Materiale I incontro di preparazione ai Giochi di Archimede

Corso di preparazione ai Giochi di Archimede
Aritmetica, algebra e teoria dei numeri
1)
Il numero reale a è tale che l’equazione
𝑥 2 + 2𝑎𝑥 + 1 = 0
Ammette due soluzioni reali coincidenti. Quanti sono i possibili valori di a?
a) Nessuno
b) Uno
c) Due
d) Tre
e) Quattro
Arch 2006
2)
Ogni ora il patrimonio di Zio Paperone aumenta del 50%. Se alle 12 di un certo giorno Paperone
possiede 64 fantastiliardi, quale sarà il suo patrimonio alle 16 dello stesso giorno?
a) 192 fantastiliardi
b) 256 fantastiliardi
c) 324 fantastiliardi
d) 486 fantastiliardi
e) 1024 fantastiliardi
Arch 2006
3)
Qual è la cifra delle unità di 1717 ?
a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
e) 9
Arch 2006
4)
Il numero 100020001 è:
a) Un numero primo
b) Un quadrato perfetto
c) Un multiplo di 3
d) Un cubo perfetto
e) Un multiplo di 11
Arch 2006
1
5)
Quante sono le coppie di numeri primi (p,q) tali che p^q+1 sia ancora un numero primo?
a) 0
b) 1
c) 2
d) Infinite
e) Nessuna delle precedenti
Arch 2012
6)
Determinare la somma delle cifre di (102015 + 1)3 ?
a) 4
b) 8
c) 2014
d) 2015
e) Nessuna delle precedenti
Variante Arch 2012
7)
Sapendo che l’equazione 2𝑥 4 + 5𝑥 3 − 21𝑥 2 + 5𝑥 + 2 = 0 ha 4 soluzioni reali a, b, c, d quanto fa
1
1
1
1
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 − (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 ) ?
a) -7
b)
c)
d)
21
5
10
21
5
2
e) 0
Arch 2014
8)
Carla ha adesso l’età che aveva sua madre quando lei è nata. Il padre ha 5 anni più della madre. La
somma delle tre età è 140 anni. Quanti anni aveva il padre quando Carla è nata?
a) 28
b) 29
c) 30
d) 31
e) 32
f) 33
9)
Siano 𝑎 = 2011 e 𝑏 = 2012. Qual è la cifra delle unità del minimo comune multiplo di a e b?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
f) 5
2
10) Quante sono le cifre del numero 101010 ?
a) 20
b) 21
c) 100
d) 101
e) 10.000.000.000
f) 10.000.000.001
11) Trovare la somma dei quadrati di tutti i numeri reali che soddisfano l’equazione
𝑥 256 − 25632 = 0 ?
a) 1
b) 2
c) 4
d) 8
e) 9
f) 32
12) Siano 𝑎 = 5566772 , 𝑏 = 5566773 , 𝑐 = 5566774 . Allora:
5566771
5566772
5566773
a)
b)
c)
d)
e)
f)
𝑎<𝑏<𝑐
𝑎<𝑐<𝑏
𝑏<𝑎<𝑐
𝑏<𝑐<𝑎
𝑐<𝑎<𝑏
𝑐<𝑏<𝑎
13) Uno studente, usando le dita della sua mano sinistra, inizia a contare indicando il pollice 1, l’indice
2, il medio 3, l’anulare 4, il mignolo 5. Poi cambiando direzione indica di nuovo l’anulare 6, il medio
7, l’indice 8 e il pollice 9, poi ancora l’indice 10, il medio 11, l’anulare 12 e così via. Su quale dito si
fermerà quando avrà raggiunto il numero 2008?
a) Pollice
b) Indice
c) Medio
d) Anulare
e) Mignolo
f) Non è possibile stabilirlo
3
14) Chiamato 𝑛! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ (𝑛 − 1) ∙ 𝑛, la somma 1! + 2! + 3! + ⋯ + 99! Risulta essere un
numero grandissimo; qual è la sua cifra delle unità?
a) 1
b) 3
c) 5
d) 6
e) 8
f) 9
15) Qual è la cifra delle unità di 20132013 ?
a) 0
b) 1
c) 3
d) 5
e) 7
f) 9
16) Con quanti zeri
3636 ∙ 175175 ?
a) 2
b) 36
c) 72
d) 175
e) 350
f) 422
termina
il
numero
che
si
ottiene
calcolando
l’espressione
17) Diremo che un numero intero è bello se dividendolo per 20 otteniamo come resto 1. Quanti sono i
multipli di 7, compresi tra 1 e 4200, che sono anche numeri belli?
a) 7
b) 10
c) 26
d) 28
e) 30
f) 42
4
18)
Da quante cifre è composto il più piccolo numero intero positivo n, dispari e diverso da 1, tale che
3
√𝑛 e √𝑛 sono interi?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2
3
4
5
6
Più di 6
19)
Claudia e Luca giocano nel modo seguente: Luca pensa un numero compreso tra 1 e 1000 e Claudia
prova a indovinarlo. Ogni volta che Claudia dice un numero, Luca le dice se è giusto o sbagliato e,
in tal caso, le dice se il numero da indovinare è più grande o più piccolo di quello che ha detto.
Qual è il minimo numero di tentativi che Claudia deve avere a disposizione per poter dire il numero
esatto?
(Attenzione: va contato anche l’ultimo tentativo, cioè quello in cui Claudia indovina)
a) 25
b) 10
c) 15
d) 16
e) 31
f) 499
20)
La strada che collega le città di Ladropoli e Fannullonia è percorsa, nei due sensi, da una linea di
autobus con le seguenti caratteristiche:
 La durata del tragitto è esattamente di 15 minuti, sia all’andata che al ritorno
 A partire da mezzogiorno, esattamente ogni 15 minuti, da Ladropoli parte un autobus in
direzione di Fannullonia e da Fannullonia parte un autobus in direzione di Ladropoli,
entrambi viaggiano a velocità costante.
A mezzogiorno esatto, un pedone parte da Fannullonia in direzione di Ladropoli, camminando a
velocità costante. Dopo esattamente 12 minuti e 30 secondi, incrocia un autobus che arriva da
Ladropoli. Dopo quanto tempo verrà sorpassato da un autobus che va verso Ladropoli?
a) 2 minuti e 30 secondi
b) 3 minuti e 45 secondi
c) 4 minuti e 15 secondi
d) 5 minuti e 35 secondi
e) 6 minuti e 15 secondi
f) 6 minuti e 55 secondi
5
21)
Una famiglia di koala (padre, madre e figlioletto) vive su un albero di eucalipto. Il piccolo riesce,
da solo, a mangiare le foglie dell’intero albero in sole 10 ore. Sia il padre che la madre mangiano
ad una velocità doppia rispetto a quella del figlio. Quanti minuti servirebbero alla famiglia per
mangiare tutte le foglie dell’albero?
a) 90
b) 120
c) 150
d) 180
e) 200
f) 300
22)
Per quanti valori dell’intero positivo n l’espressione
5𝑛 + 93
𝑛+7
è un intero positivo?
a) Nessuno
b) 1
c) 2
d) 4
e) Infiniti
Arch 2014
23)
In quale riga e in quale colonna della tabella infinita rappresentata si trova il numero 2012?
a) Riga 100 colonna 12
1
b) Riga 20 colonna 12
2 3
c) Riga 63 colonna 59
4 5 6
d) Riga 60 colonna 52
7 8 9 10
e) Riga 62 colonna 20
11 12 13 14 15
Arch 2014
24)
Sapendo che
{
𝑥 + 𝑦 = 30
𝑥 + 𝑦 3 = 8100
3
quanto vale 𝑥 2 + 𝑦 2 ?
a) 480
b) 225
c) 420
d) 880
e) I dati sono insufficienti
Arch 2014
6
25)
Quanti sono gli interi compresi tra 1 e 1300 tali che 𝑥 2 + 1 sia divisibile per 13?
a) 100
b) 200
c) 650
d) 2
e) Nessuno
Arch 2014
26)
Se 𝑥 +
1
𝑥
= 5 , quanto vale 𝑥 3 +
1
𝑥3
?
a)
b)
c)
d)
105
110
115
120
e) 125
Arch 2014
27)
Il numero intero positivo 𝑛 è tale che il polinomio
1 − 2𝑥 + 3𝑥 2 − 4𝑥 3 + 5𝑥 4 − ⋯ − 2014𝑥 2013 + 𝑛𝑥 2014
Abbia almeno una soluzione intera. Quanto vale n?
a) 1
b) 2
c) 2014
d) 2015
e) Nessuna delle precedenti
Arch 2014
28)
Il polinomio 𝑝(𝑥) ha grado maggiore o uguale a 2 e i suoi coefficienti sono tutti numeri interi.
Quale dei seguenti numeri divide sicuramente 𝑝(169) − 𝑝(1)?
a) 25
b) 32
c) 36
d) 49
e) 56
Arch 2014
7