Alberi e arborescenze di costo minimo

Alberi di costo minimo
Algoritmi di visita di grafi
Arborescenze di costo minimo
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Complementi di Ricerca Operativa
Giovanni Righini
Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione - Università degli Studi di Milano
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Definizioni - 1
Un grafo G = (V, E) è un albero se e solo se è connesso e aciclico.
Dato un grafo G = (V, E) un sottinsieme F ⊆ E è:
• una foresta se non contiene cicli;
• un connettore se (V, F) è connesso;
• un albero ricoprente se (V, F) è un albero;
• una foresta massimale se non esiste foresta che la contenga.
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Definizioni - 2
Un grafo G = (V, E) ha un albero ricoprente se e solo se è connesso.
Dato un grafo connesso G = (V, E), F è un albero ricoprente se e
solo se:
• F è una foresta massimale;
• F è un connettore minimale;
• F è una foresta con |F| = |V| − 1;
• F è un connettore con |F| = |V| − 1.
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Definizioni - 3
Dato un grafo G = (V, E) con k componenti connesse, ogni sua
foresta massimale ha |V| − k spigoli.
Essa forma un albero ricoprente in ciascuna delle componenti
connesse di G.
Quindi ogni foresta massimale è anche di massima cardinalità.
Analogamente ogni connettore contiene un connettore di minima
cardinalità.
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Il MSTP
Sia G = (V, E) un grafo connesso.
Sia l : E → < una funzione “lunghezza.
Per ogni F ⊆ E definiamo:
l(F) :=
X
l(e)
e∈F
Problema (Minimum Spanning Tree Problem). Trovare un albero
ricoprente di minima lunghezza in G.
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Proprietà
Definizione. F è una foresta buona se appartiene ad un albero
ricoprente minimo.
Teorema. Data una foresta buona F e dato uno spigolo e 6∈ F,
F ∪ {e} è una foresta buona se e solo se esiste un taglio C disgiunto
da F tale che e è lo spigolo di lunghezza minima in C.
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Dimostrazione - 1
Necessità. Sia T un albero ricoprente minimo che contiene
F ∪ {e}. Sia C il taglio (unico) disgiunto da T ∗ \{e}. Si consideri un
qualunque spigolo f ∈ C. L’insieme T 0 = T ∗ \{e} ∪ {f } è ancora un
albero ricoprente. Dal momento che T ∗ è minimo si ha l(T ∗ ) ≤ l(T 0 )
e quindi l(e) ≤ l(f ). Perciò e è uno spigolo di minima lunghezza in C.
∗
f
C
e
F
e
T*
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Dimostrazione - 2
Sufficienza. Sia T un albero ricoprente minimo contenente F. Sia
P il cammino in T ∗ tra i due estremi dello spigolo e. P contiene
necessariamente almeno uno spigolo f ∈ C, dove C è un taglio
disgiunto da F. Quindi T 0 = T ∗ \{f } ∪ {e} è anch’esso un albero
ricoprente. Dato che l(e) ≤ l(f ) si ha l(T 0 ) ≤ l(T ∗ ). Quindi anche T 0
è un albero ricoprente minimo. Poiché F ∪ {e} è contenuta in T 0 ,
essa è una foresta buona.
P
∗
e
C
f
F
T*
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Algoritmi
Tutti gli algoritmi sfruttano il teorema precedente. L’idea è di partire
con F vuota e di estenderla iterativamente con uno spigolo che
soddisfi il teorema, cioè sia lo spigolo di lunghezza minima in un
taglio C disgiunto da F.
Si ottengono diversi algoritmi a seconda di come si sceglie il taglio C.
I due principali sono:
• Jarnik (1930), Kruskal (1956), Prim (1957), Dijkstra (1959): C è il
taglio che separa la componente connessa cui appartiene un
vertice prefissato.
• Kruskal (1956), Loberman e Weinberger (1957), Prim (1957): C
è il taglio che separa le due componenti connesse cui
appartengono gli estremi di e.
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Algoritmo di Prim (1957)
begin
T :=∅; z:=0;
for v :=1 to n do flag[v ]:=0; flag[r ]:=1;
for v :=1 to n do c[v ]:=l(r , v ); pred[v ]:=r ;
for iterazione:=1 to n − 1 do
cmin:=∞;
for v :=1 to n do
if (flag[v ] = 0) and (c[v ] < cmin) then
v:=v ; cmin:=c[v ];
T :=T ∪ {[pred[v], v]}; z:=z + cmin;
flag[v ] := 1;
for v :=1 to n do
if (flag[v ] = 0) and (l(v, v ) < c[v ]) then
pred[v ] := v; c[v ]:=l(v, v );
end
La complessità è O(n2 ).
Con 2-heaps si ottiene O(m + log n).
Con Fibonacci heaps si ottiene O(m + n log n).
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Algoritmo di Kruskal (1956) - 1
L’ordinamento degli spigoli richiede O(m log n).
Dopo l’ordinamento la complessità è O(m + n log n) e si ottiene con
semplici liste a puntatori.
Si usa una lista L per ogni componente della foresta corrente.
Per ogni v ∈ V sia r (v ) il capofila della lista Lv cui v appartiene.
Inizialmente r (v ):=v e Lv :={v }.
Ad ogni iterazione è necessario:
• eseguire un test per decidere se il prossimo spigolo e = [u, v ]
chiude un ciclo o no;
• in caso negativo si deve aggiornare la struttura-dati.
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Algoritmo di Kruskal (1956) - 2
Il test è semplicemente: r (u) = r (v )?
Il test viene eseguito in tempo costante e al più m volte.
Quindi richiede complessivamente O(m).
Per aggiungere alla foresta corrente lo spigolo e = [u, v ], si sceglie la
lista più piccola tra Lu e Lv (in O(1) con un contatore di elementi
associato ad ogni lista) e si appende la lista più corta a quella più
lunga (anche questo in O(1)).
Si aggiorna quindi r (u 0 ) := r (v ) per ogni u 0 ∈ Lu in O(n).
Nessun nodo può appartenere alla lista più corta più di log n volte,
poiché la dimensione della lista corta come minimo raddoppia ogni
volta.
Quindi la modifica delle liste richiede complessivamente O(n log n).
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Algoritmo di Boruvka (1926)
Richiede che tutte le lunghezze degli spigoli siano diverse tra loro e si
presta alla realizzazione parallela.
F:=∅;
while (|F| < n − 1) do
Per ogni componente K di F
Scegli lo spigolo e minimo in δ(K );
Aggiungilo ad F;
F resta una foresta buona ad ogni iterazione. Infatti, siano
e1 , e2 , . . . , ek gli spigoli aggiunti ad F con l(e1 ) < l(e2 ) < . . . < l(ek ).
Per ogni i = 1, . . . , k, ei è lo spigolo più corto che esce da
F ∪ {e1 , e2 , . . . , ei−1 }, poiché nessuno degli {e1 , e2 , . . . , ei−1 } lascia
la componente Ki . Quindi F resta una foresta buona, come se gli
spigoli venissero aggiunti sequenzialmente.
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Algoritmo greedy duale
Toglie spigoli ai connettori invece che aggiungerli alle foreste.
Definizione. Un connettore è buono se contiene un albero ricoprente
minimo.
Teorema. Dato un connettore buono K e uno spigolo e ∈ K , K \{e} è
un connettore buono se e solo se K contiene un ciclo C tale che e è
lo spigolo più lungo in C.
Kruskal (1956): ordinare gli spigoli e partendo dal connettore K = E;
togliere iterativamente lo spigolo più pesante che non sia un ponte
(cioè senza disconnettere il grafo restante).
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Altri algoritmi
Algoritmo di Dijkstra (1960):
Ordinare gli spigoli arbitrariamente.
Quando si trova uno spigolo che forma un ciclo C, scegliere lo
spigolo più lungo in C e cancellarlo.
Algoritmo di Kalaba (1960):
Idem, ma partendo da un albero ricoprente arbitrario.
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Breadth-first search
Dati:
• un grafo G = (V, E)
• un vertice s ∈ V,
indichiamo con Vk l’insieme dei vertici raggiungibili da s con un
cammino fatto da almeno k spigoli.
• V0 = {s}
• Vk +1 = {v ∈ V\
Sk
i=0
Vk : ∃u ∈ Vk ∧ ∃[u, v ] ∈ E}.
Definizioni analoghe valgono nel caso di digrafo con archi orientati.
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Breadth-first search
Per trovare Vk +1 basta quindi scandire l’insieme degli spigoli (archi)
uscenti dai vertici (nodi) di Vk e inserire in Vk +1 i vertici (nodi) cosı̀
raggiunti, se non sono mai stati raggiunti prima (basta un flag binario
associato al vertice (nodo) per controllarlo).
La complessità dell’algoritmo risultante è O(m), poiché ogni spigolo
viene considerato al massimo due volte (ogni arco al massimo una
volta).
Questo algoritmo determina il cammino minimo da s a qualunque
altro vertice (nodo) del grafo (digrafo) nel caso in cui tutti gli spigoli
(archi) hanno peso unitario.
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Algoritmo Breadth-First Search
Algoritmo Breadth-First Search (Berge 1958, Moore 1959):
begin
for v :=1 to n do flag[v ]:=0; flag[s]:=1;
k := 0; Vk := {s};
while Vk 6= ∅ do
Vk +1 := ∅;
for u ∈ Vk do
for [u, v ] ∈ δ(u) do
if (flag[v ]=0) then
Vk +1 := Vk +1 ∪ {v };
flag[v ] := 1;
k := k + 1;
end.
I vertici (nodi) non raggiunti alla terminazione dell’algoritmo non
appartengono alla componente connessa di s.
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Depth-First Search (Tarry 1895)
Dati:
• un digrafo D = (N , A)
• un nodo s ∈ N ,
definiamo “scansione” di s (Scan(s) l’operazione (ricorsiva) seguente:
for (s, v ) ∈ δ + (s) do
for (u, v ) ∈ δ − (v ) : u 6= s do
delete (u, v );
Scan(v);
Se tutti i nodi di N sono raggiungibili da s, gli archi non cancellati
dalla Scan(s) formano un’arborescenza radicata in s.
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Ordine (pre-)topologico
I nodi di un digrafo si dicono ordinati in ordine topologico se
i < j ∀(vi , vj ) ∈ A.
Quindi un sottoinsieme di nodi N 0 può essere ordinato
topologicamente se e solo se il sottografo indotto A(N 0 ) è aciclico
(cioè non contiene circuiti).
I nodi di un digrafo si dicono ordinati in ordine pre-topologico se vale
la seguente condizione:
vi ≺ v j ⇒ i < j
dove vi ≺ vj ⇔ j è raggiungibile da i ma i non è raggiungibile da j.
Se il digrafo è aciclico, ogni ordine pre-topologico è anche topologico.
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Ordine pre-topologico
Teorema. Dato un di-grafo D = (N , A) e un nodo s ∈ N , i nodi
raggiungibili da s possono essere ordinati pre-topologicamente in
O(m0 ), dove m0 è il numero di archi raggiungibili da s.
Dimostrazione. Eseguendo Scan(s) tutti i nodi raggiungibili da s
vengono scanditi. L’ordine in cui termina la scansione di ciascuno è
l’opposto dell’ordine pre-topologico. Infatti, per ogni coppia di nodi u e
v raggiungibili da s, se esiste un cammino da u a v ma non da v a u,
allora Scan(v ) termina prima di Scan(u).
Corollario 1. I vertici di un digrafo D(N , A) possono essere ordinati
pre-topologicamente in tempo lineare.
Dimostrazione. Aggiungere un nodo fittizio s al digrafo e gli archi
(s, v ) ∀v ∈ N ed applicare il teorema precedente.
Corollario 2. I vertici di un digrafo D(N , A) aciclico possono essere
ordinati topologicamente in tempo lineare.
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Componenti fortemente connesse
Teorema (Kosaraju e Sharir, 1981. Dato un di-grafo D = (N , A) le
sue componenti fortemente connesse possono essere identificate in
tempo lineare.
Dimostrazione. Ordinare i nodi pre-topologicamente: v1 , v2 , . . . , vn .
Sia N1 l’insieme dei nodi da cui è raggiungibile v1 . Allora N1 è la
componente fortemente connessa a cui appartiene v1 . Infatti ogni vj
in N1 è raggiungibile da v1 per la propietà dell’ordinamento
pre-topologico.
Per il teorema precedente, l’insieme N1 può essere determinato in
tempo O(|A1 |), dove A1 è l’insieme degli archi che hanno la testa in
N1 . Cancellando tutti i nodi in N1 e gli archi in A1 si ottiene un altro
digrafo i cui nodi sono pre-topologicamente ordinati nella stessa
sequenza di prima. Quindi applicando l’operazione ricorsivamente, si
ottengono tutte le componenti fortemente connesse.
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Componenti connesse
Per i grafi non orientati vale l’analogo risultato:
Corollario (Shirey, 1969). Le componenti connesse di G = (V, E)
possono essere identificate in tempo lineare.
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r -Arborescenza di costo minimo
Dati:
• un digrafo D = (N , A),
• un vertice r ∈ N ,
• una pesatura degli archi l : A → <.
Problema (Minimum Spanning r -Arborescence Problem). Trovare
la r -arborescenza ricoprente di minimo peso.
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Controesempio
Gli algoritmi greedy per l’albero ricoprente minimo non funzionano.
u g
I
@
@
10
1
@
@
10@
@
- gv
15
@
@g
r
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L’algoritmo - 1
Algoritmo di Chu e Liu (1965), Edmonds (1967), Bock (1971).
Sia A0 = {a ∈ A : l(a) = 0}. Se A0 contiene una r -arborescenza B,
allora B è una r -arborescenza minima. Altrimenti esiste una
componente f.c. K nel digrafo (N , A0 ) tale che r 6∈ K e
l(a) > 0 ∀a ∈ δ − (K ). Sia α = min{l(a) : a ∈ δ − (K )}. Modificare
quindi la pesatura del digrafo: l 0 (a) := l(a) − α ∀a ∈ δ − (K ) e
l 0 (a) = l(a) altrimenti. Cercare quindi una r -arborescenza minima B
rispetto alla nuova pesatura l 0 .
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L’algoritmo - 2
È sempre possibile scegliere B in modo che contenga un solo arco
entrante in K , dato che K è f.c..
Se avessimo |B ∩ δ − (K )| ≥ 2 esisterebbe un arco a ∈ B ∩ δ − (K ) tale
che B\{a} ∪ A0 contiene ancora una r -arborescenza, B 0 , con
l 0 (B 0 ) ≤ l 0 (B) − l 0 (a) ≤ l 0 (B).
L’arborescenza minima B cosı̀ scelta, è minima anche rispetto alla
pesatura l. Infatti, per ogni altra r -arborescenza B 0 si ha:
l(B 0 ) = l 0 (B 0 ) + α|B 0 ∩ δ − (K )| ≥ l 0 (B 0 ) + α ≥ l 0 (B) + α = l(B).
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Complessità - 1
L’algoritmo ha complessità O(nm), poiché richiede al massimo 2n
iterazioni e ciascuna ha complessità O(m).
Sia k il numero di componenti f.c. nel digrafo (N , A0 ). Sia k0 il
numero di componenti f.c. di (N , A0 ) che non hanno archi entranti di
peso nullo.
Ad ogni iterazione k + k0 diminuisce. Infatti, se K rimane una
componente f.c., ha almeno un arco entrante di peso nullo e quindi k0
diminuisce; se invece K si fonde con un’altra componente f.c., allora
k diminuisce.
Inizialmente k = n e k0 = n. Quindi le iterazioni sono al massimo 2n.
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Complessità - 2
In tempo O(m) è possibile trovare l’insieme U dei vertici non
raggiungibili da r in (N , A0 ).
Sempre in tempo O(m) è possibile identificare le componenti f.c. del
sottografo indotto da U.
Infine è possibile ordinare i vertici in U in ordine pre-topologico in
modo che il primo vertice appartenga ad una componente f.c. senza
archi entranti di peso nullo.
Quindi ogni iterazione ha complessità O(m).
Tarjan (1977): realizzazione in tempo O(min{n2 , m log n).
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E per quanto riguarda gli alberi...
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