Analisi funzionale - of Riccarda Rossi

Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Analisi funzionale
Riccarda Rossi
Lezione 4
Riccarda Rossi
Analisi funzionale
Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Programma
1. Operatori lineari fra spazi normati:
I
I
I
teorema di caratterizzazione
norma di un operatore
lo spazio duale
2. Motivazioni per l’introduzione della topologia debole
3. Spazi localmente convessi
I
I
I
I
Riccarda Rossi
Analisi funzionale
seminorme
topologia indotta da una famiglia di seminorme
esempi di spazi localmente convessi
convergenza di successioni, proprietà di Hausdorff, metrizzabilità
Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Richiami
• Sia V uno sp. normato di dimensione finita e W un altro sp normato. Allora
L : V → W lineare ⇒ L : V → W continuo.
ciao
ciao
ciao
• Sia V uno sp. normato di dimensione INfinita: allora questo è falso, e il
controesempio che abbiamo dato ciao
ciao
ciao
NON dipende dal fatto che (C0 ([0, 1]), k · k1 ) non è di Banach. ciao
ciao
ciao
Riccarda Rossi
Analisi funzionale
Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Caratterizzazione degli operatori lineari e continui fra spazi normati
Teorema
Siano (V , k · kV ), (W , k · kW ) due sp. normati e sia L : V → W un operatore
lineare. Allora sono equivalenti le seguenti condizioni
1. L : V → W è continuo su V ; ciao
ciao
ciao
2. L : V → W è continuo in un punto x0 ∈ V ; ciao
ciao
ciao
3. L : V → W è limitato, cioè
∃M ≥ 0 ∀x ∈ V :
kL(x)kW ≤ MkxkV .
ciao
ciao
ciao
Riccarda Rossi
Analisi funzionale
Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Dimostrazione
Riccarda Rossi
Analisi funzionale
Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Osservazioni
Riccarda Rossi
Analisi funzionale
Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Lo spazio L(V , W )
Siano (V , k · kV ), (W , k · kW ) due sp. normati.
Definizione
Denotiamo con L(V , W ) l’insieme
L(V , W ) = {L : V → W : L è lineare e continuo su V }.
Se W = R, useremo la notazione
ciao
ciao
ciao
♣ L(V , W ) è uno spazio vettoriale rispetto alle operazioni di ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
Riccarda Rossi
Analisi funzionale
Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Norma di un operatore lineare e continuo
• L(V , W ) è uno spazio normato. ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
Riccarda Rossi
Analisi funzionale
Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Espressioni equivalenti della norma di un operatore
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
La norma duale
Riccarda Rossi
Analisi funzionale
Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Completezza dello spazio L(V , W )
Teorema
Siano V , W due sp. normati. Se W è di Banach, allora anche lo spazio
L(V , W ) è di Banach.
In particolare, per ogni spazio normato V lo spazio duale V 0 è di Banach.
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
Riccarda Rossi
Analisi funzionale
Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Introduzione
Motivazioni legate all’applicazione dell’analisi funzionale allo studio delle
equazioni a derivate parziali: ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
Riccarda Rossi
Analisi funzionale
Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Continuità, compattezza, e confronto fra topologie
Riccarda Rossi
Analisi funzionale
Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Una topologia “di compromesso”
Vogliamo introdurre su uno spazio vettoriale V una topologia che assicuri
I
un “buon numero” di funzioni continue;
I
“ragionevoli” insiemi compatti
Introdurremo questa topologia su uno spazio V , di Banach rispetto a una sua
norma k · k.
ciao
ciao
Parleremo di topologia debole, che denoteremo con il simbolo σ(V , V 0 ).
Riccarda Rossi
Analisi funzionale
Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Proprietà fondamentali della topologia debole
La topologia σ(V , V 0 )
I viene definita su V , che è già sp. di Banach rispetto a una opportuna
norma;
I
è meno fine della topologia indotta su V dalla norma
I
rende continui su V tutti i funzionali lineari e continui rispetto alla
topologia della norma ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
Se V gode di una ulteriore proprietà, detta riflessività, allora ogni
sottoinsieme di V chiuso e limitato è anche compatto rispetto alla
topologia debole.
I
Osservazione
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
Riccarda Rossi
ciao
Analisi funzionale
Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
La piramide delle strutture – 2
Riccarda Rossi
Analisi funzionale
Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Definizione di seminorma
Sia V uno sp. vettoriale. Chiamiamo seminorma su V una funzione
| · | : V → R verificante
1. |x| ≥ 0 per ogni x ∈ V ;
2. |λx| = |λ||x| per ogni x ∈ V , per ogni λ ∈ R;
3. |x + y | ≤ |x| + |y | per ogni x, y ∈ V .
Osservazione
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
Riccarda Rossi
Analisi funzionale
Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Esempi
Riccarda Rossi
Analisi funzionale
Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Costruzione della topologia
Definizione
Sia V uno sp. vettoriale e
F = {| · |` : ` ∈ Λ}
una famiglia non vuota di seminorme su V . ciao
Per ogni x ∈ V fissato, denotiamo con B(x) la famiglia costituita dagli insiemi
della forma
{y ∈ V : |x − y |`k < r , k = 1, . . . , m}
ciao
ciao
ciao
al variare di tutti i sottoinsiemi finiti {`1 , `2 , . . . , `m } ⊂ Λ (con m ∈ N), e di
tutti i numeri reali r > 0.
Definiamo la famiglia di intorni di ogni x ∈ V in questo modo:
I ∈ I(x)
⇔
∃ B ∈ B(x) t.c. B ⊂ I .
In questo modo viene definita una topologia I : V ⇒ 2V , detta la topologia
indotta (o generata) dalla famiglia di seminorme F.
Riccarda Rossi
Analisi funzionale
Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Spazi localmente convessi
Definizione
Uno spazio vettoriale topologico (V , I) si dice localmente convesso se esiste
una famiglia di seminorme F che induce la topologia I.
ciao
ciao
• Perché localmente convesso?? ciao
ciao
ciao
Legami con gli spazi normati
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
Riccarda Rossi
Analisi funzionale
Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Esempi
Riccarda Rossi
Analisi funzionale
Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Caratterizzazione della convergenza di successioni in uno spazio
localmente convesso
Proposizione
Sia V uno sp. vettoriale, F una famiglia di seminorme su V , e {xn }, x ∈ V . Si
ha che
{xn }n converge a x nella topologia indotta da F
⇔
per ogni seminorma | · | ∈ F
lim |xn − x| = 0.
n→∞
Esempi
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
Riccarda Rossi
Analisi funzionale
Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Proprietà di Hausdorff
Proposizione
Sia (V , F) uno spazio (vettoriale topologico) localmente convesso. Allora F
induce una topologia di Hausdorff su V se e solo se
∀ x 6= 0
∃ una seminorma | · |x ∈ F t.c. |x|x > 0.
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
• D’ora in poi lavoreremo sempre in spazi localmente convessi di Hausdorff:
OK l’unicità del limite di una successione.
Riccarda Rossi
Analisi funzionale
Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Metrizzabilità della topologia su uno spazio localmente convesso (I)
• Ricordiamo che uno spazio topologico (X , I) si dice metrizzabile se esiste una
metrica d su X che induce la topologia I.
I vantaggi della metrizzabilità
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
Riccarda Rossi
Analisi funzionale
Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Metrizzabilità della topologia su uno spazio localmente convesso (II)
Proposizione
Sia (V , F) uno spazio (vettoriale topologico) localmente convesso, di
Hausdorff. Allora la topologia indotta da F è metrizzabile se e solo se
∃ una (sotto-)famiglia numerabile di seminorme F0 ⊂ F che la induce.
In tal caso, se F0 è data da {| · |k : k ∈ N}, una distanza che induce la
topologia è
∞
X
d(x, y ) =
2−k ϕ(|x − y |k )
k=1
ove ϕ : [0, +∞) → R è una qualsiasi funzione limitata, continua, concava,
strettamente crescente, con ϕ(0) = 0.
• Esempi:
Riccarda Rossi
Analisi funzionale
Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Spazi di Fréchet
Negli spazi localmente convessi metrizzabili si può dare il concetto di
completezza.
Definizione
Sia (V , F) uno spazio localmente convesso, metrizzato da una distanza d.
Diciamo che (V , F) è uno spazio di Fréchet se (V , d) è completo.
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
Riccarda Rossi
Analisi funzionale
Lezione 4