La logica matematica

La logica
matematica
Si ringraziano per il loro contributo gli alunni della
classe IB Lic. Sc. A.S. 2010-2011
• La logica studia le proposizioni logiche e le
relazioni tra esse.
• Una proposizione logica è un’affermazione
per la quale esiste un criterio ben preciso per
stabilire se è vera o falsa.
• A: <<19 è un numero primo>> è una
proposizione logica (Vera)
• B: <<19 è un numero grande>> non è una
proposizione logica
• C: <<100 è divisibile per 3>> è una
proposizione logica (Falsa)
Le proposizioni logiche possono essere semplici
o composte.
Proposizione logica semplice:
una proposizione logica si dice semplice o atomica
se contiene un solo predicato.
Proposizione logica composta:
una proposizione logica si dice composta o
molecolare se contiene più di un predicato cioè se
è composta da più proposizioni semplici.
Proposizioni semplici
• A: <<123 è divisibile per 3>> (Vero)
• B: <<125 è il quadrato 5>> (Falso)
Proposizioni composte
• C: <<se 123 è divisibile per 3 allora 123 non è
un numero primo>> (Vero)
• D: <<un numero pari è sempre divisibile per 3 e 123
è divisibile per 5>> (Falso)
I connettivi logici
Due o più proposizioni logiche semplici
possono essere legate tra di loro in modo
diverso mediante connettivi in modo da
formare proposizioni logiche composte
I connettivi vengono detti anche operazioni
logiche perché permettono di ottenere,
partendo da due o più proposizioni Vere o
False, una sola proposizione che può
essere Vera o Falsa
I connettivi logici
Negazione
La negazione si esegue negando il predicato
verbale, invertendo così il valore di verità.
A: <<99 è divisibile per 3>> V
A: <<99 non è divisibile per 3>> F
Tavola di verità della
negazione
A
A
V
F
F
V
Congiunzione
La congiunzione si esegue unendo le due
proposizioni con la congiunzione e. La
congiunzione risulta vera solo se entrambe le
proposizioni sono vere, falsa in tutti gli altri casi.
A: <<2 è un numero primo>> V
B: <<18 è divisibile per 3>> V
C: <<256 è divisibile per 11>> F
AB: <<2 è un numero primo e 18 è divisibile per 3>> V
BC: <<18 è divisibile per 3 e 256 è divisibile per 11>> F
Tavola di verità della
congiunzione
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
AB
V
F
F
F
Disgiunzione inclusiva
La disgiunzione si esegue unendo le due
proposizioni con la congiunzione o. La
disgiunzione risulta falsa solo se entrambe le
proposizioni sono false, vera in tutti gli altri casi.
A: <<3 è divisibile per 9>> F
B: <<15 è divisibile per 6>> F
AB: <<3 è divisibile per 9 o 15 è divisibile per 6>>
Tavola di verità della disgiunzione
inclusiva
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
AB
V
V
V
F
Disgiunzione esclusiva
Nella disgiunzione esclusiva il risultato risulta
vero soltanto se le proposizioni logiche sono
una vera e una falsa, risulta falso se le
proposizioni logiche hanno lo stesso valore di
verità.
A: <<3 è un numero primo>> V
B: <<15 è divisibile per 5>> V

AB <<o 3 è un numero primo o 15 è divisibile per 5>> F
Tavola di verità della disgiunzione
esclusiva
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
.
AB
F
V
V
F
Implicazione materiale
L’implicazione tra due proposizioni logiche si
esegue congiungendo le proposizioni con
se…allora…
L’implicazione risulta falsa soltanto nel caso in
cui la prima è vera e la seconda è falsa.
A: <<3 è un numero primo>> V
B: <<18 è divisibile per 5>> F
AB: <<se 3 è un numero primo allora 18 è divisibile
per 5>> F
Tavola di verità dell’implicazione
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
AB
V
F
V
V
Doppia implicazione (coimplicazione)
La doppia implicazione si esegue congiungendo
le due frasi con se e solo ………allora
La doppia implicazione risulta vera se le due
proposizioni logiche hanno lo stesso valore di
verità, falsa negli altri casi.
A: <<3 è divisibile per 2>> F
B: <<5 è un numero primo>> V
AB: << se e solo se 3 è divisibile per 2 allora 5 è un
numero primo>> F
Tavola di verità della doppia
implicazione
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
AB
V
F
F
V
Espressioni logiche
Le espressioni logiche sono costituite da due o
più operazioni logiche.
AB
con A (V) e B(F)
AB =VF = FF = F
Tautologie
Si chiama tautologia un’espressione logica che
risulta vera qualunque sia il valore di verità delle
proposizioni che la costituiscono.
.
A A

A
A
AB
V
F
V
F
V
V
Contraddizioni
Si chiama contraddizione un’espressione logica
falsa qualunque sia il valore di verità delle
proposizioni che la costituiscono.
A A
A
V
F
A
F
V
A A
F
F
Enunciati aperti
Si chiama enunciato aperto una proposizione
logica che contiene una o più variabili.
A(x): <<x è multiplo di 3>>
Si chiama insieme universo l’insieme che
contiene tutti i valori che possono essere
attribuiti alle variabili dell’enunciato aperto.
U= xN|x15
A(5): <<5 è multiplo di 3>> F
B(6): <<6 è multiplo di 3>> V
Enunciati aperti
Si chiama enunciato aperto una proposizione
logica che contiene una o più variabili.
A(x): <<x è multiplo di 3>>
Si chiama insieme universo l’insieme che
contiene tutti i valori che possono essere
attribuiti alle variabili dell’enunciato aperto.
U= xN|x15
A(5): <<5 è multiplo di 3>> F
B(6): <<6 è multiplo di 3>> V
Insieme verità
Si chiama insieme verità il sottoinsieme
dell’insieme universo che contiene tutti gli
elementi che rendono vero l’enunciato aperto.
A(x): <<x è multiplo di 3>>
A= {3;6;9;12;15}
U
1
2
4
A
3
5
7
6
9
12
8
15
10
A(x)= enunciato aperto
A= insieme verità
11
13
14
Insieme
verità
Negazione di un enunciato aperto
U
Insieme verità
1
2
4
A
3
5
7
6
9
8
10
15
11
12
13
14
A(x): <<x è multiplo di 3>>
U= xN|x15
Insieme verità di A(x)
A={3,6,9,12,15 
Negazione di A(x)
A(x) : <<x non è multiplo di 3>>
Insieme verità di A(x)
A={1,2,4,5,7,8,10,11,13,14
Cioè l’insieme verità della negazione è il complementare
dell’insieme verità rispetto all’insieme universo
Congiunzione tra due enunciati aperti
B
1
A
2
3
4 6
7 8 12 9
10
11 14
15
U
13
14
U= xN|x15
A(x): <<x è multiplo di 3>>
B(x): <<x è pari>>
Insiemi verità di A(x) e B(x)
A={3,6,9,12,15
B={2,4,6,8,10,12,14
Congiunzione di A(x) con B(x)
A(x)B(x) : <<x è multiplo di 3 e
x è pari>>
Insieme verità di A(x)B(x)
A∩B ={6,12
Cioè l’insieme verità della congiunzione è l’intersezione
dei due insiemi verità
Disgiunzione tra due enunciati aperti
B
1
U= xN|x15
U A(x): <<x è multiplo di 3>>
A
B(x): <<x è pari>>
Insiemi verità di A(x) e B(x)
3
A={3,6,9,12,15
B={2,4,6,8,10,12,14
2
4 6
7 8 12 9
10
11 14
15
13
Disgiunzione di A(x) con B(x)
A(x)B(x) : <<x è multiplo di 3 o
x è pari>>
Insieme verità di A(x)  B(x)
AUB ={2,3,4,6,8,9,10,12,14,15
Cioè l’insieme verità della disgiunzione è l’unione dei
due insiemi verità