇔
Ef − Ei = 0
Applicando questa relazione possiamo determinare la velocità con cui la palla colpisce il
blocco.
Infatti:
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Ef − Ei = 0
⇔
Ei = Ef
Ki + Ui = Kf + Uf
osservando che Ki = 0, assegnando energia potenziale 0 alla palla quando si trova nel punto
più basso della sua traiettoria, si ottiene:
Ki = 0
U i = m p gl
1
K f = m p v2
2
Uf = 0
⇒ m p gl =
1
m p v2
2
⇒ v = 2gl = 2 ⋅ 9.81 ⋅ 0.687 = 3.67m / s
Fase b) Urto
x
Introduciamo un sistema di riferimento con l'asse x orizzontale e diretto nella stessa direzione
della velocità della massa m prima di colpire il blocco.
Durante l’urto oltre alle forze impulsive interne tra la palla di acciaio ed il blocco, agiscono la
forza peso e la tensione nella corda: entrambe al momento dell’urto sono verticali quindi
perpendicolari all’asse x. La componente lungo l’asse x della risultante delle forze esterne è
nulla: si conserva la quantità di moto lungo l’asse x.
Considerando le componenti lungo l’asse x delle velocità della palla di acciaio e del blocco
prima (indice i) e dopo l’urto (indice f) si avrà:
m p v pxi = m p v pxf + m b v bxf
La traccia afferma che l’urto è elastico. Quindi nell’urto si conserverà anche l’energia
cinetica:
1
1
1
m p v 2pxi = m p v 2pxf + m b v 2bxf
2
2
2
Mettendo a sistema le due equazioni si ottiene:
m p v pxi = m p v pxf + m b v bxf
1
1
1
2
2
2 ⇒
 2 m p v pxi = 2 m p v pxf + 2 m b v bxf
(
(
)
)
m p v pxi − v pxf = m b v bxf

2
2
2
m p v pxi − v pxf = m b v bxf
dividendo membro a membro:
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
(
)
m p v pxi − v pxf = m b v bxf
⇒

 v pxi + v pxf = v bxf
(
)
mp − mb

m p v pxi − v pxf = m b v pxi + v pxf
v pxf = m + m v pxi
⇒
⇒ 
p
b

 v pxi + v pxf = v bxf
v bxf = v pxi + v pxf

(
(
)
)
(
)
(
)
v = 0.514 − 2.63 3.67 = − 2.11 3.67 = −2.47m / s
⇒  pxf 0.514 + 2.63
3.14
v bxf = (3.67 − 2.47) = 1.20 m / s
Se l’urto è totalmente anelastico, le due particelle restano emergono dall’urto attaccate l’una
all’altra: hanno quindi la stessa velocità.
In questo caso si conserva solo la quantità di moto (le considerazioni sulle forze esterne sono
identiche al caso precedente):
m p v pxi = m p v xf + m b v xf
da cui:
v xf =
mp
0.514
0.514
v pxi =
3.67 =
3.67 = 0.60 m / s
mp + mb
0.514 + 2.63
3.14
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2) Ognuna delle 3 pale del rotore di un elicottero è lunga 5.20 m e ha una massa di 240 kg. Il
rotore ruota a 350 giri/min. a) Qual è il momento di inerzia delle pale del rotore rispetto
all'asse di rotazione? (Ogni pala può essere trattata come una sbarra sottile). b) Qual è la
loro energia cinetica di rotazione?
Ciascuna pala del rotore dell’elicottero può essere approssimata come un’asta rigida di massa
M, lunghezza L, ruotante rispetto ad un asse perpendicolare passante per uno degli estremi.
Il momento d’inerzia di ciascuna pala è quindi dato da:
1
1
I = ML2 = 240 ⋅ 5.20 2 = 2163 kgm 2
3
3
L’insieme delle tre pale avrà un momento di inerzia rispetto all’asse di rotazione pari a 3 volte
quello della singola pala:
I tot = 3I = 3 ⋅ 2163 = 6490 kgm 2
L’energia cinetica di un corpo rigido attorno ad un asse fisso è data da:
K=
1
I tot ω 2
2
∆θ
. Dalla traccia sappiamo che
∆t
in un minuto (∆t) le pale effettuano 350 giri che corrispondono ad un angolo:
Occorre determinare ω. Dalla definizione sappiamo che ω =
∆θ = 2 π
rad
350 giri = 2199 rad
giro
ω=
∆θ 2199 rad 2199 rad
rad
=
=
= 36.65
∆t
1 min
60 s
s
K=
1
1
I tot ω 2 = 6490 ⋅ 36.652 = 4359212 J
2
2
Pertanto
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
3) 5 grammi di idrogeno vengono posti in un recipiente alla temperatura di 20 °C ed alla
pressione atmosferica e vengono compressi adiabaticamente, spingendo uno stantuffo,
fino a raggiungere una pressione di 20 atm. Trovare la temperatura finale, il volume finale
e il lavoro fatto sul gas per comprimerlo, assumendo che questo si comporti come un gas
ideale. Di quanto varia l’energia interna del gas ? Quanto calore deve essere sottratto al
gas per riportarlo alla temperatura iniziale mantenendolo nel suo volume finale? Quanto
calore deve essere sottratto o fornito al gas per riportarlo ora anche al volume iniziale
lungo una isoterma reversibile? Quanto calore dovrebbe invece essere sottratto o fornito
al gas se quest’ultima espansione fosse ottenuta aprendo semplicemente un forellino sullo
stantuffo ?
Le trasformazioni adiabatiche reversibile del gas perfetto sono rappresentate dall’equazione
di Poisson
C
calore molare a presseione costante
PV γ = cost dove γ = P =
CV
calore molare a volume costante
o da una equazione simile a questa che contiene la pressione e la temperatura o il volume e la
temperatura.
TV
γ −1
= cost
TP
γ −1
γ
= cost
L’idrogeno è un gas biatomico, H2, pertanto γ vale 1.4.
La seconda equazione può essere utilizzata per conoscere la temperatura finale:
1− γ
o o γ
TP
1− γ
1 1 γ
= TP
⇒ T1 = To
1− γ
γ
1− γ
1 γ
Po
P
P 
= To  O 
 P1 
1− γ
γ
1
= (273.15 + 20) 
 20 
1−1.4
1.4
= 689 K
Per calcolare il volume finale abbiamo invece bisogno di utilizzare una delle altre equazioni e
quindi è necessario conoscere il volume iniziale. Questo può essere determinato dalla
equazione di stato applicata allo stato iniziale:
Po Vo = nRTo
⇒ Vo =
nRTo
Po
In cui tutte le quantità del secondo membro sono note eccetto che per il numero di moli n.
Dalla massa possiamo risalire al numero di moli. Infatti
n=
m
massa del gas
=
M massa di una mole di gas
Dalla definizione di “mole”, sappiamo che la massa molare, o in altri termini la massa di una
mole di gas è uguale ad un numero di grammi pari al valore della massa molecolare in unità di
massa atomica.
L’idrogeno ha un nucleo composto da un singolo protone ed esiste sotto forma di tre isotopi,
l’idrogeno di gran lunga il più abbondante non ha neutroni, il deuterio ha un neutrone ed il
trizio ne ha tre. Considerata la relativa abbondanza dei tre isotopi la massa atomica
dell’idrogeno vale all’incirca 1 unità di massa atomica. La massa molecolare dell’idrogeno,
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
dato che l’idrogeno è biatomico varrà 2 unità di massa atomica. La massa di una mole di gas
idrogeno vale pertanto 2 g, quindi la massa molare vale 2g/mol.
Il numero di moli vale:
5g
n=
= 2.5 mol
2g / mol
Il volume iniziale vale:
Vo =
nRTo 2.5 ⋅ 8.31 ⋅ (273.15 + 20)
=
= 0.0564 m 3 = 56.4 litri
Po
1.013 ⋅ 10 5
Quello finale:
1
γ
Po Vo = P1V1
γ
1
P γ
1 1.4
⇒ V1 = Vo  o  = 56.4  = 6.63 litri

20 
 P1 
Nella compressione adiabatica non c’è scambio di calore. Dal primo principio della
termodinamica ricaviamo:
∆U = − W
Per un gas perfetto sappiamo che U è funzione della sola temperatura e la sua variazione,
5
tenedo conto che il calore molare a volume costante per un gas biatomico è R è data da :
2
5
∆U = nC V ∆T = nC V (T1 − To ) ⇒ W = − nC V (T1 − To ) = −2.5 8.314 ⋅ (689 − 293.15) = −20569 J
2
Nella trasformazione a volume costante il calore da scambiare con il gas per riportarlo alla
temperatura iniziale è dato da:
Q = nC V ∆T = nC V (To − T1 ) = 20569 J
E’ positivo, si tratta di calore assorbito dal gas.
Lungo la isoterma, la variazione di energia interna di un gas perfetto è nulla. Pertanto dal
primo principio:
0=Q−W ⇒ Q=W ⇒
Vo
Q=
Vo
∫ PdV =∫
V1
V1
dV
nRTo
=nRTo
V
= 2.5 ⋅ 8.31 ⋅ 293.15 ⋅ log
Vo
∫
V1
Vo
dV
V


= nRTo logV  = nRTo log o =
V
V1

V
1
56.4
= 13044 J
6.63
Quando le condizioni iniziali vengono raggiunte lasciando passare il gas attraverso un piccolo
foro sul pistone le considerazione circa la variazione dell’energia interna valgono allo stesso
modo anche in questo caso. Anche in questo caso dunque il calore Q=W.
Poichè la trasformazione irreversibile (non c’è equilibrio meccanico nella trasformazione: il
gas che è fuoriuscito dal forellino si trova alla pressione atmosferica quello che è ancora
all’interno del cilindro si trova ad una pressione che è sempre più grande di quella atmosferica
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
eccetto che alla fine della trasformazione) il lavoro non lo posso calcolare con l’espressione
precedente perché non conosco il valore della pressione all’interno del gas.
In questo caso devo utilizzare la pressione esterna che durante la trasformazione si mantiene
costante ad una atmosfera:
Q = W = Pe ∆V = Pe (Vo − V1 ) = 1.013 ⋅ 10 5 ⋅ (56.4 ⋅ 10 −3 − 6.63 ⋅ 10 −3 ) = 5041 J
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Prova scritta di Fisica Generale I per Ingegneria Edile. 3 maggio 2002-05-03
Una lampada è sospesa ad un filo nella cabina di un ascensore. Si supponga che la cabina stia
salendo e, per fermarsi al piano, rallenta con una accelerazione di modulo 2.4 m/s2. Se la
tensione nel filo che sostiene la lampada è di 89 N, qual è la massa della lampada?
Quale sarà la tensione nel filo quando l'ascensore riparte con una accelerazione di pari
modulo, 2.4 m/s2, per raggiungere un piano più in alto?
Un blocco di 2.5 kg, muovendosi come in figura, va ad urtare una molla orizzontale avente
una costante elastica k=320 N/m, e la comprime per una lunghezza massima di 7.5 cm. Il
coefficiente di attrito dinamico tra blocco e superficie di scorrimento è 0.25.
a)
quanto lavoro svolge la molla per arrestare il blocco
b)
quanta energia meccanica è stata dissipata dalla forza di attrito prima che il blocco sia
arrestato dalla molla.
c)
Qual'era la velocità del blocco quando ha urtato la molla.
v
Due blocchi di rame, il primo di massa pari a 1 kg, il secondo di massa 2 kg sono inizialmente
alla temperatura di 60 °C e 20 °C rispettivamente. I due blocchi vengono fatti interagire tra di
loro mantenendoli isolati dall'ambiente esterno.
Calcolare la temperatura finale raggiunta dai due blocchi e la variazione di entropia subita
dall'universo durante il processo. Il calore specifico del rame è 386 J/(kg K).
Prova scritta di Fisica Generale e Fisica Generale I per Ingegneria Edile
26 giugno 2002
Una pallottola da 30 g, con velocità iniziale di 500 m/s penetra per 12 cm in una parete in
muratura prima di fermarsi. Di quanto varia la sua energia meccanica?
Ammettendo che la forza esercitata dal muro sulla pallottola sia costante, calcolate il suo
valore.
Calcolare infine il tempo impiegato dalla pallottola per penetrare nel muro.
Una ruota di raggio 0.20 m è montata su un asse orizzontale privo di attrito. Una corda priva
di massa è avvolta attorno alla ruota e porta fissato all'altra estremità libera un oggetto di 2 kg
che scivola senza attrito su un piano orizzontale, come mostrato in figura. L'oggetto è tirato da
una forza di intensità paria 3 N. Supponendo che la corda non slitti sulla ruota, qual è il
modulo della sua accelerazione angolare, sapendo che il momento di inerzia della ruota è
0.050 kg m2?
F
Un vaso di massa 150 g di rame contiene 220 g di acqua, entrambi alla temperatura di 20 °C.
un cilindro di 300 g di rame molto caldo viene immerso nell'acqua facendola bollire e 5 g di
acqua vengono trasformati in vapore. La temperatura finale del sistema è di 100 °C. Quanto
calore è stato trasferito all'acqua? E al vaso? Qual era la temperatura iniziale del cilindro?
Di quanto è variata l'entropia dell'universo?
Si suppongano trascurabili le perdite di calore verso l'ambiente e il calore specifico del rame
386 J/kgK, quello dell'acqua 4190 J/kgK il calore latente di evaporazione dell'acqua pari a
2256 kJ/kg.
Prova di esonero di termodinamica per il corso di recupero.
Problema precedente e
Una macchina termica a combustione interna, il motore
dell'automobile a benzina, può essere approssimata con il
ciclo mostrato in figura. Si supponga che la miscela ariabenzina possa essere considerato un gas perfetto e che
venga utilizzato un rapporto di compressione 4 a 1 (V4 =
4V1). Si supponga inoltre che p2=3p1.
Determinate la pressione e la temperatura in ognuno dei
quattro vertici del diagramma p-V in funzione di p1 e T1, e
del rapporto γ dei calori specifici del gas.
Esprimere il rendimento del ciclo in funzione del rapporto
di compressione.
Confrontare con il rendimento di una macchina di Carnot
che lavora tra le temperature estreme.
3p1
2
Adiabatica
3
Scoppio
p1
1
Adiabatica
4
V1
V4
Prova scritta di Fisica Generale I per il corso di recupero
Una pallottola da 30 g, con velocità iniziale di 500 m/s penetra per 12 cm in una parete in
muratura prima di fermarsi. Di quanto varia la sua energia meccanica?
Ammettendo che la forza esercitata dal muro sulla pallottola sia costante, calcolate il suo
valore.
Calcolare infine il tempo impiegato dalla pallottola per penetrare nel muro.
Una forza orizzontale costante F, di 10 N è applicata ad una ruota di massa M 10 kg e raggio
0.30 m, nel modo indicato in figura a). La ruota rotola senza strisciare sulla superficie
orizzontale e l'accelerazione del suo centro di massa è 0.60 m/s2.
Quali sono l'intensità, la direzione ed il verso della forza di attrito agente sulla ruota?
Qual è il momento di inerzia della ruota rispetto ad un asse passante per il suo centro di
massa?
Determinare la variazione di energia cinetica subita dalla ruota dopo che il suo centro ha
percorso un tratto di 5 m e confrontarlo con il lavoro effettuato dalle forze agenti sulla ruota
(si supponga che la ruota parta da ferma).
Calcolare infine l'accelerazione del centro della ruota se la forza F è applicata sul bordo
superiore della stessa come mostrato in fig b). Determinare in questo caso l'intensità la
direzione e verso della forza di attrito.
b)
a)
F
F
Una macchina termica a combustione interna, il motore dell'automobile a benzina, può essere
approssimata con il ciclo mostrato in figura. Si supponga che la miscela aria-benzina possa
essere considerato un gas perfetto e che venga utilizzato un rapporto di compressione 4 a 1
(V4 = 4V1). Si supponga inoltre che p2=3p1.
Determinate la pressione e la temperatura in ognuno dei quattro vertici del diagramma p-V in
funzione di p1 e T1, e del rapporto γ dei calori specifici del gas.
Esprimere il rendimento del ciclo in funzione del rapporto di compressione.
3p1
2
Adiabatica
3
Scoppio
p1
1
Adiabatica
4
V1
V4
Prova scritta Fisica Generale per Ingegneria EDILE (triennale)
16 luglio 2002
Un blocco di massa M=100kg è trascinato a velocità costante di 5 m/s su di un pavimento
orizzontale da una forza di 122 N diretta con un angolo di 37° al di sopra del piano
orizzontale. Qual è la potenza con cui la forza applicata produce lavoro sul blocco?
Qual è il valore
a)
della forza di attrito tra il blocco ed il piano?
b)
e del coefficiente di attrito dinamico?
Quale valore deve avere la forza da applicare per far muovere il blocco a velocità costante se
esso viene spinto da una forza diretta a 37° verso il basso? Quale potenza deve essere fornita
in questo caso?
37°
37°
Una sfera cava avente raggio 0.15 m e momento di inerzia di 0.040 kg.m2 rispetto ad un suo
diametro, rotola senza strisciare su per un piano inclinato di 30°. Nella posizione iniziale
possiede un'energia cinetica totale di 20 J.
a) Qual è la velocità del centro di massa al momento iniziale.
b) Qual è l'energia cinetica,
c) la velocità del centro di massa e
d) la velocità angolare dopo aver percorso 1 m sul piano inclinato.
2
L'espressione del momento di inerzia della sfera cava rispetto ad un diametro è: I = MR2 .
3
Un gas monoatomico ideale, a una temperatura
iniziale To (in Kelvin) si espande da un volume
Vo ad un volume 2Vo per mezzo di uno dei
cinque processi indicati nel grafico delle
temperature in funzione del volume mostrato in
figura.
In quale processo l'espansione è
a) isoterma
b) isobara (pressione costante)
c) adiabatica
Date una spiegazione alle vostre risposte.
d) In quali processi l'entropia del gas
diminuisce?
Una griglia elettrica dissipa una potenza di 2.2 KW quando viene alimentata con una tensione
di 220 V. Se il collegamento tra la batteria e la griglia viene realizzato con un filo di rame (ρ=
1.69x10-8 Ωm) di 10 m di lunghezza e del diametro di 0.5 mm, quanta potenza viene dissipata
lungo il filo di collegamento?
Prova scritta di Fisica Generale I per Ingegneria Edile (quinquennale) e per il corso di
recupero. 16 luglio 2002
Un blocco di massa M=100kg è trascinato a velocità costante di 5 m/s su di un pavimento
orizzontale da una forza di 122 N diretta con un angolo di 37° al di sopra del piano
orizzontale. Qual è la potenza con cui la forza applicata produce lavoro sul blocco?
Qual è il valore
1. della forza di attrito tra il blocco ed il piano?
2. e del coefficiente di attrito dinamico?
Quale valore deve avere la forza da applicare per far muovere il blocco a velocità costante se
esso viene spinto da una forza diretta a 37° verso il basso? Quale potenza deve essere fornita
in questo caso?
37°
37°
Una sfera cava avente raggio 0.15 m e momento di inerzia di 0.040 kg.m2 rispetto ad un suo
diametro, rotola senza strisciare su per un piano inclinato di 30°. Nella posizione iniziale
possiede un'energia cinetica totale di 20 J.
a) Qual è la velocità del centro di massa al momento iniziale.
b) Qual è l'energia cinetica,
c) la velocità del centro di massa e
d) la velocità angolare dopo aver percorso 1 m sul piano inclinato.
e) Quanto tempo impiega la sfera a percorrere il tratto di 1 m?
2
L'espressione del momento di inerzia della sfera cava rispetto ad un diametro è: I = MR2 .
3
Un gas monoatomico ideale, a una temperatura iniziale To (in Kelvin) si espande da un
volume Vo ad un volume 2Vo per mezzo di uno dei cinque processi indicati nel grafico delle
temperature in funzione del volume mostrato in
figura.
In quale processo l'espansione è
a) isoterma
b) isobara (pressione costante)
c) adiabatica
Date una spiegazione alle vostra risposte.
d) In quali processi l'entropia del gas
diminuisce?
Prova scritta Fisica Generale per Ingegneria EDILE (triennale)
11 settembre 2002
Calcolare l'intensità, la direzione ed il verso del campo elettrico nel punto P della figura
dovuto alla presenza di tre cariche puntiformi disposte come in figura (a=10 cm, q=1.0x10-8
C)
+q
a
+2q
P
a
+q
k
m
M
Due blocchi (m=1.0 kg e M = 10 kg) e una molla (k=200 N/m) sono sistemati come in figura
su una superficie orizzontale priva di attrito. Il coefficiente di attrito statico tra i due blocchi è
0.40. Qual è la massima ampiezza del moto armonico semplice per evitare lo slittamento dei
due blocchi. Se l'ampiezza del moto è più piccola di quella massima quanto vale il periodo?
Scrivere infine l'espressione (in funzione del tempo) della componente verticale e di quella
orizzontale della reazione vincolare esercitata dal blocco di massa M su quello di massa m.
Una certa quantità di gas ideale biatomico occupa un volume di 4.3 litri alla pressione di 1.2
bar e alla temperatura ambiente T=300 K. Essa viene compressa adiabaticamente fino ad un
volume di 0.76 litri. Determinare la pressione e la temperatura finali. A questo punto il gas
scambia, a pressione costante, calore con l'ambiente esterno e si riporta alla temperatura
iniziale. Determinare il volume del gas quando la sua temperatura raggiunge la temperatura
ambiente.
Determinare infine le variazioni di entropia subite dal gas in ciascuna trasformazione e quella
dell'universo in tutto il processo.
Prova scritta Fisica Generale I per Ingegneria EDILE (quinquennale) e per il corso di
recupero.
11 settembre 2002
Due blocchi (m=1.0 kg e M = 10 kg) e una molla (k=200 N/m) sono sistemati come in figura
su una superficie orizzontale priva di attrito. Il coefficiente di attrito statico tra i due blocchi è
0.40. Qual è la massima ampiezza del moto armonico semplice per evitare lo slittamento dei
due blocchi. Se l'ampiezza del moto è più piccola di quella massima quanto vale il periodo?
Scrivere infine l'espressione (in funzione del tempo) della componente verticale e di quella
orizzontale della reazione vincolare esercitata dal blocco di massa M su quello di massa m.
C
x
k
m
M
A
θ
L
B
Una sottile sbarra AB di lunghezza L=3 m e massa M=20 kg è incernierata ad una parete
verticale e sostenuta in posizione orizzontale da una corda BC che forma un angolo θ=30° con
la sbarra. Un peso W, di massa pari a 30 kg, può essere spostato lungo la sbarra in qualunque
posizione: si indichi con x la distanza tra il centro di massa del peso W dalla parete verticale.
Trovare in funzione di x
a)
la tensione nella corda BC
b)
le componenti orizzontale e verticale della forza esercitata dal perno sulla sbarra.
Se la corda è in grado di sopportare una tensione massima di 500 N, qual è la massima
distanza x ammissibile per evitare la rottura della corda? Quali sono i valori della componente
orizzontale e verticale della forza esercitata dal perno sulla sbarra quando il peso W si trova in
questa posizione estrema?
Una certa quantità di gas ideale biatomico occupa un volume di 4.3 litri alla pressione di 1.2
bar e alla temperatura ambiente T=300 K. Essa viene compressa adiabaticamente fino ad un
volume di 0.76 litri. Determinare la pressione e la temperatura finali. A questo punto il gas
scambia, a pressione costante, calore con l'ambiente esterno e si riporta alla temperatura
iniziale. Determinare il volume del gas quando la sua temperatura raggiunge la temperatura
ambiente.
Determinare infine le variazioni di entropia subite dal gas in ciascuna trasformazione e quella
dell'universo in tutto il processo.
Prima prova di esonero di Fisica I edile, aa 1995/96.
Problema 1 (1.5 punti su 30)
Un parallelepipedo rettangolo ha per base un quadrato con il lato di 15.0 cm e
l'altezza di 40.0 cm. Si trovi l'angolo formato dalla diagonale del parallelepipedo
con la diagonale della base, entrambe tracciate a partire dallo stesso vertice.
Problema 2 (1.5 punti su 30)
Determinare il versore perpendicolare ai seguenti due vettori:
a = 3ux - uy + 5uz
b = 2ux + uy - uz
Problema 3 (15 punti su 30)
Il grafico al lato
rappresenta
la
20
traiettoria
di
un
proiettile
lanciato
dall'origine
del
10
sistema
di
riferimento con una
velocità di 20 m/s a
r
60 gradi rispetto
0
x (m) all'orizzontale.
1)
Scrivere
le
equazioni
-10
parametriche della
traiettoria (1 punto).
2)
Determinare
-20
l'equazione
della
0
10
20
30
40
traiettoria (1 punto).
3)
Determinare
l'altezza
massima
raggiunta dal
proiettile e l'istante di tempo in cui essa viene raggiunta (1 punto).
4) Determinare i due istanti di tempo in cui il proiettile si trova ad una altezza
pari a metà dell'altezza massima (1 punto).
Relativamente a questi tre istanti di tempo, determinare:
5) la velocità (vettoriale) posseduta dal punto materiale. Si disegnino i vettori
velocità determinati nel grafico della traiettoria. (1 punto)
6) la componente tangenziale e normale dell'accelerazione (2 punti).
7) il raggio di curvatura della traiettoria (2 punti).
8) le coordinate dei rispettivi centri di curvatura. Rappresentare, se possibile, nel
grafico della traiettoria la posizione dei centri di curvatura precedentemente
determinati (2 punti).
y (m)
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Considerando un sistema di riferimento polare con origine coincidente con quella
del sistema cartesiano xy rappresentato nel grafico determinare, nei tre istanti di
tempo precedentemente definiti,
9) la componente radiale e quella trasversa della velocità e dell'accelerazione (2
punti).
10) Determinare infine la velocità e l'accelerazione angolare in funzione del tempo
(2 punti).
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Problema 4 (7.5 punti su 30, ogni domanda corrisponde ad 1.5 punti)
Su una pista circolare, di raggio r=150 m, un ciclista parte da fermo, si muove con
accelerazione tangenziale at costante fino all'istante t1 in cui l'accelerazione e la
velocità formano un angolo di 45°; da quell'istante in poi mantiene una velocità v
costante in modulo e impiega un tempo t=2 min per fare un giro completo della
pista. Calcolare la lunghezza del tratto di pista percorsa fino all'istante t1.
Calcolare inoltre i valori di at, t1, e v.
Inoltre esprimere in funzione del tempo:
a) il modulo della velocità del ciclista
b) il modulo dell'accelerazione
d) l'angolo compreso tra l'accelerazione e la velocità
Se si introduce un sistema di riferimento polare con origine al centro della pista,
si determini in funzione del tempo
e) la velocità e
f) l'accelerazione angolare con cui il vettore posizione del ciclista cambia la sua
orientazione.
Problema 5 (4.5 punti su 30)
x (cm)
6
4
2
0
-2
-4
-6
0
2
4
t (s)
6
8
Il grafico al lato
rappresenta il grafico
orario di un moto
(rettilineo) armonico.
Stimare dal grafico
l'ampiezza del moto
armonico (1 punto),
la
pulsazione
angolare (1 punto), e
la fase iniziale (1.5
punti).
10 Segnare nel grafico
gli istanti di tempo
in cui la velocità è
nulla (1 punto).
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prova di esonero di Fisica Generale I per il corso di laurea in Ingegneria Edile
6 Marzo 1998
Due corpi sono collegate da un filo come in figura; le masse valgono m1=14 kg ed m2=2
kg, l'angolo di inclinazione del piano inclinato è di 30°. Il corpo m2 è anche legato al
suolo da una molla di costante elastica k=100 N/m e lunghezza a riposo nulla. Nella
situazione della figura la lunghezza della molla è x o=0.2 m ed il sistema è in quiete
perché m1 è bloccato da un appoggio. Calcolare la tensione del filo e la componente
parallela al piano inclinato della reazione vincolare esercitata dall'appoggio.
Se ad un certo istante viene levato l'appoggio, calcolare l'accelerazione iniziale del
sistema e la massima estensione della molla. Si supponga trascurabile ogni attrito.
m1
m2
appoggio
Un pattinatore di massa m = 52 kg sta ruotando su una circonferenza di raggio r=20 m
ad una velocità di 3 m/s. Egli si mantiene su questa traiettoria reggendo una fune
attaccata mediante un cuscinetto privo di attrito ad un palo posto al centro del cerchio.
Calcolare la tensione T esercitata dalla fune.
Il ghiaccio su cui egli pattina può essere considerato privo di attrito, ma per una parte
del moto attraversa una pozza sabbiosa di lunghezza 48 cm dove il coefficiente di
attrito è µ = 0.10. Quanto vale la velocità subito dopo aver attraversato la pozza
sabbiosa? Quanto deve valere la tensione nella fune affinché continui a percorrere la
stessa traiettoria dopo aver attraversato la pozza sabbiosa?
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prima prova di esonero di Fisica Generale I per Ingegneria Edile, aa 1998/99.
17 maggio 1999
Un treno di massa 5x10 5 Kg sta viaggiando orizzontalmente a 60 km/h e sta
effettuando una curva il cui raggio di curvatura è 1 km. Allo stesso tempo sta
decelerando ed il tasso di decrescita (accelerazione) del modulo della velocità è di 0.1
m/s 2. La lunghezza del treno è trascurabile confrontata con le dimensioni della curva
ed il treno può essere trattato come un punto. Che forza totale esercitano i binari sul
treno? (dare la risposta all'inizio della curva, quando cioè la velocità può essere
considerata ancora uguale a 60 km/h).
Una molla di costante elastica k = 200 N/m viene usata come lanciatore di un piccolo
blocco di massa 10 g. Il blocco è posto contro la molla compressa in una disposizione
orizzontale su di una superficie orizzontale liscia. La molla, con il blocco, è compressa
di 5 cm e poi rilasciata.
a) Trovare la velocità del blocco proprio quando lascia la molla.
b) Il blocco incontra una superficie ruvida mentre lascia la molla. Quanto lavoro fa
l'attrito nel portare il blocco a riposo?
c) Il blocco scivola per una distanza di 3.5 m prima di fermarsi. Quant'è il coefficiente
di attrito dinamico tra il blocco e la superficie?
Un mucchio di neve sulla cresta di un tetto, con pendenza di 30° rispetto
all'orizzontale, comincia a scivolare. La distanza della cresta dal bordo del tetto è di 12
m ed il coefficiente di attrito dinamico per la neve sul tetto è 0.1.
a) Quant'è la velocità del mucchio di neve quando raggiunge il bordo del tetto?
b) Assumendo che ci siano 7 m dal bordo del tetto al terreno, a che distanza dalla base
dell'edificio atterrerà la neve?
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
2.nda prova di esonero di Fisica Generale I per il corso di laurea in Ingegneria Edile.
15 giugno 1999
Un proiettile di massa m=20 g si sta muovendo orizzontalmente con una velocità di
300 m/s quando colpisce un blocco di legno di massa M= 1kg a riposo su un piano
orizzontale scabro con coefficiente di attrito µ=0.3. Il proiettile penetra nel blocco di
legno per 1 cm e si blocca. Calcolare:
1) la velocità del blocco di legno più proiettile subito dopo la collisione;
2) la distanza percorsa dal blocco di legno sul piano orizzontale;
3) l'energia cinetica perduta nella collisione;
4) la forza media agente sul proiettile durante la collisione;
5) la durata della collisione.
Un'asta rigida, di massa M=2 kg e lunghezza L=0.5 m, è libera di ruotare attorno ad
un asse orizzontale passante per uno dei suoi estremi. L'asta viene abbandonata con
velocità nulla quando si trova in posizione orizzontale. Quando giunge nella posizione
verticale colpisce nel punto di mezzo un cilindro di massa m=0.5 kg di raggio R=10 cm
poggiato su un piano orizzontale scabro, con coefficiente di attrito µ=0.3, distante 0.55
m dall'asse attorno a cui ruota la sbarra. Si osserva che subito dopo l'urto il cilindro si
muove con una velocità di 3 m/s. L'asta dopo l'urto oscilla attorno alla posizione
verticale. Stabilire se l'urto è elastico e calcolare:
1) l'ampiezza delle oscillazioni della sbarra.
2) Il periodo delle oscillazioni assumendo che esse siano piccole.
3) La velocità del cilindro quando raggiunge la condizione di puro rotolamento.
4) Il tratto percorso dal cilindro sul piano orizzontale prima di raggiungere la
condizione di puro rotolamento.
5) L'impulso esercitato dall'asse di rotazione sulla sbarra durante l'interazione con il
cilindro.
O
O
L
d = L+R/2
R
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prova di esonero di Fisica Generale I per Ingegneria Edile.
Bari 3 maggio 2000.
Un disco di massa m=0.2 kg si muove lungo una circonferenza di raggio 0.8 cm su di un tavolo ed è
legata mediante un filo privo di massa ad un piolo posto nell’origine. Il coefficiente di attrito
dinamico tra la massa ed il tavolo è µd=0.02. A t=0 s il disco è nel punto mostrato in figura e si
muove con una velocità di 10 m/s nella direzione positiva dell’asse y.
Quanto vale la tensione nel filo a t=0 s e dopo un giro completo?
Quanto lavoro è stato fatto della tensione nel filo durante il giro completo?
Quanto lavoro è stato fatto della forza di attrito durante il giro completo?
Quanto vale la velocità della massa dopo un giro completo?
y
v
x
h=70cm
Una molla con costante elastica k=200 N/m è usata per lanciare un piccolo blocco di massa m=10 g.
Il blocco è posto contro la molla compressa in disposizione orizzontale su di un tavolo liscio alto 70
cm.
La molla con il blocco, è compressa di 5 cm e poi rilasciata.
Determinare la velocità del blocco quando lascia la molla e la distanza dal bordo del tavolo del
punto in cui tocca il pavimento.
Una fune ideale è connessa in O, è disposta orizzontalmente come mostrato in figura ed ha una
lunghezza L=120 cm. La distanza d tra il punto di sospensione O e un piolo fisso, posto sulla
verticale passante per il punto di sospensione al di sotto di esso, è di 75 cm. Dopo che la pallina
fissata all’estremità della fune è lasciata andare dalla posizione mostrata in figura percorre in
successione due archi di cerchio. Quanto vale la velocità della pallina a) quando raggiunge il punto
più basso della traiettoria e b) quando raggiunge il punto più alto dopo che il filo ha urtato il piolo?
La pallina riesce a fare un giro completo attorno al piolo?
L
O
d
P
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prova di esonero di Termodinamica. Fisica generale I per Ingegneria Edile Anno accademico
1999/2000. Bari 13-6-2000-06-12
Calcolare il calore specifico di un metallo dai seguenti dati. Un contenitore fatto di questo metallo
ha una massa di 3.6 kg e contiene 14 kg di acqua. Un pezzo di 1.8 kg di metallo inizialmente alla
temperatura di 180 °C viene immerso nell’acqua. Il contenitore e l’acqua inizialmente hanno una
temperatura di 16.0 °C e la temperatura finale di tutto il sistema è di 18.0 °C. (Il calore specifico
dell’acqua è 1.0 cal/(g K) oppure 4190 J/(kg K))
Verificare infine se nel processo l’entropia dell’universo è aumentata.
Un gas ideale subisce una compressione adiabatica reversibile da P=1.0 bar, V=1.0 106 litri, T=0.0
°C a P= 1.0 105 bar, V=1.0 103 litri.
a) Si tratta di un gas monoatomico, biatomico o poliatomico?
b) Qual è la temperatura finale?
c) Quante moli del gas sono presenti?
d) Qual è l’energia cinetica traslazionale per ogni mole prima e dopo la compressione?
Una mole di gas perfetto che occupa un volume V1=12.3 litri alla temperatura T1=300 K subisce
una espansione libera che lo porta a raddoppiare il suo volume, V2=24.6 litri. Il gas viene quindi
riportato con una trasformazione reversibile nel suo stato iniziale.
a) Qual è la variazione di entropia dell’universo sull’intero ciclo?
b) Descrivere quale trasformazione reversibile voi usereste per riportare il gas al suo stato iniziale
dopo l’espansione libera.
c) Calcolare quanta energia durante il ciclo si è trasformata in energia non più convertibile in
lavoro.
d) Verificare che essa è pari a T1∆S.
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prova di esonero di Fisica I per Ingegneria Edile 26/6/2000
Una leggera fune è avvolta attorno ad un cilindro pieno di massa 23.4 kg e raggio 7.60 cm. La fune
passa su una puleggia di massa trascurabile e priva di attrito e sostiene un corpo di massa 4.48 kg. Il
piano su cui si muove il cilindro è inclinato di 28.3 gradi rispetto all’orizzontale. Supponendo che il
cilindro rotoli senza strisciare, si determini:
a) l’accelerazione lineare del cilindro
b) la tensione della fune
Una palla di acciaio di massa 0.514 kg è agganciata a una corda lunga 68,7 cm fissata all’altra
estremità e viene abbandonata quando la corda è orizzontale. Giunta nel punto più basso della
traiettoria, la palla colpisce un blocco di acciaio di 2.63 kg inizialmente fermo su una superficie
orizzontale priva di attrito. L’urto è elastico. Si calcoli la velocità della palla e la velocità del blocco
subito dopo l’urto. Si supponga ora che, durante l’urto, metà dell’energia cinetica della palla si
trasformi in energia interna e in energia sonora. Si determinino le velocità finali.
Si discuta infine il caso in cui la massa di 0.514 kg anziché essere concentrata in una palla è
distribuita su una sbarra lunga 68,7 cm vincolata a muoversi attorno ad un asse orizzontale fisso
passante per uno dei suoi estremi e perpendicolare al piano della figura.
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prova di esonero di Fisica Generale I per Ingegneria Edile. 4 maggio 2001
Un blocco di legno da 0.520 kg è saldamente attaccato ad una leggerissima molla orizzontale
(k=180 N/m), ed è appoggiato su un tavolo orizzontale come mostrato in figura.
Il blocco viene spostato in maniera da comprimere la molla di 5.0 cm e quindi rilasciato con
velocità nulla. Si osserva che il blocco supera la posizione di equilibrio di 2.3 cm prima di fermarsi
per poi tornare indietro. Determinare il coefficiente di attrito tra il tavolo ed il blocco di legno.
k
m
T
O
Un podista, mentre corre in un parco alla velocità di 5 m/s, afferra l’estremità di una corda lunga 10
metri che pende dal ramo di un albero. Il podista lascia la corda quando la sua velocità è nulla.
Sapendo che la massa del podista è di 75 Kg, determinare:
a) qual è l’angolo formato dalla corda con la verticale quando il podista la abbandona;
b) il valore della tensione nella corda un attimo prima che il podista la abbandoni;
c) il valore massimo della tensione nella corda e la posizione della corda in cui la tensione è
massima.
Due scatole, m1 = 1.0 kg con un coefficiente di attrito dinamico di 0.1 ed m2 = 2 kg con coefficiente
di attrito dinamico 0.2, sono poste su un piano inclinato di 30° rispetto all’orizzontale. Le due
scatole sono connesse con una corda ideale.
Si supponga che le due scatole partano da ferme e con la corda tesa.
Determinare l’accelerazione delle due scatole nei due casi:
a) il corpo 1 è più in basso del 2;
b) il corpo 2 è più in basso dell’uno.
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Seconda prova di esonero di Fisica Generale I per Ingegneria Edile.
1 giugno 2001
Un semaforo è appeso ad una struttura mostrata in figura. Il palo di alluminio AB misura 7.5 m ed
ha una massa di 8.0 kg. La massa del semaforo è di 12.0 kg. Determinare la tensione del cavo
orizzontale (senza massa) CD e le componenti orizzontale e verticale della forza esercitata dal perno
A sul palo di alluminio.
B
D
C
3.80 m
A
Un palo lungo 3.30 m è in equilibrio verticale sulla sua estremità inferiore. Viene data una leggera
spinta. Quale sarà la velocità dell’estremità superiore del palo appena prima che colpisca il terreno?
Supponete che l’estremità inferiore non scivoli sul terreno.
Vi hanno convocato come consulente tecnico davanti alla corte in un caso di incidente
automobilistico. L’incidente ha coinvolto un’automobile di massa 2000 kg (automobile A) che si è
scontrata contro un’automobile ferma di massa 1000 kg (automobile B). il guidatore
dell’automobile A ha frenato 15 m prima di scontrarsi con l’automobile B. Dopo l’urto l’automobile
A è scivolata di 15 m, mentre l’automobile B è scivolata di 30 m. Il coefficiente di attrito dinamico
tra le ruote frenate e la strada è di 0.60. Dimostrare alla corte che il guidatore dell’automobile A
superava il limite di velocità (80 km/h) prima di iniziare a frenare.
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Esonero di cinematica e di dinamica del punto materiale. Corso Fisica Generale per Ingegneria
Edile - anno accademico 2001/2002
22 novembre 2001
Un ciclista pedala su una pista circolare di raggio 25 m alla velocità costante di 32.4 km/h. La
massa complessiva del ciclista e della bicicletta è 85.0 kg. Trascurando la resistenza dell’aria
calcolare
a) l’intensità della forza di attrito esercitata dalla pista sulla bicicletta (specificare se attrito statico
o dinamico);
b) Le componenti della forza complessiva esercitata dalla pista sulla bicicletta (componente
tangente alla traiettoria, normale alla traiettoria e verticale).
c) Come cambiano le risposte ai punti precedenti quando il ciclista inizia a frenare facendo
diminuire la sua velocità con un’accelerazione di 0.50 m/s2?
Due casse, di massa 75 kg e 110 kg rispettivamente, sono in contatto tra loro e ferme su di una
superficie orizzontale. Una forza di 730 N viene esercitata sulla cassa di 75 kg. Se il coefficiente di
attrito dinamico è 0.15, calcolate l’accelerazione delle casse e la forza che ciascuna cassa esercita
sull’altra.
L’acrobata di un circo, di massa 75 kg, salta verso l’alto dalla cima di una piattaforma con una
velocità di 5 m/s (si supponga l’angolo formato dalla tangente alla traiettoria con il piano
orizzontale nel punto di stacco sia di 60°).
a) Quale sarà l’altezza massima, al di sopra della piattaforma, raggiunta?
b) Quale sarà la sua velocità nell’atterrare su un materasso elastico tre metri (h) più in basso?
c) Se il materasso si comporta come una molla di costante elastica 5.2x104 N/m, di quanto si
abbasserà?
d) Come cambiano le risposte ai punti precedenti per un angolo di stacco di 45°?
L’intensità della resistenza aerodinamica è dalla relazione
D=1/2 CρAv2
In cui C è il coefficiente di resistenza aerodinamica, ρ è la densità, A è l’aera della sezione
trasversale massima del corpo e v è la sua velocità. Stabilire le dimensioni di C e la sua unità di
misura nel Sistema Internazionale.
110 kg
F
75 kg
h
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I° problema
Un ciclista pedala su una pista circolare di raggio 25 m alla velocità costante di 32.4 km/h. La
massa complessiva del ciclista e della bicicletta è 85.0 kg. Trascurando la resistenza dell’aria
calcolare
a) l’intensità della forza di attrito esercitata dalla pista sulla bicicletta (specificare se attrito statico
o dinamico);
b) Le componenti della forza complessiva esercitata dalla pista sulla bicicletta (componente
tangente alla traiettoria, normale alla traiettoria e verticale).
c) Come cambiano le risposte ai punti precedenti quando il ciclista inizia a frenare facendo
diminuire la sua velocità con un’accelerazione di 0.50 m/s2?
Vista dall’alto
Vista laterale
an
an
Centro della traiettoria
Domanda a)
Il ciclista percorre una traiettoria circolare con modulo della velocità costante. Questo significa che
il moto è accelerato con accelerazione centripeta data da:
v2
a n4 43 = 1442
a c 443 =
1442
R
accelerazione normale
accelerazione centripeta
(perpendicolare) alla traiettoria
diretta veros il centro di curvatura
Ci deve essere una forza che fornisce questa accelerazione.
Determiniamo le forze agenti sul corpo (ciclista + bicicletta).
Bisogna i corpi presenti intorno al corpo e che possono interagire con esso.
− Interazioni a distanza: forza peso (verticale dovuta alla terra)
− Interazioni per contatto: l’unico corpo a contatto con il ciclista+bicicletta è la pista. La pista
eserciterà quindi una “reazione vincolare”. Questa forza è composta dalla componente normale
(che vuol dire perpendicolare al vincolo, in questo caso il piano della pista) N e da una
componente tangente al vincolo (parallela al piano della pista) che è la forza di attrito.
Nel nostro caso la forza di attrito sarà una forza di attrito statico, perché i punti di contatto della
ruota della bicicletta sono fermi rispetto alla pista.
Il diagramma del corpo libero sarà pertanto:
Vista dall’alto
Vista laterale
r
r N
Fas
r
Fas
r
P
Centro della traiettoria
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Si osservi che solo la forza di attrito, tra quelle agenti, è diretta orizzontalmente, parallelamente al
piano della pista, quindi è l’unica in grado di fornire l’accelerazione centripeta.
Scriviamo la seconda legge di Newton (vettoriale):
r r r
r
P + N + Fas = ma
r
Proiettiamo la seconda legge di Newton lungo la direzione tangente, u t , la direzione normale (nel
r
piano della traiettoria, ad essa perpendicolare e diretta verso il centro di curvatura), u n , e la
direzione verticale, y.
r
ut
r
ut
y
Fast =
ma
=30
t 4
1
42
L'accelerazione tangeziale è nulla
perchè il modulo della velocità è costante
2
v
Fasn = ma n = m
R
c'è moto nella direzione
N − P = 0 ( non
)
verticale
Vista dall’alto
Vista laterale
r
un
r
ut
y
r
un
Centro della traiettoria
La forza di attrito ha solo la componente normale (radiale, centripeta, o aggettivi equivalenti) e
vale:
v2
Fasn = ma n = m
R
Poiché la traccia fornisce il valore della velocità in km/h, prima di trovare la forza di attrito occorre
trasformarla in m/s.
km
1000m
10m
m
v = 32.4
= 32.4
= 32.4
=9
h
3600s
36s
s
Pertanto:
Fasn
2
81 m 2
v2
s = 275.4N
= ma n = m = 85kg
R
25m
Domanda b)
La forza applicata dalla pista sul ciclista è la reazione vincolare, le cui componenti sono la normale
N e la forza di attrito. Pertanto:
La componente tangenziale
Fast=0
Non c’è accelerazione tangenziale: il moto è
circolare uniforme.
La componente normale
Fasn=275.4N
La componente verticale
N=833.9N
Dalla proiezione sull’asse y si ottiene:
m
N = mg = 85kg ∗ 9.81 2 = 833.9N
s
Domanda c)
La forza applicata dalla pista sul ciclista è la reazione vincolare, le cui componenti sono la normale
N e la forza di attrito. Pertanto:
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
La componente tangenziale
Fast=mat
La componente normale
Fasn=275.4N
La componente verticale
N=833.9N
m
= −42.5N
s2
in questo caso la componente tangente
dell’accelerazione non è nulla.
All’inizio della decelerazione la velocità è circa
uguale a quella iniziale. Quando il ciclista inizia
a decelerare, la componente normale o centripeta
della forza di attrito è uguale a quella già
calcolata.
Dalla proiezione sull’asse y si ottiene:
m
N = mg = 85kg ∗ 9.81 2 = 833.9N
s
Fast = ma t = 85kg ∗ ( −0.50)
In conclusione non appena il ciclista inizia a decelerare la forza di attrito esercitata dalla pista avrà
una componente tangente alla traiettoria di 42.5 N diretta in verso opposto al moto, ed una
componente normale (o, equivalentemente, centripeta, radiale, ecc) di 275.4 N.
Man mano che passa il tempo il modulo della velocità diminuisce e quindi diminuisce anche la
componente centripeta della forza di attrito.
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II° problema
Due casse, di massa 75 kg e 110 kg rispettivamente, sono in contatto tra loro e ferme su di una
superficie orizzontale. Una forza di 730 N viene esercitata sulla cassa di 75 kg. Se il coefficiente di
attrito dinamico è 0.15, calcolate l’accelerazione delle casse e la forza che ciascuna cassa esercita
sull’altra.
110 kg
F
75 kg
Applichiamo la legge di Newton ai due corpi massa 75 kg e 110 kg.
Dobbiamo innanzitutto individuare le forze agenti sui due corpi. La ricerca delle forze agenti su un
particolare corpo può essere effettuata individuando i corpi presenti nell’ambiente circostante il
corpo in esame e tenendo conto che i corpi presenti nell’ambiente circostante possono interagire a
distanza (forza peso) o per contatto.
I corpi presenti nell’ambiente circostante il corpo da 75 kg sono:
l’agente esterno: la traccia ci dice che una agente esterno applica la forza F al corpo di massa 75 kg.
la terra: la presenza della terra è deducibile dall’aggettivo orizzontale presente nella traccia. Questo
aggettivo ha significato solo sulla superficie della terra (o di un’altro pianeta). Ci
dobbiamo attendere che sul corpo di massa 75 kg agisca la forza peso.
La superficie orizzontale: il corpo di massa 75 kg è a contatto con la superficie orizzontale. Ci
aspettiamo quindi che la superficie orizzontale eserciti una forza, del tipo “reazione
vincolare”, sul corpo di massa 75 kg. Come tutte le reazioni vincolari essa avrà
sicuramente la componente normale (perpendicolare al vincolo e cioè alla superficie
orizzontale) e potrà avere anche una componente tangente al vincolo e quindi parallela alla
superficie orizzontale che è la forza di attrito. Questa forza sarà di attrito statico se i due
corpi rimangono fermi dopo l’applicazione della forza F, dinamico se i corpi si muovono.
Il fatto che la traccia fornisca tra i dati solo il coefficiente di attrito dinamico ci porta a
pensare che, dopo l’applicazione della forza F, i due corpi si muovano sulla superficie
orizzontale. Salvo verificare a posteriori che sia effettivamente così, possiamo risolvere il
problema in questa ipotesi.
Il corpo di massa 110 kg: il corpo di massa 75 kg è anche a contatto con il corpo di 110 kg. E’ lecito
attendersi che ci sia una forza agente sul corpo da 75 kg dovuta all’altro corpo. Questa
forza sarà una reazione vincolare, che sicuramente avrà una componente perpendicolare
alla superficie del corpo da 110 kg a contatto con il corpo da 75 kg, ma potrebbe anche
esserci una componente tangente a questa superficie, del tipo forza di attrito (possiamo
comunque provare a risolvere il problema supponendo assente questa forza).
Concludendo, il diagramma delle forze agenti sul corpo da 75 kg è mostrato in figura:
In maniera analoga per il corpo di massa110 kg, i corpi presenti nel sua ambiente circostante sono:
la terra: ci dobbiamo attendere che anche sul corpo di massa 110 kg agisca la forza peso.
La superficie orizzontale: il corpo di massa 110 kg è a contatto con la superficie orizzontale. Ci
aspettiamo quindi che la superficie orizzontale eserciti una forza, del tipo “reazione
vincolare”, sul corpo di massa 110 kg con una componente normale euna di attrito
(dinamico)
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Il corpo di massa 75 kg: il corpo di massa 110 kg è anche a contatto con il corpo di 75 kg. E’ lecito
attendersi che ci sia una forza agente sul corpo da 110 kg dovuta all’altro corpo del tipo
reazione vincolare con la sola componente normale. Questa forza forma con quella agente
sul corpo da 75 kg e dovuta al corpo da 100 kg una coppia di azione e reazione: le due
forze sono uguali per quanto riguarda i moduli e le direzioni ma opposte in verso.
r
N1
r
F
r
F1ad
75 kg
r
110 kgr
F21
N2
r
F2ad
r
F12
r
P1
r
P2
Scriviamo la seconda legge di Netwon per i due corpi:
75kg :
110kg:
r r
r r
r
r
F + N 1 + P1 + F1ad + F12 = m 1a1
r
r
r r
r
F21 + N2 + P2 + F2ad = m2 a 2
Introducendo una sistema di riferimento e passando alle componenti:
y
75kg :
110kg:
F − F1ad − F12 = m1a 1x
F21 − F2ad = m 2 a 2x
N1 - m 1g = 0
N 2 - m 2 g =0
110 kg
F
75 kg
x
Osservando che durante il moto i due corpi rimangono a contatto, quindi a1x=a2x, e che le forze di
interazione hanno lo stesso modulo, si ottiene:
m
= 735N
s2
m
N 2 = m2 g =110kg ∗ 9.81 2 = 1079N
s
N1 = m1g =75kg ∗ 9.81
F − F1ad − F12 = m1a x 
⇒
F − F1ad − F2ad = m 1a x + m 2a x ⇒
 sommando
sostituendo
F12 − F2ad = m 2a x  membro
a
le espreesioni
membro
⇒
sostituendo
le espreesioni
delle Normali
F − µN1 − µN 2 = ( m1 + m 2 )a x
delle forze di
attrito
F − µm1g − µm2 g = (m1 + m 2 )a x ⇒ F − ( m1 + m 2 )µg = ( m1 + m 2 )ax
si
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
L'accelerazione comune ax si ottiene:
F − µ( m1 + m 2 )g 730N − 0.15(75kg + 110kg )9.81 ms2 730N − 272N
ax =
=
=
= 2.48 m s2
m1 + m2
75kg +110kg
185kg
Sostituendo in una delle due relazioni di partenza possiamo ottenere la forza di interazione:
F12 = m2a x + F2ad = m 2a x + µm 2g = m2( a x + µg) = 110kg (2.48 ms 2 + 0.15 ∗9.81 m s2 ) = 434.7N
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
III° problema
L’acrobata di un circo, di massa 75 kg, salta verso l’alto dalla cima di una piattaforma con una
velocità di 5 m/s (si supponga l’angolo formato dalla tangente alla traiettoria con il piano
orizzontale nel punto di stacco sia di 60°).
− Quale sarà l’altezza massima, al di sopra della piattaforma, raggiunta?
− Quale sarà la sua velocità nell’atterrare su un materasso elastico tre metri (h) più in basso?
− Se il materasso si comporta come una molla di costante elastica 5.2x104 N/m, di quanto si
abbasserà?
− Come cambiano le risposte ai punti precedenti per un angolo di stacco di 45°?
h
Durante il moto dell’acrobata, le forze agenti su di esso, la forza peso e la forza elastica quando è a
contatto col il materasso elastico, sono conservative. Conviene pertanto risolvere il problema con la
conservazione dell’energia meccanica.
Domanda 1
Consideriamo come instante iniziale il momento del salto e finale quello in cui viene raggiunta la
massima altezza.
Ei = Ef
v 2i (1− cos 2 60°) v2i sen 2 60°
1
424
3
h
=
=
=
max
conservazione dell'energia meccanica totale
2g
2g
da cui si ricava
Ki + U i = Kf + Uf
25 m2 s2 ∗ 0.862
1
1
2
2
2
=
= 0.94m
mv i + 0 =
mv cos 60° + mgh max
2 ∗ 9.81 m s2
2
2 44i 24 4
1
3
L'energia cinetica al top della
traiettoria è data dal moto lungo
l'asse x, che è un moto a velocità
costante
Domanda 2
Consideriamo come instante iniziale il momento del salto e finale quello in cui l’acrobata arriva sul
materasso.
Ei = Ef
1
424
3
2
conservazione dell'energia meccanica totale
v f = v2i + 2gh = 25 m s 2 + 2 ∗ 9.81m s 2 ∗ 3m =
da cui si ricava
K i + Ui = Kf + Uf
= 25 m2 s2 + 2 ∗9.81 m s2 ∗ 3m = 9.15 m s
1
1
2
2
mv i + 0 = mv f − mgh
2
2
Domanda 3
Consideriamo come instante iniziale il momento del salto e finale quello in cui l’acrobata si ferma
sul materasso elastico.
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
E i = Ef
1
424
3
conservazione dell'energia meccanica totale
K i + Ui = Kf + Uf
da cui si ricava
1
1
mv2i + 0 = 0 − mg (h + x) + kx 2
2
2
kx 2 − 2mgx − 2mgh − mv 2i
⇓
mg ± m2 g2 + mghk + mkv 2i
x1,2 =
=
k
=
735.7N ± 735.72 N 2 + 2 ∗ 735.7N ∗3m ∗5.2 ∗10 4 N/ m + 75kg ∗ 5.2 ∗104 N / m 2 5 m2 / s2
=
5.2 ∗10 4 N / m
735.7N ± 18099N +0.36m
=
=
−0.33m
5.2 ∗104 N /m
Nel nostro caso x deve avere lo stesso segno di h, quindi deve essere positivo, va dunque scelta la
soluzione x=0.36 m
Domanda 4
Cambia soltanto la massima altezza.
Ei = Ef
1
424
3
h max
conservazione dell'energia meccanica totale
Ki
1
mv2i + 0 =
2
+ U i = Kf + Uf
1
mv 2i cos2 45°
2
14424 4
3
da cui si ricava
+ mgh max
v 2i (1− cos 2 45°) v2i sen 2 45°
=
=
=
2g
2g
25 m2 s2 ∗ 0.72
=
= 0.62m
2 ∗ 9.81 m s2
L'energia cinetica al top della
traiettoria è data dal moto lungo
l'asse x, che è un moto a velocità
costante
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
IV° problema
L’intensità della resistenza aerodinamica è dalla relazione
D=1/2 CρAv2
In cui C è il coefficiente di resistenza aerodinamica, ρ è la densità, A è l’aera della sezione
trasversale massima del corpo e v è la sua velocità. Stabilire le dimensioni di C e la sua unità di
misura nel Sistema Internazionale.
1
2D
CρAv 2 ⇒ C =
2
ρAv2
⇓
[
2][D ]
−1
−1
−2
=
[ C] =
2 = [2 ][D ][ρ] [ A] [v]
[ρ][ A][ v]
D=
= [MLT −2 ][ ML−3]
= [MLT −2 M−1
[ L ] [LT ]
LL L T ]=1
−1
2 −1
3
− 2 −2
−1 −2
=
2
C è un numero puro.
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
II Prova esonero (urti, corpo rigido, termodinamica) di Fisica Generale per Ingegneria Edile
aa 2001/2002.
Prova scritta di Fisica Generale per Ingegneria Edile
5 febbraio 2002
Per misurare la velocità di un proiettile, si realizza il seguente esperimento: al di sopra di un
palo di altezza pari a 1.5 m viene poggiato un blocco di legno di massa M= 0.50 kg. Il
proiettile di massa m=0.010 kg colpisce il blocco e ne rimane conficcato. Si supponga che la
velocità del proiettile, al momento di colpire il blocco, sia diretta lungo una retta
perfettamente orizzontale. Il blocco cade ad una distanza di 1.6 m dalla base del palo.
Qual era la velocità del proiettile prima del’urto?
Due masse, connesse da una corda ideale e priva di massa, passante su di una carrucola
assimilabile ad un disco, partono da ferme dalla posizione illustrata in figura. Qual è la loro
velocità relativa quando passano l’una di fronte all’altra (stessa quota)?
Quanto tempo impiegano i due corpi per raggiungere questa configurazione?
Alle domande precedenti si può rispondere utilizzando la conservazione dell’energia?
In un cilindro, munito di un pistone a tenuta, sono contenuti 20 grammi di idrogeno (molecola
H2, massa molecolare M=2 u) alla pressione atmosferica (1.01x105 Pa). Il gas viene riscaldato
a pressione costante dalla temperatura di 30 °C alla temperatura di 40°C, tenendolo a contatto
con un serbatoio di calore alla temperatura di 50°C.
Supponendo che durante la trasformazione il gas si comporti come un gas perfetto,
determinare:
1. Il numero di moli.
2. Il lavoro fatto dal gas.
3. La variazione di energia interna.
4. La variazione di entropia del gas e dell’universo.
Pe=1atm
Θ
50°C
G.P. Maggi - Fisica Generale per Ingegneria Edile - I Facoltà di Ingegneria - Politecnico di Bari
Prova di esonero di Fisica Generale I - Corso di recupero anno accademico 2001/02
17 maggio 2002
Un corpo di massa m = 2 kg viene lanciato con una velocità di 3 m/s su di un piano inclinato
di 20° scabro con coefficienti di attrito statico e dinamico rispettivamente di 0.4 e 0.3.
Determinare:
1)
la distanza percorsa dal corpo lungo il piano inclinato prima di fermarsi.
2)
il tempo impiegato.
Stabilire se il corpo resta nella posizione in cui si è fermato o se ridiscende lungo il piano
inclinato. In questo ultimo caso determinare la velocità con cui arriva alla base del piano
inclinato.
v
θ=20°
Un blocchetto di massa m può scorrere, senza attrito, lungo una guida a spirale mostrata in
figura. Il raggio della parte terminale della guida, di forma circolare, è di 30 cm. Se il corpo
viene lasciato cadere da un'altezza h di 1 m, quanto vale la risultante delle forze agenti sul
blocchetto quando si trova nel punto Q? Qual è il valore minimo di h da cui bisogna lasciar
cadere il blocchetto perché esso rimanga attaccato alla guida nel punto più altro del ricciolo?
h
Q
Un corpo di massa m= 0.5 kg è attaccato ad una molla di costante elastica k=50N/m e poggia
su di un piano orizzontale liscio, come mostrato in figura.
All'istante iniziale il corpo viene messo in moto dalla posizione in cui la molla non è
deformata con una velocità di 4 m/s verso sinistra.
Qual è la legge oraria del moto?
Determinare l'ampiezza, la fase iniziale ed il periodo del moto.
Prova di esonero di Fisica Generale I - Corso di recupero anno accademico 2001/02
31 maggio 2002
Un corpo di massa m = 0.5 kg è attaccato ad una corda ideale di lunghezza pari a 2 m che
pende dal soffitto. Assestando un colpetto alla massa m, essa viene fatta partire dalla
posizione di equilibrio con una velocità di 0.4 m/s verso destra.
Assumendo che le oscillazioni siano piccole, determinare la loro ampiezza e il loro periodo.
Stabilire inoltre la legge oraria e determinare la fase iniziale.
Determinare infine la tensione nella corda quando la essa, durante il moto del pendolo, passa
per la posizione verticale.
Un blocco di 28.0 kg è collegato ad un secchio vuoto di 1 kg mediante una corda che scorre
su una carrucola ideale priva di attrito. Il coefficiente di attrito statico tra il tavolo e il blocco è
0.450 mentre quello di attrito dinamico è 0.320.
Il secchio viene gradualmente riempito di sabbia
fino a che il sistema inizia a muoversi.
a) calcolare la massa della sabbia versata nel
secchio
b) l'accelerazione del sistema
c) la tensione nella corda un istante prima che
inizi il moto e durante il moto.
Un carico di 220 kg viene sollevato verticalmente da un singolo cavo per 21.0 m con una
accelerazione a=0.150 g. Determinate
a) la tensione nel cavo
b) il lavoro totale compiuto sul carico
c) il lavoro compiuto dal cavo sul carico (il lavoro della tensione)
d) il lavoro compiuto dalla gravità sul carico (il lavoro della forza peso)
e) la velocità finale del carico, assumendo che sia partito da fermo.
Prova di esonero di termodinamica -corso di recupero di fisica generale I
21- 6 - 2002.
Un termos isolato contiene 130 cm3 di caffè caldo alla temperatura di 80° C. Per raffreddare il
caffè aggiungete un cubetto di ghiaccio di massa 12 g al suo punto di fusione. Di quanti gradi
si sarà raffreddato il caffè dopo che il ghiaccio si è fuso?
Calcolate anche la variazione di entropia subita dall'universo durante il processo.
Trattate il caffè come se fosse acqua pura e trascurate gli scambi termici con l'ambiente
circostante (calore specifico dell'acqua 4190 J/kgK, calore latente di fusione 333 kJ/kg).
A una mole di gas ideale monoatomico viene fatto percorrere il ciclo mostrato in figura. Il
processo bc è una espansione adiabatica; pb=10.1 bar, Vb=1.00x103m3. Alla fine
dell'espansione adiabatica il volume è 8 volte il volume iniziale (Vc=8Vb).
Si calcoli per ogni ciclo
a)
il calore fornito al gas
b)
il calore restituito dal gas
c)
il lavoro totale compiuto dal gas
d)
il rendimento del ciclo
e)
la variazione di entropia subita dal gas e dall'ambiente esterno in ciascuna
trasformazione
b
c
a
Vb
8 Vb
In riferimento al problema precedente, calcolare la stesse quantità supponendo che la
trasformazione isobara ca e quella isocora ab vengano realizzate mettendo in contatto il gas
con un serbatoio di calore con temperatura pari a quella finale della trasformazione (Ta per la
trasformazione ca e Tb per la trasformazione ab).