Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica

Insiemi numerici
Giulia Simi (Università di Siena)
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Siena 2015-2016
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Insiemi numerici
rappresentano la base su cui la matematica si è sviluppata;
costituiscono le tappe di uno dei più importanti cammini della
conoscenza.
Lo sviluppo storico dei numeri è diverso dalla sistemazione effettuata a
posteriori che parte da numeri naturali, N, passa attraverso i numeri
interi relativi, Z, i numeri razionali, Q, ed arriva ai numeri reali, R.
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Insiemi numerici
rappresentano la base su cui la matematica si è sviluppata;
costituiscono le tappe di uno dei più importanti cammini della
conoscenza.
Lo sviluppo storico dei numeri è diverso dalla sistemazione effettuata a
posteriori che parte da numeri naturali, N, passa attraverso i numeri
interi relativi, Z, i numeri razionali, Q, ed arriva ai numeri reali, R.
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Insiemi numerici
rappresentano la base su cui la matematica si è sviluppata;
costituiscono le tappe di uno dei più importanti cammini della
conoscenza.
Lo sviluppo storico dei numeri è diverso dalla sistemazione effettuata a
posteriori che parte da numeri naturali, N, passa attraverso i numeri
interi relativi, Z, i numeri razionali, Q, ed arriva ai numeri reali, R.
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Numeri Naturali: N
N = {0, 1, 2, . . . , n, n + 1, . . .}
Servono per contare;
Struttura algebrica:
In N si può sempre eseguire le operazioni di addizione e di
moltiplicazione, mentre questo non accade per la sottrazione e
per la divisione.
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Numeri Naturali: N
N = {0, 1, 2, . . . , n, n + 1, . . .}
Servono per contare;
Struttura algebrica:
In N si può sempre eseguire le operazioni di addizione e di
moltiplicazione, mentre questo non accade per la sottrazione e
per la divisione.
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Struttura di ordine
La relazione ≤ ordina in modo lineare l’insieme N: ogni numero
naturale corrisponde ad un punto su una retta orientata.
N
0
1
2
3
4
5
6
7
8
...
Figure: Ogni numero naturale corrisponde a un punto su una retta orientata.
In N esiste il minimo elemento, 0; ma non il massimo
il successivo di ogni numero naturale;
il precedente di ogni numero naturlale > 0.
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Struttura di ordine
La relazione ≤ ordina in modo lineare l’insieme N: ogni numero
naturale corrisponde ad un punto su una retta orientata.
N
0
1
2
3
4
5
6
7
8
...
Figure: Ogni numero naturale corrisponde a un punto su una retta orientata.
In N esiste il minimo elemento, 0; ma non il massimo
il successivo di ogni numero naturale;
il precedente di ogni numero naturlale > 0.
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Struttura di ordine
La relazione ≤ ordina in modo lineare l’insieme N: ogni numero
naturale corrisponde ad un punto su una retta orientata.
N
0
1
2
3
4
5
6
7
8
...
Figure: Ogni numero naturale corrisponde a un punto su una retta orientata.
In N esiste il minimo elemento, 0; ma non il massimo
il successivo di ogni numero naturale;
il precedente di ogni numero naturlale > 0.
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Numeri Interi relativi: Z
Z = {. . . , −(n + 1), −n, . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . , n, n + 1, . . .}
Sono stati introdotti per
poter sempre eseguire la sottrazione, motivazione matematica
disporre di una scala numerica illimitata in entrambi i sensi,
esigenza applicativa.
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Numeri Interi relativi: Z
Z = {. . . , −(n + 1), −n, . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . , n, n + 1, . . .}
Sono stati introdotti per
poter sempre eseguire la sottrazione, motivazione matematica
disporre di una scala numerica illimitata in entrambi i sensi,
esigenza applicativa.
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Numeri Interi relativi: Z
Come si costruisce l’insieme Z?
Si raddoppia N \ {0} e si introducono nuovi simboli per indicare gli
elementi nuovi:
Z = Z− ∪ {0} ∪ Z+ e N ⊂ Z.
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Struttura di ordine
Si introduce un ordine lineare che permette di rappresentare su
una retta orientata gli elementi di Z
Z
−6 −5
−4 −3
−2 −1
0
1
2
3
4
5
6
...
Figure: Ad ogni intero relativo corrisponde un punto sulla retta orientata.
Non esiste né massimo e né minimo;
esistono il successivo e il precedente di ogni numero intero
relativo.
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Struttura di ordine
Si introduce un ordine lineare che permette di rappresentare su
una retta orientata gli elementi di Z
Z
−6 −5
−4 −3
−2 −1
0
1
2
3
4
5
6
...
Figure: Ad ogni intero relativo corrisponde un punto sulla retta orientata.
Non esiste né massimo e né minimo;
esistono il successivo e il precedente di ogni numero intero
relativo.
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Struttura di ordine
Si introduce un ordine lineare che permette di rappresentare su
una retta orientata gli elementi di Z
Z
−6 −5
−4 −3
−2 −1
0
1
2
3
4
5
6
...
Figure: Ad ogni intero relativo corrisponde un punto sulla retta orientata.
Non esiste né massimo e né minimo;
esistono il successivo e il precedente di ogni numero intero
relativo.
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Struttura algebrica
In Z si può sempre eseguire l’operazione di addizione e
l’operazione di moltiplicazione;
ogni numero intero relativo b ∈ Z ha l’opposto che si indica con
−b ∈ Z.
Segue che in Z si può sempre esguire operazione di sottrazione:
∀a, b ∈ Z a − b = a + (−b) ∈ Z.
Nota
Operazione di sottrazione è l’operazione inversa dell’operazione di
addizione:
a − b = c ⇔ a = b + c.
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Struttura algebrica
In Z si può sempre eseguire l’operazione di addizione e
l’operazione di moltiplicazione;
ogni numero intero relativo b ∈ Z ha l’opposto che si indica con
−b ∈ Z.
Segue che in Z si può sempre esguire operazione di sottrazione:
∀a, b ∈ Z a − b = a + (−b) ∈ Z.
Nota
Operazione di sottrazione è l’operazione inversa dell’operazione di
addizione:
a − b = c ⇔ a = b + c.
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Struttura algebrica
In Z si può sempre eseguire l’operazione di addizione e
l’operazione di moltiplicazione;
ogni numero intero relativo b ∈ Z ha l’opposto che si indica con
−b ∈ Z.
Segue che in Z si può sempre esguire operazione di sottrazione:
∀a, b ∈ Z a − b = a + (−b) ∈ Z.
Nota
Operazione di sottrazione è l’operazione inversa dell’operazione di
addizione:
a − b = c ⇔ a = b + c.
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Struttura algebrica
In Z si può sempre eseguire l’operazione di addizione e
l’operazione di moltiplicazione;
ogni numero intero relativo b ∈ Z ha l’opposto che si indica con
−b ∈ Z.
Segue che in Z si può sempre esguire operazione di sottrazione:
∀a, b ∈ Z a − b = a + (−b) ∈ Z.
Nota
Operazione di sottrazione è l’operazione inversa dell’operazione di
addizione:
a − b = c ⇔ a = b + c.
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Numeri Razionali: Q
Sono stati introdotti per
eseguire l’operazione di divisione a : b con a, b ∈ Z e b 6= 0,
anche quando a non è multiplo di b. Questa è una motivazione
matematica.
esprimere le misure di grandezze qualsiasi che non sono multipli
dell’unità di misura. Questa è una esigenza applicativa
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Numeri Razionali: Q
Sono stati introdotti per
eseguire l’operazione di divisione a : b con a, b ∈ Z e b 6= 0,
anche quando a non è multiplo di b. Questa è una motivazione
matematica.
esprimere le misure di grandezze qualsiasi che non sono multipli
dell’unità di misura. Questa è una esigenza applicativa
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Numeri razionali: rappresentazione
Q=
na
b
o
: a ∈ Z, b ∈ Z \ {0}
Forma frazionaria: I numeri razionali sono quei numeri che si
ottengono dal quoziente tra due interi, ed è quindi si esprimano
come ba , dove a ∈ Z, b ∈ Z \ {0}.
Esistono infinite frazioni che rappresentano lo stesso numero
razionale
c
a
=
b
d
⇔
ad = cb;
In genere si rappresenta un numero razionale con la frazione
ridotta ai minimi termini e con denominatore positivo.
I numeri interi, Z, si scrivono nella forma
sottoinsieme proprio di Q, cioè Z ⊂ Q.
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a
1
con a ∈ Z, quindi Z è
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Numeri razionali: rappresentazione
Q=
na
b
o
: a ∈ Z, b ∈ Z \ {0}
Forma frazionaria: I numeri razionali sono quei numeri che si
ottengono dal quoziente tra due interi, ed è quindi si esprimano
come ba , dove a ∈ Z, b ∈ Z \ {0}.
Esistono infinite frazioni che rappresentano lo stesso numero
razionale
c
a
=
b
d
⇔
ad = cb;
In genere si rappresenta un numero razionale con la frazione
ridotta ai minimi termini e con denominatore positivo.
I numeri interi, Z, si scrivono nella forma
sottoinsieme proprio di Q, cioè Z ⊂ Q.
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a
1
con a ∈ Z, quindi Z è
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Numeri razionali: rappresentazione
Q=
na
b
o
: a ∈ Z, b ∈ Z \ {0}
Forma frazionaria: I numeri razionali sono quei numeri che si
ottengono dal quoziente tra due interi, ed è quindi si esprimano
come ba , dove a ∈ Z, b ∈ Z \ {0}.
Esistono infinite frazioni che rappresentano lo stesso numero
razionale
c
a
=
b
d
⇔
ad = cb;
In genere si rappresenta un numero razionale con la frazione
ridotta ai minimi termini e con denominatore positivo.
I numeri interi, Z, si scrivono nella forma
sottoinsieme proprio di Q, cioè Z ⊂ Q.
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a
1
con a ∈ Z, quindi Z è
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Numeri razionali: rappresentazione
Applicando l’algoritmo divisione con virgola, i numeri razionali,
non interi, si possono anche esprimere in forma decimale,numeri
con virgola
I
I
numeri decimali finiti: con un numero finito di cifre decimali;
numeri decimali periodici: con un numero infinito di cifre decimali,
che si ripetono in modo ciclico.
Ogni numero razionale è un numero intero o un numero numero
decimale finito o periodico.
Si dispone di algoritmi per passare dalla forma frazionaria alla
forma decimale e viceversa.
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Numeri razionali: rappresentazione
Applicando l’algoritmo divisione con virgola, i numeri razionali,
non interi, si possono anche esprimere in forma decimale,numeri
con virgola
I
I
numeri decimali finiti: con un numero finito di cifre decimali;
numeri decimali periodici: con un numero infinito di cifre decimali,
che si ripetono in modo ciclico.
Ogni numero razionale è un numero intero o un numero numero
decimale finito o periodico.
Si dispone di algoritmi per passare dalla forma frazionaria alla
forma decimale e viceversa.
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Numeri razionali: rappresentazione
Applicando l’algoritmo divisione con virgola, i numeri razionali,
non interi, si possono anche esprimere in forma decimale,numeri
con virgola
I
I
numeri decimali finiti: con un numero finito di cifre decimali;
numeri decimali periodici: con un numero infinito di cifre decimali,
che si ripetono in modo ciclico.
Ogni numero razionale è un numero intero o un numero numero
decimale finito o periodico.
Si dispone di algoritmi per passare dalla forma frazionaria alla
forma decimale e viceversa.
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Numeri razionali: rappresentazione
Applicando l’algoritmo divisione con virgola, i numeri razionali,
non interi, si possono anche esprimere in forma decimale,numeri
con virgola
I
I
numeri decimali finiti: con un numero finito di cifre decimali;
numeri decimali periodici: con un numero infinito di cifre decimali,
che si ripetono in modo ciclico.
Ogni numero razionale è un numero intero o un numero numero
decimale finito o periodico.
Si dispone di algoritmi per passare dalla forma frazionaria alla
forma decimale e viceversa.
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Numeri razionali: rappresentazione
Applicando l’algoritmo divisione con virgola, i numeri razionali,
non interi, si possono anche esprimere in forma decimale,numeri
con virgola
I
I
numeri decimali finiti: con un numero finito di cifre decimali;
numeri decimali periodici: con un numero infinito di cifre decimali,
che si ripetono in modo ciclico.
Ogni numero razionale è un numero intero o un numero numero
decimale finito o periodico.
Si dispone di algoritmi per passare dalla forma frazionaria alla
forma decimale e viceversa.
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Struttura di ordine
Si introduce un ordine lineare che permette di rappresentare su una
retta orientata gli elementi di Q.
− 32
−2
+ 12
−1
0
+ 52
+1
Q
+2
Figure: Ad ogni numero razionale corrisponde un punto sulla retta orientata.
A differenza di N e Z, l’ordine di Q è denso: tra due razionali distinti
esistono infiniti altri razionali.
Quindi non esiste il successivo di un numero razionale.
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Struttura di ordine
Si introduce un ordine lineare che permette di rappresentare su una
retta orientata gli elementi di Q.
− 32
−2
+ 12
−1
0
+ 52
+1
Q
+2
Figure: Ad ogni numero razionale corrisponde un punto sulla retta orientata.
A differenza di N e Z, l’ordine di Q è denso: tra due razionali distinti
esistono infiniti altri razionali.
Quindi non esiste il successivo di un numero razionale.
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Incompletezza di Q
Con i numeri razionali, è risolto il problema della misura?
Tramite i numeri razionali si possono ottenere misure ben
approssimate quanto si voglia; è possibile scendere al di sotto di
ogni margine di errore, per quanto piccolo:
ciò è più che sufficiente nella pratica effettiva della misura.
Con i numeri razionali è anche possibile ottenere in ogni caso
misure esatte?
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Incompletezza di Q
Con i numeri razionali, è risolto il problema della misura?
Tramite i numeri razionali si possono ottenere misure ben
approssimate quanto si voglia; è possibile scendere al di sotto di
ogni margine di errore, per quanto piccolo:
ciò è più che sufficiente nella pratica effettiva della misura.
Con i numeri razionali è anche possibile ottenere in ogni caso
misure esatte?
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Incompletezza di Q
La risposta è negativa: esistono segmenti la cui misura
rispetto al segmento unitario non è esprimibile con un
numero razionale
Esistono punti su una retta orientata che non corrispondono ad
alcun numero razionale: il segmento OP avente lunghezza pari
alla diagonale del quadrato costruito sul segmento unitario OU
non è il corrispondente di alcun numero razionale.
√
1
2
1
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Incompletezza di Q
La risposta è negativa: esistono segmenti la cui misura
rispetto al segmento unitario non è esprimibile con un
numero razionale
Esistono punti su una retta orientata che non corrispondono ad
alcun numero razionale: il segmento OP avente lunghezza pari
alla diagonale del quadrato costruito sul segmento unitario OU
non è il corrispondente di alcun numero razionale.
√
1
2
1
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√
2 non è un numero razionale
√
2 non è un numero razionale.
Cantor ha dimostrato che l’insieme dei punti di una retta orientata
che non corrispondono a nessun numero razionale è un’infinità
molto più grande dell’insieme dei punti che gli corrispondono:
la densità di Q non è sufficiente ad etichettare tutti i punti
della retta.
Per avere un numero in corrispondenza di ogni punto, e quindi per
poter misurare esattamente ogni segmento, è necessaria una
proprietà più forte che è detta completezza: il nuovo insieme
numerico deve completare la retta.
Q non la possiede e questo impone di passare ad un insieme
numerico più ricco: l’insieme R dei numeri reali.
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√
2 non è un numero razionale
√
2 non è un numero razionale.
Cantor ha dimostrato che l’insieme dei punti di una retta orientata
che non corrispondono a nessun numero razionale è un’infinità
molto più grande dell’insieme dei punti che gli corrispondono:
la densità di Q non è sufficiente ad etichettare tutti i punti
della retta.
Per avere un numero in corrispondenza di ogni punto, e quindi per
poter misurare esattamente ogni segmento, è necessaria una
proprietà più forte che è detta completezza: il nuovo insieme
numerico deve completare la retta.
Q non la possiede e questo impone di passare ad un insieme
numerico più ricco: l’insieme R dei numeri reali.
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√
2 non è un numero razionale
√
2 non è un numero razionale.
Cantor ha dimostrato che l’insieme dei punti di una retta orientata
che non corrispondono a nessun numero razionale è un’infinità
molto più grande dell’insieme dei punti che gli corrispondono:
la densità di Q non è sufficiente ad etichettare tutti i punti
della retta.
Per avere un numero in corrispondenza di ogni punto, e quindi per
poter misurare esattamente ogni segmento, è necessaria una
proprietà più forte che è detta completezza: il nuovo insieme
numerico deve completare la retta.
Q non la possiede e questo impone di passare ad un insieme
numerico più ricco: l’insieme R dei numeri reali.
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Numeri Reali
L’immagine intuitiva su cui basarsi per introdurre i numeri reali non è di
natura aritmetica, ma geometrica.
I numeri reali vengono individuati a partire dai punti di una
retta orientata r .
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Numeri Reali
L’immagine intuitiva su cui basarsi per introdurre i numeri reali non è di
natura aritmetica, ma geometrica.
I numeri reali vengono individuati a partire dai punti di una
retta orientata r .
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Corrispondenza tra i punti di una retta orientata r e i
numeri reali
P punto della semiretta positiva di r
I
I
P ↔ numero razionale positivo se OP e OU, unità, sono
commensurabili;
P ↔ numero irrazionale positivo se OP e OU, unità, sono
incommensurabili;
P punto della semiretta negativa di r
I
P ↔ numero razionale o irrazionale negativo , opposto del
numero corrispondente al punto P 0 , simmetrico di P rispetto ad O.
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Corrispondenza tra i punti di una retta orientata r e i
numeri reali
P punto della semiretta positiva di r
I
I
P ↔ numero razionale positivo se OP e OU, unità, sono
commensurabili;
P ↔ numero irrazionale positivo se OP e OU, unità, sono
incommensurabili;
P punto della semiretta negativa di r
I
P ↔ numero razionale o irrazionale negativo , opposto del
numero corrispondente al punto P 0 , simmetrico di P rispetto ad O.
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Corrispondenza tra i punti di una retta orientata r e i
numeri reali
P punto della semiretta positiva di r
I
I
P ↔ numero razionale positivo se OP e OU, unità, sono
commensurabili;
P ↔ numero irrazionale positivo se OP e OU, unità, sono
incommensurabili;
P punto della semiretta negativa di r
I
P ↔ numero razionale o irrazionale negativo , opposto del
numero corrispondente al punto P 0 , simmetrico di P rispetto ad O.
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Corrispondenza tra i punti di una retta orientata r e i
numeri reali
P punto della semiretta positiva di r
I
I
P ↔ numero razionale positivo se OP e OU, unità, sono
commensurabili;
P ↔ numero irrazionale positivo se OP e OU, unità, sono
incommensurabili;
P punto della semiretta negativa di r
I
P ↔ numero razionale o irrazionale negativo , opposto del
numero corrispondente al punto P 0 , simmetrico di P rispetto ad O.
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Corrispondenza tra i punti di una retta orientata r e i
numeri reali
P punto della semiretta positiva di r
I
I
P ↔ numero razionale positivo se OP e OU, unità, sono
commensurabili;
P ↔ numero irrazionale positivo se OP e OU, unità, sono
incommensurabili;
P punto della semiretta negativa di r
I
P ↔ numero razionale o irrazionale negativo , opposto del
numero corrispondente al punto P 0 , simmetrico di P rispetto ad O.
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L’insieme R dei numeri reali
Indicato con I l’ insieme dei numeri irrazionali, si definisce insieme R
dei numeri reali:
R = Q ∪ I.
I numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti di una
retta:
insieme dei numeri reali o retta reale
numero reale o punto della retta
I numeri reali risolvono completamente il problema della
misura.
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L’insieme R dei numeri reali
Indicato con I l’ insieme dei numeri irrazionali, si definisce insieme R
dei numeri reali:
R = Q ∪ I.
I numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti di una
retta:
insieme dei numeri reali o retta reale
numero reale o punto della retta
I numeri reali risolvono completamente il problema della
misura.
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18 / 53
L’insieme R dei numeri reali
Indicato con I l’ insieme dei numeri irrazionali, si definisce insieme R
dei numeri reali:
R = Q ∪ I.
I numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti di una
retta:
insieme dei numeri reali o retta reale
numero reale o punto della retta
I numeri reali risolvono completamente il problema della
misura.
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L’insieme R dei numeri reali
Indicato con I l’ insieme dei numeri irrazionali, si definisce insieme R
dei numeri reali:
R = Q ∪ I.
I numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti di una
retta:
insieme dei numeri reali o retta reale
numero reale o punto della retta
I numeri reali risolvono completamente il problema della
misura.
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L’insieme R dei numeri reali
Indicato con I l’ insieme dei numeri irrazionali, si definisce insieme R
dei numeri reali:
R = Q ∪ I.
I numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti di una
retta:
insieme dei numeri reali o retta reale
numero reale o punto della retta
I numeri reali risolvono completamente il problema della
misura.
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18 / 53
Rappresentazione dei reali
Come denotare i numeri reali irrazionali?
I numeri reali irrazionali hanno una rappresentazione decimale, non
finita e non periodica.
La conoscenza completa di un numero irrazionale è impossibile;
Si dimostra che non esiste un algoritmo per denotare
individualmente tutti i numeri irrazionali.
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19 / 53
Rappresentazione dei reali
Come denotare i numeri reali irrazionali?
I numeri reali irrazionali hanno una rappresentazione decimale, non
finita e non periodica.
La conoscenza completa di un numero irrazionale è impossibile;
Si dimostra che non esiste un algoritmo per denotare
individualmente tutti i numeri irrazionali.
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19 / 53
Rappresentazione dei reali
Come denotare i numeri reali irrazionali?
I numeri reali irrazionali hanno una rappresentazione decimale, non
finita e non periodica.
La conoscenza completa di un numero irrazionale è impossibile;
Si dimostra che non esiste un algoritmo per denotare
individualmente tutti i numeri irrazionali.
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Rappresentazione dei reali
Come denotare i numeri reali irrazionali?
I numeri reali irrazionali hanno una rappresentazione decimale, non
finita e non periodica.
La conoscenza completa di un numero irrazionale è impossibile;
Si dimostra che non esiste un algoritmo per denotare
individualmente tutti i numeri irrazionali.
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Struttura algebrica e di ordine
L’insieme R dei numeri reali è dotato di una struttura algebrica
che ci permette di eseguire i consueti calcoli, (addizione,
sottrazione, moltiplicazione e divisione) e di un ordinamento che
permette di confrontare tra loro due qualunque numeri reali.
I reali sono il punto di arrivo degli insiemi numerici ordinati in
modo lineare:
R è un insieme denso e completo.
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Struttura algebrica e di ordine
L’insieme R dei numeri reali è dotato di una struttura algebrica
che ci permette di eseguire i consueti calcoli, (addizione,
sottrazione, moltiplicazione e divisione) e di un ordinamento che
permette di confrontare tra loro due qualunque numeri reali.
I reali sono il punto di arrivo degli insiemi numerici ordinati in
modo lineare:
R è un insieme denso e completo.
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Come si opera con i numeri reali, R?
Ogni numero irrazionale può essere approssimato a piacere, sia
per difetto che per eccesso, da numeri razionali.
Anche i calcoli avvengono per approssimazione: un numero
irrazionale è approssimato in modo opportuno da un razionale.
Un aiuto viene dal calcolo letterale: un numero irrazionale si
indica con una lettera e si opera algebricamente su di esso,
rimandando la conversione numerica a calcoli avvenuti in modo
da evitare l’accumularsi degli errori di approssimazione.
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21 / 53
Come si opera con i numeri reali, R?
Ogni numero irrazionale può essere approssimato a piacere, sia
per difetto che per eccesso, da numeri razionali.
Anche i calcoli avvengono per approssimazione: un numero
irrazionale è approssimato in modo opportuno da un razionale.
Un aiuto viene dal calcolo letterale: un numero irrazionale si
indica con una lettera e si opera algebricamente su di esso,
rimandando la conversione numerica a calcoli avvenuti in modo
da evitare l’accumularsi degli errori di approssimazione.
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Come si opera con i numeri reali, R?
Ogni numero irrazionale può essere approssimato a piacere, sia
per difetto che per eccesso, da numeri razionali.
Anche i calcoli avvengono per approssimazione: un numero
irrazionale è approssimato in modo opportuno da un razionale.
Un aiuto viene dal calcolo letterale: un numero irrazionale si
indica con una lettera e si opera algebricamente su di esso,
rimandando la conversione numerica a calcoli avvenuti in modo
da evitare l’accumularsi degli errori di approssimazione.
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Legame tra struttura d’ordine e struttura algebrica in R
Proprietà delle disuguaglianze
∀a, b ∈ R
a≤b
⇒
∀c ∈ R
a + c ≤ b + c,
a≤b
⇒
∀c ∈ R
a − c ≤ b − c,
a≤b
a≤b
Giulia Simi (Università di Siena)
⇒
⇒
∀c ∈ R+ \ {0} ac ≤ bc,
∀c ∈ R+ \ {0}
a
b
≤ ,
c
c
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22 / 53
Legame tra struttura d’ordine e struttura algebrica in R
Proprietà delle disuguaglianze
∀a, b ∈ R
a≤b
⇒
∀c ∈ R
a + c ≤ b + c,
a≤b
⇒
∀c ∈ R
a − c ≤ b − c,
a≤b
a≤b
Giulia Simi (Università di Siena)
⇒
⇒
∀c ∈ R+ \ {0} ac ≤ bc,
∀c ∈ R+ \ {0}
a
b
≤ ,
c
c
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Legame tra struttura d’ordine e struttura algebrica in R
Proprietà delle disuguaglianze
∀a, b ∈ R
a≤b
⇒
∀c ∈ R
a + c ≤ b + c,
a≤b
⇒
∀c ∈ R
a − c ≤ b − c,
a≤b
a≤b
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⇒
⇒
∀c ∈ R+ \ {0} ac ≤ bc,
∀c ∈ R+ \ {0}
a
b
≤ ,
c
c
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Legame tra struttura d’ordine e struttura algebrica in R
Proprietà delle disuguaglianze
∀a, b ∈ R
a≤b
⇒
∀c ∈ R
a + c ≤ b + c,
a≤b
⇒
∀c ∈ R
a − c ≤ b − c,
a≤b
a≤b
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⇒
⇒
∀c ∈ R+ \ {0} ac ≤ bc,
∀c ∈ R+ \ {0}
a
b
≤ ,
c
c
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Legame tra struttura d’ordine e struttura algebrica in R
Proprietà delle disuguaglianze
∀a, b ∈ R
a≤b
⇒
∀c ∈ R
a + c ≤ b + c,
a≤b
⇒
∀c ∈ R
a − c ≤ b − c,
a≤b
a≤b
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⇒
⇒
∀c ∈ R+ \ {0} ac ≤ bc,
∀c ∈ R+ \ {0}
a
b
≤ ,
c
c
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22 / 53
Proprietà delle disuguaglianze
∀a, b ∈ R
a≤b
a≤b
a≤b
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⇒
⇒
⇒
−a ≥ −b,
∀c ∈ R− \ {0} ac ≥ bc,
∀c ∈ R− \ {0}
a
b
≥ .
c
c
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Proprietà delle disuguaglianze
∀a, b ∈ R
a≤b
a≤b
a≤b
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⇒
⇒
⇒
−a ≥ −b,
∀c ∈ R− \ {0} ac ≥ bc,
∀c ∈ R− \ {0}
a
b
≥ .
c
c
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Proprietà delle disuguaglianze
∀a, b ∈ R
a≤b
a≤b
a≤b
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⇒
⇒
⇒
−a ≥ −b,
∀c ∈ R− \ {0} ac ≥ bc,
∀c ∈ R− \ {0}
a
b
≥ .
c
c
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23 / 53
Proprietà delle disuguaglianze
0<a≤b
∨
a<0<b
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a≤b<0
⇒
⇒
1
1
≥ ,
a
b
1
1
<0< .
a
b
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24 / 53
Proprietà delle disuguaglianze
0<a≤b
∨
a<0<b
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a≤b<0
⇒
⇒
1
1
≥ ,
a
b
1
1
<0< .
a
b
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Valore assoluto e sue proprietà
Per ogni numero reale x ∈ R, si definisce valore assoluto di x:
x,
se x ≥ 0
|x| =
−x, se x < 0.
y
y = |x|
0
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x
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Proprietà del valore assoluto, |a|
1
2
3
|a| ≥ 0,
|a · b| = |a| · |b| e ba =
|a|
|b| ,
|a + b| ≤ |a| + |b|.
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Proprietà del valore assoluto, |a|
1
2
3
|a| ≥ 0,
|a · b| = |a| · |b| e ba =
|a|
|b| ,
|a + b| ≤ |a| + |b|.
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Proprietà del valore assoluto, |a|
1
2
3
|a| ≥ 0,
|a · b| = |a| · |b| e ba =
|a|
|b| ,
|a + b| ≤ |a| + |b|.
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Valore assoluto
Il valore assoluto di un numero reale può essere interpretato
geometricamente come la distanza dall’origine su una retta orientata.
Per ogni x ∈ R e per ogni k > 0 si ha
Caso a) |x| ≤ k .
x ≤ k,
se x ≥ 0;
−x ≤ k , se x < 0.
Quindi
|x| ≤ k ⇔ −k ≤ x ≤ k .
k
k
−k
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x
0
x
k
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Valore assoluto
Il valore assoluto di un numero reale può essere interpretato
geometricamente come la distanza dall’origine su una retta orientata.
Per ogni x ∈ R e per ogni k > 0 si ha
Caso a) |x| ≤ k .
x ≤ k,
se x ≥ 0;
−x ≤ k , se x < 0.
Quindi
|x| ≤ k ⇔ −k ≤ x ≤ k .
k
k
−k
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x
0
x
k
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Valore assoluto
Il valore assoluto di un numero reale può essere interpretato
geometricamente come la distanza dall’origine su una retta orientata.
Per ogni x ∈ R e per ogni k > 0 si ha
Caso a) |x| ≤ k .
x ≤ k,
se x ≥ 0;
−x ≤ k , se x < 0.
Quindi
|x| ≤ k ⇔ −k ≤ x ≤ k .
k
k
−k
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x
0
x
k
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Valore assoluto
Il valore assoluto di un numero reale può essere interpretato
geometricamente come la distanza dall’origine su una retta orientata.
Per ogni x ∈ R e per ogni k > 0 si ha
Caso a) |x| ≤ k .
x ≤ k,
se x ≥ 0;
−x ≤ k , se x < 0.
Quindi
|x| ≤ k ⇔ −k ≤ x ≤ k .
k
k
−k
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x
0
x
k
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27 / 53
Valore assoluto
Per ogni x ∈ R e per ogni k > 0 si ha
Caso b) |x| ≥ k .
x ≥ k,
se x ≥ 0;
−x ≥ k , se x < 0.
Quindi
|x| ≥ k ⇔ x ≤ −k e x ≥ k .
x
−k
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k
k
0
x
k
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Valore assoluto
Per ogni x ∈ R e per ogni k > 0 si ha
Caso b) |x| ≥ k .
x ≥ k,
se x ≥ 0;
−x ≥ k , se x < 0.
Quindi
|x| ≥ k ⇔ x ≤ −k e x ≥ k .
x
−k
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k
k
0
x
k
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Valore assoluto
Per ogni x ∈ R e per ogni k > 0 si ha
Caso b) |x| ≥ k .
x ≥ k,
se x ≥ 0;
−x ≥ k , se x < 0.
Quindi
|x| ≥ k ⇔ x ≤ −k e x ≥ k .
x
−k
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k
k
0
x
k
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Valore assoluto
Per ogni x ∈ R e per ogni k > 0 si ha
Caso b) |x| ≥ k .
x ≥ k,
se x ≥ 0;
−x ≥ k , se x < 0.
Quindi
|x| ≥ k ⇔ x ≤ −k e x ≥ k .
x
−k
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k
k
0
x
k
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Esercizi
Esercizi
1
Per ciascuna disequazione, determinare i valori reali di x che la
soddisfano, distinguendo il caso a > 0, a = 0 e a < 0:
|x| < a,
2
|x| > a.
Determinare le soluzioni in Z di ciascuna delle seguenti
disequazioni:
a) x − 21 < 15
2 ;
b) |1 − x| > 2.
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Esercizi
Esercizi
1
Per ciascuna disequazione, determinare i valori reali di x che la
soddisfano, distinguendo il caso a > 0, a = 0 e a < 0:
|x| < a,
2
|x| > a.
Determinare le soluzioni in Z di ciascuna delle seguenti
disequazioni:
a) x − 21 < 15
2 ;
b) |1 − x| > 2.
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Esercizi
Esercizi
1
Per ciascuna disequazione, determinare i valori reali di x che la
soddisfano, distinguendo il caso a > 0, a = 0 e a < 0:
|x| < a,
2
|x| > a.
Determinare le soluzioni in Z di ciascuna delle seguenti
disequazioni:
a) x − 21 < 15
2 ;
b) |1 − x| > 2.
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Potenze
Esponente numero naturale o numero intero relativo
Siano x numero reale non nullo, m numero naturale. Si
definisce:
x0 = 1 x1 = x
m > 1 ⇒ x m = x · x · . . . · x,
x −m =
m volte;
m
1
1
= m.
x
x
In particolare:
x −1 =
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1
,
x
reciproco di x.
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Potenze
Esponente numero naturale o numero intero relativo
Siano x numero reale non nullo, m numero naturale. Si
definisce:
x0 = 1 x1 = x
m > 1 ⇒ x m = x · x · . . . · x,
x −m =
m volte;
m
1
1
= m.
x
x
In particolare:
x −1 =
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1
,
x
reciproco di x.
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Potenze
Esponente numero naturale o numero intero relativo
Siano x numero reale non nullo, m numero naturale. Si
definisce:
x0 = 1 x1 = x
m > 1 ⇒ x m = x · x · . . . · x,
x −m =
m volte;
m
1
1
= m.
x
x
In particolare:
x −1 =
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1
,
x
reciproco di x.
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Potenze
Esponente numero naturale o numero intero relativo
Siano x numero reale non nullo, m numero naturale. Si
definisce:
x0 = 1 x1 = x
m > 1 ⇒ x m = x · x · . . . · x,
x −m =
m volte;
m
1
1
= m.
x
x
In particolare:
x −1 =
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1
,
x
reciproco di x.
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30 / 53
Potenze
Esponente razionale
Siano x numero reale positivo, m numero intero, n numero
intero positivo, si definisce:
√
m
n
x n = x m.
Tale definizione si estende agli esponenti razionali negativi,
ponendo:
m
1
1
x− n = m = √
.
n
xm
xn
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Potenze
Esponente razionale
Siano x numero reale positivo, m numero intero, n numero
intero positivo, si definisce:
√
m
n
x n = x m.
Tale definizione si estende agli esponenti razionali negativi,
ponendo:
m
1
1
x− n = m = √
.
n
xm
xn
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Potenze
Esponente razionale
Siano x numero reale positivo, m numero intero, n numero
intero positivo, si definisce:
√
m
n
x n = x m.
Tale definizione si estende agli esponenti razionali negativi,
ponendo:
m
1
1
x− n = m = √
.
n
xm
xn
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Potenze
Esponente razionale
Siano x numero reale positivo, m numero intero, n numero
intero positivo, si definisce:
√
m
n
x n = x m.
Tale definizione si estende agli esponenti razionali negativi,
ponendo:
m
1
1
x− n = m = √
.
n
xm
xn
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Proprietà delle potenze
Per ogni x, y numeri reali positivi, x, y ∈ R \ {0}
per ogni a, b numeri razionali e più in generali, numeri reali si ha:
a) x a · x b = x a+b ;
b) x a : x b = x a−b ;
c) (x a )b = x ab ;
d) (xy)a = x a · y a ;
a
a
= yx a .
e) yx
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Proprietà delle potenze
Per ogni x, y numeri reali positivi, x, y ∈ R \ {0}
per ogni a, b numeri razionali e più in generali, numeri reali si ha:
a) x a · x b = x a+b ;
b) x a : x b = x a−b ;
c) (x a )b = x ab ;
d) (xy)a = x a · y a ;
a
a
e) yx
= yx a .
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Proprietà delle potenze
Per ogni x, y numeri reali positivi, x, y ∈ R \ {0}
per ogni a, b numeri razionali e più in generali, numeri reali si ha:
a) x a · x b = x a+b ;
b) x a : x b = x a−b ;
c) (x a )b = x ab ;
d) (xy)a = x a · y a ;
a
a
e) yx
= yx a .
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Proprietà delle potenze
Per ogni x, y numeri reali positivi, x, y ∈ R \ {0}
per ogni a, b numeri razionali e più in generali, numeri reali si ha:
a) x a · x b = x a+b ;
b) x a : x b = x a−b ;
c) (x a )b = x ab ;
d) (xy)a = x a · y a ;
a
a
e) yx
= yx a .
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Proprietà delle potenze
Per ogni x, y numeri reali positivi, x, y ∈ R \ {0}
per ogni a, b numeri razionali e più in generali, numeri reali si ha:
a) x a · x b = x a+b ;
b) x a : x b = x a−b ;
c) (x a )b = x ab ;
d) (xy)a = x a · y a ;
a
a
e) yx
= yx a .
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Dalla proprietà delle potenze alle proprietà dei radicali
Siano x, y numeri reali non negativi e n, m ∈ N \ {0}. Ricordando che
√
n
1
x = xn,
dalle proprietà delle potenze si ricavano le seguenti proprietà dei
radicali:
√ √
√
a) n xy = n x · n y;
q
√
n
x
b) n yx = √
n y;
p√
√
c) n m x = nm x;
√
√
d) n x m = ( n x)m .
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Dalla proprietà delle potenze alle proprietà dei radicali
Siano x, y numeri reali non negativi e n, m ∈ N \ {0}. Ricordando che
√
n
1
x = xn,
dalle proprietà delle potenze si ricavano le seguenti proprietà dei
radicali:
√ √
√
a) n xy = n x · n y;
q
√
n
x
b) n yx = √
n y;
p√
√
c) n m x = nm x;
√
√
d) n x m = ( n x)m .
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Dalla proprietà delle potenze alle proprietà dei radicali
Siano x, y numeri reali non negativi e n, m ∈ N \ {0}. Ricordando che
√
n
1
x = xn,
dalle proprietà delle potenze si ricavano le seguenti proprietà dei
radicali:
√ √
√
a) n xy = n x · n y;
q
√
n
x
b) n yx = √
n y;
p√
√
c) n m x = nm x;
√
√
d) n x m = ( n x)m .
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Dalla proprietà delle potenze alle proprietà dei radicali
Siano x, y numeri reali non negativi e n, m ∈ N \ {0}. Ricordando che
√
n
1
x = xn,
dalle proprietà delle potenze si ricavano le seguenti proprietà dei
radicali:
√ √
√
a) n xy = n x · n y;
q
√
n
x
b) n yx = √
n y;
p√
√
c) n m x = nm x;
√
√
d) n x m = ( n x)m .
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Dalla proprietà delle potenze alle proprietà dei radicali
Siano x, y numeri reali non negativi e n, m ∈ N \ {0}. Ricordando che
√
n
1
x = xn,
dalle proprietà delle potenze si ricavano le seguenti proprietà dei
radicali:
√ √
√
a) n xy = n x · n y;
q
√
n
x
b) n yx = √
n y;
p√
√
c) n m x = nm x;
√
√
d) n x m = ( n x)m .
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Esercizi
1
Calcolare il seguente prodotto applicando le proprietà delle
potenze:
2 − 1
2
2 3
7
·
.
7
2
2
Per ogni scelta dei numeri a, b, p, q, con a, b, p e q diversi da
zero, l’espressione
−1
a
p
·
b
q
è uguale ad una soltanto delle seguenti espressioni. Quale?
i)
ap
bq
−1
,
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b
ii)
q
−1
a
,
p
a q −1
iii)
,
p b
iv )
pb
aq
−1
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.
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Esercizi
1
Calcolare il seguente prodotto applicando le proprietà delle
potenze:
2 − 1
2
2 3
7
·
.
7
2
2
Per ogni scelta dei numeri a, b, p, q, con a, b, p e q diversi da
zero, l’espressione
−1
a
p
·
b
q
è uguale ad una soltanto delle seguenti espressioni. Quale?
i)
ap
bq
−1
,
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b
ii)
q
−1
a
,
p
a q −1
iii)
,
p b
iv )
pb
aq
−1
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Un’applicazione interessante delle potenze: calcoli
con numeri in notazione scientifica
Ogni numero reale positivo x, x ∈ R+ \ {0}, può essere scritto in
notazione scientifica, cioè nella forma:
x = a · 10b ,
a ∈ R, 1 ≤ a < 10 e b ∈ Z \ {0}.
a è detta mantissa di x.
b è detta esponente di x.
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Utilità della notazione scientifica
Per numeri molto grandi, o molto piccoli, evita di dover scrivere
molti zeri e ne facilita la comprensione;
Permette più facilmente il confronto: due numeri che hanno lo
stesso esponente in notazione scientifica sono più o meno dello
stesso ordine di grandezza, il numero più grande non è superiore
a 10 volte il più piccolo.
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Utilità della notazione scientifica
Per numeri molto grandi, o molto piccoli, evita di dover scrivere
molti zeri e ne facilita la comprensione;
Permette più facilmente il confronto: due numeri che hanno lo
stesso esponente in notazione scientifica sono più o meno dello
stesso ordine di grandezza, il numero più grande non è superiore
a 10 volte il più piccolo.
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Operazioni in notazione scientifica: addizione e
sottrazione
Dati x1 = a1 · 10b1 e x2 = a2 · 10b2 per determinare la somma o la
differenza si portano i numeri x1 e x2 allo stesso esponente;
ad esempio si moltiplica e si divide x2 per 10b1 ,
x2 = a2 · 10b2 = a2 10b2 · 10−b1 · 10b1
si sommano o sottraggono le mantisse mantenendo lo stesso
esponente;
x1 ±x2 = a1 ·10b1 ±a2 10b2 · 10−b1 ·10b1 = a1 ± a2 · 10b2 −b1 ·10b1 ;
si scrive il risultato in notazione scientifica.
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Operazioni in notazione scientifica: addizione e
sottrazione
Dati x1 = a1 · 10b1 e x2 = a2 · 10b2 per determinare la somma o la
differenza si portano i numeri x1 e x2 allo stesso esponente;
ad esempio si moltiplica e si divide x2 per 10b1 ,
x2 = a2 · 10b2 = a2 10b2 · 10−b1 · 10b1
si sommano o sottraggono le mantisse mantenendo lo stesso
esponente;
x1 ±x2 = a1 ·10b1 ±a2 10b2 · 10−b1 ·10b1 = a1 ± a2 · 10b2 −b1 ·10b1 ;
si scrive il risultato in notazione scientifica.
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Operazioni in notazione scientifica: addizione e
sottrazione
Dati x1 = a1 · 10b1 e x2 = a2 · 10b2 per determinare la somma o la
differenza si portano i numeri x1 e x2 allo stesso esponente;
ad esempio si moltiplica e si divide x2 per 10b1 ,
x2 = a2 · 10b2 = a2 10b2 · 10−b1 · 10b1
si sommano o sottraggono le mantisse mantenendo lo stesso
esponente;
x1 ±x2 = a1 ·10b1 ±a2 10b2 · 10−b1 ·10b1 = a1 ± a2 · 10b2 −b1 ·10b1 ;
si scrive il risultato in notazione scientifica.
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Operazioni in notazione scientifica: moltiplicazione e
divisione
Per determinare il prodotto o il quoziente di
x1 = a1 · 10b1
e
x2 = a2 · 10b2 ,
è sufficiente, grazie alle proprietà delle potenze
moltiplicare o dividere le mantisse;
sommare o sottrarre gli esponenti;
scrivere il risultato in notazione scientifica.
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Operazioni in notazione scientifica: moltiplicazione e
divisione
Per determinare il prodotto o il quoziente di
x1 = a1 · 10b1
e
x2 = a2 · 10b2 ,
è sufficiente, grazie alle proprietà delle potenze
moltiplicare o dividere le mantisse;
sommare o sottrarre gli esponenti;
scrivere il risultato in notazione scientifica.
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Operazioni in notazione scientifica: moltiplicazione e
divisione
Per determinare il prodotto o il quoziente di
x1 = a1 · 10b1
e
x2 = a2 · 10b2 ,
è sufficiente, grazie alle proprietà delle potenze
moltiplicare o dividere le mantisse;
sommare o sottrarre gli esponenti;
scrivere il risultato in notazione scientifica.
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Esercizio 1.
Il virus herpes simplex è costituito dal nucleo e da due rivestimenti
proteici del nucleo stesso. Il nucleo ha massa 2 · 10−16 g, mentre i due
rivestimenti hanno massa, rispettivamente, 5 · 10−16 g e 1, 3 · 10−15 g.
Calcolare la massa del virus herpes simplex.
Risposta: 2 · 10−15 g
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Esercizio 1.
Il virus herpes simplex è costituito dal nucleo e da due rivestimenti
proteici del nucleo stesso. Il nucleo ha massa 2 · 10−16 g, mentre i due
rivestimenti hanno massa, rispettivamente, 5 · 10−16 g e 1, 3 · 10−15 g.
Calcolare la massa del virus herpes simplex.
Risposta: 2 · 10−15 g
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Soluzione Esercizio 1
Si portano i numeri allo stesso esponente:
2 · 10−1 · 10−15 + 5 · 10−1 · 10−15 + 1, 3 · 10−15 =
5
13
2
+
+
10 10 10
· 10−15 =
20
· 10−15 = 2 · 10−15 g.
10
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Soluzione Esercizio 1
Si portano i numeri allo stesso esponente:
2 · 10−1 · 10−15 + 5 · 10−1 · 10−15 + 1, 3 · 10−15 =
5
13
2
+
+
10 10 10
· 10−15 =
20
· 10−15 = 2 · 10−15 g.
10
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Soluzione Esercizio 1
Si portano i numeri allo stesso esponente:
2 · 10−1 · 10−15 + 5 · 10−1 · 10−15 + 1, 3 · 10−15 =
5
13
2
+
+
10 10 10
· 10−15 =
20
· 10−15 = 2 · 10−15 g.
10
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Soluzione Esercizio 1
Si portano i numeri allo stesso esponente:
2 · 10−1 · 10−15 + 5 · 10−1 · 10−15 + 1, 3 · 10−15 =
5
13
2
+
+
10 10 10
· 10−15 =
20
· 10−15 = 2 · 10−15 g.
10
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Esercizio 2
La popolazione umana è di circa 6 miliardi di persone. Ogni persona
ha mediamente 5, 6 litri di sangue (1 litro è pari a 1dm3 ).
Determinare il volume totale in m3 del sangue umano presente nel
mondo.
Risposta: 3, 36 · 107 m3
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Esercizio 2
La popolazione umana è di circa 6 miliardi di persone. Ogni persona
ha mediamente 5, 6 litri di sangue (1 litro è pari a 1dm3 ).
Determinare il volume totale in m3 del sangue umano presente nel
mondo.
Risposta: 3, 36 · 107 m3
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Soluzione Esercizio 2
6 miliardi ha 9 zeri. Quindi
5, 6 · 6 · 109 = 33, 6 · 109 dm3
33, 6 · 109 dm3 = 3, 36 · 107 m3 .
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Soluzione Esercizio 2
6 miliardi ha 9 zeri. Quindi
5, 6 · 6 · 109 = 33, 6 · 109 dm3
33, 6 · 109 dm3 = 3, 36 · 107 m3 .
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Soluzione Esercizio 2
6 miliardi ha 9 zeri. Quindi
5, 6 · 6 · 109 = 33, 6 · 109 dm3
33, 6 · 109 dm3 = 3, 36 · 107 m3 .
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Esercizio 3
Un atomo di idrogeno ha massa di circa 1, 7 · 10−27 g ed un atomo di
ossigeno ha massa di circa 2, 65 · 10−26 g.
Calcolare la massa di una molecola di acqua H2 O, composta da
un atomo di ossigeno e di due di idrogeno.
Risposta: 2, 99 · 10−26 g
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Esercizio 3
Un atomo di idrogeno ha massa di circa 1, 7 · 10−27 g ed un atomo di
ossigeno ha massa di circa 2, 65 · 10−26 g.
Calcolare la massa di una molecola di acqua H2 O, composta da
un atomo di ossigeno e di due di idrogeno.
Risposta: 2, 99 · 10−26 g
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Esercizio 3
Un atomo di idrogeno ha massa di circa 1, 7 · 10−27 g ed un atomo di
ossigeno ha massa di circa 2, 65 · 10−26 g.
Calcolare la massa di una molecola di acqua H2 O, composta da
un atomo di ossigeno e di due di idrogeno.
Risposta: 2, 99 · 10−26 g
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Soluzione Esercizio 3
Si portano i numeri allo stesso esponente:
2 · 1, 7 · 10−1 · 10−26 + 2, 65 · 10−26 =
(0, 34 + 2, 65) · 10−26 = 2, 99 · 10−26 g.
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Soluzione Esercizio 3
Si portano i numeri allo stesso esponente:
2 · 1, 7 · 10−1 · 10−26 + 2, 65 · 10−26 =
(0, 34 + 2, 65) · 10−26 = 2, 99 · 10−26 g.
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Soluzione Esercizio 3
Si portano i numeri allo stesso esponente:
2 · 1, 7 · 10−1 · 10−26 + 2, 65 · 10−26 =
(0, 34 + 2, 65) · 10−26 = 2, 99 · 10−26 g.
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Percentuali
Le percentuali si usano ogni volta che si vogliono confrontare due
quantità dello stesso tipo, segnalando che una delle due è una
certa frazione dell’altra.
Una percentuale una frazione con denominatore 100 e
numeratore non necessariamente intero:
p y
p
y è il p% di x ⇔ y =
x⇔ =
.
100
x
100
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Percentuali
Le percentuali si usano ogni volta che si vogliono confrontare due
quantità dello stesso tipo, segnalando che una delle due è una
certa frazione dell’altra.
Una percentuale una frazione con denominatore 100 e
numeratore non necessariamente intero:
p y
p
y è il p% di x ⇔ y =
x⇔ =
.
100
x
100
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Percentuali
Le percentuali si usano ogni volta che si vogliono confrontare due
quantità dello stesso tipo, segnalando che una delle due è una
certa frazione dell’altra.
Una percentuale una frazione con denominatore 100 e
numeratore non necessariamente intero:
p y
p
y è il p% di x ⇔ y =
x⇔ =
.
100
x
100
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Percentuali
In particolare:
considerare una percentuale p% di una quantità x, equivale a
p
moltiplicare x per 100
.
Ricordare che:
I
I
il calcolo di una percentuale è sempre una moltiplicazione;
una percentuale è sempre la percentuale di qualcosa.
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Percentuali
In particolare:
considerare una percentuale p% di una quantità x, equivale a
p
moltiplicare x per 100
.
Ricordare che:
I
I
il calcolo di una percentuale è sempre una moltiplicazione;
una percentuale è sempre la percentuale di qualcosa.
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Percentuali
In particolare:
considerare una percentuale p% di una quantità x, equivale a
p
moltiplicare x per 100
.
Ricordare che:
I
I
il calcolo di una percentuale è sempre una moltiplicazione;
una percentuale è sempre la percentuale di qualcosa.
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Percentuali
Date le quantità x e y , per trovare quale percentuale p di x è la
quantità y basta fare:
p=
y
· 100.
x
Esempio
Uno stato ha una popolazione di 25 milioni di abitanti, dei quali
200.000 sono stranieri.
Quale è la percentuale di stranieri rispetto all’intera popolazione?
Soluzione
p=
2 · 105
8 · 105
8
·
100
=
=
= 0, 8%.
6
6
10
25 · 10
10
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Percentuali
Date le quantità x e y , per trovare quale percentuale p di x è la
quantità y basta fare:
p=
y
· 100.
x
Esempio
Uno stato ha una popolazione di 25 milioni di abitanti, dei quali
200.000 sono stranieri.
Quale è la percentuale di stranieri rispetto all’intera popolazione?
Soluzione
p=
2 · 105
8 · 105
8
·
100
=
=
= 0, 8%.
6
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10
25 · 10
10
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Percentuali
Date le quantità x e y , per trovare quale percentuale p di x è la
quantità y basta fare:
p=
y
· 100.
x
Esempio
Uno stato ha una popolazione di 25 milioni di abitanti, dei quali
200.000 sono stranieri.
Quale è la percentuale di stranieri rispetto all’intera popolazione?
Soluzione
p=
2 · 105
8 · 105
8
·
100
=
=
= 0, 8%.
6
6
10
25 · 10
10
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Percentuale
Cosa significa:
la quantità x è aumentata o diminuita del p%?
Significa che la quantità finale y è data da:
p
p y =x+
x = 1+
x,
100
100
oppure
p
p y =x−
x = 1−
x.
100
100
Quindi x è moltiplicato per 1 +
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p
100 ,
oppure x è moltiplicato per 1 −
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p
100 .
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Percentuale
Cosa significa:
la quantità x è aumentata o diminuita del p%?
Significa che la quantità finale y è data da:
p
p y =x+
x = 1+
x,
100
100
oppure
p
p y =x−
x = 1−
x.
100
100
Quindi x è moltiplicato per 1 +
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p
100 ,
oppure x è moltiplicato per 1 −
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p
100 .
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Percentuale
Cosa significa:
la quantità x è aumentata o diminuita del p%?
Significa che la quantità finale y è data da:
p
p y =x+
x = 1+
x,
100
100
oppure
p
p y =x−
x = 1−
x.
100
100
Quindi x è moltiplicato per 1 +
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p
100 ,
oppure x è moltiplicato per 1 −
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p
100 .
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Percentuale
Cosa significa:
la quantità x è aumentata o diminuita del p%?
Significa che la quantità finale y è data da:
p
p y =x+
x = 1+
x,
100
100
oppure
p
p y =x−
x = 1−
x.
100
100
Quindi x è moltiplicato per 1 +
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p
100 ,
oppure x è moltiplicato per 1 −
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p
100 .
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Cosa capita se una quantità aumenta prima del p% e poi del q%?
Si può affermare che l’aumento finale è del (p + q)%?
Perché?
Soluzione
Se una quantità x è aumentata prima del p% e poi del q%, il suo valore
finale è:
!
pq
p + q + 100
p q y = 1+
x,
1+
x = 1+
100
100
100
e
y=
p+q+
1+
100
pq
100
!
x 6=
Quindi l’aumento finale è del p + q +
Giulia Simi (Università di Siena)
p+q
1+
x.
100
pq 100 %
e non del (p + q)%.
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Cosa capita se una quantità aumenta prima del p% e poi del q%?
Si può affermare che l’aumento finale è del (p + q)%?
Perché?
Soluzione
Se una quantità x è aumentata prima del p% e poi del q%, il suo valore
finale è:
!
pq
p + q + 100
p q y = 1+
x,
1+
x = 1+
100
100
100
e
y=
p+q+
1+
100
pq
100
!
x 6=
Quindi l’aumento finale è del p + q +
Giulia Simi (Università di Siena)
p+q
1+
x.
100
pq 100 %
e non del (p + q)%.
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Cosa capita se una quantità aumenta prima del p% e poi del q%?
Si può affermare che l’aumento finale è del (p + q)%?
Perché?
Soluzione
Se una quantità x è aumentata prima del p% e poi del q%, il suo valore
finale è:
!
pq
p + q + 100
p q y = 1+
x,
1+
x = 1+
100
100
100
e
y=
p+q+
1+
100
pq
100
!
x 6=
Quindi l’aumento finale è del p + q +
Giulia Simi (Università di Siena)
p+q
1+
x.
100
pq 100 %
e non del (p + q)%.
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Percentuali
Segue che: un aumento del p%, seguito da una diminuzione del p%,
non riporta al punto di partenza . . .
Esempio
Consideriamo un aumento del 50% seguito da una diminuzione del
50% di una quantità x. Si ha:
!
50
50 · 100
50
50
75
y = 1−
1+
x = 1−
x=
x.
100
100
100
100
Nota
Poiché l’operazione di moltiplicazione è commutativa, aumentare (o
diminuire) prima del p% e poi del q% è la stessa cosa dell’aumentare
(o diminuire) prima del q% e poi del p%.
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Percentuali
Segue che: un aumento del p%, seguito da una diminuzione del p%,
non riporta al punto di partenza . . .
Esempio
Consideriamo un aumento del 50% seguito da una diminuzione del
50% di una quantità x. Si ha:
!
50
50 · 100
50
50
75
y = 1−
1+
x = 1−
x=
x.
100
100
100
100
Nota
Poiché l’operazione di moltiplicazione è commutativa, aumentare (o
diminuire) prima del p% e poi del q% è la stessa cosa dell’aumentare
(o diminuire) prima del q% e poi del p%.
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Percentuali
Segue che: un aumento del p%, seguito da una diminuzione del p%,
non riporta al punto di partenza . . .
Esempio
Consideriamo un aumento del 50% seguito da una diminuzione del
50% di una quantità x. Si ha:
!
50
50 · 100
50
50
75
y = 1−
1+
x = 1−
x=
x.
100
100
100
100
Nota
Poiché l’operazione di moltiplicazione è commutativa, aumentare (o
diminuire) prima del p% e poi del q% è la stessa cosa dell’aumentare
(o diminuire) prima del q% e poi del p%.
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Percentuali
Segue che: un aumento del p%, seguito da una diminuzione del p%,
non riporta al punto di partenza . . .
Esempio
Consideriamo un aumento del 50% seguito da una diminuzione del
50% di una quantità x. Si ha:
!
50
50 · 100
50
50
75
y = 1−
1+
x = 1−
x=
x.
100
100
100
100
Nota
Poiché l’operazione di moltiplicazione è commutativa, aumentare (o
diminuire) prima del p% e poi del q% è la stessa cosa dell’aumentare
(o diminuire) prima del q% e poi del p%.
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Esercizi
1
2
La popolazione di una città aumenta del 20% nel 2008 e poi del
30% nel 2009.
Di quanto è aumentata complessivamente la popolazione nel
biennio 2008 − 2009?
In un negozio di abbigliamento ho pagato c euro una maglietta a
cui era stato applicato uno sconto del 30%.
Quale operazione devo svolgere per ottenere il prezzo della
maglietta prima dello sconto?
A) moltiplicare il prezzo c per 100
70 ;
130
B) moltiplicare il prezzo c per 100 ;
C) sommare al prezzo c il 70% di c;
D) sommare al prezzo c il 30% di c.
Giulia Simi (Università di Siena)
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Esercizi
1
2
La popolazione di una città aumenta del 20% nel 2008 e poi del
30% nel 2009.
Di quanto è aumentata complessivamente la popolazione nel
biennio 2008 − 2009?
In un negozio di abbigliamento ho pagato c euro una maglietta a
cui era stato applicato uno sconto del 30%.
Quale operazione devo svolgere per ottenere il prezzo della
maglietta prima dello sconto?
A) moltiplicare il prezzo c per 100
70 ;
130
B) moltiplicare il prezzo c per 100 ;
C) sommare al prezzo c il 70% di c;
D) sommare al prezzo c il 30% di c.
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Esercizi
1
2
La popolazione di una città aumenta del 20% nel 2008 e poi del
30% nel 2009.
Di quanto è aumentata complessivamente la popolazione nel
biennio 2008 − 2009?
In un negozio di abbigliamento ho pagato c euro una maglietta a
cui era stato applicato uno sconto del 30%.
Quale operazione devo svolgere per ottenere il prezzo della
maglietta prima dello sconto?
A) moltiplicare il prezzo c per 100
70 ;
130
B) moltiplicare il prezzo c per 100 ;
C) sommare al prezzo c il 70% di c;
D) sommare al prezzo c il 30% di c.
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Soluzioni
1
Si applica la formula p + q +
biennio 2008 − 2009 è
20 + 30 +
2
pq
100
e l’aumento della popolazione nel
600
20 · 30
= 50 +
= 56%.
100
100
Se si denota con x il costo della maglietta prima dello sconto,
allora
30
70
c = 1−
x=
x,
100
100
ossia
x=
100
c.
70
La risposta è A.
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Soluzioni
1
Si applica la formula p + q +
biennio 2008 − 2009 è
20 + 30 +
2
pq
100
e l’aumento della popolazione nel
600
20 · 30
= 50 +
= 56%.
100
100
Se si denota con x il costo della maglietta prima dello sconto,
allora
30
70
c = 1−
x=
x,
100
100
ossia
x=
100
c.
70
La risposta è A.
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Soluzioni
1
Si applica la formula p + q +
biennio 2008 − 2009 è
20 + 30 +
2
pq
100
e l’aumento della popolazione nel
600
20 · 30
= 50 +
= 56%.
100
100
Se si denota con x il costo della maglietta prima dello sconto,
allora
30
70
c = 1−
x=
x,
100
100
ossia
x=
100
c.
70
La risposta è A.
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Soluzioni
1
Si applica la formula p + q +
biennio 2008 − 2009 è
20 + 30 +
2
pq
100
e l’aumento della popolazione nel
600
20 · 30
= 50 +
= 56%.
100
100
Se si denota con x il costo della maglietta prima dello sconto,
allora
30
70
c = 1−
x=
x,
100
100
ossia
x=
100
c.
70
La risposta è A.
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Soluzioni
1
Si applica la formula p + q +
biennio 2008 − 2009 è
20 + 30 +
2
pq
100
e l’aumento della popolazione nel
600
20 · 30
= 50 +
= 56%.
100
100
Se si denota con x il costo della maglietta prima dello sconto,
allora
30
70
c = 1−
x=
x,
100
100
ossia
x=
100
c.
70
La risposta è A.
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Soluzioni
1
Si applica la formula p + q +
biennio 2008 − 2009 è
20 + 30 +
2
pq
100
e l’aumento della popolazione nel
600
20 · 30
= 50 +
= 56%.
100
100
Se si denota con x il costo della maglietta prima dello sconto,
allora
30
70
c = 1−
x=
x,
100
100
ossia
x=
100
c.
70
La risposta è A.
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Esercizio
Una popolazione di cavie è infettata con una malattia che provoca la
morte del 4% delle cavie la prima settimana e del 6% delle cavie la
seconda settimana.
Quale percentuale delle cavie è ancora viva dopo 2 settimane?
E se fossero morte il 6% la prima settimana e il 4% la seconda
settimana?
Soluzione
Il numero delle cavie è diminuito del
976
24
24
=
= 9, 76%.
= 10 −
4+6−
100
100
100
Quindi la percentuale delle cavie ancora viva dopo due settimane è
100 − 9, 76 = 90, 24%.
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Esercizio
Una popolazione di cavie è infettata con una malattia che provoca la
morte del 4% delle cavie la prima settimana e del 6% delle cavie la
seconda settimana.
Quale percentuale delle cavie è ancora viva dopo 2 settimane?
E se fossero morte il 6% la prima settimana e il 4% la seconda
settimana?
Soluzione
Il numero delle cavie è diminuito del
24
976
24
4+6−
=
= 9, 76%.
= 10 −
100
100
100
Quindi la percentuale delle cavie ancora viva dopo due settimane è
100 − 9, 76 = 90, 24%.
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Esercizio
Una popolazione di cavie è infettata con una malattia che provoca la
morte del 4% delle cavie la prima settimana e del 6% delle cavie la
seconda settimana.
Quale percentuale delle cavie è ancora viva dopo 2 settimane?
E se fossero morte il 6% la prima settimana e il 4% la seconda
settimana?
Soluzione
Il numero delle cavie è diminuito del
24
976
24
4+6−
=
= 9, 76%.
= 10 −
100
100
100
Quindi la percentuale delle cavie ancora viva dopo due settimane è
100 − 9, 76 = 90, 24%.
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