Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Analisi funzionale
Riccarda Rossi
Lezione 4
Riccarda Rossi
Analisi funzionale
Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Programma
1. Operatori lineari fra spazi normati:
I
I
I
teorema di caratterizzazione
norma di un operatore
lo spazio duale
2. Motivazioni per l’introduzione della topologia debole
3. Spazi localmente convessi
I
I
I
I
Riccarda Rossi
Analisi funzionale
seminorme
topologia indotta da una famiglia di seminorme
esempi di spazi localmente convessi
convergenza di successioni, proprietà di Hausdorff, metrizzabilità
Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Richiami
• Sia V uno sp. normato di dimensione finita e W un altro sp normato. Allora
L : V → W lineare ⇒ L : V → W continuo.
ciao
ciao
ciao
• Sia V uno sp. normato di dimensione INfinita: allora questo è falso, e il
controesempio che abbiamo dato ciao
ciao
ciao
NON dipende dal fatto che (C0 ([0, 1]), k · k1 ) non è di Banach. ciao
ciao
ciao
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Analisi funzionale
Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Caratterizzazione degli operatori lineari e continui fra spazi normati
Teorema
Siano (V , k · kV ), (W , k · kW ) due sp. normati e sia L : V → W un operatore
lineare. Allora sono equivalenti le seguenti condizioni
1. L : V → W è continuo su V ; ciao
ciao
ciao
2. L : V → W è continuo in un punto x0 ∈ V ; ciao
ciao
ciao
3. L : V → W è limitato, cioè
∃M ≥ 0 ∀x ∈ V :
kL(x)kW ≤ MkxkV .
ciao
ciao
ciao
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Analisi funzionale
Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Dimostrazione
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Analisi funzionale
Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Osservazioni
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Analisi funzionale
Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Lo spazio L(V , W )
Siano (V , k · kV ), (W , k · kW ) due sp. normati.
Definizione
Denotiamo con L(V , W ) l’insieme
L(V , W ) = {L : V → W : L è lineare e continuo su V }.
Se W = R, useremo la notazione
ciao
ciao
ciao
♣ L(V , W ) è uno spazio vettoriale rispetto alle operazioni di ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
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Analisi funzionale
Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Norma di un operatore lineare e continuo
• L(V , W ) è uno spazio normato. ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
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Analisi funzionale
Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Espressioni equivalenti della norma di un operatore
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
La norma duale
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Analisi funzionale
Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Completezza dello spazio L(V , W )
Teorema
Siano V , W due sp. normati. Se W è di Banach, allora anche lo spazio
L(V , W ) è di Banach.
In particolare, per ogni spazio normato V lo spazio duale V 0 è di Banach.
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
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Analisi funzionale
Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Introduzione
Motivazioni legate all’applicazione dell’analisi funzionale allo studio delle
equazioni a derivate parziali: ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
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Analisi funzionale
Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Continuità, compattezza, e confronto fra topologie
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Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Una topologia “di compromesso”
Vogliamo introdurre su uno spazio vettoriale V una topologia che assicuri
I
un “buon numero” di funzioni continue;
I
“ragionevoli” insiemi compatti
Introdurremo questa topologia su uno spazio V , di Banach rispetto a una sua
norma k · k.
ciao
ciao
Parleremo di topologia debole, che denoteremo con il simbolo σ(V , V 0 ).
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Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Proprietà fondamentali della topologia debole
La topologia σ(V , V 0 )
I viene definita su V , che è già sp. di Banach rispetto a una opportuna
norma;
I
è meno fine della topologia indotta su V dalla norma
I
rende continui su V tutti i funzionali lineari e continui rispetto alla
topologia della norma ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
Se V gode di una ulteriore proprietà, detta riflessività, allora ogni
sottoinsieme di V chiuso e limitato è anche compatto rispetto alla
topologia debole.
I
Osservazione
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
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ciao
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Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
La piramide delle strutture – 2
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Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Definizione di seminorma
Sia V uno sp. vettoriale. Chiamiamo seminorma su V una funzione
| · | : V → R verificante
1. |x| ≥ 0 per ogni x ∈ V ;
2. |λx| = |λ||x| per ogni x ∈ V , per ogni λ ∈ R;
3. |x + y | ≤ |x| + |y | per ogni x, y ∈ V .
Osservazione
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
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Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Esempi
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Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Costruzione della topologia
Definizione
Sia V uno sp. vettoriale e
F = {| · |` : ` ∈ Λ}
una famiglia non vuota di seminorme su V . ciao
Per ogni x ∈ V fissato, denotiamo con B(x) la famiglia costituita dagli insiemi
della forma
{y ∈ V : |x − y |`k < r , k = 1, . . . , m}
ciao
ciao
ciao
al variare di tutti i sottoinsiemi finiti {`1 , `2 , . . . , `m } ⊂ Λ (con m ∈ N), e di
tutti i numeri reali r > 0.
Definiamo la famiglia di intorni di ogni x ∈ V in questo modo:
I ∈ I(x)
⇔
∃ B ∈ B(x) t.c. B ⊂ I .
In questo modo viene definita una topologia I : V ⇒ 2V , detta la topologia
indotta (o generata) dalla famiglia di seminorme F.
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Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Spazi localmente convessi
Definizione
Uno spazio vettoriale topologico (V , I) si dice localmente convesso se esiste
una famiglia di seminorme F che induce la topologia I.
ciao
ciao
• Perché localmente convesso?? ciao
ciao
ciao
Legami con gli spazi normati
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
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Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Esempi
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Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Caratterizzazione della convergenza di successioni in uno spazio
localmente convesso
Proposizione
Sia V uno sp. vettoriale, F una famiglia di seminorme su V , e {xn }, x ∈ V . Si
ha che
{xn }n converge a x nella topologia indotta da F
⇔
per ogni seminorma | · | ∈ F
lim |xn − x| = 0.
n→∞
Esempi
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
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Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Proprietà di Hausdorff
Proposizione
Sia (V , F) uno spazio (vettoriale topologico) localmente convesso. Allora F
induce una topologia di Hausdorff su V se e solo se
∀ x 6= 0
∃ una seminorma | · |x ∈ F t.c. |x|x > 0.
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
• D’ora in poi lavoreremo sempre in spazi localmente convessi di Hausdorff:
OK l’unicità del limite di una successione.
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Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Metrizzabilità della topologia su uno spazio localmente convesso (I)
• Ricordiamo che uno spazio topologico (X , I) si dice metrizzabile se esiste una
metrica d su X che induce la topologia I.
I vantaggi della metrizzabilità
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
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Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Metrizzabilità della topologia su uno spazio localmente convesso (II)
Proposizione
Sia (V , F) uno spazio (vettoriale topologico) localmente convesso, di
Hausdorff. Allora la topologia indotta da F è metrizzabile se e solo se
∃ una (sotto-)famiglia numerabile di seminorme F0 ⊂ F che la induce.
In tal caso, se F0 è data da {| · |k : k ∈ N}, una distanza che induce la
topologia è
∞
X
d(x, y ) =
2−k ϕ(|x − y |k )
k=1
ove ϕ : [0, +∞) → R è una qualsiasi funzione limitata, continua, concava,
strettamente crescente, con ϕ(0) = 0.
• Esempi:
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Lezione 4
Operatori lineari e continui fra spazi normati
Introduzione alle topologie deboli
Spazi localmente convessi
Spazi di Fréchet
Negli spazi localmente convessi metrizzabili si può dare il concetto di
completezza.
Definizione
Sia (V , F) uno spazio localmente convesso, metrizzato da una distanza d.
Diciamo che (V , F) è uno spazio di Fréchet se (V , d) è completo.
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
ciao
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Analisi funzionale
Lezione 4
