Dipartimento di Ingegneria Elettrica
www.unipv.it/electric/cad
Metodi sistematici
di analisi dei circuiti
Corso di
Teoria dei Circuiti
Università degli Studi di Pavia
Facoltà di Ingegneria
Si scelgano come incognite non le ℓ tensioni di
lato (legate da [M][V]=0), ma n-1 tensioni
linearmente indipendenti, definite come
METODO DEI POTENZIALI DI NODO
V1
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1
V3
2
4
V2
3
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Nodo di
riferimento: 2
tensioni di n – 1 nodi rispetto al nodo di riferimento
MODO 1 (caso di procedura manuale)
Metodi sistematici
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⎡ V1 ⎤
⎥
⎢
[ V] = ⎢ V 2 ⎥
⎢V 3 ⎥
⎣ ⎦
V3
2
4
V2
il legame è [V]=[C]t[ V ]
3
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E’ la matrice di
incidenza a meno del
nodo di riferimento
V1
Bisogna trovare il
legame tra [V] e [ V ]:
1
Matrice di incidenza ridotta
0
0 0⎤
⎡− 1 1
⎥
⎢1
0
1
0
1
⎥
[C] = ⎢
⎢0
0
0
1 − 1⎥
⎢
⎥
⎣ 0 − 1 − 1 − 1 0⎦
Metodi sistematici
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o incide tra un nodo e il nodo di riferimento
o incide tra due nodi
così come il corrispondente lato
o coincide con un potenziale di nodo V
o è la differenza di due potenziali di nodo,
Ovvero la tensione di lato V
Metodi sistematici
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0⎤
⎡− 1 1 0 0
[C] = ⎢ 1 0 1 0 1⎥
⎢
⎥
⎢⎣ 0 0 0 1 − 1⎥⎦
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il legame è [V]=[C]t[ V ]
Matrice dei tagli
fondamentali
MODO 2 (caso di procedura automatica)
Si scelga un albero e si definiscano come
potenziali di nodo le tensioni degli n – 1 lati di
albero
V1
V2
2
4
albero
3
V3
1
5
Metodi sistematici
[G ] [V ]
=
[I]
[C] [G] [C]t[V ] = [C] [G] [E] - [C] [A]
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di dimensioni n – 1:
n – 1 equazioni in
n – 1 incognite
[C] [A] + [C] [G] [C]t[V ] – [C] [G] [E] = 0
sostituendo [V]=[C]t[ V ] nella precedente si ha
[C] [A] + [C] [G] [V] – [C] [G] [E] = 0
[C] [A] + [C] [G] ([V] – [E]) = 0
Sostituendo OL: [I] = [A] + [G] ([V] – [E])
Equazioni
n – 1 KCL [C] [I] = 0
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Metodi sistematici
ℓ×ℓ
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se nel lato i è presente un generatore di
corrente comandato dalla tensione del lato k
Gik conduttanza mutua dei lati (i,k)
Gii conduttanza del lato i-esimo
[G]
MATRICE DELLE CONDUTTANZE DI LATO
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Metodi sistematici
la matrice G = [C] [G] [C]t delle conduttanze di
nodo è simmetrica.
la matrice [G] delle conduttanze di lato è diagonale,
Se non ci sono generatori dipendenti:
MATRICE DELLE CONDUTTANZE DI NODO
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[ G ]t = [C]tt([C][G])t = [C] [G]t[C]t = [C] [G] [C]t = [ G ]
Dimostrazione:
Metodi sistematici
l
j=1
l
j=1
con (Cij)2=1 se il lato j incide al nodo i
=0 altrimenti
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somma aritmetica delle conduttanze dei
lati incidenti al nodo i
G ii = ∑ CijG jCij = ∑ Cij2G j
G ii
• G ii
riga i di [C] per conduttanza di lato j per colonna i
di [C]t ossia lati incidenti al nodo i per conduttanza
di lato j per lati incidenti al nodo i
MATRICE DELLE CONDUTTANZE DI NODO
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Metodi sistematici
k =1
k =1
∑ Cik G k C jk = ∑ (Cik C jk )G k
con (CikCjk)=-1 se il lato k è comune ai
nodi i e j
=0 altrimenti
G ij =
l
l
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• G ij
riga i di [C] per conduttanza di lato k per colonna
j di [C]t
conduttanza del lato k incidente nei nodi
G ij
i e j cambiata di segno
MATRICE DELLE CONDUTTANZE DI NODO
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Metodi sistematici
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• Ii somma algebrica delle correnti dei lati
incidenti al nodo i (+ se entranti)
j=1
Ii = − ∑ CijA j , Cij = ±1
l
• Ii riga i di [C] per correnti impresse di lato
Se non ci sono generatori di tensione
VETTORE DELLE CORRENTI IMPRESSE DI
NODO
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Metodi sistematici
[V]t [G] [V] > 0
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[ V ] esiste ed è unico
∀ [V ] ≠ 0
Se i resistori sono passivi (Gi>0), allora
[G] è diagonale definita positiva:
SOLUZIONE
[ G ] è definita positiva
Metodi sistematici
V2
4
3
V3
4
Ai>0 se concorde
con l’i-esimo lato
V1
2
2
Sia dato il circuito
ESEMPIO
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1
1
Metodi sistematici
[A]
5
3
⎡ A1 ⎤
⎢A ⎥
⎢ 2⎥
= ⎢A 3 ⎥
⎢ ⎥
⎢A 4 ⎥
⎢⎣ A 5 ⎥⎦
[G] =
[E] =
G4
0
0
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
0⎥
G5 ⎥⎦
0
0
0
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Nullo perché
non ci sono
generatori di
tensione
0
0
0
0
0
G3
⎡0⎤
⎢0⎥
⎢ ⎥
⎢0⎥
⎢ ⎥
⎢0⎥
⎢⎣0⎥⎦
⎡G1 0
⎢0 G
2
⎢
⎢0
0
⎢
0
⎢0
⎢⎣ 0
0
Sono noti:
E’ diagonale perché non ci sono
generatori dipendenti
ESEMPIO
4
3
incognite
V1
V2
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1
2
2
5
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Si elimini il nodo di riferimento
⎡− 1 1 0 0 0 ⎤
⎢ 0 −1 −1 −1 0 ⎥
⎥
[C] = ⎢⎢
0 0 0 1 − 1⎥
⎢
⎥
1
0
1
0
1
⎣
⎦
⎡ V1 ⎤
⎥
⎢
[ V] = ⎢ V 2 ⎥
⎢V 3 ⎥
⎣ ⎦
V3
4
3
E’ nota la struttura del circuito tramite la
matrice di incidenza
1
Metodi sistematici
V1
2
⎡G1 + G 2
⎢ −G
[G] = ⎢
2
⎢⎣ 0
1
1
4
3
V3
4
− G2
G 2 + G3 + G 4
− G4
V2
2
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0
⎤
− G 4 ⎥⎥
G 4 + G 5 ⎥⎦
5
3
Allora possiamo scrivere la matrice G
ispezionando il circuito
ESEMPIO
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Metodi sistematici
(n-1) × ℓ
⎡− 1 1 0 0 0 ⎤
⎢ 0 −1 −1 −1 0 ⎥
⎢
⎥
⎢⎣ 0 0 0 1 − 1⎥⎦
G = C G Ct =
⎡G 1 0
⎢0 G
2
⎢
⎢0
0
⎢
0
⎢0
⎢⎣ 0
0
0
0
0
G4
0
ℓ×ℓ
G3
0
0
0
0
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ℓ × (n-1)
0 ⎤ ⎡− 1 0 0 ⎤
⎢
⎥
0 ⎥⎥ ⎢ 1 − 1 0 ⎥
0 ⎥ ⎢ 0 −1 0 ⎥ =
⎥
⎥ ⎢
−
0
1
1
0⎥ ⎢
⎥
G 5 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 − 1⎥⎦
oppure costruire la matrice G nel seguente
modo:
ESEMPIO
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=
Metodi sistematici
⎡G 1 + G 2
⎢ −G
2
⎢
⎢⎣ 0
(n-1) × (n-1)
0 ⎤
0 ⎥⎥
0 ⎥
⎥
G4 ⎥
− G 5 ⎥⎦
0
ℓ × (n-1)
− G3
− G4
0
0
− G2
⎤
− G 4 ⎥⎥
G 4 + G 5 ⎥⎦
⎡ − G1
⎢G
⎢ 2
⎢ 0
⎢
⎢ 0
⎢⎣ 0
G 2 + G3 + G 4
− G4
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=
=
− G2
⎡− 1 1 0 0 0 ⎤
⎢ 0 −1 −1 −1 0 ⎥
⎢
⎥
⎢⎣ 0 0 0 1 − 1⎥⎦
(n-1) × ℓ
ESEMPIO
Metodi sistematici
=
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V2
4
3
V3
4
5
3
⎡ A1 − A 2 ⎤
= ⎢⎢ A 2 + A 3 + A 4 ⎥⎥
⎢⎣ − A 4 + A 5 ⎥⎦
-CA = -
⎡ A1 ⎤
⎢A ⎥
⎡− 1 1 0 0 0 ⎤ ⎢ 2 ⎥
⎢ 0 −1 −1 −1 0 ⎥ ⎢A 3 ⎥
⎢
⎥⎢ ⎥
⎢⎣ 0 0 0 1 − 1⎥⎦ ⎢ A 4 ⎥
⎢⎣ A 5 ⎥⎦
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si ha [ V ] = [ C ]t [ V ] e [I]=[A]+[G]([V]-[E])
Ricavato [ V ], risolvendo [ G ] [ V ] = [ I ] ,
⎡ A1 − A 2 ⎤
⎢A + A + A ⎥
[ I] = ⎢ 2
3
4⎥
⎢⎣ − A 4 + A 5 ⎥⎦
V1
2
2
ESEMPIO
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1
1
Metodi sistematici
≡ j
i
j
k
h
h
k
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Il funzionamento non è cambiato
(le KVL non sono cambiate)
Si deve far scomparire
quel lato (i ≡ j),
aggiungendo il generatore ai
lati incidenti in i o in j (G →∞
in serie con G finite)
Caso particolare
Se un lato ℓ tra i nodi i e j ha G →∞
(generatore ideale di tensione)
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i
Metodi sistematici
