01/07/2014
Laboratorio di Modellistica SanitariaSanitaria-Ambientale
Foundamental equations for
mass and energy balance
Giorgio Mannina
[email protected]
Objectives
In-depth analysis of the basic concepts of the dynamic modelling;
Introdurre le equazioni dinamiche di bilancio di massa e di energia
che costituiscono un modello matematico;
Introdurre le equazioni ausiliarie di bilancio;
Introdurre i modelli cinetici di crescita batterica;
Chiarire il concetto di chiusura di un modello matematico;
Esempi di bilanci di massa in condizioni dinamiche in un impianto di
depurazione.
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Introduction
Antoine laurent lavoisier: the law of conservation of mass
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Introduction
The law of conservation of mass, or principle of mass conservation, states
that for any system closed to all transfers of matter and energy (both of
which have mass), the mass of the system must remain constant over time,
as system mass cannot change quantity if it is not added or removed.
Hence, the quantity of mass is "conserved" over time.
The law implies that mass can neither be created nor destroyed, although it
may be rearranged in space, or the entities associated with it may be
changed in form, as for example when light or physical work is transformed
into particles that contribute the same mass to the system as the light or
work had contributed.
The law implies (requires) that during any chemical reaction, nuclear
reaction, or radioactive decay in an isolated system, the total mass of the
reactants or starting materials must be equal to the mass of the products.
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Equations of dinamic balance
The foundamental equations of a mathematical
models are generally conservation mass and/or
energy balances
1) Dynamic equations:
– Bilancio totale di massa
– Bilancio di massa per
ciascuna componente
– Bilancio energetico
2) Equazioni ausiliarie:
– Equilibrio termodinamico
– Cinetiche chimiche
– Idrodinamica
– etc.
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Bilancio totale di massa
Si consideri un reattore
schematizzato in figura.
completamente
L ’ equazione di bilancio di massa
totale nel reattore esprime la
variazione di tutta la massa interna
al sistema nel tempo come segue:
miscelato,
come
ρinQin
V
ρoutQout
d ( ρV )
= ρinQin − ρ out Qout
dt
V = volume totale del sistema [L3];
Q = portate volumetriche [L3 T-1];
ρ = peso specifico del fluido di processo
[ ML-3].
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Bilancio totale di massa
Nell ’ ipotesi che la densità rimanga
costante il bilancio totale di massa si
riduce in un bilancio di volume
ρinQin
V
ρoutQout
dV
= Qin − Qout
dt
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“Chiusura
Chiusura”” del modello
Con la sola equazione di bilancio di massa il modello non è completo in
quanto il volume non figura nel termine dinamico (a destra dell’ =).
Per “chiudere” il modello è necessario introdurre un’equazione
ausiliaria al bilancio di massa totale per mettere in relazione la portata
di uscita con il volume.
Se il deflusso avviene in pressione, si introduce la legge di deflusso
della valvola di scarico con costante Kv
dV
= Qin − Qout = Qin − K v h
dt
Si tratta di trovare un’ulteriore relazione fra battente idraulico (h) e
volume (V) data dalla geometria del recipiente.
Ad es. se il recipiente è cilindrico
con sezione A.
A
A
dh
= Qin − K v h
dt
h
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Bilancio di massa per componente
Si consideri un reattore completamente miscelato, come
schematizzato in figura. Si consideri che all’interno del reattore ha
luogo una reazione (bio)chimica.
Qin , Cin
Il bilancio di massa del un componente coinvolto
nella reazione, avente concentrazione C all’interno
del reattore sarà formalizzato come segue:
V ,C
Qin, C
Variazione nel
Massa del
Massa del
Massa del
tempo della massa = componente - componente in + componente prodotta
del componente
in ingresso al
uscita dal
o consumata nella
nel reattore
reattore
reattore
reazione
L’assunzione di completa miscelazione implica che la concentrazione
C del componente è omogenea nel reattore.
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Bilancio di massa per componente
d (VC )
= CinQin − CQout ± Vφ
dt
Qin , Cin
V ,C
Qout, C
V = volume totale del sistema [L3];
Q = portate volumetriche [L3 T-1];
Cin = concentrazione del componente nella portata influente [M L-3];
C = concentrazione del componente all’interno del reattore [M L-3];
φ velocità (per unità di volume) di produzione (+φ) o di consumo (-φ) del
componente.
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01/07/2014
Bilancio di massa per componente
Svolgendo il prodotto delle derivate al primo membro del bilancio di
massa del singolo componente:
Qin , Cin
V
dC
dV
+C
= CinQin − CQout ± Vφ
dt
dt
Dividendo ambo i membri per V si ottiene
l’equazione differenziale che descrive la dinamica
della concentrazione:
V ,C
Qout, C
Q
dC Qin
C dV
C in − out C −
±φ
=
dt
V
V
V dt
Termine che esprime la dinamica
di trasporto
Termine che esprime la dinamica
di trasformazione interna
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Bilancio di massa dinamico
Dall’equazione di bilancio totale di massa, nell’ipotesi che il peso
specifico del fluido rimanga costante:
Qin , Cin
dV
= Qin − Qout
dt
V ,C
Sostituendo la precedente all’equazione differenziale
che descrive la dinamica della concentrazione
Qin, C
dC Qin
(C in − C ) ± φ
=
dt
V
La precedente è valida per le seguenti modalità di gestione dei
reattori a completa miscelazione: batch, fedbatch e continui (con e
senza variazione di volume)
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Bilancio di massa dinamico
dC Qin
(C in − C ) ± φ
=
dt
V
Reattori batch
Nei reattori gestiti in modalità batch la portata influente ed effluente
è nulla:
Qin = Qout = 0
Conseguentemente la variazione di concentrazione nel tempo del
singolo componente sarà esclusivamente funzione della velocità di
produzione e di consumo del componente nel corso del processo
(bio)chimico:
dC
= ±φ
dt
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Bilancio di massa dinamico
dC Qin
(C in − C ) ± φ
=
dt
V
Reattori fedbatch
Nei reattori gestiti in modalità fedbatch l ’ alimentazione avviene
immettendo inizialmente una certa quantità di reagenti e di
catalizzatori, e inserendo progressivamente solo reagenti, di
conseguenza esiste una portata influente ma non una effluente:
Qout = 0
;
dV
= Qin
dt
Conseguentemente sostituendo le precedenti nell’equazione:
Q
dC Qin
C dV
C in − out C −
±φ
=
dt
V
V
V dt
Si ottiene che anche per i reattori gestiti in modalità fedbatch vale
ancora:
dC Qin
(C in − C ) ± φ
=
dt
V
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Bilancio di massa dinamico
dC Qin
(C in − C ) ± φ
=
dt
V
Reattori continui
Nei reattori continui l ’ alimentazione avviene immettendo
“continuamente” reagenti. Le portate di ingresso e di uscita sono
uguali, il volume è dunque costante:
Qout = Qin
;
dV
=0
dt
Conseguentemente sostituendo le precedenti nell’equazione:
Q
dC Qin
C dV
C in − out C −
±φ
=
dt
V
V
V dt
Si ottiene che anche per i reattori continui vale ancora:
dC Qin
(C in − C ) ± φ
=
dt
V
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Bilancio di massa dinamico
Reattori continui con variazione di volume
In alcune configurazioni di processo il reattore è fondamentalmente un
reattore continuo (con portata influente ed effluente) ma con transitori
di variazione di volume dovuti per esempio alla variazione di Qin
rispetto a Qout. Conseguentemente nel corso di questi transitori:
dV
≠ 0 = Qin − Qout
dt
Dove Qout sarà funzione della forma della soglia sfiorante di uscita
h
h
h
h0
Triangolare
Rettangolare
Sutro
b=2.5
b=1.5
b=1
Qout = c + Nah
b
Dove N è il numero di soglie, a, b e c sono funzione del tipo di soglia o della
larghezza (c ≠0 solo per la forma Sutro)
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01/07/2014
Bilancio di massa dinamico
Reattori continui con variazione di volume
Il volume V in questo caso sarà pari a:
V = Az = A( z 0 + h )
dove A è la sezione del reattore, z è la profondità totale, z0 (costante) è
la distanza tra il fondo del reattore e il bordo inferiore dello sfioro.
Quindi se si considera una vasca a sezione costante A il bilancio di
massa
dV
= Qin − Qout
dt
noto che
Qout = c + Nah b
diventa:
dh
Na b c Qin
h − +
=−
dt
A
A
A
Dalla precedente relazione si evince che la forma della soglia
influenza notevolmente la propagazione delle variazioni idrauliche e
dei disturbi nell’impianto
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Bilancio di massa dinamico
Reattori continui con variazione di volume
Nel modello
dh
Na b c Qin
=−
h − +
dt
A
A
A
il valore dei parametri
a, b e c può essere stimato a partire da esperimenti relativamente
semplici in cui le velocità della pompa di alimentazione vengono
variate progressivamente
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01/07/2014
Un semplice modello biologico
Si assuma che in un dato reattore avvenga la seguente reazione di
crescita microbica:
S
X
dove S identifica il substrato e X la biomassa
In genere si considera che nella portata influente al reattore sia
presente solo substrato e che la biomassa sia trascurabile.
Sia Sin la concentrazione di substrato influente. In accordo a quando
indicato da Monod nel 1942, si considera che la velocità di reazione ρ
della crescita microbica è pari al prodotto della concentrazione di
biomassa X e di un coefficiente di proporzionalità (µ) chiamato velocità
specifica (ad esempio per unità di biomassa) di crescita (ρ=µX).
Considerato che la portata in ingresso ed in uscita siano uguali e pari a
Q, Il bilancio di massa di substrato nel reattore sarà:
Q
dS Q
1
= S in − S − µX
dt V
V
Y
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Un semplice modello biologico
Q
dS Q
1
= S in − S − µX
dt V
V
Y
biomassa prodotta
Y = tasso di produzione nel processo di crescita =
substrato consumato
Nei processi (bio)chimici il termine che esprime la dinamica di
trasformazione interna del bilancio di massa di un singolo
componente va diviso per Y laddove il componente è un substrato
della reazione e moltiplicato per Y nel caso in cui il componente è un
prodotto della reazione
Il bilancio di biomassa nel reattore sarà invece:
Q
dX
= − + µX
dt
V
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01/07/2014
Scomparsa batterica e “maintenance
maintenance””
Nel semplice modello di crescita microbica visto prima vengono, in
alcuni casi, aggiunti anche i termini relativi alle reazioni di scomparsa
batterica e/o di mantenimento del substrato (“maintenance”)
Scomparsa batterica
X
Xd
Mantenimento del substrato
(Xd = biomassa morta)
S+X
X
Includendo tali processi le equazioni di bilancio di substrato e di
biomassa nel sistema saranno rispettivamente:
Q
dS Q
1
= S in − S − µX − m s X
dt V
V
Y
Q
dX
= − + µX − bX
dt
V
dove ms e b sono rispettivamente i coefficienti di scomparsa e di mantenimento
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Dinamica dei prodotti
La reazione di crescita microbica nei bioreattori è spesso
accompagnata dalla formazione di prodotti che possono essere solubili
o particellati o in forma gassosa.
Il bilancio di massa nel reattore dei prodotti (P) di reazione (assumendo
che nessun prodotto sia contenuto nell’influente) è:
dP
Q
= − P − Q g + υX
dt
V
dove P rappresenta la concentrazione del prodotto nella fase liquida
all’interno del reattore, Qg è la portata massica per unità di volume di
prodotto uscente dal reattore sottoforma gassosa, e ν è la velocità di
produzione specifica; il termine νX rappresenta la velocità di
formazione del prodotto.
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01/07/2014
Dinamica dell’
dell’ossigeno
I processi biologici aerobici richiedono ossigeno per la crescita dei
microrganismi. Un esempio tipico è il processo a fanghi attivi.
Nel processo a fanghi attivi l’ossigeno disciolto nella miscela liquida
(So) può essere considerato come un substrato aggiuntivo.
Crescita aerobica
S+So
X
Il bilancio di massa di So sarà dunque:
dS o Q
Q
= S o,in − S o + OTR − OUR
dt
V
V
dove So,in è la concentrazione di ossigeno disciolto influente, OTR è la
velocità di trasferimento dell ’ ossigeno e OUR è la velocità di
assorbimento/consumo dell’ossigeno.
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Dinamica dell’
dell’ossigeno
Il valore di OUR è generalmente espresso come segue:
OUR =
1
µX
YO 2
dove YO2 è il coefficiente di produzione/resa. Il formalismo tipico dei processi a
fanghi attivi consiste nel considerare che se Y è il tasso di produzione del
processo di crescita, Y unità di biomassa (espressa come COD) vengono
prodotti da una unità (espressa in COD) di substrato. Il resto del COD (ossia, 1Y) viene ossidato per produrre CO2. Utilizzando la stessa logica espressa sopra,
YO2 è uguale a:
YO 2 =
Y
1− Y
Nel caso in cui si voglia tenere in conto il consumo di ossigeno dovuto al
metabolismo endogeno sarà necessario includere nell’espressione di OUR il
termine di proporzionalità bO2X quindi:
OUR =
1
µX + bO 2 X
YO 2
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01/07/2014
Dinamica dell’
dell’ossigeno
OTR, in base alla legge di trasferimento dinamico liquido-gas di
Henry, è espresso come segue:
(
OTR = K L a S * O − S O
)
dove KLa è il coefficiente di trasferimento di massa e S*O è la
concentrazione a saturazione dell’ossigeno
L ’ espressione di OTR indicata sopra deve essere utilizzata con
estrema precauzione in quanto KLa e S*O potrebbero variare molto nel
tempo. E’ noto infatti che S*O dipende da numerose variabili quali la
pressione parziale dell’ossigeno nell’aria circostante, la temperatura, la
salinità e la concentrazione dei reagenti chimici nel liquido etc…
Nel caso in cui la dinamica del trasferimento di ossigeno può essere
trascurata OTR può semplicemente essere espresso dal bilancio di
ossigeno nel gas:
OTR = QO 2,in − QO 2,out
dove QO2,in e QO2,out sono rispettivamente la portata di ossigeno in
ingresso ed in uscita (per unità di volume di reattore)
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Richiami di cinetica chimica
Prima di approfondire l’argomento dei modelli di velocità
di reazione che esplicitano il termine del bilancio di
massa che esprime la dinamica di trasformazione
interna durante i processi di crescita della biomassa
faremo, per chiarezza, dei richiami di cinetica chimica ed
enzimatica
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01/07/2014
Cinetica chimica
La Cinetica Chimica descrive l’andamento nel tempo della
reazione che partendo dai reagenti forma i prodotti
Reagenti
Prodotti
Il rateo di reazione (ρ) è definito come la velocità di trasformazione
di ciascun componente per unità di volume
Nelle reazioni chimiche non catalizzate il rateo ρ dipende dalla
concentrazione del reagente
Nelle reazioni enzimatiche la reazione è limitata dalla quantità di
enzima (catalizzatore) oltre che dalla quantità di substrato
Nelle reazioni batteriche l’enzima è prodotto dalla biomassa
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Cinetica chimica
Ordine della cinetica
E ’ data dalla somma degli esponenti di reazione (determinati
sperimentalmente)
Ordine zero: velocità di reazione costante, indipendente dalla
concentrazione del reagente
Ordine uno: velocità di reazione proporzionale alla concentrazione
Ordine due: velocità proporzionale al quadrato
concentrazione o al prodotto di due concentrazioni
della
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01/07/2014
Cinetica chimica
Esempio di cinetica del primo ordine
1
c( t ) = e − k ⋅t
0.9
0.8
Consideriamo la curva normalizzata
c(t)=C(t)/C(0).
0.7
La tangente alla curva per t=0
intercetta l ’ asse dei tempi per un
valore pari a 1/k
0.6
c(t)
−k
0.5
A quell’istante, la concentrazione si è
ridotta ad un valori pari a 1/e = 0.3679
della concentrazione iniziale
0.4
0.3679
0.3
0.2
1
k
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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Cinetica chimica
Tempo di emività
1
c( t ) = e − k ⋅t
Il tempo di “emivita” o di “dimezzamento”
tm di una sostanza rappresenta il tempo
necessario per cui la concentrazione
della sostanza si dimezzi rispetto a
quella iniziale.
0.9
0.8
0.7
Dall’eq. della cinetica si ha:
0.6
c(t)
0.5 = e − k ⋅tm
0.5
Da cui si ricava la cinetica k in funzione
di tm
0.4
0.3
k=
0.2
tm
0.1
ln( 0.5 ) 0.6931
=
− tm
tm
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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01/07/2014
Cinetica enzimatica
La trasformazione da reagenti a prodotti è mediata da un enzima che ha
la funzione di combinarsi temporaneamente con il reagente (substrato)
formando un complesso attivato instabile (ES*), che poi forma il
prodotto finale (P).
Il meccanismo di attivazione dell'enzima (E) consiste spesso nel
collocarsi in una particolare posizione del substrato (in genere costituito
da complesse catene proteiche) in modo da catalizzare la
trasformazione del substrato (S) in Prodotto (P).
SUBSTRATO
COMPLESSO ATTIVATO
E + S → ES* → E + P
ENZIMA LIBERO
Riutilizzo dell’enzima
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I modelli di crescita
Nel caso di reazione (bio)
ρ = k 0 ∏ C i αi
i
dove Ci sono le concentrazioni dei reagenti coinvolti nella reazione, k0
è la costante cinetica, e αi sono gli ordini della reazione con riferimento
all’i-simo reagente. L’ordine totale della reazione è pari alla somma di
tutte le αi
Una conseguenza fondamentale del modello cinetico di base è che la
velocità di reazione ρ sarà nulla se la concentrazione di uno o più
reagenti coinvolti nella reazione è uguale a zero. Inoltre, la velocità di
reazione dipenderà dal componente che ha la minore concentrazione.
Tale concetto esprime la legge di Liebeg o del fattore limitante nel
caso di assenza del substrato.
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01/07/2014
Modelli di velocità specifica di crescita
Gli esperimenti biochimici condotti nell’ultimo cinquantennio su colture
microbiche pure e su colture microbiche aperte (con substrati non
sterili) hanno indicato che il parametro µ (velocità specifica di crescita)
varia nel tempo ed è influenzato da molti fattori fisico-chimici ed
ambientali tra i quali i più importanti sono: concentrazione di substrato
(S), concentrazione di biomassa (X), pH, concentrazione di prodotti (P),
temperatura (T), concentrazione di ossigeno disciolto (So), intensità
della luce ed inibitori vari della crescita microbica
La velocità specifica di crescita µ è dunque comunemente espressa
dal prodotto di termini individuali, ognuno dei quali fa riferimento ad un
fattore di influenza:
µ (t ) = µ ( S ) ⋅ µ ( X ) ⋅ µ ( P) ⋅ µ ( S o ) ⋅ µ ( pH ) ⋅ µ (T )...
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Modelli di velocità specifica di crescita
Di seguito verranno presentati i modelli di velocità specifica di crescita
più importanti
E’ importante precisare che ogni velocità specifica di crescita deve
seguire delle regole di modellazione di base al fine di rappresentare in
modo corretto il fenomeno che si intende riprodurre.
Si ricorda che la velocità di crescita specifica µ è una parte della
velocità di reazione (ρ=µX) di una reazione che trasforma il substrato
in biomassa.
Quanto sopra implica che la velocità di crescita specifica deve essere
positiva (in caso contrario essa si riferirebbe alla reazione inversa di
trasformazione di substrato in biomassa!)
Qualunque sia il tempo di riferimento deve dunque valere che:
µ≥0
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01/07/2014
Modelli di velocità specifica di crescita
Nel caso in cui la concentrazione di uno dei substrati coinvolti nella
reazione è nulla la velocità di crescita specifica relativa a tali substrati
è nulla
µ (S i ) = 0
se
Si = 0
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Modelli di velocità specifica di crescita
Influenza della concentrazione di substrato S
Il modello di velocità specifica di crescita più adottato è certamente la
“legge di Michaelis-Mendel”, spesso chiamata “legge di Monod”
che esprime la dipendenza della velocità specifica di crescita dalla
concentrazione del substrato S come segue:
µ = µ max
S
KS + S
dove µmax è la massima velocità di crescita e KS è la costante di
“Michaelis-Mendel” o di saturazione. Il pedice S in KS si riferisce al
substrato di riferimento.
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01/07/2014
Modelli di velocità specifica di crescita
Influenza della concentrazione di substrato S
µ = µ max
S
KS + S
µ max
0.5
K s = 5 mg/l
0.45
0.4
Il valore di KS corrisponde alla
concentrazione di substrato
per cui la velocità specifica di
crescita risulta pari alla metà
di quella massima (µmax)
µ (S = K S ) =
per alti valori del substrato
la cinetica approssima l’ordine zero
µ( S ) ( 1 / h )
K s = 50 mg/l
Ks
K s = 100 mg/l
0.3
1
µ max
2
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
µ max
2
K s = 25 mg/l
µ max
0.35
0
05
per bassi valori del
substrato
la cinetica tende al
primo ordine con
velocità
25
50
S (mg/l)
100
150
Ks è detta costante di mezza velocità
perché quando S = Ks la velocità
di reazione è la metà del massimo
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Modelli di velocità specifica di crescita
Influenza della concentrazione di biomassa X
La crescita della biomassa avviene più lentamente laddove la
concentrazione di biomassa è elevata (per via di osservazioni
sperimentali).
Un semplice modello, chiamato “modello logistico” e proposto da
Verhulst nel 1838, che esprime quanto sopra è il seguente:
µ ( X ) = µ max (1 − aX )
dove µmax è la massima velocità di crescita e a (=1/Xmax) è la costante
di inibizione.
Un altro modello che è funzione sia di S che di X è quello proposto
da Contois nel 1959:
µ = µ max
S
KC X + S
con KC costante.
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Modelli di velocità specifica di crescita
Influenza della concentrazione di prodotto P
E’ noto che, in particolari bioreattori, il prodotto di una reazione può
anche essere inibente per la crescita della biomassa. Un esempio
tipico è il processo di digestione anaerobica quanto
l ’ acetato/propionato e/o l ’ idrogeno sono inibitori delle reazioni di
acidogenesi
Modelli tipici per l’inibizione dei prodotti sono i seguenti:
Kp
µ ( P) =
Kp + P
;
µ ( P) = e
− K pP
con Kp costante
I modelli di inibizione sopra indicati vengono anche utilizzati per
enfatizzare, per esempio, l ’ inibizione della denitrificazione
dall’ossigeno e vengono spesso definiti “switching functions”
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Modelli di velocità specifica di crescita
Influenza della concentrazione del pH
Il pH inibisce l’attività biologica a causa degli acidi dissociati o le basi
(ammoniaca, acidi grassi, nitriti) nella miscela liquida. Ad oggi pochi
modelli sono in grado di rappresentare, in modo efficace, l’influenza
del pH.
Un modello possibile è rappresentato dalla funzione “a campana”
rappresentata dalla seguente funzione:
K pH = K max
1
1 + 10 pK1 − pH + 10 pH − pK 2
Dove pK1 e pK2 sono il valore minimo e massimo di pH relativo
alla metà della massima attività
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01/07/2014
Modelli di velocità specifica di crescita
Influenza della temperatura
L’influenza della temperatura è spesso modellata mediante la legge di
Arrhenius
µ (T ) = a1e
−
E1
RT
− a2 e
−
E2
RT
−b
dove E1, E2 sono le energie di attivazione, R è la costante dei gas
(8.314 J g mol/K) e a1, a2, b sono costanti.
L ’ espressione sopra mostra che la velocità specifica di crescita
aumenta all’aumentare della temperatura, fino ad un valore massimo
di temperatura (Tmax) in corrispondenza del quale si ha la morte delle
cellule.
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Modelli di velocità specifica di crescita
Influenza della temperatura
L’espressione
µ (T ) = a1e
−
E1
RT
− a2 e
−
E2
RT
−b
viene spesso
esemplificata come segue:
µ (T ) = K T 1 ⋅ 10 −α (T1 −T2 )
o
µ (T ) = K T 1 ⋅ ϑ − (T1 −T2 )
dove ϑ varia tra 1.03 e 1.05 per la maggior parte dei processi (che
corrisponde al dimezzamento della velocità di reazione per un
aumento di temperatura di 10°)
Il processo di nitrificazione (per cui ϑ =1.15) è fortemente dipendente
dalla temperatura
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01/07/2014
Example of biological model
Il processo a fanghi attivi è il classico processo biologico che si
verifica in un impianto di depurazione.
Si consideri lo schema di un classico impianto a fanghi attivi: un
reattore aerobico (dove si verifica la degradazione del substrato S) e
un sedimentatore (in cui la biomassa X viene separata dal refluo
trattato e ricircolata all’interno del reattore).
Qin, Sin, Xin
Qout=(Qin+Qr)-QF
Sedimentatore
Reattore
aerobico
Qout, Sout, Xout
V, S, X
Qa
QF=Qr+Qw
(Qin+Qr), S, X
Qr, Sr, Xr
Qw, Sr, Xr
Q= portata [L3/tempo];
S= concentrazione di substrato [massa/L3];
X= concentrazione di biomassa [massa/L3];
V= volume del reattore aerobico [L3]
SIGNIFICATO DEI PEDICI: in=ingresso; r=ricircolo; F=fango; w=spurgo; out=uscita, a=aria.
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Example of biological model
La costruzione di un modello dinamico per il processo a fanghi attivi
consiste nel combinare il modello idraulico (che può essere a
completa miscelazione o Plug-Flow) con le velocità di reazione dei
processi biochimici coinvolti.
Qin, Sin, Xin
Qout=(Qin+Qr)-QF
Sedimentatore
Reattore
aerobico
Qout, Sout, Xout
V, S, X
Qa
(Qin+Qr), S, X
Qr, Sr, Xr
QF=Qr+Qw
Qw, Sr, Xr
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01/07/2014
Example of biological model
Ipotesi di sedimentatore ideale
Nel caso in cui si ipotizza che il sedimentatore sia ideale vale quanto
segue:
L ’ efficienza di separazione solido-liquido nel sedimentatore è
unitaria (Xout=0);
all’interno del sedimentatore non si verificano processi biologici
(Sr=S).
Qin, Sin, Xin
Sedimentatore
Qout=(Qin+Qr)-QF
Reattore
aerobico
Qout, Sout, Xout
V, S, X
Qa
QF=Qr+Qw
(Qin+Qr), S, X
Qr, Sr, Xr
Qw, Sr, Xr
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Example of biological model
Ipotesi di assenza di spurgo
Nel caso in cui si ipotizza che tutta la portata di fango venga
ricircolata, e che non vi sia alcuno spurgo dal sedimentatore, vale
quanto segue:
QW=0
QF=Qr
Qout=Qin
Qin, Sin, Xin
Sedimentatore
Qout=(Qin+Qr)-QF
Reattore
aerobico
Qout, Sout, Xout
V, S, X
Qa
(Qin+Qr), S, X
Qr, Sr, Xr
QF=Qr+Qw
Qw, Sr, Xr
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01/07/2014
Example of biological model
Ipotesi di presenza di spurgo: bilancio di massa
nel sedimentatore
MASSA DI SOLIDI IN INGRESSO =MASSA DI SOLIDI IN USCITA
(Qin + Qr ) X = Qr X r + QW X r + Qout X out
Nell’ipotesi di sedimentatore ideale Xout=0
Sedimentatore
Qout, Sout, Xout
Xr =
(Qin+Qr), S, X
Qin + Qr
X
Qr + Qw
Qw, Sr, Xr
Qr, Sr, Xr
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Example of biological model
Modello del processo biologico di crescita
aerobica della biomassa
IPOTESI::
IPOTESI
sedimentatore ideale;
ideale;
presenza di spurgo (il valore di Xr si valuta dal bilancio di massa
nel sedimentatore);
sedimentatore);
Xin=0; Sr=0.
Il modello verrà esplicitato applicando il principio di
conservazione della massa alla coppia substrato-biomassa
considerando come volume di controllo il reattore aerobico
Qin, Sin, Xin
Qout=(Qin+Qr)-QF
Sedimentatore
Reattore
aerobico
Confini del volume di
controllo
Qout, Sout, Xout
V, S, X
Qa
(Qin+Qr), S, X
Qr, Sr, Xr
QF=Qr+Qw
Qw, Sr, Xr
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01/07/2014
Example of biological model
Model of the biological process of biomass
aerobic growth
Q + Qr
dS Qin
1
=
S in − in
S − µX
dt
V
V
Y
Q + Qr
dX Qr
X r − in
X + µX − bX
=
dt
V
V
Qin, Sin, Xin
Qout=(Qin+Qr)-QF
Sedimentatore
Reattore
aerobico
Qout, Sout, Xout
V, S, X
Qa
(Qin+Qr), S, X
Qr, Sr, Xr
QF=Qr+Qw
Qw, Sr, Xr
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