ARITMETICA GEOMETRIA ALGEBRA INFORMATICA
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M. Cerini – R. Fiamenghi – D. Giallongo – G. Patanè i d Proposte AR ITM ETI CA G EO M ETR IA ALG E B R A I N F O R MATI CA GUIDA DIDATTICA 1. Introduzione. 2. Caratteristiche del corso. 3. Piano del corso. 4. Proposte per la programmazione. 5. Prove di ingresso e verifiche. 6. Risultati delle prove di ingresso e delle verifiche contenute nella guida didattica. 7. Risultati dei giochi e delle verifiche finali contenute nei volumi. TREVISINI EDITORE La pubblicazione di un libro è un’operazione complessa, che richiede numerosi controlli: sul testo, sulle immagini e sulle relazioni che si stabiliscono tra essi. L’esperienza suggerisce che è praticamente impossibile pubblicare un libro privo di errori. Saremo quindi grati ai lettori che vorranno segnalarceli. AVVERTENZA: Nel caso di eventuali errori od omissioni nelle citazioni delle fonti, la Casa Editrice provvederà alle rettifiche che verranno comunicate dagli aventi diritto. Si ringrazia il Professor Giulio Pino d’Astore per la collaborazione prestata nella correzione degli esercizi. Un ingrandimento al 118% permette di portare le pagine della Guida al formato A4. UNI EN ISO 9001 Trevisini Editore opera con Sistema Qualità, certificato CISQCERT, conforme alla norma UNI EN ISO 9001. Edizione: 1 2 3 4 5 2002 2003 2004 2005 2006 Proprietà letteraria riservata Con i tipi della Casa Editrice Luigi Trevisini - Milano - 2002 Sito Internet: http://www.trevisini.it Posta Elettronica: [email protected] 3 1. INTRODUZIONE Questo nuovo corso di MATEMATICA è nato per una duplice finalità: rispondere ai bisogni degli alunni e a quelli degli insegnanti. Agli alunni abbiamo reso meno difficoltoso lo studio della matematica con aiuti di diverso tipo: le prime verifiche, gli esercizi guida, gli esempi, le attività di recupero, le verifiche finali e i giochi. Agli insegnanti abbiamo fornito delle risposte concrete ai bisogni sorti in seguito ai cambiamenti che stanno caratterizzando la scuola in questi ultimi anni. La possibilità di sperimentare nuove forme di organizzazione didattica e del tempo scolastico richiede, infatti, strumenti didattici aggiornati, flessibili e duttili, senza per questo rinunciare alla completezza, al rigore e alla significatività dei contenuti. Con gli strumenti messi a disposizione dal corso è possibile organizzare un piano di lavoro rispondente ai bisogni della classe e di ogni singolo alunno, oltre che sperimentare nuove opportunità di insegnamento e di apprendimento (vedi paragrafo 4). Al fine della valutazione abbiamo suddiviso le competenze disciplinari in SAPERE e SAPER FARE. C’è rispondenza tra SAPERE e SAPER FARE e i quattro criteri di valutazione per le scienze matematiche, come riassunto nella tabella seguente. Criteri SAPERE • Conoscenza degli elementi specifici della materia. • Comprensione del linguaggio specifico. • Osservazione di fatti, individuazione e applicazione di relazioni, proprietà e procedimenti. SAPER FARE • Identificazione e comprensione di problemi, formulazione di ipotesi e di soluzioni e loro verifica. • Uso del linguaggio specifico delle scienze matematiche. Come si desume dalla tabella, le competenze relative al SAPERE sono riferite alla conoscenza degli elementi specifici della materia; mentre quelle relative al SAPER FARE comprendono: l’osservazione di fatti, l’individuazione e l’applicazione di relazioni, proprietà e procedimenti; l’identificazione e la comprensione di problemi, la formulazione di ipotesi e di soluzioni e la loro verifica. Il criterio relativo al linguaggio è trasversale rispetto le competenze del sapere e del saper fare; in particolare, nel SAPERE rientra la comprensione del linguaggio, mentre nel SAPER FARE l’uso del linguaggio specifico delle scienze matematiche. 4 2 . C A R AT T E R I S T I C H E D E L C O R S O Il corso è articolato in SEI VOLUMI: – 2 di aritmetica (A – B), – 3 di geometria (A – B – C), – 1 di algebra. Arricchisce il corso un volume di INFORMATICA con alfabetizzazione (Word, Excel, Cabri) e applicazioni riferite agli argomenti del corso. Ogni volume del corso è suddiviso in UNITÀ UNITÀ , i cui contenuti sono strutturati in: BASE 1. Punto, linea, superficie ESERCIZI pagg. 99-102 APPROFONDIMENTO 10. Misura del tempo APPROFONDIMENT ENTOO ESERCIZI pagg. 134 - 135 RECUPERO ATTIVITA’ Ogni UNITÀ è suddivisa in: TEORIA ed ESERCIZI entrambi con relativi rimandi per ogni paragrafo. DI RECUPERO 5 Nella TEORIA di ogni Unità: c’è una PAGINA INIZIALE che riporta i PREREQUISITI e gli OBIETTIVI relativi al SAPERE e al SAPER FARE (così come richiesto dalle circolari ministeriali a partire dal 1999). Come già detto prima, è facile individuare la rispondenza tra queste competenze e i quattro criteri di valutazione utilizzati per le scienze matematiche. All’interno delle pagine di teoria, I TERMINI sono in grassetto; sono presenti FIGURE e DISEGNI esplicativi dell’argomento trattato; 6 le CONOSCENZE FONDAMENTALI (regole, proprietà, definizioni, procedimenti, ecc.) sono scritte in rosso e contornate in blu; le SCRITTURE GENERALIZZATE sono contornate da un riquadro nero. Alla fine di ogni paragrafo c’è una PRIMA VERIFICA per il controllo di quanto appreso della spiegazione teorica. I quesiti di queste prime verifiche sono di tipo: Vero/Falso con motivazione e/o correzione, esercizi di completamento, tabelle per l’applicazione di procedimenti e formule, problemi guidati, ecc.. 7 A volte a fine Unità è presente una PAGINA DI RIEPILOGO su termini, simboli, regole, ecc. utilizzati nell’Unità. Gli ESERCIZI di ogni Unità sono: – relativi ad ogni paragrafo della teoria, – graduati per difficoltà: quelli un po’ più difficili sono contrassegnati da una stellina. Sono ritenuti esercizi difficili o per la difficoltà di esecuzione o perché richiedono un procedimento articolato in più passaggi o, ancora, perché è necessaria una costruzione geometrica di non facile esecuzione, ecc. Inoltre, nelle pagine di ESERCIZI sono presenti: ESEMPI, con esercizi svolti, riconoscibili per il fondo giallo con scritta verde; 8 ESERCIZI GUIDA, con ulteriori spiegazioni per lo svolgimento corretto, o per introdurre altre spiegazioni o curiosità o informazioni; anch’essi su fondo giallo con scritta verde; 9 Chiudono le Unità di ESERCIZI: – esercizi di riepilogo, – attività di recupero, – verifiche finali. ESERCIZI DI RIEPILOGO sono riferiti agli argomenti fondamentali dell’Unità. Gli 10 Le ATTIVITÀ DI RECUPERO contengono esercizi guidati di conoscenza, di applicazione di regole, proprietà e/o procedimenti e di risoluzione di problemi su argomenti ritenuti essenziali per la continuazione del programma; queste attività possono essere utilizzate per creare percorsi di insegnamento individualizzato e/o di rinforzo; 11 Le VERIFICHE FINALI, con esercizi relativi al SAPERE e al SAPER FARE, comprendono quesiti a risposta chiusa con scelta multipla o di tipo Vero/Falso; proposizioni da correggere o da completare; esercizi e tabelle per l’applicazione di procedimenti, proprietà e/o formule; problemi con testi da completare e da risolvere, ecc. Gli esercizi sono relativi agli argomenti affrontati nell’Unità cui si riferiscono. Le verifiche finali possono essere utilizzate sia in preparazione alla verifica sia come verifica di fine Unità. Alla fine di ogni VOLUME (tranne in quello di Geometria A) ci sono delle schede con GIOCHI E PROBLEMI per sviluppare l’intuizione e il pensiero produttivo e creativo degli alunni. 12 Il volume di INFORMATICA comprende due parti: – alfabetizzazione, – applicazioni di EXCEL e CABRI. La parte di alfabetizzazione è suddivisa in 4 UNITÀ comprendenti: – TEORIA, – ESERCIZI, con relativi rimandi per ogni paragrafo. Le 4 Unità di TEORIA: 1. Sistemi operativi 2. Elaborazione di testi: Word 3. Foglio elettronico: Excel 4. Geometria con il computer: Cabri géomètre; presentano: una PAGINA INIZIALE che riporta i PREREQUISITI e gli OBIETTIVI relativi al SAPERE e al SAPER FARE; una spiegazione con NOTE e DEFINIZIONI A MARGINE riferite al testo; FIGURE che riportano le finestre dei programmi; PRIME VERIFICHE per il controllo di quanto appreso dalla spiegazione teorica. 13 ESERCIZI di ogni Unità: Gli – sono relativi ad ogni paragrafo della teoria; – sono: quesiti di tipo vero/falso; esercizi di completamento; quesiti a risposta multipla, ecc; – presentano ESERCIZI OPERATIVI sempre guidati e con ulteriori spiegazioni per lo svolgimento. La parte di Applicazioni di Excel e Cabri Géomètre fa riferimento agli argomenti del corso di Aritmetica, Geometria e Algebra e presenta: – una BREVE SPIEGAZIONE con richiami di teoria; – ESERCIZI GUIDATI per ogni argomento; – ESERCITAZIONI da svolgere da soli, utilizzando Excel; 14 – ESERCITAZIONI da svolgere da soli, utilizzando Cabri géomètre. 15 3. PIANO DEL CORSO * Le scritte Cabri ed Excel che compaiono nelle attività proposte indicano che gli argomenti sono trattati anche nel manuale di Informatica con l’uso dei software indicati. ARITMETICA n° - Volume A Unità Tipi di attività proposte 1 Una matematica senza numeri Base e Approfondimento 2 I numeri naturali Base 3 I sistemi di numerazione Base e Approfondimento 4 Addizione e sottrazione Base Excel 5 Moltiplicazione e divisione Base Excel Recupero 6 Metodi per risolvere i problemi Base e Approfondimento 7 Prime conoscenze sulle equazioni Approfondimento 8 L’elevamento a potenza Base Excel Recupero 9 Sistemi di numerazione non decimali Approfondimento 10 Divisori e multipli di un numero naturale 11 Rappresentazioni grafiche Base Excel Recupero Approfondimento Excel 12 Prime conoscenze sui numeri relativi Approfondimento 13 Le frazioni Base 14 Operazioni con le frazioni Base Recupero Giochi e problemi ARITMETICA - Volume B 15 Problemi con le frazioni (metodi risolutivi) Base Recupero 16 L’insieme Q(a) dei numeri razionali Base Excel 17 Estrazione di radice e insieme R(a) Base e Approfondimento Excel Recupero 18 Rapporti e proporzioni Base e Approfondimento Recupero 19 Relazioni e funzioni Approfondimento Excel 20 Proporzionalità diretta e inversa Base e Approfondimento Excel Giochi e problemi 16 GEOMETRIA n° - Volume A Unità Tipi di attività proposte 1 Le nozioni fondamentali della geometria I segmenti Base e Approfondimento Cabri Recupero 2 La misura Base 3 Gli angoli Base e Approfondimento Cabri Recupero 4 Rette nel piano Base Cabri 5 Poligoni Base Cabri 6 Triangoli Base e Approfondimento Cabri Recupero 7 Quadrilateri Base Cabri GEOMETRIA - Volume B 8 Equiestensione e area dei poligoni Base Cabri Recupero 9 Un problema di equiestensione nei triangoli rettangoli: il teorema di Pitagora Base e Approfondimento Cabri Recupero 10 Alcune trasformazioni geometriche: le isometrie Base e Approfondimento Cabri 11 Circonferenza, cerchio e loro parti Base Cabri Recupero 12 Poligoni inscritti e circoscritti e area di un poligono regolare Base Cabri Recupero 13 Lunghezza della circonferenza e area del cerchio Base Cabri Recupero Giochi e problemi GEOMETRIA - Volume C 14 La similitudine – I teoremi di Euclide Base Cabri 15 Proprietà della similitudine Base e Approfondimento Cabri 16 Introduzione alle trasformazioni topologiche, affini e proiettive Approfondimento 17 Rette e piani nello spazio Base 18 Solidi equivalenti – Volume di un solido – Peso specifico Base e Recupero 19 I poliedri Base e Approfondimento Recupero 20 Solidi di rotazione Base e Approfondimento Recupero Giochi e problemi 17 ALGEBRA n° Unità Tipi di attività proposte 1 Insieme dei numeri relativi Base 2 Operazioni con i numeri relativi Base Recupero 3 Calcolo letterale e monomi Base 4 I polinomi Base e Approfondimento 5 Identità ed equazioni Base Recupero 6 Problemi risolvibili con equazioni di 1° grado ad una incognita Base 7 Disuguaglianze e disequazioni Approfondimento 8 Elementi di geometria analitica Base Cabri 9 Piano cartesiano e funzioni matematiche Base e Approfondimento Cabri 10 La logica proposizionale Approfondimento 11 I circuiti elettrici Approfondimento 12 Statistica Base e Approfondimento Excel 13 Il calcolo delle probabilità Base e Approfondimento 14 Strutture algebriche Approfondimento Giochi e problemi Prove d’esame INFORMATICA 1 Sistemi operativi Base 2 Elaborazione di testi: Word Base 3 Foglio elettronico: Excel Base Excel 4 Geometria col computer: Cabri géomètre Base Cabri 5 Applicazioni di Excel Base Excel 6 Applicazioni di Cabri Base Cabri 18 4. PROPOSTE PER LA PROGRAMMAZIONE In questo paragrafo vi sono dei suggerimenti per il lavoro di programmazione. I materiali presentati sono da intendersi come proposte, consigli, spunti di lavoro, che ogni docente potrà utilizzare per elaborare e integrare la propria programmazione annuale. Il corso è stato pensato per strutturare dei percorsi diversificati che permettano di realizzare un apprendimento individualizzato e graduale, centrato sull’allievo più che sulla disciplina e finalizzato allo sviluppo progressivo di competenze. Vengono proposti due percorsi di base e alcuni di arricchimento: • PERCORSO BASE – UNO – finalizza all'acquisizione dei contenuti e delle abilità essenziali della matematica (livello basso), • PERCORSO BASE – DUE – finalizza all'acquisizione di contenuti e di abilità che permettano agli alunni di conseguire una preparazione più completa (livello medio), • PERCORSI DI ARRICCHIMENTO (livello alto). Il docente potrà predisporre la sua programmazione utilizzando almeno uno dei percorsi di base, e uno o più moduli di arricchimento in relazione alla situazione della classe, agli interessi manifestati dagli alunni, alle proprie competenze, alle attrezzature disponibili a scuola, ecc. PERCORSO BASE – UNO – (livello basso)* Aritmetica 1. Una matematica senza numeri V O L U M E 4. Addizione e sottrazione 5. Moltiplicazione e divisione 8. L’elevamento a potenza 10. Divisori e multipli A V O L U M E B Geometria 1. Le nozioni fondamentali della geometria I segmenti V O L U M E 3. Gli angoli A 6. Triangoli 4. Rette nel piano 7. Quadrilateri 14. Operazioni con le frazioni 8. Equiestensione e area dei poligoni 16. L’insieme Q(a) dei numeri razionali 17. Estrazione di radice 18. Rapporti e proporzioni 1. Insiemi dei numeri relativi 2. Operazioni con i numeri relativi 3. Calcolo letterale e monomi 5. Identità ed equazioni 5. Poligoni 13. Le frazioni 15. Problemi con le frazioni Algebra V O 9. Il teorema di Pitagora L U 11. Circonferenza, cerchio e loro parti M E 12. Poligoni inscritti e circoscritti B 13. Lunghezza della circonferenza e area del cerchio V 17. Rette e piani nello spazio O L 18. Solidi equivalenti – U Volume di un solido – M Peso specifico E 19. I poliedri C 20. Solidi di rotazione * Per lo svolgimento di questo percorso base non dovranno essere considerate le attività proposte nei paragrafi di approfondimento. 19 PERCORSO BASE – DUE – (livello medio)* Aritmetica Geometria 1. Una matematica senza numeri 2. I numeri naturali 3. I sistemi di numerazione V O L U M E 4. Addizione e sottrazione A 8. L’elevamento a potenza 5. Moltiplicazione e divisione 6. Metodi per risolvere i problemi 10. Divisori e multipli 13. Le frazioni 14. Operazioni con le frazioni 15. Problemi con le frazioni V 16. L’insieme Q(a) dei numeri O razionali L U 17. Estrazione di radice M E 18. Rapporti e proporzioni 20. Proporzionalità diretta B e inversa e loro applicazioni V O L U M E A 1. Le nozioni fondamentali della geometria I segmenti 2. La misura 3. Gli angoli 4. Rette nel piano 5. Poligoni 6. Triangoli 7. Quadrilateri 8. Equiestensione e area dei poligoni V 9. Il teorema di Pitagora O 10. Alcune trasformazioni L geometriche: le isometrie U M 11. Circonferenza, cerchio E e loro parti Algebra 1. Insiemi dei numeri relativi 2. Operazioni con i numeri relativi 3. Calcolo letterale e monomi 4. I polinomi 5. Identità ed equazioni 6. Problemi risolvibili con equazioni di 1° grado ad una incognita 8. Elementi di geometria analitica 12. Statistica 13. Il calcolo della probabilità B 12. Poligoni inscritti e circoscritti 13. Lunghezza della circonferenza e area del cerchio 14. La similitudine – I teoremi di Euclide V O 17. Rette e piani nello spazio L U M 18. Solidi equivalenti – Volume di un solido – E Peso specifico C 19. I poliedri 20. Solidi di rotazione * Per lo svolgimento di questo percorso base non dovranno essere considerate le attività proposte nei paragrafi di approfondimento. 20 PERCORSI DI ARRICCHIMENTO ✱ Ognuno dei titoli richiamati è preceduto da uno o due numeri: nel primo caso il numero identifica l’Unità, nel secondo caso l’Unità e il paragrafo da utilizzare. ARITMETICA VOL. A ✱ 7. Prime conoscenze sulle equazioni 12. Prime conoscenze sui numeri relativi VOLUME DI ALGEBRA Arricchimento negli ambiti aritmetico ed algebrico 7. Disuguaglianze e disequazioni 14. Strutture algebriche ARITMETICA VOL. B 17.9. Logaritmo di un numero 19. Relazioni e funzioni GEOMETRIA VOL. B VOLUME DI INFORMATICA 10.6. Composizione di isometrie 6. Applicazioni di Cabri géomètre Arricchimento nell’ambito geometrico GEOMETRIA VOL. C 15.7. Omotetia 15.8. Composizione di una omotetia e di una isometria 16. Introduzione alle trasformazioni topologiche, affini e proiettive 19.16. Tronco di piramide 19.17. Superficie e volume del tronco di piramide 19.18. Poliedri regolari 19.19. Superfici e volumi dei poliedri regolari 20.8 ..... 20.13. Tronco di cono e sfera 21 ARITMETICA VOL. A VOLUME DI ALGEBRA 6.2. Diagrammi di flusso 10. La logica proposizionale 9. 11. I circuiti elettrici Sistemi di numerazione non decimali (sistema binario) Arricchimento nell’ambito informatico VOLUME DI INFORMATICA 1. I sistemi operativi 2. Elaborazione di testi: Word 3. Foglio elettronico: Excel 4. Geometria col computer: Cabri géomètre 5. Applicazioni di Excel 6. Applicazioni di Cabri géomètre ARITMETICA VOL. A GEOMETRIA VOL. A 6.2. Diagrammi di flusso 2. La misura 11. Rappresentazioni grafiche 3.9. Aritmetica dell’orologio 3.10. Misura del tempo Arricchimento per il collegamento con le altre scienze ARITMETICA VOL. B VOLUME DI INFORMATICA 18.9. 3. Foglio elettronico: Excel 5.4. Rappresentazioni grafiche con Excel Grandezze omogenee, grandezze non omogenee e loro rapporti 18.10. Riproduzioni in scala 5.13. Percentuali con Excel 5.14. Rappresentazione grafica di dati espressi in percentuale 22 VOLUME DI ALGEBRA VOLUME DI INFORMATICA 9. 3. Foglio elettronico: Excel 4. Geometria col computer: Cabri géomètre Piano cartesiano e funzioni matematiche 5.12. Rappresentazione di funzioni matematiche con Excel 6.14. Piano cartesiano e funzioni matematiche con Cabri Arricchimento nell’ambito della geometria analitica ARITMETICA VOL. A 11. Rappresentazioni grafiche VOLUME DI ALGEBRA 12.4. Media, moda e mediana di dati raggruppati in classi di frequenza 12.5. Altri grafici usati in statistica 12.6. Scarto dalla media 12.7. Numeri indici Arricchimento nell’ambito statistico 13.6. Eventi indipendenti ed eventi dipendenti 13.7. Probabilità di un evento composto da due eventi indipendenti VOLUME DI INFORMATICA 13.8. Probabilità di un evento composto da due eventi dipendenti 3. Foglio elettronico: Excel 5.4. Rappresentazioni grafiche con Excel 5.9. Calcolo della media aritmetica con Excel 5.15. Elaborazioni statistiche con Excel 5.16. Calcolo della probabilità con Excel 23 4 . 1 P ro p o s t e d i m o d u l i PERCORSO BASE – UNO MODULO 1 arricchimento negli ambiti aritmetico e algebrico PERCORSO BASE – UNO MODULO 2 arricchimento nell’ambito informatico PERCORSO BASE – UNO MODULO 3 arricchimento per il collegamento con le altre scienze PERCORSO BASE – DUE MODULO 4 arricchimento negli ambiti aritmetico e algebrico PERCORSO BASE – DUE MODULO 5 arricchimento nell’ambito geometrico PERCORSO BASE – DUE MODULO 6 arricchimento nell’ambito informatico PERCORSO BASE – DUE MODULO 7 arricchimento per il collegamento con le altre scienze PERCORSO BASE – DUE MODULO 8 arricchimento nell’ambito della geometria analitica PERCORSO BASE – DUE MODULO 9 arricchimento nell’ambito statistico 5. PROVE DI INGRESSO E VERIFICHE Nelle pagine che seguono sono proposte delle Prove di ingresso e delle Verifiche. Le PROVE DI INGRESSO per le classi prima, seconda e terza riguardano specifici contenuti del programma di Scienze Matematiche e forniscono all’insegnante informazioni sul livello di preparazione della classe, al fine di predisporre una programmazione puntuale. Le VERIFICHE proposte riguardano i principali argomenti di aritmetica, geometria, ed algebra trattati nel corso e presentano esercizi finalizzati alla valutazione delle competenze del Sapere e Saper Fare. L'insegnante, in relazione all'argomento svolto, e in base a ciò che vuole verificare, potrà proporre solo la parte relativa al sapere, o solo quella relativa al saper fare, o svolgere le due parti in momenti diversi. Anche nelle verifiche sono evidenziati con una stellina gli esercizi meno “facili”; è quindi possibile graduare le difficoltà da sottoporre agli alunni, per verificare il raggiungimento degli obiettivi prefissati in relazione alla programmazione effettuata. 24 PROVE D’INGRESSO – CLASSE PRIMA Cognome ........................................................... data .......................................................... Nome ................................................................. classe ........................................................ SAPERE 1 Scrivi il nome che corrisponde a ognuna delle definizioni date, scegliendo tra quelli assegnati: sottrazione, divisore, addendi, differenza, prodotto, minuendo. Termini dell’addizione ........................................................... Risultato di una sottrazione ........................................................... Secondo termine di una divisione ........................................................... Risultato di una moltiplicazione ........................................................... Operazione inversa dell’addizione ........................................................... Primo termine di una sottrazione ........................................................... 2 Considera il numero 813,46 e contrassegna le risposte esatte: □ centesimi; □ centesimi; □ centinaia; □ centinaia; a) la cifra 8 occupa il posto di: b) la cifra 6 occupa il posto di: c) la cifra 1 occupa il posto di: d) la cifra 4 occupa il posto di: 3 4 □ unità; □ unità; □ decimi; □ decimi; □ centinaia. □ centinaia. □ unità. □ unità. Sottolinea i numeri pari. 273; ✪ □ migliaia; □ migliaia; □ decine; □ decine; 965; 486; 7101; 502; 1319; 814; 3510. Ad ogni descrizione di figura geometrica assegna il nome corrispondente, scegliendolo tra quelli assegnati: poligono regolare, esagono, triangolo isoscele ottusangolo, quadrato, parallelogramma, triangolo rettangolo. Triangolo avente un angolo di 90° .......................................... Poligono con sei lati .......................................... Poligono con due coppie di lati paralleli .......................................... Triangolo con un angolo ottuso e due lati congruenti .......................................... Figura piana con tutti i lati e gli angoli congruenti .......................................... Quadrilatero equiangolo e equilatero .......................................... 5 Barra la casella che corrisponde alla risposta esatta: a) moltiplicando per due un numero si ottiene: □ il doppio del numero; □ la terza parte del numero; □ la metà del numero. b) moltiplicando per tre un numero si ottiene: □ il quadruplo del numero; □ la terza parte del numero; □ il triplo del numero. c) dividendo per tre un numero si ottiene: □ la terza parte del numero; □ il triplo del numero; □ la metà del numero. d) dividendo per due il doppio di un numero si ottiene: □ la metà del numero; □ il numero stesso; □ la quarta parte del numero. 25 SAPER FARE Risolvi le seguenti operazioni ed effettua le prove. 6 a) 17 3,672 741,9 5,08 …………..… b) 398,75 135,4 …………… c) 20,01 13,1 ………........…… d) 37,29 14,5 …………… e) 3465 : 9 …………................… f) 41,472 : 5,4 ……...……… . Completa le seguenti equivalenze: 7 0,5 km …………… m 5,7 hg ………… kg 1,51 l ………… dl 320 mm …………… dm 84000 g …………… t 723 ml …………… l Risolvi il seguente problema seguendo le indicazioni: 8 Sul banco di un pasticcere di 39 anni ci sono 7 vassoi di pasticcini al cioccolato e 5 vassoi di pasticcini alla crema. Sapendo che ogni vassoio contiene 18 pasticcini, calcola quanti ce ne sono di ogni tipo e quanti in totale. Scrivi i dati del problema: ................................................................................... ................................................................................... ................................................................................... ................................................................................... Calcola ora: il numero di pasticcini al cioccolato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . il numero di pasticcini alla crema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . il numero totale di pasticcini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hai usato tutti i dati forniti dal testo del problema? . . . . . . . . . . . Quale dato non hai utilizzato? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Risolvi i seguenti problemi: 9 a) Il nonno di Andrea ha compiuto 73 anni nel 2000. In quale anno è nato? Quanti anni aveva nel 1992, quando è nato Andrea? ✪ b) In un cinematografo ci sono 480 posti suddivisi in 24 file. Durante uno spettacolo pomeridiano resta- no libere tre file. Quanti posti sono occupati? Sapendo che un biglietto di ingresso costa 6,20 euro, quanto sarà l’incasso? 10 Effettua i disegni richiesti con precisione e, di fianco ad ogni figura disegnata, scrivi il nome. a) Disegna un triangolo isoscele, un parallelogramma e un trapezio rettangolo. 1 ✪ b) Disegna un quadrato, un rettangolo, un rombo e di ciascuna figura colorane 4. 26 PROVE D’INGRESSO – CLASSE SECONDA Cognome ........................................................... data .......................................................... Nome ................................................................. classe ........................................................ SAPERE 1 Scrivi il termine che corrisponde a ognuna delle definizioni assegnate. a) Frazione il cui denominatore è maggiore del numeratore .............................. b) Segmenti che hanno un estremo in comune .............................. c) Numero che ha solo due divisori .............................. d) Rette incidenti che formano quattro angoli retti .............................. e) Operazione tra insiemi che ricerca gli elementi comuni .............................. f) Angoli la cui somma corrisponde a un angolo piatto .............................. g) Frazione che indica una sola parte di un intero .............................. h) Angolo che contiene i prolungamenti dei suoi lati .............................. i) Il maggiore dei divisori comuni di due o più numeri .............................. l) Valore numerico che rappresenta la distanza di un punto dell’asse delle y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Contrassegna la risposta che corrisponde al risultato delle operazioni indicate: a) 150 è uguale a: □ 0; □ 15; □ 1; □ 150. □ 1; □ 60. □ 1 7; □ 1. □ 8,2; □ 1 : 8,2. □ 100; □ 1000. □ 014; □ 1. 6 b) 0 è uguale a: □ 0; □ 6; c) 17 è uguale a: □ 7; □ 1 7; 1 d) 8,2 è uguale a: □ 1; □ 82; e) 103 è uguale a: □ 30; □ 310; f) (5 9) è uguale a: 0 □ 0; □ 14; g) 12 12 12 è uguale a: 4 □ 12; 3 □ 127; □ 1212; □ 128. □ 353; □ 351. □ 634; □ 164. □ 9; □ 90. h) 358 : 354 : 35 è uguale a: □ 35; □ 354; i) 74 94 è uguale a: □ 638; □ 6316; l) [(95)2]3 è uguale a: □ 930; 3 □ 910; Completa: un numero è divisibile per 2 se: ................................................................................... un numero è divisibile per 3 se: ................................................................................... un numero è divisibile per 5 se: ................................................................................... 27 un numero è divisibile per 10; 100; 1000 se: ................................................................................... ✪ un numero è divisibile per 11 se: ................................................................................... ................................................................................... SAPER 4 FARE Risolvi le seguenti espressioni: a) {1,2 (0,1 0,15 5) : [0,25 (3 2 0,2)]} 5; b) [(2 53 23 5) : (10 22 5) 3]2 : 22; ✪ c) {[(1 15 : 3)2 : (34 33 : 36)]2 (102 5 23)}3 : [(23 3)2 (6 : 2)2]. 5 Determina M.C.D. e m.c.m. dei seguenti gruppi di numeri: a) 375; 225; 135; 6 b) 4180; 1064. Risolvi i seguenti problemi (esegui un disegno preciso): a) La differenza tra due segmenti misura 18 m e il maggiore è il quadruplo del minore; calcola la loro lunghezza. 5 b) Due angoli supplementari sono uno i dell’altro; determina le loro ampiezze. 7 c) La somma di tre segmenti misura 25,2 cm. Calcola la misura di ciascuno di essi, sapendo che il secondo è il doppio del primo e che il terzo è il triplo del secondo. ∧ d) Facendo riferimento alla seguente illustrazione e sapendo che 6 48°31’, determina l’ampiezza degli angoli indicati. ∧ 4 ∧ 5 ∧ ∧ 8 7 7 ∧ ∧ 2 1 ∧ 3 ∧ 6 ∧ 2 …………… perché ……………………………………..........… ∧ 8 …………… perché ……………………………………..........… ∧ 3 …………… perché ……………………………………..........… ∧ 5 …………… perché ……………………………………..........… ∧ 1 …………… perché ……………………………………..........… ∧ 7 …………… perché ……………………………………..........… Disegna i 4 segmenti rispettando le indicazioni fornite: 1 AB CD 4 F 3 A E B H G = DC AB . ✪ 8 Disegna due angoli che abbiano un vertice in comune e che siano uno il doppio dell’altro, ma che non siano consecutivi. Indicali con i simboli specifici. ✪ 9 Esegui le seguenti consegne: a) Disegna un triangolo acutangolo e individua il baricentro e l’ortocentro. b) Disegna un triangolo rettangolo e individua l’incentro e il circocentro. 28 PROVE D’INGRESSO – CLASSE TERZA Cognome ........................................................... data .......................................................... Nome ................................................................. classe ........................................................ SAPERE 1 Scrivi il termine che corrisponde a ognuna delle definizioni assegnate. a) Cifra o gruppo di cifre decimali che si ripetono all’infinito ...................... b) Radice quadrata di un numero che non è un quadrato perfetto ...................... c) Proporzionalità il cui grafico è un ramo di iperbole equilatera ...................... d) Grandezze per le quali il rapporto tra valori corrispondenti è costante ...................... e) Numero che esprime quante unità rispetto a cento soddisfano una data condizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f) Approssimazione che aumenta il valore di un numero decimale ...................... g) Proporzione con il 2° e il 3° termine uguali ...................... h) Triangoli per i quali non è verificata la relazione del teorema di Pitagora ...................... 2 Completa la tabella relativa alle formule dirette e inverse delle figure piane: figura formula diretta formula/e inversa/e A ………… l ………… A ………… d … … … … … rettangolo parallelogramma rombo A ……………… b ……… h ………. trapezio A ……………… b1 b2 ……… h ………. rombo A ……………… d1 …………… d2 ……… A ……………… b ……………… h ………. quadrato triangolo A … … … … … … … … … … 3 Contrassegna le risposte esatte relative alla proporzione a : b c : d. a) a e c sono: □ medi; □ estremi; □ antecedenti; □ conseguenti. □ estremi; □ antecedenti; □ conseguenti. □ estremi; □ antecedenti; □ conseguenti. b) b e c sono: □ medi; c) a e d sono: □ medi; d) la scrittura a d b c esprime la proprietà: □ del permutare; □ fondamentale; e) la scrittura b : a d : c esprime la proprietà: □ del permutare; □ fondamentale; □ dell’invertire; □ del comporre. □ dell’invertire; □ del comporre. f) per applicare la proprietà dello scomporre si deve verificare che: □a>b e c < d; □ab e c > d; □a<b e c < d; □a>b e c > d. 29 1 g) se a : b , allora: 3 □ c : d 3; h) se a : b 5, allora: □ d : c 5; □ c : d 32; □ c : d 1 □ c : d 13. □ d : c 1; □c:d5 □ c : d 1 . 3 5 5 i) la formula per calcolare il valore di a è: bc □ ; □ c db; d l) la formula per calcolare c è: ba □ ; □ adb; d 4 □ bd ; c bc □ . □ ad ; b □ d ad . b Considera il triangolo rettangolo dell’illustrazione, inserisci i nomi degli elementi, completa le relazioni del teorema di Pitagora e le formule richieste. C a ...................................................................................... a b hi b ...................................................................................... c ....................................................................................... A c H ........................ c .. B H .. ........................ a .. ........................ H A .. ........................ b .. ........................ H C .. ........................ A(ABC) .................. oppure SAPER 5 hi ...................................................................................... B A(ABC) .................. FARE Risolvi le seguenti proporzioni: 3 b) x : 4 : 5; 2 1 2 7 2 7 3 c) x : : ; 3 2 3 6 8 12 a) 12 : x x : 3; ✪ d) x : 1310 x 1 14 : 12 18; e) x : 7 y : 11 z : 13 6 con x y z 3720. Utilizzando le tavole estrai le seguenti radici quadrate rispettando le approssimazioni richieste: 5184 ………… 11025 ………… 0,1 615,2 ………… 7 9,6 1 ………… 0,01 0,01 14,4 ………… 0,0 09 ………… Risolvi le seguenti espressioni: a) 5 4 10 1 12 17 3 : 4 7 14 ; 4 9 7 7 5 . : 0,3 ✪ b) 0,12 5 : 0,2 2 44 1 3 5 5 5 1 30 Risolvi i seguenti problemi: 8 a) La diagonale e la base di un rettangolo misurano rispettivamente 39 m e 36 m. Calcola perimetro e area del rettangolo. b) In base all’illustrazione e ai dati forniti determina i valori delle incognite. D C AB 27 cm 2p(ABCD) ? C 12 cm D A(ABCD) ? H 20 cm C H ⊥ AB C A H B ✪ c) In un rombo una diagonale è 185 dell’altra e la loro somma è 138 dm. Calcola: – l’area e il perimetro del rombo; 5 – l’area di un rettangolo isoperimetrico al rombo nel quale il rapporto tra le dimensioni è ; 1 2 – che cosa osservi? ✪ 9 Osserva il seguente diagramma di Eulero-Venn e completa: Q(a) N N rappresenta ……………………… ……………………………………… Q(a) rappresenta ……………………… ……………………………………… Osserva le seguenti relazioni e stabilisci se sono vere o false: a) N Q(a) □ V □ F b) Q(a) N □ V □ F c) Q(a) N □ V □ F d) N Q(a) □ V □ F e) Q(a) N □ V □ F f) N Q(a) □ V □ F g) 3,5 Q(a) □ V □ F 20 h) N 4 □ V □ F i) 7 Q(a) □ V □ F 10 Rappresenta in un riferimento cartesiano le seguenti funzioni e scrivi le relative osservazioni: 1 y x; 3 24 y ; x y 3 x 2. VERIFICA DI ARITMETICA 31 Insiemi Cognome ........................................................... data ......................................................... Nome ................................................................. classe........................................................ SAPERE 1 Contrassegna le risposte esatte (possono essere più di una). a) Un insieme è vuoto quando: □ contiene solo lo zero; □ non contiene elementi; □ contiene un solo elemento; □ è infinito. b) Il simbolo che indica l’operazione di unione tra insiemi è: □ □ □ □ . c) Il simbolo che indica l’appartenenza di un elemento a un insieme è: □ □ □ □ . d) Per rappresentare un insieme si usa: □ la rappresentazione per elencazione; □ la rappresentazione cartesiana; □ il diagramma di Eulero-Venn; □ la rappresentazione per caratteristica. e) La rappresentazione tabulare di un insieme è: □ la sua rappresentazione grafica; □ la rappresentazione di una caratteristica comune a tutti gli elementi; □ l’elenco di tutti gli elementi che appartengono all’insieme; □ il diagramma di Venn dell’insieme. f) L’intersezione tra due insiemi è l’insieme che: □ contiene sempre un solo elemento di ogni insieme; □ contiene solo elementi del primo insieme; □ contiene tutti gli elementi comuni ai due insiemi; □ non contiene alcun elemento. g) Se due insiemi non hanno elementi comuni si dicono: □ disgiunti; □ complementari; □ sottoinsiemi; □ non inclusi. h) Tra i due insiemi sono possibili le seguenti operazioni: □ divisione; 2 □ prodotto cartesiano; □ unione; □ differenza. Osserva le seguenti rappresentazioni grafiche e per ognuna di esse contrassegna le risposte esatte (possono essere più di una). a) b) r A l D E c) A □dA □pA □lA □rA □ED □DE □ED □ED □AB □AB{} □AB □BA d B 32 N L M d) □NLM □ □GG F □ OLM □NLM □NM □F–GG □FG G O F e) G ✪ 3 Considera il seguente diagramma di Eulero-Venn e contrassegna le risposte esatte: B A d i o a v l n u e C SAPERE 4 GF G □ A {d } □ B {e, n, a} □ C {i, l, o, u, v} □CAB □ A {lettere della parola “diluvio”} □CA □CAB □ A B {d} FARE A Considera i seguenti diagrammi di Eulero-Venn: 5 a) scrivi le loro rappresentazioni per elencazione: A ............................. ; B ............................. ; C ............................. ; 9 1 3 7 b) scrivi le loro rappresentazioni per caratteristica: A .................................................................................................... ; B B .................................................................................................... ; 2 C .................................................................................................... ; 6 c) completa le seguenti scritture inserendo i simboli adeguati di appartenenza o di inclusione: 5 1 …… A 3 …… B A …… B B …… A 7 …… A 6 …… A 5 …… A C …… A C …… B 8 …… B 12 …… A 12 …… B A …… C B …… C 9 …… C 4 …… B 4 …… A 4 …… C 6 …… C 0 …… C 4 0 8 Dati gli insiemi A { lettere della parola rettangolo } e B { lettere della parola quadrilatero }, rappresenta con un diagramma di Eulero-Venn e per elencazione gli insiemi: a) C A B 6 C b) D A B c) E A B d) F B A Considera l’insieme A { mercoledì, venerdì } e scrivi per elencazione il complementare di A considerando come insieme ᐁ i giorni della settimana in cui vai a scuola. ……………………………………………………………………………………………………………………………… Rappresenta gli insiemi con un diagramma di Eulero-Venn. ✪ 7 Dati gli insiemi A { triangolo, trapezio } e B { equilatero, scaleno, isoscele, rettangolo } scrivi le coppie ordinate del prodotto cartesiano A B e rappresentale con una tabella a doppia entrata. Individua poi il sottoinsieme P dei poligoni che hai studiato. ✪ 8 In una scatola di caramelle 21 sono gommose, 34 sono alla frutta e 15 sono gommose alla frutta. Rappresenta la situazione con un diagramma di Eulero-Venn e stabilisci quante caramelle sono contenute nella scatola. VERIFICA DI ARITMETICA 33 Addizione e sottrazione Cognome ........................................................... data ......................................................... Nome ................................................................. classe........................................................ SAPERE Inserisci opportunamente nella tabella i termini delle seguenti addizioni e sottrazioni: →12 18 3 21 15 10 5 (7, 22) → 29 (25, 13) 1 addendi minuendi sottraendi somme differenze ................................ ............................... ................................. ................................ ............................... Barra la casella che corrisponde alla risposta esatta. 2 a) L’elemento neutro dell’addizione è: □ □ □ □ 0; inesistente; il 1° addendo. ✪ c) La differenza tra un numero e se stesso: □ □ □ □ 1; 0; inesistente; impossibile. e) La scrittura abc(ab)c esprime la proprietà: □ □ □ □ invariantiva; commutativa; associativa; distributiva. g) La scrittura a b (a c) (bc) esprime la proprietà: □ □ □ □ □ □ □ □ 1; d) La scrittura abba esprime la proprietà: □ □ □ □ b) L’elemento neutro della sottrazione è: invariantiva; commutativa distributiva. □ □ □ □ dissociativa; associativa; distributiva; invariantiva. è uguale a 0; è uguale al numero. dissociativa; associativa; distributiva; invariantiva. i) Se il minuendo è 0 e il sottraendo è da 0: □ invariantiva; □ dissociativa; □ commutativa; □ la 2a proprietà della sottrazione. non si può eseguire; f) La scrittura aba(mn), dove bmn, esprime la proprietà: h) La scrittura a (bc) a b c esprime la proprietà: associativa; è uguale a 1; □ la differenza è 0; □ il sottraendo è uguale a 1; □ la sottrazione non è possibile in N; □ la differenza è 1. Completa la seguente tabella: 3 nome della proprietà e sua applicazione enunciato della proprietà 8 10 22 22 8 10 La somma non cambia .................................................... proprietà ......................................................... .......................................................................................... 39 14 30 9 14 ......................................................................................... proprietà ......................................................... ......................................................................................... 17 5 (17 3) (5 3) Aggiungendo o ........................... uno stesso numero al 17 5 (17 3) (5 3) ........................................... e al ......................................... oppure proprietà ......................................................... .......................................................... non cambia. 34 SAPER FARE Esegui la seguente addizione; applica, poi, la proprietà dissociativa e verifica che il risultato non cambia: 4 108 19 42 …… Esegui la seguente sottrazione; applica, poi, la proprietà invariantiva e verifica che il risultato non cambia: 5 148 37 …… Esegui le seguenti sottrazioni, applica la 2a proprietà della sottrazione e verifica che il risultato non cambia: 6 84 12 31 26 …… Per ciascuna uguaglianza scrivi la o le proprietà che sono state applicate: 7 a) 213 91 57 109 213 57 91 109 270 200 470 ……………………………………………………………………………………………………………………………… b) 84 72 36 98 80 4 70 2 30 6 90 8 70 30 80 90 4 6 2 8 (70 30) 80 90 (4 6) (2 8) 100 170 10 10 290 ……………………………………………………………………………………………………………………………… c) (387 76) (387 26) (76 26) 361 50 311 ……………………………………………………………………………………………………………………………… d) 597 (35 101 45 59) 597 (35 45 101 59) 597 (80 160) 597 80 160 357 ……………………………………………………………………………………………………………………………… ✪ Completa inserendo il termine mancante: 8 1346 …… 2971 5839 …… 784 612 24,25 …… 8,92 38,5 517,92 …… 1392,43 Risolvi le seguenti espressioni: 9 a) (90 12 6) [37 (5 18 3) 15] (13 5 7); b) 9 {14 35 [(44 20) 26 (11 20)] (35 11)}; ✪ c) 11 2,5 {[8,6 (20,5 0,7 14,13)] (9,1 0,87)}. 10 Risolvi i seguenti problemi: a) Valentina acquista una rivista che costa 4,80 € e paga con una banconota da 5 €; poi acquista delle caramelle che costano 0,70 € e paga con una moneta da 2 €. Nel borsellino oltre ai resti dei due acquisti aveva ancora una moneta da 1 €; può acquistare un braccialetto da 2,35 €? Quanti soldi le rimangono alla fine degli acquisti? b) Giovanni e Paolo partono da due città che distano 483 km, per incontrarsi. Se dopo tre ore Paolo ha percorso 217 km e Giovanni 198 km, quanti km devono percorrere ancora? ✪ c) Quale risultato si ottiene addizionando alla differenza tra 26 e 17, la differenza tra 39 e 23 e la somma tra 13 e 22? VERIFICA DI ARITMETICA Moltiplicazione e divisione Cognome ........................................................... data ......................................................... Nome ................................................................. classe........................................................ SAPERE 1 Inserisci opportunamente nella tabella i termini delle seguenti moltiplicazioni e divisioni: 17 5 85 42 : 6 7 (9,4) → 36 (40,5) :→ 8 fattori ............................. 2 prodotti dividendi divisori quozienti ............................... ................................. ................................ .......................... Barra la casella che corrisponde alla risposta esatta. a) b 1: □ □ □ □ è uguale a 1; è uguale a 0; è uguale a b; non ha risultato. d) Se il dividendo e il divisore sono entrambi uguali a 0, il quoziente è: □ □ □ □ 0; indeterminato; impossibile; invariantiva; commutativa; associativa; distributiva. l) La scrittura (ab) c a c b c esprime la proprietà: □ □ □ □ □ □ □ □ 1; 0; inesistente; impossibile. c) b 0: □ □ □ □ è uguale a b; è uguale a 0; non si può eseguire; è uguale a 1. e) 5 : 0 è: f) 0 : 5 è: □ □ □ □ □ □ □ □ uguale a 0; uguale a 5; impossibile; indeterminato. uguale a 0; uguale a 5; impossibile; indeterminato. 1. g) La scrittura abba esprime la proprietà: □ □ □ □ b) L’elemento neutro della divisione è: commutativa; invariantiva; associativa; distributiva. h) La scrittura a b c (a b) c esprime la proprietà: □ □ □ □ dissociativa; invariantiva; associativa; distributiva. m) La scrittura (ab) : c a : c b : c, con c 0, esprime la proprietà: □ □ □ □ dissociativa; invariantiva; associativa; distributiva. i) La scrittura a b c a (mn) c, dove b (mn), esprime la proprietà: □ □ □ □ dissociativa; invariantiva; associativa; distributiva. n) La scrittura (ab) : c a : c b, con a divisibile per c e c 0 , esprime: □ □ □ □ la proprietà distributiva; la 3a proprietà della divisione; la proprietà invariantiva la proprietà dissociativa. 35 36 ✪ Completa la seguente tabella: 3 nome della proprietà e sua applicazione enunciato della proprietà 9 25 4 9 100 Il prodotto non cambia ................................................. proprietà ......................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... 43954593 ......................................................................................... proprietà ......................................................... ......................................................................................... (24 6) : 3 24 : 3 6 : 3 Per dividere una ........................... indicata oppure una oppure ............................... indicata per un numero, diverso da (15 10) : 5 15 : 5 10 : 5 ........................, si può dividere ciascun .......................... proprietà .................................................................... oppure .............................................................. per quel ..................................................................................... ..................................... e poi ...............................oppure ..................................................................................... ........................................... i .............................. ottenuti SAPER 4 FARE Completa le seguenti scritture mettendo al posto dei puntini il termine o il segno di operazione mancante: ……… 15 0; 1 ……… 10; ……… : ……… indeterminato; 5 6 7 0 ……… 5 0; …… : 4 0; 11 ……… 1 11; ……… : 0 impossibile; ……… : ……… 1; 18 : ……… 18 Scrivi accanto a ciascuna delle seguenti uguaglianze la proprietà che è stata applicata (eventualmente anche più di una): a) 4 7 5 25 4 25 7 5 100 35 3500 ……………………………………………………… b) 24 15 20 24 3 5 20 72 100 7200 ……………………………………………………… c) (84 21) : 7 84 : 7 21 : 7 12 3 9 ……………………………………………………… d) (45 20 3) : 5 9 20 3 540 ……………………………………………………… e) 62,5 : 12,5 625 : 125 5 ……………………………………………………… Completa le seguenti uguaglianze mettendo al posto dei puntini i numeri mancanti: (4 ………) 8 4 8 3 ……… ; (16 25 4) : …………… 16 5 ………; (……… 28) : 7 42 : 7 ……… : ……… ; (24 12) : (6 ………) 4 4. Risolvi le seguenti espressioni: a) 8 (32 : 4 5 2) : 3 63 : 7 (8 3 2 7); b) {3 [28 : 2 (5 3) 6] 3 5 (21 3 7)} : (2 8 3 4 2); ✪ c) 5,6 : 0,2 {0,71 0,2 [0,4 0,3 (4,5 : 0,3 0,7 0,2)]} 8 Leggi il testo del seguente problema e, senza risolverlo, rispondi alle domande: Adriano, che è molto goloso e pesa 83 kg, acquista 12 paste che pesano 95 g l’una, e 20 cioccolatini che pesano complessivamente 8,6 hg. Quanto pesa ogni cioccolatino? Quanto pesano complessivamente i dolci acquistati? a) Quale dato non ti serve per risolvere il problema? □ 8,6 hg □ 20 □ 95 g □ 12 □ 83 kg 37 b) Quale operazione utilizzeresti per calcolare il peso di un cioccolatino? □ moltiplicazione □ sottrazione □ □ divisione addizione c) Quale sequenza di operazioni useresti per determinare il peso totale dei dolci? □ □ □ □ moltiplicazione; equivalenza; addizione; equivalenza; divisione; addizione; equivalenza; moltiplicazione; addizione; moltiplicazione; equivalenza; sottrazione. d) Il peso di ogni cioccolatino è: □ □ 9 maggiore del peso di una pasta; minore del peso di una pasta. Risolvi i seguenti problemi: a) Per cambiare i vetri alle finestre di un palazzo si sono spesi 1800 €. Sapendo che il palazzo ha 6 piani, che in ogni piano ci sono 10 finestre e che ogni finestra ha 4 vetri, calcola il costo di ogni vetro. b) Su un camion si caricano 22 sacchi di frumento del peso di 93 kg ciascuno, 15 sacchi di mais di 112 kg ciascuno e 48 sacchi di patate. Sapendo che il camion vuoto pesa 6 530 kg e carico pesa 11 792 kg, calcola il peso di ogni sacco di patate. ✪ 10 In ciascuna delle seguenti tabelle individua gli elementi dell’insieme A e dell’insieme B. Dopo aver individuato gli elementi degli insiemi, completa le tabelle: B B 3 : 2,4 0 A 9 16 0 A 36 80 3,6 1 5 8 4 0,6 48 2,4 38 VERIFICA DI ARITMETICA L’elevamento a potenza Cognome ........................................................... data.......................................................... Nome ................................................................. classe ........................................................ SAPERE 1 A ogni definizione corrisponde un termine da scegliere tra quelli elencati (non tutti i termini verranno utilizzati): divisione, esponente di una potenza, risultato di una potenza, moltiplicazione, base di una potenza, elevamento alla seconda potenza, fattore di una potenza. definizioni termini cui si riferiscono le definizioni Numero che indica quante volte ripetere lo stesso fattore. Il fattore da ripetere tante volte quante sono le unità dell’esponente. Operazione inversa dell’estrazione di radice quadrata. Numero che si determina moltiplicando la base per se stessa tante volte quante sono le unità dell’esponente. 2 Completa la seguente tabella (vedi esempio): potenza scritta a parole potenza scritta come numero potenza scritta come moltiplicazione 3 dieci alla terza 10 10 · 10 · 10 5 7 8,5 · 8,5 · 8,5 · 8,5 quattro virgola nove alla prima 210 2·2·2·2·2·2·2·2 3 Assegna a ogni potenza il suo risultato scegliendo tra quelli scritti sotto (non tutti i risultati verranno utilizzati): □ 1 non ha significato, a) a1 ……………… ✪ 4 □ 2 10, □ 3 b) a0 ……………… a, □ 4 1, □ 5 c) 1n ……………… 1 seguito da n zeri. d) 00 ……………… e) 10n …………… Assegna a ogni operazione tra potenze il risultato esatto scegliendo tra quelli scritti sotto (non tutti i risultati verranno utilizzati): □ 1 □ 2 (a : b)n, amnp, □ 3 amn, □ 4 (a b)m, □ 5 amn, □ 6 (ab)m, b) m a) aman …… SAPER 5 b) am : an …… c) [(am)n]P …… d) ambm …… FARE Risolvi le seguenti potenze: 34 = ………… 105 = ………… 122 = ………… 302 = ………… 150 = ………… 19 = ………… 361 = ………… 73 = ………… e) an : bn …… □ 7 (a 39 0,92 = ………… uguaglianza V F 0,13 = ………… 4 003 = ………… correzione 216 : 210 = 226 .................................................................................................................................... 136 : 135 = 1 .................................................................................................................................... 74 77 = 73 .................................................................................................................................... 35 55 = (3 5)5 .................................................................................................................................... 184 : 24 = 90 .................................................................................................................................... 83 85 8 = 88 .................................................................................................................................... [(53)2]4 = 59 .................................................................................................................................... {[(3,44)2]3}5 = 3,4120 .................................................................................................................................... 914 : 97 = 92 .................................................................................................................................... 233 235 = 2315 .................................................................................................................................... ✪ ✪ ✪ ✪ 2,62 = ………… 40 VERIFICA DI ARITMETICA Divisori e multipli Cognome ........................................................... data.......................................................... Nome ................................................................. classe ........................................................ SAPERE 1 Scrivi il criterio di divisibilità: per 2: ……………………………………………………………………………………………………………………. per 3: ……………………………………………………………………………………………………………………. per 5: ……………………………………………………………………………………………………………………. per 11: ……………………………………………………………………………………………………………………… 2 Contrassegna le risposte che ritiene esatte: a) Il M.C.D. di 140 e 210 è 70 perché: b) Se il M.C.D. di 100 e 150 è 50 allora: □ □ □ □ □ □ □ □ ✪ 210 è divisibile per 70; 140 è divisibile per 70; 70 è il maggiore divisore comune di 140 e 210; 210 e 140 sono entrambi divisibili per 70. solo 100 è divisibile per 50; 100 e 150 sono divisori di 50; 100 e 150 sono divisibili per 50; solo 150 è divisibile per 50. c) Il m.c.m. di 8 e 12 è 24 perché: d) Se il m.c.m. di 36, 12 e 20 è 180 allora: □ □ □ □ □ 180 è divisibile per 36 e per 20; □ 180 è divisibile per 36, per 12 e anche per 20; □ 180 e il minore dei multipli comuni dei tre numeri dati; □ 180 è divisibile solo per 20 e per 12. 24 è multiplo di 8; 24 è più grande di 8 e di 12; 24 è il secondo multiplo di 12; 24 è il minore dei multipli comuni di 8 e di 12. 3 Rispondi con vero o falso e, accanto ad ogni affermazione falsa, scrivi la correzione adeguata. affermazione V F correzione Il M.C.D. è il maggiore dei multipli comuni. …………………………………………………… Il m.c.m. di due numeri primi tra loro è il loro prodotto. …………………………………………………… Il M.C.D. di due numeri primi tra loro è il maggiore di essi. …………………………………………………… Due numeri sono primi tra loro quando hanno come divisori comuni 0 e 1. …………………………………………………… Due numeri primi tra loro sono sempre numeri primi. …………………………………………………… I multipli di un numero sono illimitati. …………………………………………………… Un numero si dice primo se non ha divisori. …………………………………………………… Un numero si dice composto se ha più di due divisori. …………………………………………………… La fattorizzazione di un numero composto è l’insieme dei suoi multipli. …………………………………………………… Il m.c.m. di due o più numeri è il minore dei multipli comuni. …………………………………………………… 41 SAPER FARE Completa la seguente tabella applicando i criteri di divisibilità: 4 è divisibile per: numero 2 3 4 5 9 25 11 360 2475 5500 7272 62184 ✪ 5 Metti al posto delle caselle delle cifre opportune in modo che il numero che risulta sia contemporaneamente divisibile: per 2 e 3 6 ; per 3 e 5 2 per 5 e 11 8 ; per 3 e 4 1 7 ; 2. 6 Scomponi in fattori primi i numeri 480 e 3960. 7 Rappresenta con un diagramma di Venn la situazione evidenziata dalle rappresentazioni tabulari dei seguenti insiemi: D8 = {1, 2, 4, 8} ; D20 = {1, 2, 4, 5, 10, 20} ; D8 D20 D36 = {1, 2, 4} 8 D36 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}; M.C.D. (8, 20, 36) = 4 Osserva il seguente diagramma di Venn e rispondi alle seguenti domande: a) Che cosa indicano i simboli M6 e M18? b) Che cosa puoi dire dell’insieme M18 rispetto all’insieme M6? c) Scrivi le rappresentazioni tabulari di M6, M18 e M6 M18. 9 Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti gruppi di numeri col metodo della fattorizzazione: a) 270; 450; 990. b) 2880; 1584; 2268. ✪ 10 Utilizzando il criterio generale di divisibilità, stabilisci se il numero 1260 è divisibile per 90 ed effettua la divisione. ✪ 11 Risolvi i seguenti problemi: a) Tre autobus hanno in comune una fermata, il primo ci passa ogni 6 minuti, il secondo ogni 8 e il terzo ogni 10 minuti. Se partono insieme, dopo quanto tempo si ritroveranno alla stessa fermata? E quanti percorsi completi avrà effettuato ogni autobus? b) Un fiorista deve confezionare dei mazzi di fiori con 330 gigli, 154 tulipani e 66 rose. I mazzi devono essere tutti uguali tra di loro e ciascuno con il minor numero possibile di fiori dello stesso tipo. Quanti mazzi potrà confezionare il fiorista? Quanti fiori di ogni tipo saranno presenti in ogni mazzo? 42 VERIFICA DI ARITMETICA Le frazioni Cognome ........................................................... data.......................................................... Nome ................................................................. classe ........................................................ SAPERE 1 Scrivi i nomi delle parti indicate: 4 5 → ………………………………………… → ………………………………………… → ………………………………………… Barra la casella che corrisponde alla risposta esatta. 2 a) Una frazione si dice impropria se il numeratore è: b) Una frazione si dice propria se il numeratore è: maggiore del denominatore; maggiore del denominatore; minore del denominatore; minore del denominatore; maggiore o uguale al denominatore. uguale al denominatore. c) Una frazione si dice apparente se il numeratore è: d) Una frazione impropria è: minore del denominatore; maggiore di una frazione propria; uguale a 0; minore di una frazione propria; multiplo del denominatore. minore di 1. e) Si definisce unità frazionaria una frazione che ha: il numeratore uguale a 1; f) Una frazione si dice ridotta ai minimi termini se il numeratore e il denominatore sono: numeri primi; il denominatore uguale a 1; uguali; il numeratore uguale al denominatore. numeri primi tra loro. g) Moltiplicando o dividendo entrambi i termini di una frazione per uno stesso numero, diverso da zero, si ottiene: h) Tra due frazioni che hanno lo stesso denominatore è maggiore quella che ha: il numeratore maggiore; una frazione equivalente a quella data; il numeratore minore; una frazione uguale a quella data; il numeratore uguale a 0. una frazione diversa da quella data. 0 l) è uguale a: 3 i) Il simbolo m.c.d. indica: il massimo comun divisore di due o più numeri; 0; il massimo comun divisore dei denominatori; 3; il minimo comune multiplo dei denominatori. 3 m) è: 0 3 un numero qualsiasi. 0 n) è: 0 uguale a 0; indeterminato; una scrittura priva di significato; uguale a 0; uguale a 3. impossibile. Esprimi sotto forma di frazione la parte colorata di ciascuna delle seguenti figure: ………… ………… ………… ………… ………… 43 4 Colora una parte dei quadrati in modo che corrisponda: a) ad una frazione propria ✪ 5 b) ad una frazione impropria Completa il seguente diagramma di Eulero-Venn inserendo i nomi degli insiemi rappresentati: Q(a) → insieme ……………………………… insieme delle frazioni ……………………… insieme delle frazioni ………………… SAPER 6 insieme delle frazioni ……………………… FARE Date le seguenti frazioni: 1 3 5 18 1 9 36 35 5 , , , , , , , , , rappresenta per elencazione l’insieme A delle frazioni pro10 4 4 15 7 2 2 6 7 prie, l’insieme B delle frazioni improprie, l’insieme C delle frazioni apparenti e l’insieme D delle unità frazionarie. { { 7 } } 9 ✪ 10 B = ………………………………………… C = ………………………………………… ; D = ………………………………………… Completa gli esercizi scrivendo le frazioni equivalenti a quelle date: 11 90 9 …… 45 = = = . 120 …… 20 …… 3 di 50: …………………………………… ; 5 4 di 78: …………………………………… ; 13 11 di 40: ……………………………………; 8 2 1 di di 36: ……………………………………… 3 2 48 Semplifica la frazione con il metodo delle divisioni successive e con il metodo del M.C.D. 72 48 48 : ……… ……… = ................................................... M.C.D. (48,72) = …………… = 72 72 : ……… ……… Dopo aver ridotto le seguenti frazioni al M.C.D., disponile in ordine crescente: 9 ; 8 1 ; 3 2 ; 8 14 ; 12 5 ; 2 7 . 7 Inserisci al posto dei puntini il segno opportuno scelto tra < ; > ; = . 5 4 …… ; 7 7 12 3 15 …… 6 = = = ; 2 …… 18 …… Calcola: 15 ; 16 ✪ } } ; 1 …… …… 5 = = = ; 4 16 8 …… 8 { { A = ………………………………………… 2 2 …… ; 3 4 8 15 …… ; 2 3 7 9 …… . 5 11 3 7 3 8 Rappresenta sulla prima semiretta i numeri razionali e e sulla seconda semiretta e : 4 4 5 5 0 3 2 1 0 1 2 44 VERIFICA DI ARITMETICA Operazioni con le frazioni Cognome ........................................................... data.......................................................... Nome ................................................................. classe ........................................................ SAPERE Barra la casella che corrisponde alla risposta esatta (possono essere più di una): 1 a) Due frazioni sono complementari se: b) Il prodotto di una frazione per la sua inversa è uguale a: la loro somma è 1; zero; la loro differenza è 1; uno; il loro prodotto è 1. a c) b 0 è uguale a: 1 è uguale a: uno; uno; a . b zero; a . b : b a b ; a b ; a b . 10 a 2 è uguale a: 12 5 8 n) a d) b zero; 5 3 f) : è uguale a: 9 8 5 3 ; 9 8 9 3 ; 5 8 5 8 . 9 3 a i) b una frazione qualsiasi. a 2 5 3 è uguale a: b a 30 ; b a ; b a 10 . b a g) b n è uguale a: an ; b a ; bn an . bn 5 ✪ 2 a 3 a 4 è uguale a: 8 12 c 5 10 5 5 a b o) L’espressione c viene detta: d frazione a termini frazionari; frazione doppia; frazione complessa. SAPERE b b a b ; a b ; a b . a h) b 7 d è uguale a: a c b d ; a c b d ; a c b d . a l) b 2 3 e) + è uguale a: 7 7 2 +3 ; 7 2 +3 ; 7+ 7 2 +7 . 3+7 : d è uguale a: a c b : d ; a c b : d ; a c b d . a m) b 8 c 8 1 8 8 a b p) c è uguale a: d a d : ; b c a d ; b c a c : . b d FARE Esprimi le seguenti proposizioni sotto forma di espressioni: Il quadrato della somma di due terzi e tre quarti: ………………………………………………………………… Il prodotto del quadrato di tre quinti con il cubo di un mezzo: …………………………………………………… Il cubo di quattro settimi alla seconda: ……………………………………………………………………………… 45 3 Esegui le seguenti operazioni: 10 7 6 9 b) ; 3 2 25 14 4 8 7 a) + ; 3 10 15 4 1 e) 2 4 3 3 8 4 f) : 9 3 ; 3 25 2 d) ; 15 . Risolvi applicando le proprietà delle potenze: 5 : 5 2 2 7 5 3 2 1 4 4 3 3 = ………… 4 9 5 2 4 21 3 c) : ; 9 20 2 2 2 7 : 14 10 = ………… 6 { } 2 3 = ………… 20 6 2 3 2 = ……………… 3 3 : 3 1 = ………… 2 1 3 1 4 = ………… Risolvi le seguenti espressioni: 3 a) 4 2 : 3 2 b) 3 5 8 10 6 3 10 15 9 7 4 21 2 3 4 2 ; 1 1 12 6 2 4 : 4 2 : 2 2 + 6 3 5 3 3 1 6 1 2 1 3 1 2 ; 7 1 4 + 2 12 1 2 1 + . ✪ c) 3 5 7 6 3 + 2 4 3 ✪ 6 Completa le seguenti uguaglianze sostituendo ai puntini le frazioni opportune: 7 4 + ……… = 5 5 12 3 ……… = 7 7 2 7 4 + ……… = 5 5 5 3 9 ……… = 4 8 1 ……… = 3 3 4 ……… = 1 3 1 : ……… = 2 1 1 : ……… = 2 6 3 2 ……… : = 4 3 46 VERIFICA DI ARITMETICA Problemi con le frazioni Cognome ........................................................... data.......................................................... Nome ................................................................. classe ........................................................ SAPER FARE Per ogni problema indica se è di tipo diretto o inverso e riconosci la rappresentazione grafica corrispondente. 1 3 I di un segmento misurano 150 cm; quanto è lungo il segmento? 4 diretto; inverso. ? b a 150 cm 2 150 cm ? 1 In una classe di 24 alunni porta gli occhiali. Quanti sono gli alunni che hanno gli occhiali? 6 diretto; inverso. 24 24 b a ? ? Per ogni rappresentazione grafica indica se è relativa a un problema di tipo diretto o inverso, scrivine poi il testo utilizzando dati e incognite. 3 280 km ? ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… 3 7 ✪ 4 ? 75 m ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… 5 6 5 Senza effettuare calcoli scegli il risultato esatto per i seguenti problemi: 7 B è uguale ai del segmento CD . Quali fra i due segmenti ha misura maggiore? a) Il segmento A 4 AB > CD B A < CD 5 b) Alberto ha risparmiato 36,90 € e ne spende i per acquistare un paio di calzoni. Quanto spende? 3 più di 36,90 € meno di 36,90 €. 3 2 c) Calcola i dei di 700 q di carbone: 5 7 > 700 q < 700 q 5 d) La somma di due numeri è 468 e il primo è i del secondo. Qual è il primo numero? 8 1° numero 468 : 13 5 1° numero 468 : 8 5 47 6 Risolvi i seguenti problemi rappresentando graficamente i dati e le incognite. 5 a) Di un tragitto lungo 180 km sono stati percorsi i ; quanti km restano da percorrere? 6 4 b) In una scuola le 304 alunne femmine sono i del totale degli alunni. Quanti sono gli alunni maschi di 9 quella scuola? ∧ ∧ ∧ c) L’ampiezza dell’angolo A di un triangolo misura 24°; determina l’ampiezza degli angoli B e C sapen5 do che il loro rapporto è . Che tipo di triangolo è ABC ? 7 1 1 di ✪ d) Di una partita di arance è stato venduto 3, poi 4 delle arance rimaste. Calcola quanti chilogrammi 1 arance si avevano all’inizio, sapendo che alla fine sono rimasti 39 kg, dopo aver scartato dell’inte15 ra partita perché le arance erano guaste. 7 Risolvi i problemi utilizzando i dati indicati nelle rappresentazioni grafiche: a) 315 € soldi posseduti da Giovanni soldi posseduti da Carmelo Calcola i soldi posseduti da Giovanni e da Carmelo. ✪ b) 60 km 1 3 9 12 Calcola la lunghezza dell’intero percorso e quanto resta ancora da percorrere. 48 VERIFICA DI ARITMETICA Numeri razionali e insieme Q(a) Cognome ........................................................... data.......................................................... Nome ................................................................. classe ........................................................ SAPERE 1 Indica con crocetta le risposte che ritieni esatte (possono essere più di una): a) L’insieme Q(a): b) Le frazioni decimali: è chiuso rispetto alla divisione; hanno per numeratore un multiplo di 10; è chiuso rispetto alla sottrazione; danno origine a numeri decimali minori di 1; è l’insieme di tutte le frazioni; danno origine a numeri decimali illimitati periodici; è incluso in N. hanno per denominatore una potenza di 10. c) In un numero periodico il periodo è: d) In un numero decimale periodico l’antiperiodo è: la parte intera, cioè quella che precede la virgola; non esiste; le prime due cifre decimali uguali; esiste solo se il numero è semplice; tutte le cifre decimali; esiste solo se il numero è misto; il gruppo di cifre decimali, o la cifra, che si ripete all’infinito. la cifra o il gruppo di cifre decimali che non si ripetono. e) Se la fattorizzazione del denominatore di una frazione ridotta ai minimi termini presenta solo il 2 e/o il 5, la frazione dà origine a un numero: f) Se la fattorizzazione del denominatore di una frazione ridotta ai minimi termini presenta o il 2 o il 5 e altri fattori, la frazione dà origine a un numero: decimale illimitato; decimale illimitato; decimale limitato; decimale limitato; decimale periodico misto; decimale periodico misto; decimale periodico semplice. decimale periodico semplice. g) L’approssimazione a meno di un centesimo di un numero decimale: h) Dato il numero decimale 1,57, la sua approssimazione 1,5 è: si esprime con la scrittura a meno di 0,01; a meno di 0,1 per eccesso; si esprime con la scrittura a meno di 100; 1 si esprime con la scrittura a meno di ; 100 si scrive con due sole cifre decimali. a meno di 10 per difetto; i) Dato il numero decimale 32,1 6 , la sua approssimazione a meno di 0,001 è: 32,160; 32,161; 32,162; 32,001. a meno di 0,1 per difetto; a meno di 0,01 per difetto. l) Dato il numero decimale 8,453, la sua approssimazione: 1 a meno di per difetto è 8,3; 10 1 a meno di per difetto è 8,4; 10 a meno di 0,01 per difetto è 8,45; a meno di 0,01 per difetto è 8,46. m) La frazione generatrice del numero decimale 0,51 è: 51 ; 10 51 ; 9 51 ; 99 51 . 100 5 è: n) La frazione generatrice del numero decimale 5,0 505 ; 100 505 ; 99 500 ; 100 500 . 99 49 o) La frazione generatrice del numero decimale 5,05 è: 500 ; 99 505 ; 99 455 ; 99 455 . 90 ✪ 2 7 p) La frazione generatrice del numero decimale 0,68 è: 687 ; 1000 687 ; 990 681 ; 990 681 . 999 Completa il seguente schema: N insieme dei numeri Q(a) INSIEME DEI NUMERI …………… ………………………… frazioni → numeri ………………………… ………… …………………………………… frazioni numeri ……………………………… ………………………………………… frazioni ………………………………………… ………… numeri ……………………………… ………………………………………… SAPER 3 FARE Utilizzando la tabella, classifica i seguenti numeri decimali: n° decimale n° considerato limitato periodico semplice periodico misto parte intera periodo antiperiodo 0 34 12 53 27 — 12,17 0,158 9,7 6 4 5 Fattorizza i denominatori delle seguenti frazioni e stabilisci a quali numeri decimali danno origine (ricordati di ridurre ai minimi termini): 10 ………………………………………………………… 15 27 ………………………………………………………… 45 19 ………………………………………………………… 7 21 ………………………………………………………… 18 6 ………………………………………………………… 50 11 ………………………………………………………… 75 Scrivi la frazione generatrice di ciascuno dei seguenti numeri decimali: 3,5 …………………… …………………… 6,5 2,16 …………………… 4,6 7 …………………… 0,138 …………………… 3,0 6 9 …………………… 50 Completa la seguente tabella: 6 frazione n° decimale corrispondente approssimazione a meno di 0,001 15 32 14 18 13 11 5 24 ✪ 7 Risolvi le seguenti espressioni: 4 3 a) 0,3 0,1 (2,3 2 1,7 1 ) : 0,4 5 ; 9 10 9 b) (0,75 0,2 9 6 2) (4 0,6 3,75)2 ; 5 10 9 )2 (0,6)2 : : (1,6 9 14 3 8 c) : 1,06 . 3 2 15 (2,6)2 : 11,26 5 a meno di 0,01 a meno di 0,1 VERIFICA DI ARITMETICA 51 Estrazione di radice e insieme R(a) Cognome ........................................................... data ......................................................... Nome ................................................................. classe........................................................ SAPERE 1 A ogni definizione corrisponde un termine da scegliere tra quelli elencati (non tutti i termini verranno utilizzati): radicando, numero irrazionale, quadrato perfetto, estrazione di radice, insieme I(a), numero razionale, radicale, insieme R(a), elevamento alla seconda potenza, indice di un radicale, insieme Q(a). definizioni termini cui si riferisce la definizione Numero decimale illimitato, ma non periodico. Numero di cui si deve estrarre la radice. Operazione inversa all’elevamento a potenza. Numero scritto sopra il segno di radice. Insieme delle frazioni decimali e di quelle ordinarie. Numero che è il quadrato di un numero intero. Insieme unione dei numeri razionali assoluti e degli irrazionali assoluti. Numero naturale i cui esponenti della sua fattorizzazione sono tutti pari. 2 Contrassegna la risposta che ritiene esatta (può essere più di una): a) Il quadrato di 20 è: b) Il quadrato di 0,3 è: 0,1 c) Il risultato di 0 ,4 9 è: □ □ □ 0,6; □ 200; □ 0,9; □ □ 0,09; □ 400. □ 0,06. 0,07; □ □ 0,7; □ 40; 7; d) Per determinare 7 ,4 si cerca sulle tavole: 3 e) Il risultato di 6 4 è: f) Il risultato di 3 □ 92; □ 4; □ 7,4; □ 74 □ 23; □ 26. 49. □ □ 144 1 6 ; □ 12 4; □ □ □ □ 9; 18; 740; □ 7400. 48; □ 12 4. 81. Rappresenta il diagramma di Venn che illustri la situazione seguente: R(a) = I(a) Q(a) dove R(a) I(a) Q(a) N e N Q(a) è l’insieme dei numeri reali assoluti è l’insieme dei numeri irrazionali assoluti è l’insieme dei numeri razionali assoluti è l’insieme dei numeri naturali. SAPER 4 8; 144 16 è: g) Il risultato di 9 4 è: ✪ □ 4000; FARE Osserva le seguenti fattorizzazioni e sottolinea quelle di quadrati perfetti: 4900 = 22 52 72 162 = 2 34 68 = 22 17 1296 = 24 34 343 = 73 1350 = 2 33 52 1089 = 32 112 7056 = 24 32 72 52 5 Completa la seguente tabella: V operazione svolta correzione F 125 = 5 3 ……………………………………………………………………… 4 1 6 =4 ……………………………………………………………………… 625 25 6 = 625 256 = 25 16 = 400 ……………………………………………………………………… 1 0 0 36 = 1 0 0 3 6 = 10 — 6 = 4 ……………………………………………………………………… 8 1 8 1 : 36 = = 9 = 3 3 6 6 2 ……………………………………………………………………… 1 2 4 = 122 ……………………………………………………………………… 104 32 = 102 32 ……………………………………………………………………… 112+ 72+ 36 = 11 + 72 + 33 ……………………………………………………………………… 2 54:138 = 54 ……………………………………………………………………… 13 6 Estrai la radice quadrata dei seguenti numeri utilizzando il metodo volta per volta proposto: a) con la fattorizzazione: 8 1 0 0 = ……… 1 7 6 4 = ……… ✪ b) con l’algoritmo: 5 7 7 6 = ……… 3 2 7 ,6 1 = ……… c) con le tavole, rispettando le approssimazioni richieste 0,01 0,1 103 = ……… 0,001 0,1 0,4 3 = ……… 3 4 8 ,1 = ……… 0,01 0,01 72,469 = ……… 5 7 ,5 4 8 = ……… 7 0,1 5 ,9 = ……… Risolvi utilizzando le proprietà delle radici: a) 81 14 4 49 ………………………………. b) 112 91 6 ……………………………………….. 22 5:16 ……………………………….. ✪ c) 64 54 132 ……………………………….... ✪ d) 26 ✪ 8 Risolvi le seguenti espressioni: a) 181 29 34 22 7 : 15 4 85 87 : 194 0,01 b) —————————————————— 1 1 1 1 2 1 : 18 6 2 6 6 3 + —————————————— 5 2 3 1 2 3 2 + 9 2 6 10 3 2 ,3 5 6 = ……… 0,01 9 2 ,3 5 2 1 = ……… 0,001 2 7 4 = ……… VERIFICA DI ARITMETICA 53 Rapporti e proporzioni Cognome ........................................................... data.......................................................... Nome ................................................................. classe ........................................................ SAPERE 1 A ogni definizione corrisponde un termine da scegliere tra quelli elencati (non tutti i termini verranno utilizzati): proporzione, catena di rapporti uguali, medio proporzionale, precedente, estremi, conseguente, proporzione continua, medi, antecedente, proprietà fondamentale, interni, proprietà dell’invertire, esterni, proprietà del permutare, terzo proporzionale, proporzione costante. definizioni termini cui si riferisce la definizione Uguaglianza tra due rapporti. Primo termine di un rapporto. Secondo e terzo termine di una proporzione. Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. Secondo termine di un rapporto. Proporzione con due medi uguali. Scambiando tra di loro i medi o gli estremi si ottiene una nuova proporzione. Nome dell’ultimo termine di una proporzione continua. Primo e quarto termine di una proporzione. Uguaglianza tra tre o più rapporti. 2 Barra la risposta che ritieni esatta: a) Dato il rapporto a : b il suo inverso è: a · b; b · a; b a; b : a. b) Data la proporzione a : x = x : b, per calcolare il valore di x si deve: moltiplicare a con b; dividere per due il prodotto a · b; estrarre la radice quadrata di a · b; dividere il prodotto a · b per l’antecedente. c) Data la proporzione a : b c : d si verifica che: c a · d · b; a·db·c; a·d c ; b c·d b . a d) Date le proporzioni a : b = c : d (1) e d : b = c : a (2) per passare dalla (1) alla (2) si è applicata: la proprietà fondamentale; la proprietà del permutare i medi; la proprietà del permutare gli estremi; la proprietà del comporre. e) Date le proporzioni a : b = c : d (1) e b : a = d : c (2) per passare dalla (1) alla (2) si è applicata: f) Date le proporzioni a : b = c : d (1) e (a b) : b = (c d) : d (2) per passare dalla (1) alla (2) si è applicata: la proprietà fondamentale; la proprietà del permutare; la proprietà del permutare; la proprietà del comporre; la proprietà dell’invertire; la proprietà dell’invertire. la proprietà fondamentale; la proprietà del comporre. 54 SAPER FARE Contrassegna le quaterne di numeri che soddisfano la proprietà fondamentale: 3 7 7 9 3 ; ; ; 2 3 10 5 10 ; 9 ; 30 ; 21 2 3 8 ; ; ; 14 7 5 3 Risolvi le seguenti proporzioni: 4 2 3 8 a) x : : 9 4 15 ✪ 14 2 5 1 c) 5 + : : = x : 2 + 3 3 3 5 2 ✪ 2 8 b) : x x : 3 27 1 1 2 + 1 3 4 d) : x = x : 12 + 2 1 2 5 3 2 Applicando le proprietà delle proporzioni, risolvi: 5 a) 3 + 2 : 3 6 = 5 + x : x 1 2 1 3 5 5 b) (0,75 x) : = x : 8 4 ✪ 3 1 2 ; 1 ; ; 8 4 3 c) x : 3 = y : 4 = z : 6 con x + y + z = 390 x 2 d) = y 3 con x + y = 1015 In base alle informazioni date imposta le relative proporzioni senza risolverle. 6 a) Calcola il valore di x in una proporzione in cui il medio proporzionale sia 56 e il terzo proporzionale 112. 3 6 b) Calcola il valore del terzo proporzionale dopo la seguente coppia di numeri: e . 10 5 c) Calcola il medio proporzionale tra i numeri: 2,7 e 10,8. ✪ Senza effettuare calcoli, leggi il testo del problema e contrassegna la risposta esatta: 7 5 Determina il valore dei numeri x e y sapendo che il loro rapporto è e la loro somma è 195. 8 a) La proporzione risolutiva di questo problema è: 8:5=x:y 195 : 5 = 8 : x 5:8=x:y 5 : x = 195 : y b) La proprietà delle proporzioni da applicare per risolvere il problema è: scomporre permutare invertire comporre x<y x = 195 c) Il risultato di questo problema è: x=y x>y Risolvi i seguenti problemi applicando le proporzioni e le loro proprietà: 8 12 a) Determina due numeri sapendo che la loro differenza è 165 e il loro rapporto è . 7 b) Un ciclista in due tappe ha percorso 396 km. Sapendo che il rapporto tra le lunghezze delle due tappe 6 è , calcola i km percorsi in ciascuna tappa. 5 c) I lati di un triangolo scaleno stanno tra loro come i numeri 3, 4, 5; determina la misura della lunghezza di ciascuno di essi, sapendo che il perimetro è 102 m. ✪ 7 d) In un rettangolo il rapporto tra la base e l’altezza è . Calcola le misure delle due dimensioni, sapen11 do che l’area è 520,52 cm2. VERIFICA DI ARITMETICA 55 Proporzionalità diretta e inversa Cognome ........................................................... data ......................................................... Nome ................................................................. classe........................................................ SAPERE Indica con una crocetta le risposte esatte (puoi indicare più di una risposta). 1 a) La scrittura y = kx indica che: b) La scrittura x · y = k indica che: i valori di x dipendono da quelli di y ma sono costanti; il prodotto tra i valori corrispondenti di due grandezze x e y è costante; i valori di x e di y non hanno nessun legame; il rapporto tra i valori di due grandezze x e y è costante; i valori di y dipendono dai valori assegnati a x; le due grandezze x e y sono costanti; le grandezze x e y sono direttamente proporzionali. k c) La scrittura y = indica che: x le due grandezze x e y vanno divise; le due grandezze x e y sono inversamente proporzionali. y d) La scrittura = k indica che: x le due grandezze x e y sono costanti; le due grandezze x e y sono inversamente proporzionali; le due grandezze x e y sono direttamente proporzionali; le due grandezze x e y sono direttamente proporzionali; porzionali; il rapporto tra i valori di y e i corrispondenti valori di x è costante. il rapporto tra i valori di y e i corrispondenti valori di x è costante. 2 le due grandezze x e y sono inversamente pro- Completa la seguente tabella inserendo i termini o le frasi corrette scelte tra quelle assegnate (non tutti i termini verranno utilizzati): caratteristica: se i valori della prima grandezza aumentano o diminuiscono, anche quelli della seconda aumentano o diminuiscono; se i valori della prima grandezza raddoppiano o dimezzano, anche quelli corrispondenti della seconda raddoppiano o dimezzano; se i valori della prima grandezza raddoppiano o triplicano, quelli corrispondenti della seconda dimezzano o diventano un terzo; y k legge: y k k; y k x; y k x; y k x; y ; k; x x y costante: rapporto tra i valori della seconda grandezza e quelli corrispondenti della prima k ; somma x tra i valori della seconda grandezza e quelli corrispondenti della prima (k y x); prodotto tra i valori della seconda grandezza e quelli corrispondenti della prima (k y x); grafico: linea spezzata; semiretta; ramo di curva; ramo di iperbole equilatera; semiretta passante per l’origine. proporzionalità diretta proporzionalità inversa ............................................................................ ....................................................................... ............................................................................ ....................................................................... ............................................................................ ....................................................................... legge ............................................................................ ....................................................................... costante ............................................................................ ....................................................................... ............................................................................ ....................................................................... ............................................................................ ....................................................................... caratteristica grafico 56 3 Individua la proporzionalità esistente tra le grandezze x e y delle tabelle assegnate e scrivi la funzione che le lega. a) x 3 9 1 5 3 2 50 2 3 5 15 y 10 30 x 2 3 1 2 4 16 24 16 8 4 1 …………………………………………………………... y = ………………………………………………………. b) …………………………………………………………... y 4 y = ………………………………………………………. Applica le funzioni date e completa le tabelle: a) y = x + 3 x 0 2 4 7 3 6 9 12 1 3 2 3 18 5 y 2 b) y = x 2 3 x y 3 c) y = x x 5 y 5 Rappresenta nel piano cartesiano le seguenti funzioni ed effettua le considerazioni sul tipo di funzione. 30 y x 4; y 3x; y . x 6 Osserva i seguenti grafici e completa le tabelle: y 6 y 6 • a) • b) 5 5 • 4 • 4 • • 3 3 • • 2 2 • • 1 0 x y • 1 1 0 2 3 4 x x 0 x y 1 0 2 3 4 5 VERIFICA DI ARITMETICA 57 Applicazioni della proporzionalità Cognome ........................................................... data ......................................................... Nome ................................................................. classe........................................................ SAPERE 1 A ogni definizione corrisponde un termine da scegliere tra quelli elencati (non tutti i termini verranno utilizzati): percentuale, cambiale, problemi del tre semplice diretto, areogramma circolare, sconto, montante, problemi del tre semplice, settore circolare, problemi di ripartizione semplice inversa, interesse, problemi del tre semplice inverso, capitale, problemi di ripartizione semplice diretta. definizioni termini cui si riferisce la definizione Denaro che viene prestato, investito o depositato in banca. Problemi relativi a due grandezze proporzionali di cui sono noti tre valori e se ne deve calcolare un quarto. Grafico usato per rappresentare dati espressi in percentuale. Numero che indica quante unità rispetto a cento soddisfano una certa condizione. Problemi relativi a due grandezze inversamente proporzionali di cui si sono noti tre valori e se ne deve calcolare un quarto. Importo ottenuto sommando al capitale iniziale l’interesse maturato. Compenso che spetta a chi presta a un’altra persona o deposita in banca una somma di denaro. Problemi in cui si deve dividere una grandezza in parti direttamente proporzionali a un dato gruppo di numeri. 2 Indica con una crocetta le risposte esatte: a) La proporzione per calcolare le percentuali è (con r = tasso; P = parte; N = intero): P : r = 100 : N 100 : P = r : N P : N = r : 100 r : 100 = N : P b) La formula per calcolare l’interesse (I) maturato in alcuni mesi (m) su un capitale (C) è: C · 100 · r I = m C·r·m I = 1200 C·r I = 1200 · m C · 1200 I = r·m c) La formula per calcolare il tempo (t) necessario perché un capitale (C), impiegato a un tasso percentuale (r), produca un interesse (I) è: C · 100 t = I I·C t = r · 100 I·r·C t = 100 I · 100 t= C·r d) La formula per calcolare il tasso percentuale (r) cui viene impiegato un capitale (C) per un tempo (t) e che matura un interesse (I) è: I C t(anni) r = 100 SAPER 3 I 100 r = C t(anni) I t(anni) r = 100 C C t(anni) r = 100 I FARE Esegui i calcoli richiesti: a) Esprimi in percentuale i seguenti rapporti (se è necessario arrotonda al centesimo): 30 su 50 = ………% 80 su 400 = ………% 19 su 92 = …………% 13 su 260 = ………% b) Calcola la parte percentuale: 50% di 130 = ………… 0,3% di 200 = ………… 37% di 600 = ………… 0,08% di 1000 = ………… 8 è il 16% di ………… 378 è il 20% di ………… c) Calcola la parte intera: 34 è il 50% di ………… 0,2 è il 5% di ………… 58 Completa la seguente tabella (il capitale e l’interesse sono in euro): 4 tasso di interesse r capitale C tempo mesi m giorni g — 3 — 100 — 9 — 225 1 4 15 24,75 2 2 15 5 000 5% 300 1 300 12% 180 3,5% interesse I anni t calcolo 7,35 Completa la seguente tabella (i prezzi sono in euro): 5 prezzo intero sconto % 60 prezzo pagato calcolo 48 30% 50 7 12,8% 692 8% 3 200 2 816 30% 35 Risolvi i seguenti problemi utilizzando il procedimento adeguato: 6 a) Sapendo che 30 cm di filo di rame (Cu) pesano 21 g, quanti m è lungo un rotolo dello stesso filo di rame che pesa 23,87 kg? b) Un’automobile percorre un certo tragitto in 15 ore tenendo una velocità media di 64 km/h. Quanto tempo impiegherà per percorrere la strada di ritorno ad una velocità di 80 km/h? ✪ c) Una persona riceve un’eredità: ne versa in banca il 25% e con il denaro rimanente, cioè 73125 €, acquista un appartamento. Calcola: — l’ammontare dell’intera eredità; — il montante che ritirerà dalla banca dopo 10 mesi se il tasso di interesse corrisponde al 12%. ✪ d) Calcola le ampiezze degli angoli interni di un pentagono sapendo che sono direttamente proporzionali ai numeri 12, 18, 14, 21, 35. Stabilisci se il pentagono è concavo o convesso, motivando la tua risposta. 7 Rappresenta con degli areogrammi circolari le seguenti percentuali relative alla composizione di alcuni alimenti: alimenti H2O proteine lipidi carboidrati pane 30% 10% — 60% salame 50% 15% 34,5% 0,5% carne di pollo 78% 20% 1,5% 0,5% VERIFICA DI GEOMETRIA 59 Le nozioni fondamentali della geometria. I segmenti Cognome ........................................................... data ......................................................... Nome ................................................................. classe........................................................ SAPERE 1 Completa la seguente tabella inserendo il nome dell‘elemento corrispondente a ciascuna delle definizioni date, scegliendolo tra quelli assegnati: piano, segmento, linea retta, segmento somma, semiretta, punto, linea, punto medio, asse, congruenza diretta. definizioni elementi cui si riferiscono le definizioni Ciascuna delle due parti in cui una retta viene divisa da uno dei suoi punti. Ente geometrico privo di dimensioni che indica una posizione nello spazio. Retta perpendicolare passante per il punto medio di un segmento. Insieme infinito di punti che si estende in due dimensioni: larghezza e lunghezza. Insieme infinito di punti che si estende in una sola dimensione: la lunghezza. Movimento rigido effettuato sul piano che fa sovrapporre perfettamente due figure. Parte di una retta compresa tra due punti detti estremi. Linea più breve che congiunge due punti. Segmento che si ottiene riportando in modo consecutivo due o più segmenti dati su una retta. Punto che divide in due parti congruenti un segmento. 2 3 Contrassegna le risposte esatte. a) la scrittura P indica: □ una semiretta □ un punto □ un segmento □ un piano □ una linea b) la scrittura m indica: □ una semiretta □ un punto □ un segmento □ un piano □ una linea M indica: c) la scrittura L □ una semiretta □ un punto □ un segmento □ un piano □ una linea d) la scrittura OA (dove O indica l‘origine) indica: □ una semiretta □ un punto □ un segmento □ un piano □ una linea e) la scrittura indica: □ una semiretta □ un piano □ una linea □ un punto □ un segmento Osserva la seguente figura e completa le richieste. Individua e scrivi le coppie di: segmenti consecutivi ............................................................................ A G ................................................................................................................ D E segmenti adiacenti ............................................................................... ................................................................................................................ C segmenti incidenti ................................................................................ B F ................................................................................................................ F e E EC ; segmenti sovrapposti ........................................................................... ................................................................................................................ 60 4 Osserva la seguente illustrazione e correggi le affermazioni che ritieni errate: r P S A t SAPERE 5 6 F B H L A ………………………… H ……………..………… F ………………………… H r ………………………… P r ………………………… r ………………………… t ………………………… L ………………………… FARE Considera un segmento A B di 3 cm e disegna i seguenti segmenti: 1 CD = x AB ; EF = 2 x AB ; G H = C D + EF; 3 IL = EF – 2 cm. Disegna un piano , una retta r e tre punti A, B, C in modo che siano rispettate le seguenti condizioni: r=r; A ; Ar; B ; Br; C ; Cr. 7 La somma di due segmenti è 96 m e uno di essi è il triplo dell‘altro. Quanto misura ciascuno dei segmenti? 8 Determina le lunghezze di due segmenti sapendo che la loro somma misura 48 cm e che la loro differenza è 11 cm. 9 2 Un segmento è i di un altro segmento e la loro somma misura 98 dm. Calcola la lunghezza di ciascu5 no di essi. ✪ 10 La somma di quattro segmenti è 60 m; due di questi quattro segmenti misurano 20 m e 16 m e la differenza degli altri due è 4 m. Calcola le misure di questi ultimi segmenti. ✪ 11 Considera i dati di questo problema e, dopo averlo rappresentato graficamente, risolvilo: AB = C D + 2 cm A B=? C D= EF + 2 cm C D=? A B+ C D+E F = 57 cm E F = ? VERIFICA DI GEOMETRIA 61 Gli angoli Cognome ........................................................... data ......................................................... Nome ................................................................. classe........................................................ SAPERE 1 Completa la seguente tabella inserendo il nome dell‘elemento corrispondente a ciascuna delle definizioni date, scegliendolo tra quelli assegnati: grado, bisettrice, angoli adiacenti, angolo convesso, angoli supplementari, angolo acuto, semipiano, angoli opposti al vertice, angolo ottuso, angoli esplementari. definizioni elementi cui si riferiscono le definizioni Ciascuna delle due parti in cui un piano viene diviso da una retta giacente sul piano stesso. Angolo che non contiene i prolungamenti dei suoi lati. Angoli consecutivi aventi i lati non comuni appartenenti alla stessa retta. Unità di misura dell‘ampiezza degli angoli. Angoli la cui somma è un angolo piatto. Angolo la cui ampiezza è maggiore di 90°. Semiretta che ha origine nel vertice di un angolo e che lo divide in due parti congruenti. Angolo la cui ampiezza è minore di 90°. Angoli la cui somma è un angolo giro. Angoli che hanno in comune il vertice e i cui lati sono semirette opposte. 2 Osserva la seguente figura e indica le parti richieste utilizzando i simboli specifici: il vertice dell‘angolo ………… D i lati dell‘angolo………………………… O l‘angolo concavo ………………………………………...…………... C l‘angolo convesso …………………………………………………… Osserva la seguente figura e completa le frasi utilizzando simboli e termini specifici scegliendoli tra quelli assegnati: ottuso, acuto, piatto, consecutivi, supplementari, adiacenti, sovrapposti, esplementari. ^ IO L è un angolo …………...................... ^ NO L è un angolo ………….................... M L ^ IO N è un angolo …………...................…………..................... r r I O ^ LO M e .................. sono angoli consecutivi N ………….............................................. sono angoli adiacenti ^ ^ MO N e MO L sono …………....................………….......................................... ^ ^ IO M e LO M sono …………........................….…….......................................... ^ NO L e …………............... sono angoli supplementari ^ ^ 3 MO N e MON sono ………….....................….…….......................................... 62 Quali delle seguenti misure angolari sono in forma normale? Contrassegnale con una crocetta e spiega il perchè. 4 a) 3° 77' b) 5° 3' 123'' c) 15° 88' 30'' d) 7° 3' 14'' ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... SAPER FARE Completa la seguente tabella, procedendo come nell‘esempio: 5 angolo angolo acuto angolo complementare angolo ottuso angolo supplementare ^ A = 138° ^ ✗ B = 42° ^ C = 75° 21' ^ D = 14° 39' ^ A +^ B ^ B +^ C ^ C +^ D ^ D +^ B ^ A +^ D 6 = ........... ✗ = ........... = ........... = ........... = ........... Esegui le seguenti operazioni e scrivi i risultati in forma normale: a) 29° 49' + 112° 35'' = ...................................................................................................................................... b) 51° 35' – 7° 18' 25'' = ..................................................................................................................................... 7 c) (4° 17' 15'') x 7 = ..................................................................................................................................... d) (45° 7') : 4 = .................................................................................................................................... Dopo aver osservato le figure e i dati, risolvi i seguenti problemi: ^ AO B = 45° a) C B r r D ✪ O A ^ ✪ b) AOB = 210° 40' 33'' ^ D = 55° CO C ^ DO A = ? B ^ CO B = 15° O A ^ COA = ? ^ CO B=? 8 Determina le ampiezze di due angoli complementari sapendo che uno è la quarta parte dell‘altro. 9 Due rette si intersecano, formando quattro angoli. Sai che uno è ampio 40° 20'; quanto misurano gli altri tre? 10 ^ Considera un angolo O di 97° 43' 22'' e determina la misura di ciascuno dei due angoli formati dalla bisettrice di ^ O. 11 La somma di tre angoli misura 278°; sapendo che l‘ampiezza del primo è 48° 30', quella del secondo è il doppio di quella del primo e che il terzo supera il secondo di 35° 30', determina le ampiezze dei tre angoli. VERIFICA DI GEOMETRIA 63 Rette nel piano Cognome ........................................................... data ......................................................... Nome ................................................................. classe........................................................ SAPERE 1 Contrassegna la risposta che ritieni esatta. a) Due rette sono incidenti quando: formano quattro angoli retti; sono incidenti e formano quattro angoli retti; non si incontrano mai; non si incontrano mai; hanno in comune un solo punto. tutti i loro punti corrispondenti sono equidistanti. c) Le rette r e s sono parallele. Come puoi scriverlo in simboli? r ∧ s; r r ⊥ s; r s. d) Le rette m e n sono perpendicolari. Come puoi scriverlo in simboli? // s; // n; m + n; m n; m ⊥ n. m e) Due angoli alterni interni formati da rette parallele tagliate da una trasversale sono: f) Due angoli coniugati esterni formati da rette parallele tagliate da una trasversale sono: corrispondenti; corrispondenti; congruenti; congruenti; adiacenti; adiacenti; supplementari. supplementari. g) Gli assi cartesiani sono due rette: 2 b) Due rette sono perpendicolari quando: h) L‘asse delle ascisse è una retta: parallele; verticale; equidistanti; orizzontale; perpendicolari; parallela; trasversali. obliqua. Osserva il disegno e completa le frasi. gli angoli: a // b ^ ^ ^ ^ 1 e 7 sono alterni ........................................................... 8 a 5 b 4 1 7 6 3 2 4 e 8 sono ...................................................................... ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 3 e 7 sono ....................................................................... 4 e 5 sono ....................................................................... 2 e 7 sono ....................................................................... 5 e 3 sono ....................................................................... Scrivi tutte le coppie di angoli corrispondenti: ............................................................................................................................................................................... Come sono tra di loro gli angoli corrispondenti di ogni coppia? ..................................................................... Scrivi tutte le coppie di angoli adiacenti: ............................................................................................................................................................................... Gli angoli adiacenti di ogni coppia sono ...........................................; infatti la loro somma misura ................ 64 SAPER 3 FARE Osserva la figura e stabilisci l’ampiezza degli angoli ^ α e^ β: ^ α = ……………… β 123° α 4 ^ β = ……………… Calcola l’ampiezza di ciascuno degli angoli numerati della figura: ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 2 = 35° 2 1 3 4 = ………… 1 = ………… perché ………………… 6 4 7 5 6 = ………… perché ………………… 8 8 = ………… perché ………………… ✪ 5 5 = ………… perché ………………… 7 = ………… perché ………………… 3 = ………… perché ………………… In base ai dati forniti e alla figura, completa le richieste: I B AI // GH A 75° D B // EF H BC G = ……………… ^ CF E = ……………… DC G = ……………… C ^ ^ BC G + BC F = ……………… E D ^ AB C = 75° ^ FC D = ……………… F G ✪ perché ………………… ^ HF E = ……………… ^ ^ ^ BC F = ……………… ^ CB I = ……………… 6 Risolvi il seguente problema. Due rette tagliate da una trasversale formano una coppia di angoli corrispondenti di cui uno è ampio 1 32° 24′ e l’altro è dell’angolo retto. Determina l’ampiezza di ciascuno degli altri angoli e stabilisci se le 3 due rette sono parallele. 7 Determina le coordinate dei seguenti punti: u A ………………………… C D B ………………………… B C ………………………… 0 ✪ 8 A D ………………………… Riporta su un riferimento cartesiano i segmenti di cui ti sono date le coordinate; classifica poi le coppie di segmenti nel modo richiesto. A B : [A (2;8); B (5;8)] B C : [B (5;8); C (12;8)] DE : [D (2;1); E (7;6)] E F : [E (7;6); F (15;3)] IL : [I (3;4); L (3;11)] RS : [R (4;12); S (15;12)] TU : [T (4;12); U (9;12)] Be BC sono ............................................. perchè ............................................................................................... A ............................................................................................................................................................................... EeE F sono ............................................. perchè ............................................................................................... D ............................................................................................................................................................................... B e IL sono ............................................. perchè ............................................................................................... A ............................................................................................................................................................................... S e TU sono ............................................. perchè ............................................................................................... R ............................................................................................................................................................................... VERIFICA DI GEOMETRIA 65 Triangoli Cognome ........................................................... data ......................................................... Nome ................................................................. classe........................................................ SAPERE 1 Completa la seguente tabella scegliendo i nomi tra quelli assegnati (non tutti verranno utilizzati): ortocentro, triangolo scaleno, triangolo rettangolo, triangolo equiangolo, triangolo isoscele ottusangolo, incentro, triangolo rettangolo scaleno, circocentro, triangolo acutangolo, baricentro, triangolo ottusangolo, triangolo equilatero. definizioni elementi cui si riferiscono le definizioni Triangolo con un angolo maggiore di 90°. Triangolo con i lati di misura diversa e con un angolo di 90°. Triangolo avente due lati congruenti e un angolo maggiore di 90°. Punto di incontro degli assi dei lati. Triangolo avente i tre lati e i tre angoli congruenti. Punto di incontro delle altezze. Punto di incontro delle bisettrici degli angoli. Triangolo con i lati di misura diversa. Punto di incontro delle tre mediane. Triangolo con un angolo retto. 2 Osserva la seguente figura e indica le parti richieste utilizzando i simboli specifici: ; ............................. i tre lati del triangolo: AB C i tre angoli interni: ............................ K l‘altezza relativa al lato A B : ...................... l‘altezza relativa al lato C B : ..................... il lato opposto all‘angolo ^ A : .................... A 3 l‘angolo opposto al lato AC : .................... B H gli angoli adiacenti al lato A B : .............................. Scrivi le condizioni di esistenza di un triangolo: – rispetto ai lati: in un triangolo ogni lato deve essere ................................................................................... .............................................................................................................................................................................. – rispetto agli angoli: la somma ........................................................................................................................ .............................................................................................................................................................................. 4 Osserva la seguente figura e indica le parti richieste utilizzando i simboli specifici: l‘angolo retto: ......................... l‘ipotenusa: ........................ C il cateto minore: ......................... il cateto maggiore: ......................... l'altezza relativa all‘ipotenusa: ......................... A H B il lato opposto all‘angolo retto: ........................ gli angoli adiacenti al lato AB : ........................ 66 SAPER FARE Stabilisci con quali delle seguenti terne è possibile costruire un triangolo: 5 a = 1,5 cm b = 2,3 cm c = 4,2 cm SI NO perché …………………………………………………………………………… a = 56 cm b = 4,8 dm c = 37 cm SI NO perché …………………………………………………………………………… Completa la seguente tabella relativa alle ampiezze degli angoli interni di alcuni triangoli e classificali (procedi come nell‘esempio): 6 angoli tipo di triangolo ^ A ^ B ^ 45° 90° 45° ............ ........... 132° 35° 78° ........... 44° ............ 108° 36° 59° 31° ............ ........... 52° 65° ^ ^ 7 Esegui le seguenti richieste: A= C ^ C ^ B= A ^ isoscele rettangolo ^ C= B a) disegna un triangolo isoscele ottusangolo, traccia le tre mediane e individua il baricentro; b) disegna un triangolo scaleno acutangolo, traccia le tre altezze e individua l‘ortocentro. Risolvi i problemi dopo aver effettuato un disegno rispondente ai dati. 8 Considera un triangolo rettangolo isoscele avente l‘ipotenusa che misura 45,25 dm e il perimetro di 109,25 dm. Calcola l‘ampiezza degli angoli acuti e le lunghezze dei cateti. 9 Nel triangolo isoscele ABC l‘angolo al vertice è ampio 38°, la base misura 18,24 cm e il perimetro è di 74,24 cm. Determina l‘ampiezza degli angoli alla base e le misure dei lati obliqui. ^ ✪ 10 ✪ 11 Un triangolo ottusangolo avente l’angolo C di 25° è diviso dall’altezza AH , uscente dall’angolo ottuso, in ^ H misura 40°, calcola le ampiezze degli angoli interni dei due triandue triangoli. Sapendo che l’angolo BA goli in cui viene diviso il triangolo ABC e l’ampiezza dell’angolo ottuso del triangolo. In base all‘illustrazione e ai dati forniti, risolvi il problema: ^ = 90° A ^ ^ B = 23° A B=? 2p(ABC) = 60 m B C =? A B = CA + 14 m C A =? C =? C A B B C = AB +2m 67 ✪ 12 I seguenti dati sono sufficienti per stabilire che i due triangoli sono congruenti? Giustifica la risposta: a) C C′ + + AC = A′C ′ B A′ B =B′ ^ …………………………………… ^ ^ …………………………………… AC = A′C ′ B c) A′ 13 perché …………………………………… ^ ^ …………………………………… C C′ + + ^ ^ ^ B =B′ ^ …………………………………… ^ ^ …………………………………… A = A′ C =C′ ✪ NO B′ 䉳 A SI CB = C′B ′ A =A′ A perché B′ C′ C b) NO ^ C =C′ A SI SI NO perché 䉳 B A′ B′ Dati i seguenti punti sul piano cartesiano: A (2,3) B (6,3) — individua le coordinate di un terzo punto C in modo da formare un triangolo rettangolo avente un cateto doppio del cateto AB ; — modifica poi le coordinate di C per ottenere un triangolo isoscele avente l’altezza uguale alla base. — Dato il punto D (12, 12), individua un triangolo DEF congruente al triangolo isoscele ABC precedentemente disegnato. 68 VERIFICA DI GEOMETRIA Quadrilateri Cognome ........................................................... data ......................................................... Nome ................................................................. classe........................................................ SAPERE 1 Barra le risposte esatte (possono essere più di una). a) L‘insieme dei trapezi: b) In un trapezio isoscele: contiene l‘insieme dei quadrilateri; gli angoli adiacenti ad ogni base sono congruenti; contiene l‘insieme dei parallelogrammi; i lati sono di uguale lunghezza; contiene quadrilateri con una coppia di lati paralleli; gli angoli adiacenti a ogni lato obliquo sono supplementari; contiene figure con i lati non paralleli. la somma degli angoli interni è 180°. c) In un trapezio rettangolo: d) L‘insieme dei parallelogrammi: l‘altezza è perpendicolare a un lato obliquo; contiene l‘insieme dei trapezi; contiene l‘insieme dei quadrilateri; l‘altezza è conguente a un lato; sono presenti due angoli retti; è costituito da quadrilateri con due coppie di lati paralleli; sono presenti tre angoli retti. è incluso nell‘insieme dei trapezi. e) In un parallelogramma: f) In un rettangolo: le diagonali sono congruenti; le diagonali sono perpendicolari; gli angoli opposti sono supplementari; le diagonali sono congruenti; i lati opposti sono paralleli e congruenti a coppie; ci sono due coppie di angoli retti; le altezze relative alle basi sono congruenti alle diagonali. g) In un rombo: i lati sono perpendicolari, ma non paralleli. h) Il quadrato è un parallelogramma avente: le diagonali sono perpendicolari e congruenti; una coppia di angoli retti; le diagonali sono perpendicolari e di diversa lunghezza; le diagonali perpendicolari e congruenti; le diagonali sono perpendicolari e bisettrici degli angoli interni; le caratteristiche dei rettangoli e dei rombi; le diagonali formano quattro triangoli rettangoli scaleni congruenti. la somma degli angoli interni minore della somma degli angoli esterni. i) La formula per determinare il perimetro di un quadrato o di un rombo è: l) La formula per determinare la base di un rettangolo conoscendo il perimetro e l‘altezza è: 2p = b + h; b = 2p – h; 2p = l x 4; b = 2p : 4; 2p = b x h; b = (2p : 2) – h; 2p = (b + h) x 2. b = 2p : h. 69 2 Osserva le figure e indica le parti o le relazioni richieste utilizzando i simboli specifici: Le basi sono parallele ..................................... D C i lati obliqui non sono congruenti..................................... a) le diagonali sono di diversa lunghezza ..................................... le altezze sono congruenti ..................................... gli angoli adiacenti a ciascun lato obliquo sono supplementari ............ A K ..................................................................................................................... B H ABCD è un .................................................................................................. D b) C i lati opposti sono congruenti e paralleli ................................................ le basi sono perpendicolari alle altezze .................................................. le diagonali sono congruenti ............................................. i quattro angoli interni sono retti .............................................. B A i quattro lati sono congruenti ....................................... D c) ABCD è un .......................................................... le diagonali sono perpendicolari ........................................ le diagonali sono bisettrici degli angoli interni ...................................... A ..................................................................................................................... C O gli angoli opposti sono congruenti ................................... gli angoli adiacenti al lato BC sono supplementari ................................ ABCD è un ........................................ B SAPER 3 4 FARE Stabilisci se è possibile costruire un quadrilatero ABCD avente i lati delle seguenti lunghezze (espresse in cm): A B C B C D A D 10 14 21 52 SI NO 47 82 107 34 SI NO 204 183 503 108 SI NO 53 46 126 27 SI NO Osserva le seguenti figure e, in base ai dati forniti, calcola le ampiezze degli angoli richiesti: a) D ^ ^ HC D CH B = 90° C ^ BC H = ? ^ 42° H A C D ✪ b) AB // C D O ^ A=? ^ A=? ° AC D = ? ^ AO D = ? ^ ACB = ? AO B = ? 26° B ^ D=? ^ BD C = ? 34 A C=? B ADB = ? ^ ^ ^ AB // C D C B // AD 70 Risolvi i seguenti problemi dopo aver effettuato un disegno rispondente al testo: 5 In un trapezio isoscele la base minore misura 16 dm; sapendo che ciascun lato obliquo è il doppio della base minore e che la base maggiore è il doppio di ciascun lato obliquo, calcola il perimetro. 6 Un parallelogramma ha il semiperimetro di 162 dm e la base è il doppio del lato obliquo; calcola la misura della base e quella del lato di un quadrato isoperimetrico al parallelogramma. 7 Scrivi il testo del problema seguente: D A M =M C =C D = DA =5m C M B = CM 45° B C = 7,07 m 45° A M 2p(MBC) = ? B 2p(ABCD) = ? ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ✪ 8 Un parallelogramma e un trapezio isoscele sono isoperimetrici. Uno dei lati consecutivi del parallelo3 7 gramma è lungo 12 cm e l’altro è i suoi . La differenza delle basi del trapezio è di 10 cm e una è i 4 17 dell’altra. Calcola le misure dei lati obliqui del trapezio. ✪ 9 Un triangolo isoscele ed un trapezio scaleno isoperimetrici hanno il perimetro di 110 dm. La base del 3 triangolo è i di ciascun lato obliquo, un lato obliquo del trapezio misura 26 dm e la somma delle basi 4 è uguale al lato obliquo del triangolo. Calcola la misura dell’altro lato obliquo del trapezio. ✪ 10 Riporta le coordinate dei seguenti punti su un piano cartesiano: A (4; 9) B (4; 4) C (11; 4) D (11; 16). Congiungi nell’ordine i punti dati. Che figura ottieni? — Modifica la posizione del punto A in modo da ottenere un trapezio avente le basi in posizione orizzontale. — Rispetto alla figura di partenza come dovresti posizionare il punto D per ottenere un quadrilatero equiangolo? Che quadrilatero otterresti? — Sarebbe possibile spostando un solo punto (rispetto alla figura iniziale) ottenere un quadrilatero equilatero? VERIFICA DI GEOMETRIA Equiestensione ed area dei poligoni Cognome ........................................................... data ......................................................... Nome ................................................................. classe........................................................ SAPERE 1 Contrassegna le risposte esatte (possono essere più di una). (b1 + b2) x h b) La formula A = serve per calcolare 2 l‘area di: a) La formula A = b x h serve per calcolare l‘area di: un triangolo; un triangolo; un rettangolo; un rettangolo; un parallelogramma; un rombo; un trapezio. un trapezio. bxh c) La formula A = serve per calcolare 2 l‘area di: un triangolo; un rettangolo; un rettangolo; un trapezio rettangolo; un parallelogramma; un triangolo rettangolo; un trapezio. un parallelogramma. e) La formula di Erone serve per calcolare l‘area di un triangolo conoscendo: le misure dei lati; le misure dei cateti; la misura del perimetro; le misure di base e altezza. A g) La formula b = serve per calcolare h la base di: 2 c1 x c2 d) La formula A = serve per calcolare 2 l‘area di: f) L‘altezza di un parallelogramma si calcola con la formula: bx2 h = ; A Ax2 h = ; b A h = ; b h = A : b. Ax2 h) La formula d1 = serve per calcolare una d2 diagonale di: un trapezio; un quadrato; un rettangolo; un rombo; un parallelogramma; un trapezio; un rombo. un triangolo. Tra le seguenti formule contrassegna: a) quelle relative a un quadrato: d = A x 2 d1 x d2 A= 2 l = 2p : 4 A = l2 bx h A= 2 d1 x d2 A= 2 A=bxh l = 2p : 4 Ax 2 (b1 + b2) = h b = 2p : h A b = h b) quelle relative a un rombo: 2p = l x 4 c) quelle relative a un trapezio: Ax 2 h= b Ax 2 h= b1 x b2 d) quelle per calcolare le dimensioni di un rettangolo: Ax 2 b= h A h = b 71 72 Scrivi le formule che utilizzeresti per calcolare: 3 a) l‘area di un quadrato A = ............................ A = ............................ b) l‘area di un triangolo A = ............................ A = ............................ c) l‘area di un parallelogramma A = ............................ Barra la casella che corrisponde alla risposta esatta (le risposte esatte possono essere più di una). 4 a) Due figure sono equiestese se: hanno lo stesso perimetro; hanno la stessa superficie; hanno la stessa forma, ma non necessariamente la stessa superficie; hanno la stessa forma e la stessa superficie. b) Due figure si dicono equicomposte se: hanno lo stessa forma; hanno la stesso perimetro; sono costituite da parti ordinatamente congruenti; sono costituite da parti equivalenti. c) Due figure congruenti: hanno la stessa forma, ma non necessariamente la stessa superficie; sono sicuramente equiestese; sono sicuramente isoperimetriche; sono sempre poligoni regolari. d) Due triangoli aventi la stessa base e la stessa altezza: sono sicuramente congruenti; sono sicuramente equivalenti; sono sicuramente isoperimetrici; non sono equivalenti. SAPER 5 FARE Completa le seguenti tabelle in cui i dati sono espressi in cm: D C A B C B 44 36 32 B A C A ✪ B H D C 2p (ABCD) 148 24 288 A B H C 18 1x CH 3 81 A B A(ABCD) A(ABCD 27 15 337,5 C A 2p(ABCD) A(ABCD) 205,6 67,24 A B 19,8 73 6 Osserva le illustrazioni, in base ai dati forniti risolvi i problemi e scrivi poi il testo di ciascuno di essi: a) C AC = 30 m AB BC CD AD B D = 51 m AB // C D B C // A D B D A(ABCD) = ? A ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... b) D AB // C D C D C =? AB = 52 cm A 12 D H = x A B 13 A(ABCD) = 2112 cm2 B H ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... Risolvi i seguenti problemi dopo aver effettuato un disegno corrispondente ai dati: 7 Un quadrato avente il lato di 30,8 dm è isoperimetrico a un rettangolo alto 15,6 dm; calcola il perimetro e le aree delle due figure. ✪ 8 8 Considera un rombo la cui diagonale minore è della maggiore e l‘area di 1296 m2. Calcola la misura di 9 ciascuna diagonale. ✪ 9 ✪ 10 Un parallelogramma e un triangolo rettangolo sono equivalenti. Sapendo che l‘ipotenusa misura 25 cm 3 4 e che i due cateti sono rispettivamente i e i dell‘ipotenusa, calcola l‘area. Determina, inoltre, la base 5 5 del parallelogramma sapendo che la sua altezza è la metà dell‘altezza relativa all‘ipotenusa. Risolvi il problema utilizzando i dati indicati: B A C′ C H D // BC A B A // CC ′ A(C′CD) = ? D = 36 cm A A B = 30 cm A(ABCD) = ? = 8 cm BC CD = 26 cm CH =? D Utilizzando l’unità di misura di 1 cm individua su un piano cartesiano i punti A (2; 2), B (13; 2), 11 C (15; 6), D (9; 4), E (4; 6). Congiungi i punti nell’ordine dato e determina l’area del poligono ottenuto. 74 VERIFICA DI GEOMETRIA Teorema di Pitagora Cognome ........................................................... data ......................................................... Nome ................................................................. classe........................................................ SAPERE 1 Considera le seguenti affermazioni; alcune sono vere, altre sono false; contrassegna la casella con la risposta esatta. V F V F V F La diagonale di un rettangolo lo divide in due triangoli rettangoli congruenti V F Un rombo viene diviso dalle due diagonali in tre triangoli congruenti V F Il teorema di Pitagora vale per tutti i triangoli Il teorema di Pitagora vale solo per i triangoli rettangoli La formula per calcolare l‘ipotenusa è : i = 2 – c22 c12 Completa l’enunciato del teorema di Pitagora: In un ……………………………………… il quadrato costruito sull’………………………… è …………………… alla ……………………………… dei quadrati costruiti sui ……………………… 3 Indica se le seguenti applicazioni del teorema di Pitagora sono vere o false, scrivendo V (vero) o F (falso) in ogni casella. e) triangolo rettangolo a) rettangolo d h c1 h = d 2–b 2 2 hi = c22+ l 2 hi d2 = b2 + h2 l1 = c12–h i2 l2 l1 b i f) trapezio rettangolo b1 b) trapezio rettangolo 2 b2 = d – h2 2 d2 h 2 i = c12+ c 2 c2 h h = d b2 2– d1 l h b2 – b1 b2 b2 – b1 = l2 + h2 2 2 h = d – b 1 1 2 l = h2–(b b 2– 1) b2 g) trapezio isoscele c) trapezio isoscele d 2 2 2 h m =d –h h l 2 h) quadrato d) rombo d2 2 2 b2 – b 1 2 m l b l + b – 2 d1 2 d 2 + d2 d d = – l 2 2 l= 2 1 2 1 2 2 2 1 b2 – b1 l2– h2 = 2 d = h– m 2 h= 2 d 2 I I = d x 2 d = I x 2 2 75 SAPER FARE Completa le seguenti terne pitagoriche: 4 ...........; 24; 25 32; ...........; 68 42; 56; ............ 96; ...........; 104 Completa la tabella utilizzando i dati assegnati: 5 figura a) dati D O A A O = = 24 cm BD B O = = AB AB = 25 cm B O= = 40 cm BD A O = = AC = 25 cm AB C D C A = 18 cm C B rombo b) calcolo delle misure richieste B H = CD = 7 cm A K B H trapezio isoscele c) C A ✪ 6 B = 12 cm CH C= B B = 22 cm A B H= CD = 6 cm = 10 cm BC H = C = 3 cm AB B C = B C = 10,1808 dm AB = B C = 7 x 2 cm AB = Con a, b e c sono indicate le misure, in cm, dei lati di un triangolo; stabilisci ogni volta se è rettangolo, ottusangolo oppure acutangolo: a = 48 b = 90 c = 102 ……………………………………………………………………… a = 16 b = 30 c = 38 ……………………………………………………………………… a = 40 b = 44 c = 58 ……………………………………………………………………… Risolvi i seguenti problemi: 7 Considera un triangolo rettangolo i cui cateti misurano 32 cm e 60 cm; determina il perimetro, l‘area e l‘altezza relativa all‘ipotenusa. 8 La diagonale di un rettangolo, avente le dimensioni di 4 m e 4,2 m, può misurare 6 m? Motiva la risposta. 9 ✪ 10 5 La diagonale minore di un rombo è i della maggiore e la loro somma è 23,8 dm; calcola perimetro e 1 2 area del rombo. D C A D CB 2p(ABC) = ? AB // DC ⳕ C B AC A(ABC) = ? A C = 12 m A(ABCD) = ? AB = 15 m A H B 2p(ABCD) = ? 76 VERIFICA DI GEOMETRIA Circonferenza, cerchio e loro parti Cognome ........................................................... data ......................................................... Nome ................................................................. classe........................................................ SAPERE 1 Completa la seguente tabella scegliendo i nomi tra quelli assegnati (non tutti verranno utilizzati): centro, raggio, settore circolare, punto, corda, diametro, corona circolare, semicerchio, angolo al centro, angolo, circonferenza, arco, segmento circolare, cerchio, angolo alla circonferenza, retta esterna. definizioni elementi cui si riferiscono le definizioni Ciascuna delle due parti in cui un cerchio è diviso da una corda non passante per il centro. Segmento che congiunge due punti di una circonferenza. Linea chiusa formata da tutti i punti equidistanti da un punto interno detto centro. Parte di circonferenza delimitata da due punti. Ciascuna delle due parti in cui un cerchio è diviso da due raggi. Segmento che congiunge il centro con un punto qualsiasi di una circonferenza. Ciascuna delle due parti congruenti in cui un cerchio è diviso da un diametro. Parte di piano compresa tra due circonferenze aventi lo stesso centro, ma raggi diversi. Corda passante per il centro. Angolo avente il vertice nel centro di una circonferenza. 2 Osserva le seguenti figure e contrassegna le caselle con le risposte esatte. a) O P t c' b) c O' r A O r' B C c) V F il punto P appartiene alla circonferenza V F la retta t è tangente la circonferenza V F Il segmento O P è congruente al raggio V F le circonferenze c e c' sono concentriche V F il segmento O A è il raggio della circonferenza c V F O’B > OA quindi r' < r V F la distanza fra i centri (O O ') corrisponde alla differenza tra i due raggi (r' – r) V F ^ V F ^ V F V F V F V F V F V F V F AO B è un angolo al centro O B AO B è un angolo alla circonferenza ២ AB è un arco convesso ^ A ^ AO B = 180° D 1 AC B = AD B = x 180° 2 il segmento AB corrisponde al raggio ^ A ^ AO B è la metà di AC B C d) il punto O è esterno la circonferenza O B ^ i triangoli ADB e ACB sono rettangoli 77 SAPER FARE Osserva le seguenti figure e, in base ai dati forniti per ogni situazione, completa la tabella. 3 O a) b) OA = 7 cm O′B = 13 cm O′ O A O′ O A OA = 3 cm O ′B = 6,5 cm OA = 5 cm O′B = 12,3 cm O′ B B O A +O ’B situazione A c) ’B O – OA a) B rispetto alla loro posizione reciproca le circonferenze sono: O O ’ 14 cm b) c) 24,3 cm Osserva il disegno, indica le parti richieste, completa le relazioni e la tabella. 4 C O B …………………… = angolo al centro A O ………… = raggio …………………… = angolo alla circonferenza AC B = ………… AO B ^ ^ …………………… = arco sotteso da AC B e AO B ^ ^ ^ ^ AO B = ………… AC B A ^ AC B 86° 48° 13′ 7′′ ^ AO B 54° 39′ 104° 184° 17′ 147° 46′′ Riferendoti alle illustrazioni e in base ai dati forniti risolvi i seguenti problemi: A 5 OH H B O 6 D C H ⳕ A B OA = 60 dm 2p(AOB) = ? OH = 36 dm A(AOB) = ? r = 25 cm A B // C D DC = 30 cm O A ✪ C B D O O H ⳕ ⳕ D C A B = 48 cm O K B D = 85 m 2p(ABCD) = ? C B = 13 m A(ABCD) = ? H K=? A(ABCD) = ? A B B K 7 B A =? D A = 36 m A ✪ 8 D che disti 24 cm dal centro O; disegna il diaConsidera una circonferenza di raggio 51 cm e una corda B metro A C perpendicolare alla corda BD . Calcola: – la lunghezza della corda B D ; – il perimetro del quadrilatero ABCD; – l‘area del quadrilatero ABCD. 78 VERIFICA DI GEOMETRIA Poligoni inscritti e circoscritti. Poligoni regolari Cognome ........................................................... data ......................................................... Nome ................................................................. classe........................................................ SAPERE Definisci i poligoni seguenti rispetto alle circonferenze di centro O e O' e completa le frasi. 1 T E D Il poligono ABCDEF è Il poligono RSTUV è .................................... .................................. U O C nella circonferenza F B S O′ alla circonferenza di centro O di centro O'. V A R a) Un poligono si dice inscritto in una circonferenza quando tutti i suoi vertici ………………….....……… alla circonferenza, i suoi lati sono ………………………… e gli assi dei suoi lati si ………………………… in un punto detto ……………………………………………………… che è il centro della circonferenza …………………………………………… b) Un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza quando i suoi vertici sono ………………………… alla circonferenza, tutti i suoi lati sono ………………………… la circonferenza e le bisettrici dei suoi angoli si ……………………………………………………………….... detto ………………………… che è il centro della circonferenza …………………………………………… 2 Contrassegna le risposte che ritieni esatte (le risposte esatte possono essere più di una): a) Un quadrilatero generico è inscrittibile in una circonferenza quando: ha i lati opposti congruenti e paralleli; ha gli angoli opposti al vertice supplementari; ha gli angoli opposti supplementari; gli assi dei suoi lati si incontrano nello stesso punto. b) Un quadrilatero generico è circoscrittibile ad una circonferenza quando: ha gli angoli opposti supplementari; le due somme dei lati opposti sono congruenti; le somme delle coppie dei lati opposti sono variabili; le bisettrici dei suoi angoli si incontrano nello stesso punto. c) L’apotema di un poligono regolare è: il raggio della circonferenza inscritta nel poligono; il raggio della circonferenza circoscritta al poligono; perpendicolare al lato nel punto di tangenza con la circonferenza; il lato del poligono regolare inscritto. d) Il numero fisso di un poligono regolare è: il rapporto costante tra le misure dell’apotema e del suo lato; un numero trascendente che vale circa 3,14; il numero da moltiplicare per il lato per ottenere l’apotema; il numero da moltiplicare per l’apotema per ottenere il perimetro. 79 Contrassegna le formule esatte: 3 a) Per il calcolo dell’area di un poligono regolare (A = area; a = apotema; 2p = perimetro): p·a 2p · a p · 2a A = 2p · a A = A = A = 2 2 2 b) per il calcolo dell’apotema (f = n° fisso; l = lato): f l a=l·f a = a = l f a=f·l c) per il calcolo del lato: f l = a l=a·f SAPER FARE ^ 4 ^ Completa la seguente tabella dove con α e β sono indicate le ampiezze di due angoli opposti di un generico quadrilatero ABCD: ^ α 56° 19′ ^ 34° 42′ β è inscrittibile? 5 63° 43° 27′ 131° 30′ 11° 35′ 48° 30′ SI 113° 15′ 38′′ 143° 32′ SI SI Sapendo che i segmenti A B ; BC ; CD ; D A sono i lati di un quadrilatero ABCD, completa la seguente tabella dove le misure sono espresse in cm: B A 22,18 81,5 23 35 36 B C 18,24 66,5 31,9 93,5 78 43,5 CD 12,3 79 108 31,5 D A 16,24 121,5 63 23,6 è circoscrittibile? 6 a l = f l=f·a 122 31,1 SI SI SI In base all‘illustrazione e ai dati forniti risolvi il problema: D O C A A D DC = 15 cm 2p(ABCD) = ? = 8,5 cm DO A(ABC) = ? B BC A A(ABCD) = ? B ✪ 7 Predisponi il disegno, i dati, le richieste relative e risolvi il seguente problema: in una circonferenza di centro O è inscritto un pentagono; un diametro corrisponde a una diagonale che divide il pentagono in un trapezio isoscele e un triangolo. Sapendo che i lati del triangolo, che non coincidono con il diametro misurano 40,5 m e 54 m e che la base minore del trapezio misura 18,9 m, calcola la misura del perimetro e l’area del pentagono. ✪ 8 Un triangolo equilatero è circoscritto ad una circonferenza nella quale è inscritto un esagono. Sapendo che l’altezza del triangolo misura 10,8 dm calcola: — la misura del perimetro del triangolo equilatero e dell’esagono; — l’area del triangolo equilatero e dell’esagono. 80 VERIFICA DI GEOMETRIA Lunghezza della circonferenza e area del cerchio Cognome ........................................................... data ......................................................... Nome ................................................................. classe........................................................ SAPERE 1 Completa le seguenti frasi e metti in corrispondenza ciascuna figura con la descrizione relativa. a) La circonferenza è una …………………… chiusa formata da …………………… punti …………………… da un punto O, detto …………………… (Fig. .......) b) Il cerchio è la parte di piano costituita dai punti di una …………………… e dai punti ……………………… ad essa (Fig. ......) c) Due circonferenze aventi ……………………..………………………… ma raggi …………………… si dicono concentriche. La parte di piano ……………………………………………… tra le due circonferenze si dice …………………………… e la sua larghezza corrisponde alla …………………………… fra i raggi delle due ………………………… (Fig. ......) Figura 1 Figura 2 Figura 3 O O descrizione ...... 2 descrizione ...... descrizione ...... Contrassegna le risposte che ritieni esatte (puoi indicare più di una risposta). a) Quali formule esprimono l’area del cerchio? Ac = πr Ac = π2r Ac = πr2 Ac = d2π Ac = π · r · r b) Quali formule esprimono la lunghezza di una circonferenza? c = πr c = dπ c = r · 6,28 c = 2πr c = d · 6,28 c) Quali formule useresti per determinare la lunghezza di un raggio? c r = d r = Ac r= Aπ c r= 2c π c r = 3,14 d) Quali formule esprimono l’area di una corona circolare? 2 2 2 A(corona) = πr1 r2 2 A(corona) = π · (r1 r2) 2 2 A(corona) = π · (r1 + r2) 2 2 A(corona) = πr1 πr2 e) Che tipo di numero è π? naturale reale relativo irrazionale razionale trascendente 81 SAPER 3 FARE Completa la seguente tabella (le misure si intendono espresse in cm): raggio diametro circonferenza area calcoli 32 9,4 78π 141,3 169π 4 Completa la seguente tabella, usando di volta in volta le formule opportune: r (cm) ^ α (°) c (cm) 22 l (cm) As (cm2) Ac (cm2) 45° 234 13 17° 6′ 19π 37,5π 225π 5 Un rettangolo con le dimensioni di 10,8 cm e 14,4 cm è inscritto in un cerchio. Calcola la diagonale del rettangolo e l‘area del cerchio. 6 Riferendoti all‘illustrazione e ai dati forniti, risolvi il problema: c' c O A c = 14π m A =? O A(corona) = 32π m2 AC′ = ? OA ′ = ? A' ✪ 7 Calcola il contorno e l’area della parte colorata in base ai dati e alla figura sotto riportati: D ABCD è un rombo A O C 3 A C = · D B 4 C A + DB = 56 cm B ✪ 8 Una figura curvilinea è formata da un quadrato e da quattro semicerchi esterni al quadrato aventi come diametro ognuno dei lati del quadrato. Disegna la figura e, sapendo che il suo contorno esterno misura 25,2π m, calcola: – la misura del perimetro del quadrato; – l‘area del quadrato; – l‘area della figura curvilinea. 82 VERIFICA DI GEOMETRIA La similitudine e i teoremi di Euclide Cognome ........................................................... data ......................................................... Nome ................................................................. classe........................................................ SAPERE 1 Contrassegna le risposte che ritieni esatte: a) Le tre condizioni che si devono verificare contemporaneamente perché due figure si possano definire simili sono: tutti i punti della prima figura devono essere in corrispondenza biunivoca con quelli della figura simile; le ampiezze degli angoli corrispondenti delle due figure simili devono essere in proporzione; le ampiezze degli angoli corrispondenti delle figure simili sono uguali; le misure dei lati corrispondenti sono uguali; il rapporto tra i lati corrispondenti delle due figure è costante. b) Due triangoli si dicono simili quando hanno: gli angoli ordinatamente in proporzione; tutte le coppie di lati in proporzione; due coppie di lati in proporzione e congruenti gli angoli compresi tra questi lati; tutte le coppie di lati congruenti; gli angoli ordinatamente congruenti. c) Il rapporto di similitudine è uguale: al rapporto tra lati corrispondenti; al rapporto tra i perimetri; al rapporto tra le ampiezze degli angoli; al quadrato del rapporto tra le aree; al rapporto tra le altezze corrispondenti. d) I teoremi di Euclide mettono in relazione: i cateti, il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo; i tre lati di un triangolo rettangolo e le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa; i cateti e la retta parallela all’ipotenusa; l’altezza relativa all’ipotenusa e le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa; i cateti, i loro punti medi e l’ipotenusa. e) Il teorema di Talete: serve per determinare i cateti di triangoli rettangoli simili; afferma che le coppie di segmenti corrispondenti che si formano tra un fascio di rette parallele e due trasversali sono in proporzione; afferma che i raggi del Sole che giungono sulla Terra sono tutti paralleli; afferma che i lati dei parallelogrammi sono sempre in proporzione; serve per calcolare misure di oggetti molto alti (alberi, campanili, piloni...), sfruttando le ombre prodotte dal Sole. 2 Considera il triangolo rettangolo ABC retto in C e riconosci in esso gli elementi richiesti, come nell’esempio: C H = altezza relativa all’potenusa C ……………… = cateto minore C B = ………………………………… A B = ……………………………… ……… = proiezione del cateto maggiore sull’ipotenusa A H B H = ………………………………………………………………………………… A 83 3 4 Sempre riferendoti al triangolo ABC dell’esercizio precedente, riconosci e contrassegna le proporzioni che esprimono il I e il II teorema di Euclide: I II A C : A B =A B :C B I II A H :C H = CH :H B I II A B :C H = CH : AC I II A B :A C =A C :A H I II A H :C B = CB :A B I II H B :B C =B C :A B Completa inserendo Vero o Falso al posto dei puntini: — Due triangoli isosceli sono sempre simili …………… — Due triangoli isosceli rettangoli sono sempre simili …………… — Due triangoli con il rapporto fra le aree uguale al rapporto fra i perimetri sono simili …………… — Due triangoli isosceli con un angolo alla base uguale sono simili …………… — Due triangoli con gli angoli in proporzione sono simili …………… — Due rettangoli con il rapporto fra le aree uguale al quadrato del rapporto fra le altezze sono simili …………… — Due rombi con le diagonali proporzionali sono simili …………… — Due figure piane che hanno gli angoli corrispondenti congruenti sono sempre simili …………… — Due rettangoli che hanno il rapporto fra le basi uguale al rapporto di similitudine sono simili …………… — Due poligoni congruenti sono sempre simili …………… — Due quadrilateri simili sono sempre congruenti …………… — Due figure piane simili possono essere congruenti …………… — Due figure congruenti non sempre sono simili …………… — Due figure simili sono sempre equivalenti …………… SAPER 5 FARE Riporta l’illustrazione sui due reticoli assegnati e rispondi alle domande. Come sono tra loro le figure? …………………………………………………… In che rapporto stanno le dimensioni di ciascuna delle figure disegnate rispetto a quella data? …………………………………………………… 0,5 cm 1 cm 0,2 cm 84 Date le seguenti coppie di triangoli, stabilisci se sono simili e giustifica la risposta specificando il criterio. 6 C a) Considera gli angoli: O 80° 80° B M A = .................. ^ B = .................. ^ ^ ^ ^ M = .................. 20° A ^ N = .................. C = .................. O = .................. I triangoli ..................... simili per il ............. criterio N perchè ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................ R U b) Considera gli angoli: 25° S 65° ^ P = .................. ^ Q = .................. ^ ^ ^ ^ S = .................. T = .................. R = .................. U = ................... I triangoli ...................................................................... 25° Q P T ............................................................................................................................................................................ c) Calcola i rapporti tra lati corrispondenti A' B' = ..................................... A B C 5 cm A C' 6 cm 4 cm B A' 9 cm 4,8 cm B' 7,2 cm B' C' = ...................................... B C 'A C ' = ...................................... C A il rapporto è ................................................................; i due triangoli ................................................................................................................................................. d) Considera gli angoli e i lati corrispondenti N ....................................................................................... Q 4,5 ....................................................................................... 2,7 L 25° 3 M O ....................................................................................... 25° 1,8 P ....................................................................................... i due triangoli .................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................ Risolvi i seguenti problemi: ✪ 7 Un rombo ha una diagonale che misura 13,2 cm e l’area di 116,16 cm2. Calcola la misura della lunghez3 za del perimetro di un rombo simile, sapendo che il rapporto di similitudine rispetto a quello dato è . 4 8 In un trapezio rettangolo la diagonale minore misura 22,5 dm ed è perpendicolare al lato obliquo. Sapendo che l‘altezza del trapezio misura 18 dm, calcola perimetro e area. VERIFICA DI GEOMETRIA Poliedri: prismi Cognome ........................................................... data ......................................................... Nome ................................................................. classe........................................................ SAPERE 1 Barra le risposte che ritieni esatte (possono essere più di una). a) Si definisce poliedro: una parte di spazio limitata da poligoni; un solido con tanti lati; un angolo che si estende nello spazio. b) Le facce di un poliedro sono: sempre triangoli; a volte rettangoli; i poligoni che lo delimitano. c) La superficie laterale di un poliedro è: l‘insieme di tutti i poligoni che lo delimitano; l‘insieme delle facce laterali; costituita da almeno tre poligoni. d) Un prisma è un poliedro: con almeno due facce congruenti poste su piani paralleli; con almeno quattro facce laterali; avente per facce laterali dei triangoli. e) Si definisce altezza di un prisma: la distanza tra due vertici opposti; la distanza tra due piani contenenti due facce; la distanza tra i due piani contenenti le basi. f) Due poliedri si dicono equivalenti quando hanno: la stessa estensione nello spazio; la stessa superficie totale; lo stesso volume. 2 Tra le seguenti formule riconosci quelle relative ai prismi: a) per l’area della superficie laterale: 2p · h Al = 2 · (2p + h) Al = 2 Al = 2p · h 2p · a Al = 2 V = Ab + h V = Ab · h c) per il perimetro della figura di base: Al · 2 A 2p = 2p = l h h At – Al 2p = 2 V 2p = Ab d) per l‘altezza: V·2 h= Ab V h= Ab V h= Al b) per il volume: Ab · h V= 2 Ab · a V= 3 V h = 2p 85 86 3 Scrivi le formule che esprimono le relazioni che legano il peso con il peso specifico e il volume. P = ……………………………… V = …………………………………… SAPER 4 FARE Considera i tre parallelepipedi dell’illustrazione; in base ai dati forniti, calcola il volume di ciascuno e annota le tue osservazioni: a = 45 cm 5 ps = ……………………………………… V1 = ? a = 12 cm V2 = ? a = 12 cm b = 61 cm b = 45 cm b = 61 cm c = 12 cm c = 61 cm c = 45 cm V3 = ? Basandoti sull‘illustrazione e sui dati forniti, scrivi il testo del problema e risolvilo. H G V E F = 8 dm3 (cubo) ps (vetro) = 2,5 B A =? Al = ? At = ? D C A P=? B ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ Risolvi i seguenti problemi: 6 D′ A′ C C′ B′ O D D C B 8 D B = · AC 15 At = ? C + DB = 92 cm A V=? Al = 6800 cm2 P=? O A B A ps (ferro) = 7,8 prisma a base rombica ✪ 7 Un parallelepipedo e un cubo hanno l’area della superficie totale equivalente. Sapendo che le dimensioni del parallelepipedo misurano 3 cm; 7 cm e 22,2 cm, calcola: — lo spigolo e la diagonale del cubo; — il volume di ciascuno dei due solidi; — il peso di ciascuno dei due solidi sapendo che il cubo è di ghisa (ps 7,3) e il parallelepipedo è di rame (ps 8,9). ✪ 8 Un oggetto di legno è formato da due parallelepipedi rettangoli sovrapposti. Il primo parallelepipedo è a base quadrata e ha lo spigolo di base di 24 cm e l’altezza di 10 cm. Le dimensioni del secondo parallelepipedo sono 8 cm; 3 cm; 14 cm. Calcola: — l’area della superficie del solido; — il peso in kg del solido sapendo che il peso specifico del legno di cui è costituito è 0,8. VERIFICA DI GEOMETRIA 87 Poliedri: piramidi Cognome ........................................................... data ......................................................... Nome ................................................................. classe........................................................ SAPERE 1 Barra le risposte che ritieni esatte (possono essere più di una): a) Una piramide è un poliedro: avente le facce laterali triangolari; avente come base un cerchio; con almeno tre facce laterali triangolari. b) In una piramide retta si definisce altezza: l’altezza di una faccia laterale; la distanza tra il vertice della piramide e il centro del cerchio inscritto nella base; la distanza tra il vertice della piramide e un vertice del poligono di base. c) L’apotema di una piramide è: perpendicolare a ciascuno spigolo di base; l’altezza della piramide; l’altezza di una faccia laterale. d) In una piramide regolare: l‘altezza e l‘apotema di base coincidono; la base è circoscrittibile a un cerchio; la base è un poligono regolare. 2 Stabilisci quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false: a) Una piramide retta può avere come base un: rettangolo V F rombo V F quadrato V F trapezio isoscele V F triangolo equilatero V F esagono regolare V F triangolo rettangolo V F parallelogramma V F trapezio rettangolo V F b) Una piramide regolare può avere come base un: 3 rettangolo V F rombo V F quadrato V F trapezio isoscele V F triangolo equilatero V F esagono regolare V F triangolo rettangolo V F parallelogramma V F trapezio rettangolo V F Facendo riferimento all’illustrazione, inserisci i termini adeguati e completa le relazioni: O V V ⳕ H O …………… = vertice della piramide ……… = apotema di base H = ………………………………… V D C H O A B O = ……………………………… …………… = altezza della piramide … … H 2 H V = … + O O V = … … … 2 — H O H V = V B 2— … …… ……… = V H 2+ 2 B H ……… = V O 2+ 2 B O H O = … … … … — …… 88 4 Tra le seguenti formule riconosci quelle relative alla piramide: a) per l’area della superficie totale: Al · Ab At = Al + Ab At = 2 At = Al + 2Ab At = Al · Ab Ab · a V= 3 Ab · h V= 3 Ab + h V= 3 c) per l’area della superficie laterale: 2p · h Al = 2p · a Al = 2 2p · a Al = 2 2p · a Al = 3 b) per il volume: Ab · h V= 2 SAPER 5 FARE Basandoti sull‘illustrazione e sui dati forniti, scrivi il testo del problema e risolvilo. V D C H O A ABCD è un quadrato ⳕ O V O H Al = ? B V = 8,5 cm V =? At = ? VH = 7,5 cm B ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... Risolvi i seguenti problemi: 6 Considera una piramide quadrangolare regolare avente l‘area totale di 6144 cm2 e il perimetro di base di 192 cm. Calcola l‘area laterale, il volume e il peso della piramide sapendo che è di alluminio (ps 2,7). 7 Una piramide retta ha per base un rombo avente l‘area di 54 dm2 e l‘altezza di 7,2 dm. Sapendo che l‘altezza della piramide misura 4,8 dm, calcola: — l’area della superficie totale della piramide; — il peso della piramide supponendo sia di alabastro (ps 2,6). ✪ 8 Un solido è formato da un prisma a base quadrata e da una piramide quadrangolare regolare con base coincidente a quella del prisma. I due solidi sono equivalenti e ognuno ha il volume di 69,120 cm3. L’altezza del solido è 48 cm. Calcola l’area del solido. ✪ 9 Un oggetto è composto da un cubo e da due piramidi rette con le basi coincidenti con due facce opposte del cubo. 2 La distanza tra i vertici delle piramidi misura 42 cm; il rapporto tra le altezze delle piramidi è e lo spi3 golo del cubo è congruente alla minore delle due. Calcola: — l’area della superficie del solido; — la misura del volume; — il peso dell’oggetto sapendo che il cubo è di legno di abete (ps 0,5) e le piramidi sono di legno di castagno (ps 0,81). VERIFICA DI GEOMETRIA Solidi di rotazione: cilindro e cono Cognome ........................................................... data ......................................................... Nome ................................................................. classe........................................................ SAPERE 1 Abbina ciascun termine con la sua definizione (non tutti i termini sono definiti). altezza cono equilatero cilindro sezione meridiana asse di simmetria apotema a) Cono avente un triangolo equilatero come sezione meridiana. b) Solido generato dalla rotazione di 360° di un rettangolo attorno alla retta sostegno della base. c) Rettangolo ottenuto dall’intersezione di un cilindro con un piano passante per il suo asse di rotazione. d) Distanza tra il vertice di un cono e un punto qualsiasi della circonferenza di base. e) Distanza tra le due basi di un cilindro. 2 Contrassegna le formule che ritieni esatte (puoi indicarne anche più di una). a) per l‘area totale del cilindro: At = πr · h At = Al +2Ab At = πr2 + 2πr At = 2πr · (h + r) π·r·a Al = 2 Al = At – Ab Al = π · r · h Al a= π·r 2 a = h +r2 a = r2– h2 V = Ab · h V = πr2 · h V = 2πr2 · h Ab · a V= 3 πr2 · h V= 3 πr3 · h V= 2 b) per l‘area laterale del cono: Al = π · r · a c) per l‘apotema del cono: Al a= π·h d) per il volume del cilindro: Ab · h V= 3 e) per il volume del cono: Ab · h V= 3 ✪ 3 Contrassegna le formule che ritieni esatte (puoi indicarne anche più di una): a) Volume del cilindro equilatero: 3π r 2πr3 2πh 3πh2 3 π r 3 3 π r · h2 3 4πr2 4 · Ab 4 π r2 3 · Ab b) Volume del cono equilatero: πr · h 3 πr· h 2 3 3 c) Area laterale del cilindro equilatero: 6πr2 4πr d) Area totale del cono equilatero: 2π r 2 3πr2 89 90 SAPER 4 FARE Disegna e descrivi i solidi che ottieni dalle rotazioni di 360° delle seguenti figure piane: a) rettangolo attorno alla retta di sostegno della base; b) triangolo rettangolo con angoli di 30° e 60°, attorno alla retta sostegno del cateto maggiore; c) rettangolo con base uguale a metà dell’altezza, attorno alla retta sostegno dell’altezza. Basandoti sulle illustrazioni e sui dati forniti, scrivi i testi dei problemi e risolvili. 5 D A C O' O OB = raggio = 7 m Al (cilindro) = ? B C = altezza = 13 m At (cilindro) = ? V(cilindro) = ? B ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ V 6 A O B = raggio = 16 cm Ab (cono) = ? At = 576π cm2 Al (cono) = ? V(cono) = ? B O ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ Risolvi i seguenti problemi: 7 La circonferenza di base e l‘altezza di un cilindro misurano rispettivamente 24π cm e 12 cm. Calcola il volume del cilindro. 8 Un cilindro e un cono sono equivalenti. L‘area laterale del cilindro è 27π dm2, l‘altezza del cilindro e quella del cono misurano rispettivamente 4,5 dm e 6 dm. Calcola: – l‘apotema del cono; – la superficie totale di ognuno dei due solidi; – il volume dei due solidi; – il peso del cilindro sapendo che è di marmo (ps 2,8). ✪ V 9 A′ A B O ^ V = 90° AV =? A(AVA') = 196π cm2 B A =? At (cono) =? V(cono) = ? A A′ ✪ Un vecchio calamaio di vetro (ps 2,5) è formato da un cubo con una cavità cilindrica. Sapendo che lo spi- 10 golo del cubo misura 6 cm, che il centro del cerchio di base della cavità cilindrica coincide con il centro di simmetria della faccia del cubo, che la cavità cilindrica è profonda 4 cm e larga 5 cm, calcola la misura della superficie e il peso del calamaio. VERIFICA DI GEOMETRIA 91 Solidi di rotazione composti Cognome ........................................................... data ......................................................... Nome ................................................................. classe........................................................ SAPERE 1 Metti in relazione ciascuna figura piana con il solido generato dalla rotazione di 360°. 1 .......... 2 .......... 3 .......... a) parallelogramma che ruota attorno alla retta sostegno della base; b) triangolo rettangolo che ruota attorno ad una retta parallela al cateto maggiore e contenente il vertice opposto al cateto stesso; c) triangolo isoscele che ruota attorno alla retta sostegno della base. 2 Riferendoti ai solidi dell’illustrazione completa la tabella: N A D // B C C′ C D B′ A H D H ⳕ H N ⳕ LM B C L H M B N′ segmento B A C B D C D A C H LM LH eH M LN eN M definizione rispetto alla figura piana definizione rispetto al solido 92 SAPER 3 FARE Il trapezio isoscele ABCD viene fatto ruotare attorno alla retta sostegno della base minore e in seguito attorno alla retta sostegno della base maggiore: A′ B′ O D C O A H K A C D H K C′ D′ B B Completa le relazioni tra gli elementi del trapezio e gli elementi di ciascuno dei due solidi: Trapezio base maggiore A B = 1° solido altezza cilindro 2° solido somma delle altezze DC = .............................................. ................................................. ................................................. D A CB .............................................. ................................................. ................................................. A K HB .............................................. ................................................. ................................................. D K CH .............................................. ................................................. ................................................. a) Scegli il procedimento da utilizzare per calcolare l’area e il volume del primo solido: 2Ab + Al + Al V (coni) +V 2Al (cilindro) V (cilindro) (cono) (cilindro) + Al Al (cilindro) 2V (cilindro) 2V (cono) (cono) 2Al ·V (cono) (cilindro) b) Quale fra i due solidi avrà superficie maggiore? Il primo Il secondo c) Quale dei due solidi avrà volume maggiore? Il primo 4 ✪ 5 Il secondo 2 In un trapezio scaleno il rapporto tra la base maggiore e l’altezza è e la loro somma misura 100 cm; 3 sapendo che i lati obliqui misurano 61 cm e 65 cm, calcola la superficie e il volume del solido generato dalla rotazione di 360° del trapezio attorno alla base maggiore. Sapendo che il solido è di alluminio (ps 2,67), calcola il suo peso in kg. Considera il solido generato dalla rotazione di 360° del triangolo ABC attorno alla retta sostegno del lato A B e completa le richieste in base ai dati forniti. C A B H C′ ✪ 6 B = 12,5 cm A C H =? C B = 8 cm At = ? AC = 19,5 cm Vt = ? ps(granito) = 2,75 P(solido) = ? In un trapezio rettangolo ABCD, rettangolo in A e in D, le basi misurano 4,65 dm e 30 cm; il lato obliquo B C misura 0,325 m. Considera i triangoli ACD e ABC che si evidenziano nel trapezio tracciando la diagonale minore AC . Calcola le superfici e i volumi dei due solidi ottenuti dalla rotazione completa dei due triangoli ACD e ABC attorno alla retta sostegno della base maggiore A B . Somma i risultati ottenuti e confrontali con la superficie e il volume del solido generato dalla rotazione completa del trapezio ABCD attorno alla retta sostegno della base A B . VERIFICA DI ALGEBRA 93 Insieme dei numeri relativi Cognome ........................................................... data.......................................................... Nome ................................................................. classe ........................................................ SAPERE 1 Scrivi i termini o simboli corrispondenti alle seguenti definizioni: definizioni termine o simbolo I numeri relativi preceduti dal segno . ....................................... Due numeri relativi che hanno lo stesso segno. ....................................... L’insieme dei numeri razionali positivi. ....................................... Due numeri relativi che non hanno lo stesso segno. ....................................... Il numero relativo privato del segno. ....................................... L’insieme dei numeri reali negativi. ....................................... I numeri relativi preceduti dal segno . ....................................... L’insieme dei numeri interi relativi. ....................................... 2 Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false e, accanto ad ogni affermazione falsa, scrivi quella corretta: affermazione V F correzione affermazione V F 1 Z 2 4 Q 5 □ 7 R □ □ 2 Z □ 0Q □ 3,5 Z □ 5 I □ 0,3 Q □ 3,5 Q □ 0,5 Q □ 3 Colloca i seguenti numeri relativi nel diagramma di Venn: 4 0,3; 1 3 ; 0,7 ; 9 1 ; 6,5; ; 3; 0; 1,2 ; 6 . 5 R Q I Z ✪ 4 Metti al posto dei puntini il simbolo o : N …… Z; I …… Q; I …… R; Q …… Q; Q …… R; Z …… Q; Z …… Z ; Q …… I; Q…… R; R…… R. correzione 94 SAPER 5 FARE Scrivi i numeri interi relativi che corrispondono alle seguenti proposizioni: proposizione numero/i Ha valore assoluto 7. …….……………………… Il suo opposto è 9. …….……………………… Il suo valore assoluto è compreso tra 5 e 7. …….……………………… È concorde al numero 12 e il suo valore assoluto è 2. …….……………………… È negativo e il suo valore assoluto è minore di 3. …….……………………… È discorde al numero 24 e il suo valore assoluto è 15. …….……………………… È positivo e il suo valore assoluto è minore di 2. …….……………………… 6 7 1 2 5 7 Rappresenta sulla seguente retta orientata i numeri relativi ; 3; 1; ; ; : 2 3 2 3 0 Completa mettendo al posto dei puntini i simboli: <,> 1 0 …… 2 3 0 …… 4 3 …… 4 7 ……10 8 ……2 7 4 …… 8 5 9 2 …… 4 3 0,3 …… 0,3 8 …… 5 3 1 …… 5 2 VERIFICA DI ALGEBRA Operazioni con i numeri relativi Cognome ........................................................... data ......................................................... Nome ................................................................. classe........................................................ SAPERE 1 Barra la casella che corrisponde alla risposta esatta (a volte ci possono essere più risposte esatte): a) 6 10 è uguale a: b) 3 (4) è uguale a: 16 16 7 12 4 4 12 1 c) ( 2)3 è uguale a: d) (5)2 è uguale a: 6 8 25 25 8 6 10 10 3 e) l’inverso di è: 4 3 4 4 3 4 3 1 3 4 6 4 3 3 2 2 i) 3 2 2 3 2 2 2 è uguale a: 5 (5)5 2 1 h) [(3)2]2 è uguale a: 3 è uguale a: 2 3 1 2 4 1 2 5 (1)2 3 6 : 5 è uguale a: 4 4 5 5 4 g) 5 2 1 2 1 f) 2 l) (3)4 34 (3)4 34 4 9 è uguale a: 2 32 3 solo 2 3 solo 2 22 2 3 3 3 e 2 2 nessun risultato Completa la seguente tabella: operazione l’operazione possiede le proprietà l’operazione è definita in: Z Q R addizione SI NO SI NO SI NO sottrazione SI NO SI NO SI NO moltiplicazione SI NO SI NO SI NO divisione SI NO SI NO SI NO eventuale elemento neutro 95 96 SAPER 3 FARE Riconosci quale proprietà è stata applicata ad ognuna delle seguenti uguaglianze: uguaglianza proprietà ( 6) ( 4) (1) ( 6) ( 3) ( 3) ( 11) ( 3) ( 1) ( 10) ( 8) ( 2) ( 1) ( 2) ( 8) ( 1) 2 (3 4) 6 8 (50) : (15) (10) : (3) (12 14 6) : (2) 6 7 3 4 Calcola il risultato delle seguenti operazioni: a) 24 15 16 ……………; b) 35 (13) ……………; c) 12 ( 9) …………… ; d) 36 : (12) ……………; 3 2 1 e) ………………; 7 4 2 24 6 f) : …………… ; 32 16 h) (2)3 ………………; 2 i) 5 2 n) 3 1 g) 3 l) 3 ………………; 9 ………………; m) 5 5 1 ✪p) 4 1 3 8 3 2 3 : 2 …………… ; 2 2 3 : 3 …….. ; 4 ………………; : 5 5 ………………; 5 5 5 8 : 8 8 ……………… 1 2 o) 5 5 2 ✪ q) 8 4 3 2 2 2 3 4 ………………; 2 3 Applica le proprietà indicate: 1 4 7 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 10 ............................................... 5 8 4 : 10 4 3 1 1 ............................ (associativa dell’addizione algebrica) (distributiva della divisione) ............................................... 2 7 5 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 6 3 14 (distributiva della moltiplicazione) ............................................... 5 2 8 2 4 15 1 ............................. (distributiva della moltiplicazione) ............................................... 6 Risolvi le seguenti espressioni: a) (2) (3)2 5 (2)3 3 (2) (5) 8 ; 6 3 : 5 60 : 35 5 : 3 15 20 : 3 ; 7 1 2 2 2 2 3 1 3 1 6 ✪ c) 5 3 : 3 3 2 20 4 : 12 7 4 5 5 b) 7 2 8 3 4 1 2 2 4 7 2 2 2 1 3 4 2 4 0 4 : 1 2 4 (2) 1 117 3 7 ✪ d) 1 . 2 ; VERIFICA DI ALGEBRA Calcolo letterale e monomi Cognome ........................................................... data ......................................................... Nome ................................................................. classe........................................................ SAPERE 1 Tra le seguenti espressioni letterali individua e contrassegna i monomi: 2 3 a6b; 4 7a 6b2; 5ab2c3; 1 b. 2 7a3b2; Per ogni definizione scrivi il termine corrispondente: definizione termine Fattore numerico di un monomio. ………………………………………………… Fattore letterale di un monomio. ………………………………………………… Monomi aventi la stessa parte letterale. ………………………………………………… Monomi aventi la stessa parte letterale ……………………………………….......…… ma coefficienti opposti. ………………………………………………… Somma degli esponenti che compaiono ……………………………………….......…… nella parte letterale di un monomio. ……………………………………….......…… 3 Indica con una crocetta l’esatto completamento: a) Il monomio 8a2bc3 è di: quinto grado; sesto grado; secondo grado; terzo grado. b) Il coefficiente del monomio a3b4 è: 1; 0; 1; 3; 3 c) Il monomio a2b3 è simile al monomio: 5 3 2 a2b; 13a2b3; ab ; 5 1 d) Il monomio x3y4z è l’opposto del monomio: 2 1 2x3y4z ; 2x3y4z ; x3y4z ; 2 4 1 a3b2. 6 x3y4z . Scrivi quali dei seguenti monomi sono interi (I) e quali frazionari (F): 4abc2 …… SAPER 5 3. 3x2y2 …… 7a4 5ab3 …… 6abc 4 …… z FARE Determina il valore delle seguenti espressioni letterali: a) a 3b 5a; ✪ b) 2a2 3ab 2c 5 a 3; b 2. a 2; 1 b ; 2 1 c . 6 5a2 …… 3 97 98 6 Calcola le seguenti espressioni: a) 5a 3a 12a; c) 3xy (3xy) (4xy); e) (2ac) (3a2c3); 10 6 f) ax2 a2x ; 12 20 g) (15 x3y3z) : (5xz); 3 3 h) xy3 : x4y4 ; 10 25 i) (3 xy4)2; l) ✪ m) 3 xy3 2 x2y 1 7 1 2 b) a a 2a; 3 3 2 1 11 2 2 d) xy x2y x y xy; 3 2 12 9 3 2 2 a ; 1 2 2 3 3 2 (xy)5 (x2y)2 xy3 . 2 3 Scrivi: – un monomio di 3° grado: …………........………… – un monomio di 4° grado che rispetto ad a sia di 2° grado: …………………… – due monomi simili di 5° grado rispetto alla x: …………………………………………… – due monomi opposti di 3° grado rispetto ad a e di 2° rispetto a b: ………………………………………… 8 Traduci in espressioni letterali le seguenti frasi: – il doppio di x più il suo triplo elevato al cubo meno quattro: …………………………………………………………………………………………………………………… – il cubo di un numero diminuito dei suoi tre quinti: …………………………………………………………………………………………………………………… – il quoziente tra la radice quadrata del quadruplo di a più uno e il doppio di a: …………………………………………………………………………………………………………………… VERIFICA DI ALGEBRA 99 I polinomi Cognome ........................................................... data ......................................................... Nome ................................................................. classe........................................................ SAPERE 1 Per ogni definizione scrivi il termine corrispondente: definizione termine Espressione algebrica costituita da più monomi. ……………………………………………………… Polinomio in cui non figurano termini simili. ……………………………………………………… La somma algebrica di due monomi. ……………………………………………………… In un polinomio, il termine formato solo da un numero. ……………………………………………………… Un polinomio i cui termini hanno lo stesso grado. ……………………………………………………… La somma algebrica di tre monomi. ……………………………………………………… 2 Indica con una crocetta l’esatto completamento: a) Il polinomio 4a3 12ab4 3b7 23a4b5 è di: settimo grado; terzo grado; nono grado; quarto grado; b) Il polinomio 4x4 3x2 10x 1 è: omogeneo; ordinato in senso crescente; completo; ordinato in senso decrescente; c) Il polinomio 5a3 12a 4 a4 3a2 è: omogeneo; ordinato in senso crescente; completo; ordinato in senso decrescente; d) Il polinomio 5xy2 3x3 7x2y è: omogeneo; ✪ 3 ordinato in senso crescente; completo; ordinato in senso decrescente. Completa la seguente tabella, scrivendo lo sviluppo di ogni prodotto notevole: prodotto notevole sviluppo (a b)2 …………………….........……………………………….....… (a b)3 ………………………………………..............……………… (a b) (a b) ………………………………………..............……………… SAPER 4 FARE Esprimi le seguenti proposizioni sotto forma di polinomi: a) Il quadrato di un binomio ……………………………… b) Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza ……………………………………………… c) Il cubo di un binomio …………………………………… 100 5 Senza eseguire i calcoli esprimi le seguenti proposizioni sotto forma di polinomi: a) Il perimetro di un triangolo equilatero il cui lato è (3a 1) ……………………………………………………………………………………………………………………………… b) l’area di un rombo avente le diagonali rispettivamente lunghe (2x y) e (5x y) ……………………………………………………………………………………………………………………………… 6 Completa la seguente tabella: grado del polinomio polinomio grado rispetto alla lettera x grado rispetto alla lettera y grado rispetto alla lettera z 4x2y2 3xy3 y4 5x4 3 1 1 x3yz2 xy3z3 x2y2z 4 4 3 3 7 Esegui le seguenti operazioni con i polinomi: a) (2x 3y) (7x 4y) (6x 3y); 1 2 5 5 b) x3 y3 xy xy y3 ; 3 3 2 7 c) (5ab 1) (2a 4b 5); 2 12 3 d) 4a7b3 a6b6c a5b4c3 8a4b5c : (3a3b2); 5 10 e) (2x 3xy) (6y 2) 6xy (5y 2) 2x (2x 3y); 2 ✪ f) 2a2 2 2a2 2 4a2 (a2 4) 2a2 1 ; 1 ✪ 8 1 1 1 2 Utilizzando il calcolo letterale, determina l’area della superficie totale e il volume del cubo disegnato. b a a 9 b Utilizzando il calcolo letterale, determina l’area e il perimetro del trapezio disegnato. D C A H B = 6x + 3y A D C = 6x D A = 4y B A B // CD A D ⊥ AB H C ⊥ AB VERIFICA DI ALGEBRA 101 Identità ed equazioni Cognome ........................................................... data ......................................................... Nome ................................................................. classe........................................................ SAPERE 1 Considera la seguente uguaglianza 7 x 14 verificata per x 2, e completa: a) l’uguaglianza 7 x 14 si chiama ………………...................................................... b) i termini a sinistra del segno di uguaglianza costituiscono il primo ……………… c) i termini a destra del segno di uguaglianza costituiscono il …………………......… d) il numero 7 è detto ……………………………................ e) il numero 14 è detto ……………………………………… f) la lettera x è detta ……………………………...............… g) il valore x 2 è detto ……………………...........……… 2 Indica quale delle seguenti equazioni è scritta in forma normale: 4 x 12 3 4 5 x 13 x70 4 6. x Scrivi, accanto a ciascuno dei seguenti casi, di quale tipo di equazione si tratta: — se a = 0 e b=0 ax = b si dice ……………………………………… — se a 0 e b=0 ax = b si dice ……………………………………… — se a 0 e b0 ax = b si dice ……………………………………… — se a = 0 b0 ax = b si dice ……………………………………… Completa: — un’equazione di 1° grado si dice …………………………… quando ha infinite soluzioni — un’equazione di 1° grado si dice …………………………… quando ha una sola soluzione — un’equazione di 1° grado si dice …………………………… quando non ammette soluzioni. 5 Considera l’equazione 3x 6 3 e stabilisci quale principio di equivalenza è stato applicato in ogni passaggio. 1° passaggio 3x 6 6 3 6 3x 3 ……… principio 2° passaggio 3x (1) 3 (1) 3x 3 ……… principio 31 31 3° passaggio x 31 31 x1 ……… principio 102 Considera le seguenti equazioni e classificale: 6 a) 5x 12 3 10x numerica; letterale; fratta; intera. numerica; letterale; fratta; intera. numerica; letterale; fratta; intera. d) 5ax 3a 12ax numerica; letterale; fratta; intera. 2b 1 e) 5b x 4 numerica; letterale; fratta; intera. 1 3 1 b) x 4 x 1 2 4 2 1 c) 2x 3 5 SAPER FARE Completa le seguenti equazioni in modo che siano: 7 impossibile …… x 4; determinata 6x ….…; indeterminata …… x 0. Stabilisci quali tra le seguenti coppie sono equazioni equivalenti: 8 a) 8x 2 7x 9 8x 7x 2 9 b) 3 2x 12 3x 2x 3x 12 3 c) 6x 5 4x 3 4x 5 2x 3 x 3 ✪ d) 4 5 2 5x 12 2 20 20 Scrivi un’equazione equivalente a ciascuna delle seguenti equazioni: 9 a) 5x 4 0 ………………………………… 10 x b) 2 3 …………………………………… 5 Risolvi le seguenti equazioni e verifica le soluzioni trovate (quando è possibile): a) 3 (17 x) 12x 2 (8 3x) 50; 19 x x2 x1 b) 2 ; 18 9 6 1 1 5 1 5 1 c) x x (x 1); 3 6 6 4 12 6 ✪ d) 3x (2 x) (x 1) (x 1)2 (x 2) (x 2)2 2. 11 RIsolvi i seguenti problemi impostando un’equazione risolutiva: 5 2 a) Determina un numero tale che i suoi diminuiti di 3 siano uguali ai suoi aumentati di uno. 6 3 b) Trova due numeri sapendo che il primo supera di 3 il secondo e che il primo, aumentato di 5 e poi diviso per 6, è uguale al secondo diminuito di 7 e poi diviso per 3. ✪ c) Un uomo versa una prima rata pari ai 34 del suo debito e poi 700 €. A quanto ammontava il debito, se 1 ne rimaneva da pagare? 12 VERIFICA DI ALGEBRA 103 Piano cartesiano e funzioni matematiche Cognome ........................................................... data ......................................................... Nome ................................................................. classe........................................................ SAPERE 1 Indica, barrando la casella opportuna, in quale quadrante del piano cartesiano si trova ciascuno dei seguenti punti: I II III IV A ≡ ( 6; 1) B ≡ ( 2; 3) C ≡ ( 5; 5) D ≡ ( 8; 4) 2 Scrivi in quale situazione viene utilizzata ciascuna delle seguenti formule: a) yB yA → per calcolare la lunghezza di un segmento AB …………………… all’asse ………………… b) xB xA → per calcolare la lunghezza ………………………………………………………………………… yA yB c) yM → per calcolare l’ordinata ………………………………………………………………………… 2 xA xB d) xM → per calcolare l’ ………………………………………………………………………………… 2 2 2 (yA e) (x A x y B) B) → per calcolare …………………………………………………………………………… 3 Indica quali tra le seguenti equazioni rappresentano rette parallele all’asse x o all’asse y: la retta è parallela all’asse x la retta è parallela all’asse y all’asse x y = 3x + 1 5 y = x 2 5 y = 2 4 x=y x=8 1 x = 5 Indica quali tra le seguenti equazioni rappresentano rette passanti per l’origine degli assi: SI 5 all’asse y NO SI x=3 y=x y=7 y=x x = 2y y=x1 y=3x x=0 NO 5 Considera la retta: y = x e contrassegna in rosso le rette parallele ed in blu quelle perpendicolari alla 3 data: 5 y = x + 2 3 3 y = x + 1 5 3 y = + x 2 5 3 y = x 5 3 y = + x 5 5 y = x 2 3 10 y = x + 4 6 6 y = + x 1 10 9 y = x 6 15 3 y = + x + 7 5 104 6 Indica in quali quadranti si trova il diagramma cartesiano di ciascuna delle seguenti funzioni: I III I c) y = x d) y = 0 e) y = 3 f) x = 1 g) x = 3 h) y = x II III IV FARE Calcola la distanza tra i seguenti punti e le coordinate del loro punto medio: A ≡ ( 2 ; 0) e B (4 ; 0); 8 IV x b) y = 5 SAPER 7 II a) y = 2x ✪ C ≡ (0 ; 6) e D ≡ (5 ; 6); 1 1 E ≡ ; 2 4 1 1 e F ≡ ; . 4 2 Completa la seguente tabella: equazione della retta equazione di una retta parallela equazione di una retta perpendicolare passante per l’origine equazione di una retta perpendicolare 2 y x 1 5 y 3x 7 1 y x 2 y 8x 3 9 Se nell’equazione y = ax + b si fissa il valore di a, variando b si ottengono infinite ……………… tutte ………………… tra loro. Il valore di a prende il nome di ………………………… e determina ……………………………… Se nell’equazione y = ax + b si fissa il valore di b, variando a si ottengono ………………………… rette passanti tutte per il punto di coordinate (……………). 1 11 Verifica algebricamente e graficamente se i punti A (3 ; + 2); B ; ; C ( 6 ; 8) appar2 3 10 tengono alla retta: 2 y = x + 4 3 105 11 Determina le equazioni delle rette passanti per ciascuno dei seguenti punti e parallele: a) all’asse delle x; b) all’asse delle y. 1 A (2 ; 6); B 5 ; . 3 ✪ 12 Considera le coordinate dei vertici del triangolo ABC: A (1 ; 4) ; u B (2 ; 5) ; C (4 ; 3) . 1) Calcola la misura del perimetro del triangolo. 2) Calcola l’area del triangolo. 3) Scrivi le coordinate cartesiane dei vertici del triangolo simmetrico a quello dato — rispetto all’asse y — rispetto all’asse x — rispetto l’origine. ✪ 13 Considera il quadrilatero di vertici: 3 B ; 3 ; 2 5 9 C ; ; 2 2 5 1 D ; . 2 2 3 A ; 1 ; 2 u Stabilisci di quale figura si tratta e calcola la misura del perimetro e l’area. Rappresenta nel piano 14 cartesiano le seguenti funzioni e completa quanto richiesto. 2 a) y = x + 4 3 7 b) y = x 3 5 La retta a) forma con l’asse delle ascisse un angolo …………… Potevi prevedere questo risultato? Perché? ……………………………………………………………………………………………………………………………… La retta b) forma con l’asse delle ascisse un angolo ……………………… Potevi prevedere questo risultato? Perché? ………………………………………………………………………………………………………………… Le rette a) e b) passano per l’origine degli assi? ………… Infatti intersecano l’asse y rispettivamente nei punti di coordinate ……………………………………… 106 106 VERIFICA DI ALGEBRA Statistica Cognome ........................................................... data.......................................................... Nome ................................................................. classe ........................................................ SAPERE 1 Per ogni definizione scrivi il termine corrispondente: definizione termine corrispondente Il numero di volte che si presenta un dato rispetto al numero totale dei dati. Il numero di volte in cui si presenta un dato. Il numero che si ottiene moltiplicando per cento la frequenza relativa di un dato statistico. Il rapporto tra la somma dei valori dei dati e il loro numero. Il valore che si trova in posizione centrale quando i dati sono in numero dispari. Il dato che ha la frequenza maggiore. 2 3 Indica quale tipo di grafico useresti per rappresentare: a) grandezze che variano in modo continuo ideogramma b) grandezze che si riferiscono a varie località areogramma c) in modo stilizzato i dati cartogramma d) i dati in percentuale grafico cartesiano Completa le seguenti frasi inserendo al posto dei puntini i termini adeguati: a) La distribuzione delle frequenze è …………………… quando esiste un solo dato che ha la frequenza …………………… b) La distribuzione delle frequenze è …………………… quando ci sono più dati che hanno la frequenza …………………… c) La ………………… è la media fra i ……………… valori in posizione …………………… se i dati sono pari. 4 Un oggetto viene pesato 15 volte da persone diverse e si ottengono i seguenti pesi espressi in grammi: 23; 22,5; 24; 23; 22; 22; 22; 25; 23,5; 22,5; 22; 23; 23; 21,5; 24. La variabile considerata è qualitativa o quantitativa? …………………………… Ordina i dati in una tabella e per ognuno di essi stabilisci la frequenza assoluta, la frequenza relativa e la percentuale. Qual è la moda? …………………… Qual è la mediana? …………………… Calcola la media: ………………………………………………………………………………………………………… In questa raccolta di dati è più significativa la media o la moda? ………………………………………………… Perché? …………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………..……………………………………………………………………………………… 107 SAPER 5 FARE Osserva il seguente grafico, costruisci la tabella dei dati e determina le frequenze relative. impiego di energia elettrica regione Lombardia anno 1996 industria 1% trasporti agricoltura civile 60% 2% 6 Rappresenta i dati della seguente tabella con un ortogramma, una poligonale delle frequenze e un areogramma. misura delle scarpe 36 37 38 39 40 41 42 43 44 numero di paia di scarpe vendute 12 33 70 74 66 53 33 25 9 3,2% 8,8% 18,7% 19,7% 17,6% 14,1% 8,8% 6,7% 2,4% percentuale ✪ 7 Risolvi il seguente problema: Un artigiano che fabbrica scarpe da uomo svolge un’indagine per stabilire la quantità di scarpe da produrre per ogni misura. Su un campione di 200 uomini della zona in cui vende le sue scarpe, ha raccolto i seguenti dati: misura delle scarpe 39 40 41 42 43 44 n° persone 14 40 85 42 15 4 L’artigiano deve produrre una partita di 3000 scarpe; quante saranno quelle di ciascuna misura? 108 108 VERIFICA DI ALGEBRA Il calcolo della probabilità Cognome ........................................................... data.......................................................... Nome ................................................................. classe ........................................................ SAPERE 1 Barra la risposta esatta. a) La probabilità di un evento casuale (E) è uguale al rapporto tra: il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili; il numero dei casi possibili e il numero dei casi favorevoli; il numero dei casi favorevoli e 100; il numero dei casi favorevoli e 10. b) Due eventi si dicono dipendenti quando il verificarsi di uno: non modifica la probabilità di verificarsi dell’altro; annulla le probabilità di verificarsi dell’altro; comporta automaticamente il verificarsi dell’altro; modifica la probabilità di verificarsi dell’altro. c) Un evento totale: è un sinonimo di evento composto; si ottiene unendo due eventi parziali; ha la certezza di verificarsi. d) La frequenza relativa di un evento è data dal rapporto: tra il numero delle prove effettuate e 100; tra il numero dei casi favorevoli e 100; tra il numero dei casi favorevoli e il numero delle prove effettuate. e) Due eventi si dicono incompatibili quando: entrambi non hanno possibilità di verificarsi; il verificarsi di uno esclude il verificarsi dell’altro; il verificarsi di uno non esclude il verificarsi dell’altro. f) Il valore della probabilità di un evento casuale è: maggiore di 0 e minore di 1; maggiore di 0 e minore di 10; maggiore di 0 e minore di 100; maggiore di 1 e minore di 10. g) Due eventi si dicono complementari se: la differenza della loro probabilità è uguale a 1; la differenza della loro probabilità è uguale a 100; il prodotto delle loro probabilità è uguale a 1; la somma delle loro probabilità è uguale a 1. 109 2 Accanto ad ogni probabilità espressa in modo simbolico scrivi il tipo di evento cui si riferisce. p(E) =1 probabilità di un evento ……….………………………………………………………………………….… ; p(E) = 0 …………………………………………………………………………………………………………………… ; 0 < p(E) < 1 ……………………………………………………………………………………………………………… ; p(Et) = p(E1) + p(E2) ……………………………………………………………………………………………………… ; p(Et) = p(E1) + p(E2) p(E1 E2) ……………………………………………………………………………………… ; p(E ) = 1 p(E) ……………………………………………………………………………………………………………. . SAPER 3 FARE Nella seguente tabella è indicato il numero di volte in cui, su 500 lanci di una moneta, si è verificato ciascuno degli eventi possibili, T o C. Calcola in percentuale la frequenza relativa e la probabilità matematica di ciascun evento. evento frequenza assoluta frequenza relativa probabilità matematica T 238 ....................................... ................................................................ C 262 ....................................... ................................................................ Lanciando la moneta 1000, 5000, 10000 ecc. volte, come diventerebbero la frequenza relativa e la probabilità matematica di ciascun evento? ……………………………………………………………………………………………………………………………… 4 Un barattolo contiene 30 caramelle, 15 cioccolatini e 25 gomme da masticare. Calcola la probabilità che con una sola estrazione esca: a) una caramella; b) un cioccolatino o una gomma da masticare; c) un cioccolatino e una gomma da masticare. 5 Se da un mazzo di 40 carte ne estrai una a caso, qual è la probabilità di ciascuno dei seguenti eventi? E1: “esce una carta di cuori” ............................................................................................................................... E2: “esce una figura” ............................................................................................................................................ E3: “non esce una figura” .................................................................................................................................... E4: “esce il due di picche” .................................................................................................................................... E5: “esce un fante” ............................................................................................................................................... E6: “esce un re o una carta di cuori”................................................................................................................... E7: “esce il re di cuori” ......................................................................................................................................... E8: “esce una carta di quadri o una carta di fiori”............................................................................................. 6 Indica se gli eventi di ciascuna coppia sono compatibili o incompatibili: — Nel lancio di un dado esce un multiplo di 3 o un numero primo. …………………………………………………………………… — Nell’estrazione di una pallina da un’urna contenente palline verdi e gialle esce una pallina verde o una gialla. …………………………………………………………… — Nell’estrazione di un numero del lotto esce un numero pari o un numero divisibile per 5. ……………… ………………………………………………………………………… 110 Risolvi i seguenti problemi: 7 Il colore dell’iride degli occhi è un carattere ereditario. Il colore scuro (N) è dominante su quello chiaro (n) che è recessivo. Se entrambi i genitori sono eterozigoti (Nn), qual è la probabilità che abbiano figli con occhi chiari? Qual è la probabilità che abbiano figli con occhi scuri? Se, invece, la coppia di genitori è costituita dal padre omozigote dominante (NN) e dalla madre omozigote recessiva (nn), qual è la probabilità che abbiano figli con occhi chiari? Che abbiano figli con occhi scuri? 8 Una fabbrica di penne biro ha accertato che su 15 000 penne prodotte 45 non scrivono. Qual è la probabilità che ha un consumatore di acquistare una penna biro di quella marca che scriva? 111 6 . R I S U LTAT I D E L L E P R O V E D ’ I N G R E S S O E DELLE VERIFICHE RISPOSTE AI PRINCIPALI QUESITI PROVA D’INGRESSO – CLASSE PRIMA 2 a) centinaia b) centesimi; c) decine; 5 a) il doppio del numero; b) il triplo del numero; c) la terza parte del numero; d) il numero stesso. 6 a) 767,652; c) 6,91; 7 500 m; 8 126; 9 a) 1927; b) 263,35; 0,57 kg; 90; 15,1 dl; d) decimi. d) 540,705; 3,2 dm; 0,084 t; e) 385; f) 7,68. 0,723 l. 216. 65; 2604 €. b) 420; PROVA D’INGRESSO – CLASSE SECONDA 1 a) propria b) consecutivi c) primo d) perpendicolari e) intersezione f) supplementari g) unità frazionaria h) concavo i) M.C.D. l) ascissa 2 a) 1; b) 0; c) 1; 4 a) 1; b) 25; c) 4. 5 a) M.C.D. 15; m.c.m. 3375; d) 8,2; e) 1000; g) 128; f) 1; h) 353; i) 634; b) M.C.D. 76; m.c.m. 58520. PROVA D’INGRESSO – CLASSE TERZA 1 a) periodo b) inversa c) percentuale d) continua e) approssimata f) direttamente proporzionali g) eccesso h) acutangoli e ottusangoli 3 a) antecedenti; b) medi; 1 g) c : d ; 3 f) a > b e c > d; 5 6 b) x ; 5 a) x 6; 6 72; 105; 7 a) 1; 58 b) . 11 8 a) 102 m; 3,1; 540 m2; c) 2160 dm2; 9 a) V; b) F; c) estremi; 204 dm; c) F; bc i) ; d h) c : d 5; 51 c) x ; 19 24,8; d) fondamentale; 1 d) x ; 5 3,79; e) x 840; e) dell’invertire; ad l) . b y 1320; 0,09. 390 cm2; b) 84 cm; 2160 dm2. d) F; e) V; f) F; g) F; h) F; i) V. z 1560. l) 930. 112 VERIFICHE DI ARITMETICA Insiemi 1 2 3 4 5 8 a) non contiene elementi; b) ; c) ; d) la rappresentazione per elencazione; il diagramma di Eulero-Venn; la rappresentazione per caratteristica; e) l’elenco di tutti gli elementi che appartengono all’insieme; f) contiene tutti gli elementi comuni ai due insiemi; g) disgiunti; non inclusi; h) prodotto cartesiano; unione; differenza. a) d A; r A; d) O L M; C { i, l, o, u, v }; c) b) E D; c) A B { }; F; e) G G N L M; B A; F–GG . A { lettere della parola diluvio }; C A; C A B; A B {d}. 1A 3B AB BA 7A 6A 5A CA CB 8B 12 A 12 B AC BC 9C 4B 4A 4C 6C 0 C. a) C { r, e, a, t, o, l } b) D { n, g, r, e, a, t, o, l, q, u, i, d } c) E { n, g } d) F { q, u, i, d}. 40 caramelle. Addizione e sottrazione 2 a) 0; 4 169. 5 111. 6 15. 7 a) commutativa e associativa; 8 1522; 1396; 15,33; 9 a) 53; b) 3; c) 42,46. 10 b) inesistente; g) invariantiva; c) è uguale a 0; d) commutativa; h) 2a proprietà della sottrazione; b) dissociativa, commutativa e associativa; a d) commutativa, associativa e 2 proprietà della sottrazione. a) si; 0,15 €; b) 68 km; e) associativa; 836,01. e) 60. f) dissociativa; i) la sottrazione non è possibile in N. c) invariantiva; 113 Moltiplicazione e divisione 2 a) è uguale a b; f) uguale a 0; b) inesistente; h) associativa; d) indeterminato; i) dissociativa; e) impossibile; l) distributiva; n) la 3a proprietà della divisione. m) distributiva; 5 c) è uguale a 0; g) commutativa; a) commutativa e associativa; b) dissociativa e associativa; d) la 3a proprietà della divisione; c) distributiva della divisione rispetto alla sottrazione; e) invariantiva. 7 a) 15; b) 3; 8 a) 83 kg; c) 23. b) divisione; c) moltiplicazione, equivalenza e addizione oppure equivalenza, moltiplicazione e addizione; d) minore del peso di una pasta. 9 a) 7,5 €; b) 32 kg. L’elevamento a potenza 1 esponente di una potenza – base di una potenza – elevamento alla 2a potenza – risultato di una potenza. 3 a) □ 3 a; 4 a) □ 3 amn; 5 6 b) □ 4 1; c) □ 4 1; b) □ 5 amn; c) □ 2 amnp; e) □ 1 (a : b)n. F – F – F – V – F – F – F – V – F – F. a) 2; 8 122 – 25 – 43 – 24 – 9 – 4 – 3 – 7 – 11 d) □ 6 (a b)m; e) □ 5 1 seguito da n zeri. 81 – 100 000 – 144 – 900 – 1 – 1 – 36 – 343 – 0,81 – 6,76 – 0,001 – 6,4 107. 7 10 d) □ 1 non ha significato; b) 135; a) 602; c) 1000; d) 11,4. 169 – 64 – 100 – 225. b) 44. 1,8 107; 1,08 109; 3 108. Divisori e multipli 2 a) 70 è il maggiore divisore comune di 140 e 210; 210 e 140 sono entrambi divisibili per 70; b) 100 e 150 sono divisibili per 50; c) 24 è il minore dei multipli comuni di 8 e di 12; d) 180 è divisibile per 36 e per 20; 180 è divisibile per 36, per 12 e anche 20; 180 è il minore dei multipli comuni dei tre numeri dati. 3 F – V – F – F – F – V – F – V – F – V. 6 9 480 25 3 5; a) M.C.D. 90; 3960 23 32 5 11. m.c.m. 14 850; b) M.C.D. 36; m.c.m. 1 995 840. (2 7) 14. 10 si; 11 a) 2 ore; 20, 15, 12 percorsi completi; b) 22 mazzi; ........... 114 Le frazioni 2 a) maggiore o uguale al denominatore; b) minore del denominatore; c) multiplo del denominatore; d) maggiore di una frazione propria; e) il numeratore uguale a 1; f) numeri primi tra loro; g) una frazione equivalente a quella data; h) il numeratore maggiore; i) il minimo comune multiplo dei denominatori; l) 0; m) una scrittura priva di significato; n) indeterminato. 6 3 5 1 1 5 18 9 36 35 A ; ; ; ; B ; ; ; ; ; 4 15 2 10 4 7 2 6 7 7 1 2 4 5 ; 4 8 16 20 8 9 3 15 27 6 ; 2 10 18 4 36 35 C ; ; 6 7 1 1 D ; . 2 10 15 45 90 9 . 20 60 120 12 30; 24; 55; 12. 2 ; M.C.D. 24. 3 10 2 1 15 7 9 14 5 < < < < < < . 8 3 16 7 8 12 2 11 5 4 > ; 7 7 9 8 15 7 < ; > . 2 3 5 11 2 2 > ; 3 4 Operazioni con le frazioni 1 a) la loro somma è 1; b) uno; a 8 a 8 a c 5 h) ; i) ; l) ; b b b d a d a c p) ; : ; b c b d 3 3 a) ; 2 4 5 ; 3 ; 3 ; 12 ; 5 2 a) ; 15 6 3 15 3 3 1 1 ; ; 1; ; 9; ; ; 3; . 5 7 2 4 2 2 2 2 9 b) ; 5 4 3 14 c) ; 45 12 2 2 b) ; 9 1 23 e) ; 7 b c ; a c 8 m) : ; b d 25 d) ; 9 2 a d) ; b c) uno; 11 e) ; 16 a d 8 5 8 f) ; 9 3 a n) b 30 8 f) . 27 1 1; . 3 13 c) . 45 Problemi con le frazioni 1 inverso. 2 diretto. 3 diretto. 4 inverso. 5 6 7 a) A B > CD ; b) più di 36,90 € ; c) < 700 q ; d) 1° numero 468 : 13 5. a) 30 km; b) 380; a) 135 €; 180 €; c) 65°; 91°; ottusangolo; b) 144 km; 36 km. d) 90 kg. ; an g) ; bn o) frazione a termini frazionari; 115 Numeri razionali e insieme Q(a) 1 a) è chiuso rispetto alla divisione; è l’insieme di tutte le frazioni; b) hanno per denominatore una potenza di 10; c) il gruppo di cifre decimali, o la cifra, che si ripete all’infinito; d) la cifra o il gruppo di cifre decimali che non si ripetono; e) decimale limitato; f) decimale periodico misto; 1 g) si esprime con la scrittura a meno di 0,01; si esprime con la scrittura a meno di ; si scrive con due 10 0 sole cifre decimali; h) a meno di 0,1 per difetto; i) 32,161. 1 l) a meno di per difetto è 8,4; a meno di 0,01 per difetto è 8,45; 10 500 n) ; 99 51 m) ; 100 4 455 o) ; 90 2 → periodico semplice; 3 7 → periodico misto; 6 5 35 ; 10 7 3 a) ; 2 59 ; 9 13 ; 6 b) 9; 681 p) . 990 3 19 → decimale limitato; → periodico semplice; 5 7 3 → decimale limitato; 25 463 ; 99 5 ; 36 11 → periodico misto. 75 1022 . 333 9 c) . 8 Estrazione di radice e insieme R(a) 1 numero irrazionale – radicando – estrazione di radice – indice del radicale – insieme Q(a) – quadrato perfetto – insieme R(a) – quadrato perfetto. 2 a) 400; 4 4900; 1296; 1089; 7056. 5 V – F – V – F – V – V – F – F – V. 6 a) 90; 42 7 8 b) 0,09; b) 76; 18,1; a) 9 12 7 756; 7 a) ; 16 c) 0,7; b) 1,61. d) 740; e) 4; f) 1 4 4 1 6 ; 12 4; 48; c) 10,15; 2,4; 1,5; 0,658; 18,7; 9,61; 7,59; 8,51; 16,553. 11 b) ; 14 c) 8 15 : 4 30; d) 23 52 13 2600. g) 92; 81. 116 Rapporti e proporzioni 1 proporzione – antecedente – medi – proprietà fondamentale – conseguente – proporzione continua – proprietà del permutare – terzo proporzionale – estremi – catena di rapporti. 2 a) b : a; d) la proprietà del permutare gli estremi; 3 ad c) a d b c ; c ; b e) la proprietà dell’invertire; f) la proprietà del comporre. b) estrarre la radice quadrata di a b; 2a e 4a quaterna. 4 b) ; 9 21 c) ; 2 25 d) . 16 4 5 a) ; 16 5 1 1 a) ; b) ; 2 10 6 6 3 6 a) x : 56 56 : 112; b) : : x; c) 2,7 : x x : 10,8. 5 10 5 7 8 c) 90; 120; 180; d) 406; 609. a) 5 : 8 x : y; b) comporre; c) x < y. a) 396; 231; b) 216 km; 180 km; c) 25,5 m; 34 m; 42,5 m; d) 18,2 cm; 28,6 cm. Proporzionalità diretta e inversa 1 a) i valori di y dipendono dai valori assegnati a x; le grandezze x e y sono direttamente proporzionali; b) il prodotto tra i valori corrispondenti di due grandezze x e y è costante; le due grandezze x e y sono inversamente proporzionali; c) le due grandezze y e x sono inversamente proporzionali; d) le due grandezze x e y sono direttamente proporzionali; il rapporto tra i valori di y e i corrispondenti valori di x è costante. 2 caratteristica: se i valori della prima grandezza raddoppiano o dimezzano, anche quelli corrispondenti della seconda raddoppiano o dimezzano; se i valori della prima grandezza raddoppiano o triplicano, quelli corrispondenti della seconda dimezzano o diventano un terzo. y k legge: y k x ; y ; xyk. k ; x x y costante: rapporto tra i valori della seconda grandezza e quelli corrispondenti della prima (k ); prox dotto tra i valori della seconda grandezza e quelli corrispondenti della prima (k x y). grafico: semiretta passante per l’origine; ramo di iperbole equilatera. 3 10 a) diretta; y x ; 3 16 b) inversa; y . x Applicazioni della proporzionalità 1 2 3 4 5 6 capitale – problemi del 3 semplice – areogramma circolare – percentuale – problemi del 3 semplice inverso – montante – interesse – problemi di ripartizione semplice diretta. a) P : N r : 100; Crm b) I ; 1200 a) 60%; 20%; 20,65%; 5%; I 100 c) t ; C r b) 65; 0,6; 222; 0,8; I 100 d) r . C t(anni) c) 68; 50; 4; 1890. 8%; 6000 €; 6%; 3444,50 €; 1 anno e 2 mesi. 20%; 10€; 43,60 €; 636,64 €; 12%; 50 €. a) 341 m; b) 12 ore; c) 97 500 €; 26812,50 €; d) 64°48’; 97°12’; 75°36’; 113°24’; 189°; concavo... 117 VERIFICHE DI GEOMETRIA Le nozioni fondamentali della geometria. I segmenti 1 semiretta – punto – asse – piano – linea – congruenza diretta – segmento – linea retta – segmento somma – punto medio 2 a) un punto; b) una semiretta oppure una linea; d) una semiretta; c) un segmento; e) un piano. 7 24 m; 72 m. 8 29,5 cm; 18,5 cm. 9 28 dm; 70 dm. 10 10 m; 14 m. 11 21 cm; 19 cm; 17 cm. Gli angoli 1 semipiano – angolo convesso – angoli adiacenti – grado – angoli supplementari – angolo ottuso – bisettrice – angolo acuto – angoli esplementari – angoli opposti al vertice. 4 d) 7°3’14”. 6 a) 141°49’35”; b) 44°16’35”; 7 a) 180°; 80° b) 195°40’33”; 8 18°; 72°. 9 40°20’; 139°40’; 10 48°51’41”. 11 48°30’; 97°; c) 30°0’45”; d) 11°16’45”. 139°40’. 132°30’. Rette nel piano 1 3 4 5 6 8 a) hanno in comune un solo punto; b) sono incidenti e formano quattro angoli retti; c) r // s; d) m ⊥ n; e) congruenti; f) supplementari; g) perpendicolari; h) orizzontale. ∧ α 123°; ∧ 1 145°; ∧ β 57°. ∧ 6 35°; ∧ 8 35°; ∧ 4 35°; ∧ ∧ ∧ ∧ FCD 75°; DCG 105°; BCG BCF 180°; 150°; ∧ 5 145°; ∧ 3 145°. ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ HFE 75°; BCG 75°; CFE 105°; BCF 105°; CBI 105°. 30°; 147°36’; le due rette non sono parallele. AB eB C sono adiacenti; D E eE F sono consecutivi; B e IL sono incidenti; A ∧ 7 145°; RS e TU sono sovrapposti. 118 Triangoli 1 triangolo ottusangolo – triangolo rettangolo scaleno – triangolo isoscele ottusangolo – circocentro – triangolo equilatero – ortocentro – incentro – triangolo scaleno – baricentro – triangolo rettangolo. 5 NO; 8 45°; 32 dm. 9 71°; 28 cm. 10 SI. ∧ ACH 25°; ∧ CAH 65°; 11 67°; 24 m; 12 a) SI; b) NO; 26 m; ∧ AHC 90°; ∧ HAB 40°; ∧ ABH 50°; ∧ ∧ AHB 90°; CAB 105°. 10 m. c) NO. Quadrilateri 1 a) contiene l’insieme dei parallelogrammi; contiene quadrilateri con una coppia di lati paralleli; b) gli angoli adiacenti ad ogni base sono congruenti; gli angoli adiacenti a ogni lato obliquo sono supplementari; c) l’altezza è congruente a un lato; sono presenti due angoli retti; d) è costituito da quadrilateri con due coppie di lati paralleli; è incluso nell’insieme dei trapezi; e) i lati opposti sono paralleli e congruenti a coppie; f) le diagonali sono congruenti; ci sono due coppie di angoli retti; g) le diagonali sono perpendicolari e di diversa lunghezza; le diagonali sono perpendicolari e bisettrici degli angoli interni; le diagonali formano quattro triangoli rettangoli scaleni congruenti; h) le diagonali perpendicolari e congruenti; le caratteristiche dei rettangoli e dei rombi; i) 2p l 4; l) b (2p : 2) h. 3 NO; 4 SI; NO; NO. ∧ ∧ ∧ a) BCH 48°; C 138°; A 138°; ∧ ∧ ∧ ∧ D 120°; BDC 26°; ACD 26°; b) A 60°; ∧ ∧ ∧ ∧ AOD 52°; ADB 94°; ACB 94°. AOB 128°; 5 144 dm. 6 81 dm; 7 17,07 m; 8 9 cm. 9 44 dm. 108 dm. 27,07 m. 119 Equiestensione ed area dei poligoni 1 2 a) un rettangolo; un parallelogramma; b) un trapezio; c) un triangolo; d) un triangolo rettangolo; A e) le misure dei lati; f) h ; h A : b; g) un rettangolo, un parallelogramma; un rombo; h) un rombo. b d1 d2 a) d A 2; l 2p : 4; A l2; b) 2p l 4; A A b h; ; 2 A2 A A d) h ; b . c) (b1 b2) ; h b h 4 a) hanno la stessa superficie; b) sono costituite da parti ordinatamente congruenti; c) sono sicuramente equiestese; sono sicuramente isoperimetriche; d) sono sicuramente equivalenti. 6 a) 765 m2; b) 36 cm. 7 123,2 dm; 948,64 dm2; 8 54 m; 9 150 cm2; 10 336 cm2; 717,60 dm2. 48 m. 25 cm. 528 cm2; 24 cm. Teorema di Pitagora 1 F – V – F – V – F. 3 a) VV; b) VF; c) VF; d) VF; e) VFV; f) FVF; g) FV; h) FV. 4 7; 60; 70; 40. 5 a) 9 cm; 12 cm; 15 cm; 20 cm; 15 cm; 30 cm. 6 rettangolo; ottusangolo; acutangolo. 7 160 cm; 960 cm2; 28,2 cm. 8 No, …… 9 36,4 dm; 58,8 dm2. 10 c) 3 2 cm 4,242 cm; 10,1808 : 36 m; 54 m2; b) 9 cm; 15 cm; 8 cm; 6cm. 2 7,2 dm; 7 cm. 37,2 m; 69,12 m2. Circonferenza, cerchio e loro parti 1 segmento circolare – corda – circonferenza – arco – settore circolare – raggio – semicerchio – corona circolare – diametro – angolo alla circonferenza. 2 a) F – V – V – V; 3 a) 20 cm; 6 cm; secanti; b) 9,5 cm; 3,5 cm; 3,5 cm; tangenti internamente; c) 17,3 cm; 7,3 cm; esterne. 5 96 dm; 6 27 cm; 1053 cm2. 7 210 m; 8 90 cm; b) F – V – F – V; 216 dm; 1728 dm2. 1932 m2. 279,87 cm; 4590 cm2. c) V – F – V – F; d) V – V – F – V. 120 Poligoni inscritti e circoscritti. Poligoni regolari 2 3 a) ha gli angoli opposti supplementari; gli assi dei suoi lati si incontrano nello stesso punto; b) le due somme dei lati opposti sono congruenti; le bisettrici dei suoi angoli si incontrano nello stesso punto; c) il raggio della circonferenza inscritta nel poligono; perpendicolare al lato nel punto di tangenza con la circonferenza; d) il rapporto costante tra le misure dell’apotema e del suo lato; il numero da moltiplicare per il lato per ottenere l’apotema. 2p a a) A ; 2 b) a l f; 26,57 cm2; 6 46 cm; 7 194,4 m; 8 37,41 dm; a c) l . f a f l; 120 cm2. 2493,18 m2. 67,34 dm2; 21,6 dm; 33,67 dm2. Lunghezza della circonferenza e area del cerchio 2 a) Ac πr2; c) r A ; π c Ac π r r; b) c dπ ; d) A(corona) π (r12 r22); c r 6,28; c 2πr. A(corona) πr12 πr22 ; e) trascendente. 81π 254,34 cm2; 5 18 cm; 6 7 cm; 7 140,288 cm; 8 50,4 m; 81π cm2; 9 cm. 94,6176 cm2; 158,76 m2; 408,0132 m2. La similitudine e i teoremi di Euclide 1 a) tutti i punti della prima figura devono essere in corrispondenza biunivoca con quelli della figura simile; le ampiezze degli angoli corrispondenti delle figure simili sono uguali; il rapporto tra i lati corrispondenti delle due figure è costante; b) tutte le coppie di lati in proporzione; due coppie di lati in proporzione e congruenti gli angoli compresi tra questi lati; gli angoli ordinatamente congruenti; c) al rapporto tra lati corrispondenti; al rapporto tra i perimetri; al rapporto tra le altezze corrispondenti; d) i tre lati di un triangolo rettangolo e le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa; l’altezza relativa all’ipotenusa e le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa; e) afferma che le coppie di segmenti corrispondenti che si formano tra un fascio di rette parallele e due trasversali sono in proporzione; serve per calcolare misure di oggetti molto alti, sfruttando le ombre prodotte dal Sole. 3 I teorema di Euclide A H :C H C H : HB ; II teorema di Euclide AB :A C A C :A H ; I teorema di Euclide HB :B C B C :A B . 4 F – V – F – V – F – V – V – V – V – V – F – V – F – F. 7 33 cm. 8 99 dm; 459 dm2. 121 Poliedri: prismi 1 2 4 a) una parte di spazio limitata da poligoni; b) a volte rettangoli; i poligoni che lo delimitano; c) l’insieme della facce laterali; costituita da almeno tre poligoni; d) con almeno due facce congruenti poste su piani paralleli; e) la distanza tra i due piani contenenti le basi; f) la stessa estensione nello spazio; lo stesso volume. a) Al 2p h; V1 32940 cm3; V2 32940 cm3; 16 cm2; 5 2 cm; 6 8720 cm2; 7 9 cm; 8 2420 cm2; A c) 2p l ; h b) V Ab h; 24 cm2; 48 000 cm3; V3 32940 cm3; i tre solidi sono equivalenti. 20 kg. 374,4 kg. 729 cm3; 15,59 cm; V d) h . Ab 466,200 cm3; 5321,7 g; 4149,18 g. 4,8768 kg. Poliedri: piramidi 1 4 a) avente le facce laterali triangolari; con almeno tre facce laterali triangolari; b) la distanza tra il vertice della piramide e il centro del cerchio inscritto nella base; c) perpendicolare a ciascuno spigolo di base; l’altezza di una faccia laterale; d) la base è circoscrittibile a un cerchio; la base è un poligono regolare. Ab h V ; 3 At Al Ab; 5 120 cm2; 184 cm2; 6 3840 cm2; 7 144 dm2; 8 466,752 cm2. 9 1353,44 cm2; 2p a Al . 2 135,340 cm3. 24 576 cm3; 66,3552 kg. 224,64 kg. 3168 cm3; 2030,4 g. Solidi di rotazione: cilindro e cono 2 At 2π r (h r); a) At Al 2Ab; Al c) a ; a πr 3 5 6 7 8 9 10 h 2r2 182π m2 571,48 m2; 256π cm2; 320π cm2; Al At – Ab V πr2 h; Ab h e) V ; 3 d) V Ab h; 3 b) V π r3; 3 a) V 2πr3; b) Al π r a; c) Al 4 πr2; 280π m2 879,20 m2; Al 4 Ab; d) At 3πr2; 637π m3 2000,18 m3. 1024π cm3. 1728π cm3. 7,5 dm; 45π dm2; 54π dm2; 40,500π dm3; 40,500π dm3; 356,076 kg. 28 cm; 14 cm; 278,80 cm2; 245π cm2; 343,75 g. 442,810π cm3. πr2 h V . 3 At 3 Ab. 122 Solidi di rotazione composti 1 3 4 5 6 a) 2; b) 3; c) 1. a) 2Al(cono) Al(cilindro); 8040π cm2; V(cilindro) 2V(cono); 57 600π cm3; 132π cm2; 4,8 cm; 3613,02π cm2; 15 680π cm3; c) Il primo. 482,907 kg. 96π cm3; 828,96 g. 2059,02π cm2; 12 152π cm3; At1 At2 > At3 b) Il primo; 3374π cm2; 27 832π cm3; V1 V2 V3 . VERIFICHE DI ALGEBRA Insieme dei numeri relativi 1 2 4 5 7 positivi – concordi – Q+ – discordi – valore assoluto – R – negativi – Z. F – V – V – V – F; V – V – F – F – V. ; ; ; 7 e 7; >; <; ; 9; >; <; ; ; 6 e 6; <; ; ; 2; <; <; ; . 2 e 1; >; <; 15; 1. <. Operazioni con i numeri relativi 1 a) 4; b) 12; 3 4 g) ; 5 3 4 6 c) 8; d) 25; 2 3 i) ; 2 h) (3)4; 4 1 5 e) ; f) ; 3 2 3 3 l) e . 2 2 associativa – dissociativa – commutativa – distribuiva della moltiplicazione – invariantiva – distributiva della divisione. a) 25; b) 48; 25 i) ; 4 l) 3; a) 36; b) 3; c) 108; d) 3; m) nessun risultato; 2 c) ; 5 9 d) . 8 4 e) ; 7 2 n) ; 3 1 g) ; 27 f) 2; 2 1 o) 5 ; 1 h) ; 8 3 2 p) ; 4 5 3 q) . 8 123 Calcolo letterale e monomi 1 3 5ab2c3; a6b; 7a3b2. 4 2 coefficiente – parte letterale – simili – opposti – grado complessivo. 3 sesto grado; 4 F – F – I – F – I. 5 6 1; 1 x3y4z . 2 13a2b3; 47 b) . 3 5 4 5 c) 2xy; d) xy x2y ; e) 6a3c4; a) 14a; b) a; 3 9 12 1 5 3 1 g) 3x2y3; h) x–3 y–1; i) 9x2y8; l) a12; m) x5y5. f) a3x3; 4 2 4 64 a) 12; I polinomi 1 polinomio – ridotto a forma normale – binomio – termine noto – omogeneo – trinomio. 2 nono grado – ordinato in senso decrescente – completo – omogeneo. 6 4° – 4° – 4° – 0°; 7° – 3° – 3° – 3°. 7 8 9 8 11 b) x3 y 3 xy; c) 10a2b 20ab3 25ab 2a 4b2 5; 21 6 4 4 1 8 5 e) 12 x2y 12xy2; f) 4a4 . d) a4b a3b4c a2b2c3 ab3c; 3 5 10 3 4 a) 15x 4y; At 6 (a b)2; V (a b)3. 24xy 6y2; 12x 12y. Identità ed equazioni 1 2 a) equazione; e) termine noto; b) primo membro; f) incognita; c) secondo membro; g) radice o soluzione. 4 x 12. 3 indeterminata; determinata; determinata; 4 indeterminata; determinata; impossibile. 5 1° principio; 6 a) numerica; intera; 8 a) SI; 10 11 d) coefficiente dell’incognita; 2° principio; b) NO; a) x 1; a) x 24; 2° principio. b) numerica; intera; c) SI; b) impossibile; b) 25; 22; impossibile. c) numerica; intera; d) NO. c) x 4; c) 4200 €. d) x 3. d) letterale; intera; e) letterale; fratta. 124 Piano cartesiano e funzioni matematiche 1 A → II; B → III; 3 nessuna; 4 NO; 5 rosso; 6 a) I III; 7 10 11 12 C → IV; nessuna; NO; SI; blu; asse x; NO; blu; b) II IV; SI; nessuna; SI; niente; NO; blu; c) II IV; asse y; asse y. SI. rosso; d) asse x; rosso; e) I II; 10 1 3 EF u M ; ; 8 8 4 B 6u M(1; 0); A il punto A appartiene; y 6; x 2; D → I. il punto B appartiene; 1 y ; 3 blu; f) I IV; blu; blu. g) II III; h) I III. 5 C D 13u M ; 0 . 2 il punto C non appartiene. x 5. 2u2. 7,4u; A’ ( 1; 4); B’ ( 2; 5); C’ ( 4; 3); A’’ (1; 4); B’’ (2; 5); C’’ (4; 3); A’’’ ( 1; 4); B’’’ ( 2; 5); C’’’ ( 4; 3). Statistica 1 frequenza relativa – frequenza assoluta – percentuale – media – mediana – moda. 2 a) grafico cartesiano; 4 quantitativa; 7 210; 600; b) cartogramma; moda 22 e 23; 1275; 630; c) ideogramma; mediana 23; 225; ; media 22,86 d) areogramma. la media. 60. Il calcolo della probabilità 1 a) il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili; b) modifica la probabilità di verificarsi dell’altro; c) si ottiene unendo due eventi parziali; d) tra il numero dei casi favorevoli e il numero della prove effettuate; e) il verificarsi di uno esclude il verificarsi dell’altro; f) maggiore di 0 e minore di 1; g) la somma delle loro probabilità è uguale a 1. 3 frequenza relativa: 47,6%; 1 probabilità matematica: . 2 4 3 ; 7 5 1 3 7 1 1 13 1 1 P(E1) ; P(E2) ; P(E3) ; P(E4) ; P(E5) ; P(E6) ; P(E7) ; P(E8) . 4 40 2 10 10 40 10 40 6 4 ; 7 52,4%; 0. compatibile; 7 1 ; 4 3 ; 4 8 997 . 1000 0; incompatibile; 4 . 4 compatibile. 125 7 . R I S U LTAT I D E I G I O C H I E DELLE VERIFICHE FINALI 7.1 Risultati dei giochi ARITMETICA – VOLUME A 126 ARITMETICA – VOLUME B 127 GEOMETRIA – VOLUME B 128 GEOMETRIA – VOLUME C 129 ALGEBRA 1 8 2 9 3 10 11 12 4 13 14 5 15 16 17 6 7 18 130 7.2 Risultati delle verifiche finali ARITMETICA – VOLUME A Unità 1 Una matematica senza numeri 1 pagg. 229-232 appartiene unione non appartiene intersezione inclusione complementare di A differenza prodotto cartesiano insieme vuoto 2 appartiene non appartiene incluso BA B A AB tutti A B unione ABC A B A A A B A B A vuoto disgiunti vuoto ABC intersezione appartenenti sia all’insieme A che all’insieme B 131 A B sottoinsieme B differenza ABC B A B differenza A C A B A B l’insieme complementare AB B differenza A prodotto di A un elemento di B ✗ 3 4 ⊂ ⊄ ∈ ∈ ⊄ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ∉ ∈ ∈ ∉ ∉ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ B 132 5 A B {o, m, u, l}; A C {a, e}; B C { }; A B {c, o, m, u, n, a, l, e}; A C {c, o, m, u, n, a, l, e, t, s}; B C {m, u, l, o, t, e, s, a}. 6 A B {do, re, mi}; 7 F {verde, azzurro, indaco, violetto}. 9 5; 4; 4; 21. B A {si, la}. Unità 2 I numeri naturali 1 N → insieme numeri naturali; pagg. 239-241 Np → insieme numeri pari; Nd → insieme numeri dispari 2 “è minore di” ≥ “non è uguale a” “è minore o uguale a” > 3 a) quanti sono i suoi elementi; una caratteristica comune a tutti gli insiemi ad esso equipotenti; b) hanno lo stesso cardinale; c) precede immediatamente l’altro; d) n 1; e) un numero ordinale; f) dal maggiore al minore; dal più grande al più piccolo. 4 n ≥ 11 l’insieme dei numeri maggiori di 3 e minori di 12 10 ≤ …… ≤16 n ≤ 20 l’insieme dei numeri maggiori o uguali a 15 e minori o uguali a 25 n l’insieme dei numeri minori o uguali a 18 133 5 {12, 13, 14, 15 ……} {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} {3, 4, 5, 6, 7, 8} {31, 32, 33, 34, 35, 36} {7, 8, 9, 10, 11, 12} 6 0; 3u; 5u; 7u; 3u. 7u; 12u; 15u. 7 F {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} V F 15 3 8 10 5 2 4 F 12 8 3 > 3 2 4 V F {10, 11, 12, ………} V F {21, 22, 23, 24, 25, 26} 8 ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ 134 Unità 3 I sistemi di numerazione 2 pagg. 248-250 a) centinaia di migliaia; b) delle migliaia; c) le decine; d) i centesimi; e) posizionale; f) dieci; g) non cambia il valore del numero; h) aumenta il valore del numero; i) polinomiale. 5 3 100 2 10 1 1 1 10 000 2 1000 5 100 9 10 2 100 000 4 1000 1 100 5 1 4 1 000 000 5 100 000 7 100 5 10 2 10 1 0,1 5 0,01 9 10 3 1 1 0,1 2 0,01 8 0,001 5 0,1 6 0,01 7 0,001 2 0,0001 1 0,01 2 0,001 5 0,0001 7 1 4,8 3,2 5,3 6,7 Unità 4 Addizione e sottrazione 1 somma pagg. 264-266 differenza 2° addendo sottraendo 1° addendo minuendo 2 a) addizione; b) addizione; c) l’operazione inversa dell’addizione; la prova dell’addizione; d) qualche volta; e) mai; f) qualche volta. 4 25 (3 7); 7 2 5 2 7 3. (4 26) (12 7). 135 8 . 0 0 9 0 b 0 a 10 associativa/commutativa dissociativa/commutativa/associativa invariantiva associativa/II proprietà della sottrazione invariantiva 11 F 85 (35 18 12) 20 V F (55 8 8) (10 8) 53 V F 12 1804 24,15 71,24 13 a) 17; 5112 b) 1. 62 36 15 11 2003 708,16 136 14 78 1901 1879 1837 54 1809 1564 15 a) 70 anni; b) 14 cm; 181 cm; 167 cm; no……… Unità 5 Moltiplicazione e divisione pagg. 283-285 prodotto 1 quoto o quoziente 2° fattore divisore 1° fattore 2 5 dividendo a) il risultato della divisione; b) elemento assorbente per la moltiplicazione; c) dividendo e divisore sono 0; d) elemento neutro per la moltiplicazione; e) moltiplicazione. : : : : : : : : 1 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 137 7 invariantiva distributiva III proprietà della divisione commutativa/associativa distributiva dissociativa/commutativa/ associativa distributiva distributiva 8 9 352 83 39 7920 3,4 6,8 a) 30; 10 a) 1692; . b) 5. b) 48; 4. Unità 6 Metodi per risolvere i problemi 2 pag. 292 b) 600 €; 2000 €; a) 33 anni; 24 anni c) 5; 10; 30. Unità 7 L’elevamento a potenza pagg. 308-310 1 indice della radice esponente segno di radice valore della potenza radice base potenza a) quadrato; b) cubo; c) numero stesso; radicando d) 1 000 … 0; { 2 radicale e) maggiore di 1 e minore di 10; n zeri f) la potenza di 10 più vicina a quel numero; i) zero; l) non ha significato; nm m) a ; g) dell’elevamento a potenza; n) a nm ; o) a nm ; h) 1; p) (a b)n; q) (a : b)n. 138 minore 3 base unità 49 6 1000 1 0 0,000001 0,027 24 * 14 1 62 23 26 28 3 * 3 2 3 0,04 122 43 34 4 3375 0,000025 34 8 81 1,44 33 7 625 4 33 3 10 2 15 52 2 65 3 4 2 3 * uno dei possibili risultati. 9 16 10 1 11 1,5 104 3,2 107 75 000 000 000 200 000 4,5 106 2,7 1010 104 105 12 106 13 7 3 10 3 11 2 5 9 2 5 2 2 139 Crucinumero 5 0 0 1 6 1 2 1 5 7 5 6 2 5 5 pag. 311 2 5 6 7 5 7 6 0 5 0 6 2 0 5 0 4 6 1 4 0 5 0 3 5 5 9 9 3 0 0 6 3 0 ORIZZONTALI VERTICALI 20. Rende vera l’uguaglianza 23 53 103 8. Rende vera l’uguaglianza 34 254 754 24. Rende vera l’uguaglianza 23 153 303 Unità 9 Sistemi di numerazione non decimali 1 a) usa lo zero e l’uno; d) le cifre da 0 a 4; pagg. 316-317 b) potenze di 2; c) 0; e) si usa la forma polinomiale; f) 9. 2 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 / 0 0 1 / 1 1 prestito ordine superiore 140 4 12(10) 21(10) 38(10) 66(10) 34(10) 5 143 2121 1305 11 000 6 750; 543; 82; perché contengono cifre maggiori di 4. 7 1000001(2) ; 100110(2) ; 11101(2) . 141 Unità 10 Divisori e multipli di un numero naturale 1 pagg. 333-336 a) maggiore dei divisori comuni; b) minore dei multipli comuni; c) il minore di essi; d) il maggiore di essi; e) 1; f) il loro prodotto; g) 1; h) numeri primi tra loro; i) illimitati; l) il resto della loro divisione è zero; m) è divisibile solo per 1 e se stesso; n) ha più di due divisori; o) il prodotto dei suoi fattori primi; p) una regola per stabilire se un numero è divisibile per un altro. 3 pari somma sue cifre ultime due un multiplo di 4 se termina con 5 o con 0 se lo è la somma delle sue cifre se termina con almeno 1, 2, 3 zeri differenza ma posto pari posto dispari somsomma multiplo di 11 se termina con 2 zeri o con 25, 50, 75 scomposizione fattori primi fattorizzazione uguali 7 D(64) {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64} 8 SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI 10 864 25 33; 2625 3 53 7; 35 000 23 54 7 maggiori 142 11 24 32 5 720; 22 32 52 7 6 300; 100 000 25 55 oppure (2 5)5; 1 500 000 25 3 56. 12 15. 13 M.C.D. 22 3 5; M.C.D. 22 5 7. 14 m.c.m. 24 32 52 7; 15 m.c.m. 2 32 52 7 13. 23 11 23 33 1 2 3 2 o2 o2 54 2 2 7 16 756 22 33 7; 840 23 3 5 7; M.C.D. (756; 840) 84; m.c.m. (756; 840) 7560. 17 a) 13; 10 cm 60 cm; b) 6 m; 25 e 24 gradini. Unità 11 Rappresentazioni grafiche pagg. 344-346 1 2 a) diagramma a colonne; c) areogramma circolare; b) cartogramma; d) grafico lineare. Unità 12 Prime conoscenze sui numeri relativi pagg. 350-351 1 Z → Insieme dei numeri relativi negativi; Z → insieme dei numeri relativi positivi. 2 b) concordi; c) lo stesso valore assoluto e segno contrario; a) Z Z 0; d) dalla parte numerica; e) hanno lo stesso segno; f) hanno segno diverso; g) due versi, uno positivo e l’altro negativo. 3 35 °C; 10 °C; 345 €; 287,36 €; 212 m; 2175 m; 3154 m; 322; 1995. 143 4 4 6 1 3 < < > > > < > > 8 < < 2; 1; 0; 1 7 5; 4; 3; 2; 1; 0 11; 10; 9; 8 2; 1; 0; 1 8 7 ; 4; 0; 1; 3; 7; 9; 12. 9 10 3 7 10 3 6 9 2 5 2 9 3 5 8 4 5 11 0; 6. 12 6. 13 a) 207,80€; b) 56. Unità 13 Le frazioni 1 pagg. 363-366 numeratore linea di frazione denominatore 2 c) d n; d < n; a) avente il numeratore uguale a 1; b) n < d; e) corrisponde a un numero naturale; f) equivalenti; h) il minimo comune multiplo dei denominatori; d) prive di significato; g) dei numeri razionali assoluti; i) numeri primi tra loro. 144 5 4 7 9 ; ; . 7 4 3 > 6 > < 7 24; 30; < < 36; > 90. 5 3 1 13 1 ; ; ; ; 6 4 2 15 40 8 7 50 90 18 33 ; ; ; ; 5 25 45 5 11 50 90 33 ; ; 25 45 11 1 1 ; 2 40 10 11 8 ; 3 7 ; 15 7 ; 8 4 . 5 > 12 7 ; M.C.D. 8; 9 13 8 9 , ; 12 12 14 < < 5 ; M.C.D. 15. 11 15 32 , ; 40 40 42 25 , ; 60 60 32 15 28 , , ; 24 24 24 12 21 22 , , . 90 90 90 2 , 5 4 , 5 1 , 2 3 , 4 < 5 , 6 9 , 9 4 . 3 Unità 14 Operazioni con le frazioni 1 a) la loro somma; 1 4 h) ; 3 b) il loro prodotto; pagg. 379-381 c) 1; 1 6 i) . 8 a d) ; b 2 e) 3 3 V F 7 4 65 4 7 28 V F 15 5 25 9 12 36 12 ; 5 6 f) ; 7 14 2 g) ; 3 145 62 F 2 F 100 9 25 91 9 16 4 16 16 1 4 1 2 V F 22 V 4 2 a) ; 3 5 5 ; 3 2 b) 3 3 ; 7 1 ; 8 2 4 o ; 9 c) 1. 11. 6 1 ; 2 7 2 a) ; 7 8 ; 13 19 ; 20 22 . 37 9 b) ; al 5° fratello . 28 ARITMETICA – VOLUME B Unità 15 Problemi con le frazioni pagg. 518-519 1 l’intero il valore della parte che 5 corrisponde a 6 inverso perché il valore di una parte e si deve trovare il valore dell’intero del IV tipo la differenza tra due numeri e il loro rapporto 146 2 16 anni; 3 a) 15 femmine, 9 maschi; 50 e 80; prima classe : 100; b) 45; seconda classe: 80; terza classe : 60. c) 25. Unità 16 L’insieme Q(a) dei numeri razionali pagg. 523-524 periodo 1 antiperiodo parte intera numero decimale limitato 2 numero naturale numero decimale illimitato 3 a) una potenza di 10; b) 2 o 5 o entrambi; c) né il fattore 2 né il fattore 5; d) i fattori 2 o 5 ed altri. 6 1,6 limitato 16 : 15 1,06 numero decimale periodico misto 6 4 : 3 1,3 numero decimale periodico semplice 3 7 23 2 21 7 9 9 3 5 15 99 33 222 37 24624 90 15 90 0 147 8 9 10 15 a) ; 8 40 23 5 decimale limitato 27 33 periodico semplice 30 2 3 5 periodico misto 33 b) . 50 11,6 → 12; 11,7; 11,67; 11,667; 7,4 → 7; 7,4; 7,44; 7,444; 107,25396 → 107; 107,3; 107,25; 107,254; 0,017465 → 0; 0,0; 0,02; 0,017. Unità 17 Estrazione di radice e insieme R(a) 1 pagg. 534-536 indice della radice radicale segno di radice radice radicando 3 a) numero irrazionale; b) esponenti pari; c) due cifre decimali; d) numeri decimali illimitati non periodici. 4 al prodotto delle radici quadrate di ciascun fattore a : b a : b radici quadrate termini a una potenza con la stessa base e con esponente la metà dell’esponente iniziale 148 a ab b numeratore denominatore radici quadrate 0,1 34; 0,01 5 50; 24 . 7 440 ; 30 ; 19 5; 24; 23 32 52 1800. 8 V F 25 5 V F V V 9 7056 84; 10 882 21 2 . 1,1 1,6 29,4 0,1 11 425,7 20,6; 13 0,83. 9,3 17,2 7,4 65536 256. 5 5 1 05 0 10 100 149 Unità 18 Rapporti e proporzioni 1 pagg. 562-564 antecedente medi rapporto conseguente 2 1° proporzionale 4° proporzionale 2° proporzionale 3° proporzionale estremi a) un’uguaglianza tra due rapporti; b) continua; c) quarto proporzionale; d) b è la metà di a; e) medio proporzionale; f) terzo proporzionale; g) il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi; h) il rapporto è maggiore di 1; i) il rapporto è minore di 1; l) diventa il doppio. 4 4 6 8 38 1 100 2 200 100 2 3 5 7 : 14 9 : 18 1 200 18 : 14 9 : 7 3 5 3 10 : : 4 4 2 4 6 46 5 10 3 3 : : 4 4 4 2 35 6 8 x ; 3 16 x ; 5 5 x . 4 7 105 7 21 35 21 : 105 7 : 35 7 : 21 35 : 105 (105 21) : 105 (35 7) : 35 / (105 21) : 21 (35 7) : 7 (105 35) : 105 (21 7) : 21 / (105 35) : 35 (21 7) : 7 8 4 a) x ; 5 1 b) x ; 7 9 a) 45; 27; b) 1500 cm2; c) x 10; y 15; d) x 10; y 8; e) x 15; y 18; z 27. c) 48 cm; 80 cm; 112 cm; 160 cm; 208 cm. 150 Unità 19 Relazioni e funzioni 1 pagg. 579-583 a) una relazione tra due elementi di una coppia ordinata (a, b); b) la proprietà riflessiva di una relazione; c) possiede la proprietà simmetrica; d) possiede la proprietà antisimmetrica; e) a c; f) contemporaneamente riflessiva, simmetrica e transitiva; g) contemporaneamente riflessiva, antisimmetrica e transitiva; h) assume valori diversi; i) mantiene sempre lo stesso valore; l) assume valori arbitrari; m) una corrispondenza univoca tra due insiemi A e B; n) si ottengono tramite una misurazione diretta; o) la variabile indipendente. 4 ✗ ✗ ordine stretto ✗ equivalenza ✗ ✗ ordine largo ✗ ✗ ordine stretto ✗ ✗ ordine largo ✗ ✗ ✗ 5 ✗ Bruno e Maria; Angela, Piero e Franco; Giovanni e Carla; Angela; Franco; Piero. 6 4x y 2x y x2 y x2 1 y 6x 7 altitudine profondità del mare volume di un oggetto lunghezza di un lato numero delle pagine quantità di merce 151 8 y x 2; y 2x 2. 9 1 10 5 3 7 3 3 3 11 3 4 3 2 3 2 6 3 2 7 2 9 5 1 x 1 2 5 Unità 20 Proporzionalità diretta e inversa 1 2 pagg. 602-605 a) y kx; b) y x k; c) la variabile indipendente; d) una semiretta passante per l’origine degli assi cartesiani; e) un ramo di iperbole equilatera; f) quante unità rispetto a 100 soddisfano una certa condizione; g) il valore che corrisponde ad un tasso percentuale; h) il valore che corrisponde al tasso percentuale 100; i) dati espressi in percentuale; l) un compenso calcolato in percentuale; m) una somma di denaro data in prestito e che dà diritto a un compenso; n) un compenso annuo rispetto a 100; o) l’importo ottenuto sommando al capitale l’interesse maturato. Crt 100 Crm 1200 Crg 36000 I 100 rt I 1200 rm I 36 000 rg I 100 Ct I 1200 Cm I 36 000 Cg I 100 Cr I 1200 Cr I 36 000 Cr 3 50% 62,5% 50% 40% 25% 0% 152 5 y 5x; proporzionalità diretta; 6 6 y ; x 9 36 proporzionalità inversa. 3 18 x 6 0 4 27 8 3 x 4 9 2 7 32 100 1 4 8 6 25 24 100 13 20 65 100 32% 0,32 25% 0,25 0,24 65% 14; 50; 30. 9 620 11 5 100 341 175 100 1250 2 7% 6 mesi 8% 243 10 27; 45; 63. 11 162; 81; 72. 12 a) 20 giorni; b) 48 kg; c) 12 kg. 75 1200 1000 15 30 1200 450 10 16,20 1200 20 4 153 GEOMETRIA – VOLUME A Unità 1 Le nozioni fondamentali della geometria. I segmenti 1 figura O pagg. 118-120 nome definizione semiretta b Parte di una retta che ha origine nel punto O segmento ........................... Parte di una retta delimitata dai punti R e S segmenti consecutivi ........................... AB eB C I segmenti AB e BC sono ............................... perché ............................................................. ........................................................................... segmenti adiacenti ........................... LM eM N ........................... I segmenti LM e MN sono .............................. perché ............................................................. ........................................................................... segmenti incidenti ........................... PQ eC D ........................... I segmenti CD eP Q sono .............................. perché ............................................................. ........................................................................... il M è .............. punto medio ............................ A M ≅M B Il punto M si chiama ....................................... perché ............................................................. ......................................................................... segmenti sovrapposti ......................... O P eQ R ......................... I segmenti O P eQ R sono ............................... infatti ................................................................. ............................................................................. b R S B A C L M N D I P C Q A M O P Q 2 3 4 B R a) una lettera maiuscola dell’alfabeto italiano; b) una lettera minuscola dell’alfabeto italiano; c) una lettera minuscola dell’alfabeto greco; d) sono sempre sovrapponibili; e) RS; f) è perpendicolare e passa per il punto medio del segmento. – il segmento E F misura 5,7 cm EF = 5,7 cm – i segmenti PQ , R S e UV sono congruenti – i segmenti A B eC D hanno la stessa misura – il segmento CD è più lungo del segmento EF – il segmento FG supera di 3 cm il segmento P Q – i segmenti C F, G H e IL sono congruenti e misurano 7,3 cm AB BC = 15 m □ ✗ la differenza tra due segmenti misura 15 m □ la somma tra A B eC D è 15 m □A B è multiplo di BC secondo il numero 15 □ la differenza tra AB eB C è 15. AB 3 cm RS = □ i segmenti RS e A B sono congruenti □ il segmento A B supera di 3 cm il segmento R S □ ✗ il segmento RS supera di 3 cm il segmento AB □ ✗ RS è maggiore di AB di 3 cm. Q P RS U V ....................................................................... A B C D ....................................................................... D C > EF ....................................................................... F G P 3 cm Q ....................................................................... CF G H IL 7,3 cm ....................................................................... 3 GH EF = — 5 □ EF supera GH di 3 m □ GH da 5 ✗ EF è costituito da 3 parti e □ EF è costituito da 5 parti e GH da 3 □ H . ✗ EF è i tre quinti di G R S = 3 AB – AB □ ✗ il segmento RS è il doppio del segmento AB □ il segmento RS è il quadruplo del segmento A B □ ✗ il segmento AB è la metà del segmento RS □ il segmento A B è la quarta parte del segmenS. to R 154 5 D F E C B G H U D A S R C D b M L N D C P Q a 6 F E O B A = 1° segmento C D = 2° segmento = 3 AB E F = 3° segmento = 2 AB A B 10 cm D C 30 cm F 20 cm E AB + CD + EF = 60 cm 7 a) 76 dm; 19 dm; b) 54 m; 72 m; c) 1,63 m; 1,5 m; d) 124 cm; 96 cm; 59 cm. Unità 3 Gli angoli 1 pagg. 138-141 a) Il vertice di un angolo è: – un punto importante di un angolo – il punto da cui hanno origine le due semirette che delimitano un angolo – il punto medio di un angolo acuto – il punto comune ai due lati di un angolo b) Osserva l’illustrazione: O V ✗F ✗V F V ✗V ✗F F A α B ∧ – OA e OB sono i lati dell’angolo AO B – O è il vertice di un angolo concavo e di uno convesso V ✗ ✗V – il simbolo dell’angolo concavo è V ∧ ∧ – α è un angolo concavo ∧ ∧ – i simboli AO B e BO A indicano lo stesso angolo convesso V ✗V c) Due angoli consecutivi: – sono sempre adiacenti V – non hanno alcun punto in comune V – hanno solo il vertice in comune – hanno il vertice e un lato in comune d) Un angolo piatto: V ✗V – è il doppio di un angolo retto ✗V – è la terza parte di un angolo giro V – è maggiore di un angolo concavo V – è maggiore di un angolo convesso ✗V F F ✗F ✗F F ✗F ✗F ✗F F F ✗F ✗F F 155 e) Un angolo acuto: ✗V – è sempre convesso V – è sempre concavo ✗F – è sempre minore della metà di un angolo piatto V ✗ – si indica con il simbolo V ✗F – si misura in gradi, primi e secondi ✗V F – si misura con il righello V ∨ f) L’ampiezza di un angolo: 2 F – si misura con il goniometro o rapportatore ✗ V – è maggiore di 180° se l’angolo è acuto V F ✗F F ✗F 90°; supplementari; esplementari; complementari – Due angoli adiacenti sono supplementari congruenti – Due angoli opposti al vertice sono ......................................................... . possono – Due angoli ottusi essere supplementari. non possono sempre – Due angoli consecutivi sono complementari. a volte 60 primi. – Un grado vale ..... 60 3600 secondi. – Un grado vale ............ – Un primo vale secondi. 360 una sola bisettrice – Ogni angolo ha tante bisettrici due parti congruenti – La bisettrice divide un angolo in quattro parti congruenti è sempre un angolo acuto – La somma di due angoli acuti può essere un angolo acuto 3 A β α O B γ β α b 156 4 5 6 ∧ BO A è .................. acuto ∧ retto CO A è ................ ∧ ottuso DO A è ................ ∧ piatto EO A è ................. ∧ acuto DO B è ................. ∧ B è ottuso EO ............................. ∧ ∧ BO A < CO A ........ ∧ < ∧ BO A ..... CO B ∧ ∧ ∧ < DO A ..... < EO BO A ..... A ∧ ∧ ∧ CO A ..... CO E ..... EO A ∧ ∧ ∧ > CO E .... < EO A BO E .... ............................. ............................... ............................. ............................... ............................. ............................... ∧ 2 α; ∧ AO B : 2; ............................... ∧ 4 C; ∧ 1 RO S; 5 ∧ 3 γ ; ∧ ∧ α β 15°; affermazione ∨ l’angolo MO N è concavo ∧ ∧ gli angoli α e β sono complementari ∧ ∧ gli angoli α e δ sono supplementari ∧ ∧ l’angolo A supera di 12° il triplo di B ∧ ∧ 1 AO B CO D ; 3 scrittura simbolica ∨ MO N ∧ ∧ α + β = 90° ∧ ∧ α + δ = 180° ∧ ∧ A 3 B + 12° ∧ ∧ l’angolo α supera di 28° la metà di β 7 8 9 a) 48°41’33”; b) 128°51’55”; ∧ CO D = 55° ∧ EO F = angolo retto ∧ AO B = 73° 12’ ∧ ∧ 1 MO N = CO D 2 ∧ ∧ ∧ a) β = 37°12’; α β c) 45°2’45”; ∧ ∧ RS T 3 AO B ∧ 1 ∧ α = β + 28° 2 d) 11°16’45” 35° 125° complementare ............... supplementare ............... 0° 90° complementare ............... supplementare ............... 16°48’ supplementare ............... 106°48’ complementare ............... 62°30’ supplementare ............... 152°30’ complementare ............... = 49°36’; b) 72°; 108°; c) 67°; 113°; d) si; e) 96°48’24”; f) 40°32’ Unità 4 Rette nel piano pagg. 151-152 1 figura nome proprietà incidenti Rette ................................................. un solo Due rette che hanno ................................ punto in comune m∩n=P coincidenti Rette................................................ Tutti i punti di una sono anche i punti dell’altra parallele Rette................................................ Due rette che non hanno in comune alcun punto ................................................................. a∩b=∅ 157 figura nome proprietà perpendicolari Rette................................................. Due rette incidenti che formano quattro angoli retti r⊥s ∧ ∧ 1 e 8; ∧ ∧ 3 e 6; ∧ ∧ 2 e 6; ∧ ∧ 2 e 7 alterni esterni ∧ ∧ alterni interni 4 e 5 .................................. ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ 4 e 8; 1 e 5 ; 3 e 7 sono congruenti congruenti sono ............................................................ congruenti sono ............................................................ corrispondenti ......................................................... ∧ ∧ ∧ ∧ 1 e 7; 2 e 8 2 a) perpendicolari; e) sull’asse delle y; 7 consecutivi. 8 a) no; coniugati esterni .......................................................... ∧ ∧ ∧ ∧ 3e5 ;4 e 6 supplementari sono ............................................................ coniugati interni .......................................................... supplementari sono ............................................................ b) asse delle ascisse; f) sull’asse delle x. b) 18°; 162°; c) asse delle ordinate; d) l’origine degli assi cartesiani; c) 107°30’; 72°30’. Unità 5 Poligoni 1 pagg. 159-161 chiusa – Se il primo e l’ultimo segmento hanno un estremo in comune la spezzata si dice ............................ intrecciata – Se due segmenti si intersecano la spezzata si dice ................................................................................. perimetro – La somma delle misure dei segmenti di una spezzata chiusa si chiama ............................................. vertici , – Dato il poligono ABCD, i punti A, B, C, D si chiamano ............................ del poligono, i segmenti AB lati , CD , DA sono i ...................................................... del poligono, la linea spezzata ABCD rappresenBC un quadrilatero ta .................................................. diagonale – Il segmento che ha per estremi due vertici non consecutivi di un poligono si dice ............................. 3 { poligoni regolari } 4 quadrato rombo ∈C ∈C triangolo equilatero 5 ✗V V ∈ A ✗V ∈A rettangolo ✗F V F ✗ ∈B V ✗ F pentagono concavo ∈ B F V ✗F F esagono regolare minore somma – Il lato maggiore di un poligono è sempre ........................................ della ........................................... degli altri lati. 360° . somma degli angoli esterni misura ........... – In un poligono la ...................... interni è data – La somma degli angoli ......................................... di un poligono .......................................... dal numero dei vertici meno 2 per 180° .................................................... 158 7 10; 13 disegno e nome del poligono numero dei lati numero delle diagonali uscenti dal vertice A numero di triangoli in cui viene diviso il poligono numero totale delle diagonali 5 2 3 5 6 3 4 9 8 5 6 20 pentagono esagono ottagono 8 94 cm 9 a) 108°; b) 15; 10; 25; 6; c) 9; 10; d) spezzata aperta intrecciata. Unità 6 Triangoli pagg. 179-181 1 figura nome definizione e proprietà C triangolo ABC A È un poligono di 3 lati. Proprietà: Il lato maggiore è minore della somma degli altri due (A B < AC + CB ). B C interni angoli ..................................... La somma degli .................................................. ................................................................................ esterni angoli ................................. La somma degli .................................................. ............................................................................... B A β α γ 159 figura nome C B A<90° B<90° C<90° A definizione e proprietà triangolo acutangolo ................................................. In ogni triangolo ............................... gli angoli interni sono ......................................................... triangolo ottusangolo ................................................. In ogni triangolo ............................ due angoli sono ................................. e il terzo è ............... ................................................ triangolo rettangolo .................................................. In ogni triangolo ............................. un angolo è ..................................... gli altri due ................ .............................................................................. triangolo scaleno .................................................. In ogni triangolo ................................................ i tre lati sono ...................................................... triangolo isoscele .................................................. In ogni triangolo ................................................ due lati sono ...................................................... triangolo equilatero .................................................. In ogni triangolo ............................................... .............................................................................. triangolo rettangolo .................................................. isoscele .................................................. In ogni triangolo ............................................... due angoli misurano ....................................... e i due cateti sono ........................................... B C B>90° A C A=90° B A C A AB ≅ AC AB≠BC BC≠AC AC≠AB B C A B C AB ≅ BC ≅ AC A C B A = 90° C ≅ B = 45° B A 2 incentro; altezze; mediana; assi. β 3 B α 4 baricentro; a ✗b ✗c ✗d e f 160 5 6 ∧ ∧ 80° 20° 30° α ∧ β γ tipo di triangolo 80° 120° 90° 40° acutangolo isoscele rettangolo ottusangolo 30° 70° 80° acutangolo 45° 45° 90° rettangolo isoscele 60° 60° 60° equilatero 60° 20° a) 75 cm; b) 84°; 48°; 48°; isoscele acutangolo; c) 109,12 cm. Unità 7 Quadrilateri 1 pagg. 197-200 rettangolo – Il quadrilatero ABCD è un .............................., le sue dimensioni A B base altezza eB C si dicono ..................... e ................................ . diagonali eA C sono le ......................................................... DB rombo lato – Il quadrilatero EFGH è un ............................, E F è il .............................. l’altezza K è ........................................ . eH diagonale maggiore G eH F sono rispettivamente la ........................................................ e la E diagonale minore ................................................. trapezio rettangolo – Il quadrilatero LMNO è un ...................................................................., base minore base maggiore LM è la ................................................ NO è la ........................................, lato obliquo N P N è il ............................................., O L è congruente a ................. ed M l’altezza è l’........................................ . proiezione del lato obliquo sulla base maggiore M è la ....................................................................................................... P parallelogramma – Il quadrilatero RSTU è un ............................................................... . S R altezza è l’.................................. relativa a ............................., mentre UK è UH altezza S T l’........................... relativa a ..................... . 2 Q T P Re Qa Ro sempre – Un rettangolo è un quadrilatero? .................................. sempre – Un rombo è un trapezio? ............................................... sempre – Un quadrato è un rombo? ............................................. qualche volta – Un trapezio è un parallelogramma? ............................ sempre – Un parallelogramma è un trapezio? ............................ qualche volta – Un rettangolo è un quadrato? ...................................... qualche volta – Un quadrilatero è un trapezio? ..................................... qualche volta – Un rombo è un quadrato? ............................................. 161 3 formula nome e disegno della figura 2p = (b + h) 2 rettangolo 2p = l 4 quadrato rombo 2p = (l1 + l2) 2 4 per calcolare il perimetro di un rettangolo bisogna moltiplicare per due la somma delle misure della base e dell’altezza due coppie di lati paralleli due coppie di angoli opposti congruenti angoli 2p l1 = l2 2 2p l2 = l1 2 analogie lati diagonali non congruenti diagonali 2p b = h 2 2 h = p b 2 2p l = 4 parallelogramma elementi formula/e inverse indicazioni fornite differenze P: lati a due a due congruenti Ro: quattro lati congruenti P: Ro: P: non perpendicolari Ro: perpendicolari 5 rettangolo .................................. elementi quadrato .................................. analogie lati perpendicolari tra loro differenze Re: lati a due a due congruenti Qa: quattro lati congruenti angoli quattro angoli retti Re: Qa: diagonali congruenti tra loro Re: non perpendicolari tra loro Qa: perpendicolari tra loro rombo quadrato .................................. elementi .................................. analogie differenze lati quattro lati congruenti e paralleli a coppie Ro: non perpendicolari tra loro Qa: perpendicolari tra loro angoli due coppie di angoli opposti congruenti Ro: angoli opposti congruenti Qa: quattro angoli retti diagonali perpendicolari tra loro e bisettrici degli angoli Ro: non congruenti Qa: congruenti 162 6 A B (cm) BC (cm) C D (cm) D A (cm) 35 36 50 34 160 145 156 160 42 46 50 49 ✗SI ✗SI ✗SI 18 27 13 72 SI esiste il quadrilatero? NO NO NO NO ✗ 7 109° 141° 75° 51° 129° 129° 64°30’ 25°30’ 72° 32° 32° 108° 8 9 base b (cm) altezza h (cm) semiperimetro p (cm) perimetro 2p (cm) 26 14 40 80 19 23,5 42,5 85 49,2 11 60,2 120,4 39 2 b 78 117 234 65 7 b 91 5 156 312 lato l (cm) 2p (cm) lato l (cm) 2p (cm) 52 208 87 348 28 112 16 64 39,62 158,48 16,17 64,68 10 33 cm. 11 22,4 cm. 12 108 cm; 84 cm. 13 150°; 60°; 2p 131,6 cm. 163 GEOMETRIA - VOLUME B Unità 8 Equiestensione e area dei poligoni 1 D A=bxh 2 d1 x d2 A= 2 bxh A = 2 3 (b1 + b2) x h C A= 2 4 d2 A = l 2; A = 2 6 Formula di Erone; A = 7 A = (b x h) : 2 9 11 h A 4,9 3,9 5,6 24,64 52 36 48 2112 15 7 210 ✪ h (cm) A (cm2) 96 4 96 15 60 28,8 432 70 280 33,6 2352 d2 (cm) d1 (cm) l (cm) 16 12 24 48 18 112 42 c2 (dm) c1 (dm) d1 x d2 A A= 2 p x(p –l x(p –l x(p –l 1) 2) 3) b1 i (dm) hi (dm) 2p (cm) A (dm2) 2p (dm) 36 28 42 24 504 106 60 48 80 36 1440 188 48 36 60 28,8 864 144 c2 c1 = A x 2 : ................. 12 i x hi B A= 2 b2 45 10 pagg. 334-336 A x 2 : hi i = .............................. A x 2 : c1 c2 = ............................ b 39 2 x h = 36,4 35 1,8 h 16 18,2 3 x b = 15 7 9,9 A 624 662,48 525 17,82 13 27 m; 45m; 1215 m2. 14 25 cm; 20 cm; 10 cm; 25 cm. 15 90 cm; 150 cm; 14 400 cm2; 2200 cm2. 16 458 cm2; 98,30 cm. Ax2:i hi = ............................ Unità 9 Il teorema di Pitagora 1 pagg. 356-359 a) per tutti i triangoli rettangoli; 2 2 + c b) i = c 1 2 ; 2 c c) c1 = i2– 2 ; 2 2 2 d) c = a + b ; e) è formata da numeri primi fra loro; f) due triangoli rettangoli scaleni; g) due triangoli rettangoli scaleni, ciascuno con due angoli acuti che misurano 30° e 60°. 164 3 a) 3 m; 1,08 m; 1,92 m; 4 primitiva 8, 15, 17 .............................................. derivata 25, 60, 65 ........................................... derivata 27, 36, 45 ........................................... primitiva 5, 12, 13 ........................................... 5 135 m2. 6 2760 cm2. 7 315 cm2. 8 4200 m2; 1984,14 €. b) 200 cm; 232,86 cm; c) 35,1 dm; 32,4 dm. Unità 10 Alcune trasformazioni geometriche: le isometrie 1 pagg. 377-379 movimenti – Le isometrie o congruenze sono dei ......................................................... rigidi che mantengono la posizione forma della ........................................ figura, ma cambiano la sua .............................. sul piano. isometrie – La traslazione, la rotazione, la simmetria centrale e assiale sono ................................ o congruenze. congruenza assiale – La simmetria ........................ è una .............................. inversa. centrale congruenze – La traslazione, la rotazione e la simmetria ........................ sono .............................. dirette. 3 triangolo isoscele; rombo; rettangolo; trapezio isoscele; quadrato. 5 caratteristiche traslazione rotazione simmetria assiale simmetria centrale La figura si deforma La figura cambia posizione La figura si sposta sul piano La figura si sposta nello spazio Le figure corrispondenti sono direttamente congruenti Il verso di percorrenza delle figure corrispondenti rimane invariato NO NO NO NO SI SI NO SI SI NO SI NO SI SI NO SI SI SI NO SI SI SI NO SI 11 4381,30 cm2; 380 cm. 12 126 cm; 972 cm2. Unità 11 Circonferenza, cerchio e loro parti 1 circonferenza cerchio pagg. 391-393 corda segmento circolare diametro settore circolare raggio arco convesso 165 2 A a c c B c1 A a O O1 c r < ds ................................ r > ds ................................ O 1 = r + r1 O ................................ ca=Ø ................................ c a = {A, B} ................................ c c1 = {A} ................................ c c1 O A c O1 O c1 O1 B O 1 > r + r1 O ................................ O 1 < r + r1 O ................................ c c1 = Ø ................................ c c1 = {A,B} ................................ 3 a) uguale al raggio d) il doppio b) infiniti; congruenti e) infiniti angoli alla circonferenza 4 a) diminuisce c) si dimezza b) raddoppia d) raddoppia ∧ 50° AC B = ......... ∧ 60° MPN = .......... ∧ 60° MQN = ......... ∧ 60° AOP = .......... ∧ 140° CO D = .......... 10 cm A B = .............. 8,66 cm H = ................ O ∧ 43° AB D = .......... ∧ 62° CBD = ........... 5 6 42 m; 75,6 m. 7 3872 cm2. c) perpendicolari f) piatto Unità 12 Poligoni inscritti e circoscritti e area di un poligono regolare pagg. 401-403 2 a) possiede il circocentro; gli assi dei suoi lati si incontrano in un unico punto; b) possiede l’incentro; le bisettrici dei suoi angoli si incontrano in un unico punto; c) sempre inscrittibile e mai circoscrittibile; d) i triangoli e i quadrati; i poligoni regolari e i triangoli; e) punto d’incontro delle bisettrici degli angoli; centro della circonferenza inscritta; f) punto d’incontro degli assi dei lati; centro della circonferenza circoscritta. 3 a f = ................... l 2p x a ................... A = 2 lxf a = ................... a:f l = ................... 2xA a = ................... 2p 2xA 2p = .................. a 1 H = AB O 2 H O = 1 CH 2 = A O .... AB 1 O B = BD 2 2 CH O B = .......... 3 4 OH = 1 BO 2 166 6 ✪ ∧ ∧ B C D B A C B D C D A 48° 74° 132° 106° 26 cm 54 cm 42 cm 20 cm SI NO SI 85° 77° 140° 58° 39 cm 48 cm 51 cm 42 cm SI 92° 53° 88° 127° 34 cm 50 cm 41 cm 25 cm SI NO SI SI 102° 68° 59° 131° 65 cm 52 cm 40 cm 35 cm SI A ∧ ∧ 7 360 cm; 5400 cm2. 8 1728 cm2; 192 cm. 9 52 m; 13 m. 10 è inscrittibile? è circoscrittibile? NO NO NO NO NO SI NO 2 55,44 cm2; 166,32 cm2; 83,16 cm2; . 3 Unità 13 Lunghezza della circonferenza e area del cerchio 2 3 a) indica il rapporto costante tra una circonferenza rettificata e il suo diametro; è un numero trascendente; b) una corda e un arco; c) è direttamente proporzionale all’ampiezza dell’angolo al centro corrispondente; raddoppia se raddoppia l’ampiezza dell’angolo al centro corrispondente; 1 d) di di circonferenza; 6 e) As : α° = Ac : 360°; Ac : As = 360° : α°; f) un angolo al centro di 180°; un arco pari a una semicirconferenza; g) l’area di un settore circolare e la lunghezza del corrispondente arco sono direttamente proporzionali. lunghezza del raggio 10 cm 20 cm ................. 30 cm 5 cm ................. 2 cm 15 cm ................. area del cerchio 100π cm2 ................. 400π cm2 900π cm2 ................. 25π cm2 4π cm2 ................. 225π cm2 ∧ V BC = EF F FG = 2 CD ) ) AB > PS 5 16 cm; 32π dm; 256π dm2. 6 20π m; 28π m2. 7 a) 256π cm2; 64π cm; b) 69,68 cm; 96π cm2. V V V V RQ > CD F F ) ∧ V EG < FG ) ∧ AO B < PO S V ) V F F ) EO G > PO S ∧ ∧ 1 BO C = RO Q 3∧ ∧ AO D = PO Q ∧ ) V ∧ ) FO G = 2 DO C ) ∧ 1 RS = CD 2 F ) ∧ V ) ∧ BO C = EOF ) 4 pagg. 417-419 V V V F 1 A(sett. BOC) = A(sett. ROQ) 3 A(sett. EOG) > A(sett. POS) F A(sett. FOG) = 4 · A(sett. ROS) V F F F F V A(sett. POQ) = A(sett. ROQ) V A(sett. AOD) > A(sett. ROQ) V F F F F F 167 GEOMETRIA - VOLUME C Unità 14 La similitudine. I teoremi di Euclide pagg. 575-576 1 hanno lo stesso numero di vertici, angoli congruenti e lati corrispondenti in proporzione. 2 hanno gli angoli corrispondenti congruenti; hanno i lati corrispondenti in proporzione. 3 un angolo congruente e i lati che delimitano quest’angolo in proporzione. 4 triangoli rettangoli. 6 ^ ^ C = 105°; E = 45°; SI. 7 B H = 64 cm; BC = 14 cm; AH = 5,69 cm. 8 a) 36 cm; b) 600 cm2; 120 cm; c) 33 cm; 51 cm2. Unità 15 Proprietà della similitudine 3 pagg. 589-590 triangolo ABC triangolo DEF A B B C 6 cm 8 cm 10 cm 24 cm 32 cm ..... 40 cm ..... 32 cm 28 cm 48 ... cm 48 cm 42 cm ..... 72 cm 4 150 cm2 . 5 5 15 cm; 18 cm; . 6 6 12 cm; 60 cm. A C D E EF D F rapporto di similitudine 2p(ABC) 2p(DEF) (ABC) A A(DEF) 1 k = 4 2 k = 3 24 1 = 96 4 108 2 = 162 3 1 16 4 9 Unità 16 Introduzione alle trasformazioni topologiche, affini e proiettive 2 6 pagg. 597-599 a) una o più linee; b) linea che congiunge due nodi; c) topologicamente equivalenti. 4 n° archi ..... 2 n° nodi pari ..... / n° nodi dispari ..... SI il grafo è percorribile? ..... 3 n° archi ..... / n° nodi pari ..... 2 n° nodi dispari ..... SI il grafo è percorribile? ..... 4 n° archi ..... 1 n° nodi pari ..... 2 n° nodi dispari ..... SI il grafo è percorribile? ..... 10 n° archi ..... 3 n° nodi pari ..... 4 n° nodi dispari ..... il grafo è percorribile?NO .... 168 Unità 17 Rette e piani nello spazio pagg. 604-606 2 a) tutti i punti; b) un punto; c) parallela; d) una retta; e) tre punti; una retta e un punto esterno ad essa; due rette incidenti; due rette parallele; f) piede della perpendicolare. 3 // c a .... ⊥ d a .... ⊥ d c .... {A} a ∩ β = .... {C } c ∩ β = ..... ∅ e ∩ d = .... a // .... b ⊥d b .... // β α .... ∩ β = {B} b .... ∩ b=∅ a .... ∅ α ∩ β = .... ⊥ α .... δ // r .... v ∩ γ .... δ = ∅ ⊥ γ β .... // s .... t r α ∩ γ = .... // β α .... // v s .... ∩ γ=s β .... // r .... s // v t .... t α ∩ δ = .... // r .... t ∅ α ∩ β = .... v β ∩ δ = .... 4 6 40 cm; 26 cm. 7 25,98 cm. Unità 18 Solidi equivalenti. Volume di un solido. Peso specifico 1 2 a) lo stesso volume; b) 1 dm3 ; c) sono equivalenti; d) P : V; e) V ps; ps V; f) P : ps; g) cm3 . peso specifico volume peso ps V P alluminio 2,7 ......... 5 dm3 13,5 kg legno di castagno 0,8 2 m3 1,6 t ............ stagno 7,3 25 cm3 .............. 182,5 g sughero 0,25 4 m3 1t ............ materiale peso specifico capacità volume peso ps del recipiente V P acqua di mare 1,03 35 dl 3,5 dm3 3605 ........ g alcool 0,8 1500 ml 1,5 ...... dm3 12 ....... hg olio d’oliva 0,9 2 ... hl 200 dm3 180 kg ....... benzina 0,7 ........ 15 l cm3 15 000 ........ 10 500 g liquido 3 pagg. 614-615 60 cm3. 4 598,9 g. 5 16,97. 169 Unità 19 Poliedri: prismi 1 pagg. 636-638 congruenti e sono situati su piani .................. paralleli Le facce laterali sono tutte I due poligoni di base sono ......................... perpendicolari rettangoli dei ............................ Gli spigoli laterali sono ................................. alle basi. L’altezza è lunga come uno spigolo laterale ................................. rettangoli 6 È un prisma avente per basi due ........................... Un parallelepipedo rettangolo è limitato da ................ 8 perpendicolari 12 spigoli e ....... 4 diagonali. Gli spigoli laterali sono ........................... rettangoli, ha ...... vertici, ........ alle basi congruenti parallelepipedo rettangolo tutte tre dimensioni sono .................... È un ........................................................ nel quale le ....... Le facce sono ............ quadrati. 2 l . 3 d = ......................... d : 3 l = ......................... 2 2 2 ......+..b ......+....h.... d = ..a 2 2 ....b..2.. a = ..d...... ....h .... 2 2 ....h..2 b = ..d..........a...... 2 2 2 h = ..d.... ....a ...... ....b .... ; 3 4 a) non appartenenti alla stessa faccia; b) da nessuno dei piani delle facce; c) uguale alla; d) poligoni regolari; e) tre spigoli; f) esaedro. B A (cm) A C (cm) B C (cm) A A' (cm) Al (cm2) At (cm2) V (cm3) 25 ..... 15 20 42 2520 ........ 2820 ........ 6300 ........ 26 10 ..... 24 25 ..... 1500 ........ 1740 3000 ........ 34 16 30 ..... 15 ..... 1200 ........ 1680 ........ 3600 Al (cm2) At (cm2) V (cm3) A B (cm) BC (cm) A A ' (cm) A C ' (cm) 40 18 24 ..... 50 ..... 2784 4224 ........... 17 280 ........... 20 ..... 12 9 25 576 ..... 1056 ........... 2160 ........... 60 36 ..... 27 75 ..... 5184 ......... 9504 ........... 58 320 A B (cm) A C ' (cm) Al (cm2) At (cm2) V (cm3) 32 ..... 32 . 3 ........... 4096 ........... 6144 32 768 ........... 16 ..... 16 3 1024 ........... 1536 ........... 4096 ........... 38 ..... 38 . 3 ........... 5776 ........... 8664 ........... 54 872 6 450 cm2; 567 cm3. 7 1056 cm2; 1440 cm3; 3,6 kg.. 170 Poliedri: piramidi 5 pagg. 653-655 B A (cm) 2p(ABCD) (cm) H V (cm) V O (cm) Ab (cm2) Al (cm2) At (cm2) V (cm3) 24 96 ...... 20 16 ...... 576 ...... 960 ...... 1536 ...... 3072 ...... 18 ...... 72 ...... 15 ...... 12 ...... 324 540 ...... 864 ...... 1296 7 18 144 cm3; 4320 cm2. 8 3840 cm2; 16 896 cm3; 45,6 kg. Unità 20 Solidi di rotazione: cilindro e cono 5 pagg. 668-670 AB (cm) C A (cm) C B (cm) Ab (cm2) Al (cm2) At (cm2) V (cm3) 10 24 ... 26 100π ......... 260π ......... 360π ......... 800π ......... 12 ... 9 15 144π ......... 180π ......... 324π ......... 432π ......... 21 28 ... 35 ... 441π ......... 735π ......... 1176π ......... 4116π B A (cm) C B (cm) Ab (cm2) Al (cm2) At (cm2) V (cm3) 9 20 81π ........ 360π ........ 522π ........ 1620π ........... 12 ... 9 ... 144π 216π ........ 504π 1296π ........... 7,5 12,5 ...... 56,25π ............ 187,50π 300π ........ 703,125π ................. 6 192π cm2; 192π cm3. 7 1372π cm3; 504π cm2; 36,619 kg. Solidi di rotazione composti 3 4500π cm2; 28 125π cm3. 4 54π cm2; 55,728π cm3. 5 2208π cm2; 7680π cm3. pagg. 687-688 171 ALGEBRA Unità 1 Insieme dei numeri relativi 1 pagg. 208-209 naturali Z numeri interi relativi Z due Q Q Q irrazionali relativi reali relativi il numero senza il segno hanno lo stesso valore assoluto ma segno oppostio precede segue 2 3 < < < < > > < concordi 7 discordi discordi discordi concordi concordi 9 5,1 2; 5,03; 5; 5,01; 5,1; 5,12; 5,121; 5,15. 20 10 a) 9; ; (4); 3,5; 0; 6,5; 7,5; 8; 5 12 1 5 4 b) 1 0; 8; ; ; ; ; 1; 3. 20 4 16 4 8 172 Unità 2 Operazioni con i numeri relativi 1 pagg. 244-245 1 b) 3; c) opposti; d) ; 3 m) 23; n) (7)4. a) concordi; l) non esiste; 3 e) 0; f) 0; 19 34 7 105 3 5 a a mn 15 4 2 3 3 4 6 5 13 ✗ ✗ ✗ 5 ✗ 3 11 a) 1; 1 a2 1 b 7 i) pari a 6 h) 1; 0 4 g) positivo; 64 b) ; 125 proprietà invariantiva proprietà associativa ✗ annullamento del prodotto ✗ ✗ 3a proprietà della divisione proprietà distributiva 1 8 1 25 6 c) 2; distributiva impossibile 16 9 4 9 d) 4. Unità 3 Calcolo letterale e monomi 1 pagg. 261-263 parte letterale coefficiente 2 2a 2b a) ; b) hanno la stessa parte letterale; c) dalla somma degli esponenti della parte letterale; 5 d) opposti; e) di grado 2 rispetto alla lettera b. 173 di seguito 3 proprio segno simile somma algebrica dei coefficienti opposto del secondo il prodotto dei coefficienti sola volta alla somma degli esponenti coefficiente parte letterale il quoziente dei coefficienti monomi differenza dividendo 2 (a 1); divisore 4 4a 3; (a 2a)2. 5 il doppio di un numero diminuito di uno; il triplo della somma di due numeri. il quadrato di un numero diminuito del doppio di un altro numero. 7 F V F V F F 8 1 a 2 b 2. 5 9 1 x 6y 2z 2; a 3b 9; 1. 8 174 10 2x y 3 2a bc 1 3 2 8x 3y 3; 12 4a. 13 8a; 5a; 2 2 3a b 2 2 11 3x y (5ab) 2 4 x 2. 9 22a; 26a 2. Unità 4 I polinomi pagg. 283-284 1 è di 4° grado; 2 3xy 3x; 4 (5a 2b)2; 5 2x 2 11x 6; 6 a) 13a 2 11ab 2 b 2; 7 2a 4b 3; 2°; grado; x 3 3 y 3; (x 2a)3; non è ordinato; ordinato; completo. a b ab. (a b c)2. 8x 10. 1 b) 8a 2b 8ab a ; 3 a 11b 8; 3x; 8 13 2 c) a 2 a . 3 15 5 2xy 5x 2 4y 2; 3xy. Unità 5 Identità ed equazioni 1 pagg. 297-298 3 4 1 2 2 a) la sua soluzione; e) qualsiasi valore; b) a 0 e b 0; c) a 0 e b 0; f) determinati valori. d) hanno la stessa radice; 3 addiziona numero sottrae membri equivalente espressione moltiplica numero divide membri equivalente 175 4 2° principio di equivalenza regola del cambiamento di segno soppressione dei denominatori numerici soppressione dei termini uguali trasporto dei termini 5 impossibile; indeterminata. 6 4 a) x ; 9 10 b) x ; 3 1 c) x . 3 Unità 6 Problemi risolvibili con equazioni di 1° grado ad una incognita 1 2 a) x x 9; 5 3 64; 48. 4 7. 5 80°; 100°. 6 1500 cm3. b) 2x (2x 2) 100; pag. 305 3 1 1 c) x x (x 10). 4 2 8 Unità 7 Disuguaglianze e disequazioni 1 maggiore minore pag. 311-313 maggiore o uguale 3 V F F F minore o uguale 176 V F x0 4 x 4 • • • • • • • • • • • • • • • • • • x0 • 5 x R tale che x 3; 6 x 1; 7 1 a) (x 2)2 (x 3)2; x ; 2 • • • x 3 • • • • • • x 4 • • • • • • • • x 3 • • • • • • x R tale che x 2; • • • • x Z tale che 3 x 4. 5 x . 2 b) x 4,5. Unità 8 Elementi di geometria analitica pagg. 327-330 4 F D E III 5 B A yB yA. 6 EF xE xF. 7 yA yB yM . 2 9 F ≡ (a; b); I IV L ≡ (a; b) II M ≡ (a; b). 2 (x A xS)2(yR y S). 10 RS 11 xA xB xM ; 2 12 simmetria rispetto all’origine; yA yB yM . 2 simmetria rispetto all’asse y; traslazione; simmetria rispetto all’asse x. 177 13 I; asse y; II; III; asse x; asse x; II; III; 16 asse y. 4,5u; 2,5u; 5u 6 4 17 2 4 3 3 5 3 2 4 1 0 18 B’ ≡ 3; 1; C’ ≡ 0; 5; 19 F1 → simmetria rispetto all’asse x; triangolo rettangolo: 6u2; 12u; trapezio isoscele: 18u2; F2 → simmetria rispetto all’origine; 22u; 6,7u. F3 → simmetria rispetto all’asse y. Unità 9 Piano cartesiano e funzioni matematiche 1 y kx. 2 1 y x ; 2 3 y x; 4 una retta non passante per l’origine. 5 3 è il coefficiente angolare della retta; 5 6 3 y x 3; 2 3 y x 2; 2 8 2 1 y x ; 5 5 2 y x 3. 5 9 di una retta passante per l’origine degli assi; 10 pagg. 343-345 y 4x. y x. la retta attraversa il II e IV quadrante. 3 1 y x . 2 2 dell’asse delle ordinate. posizionata tra la bisettrice del I e III quadrante e l’asse delle ordinate. delle ascisse 11 ascisse bisettrice terzo 13 3 y x; 2 3 A y x ; 2 3 B y x. 2 14 3 y x 2; 4 15 y 2; x 3; A ≡ (3; 2); rettangolo; 20u; 24u2. 3 3 y x ; 4 2 3 3 y x . 4 4 B ≡ (3; 2); C ≡ (3; 2); D ≡ (3; 2); primo 178 Unità 10 La logica proposizionale pagg. 351-353 2 3 V V F F V V F V F F a) trasformano un enunciato aperto in enunciato vero; b) una proposizione logica non può essere sia vera sia falsa; d) una proposizione logica può essere o solo vera o solo falsa; f) alla quale si può attribuire un valore di verità. c) disgiunzione logica; e) congiunzione logica; 4 V F F V F 6 a ∧ b; numeri divisibili per 5 e per 3. 7 a ∨ b; alunni che studiano l’inglese o il tedesco. 8 ¬ b; numeri non dispari. V V F Unità 11 I circuiti elettrici pagg. 356-357 2 in serie connettivo “e” in parallelo connettivo “o” contrapposti negazione“non” 3 in parallelo in serie contrapposti inclusione 179 4 V V F F V F V V 5 se il solido S è un prisma allora è un poliedro. 6 domani è il primo giorno di rimavera se e solo se oggi è il 20 marzo. ✗ 7 ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ 8 V F F V F F V V F V V V F V V V Unità 12 Statistica 1 pagg. 371-373 a) un insieme di elementi che hanno almeno una caratteristica comune; b) vengono considerati tutti gli elementi della popolazione statistica; c) il numero di volte con cui si presenta un dato; d1 f1 d2 f2 ……… dn fn d) M ; e) la frequenza maggiore; n f) il rapporto tra la somma dei valori dei dati e il loro numero; g) il valore che si trova in posizione centrale; h) ciascun elemento di una popolazione statistica. 2 ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ 180 3 45; 43,94; 44. 4 gli individui che frequentano una piscina Quantitativa 10-20 15 19,97 La moda 7 a) maggiore del 25%; b) minore del 25%; c) minore del 50%. Unità 13 Il calcolo della probabilità 1 pagg. 385-387 a) uno; b) zero; c) 0 < p(E) < 1; d) 1 p(E); e) il rapporto tra il numero dei casi favorevoli a quell’evento e il numero dei casi possibili; f) rapporto tra la frequenza assoluta di quell’evento e il numero delle prove effettuate; g) p(E1) p(E2); h) p(E1) p(E2) p(E1 E2). 2 ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ 3 V F 3 15 V F 7 15 181 4 5 a) carta di seme nero; b) un numero dispari; d) testa; e) pallina rossa; f) il numero sei. 6 incompatibili; 7 1 ; 2 8 1 ; 3000 9 1 . 216 13 ; 40 12 ; 40 1 ; 1000 compatibili; 15 ; 40 1 ; 20 0,168 1 6 0,184 1 6 0,192 1 6 0,196 1 6 0,14 1 6 0,12 1 6 c) una carta che non sia una figura; compatibili. 6 ; 40 12 ; 40 28 ; 40 8 ; 40 19 . 40 4 . 3000 Unità 14 Strutture algebriche pagg. 396-397 2 b ∗a (a ∗ b) ∗ c a ∗ (b ∗ c) con a, b, c A a∗ua a∗bu u∗aa con a A b∗au 3 ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ 182 4 ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ 5 6 1 0 1 1 3 1 1 0 2 0 2 1 1 1 3 3. 7 a a b b a a 8 gruppo abeliano; b c c b c d b e monoide abeliano. e 183 INDICE 1. – INTRODUZIONE ....................................................................................... pag. 3 2. – CARATTERISTICHE DEL CORSO ............................................................... pag. 4 3. – PIANO DEL CORSO .................................................................................. pag. 15 4. – PROPOSTE PER LA PROGRAMMAZIONE ................................................ pag. 18 5. – PROVE DI INGRESSO E VERIFICHE .......................................................... pag. 23 Prove d’ingresso – Classe prima ............................................................. pag. 24 Prove d’ingresso – Classe seconda ......................................................... pag. 26 Prove d’ingresso – Classe terza .............................................................. pag. 28 Verifiche di Aritmetica ............................................................................ pag. 31 Verifiche di Geometria ............................................................................ pag. 59 Verifiche di Algebra ................................................................................ pag. 93 6. – RISULTATI DELLE PROVE D’INGRESSO E DELLE VERIFICHE ................... pag. 111 7. – RISULTATI DEI GIOCHI E DELLE VERIFICHE FINALI ................................ pag. 125 Risultati dei giochi di Aritmetica ........................................................... pag. 125 Risultati dei giochi di Geometria ........................................................... pag. 127 Risultati dei giochi di Algebra ............................................................... pag. 129 Risultati delle verifiche finali di Aritmetica .......................................... pag. 130 Risultati delle verifiche finali di Geometria .......................................... pag. 153 Risultati delle verifiche finali di Algebra ............................................... pag. 171
