Cap.3.1 Flussi Comprimibili - Università degli Studi di Firenze

Dipartimento di Ingegneria Industriale
Moto Monodimensionale in Condotti
Fluido Comprimibile - Teoria
Fig 1a
Fig 1B
Fig. 1A
Moti 1D Comprimibili- Termodinamica 1
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Fluidodinamica
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Modello di Fluido
Incomprimibile
Modello di Fluido
Comprimibile
Il modello di fluido incomprimibile e con viscosità nulla è
molto semplificato ma, comunque risulta sufficiente alla
descrizione di molti fenomeni di esperienza comune ed in
molte applicazioni tecniche.
D’altra parte la comprimibilità è una caratteristica del
fluido che assume importanza fondamentale (tale da
rendere inadeguato il modello di fluido comprimibile) in
molte delle applicazioni ingegneristiche della
fluidodinamica.
Esempi
•flussi ad alta velocità
• Il flusso nelle palettature delle turbomacchine
(Turbine/Compressori)
• Applicazioni Aeronautiche dove la velocità di volo sono
tali da rendere importante la comprimibilità del fluido
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L’attendibilità e quindi il dominio di applicazione dell’uno o dell’altro modello
dipende:
- in primo luogo dal tipo di fluido riguardo al suo modulo di Comprimibilità E già
visto:
1 1 dρ
E
=
⋅
ρ dp
Per i liquidi E è molto grande valori dell’ordine di 109 e si può assumere come
equazione di stato del fluido: ρ = cost
Vapori e gas sono molto più comprimibili ed E presenta valori dell’ordine di 105 per
cui si deve assumere una equazione di stato che leghi pressione e densità.
Generalmente si considera il gas come ideale data la semplicità ed il notevole campo
di validità di questa ipotesi per cui : p = ρRT
- in secondo luogo dalla velocità del flusso
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La trattazione successiva riguarderà un approccio semplificato per lo studio dei flussi
comprimibili secondo le seguenti IPOTESI :
• Stazionarietà
∂
= 0
∂t
• Flusso Monodimensionale Le proprietà del flusso (p, ρ, u ) si considerano
costanti su una stessa sezione definita dalla coordinata di riferimento x
• Comportamento del fluido come Gas Ideale
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Alcuni Remind su Gas Perfetti
p = ρRT
Equazione dei
(1)
La costante R e quella del gas definita come il rapporto fra la costante universale dei
R
gas Ru=8314.3 J/(Kmol °K) e la massa molecolare del gas :
R = u
M
Energia Interna
Per un gas ideale l’energia interna, e, è funzione della
sola temperatura :
de
⎛ ∂e ⎞
cv = ⎜
⎟ =
⎝ ∂T ⎠ v dT
e 2 − e1 =
T2
∫ c dT
v
(2)
T1
Assumendo cv costante (tale assunzione resta valida per moderate variazioni di
temperatura; per un gas reale cv=f(T)) si può facilmente calcolare la variazione di
energia interna associata al flusso di un gas ideale fra le sezioni 1 e 2:
e2 − e1 = cv (T2 −T 1 )
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Entalpia
h = e +
p
ρ
Considerando le relazioni di stato e dell’energia interna per un gas ideale anche l’entalpia
risulta funzione della sola temperatura ed analogamente si hanno:
h = e + RT
(3)
dh
⎛ ∂h ⎞
cp = ⎜
⎟ =
⎝ ∂T ⎠ p dT
h 2 − h1 =
T2
∫c
T1
Posto cp costante (per un gas reale cp=f(T)) :
p
dT
h2 − h1 = c p (T2 −T 1 )
Relazioni utili per la determinazione dei calori specifici cv, cp :
Si ottengono sostituendo la definizione di gas ideale in quella dell’entalpia,
differenziando e sostituendo le 1 e 2 :
cp
Rγ
R
;
; γ =
c p − cv = R ;
cp =
cv =
γ −1
γ −1
cv
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(4)
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Entropia
Per flussi comprimibili le variazioni di entropia sono importanti. Considerando l’equazioni
combinate del I & II principio per un gas ideale scritto in forma di equazione T ds
(Eq, di Gibs) :
Tds = dh −
dp
ρ
Utilizzando le relazioni 1,3 e 4 si ha:
Ed analogamente :
(5)
s2 − s1 = cv ln
s2 − s1 = c p ln
T2
p
− R ln 2
T1
p1
T2
ρ
− R ln 2
ρ1
T1
Le ultime due relazioni consentono di calcolare la variazione di entropia per la
trasformazione subita da un gas ideale che fluisce da una sezione 1 ad una sezione 2
con calori specifici cv, cp costanti.
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Se il flusso è adiabatico e senza attriti (ovvero reversibile e cioè isoentropico) vale:
ds = 0 ;
s 2 − s1 = 0
Per cui ponendo ds=0 nella (5) ed utilizzando le relazioni dei calori specifici per un gas
ideale si ottiene la legge per le trasformazioni isoentropiche :
p
ρ
γ
= cos t
(6)
Ed utilizzando equazione di stato del gas ideale si può scrivere nelle seguenti forme
equivalenti:
⎛ T2
⎜⎜
⎝ T1
⎞
⎟⎟
⎠
γ
γ −1
⎛ρ
= ⎜⎜ 2
⎝ ρ1
γ
⎞
⎛p ⎞
⎟⎟ = ⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎠
⎝ p1 ⎠
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Esempio 2.1
In un condotto rettilineo a sezione circolare costante, diametro 0.1 m,
scorre aria. I valori temperatura uniformi alla sezione 1 e 2 valgono:
T1=300 K, p1=689 kPa; T2=250 K °C, p2=127 kPa. Calcolare: la
variazione di energia interna, di entalpia, di densità e di entropia fra le
sezioni 1 e 2 di figura.
Soluzione
Assumendo l’aria un gas ideale si ha:
Energia interna
Entalpia
cv =
R
J
287
=
= 717 . 5
γ −1
kg ° K
1 .4 − 1
e2 − e1 = cv (T2 −T 1 ) = −717.5(300 − 250) = −35.87 kJ
kg
c p = γcv = 1.4 ⋅ 717.5 = 1004.5J / kg°K
h2 − h1 = c p (T2 −T 1 ) = −1004.5(300 − 250) = −50.52 kJ
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kg
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Densità
ρ 2 − ρ1 =
p2
p
− 1 = (1.77 − 8) = −6.22 kg 3
m
RT2 RT1
Quindi la variazione di densità e molto importante
infatti:
ρ1 − ρ 2
Δρ (% ) =
⋅100 = 6.22 / 8 ⋅100 = 78%
ρ1
Entropia
s2 − s1 = c p ln
T2
p
− R ln 2 = 301J / kg °K
T1
p1
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Velocità del Suono e Numero di Mach
Il numero di Mach è definito come il rapporto fra il valore locale della velocità del flusso
u
M =
e il valore locale della velocità del suono:
c
Per chiarire il concetto di velocità del suono si
consideri la seguente figura, che rappresenta lo
schema del moto di un’onda di pressione e la
linea tratteggiata il volume di controllo che al
contiene:
Il fluido fermo attraversato dall’onda di pressione cambia le sue proprietà di una quantità
infinitesima come riportato in figura; la velocità c, della perturbazione si considera
costante. Considerando un osservatore in moto con il volume di controllo rappresentato
in figura si può scrivere:
• Equazione di Continuità
ρAc = (ρ + δρ )A(c − δu )
• Equazione della quantità di Moto
− cρcA + (c − δu )(ρ + δρ )(c − δu )A = pA − ( p + δp )A
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ρδu = cδρ
ρδu =
δp
c
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Velocità del Suono e Numero di Mach
− cρc 2 + (c − δu )(ρ + δρ )(c − δu ) = p − ( p + δp ) = −δp
(
)
− cρc 2 + (ρ + δρ ) c 2 − 2cδu + δu 2 = −cρc 2 + cρc 2 − 2cρδu + δρc 2
− 2cρδu + c 2δρ = −δp ⇒
δp
c
+ cδρ = 2 ρδu
Ma dalla Equazione di Continuità ρδu = cδρ
δp
c
+ cδρ = 2 ρδu ⇒
δp
c
δp
c
+ cδρ = 2cδρ
= cδρ
δp
c =
δρ
2
Combinate insieme danno il valore della velocità
della perturbazione:
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c =
δp
δρ
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Usualmente questa velocità detta del suono viene indicata con a:
⎛ ∂p ⎞
⎟⎟
⎜⎜
Nelle ipotesi di fenomeno isoentropico il δp→∂p e quindi : a =
⎝ ∂ρ ⎠s
Inoltre poiché trattiamo un gas ideale vale la legge (5) per le trasformazioni isoentropiche
e perciò:
⎛ ∂p ⎞
⎜⎜
⎟⎟
ρ
∂
⎝
⎠
In definitiva per un gas ideale :
⋅γ ⋅ ρ
= Cost
γ −1
=
s
γ RT
a=
p
ρ
γρ
γ
γ −1
= γ RT
(7)
Riprendendo la definizione del modulo di elasticità data all’inizio si ha :
a =
E
ρ
Il numero di Mach rappresenta la radice quadrata del rapporto fra le forze d’inerzia e le
forze elastiche valutando così l’importanza degli effetti della comprimibilità, infatti :
Fi
ma
=
=
Fe
EL 2
Esempio 2.2
ρ L3
EL
u
τ =
2
ρu
E
L
2
τ = u = M
2
E
ρ
Calcolo della velocità del suono per l’aria alla temperatura di 0 °C
a=
γ RT = 1 . 4 ⋅ 287 ⋅ 273 = 331 m / s
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Significato fisico della velocità del suono
•
La velocità del suono rappresenta la velocità alla quale si propagano le perturbazioni in un mezzo, liquido, gassoso, o solido che sia. La definizione data e la relativa espressione è valida del per un gas perfetto, ma è teoricamente estendibile ad ogni caso.
Se un campo di moto, od un fluido in quiete, è perturbato, il sistema risentirà della perturbazione non istantaneamente dappertutto, ma sarà necessario attendere un certo tempo affinché la perturbazione raggiunga tutti i punti del dominio ad una distanza L. Per percorrere la distanza L il segnale impiega un tempo t=L/a
•
Supponiamo una sorgente emettitrice in moto con velovcità V
•
•
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Esempi
La discussione sulla base della figura a destra suggerisce
la seguente distinzione fra le diverse situazioni di
flusso:
a)
Assenza di Flusso: la perturbazione raggiunge
uniformemente tutto lo spazio
b)
Flussi subsonici : V < a nei moti subsonici la
propagazione delle perturbazioni avviene sia verso
monte che verso valle.
c)
Flussi Sonici : V= a, esiste un fronte che separa
zona del silenzio e zona interessata dalla
perturbazione
d) Flussi supersonici : V > a in essi informazioni
(perturbazioni di pressione) non possono risalire a
monte.Zona del silenzio caratterizzata da un angolo
a 1
ALFA :
sin α = =
u
M
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Il Numero di Mach
In considerazione del rapporto fra la velocità del flusso e la locale velocità del suono detto
Numero di Mach :
u
M=
a
si possono definire le seguenti categorie di flussi, anche in considerazione del fatto che
esso rappresenta anche il rapporto fra la velocità del flusso e la deformabilità del fluido :
• Flussi incomprimibili : M < 0.3
a =
E
ρ
• Flussi comprimibili subsonici : 0.3 < M< 1 nei moti subsonici la propagazione delle
perturbazioni avviene sia verso monte che verso valle.
• Flussi comprimibili supersonici : M > 1 in essi informazioni (perturbazioni di
pressione) non possono risalire a monte.
• Inoltre altre due categorie sono comunemente considerate quelle dei flussi transonici
0.9<M<1.2 e quella dei flussi ipersonici M > 5 ( si tenga conto che in questo caso è la a
bassa + che la u alta!)
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I moderni aerei sia per aviazione civile sia militare sono spinti ad motori a
reazione con turbina a gas e molti modelli volano in regimi di moto transonico.
Un esempio di moto ipersonico è dato dal rientro nell’atmosfera di uno Space Shuttle
Esempio 2.3
Un aereo vola alla quota di 1000 m ed a Mach 1.5. Calcolare il tempo
che trascorre fra il momento in cui l’aereo passa sulla verticale relativa
ad un osservatore a terra ed il momento in cui l’osservatore stesso sente
il rumore dell’aereo. T=20 °C
Soluzione
z
− 1 1000
= tan
;
α = tan
x
V ⋅t
sin −1 α = 0 . 667 ⇒ α = 42 0
−1
tan α = .8944 ⇒ x =
sin
−1
1
1
=
α =
1 .5
M
1000
= 1118.m = V ⋅ t
.8944
x = 1118.m = V ⋅ t ⇒ t =
1118
= 2.17 sec
515
V = M ⋅ a = 1.5 ⋅ 1.4 ⋅ 287 ⋅ 293 = 1.5 ⋅ 343 ⇒ V = 515m / s
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Stati di Ristagno (o di Arresto)
Per il I principio della Termodinamica in assenza di scambi di calore e di lavoro e con
variazioni di energia potenziale nulla si vede come l’entalpia totale h0 coincide con il
valore dell’entalpia che avrebbe il fluido se fosse arrestato con un processo adiabatico.
u2
Entalpia di ristagno : h0 = h +
2
u2
Temperatura totale : Dalla precedente si ha che T0 = T + 2 c e tenendo conto
p
T0
γ −1 2
M
= 1+
T
2
per cui il rapporto fra temperatura totale e statica è funzione del numero di Mach e del
rapporto γ dei calori specifici.
della (7) e della seconda delle (4) si ottiene:
Pressione di Ristagno : valore della pressione cui il fluido si porterebbe se a partire dalle
condizioni locali fosse portato con un processo isoentropico fino allo stato di velocità
nulla. Quindi considerando la (6) e la precedente si ha:
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Pressione di Ristagno : valore della pressione cui il fluido si porterebbe se a
partire dalle condizioni locali fosse portato con un processo isoentropico fino allo stato di
velocità nulla. Quindi considerando la (6) e la precedente si ha:
p0 ⎛
γ −1 2 ⎞
M ⎟
= ⎜1 +
2
p
⎠
⎝
γ
γ −1
Rappresentazione su un diagramma T - s di
Temperatura e pressione di ristagno e statiche:
Analogamente per la Densità di Ristagno :
ρ0 ⎛
γ −1 2 ⎞
= ⎜1 +
M ⎟
ρ ⎝
2
⎠
1
γ −1
NOTA : si ricordi che:
Temperatura di Ristagno :
Pressione/Densità di Ristagno :
Trasformazioni Adiabatiche
Trasformazioni Isoentropiche
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Temperatura di Ristagno :
Pressione di Ristagno :
Trasformazioni Adiabatiche
Trasformazioni Isoentropiche
La pressione totale è sensore dell’Entropia
s2 − s1 = c p ln
T
p
T2
p
− R ln 2 = c p ln 02 − R ln 02
T1
p1
T01
p01
p
Δp
Δs
= − ln 02 ≅ 0
R
p01 p01
Δp0 = p01 − p02
p02
T2
p2
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Stati di Ristagno o Totali
Stati Critici
Se gli stati di ristagno sono quelli corrispondenti al valore nullo del numero di Mach a
valori unitari dello stesso corrispondono i cosiddetti stati critici.
Per cui ponendo M = 1 nelle precedenti si ha ( a lato si riportano i valori del rapporto
valori totali e critici per l’aria γ=1.4) :
∗
⎛ 2 ⎞
p
⎟⎟
= ⎜⎜
p0
⎝γ +1⎠
γ /( γ − 1 )
⎛ p∗ ⎞
⎜⎜
⎟⎟
= 0 . 528
⎝ p 0 ⎠ γ =1 .4
ρ
ρ
⎛ 2 ⎞
T ∗
⎟⎟
= ⎜⎜
T0
⎝ γ +1⎠
⎛T ∗
⎜⎜
⎝ T0
⎞
⎟⎟
⎠γ
∗
0
⎛ 2 ⎞
⎟⎟
= ⎜⎜
+
1
γ
⎝
⎠
1
γ −1
⎛ ρ
⎜⎜
⎝ ρ
∗
0
⎞
⎟⎟
⎠γ
= 0 . 634
= 1 .4
= 0 . 833
= 1 .4
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Tabelle relazioni isentropiche
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Moto Monodimensionale - Comprimibile
Un flusso si può considerare monodimensionale quando:
• è possibile identificare una componente di moto principale;
• è possibile, con buona approssimazione definire quantità medie sulla sezione ;
• Le disuniformità trasversali sono modeste rispetto al moto principale ( Raggi di
curvatura asse condotto grandi rispetto diametro condotto);
•Si considerino allora le tre Eq. Di Bilancio viste per Incomprimibile che si modificano
per considerare che ρ non è Costante :
Bilancio Massa:
Bilancio di Quantità di Moto
Bilancio di Energia
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Il bilancio di massa
Ripetendo le considerazioni fatte nel caso incomprimibile per la sezione infinitesima
di condotto di lunghezza ds, si ha che la conservazione della massa stabilisce: per un
sistema aperto, in condizioni stazionarie in un intervallo di tempo unitario la massa
entrante nella sezione s dovrà essere uguale a quella uscente dalla sezione s+ds.
(ρAU )s = (ρAU )s + ds
U+dU
(ρAU )s + ds = (ρAU )s + ∂(ρAU )
∂s
∂ (ρAU )
=0
∂s
U
ds
s
⇒ ρAU = cost (1)
Nel caso di flusso comprimibile, essendo la densità può variare qiondi l’espressione
non può essere semplificata. Se poi il condotto è anche a sezione è costante si ha
ρU=cost
NOTA: La costante è spesso l’incognita
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Il bilancio di quantità di moto (1)
Consideriamo come volume di controllo una sezione infinitesima di condotto di
lunghezza ds. Per la seconda legge della dinamica e in condizioni di moto
permanente la risultante delle forze esterne agenti sul volume di controllo dovrà
essere uguale alla variazione della quantità di moto.
Consideriamo quindi tutte le forze esterne agenti sul vol. di controllo:
Azioni di pressione sulle sup. 1 e 2
τ
2
θ
1
τ
v
U
ρgdV
s
U+dU
⎡
d ( pA) ⎤
d ( pA)
dF1 = ( pA)1 − ( pA)2 = ( pA)1 − ⎢( pA)1 +
ds ⎥ = −
ds
ds
ds
1
1
⎣
⎦
Azioni di pressione sulle sup. laterali (in dir. s)
dp ⎞
dA
⎛
dF2 = ⎜ p + ⎟dA = pdA = p
ds
2
ds
⎝
⎠
Azioni di attrito sulle sup. laterali
dF3 = −τ ⋅ (S l ) = −τ ⋅ (Cl )ds = − Dds
Sl= superfice laterale del volume di controllo= Cl(perimetro)ds
D = Sforzo di taglio risultante
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Il bilancio di quantità di moto (2)
Forza peso (proiezione lungo s)
dA ⎞
dA ⎞
dz
⎛
⎛
dF4 = − ρgdV sin(θ ) = − ρg ⎜ A +
⎟dz = − ρgAdz = − ρgA ds
⎟ds ⋅ sin(θ ) = − ρg ⎜ A +
ds
2 ⎠
2 ⎠
⎝
⎝
Variazione QdM
⎛
⎞
dU
dU
ΔQdM = (ρAU )U 2 − (ρAU )U1 = (ρAU )⎜⎜U1 +
ds − U1 ⎟⎟ = (ρAU )
ds
ds 1
ds 1
⎝
⎠
(
)
2
⎛
ρ
d
AU
2
ΔQdM = (ρAU )U 2 − (ρAU )U1 = ⎜ ρAU 1 +
ds − ρAU 2
⎜
ds
1
⎝
(
)
(
(
)
⎞ d ρAU 2
⎟
ds
1⎟ =
ds
1
⎠
)
Bilancio di quantità di moto
(
)
d ρAU 2
dU
ΔQdM =
ds = (ρAU )
ds = dF1 + dF2 + dF3 + dF4
ds
ds
1
1
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Il bilancio di quantità di moto (3)
Variazione QdM
(
)
d ( pA)
dA
dz
d ρAU 2
dU
ds + p
ds − Dds − ρgA ds
ds = (ρAU )
ds = −
ds
ds
ds 1
ds 1
ds
1
dA( p + ρU )
dz dA
= −gρ ⋅ A + p − D
ds
ds
ds
2
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Il bilancio di quantità di moto (4)
Semplificando, tenuto conto della Continuità e dividendo tutto per ρA
dz 1 dp
dU
= −g ⋅ − ⋅ − D/(ρA)
U⋅
ds ρ ds
ds
Integrando fra due sezioni, diviso x g
2
2
U 22 U12
dp
D
ds
−
+ ( z 2 − z1 ) + ∫
= −∫
2g 2g
ρg
ρgA
1
1
Si noti che ora l’integrale di non è automatico ma dipende dal legame p e ρ.
La forma più utile nel comprimibile, trascurando la quota è:
dA(ρu 2 + p)
dA
= p −D
ds
ds
Moti 1D Comprimibili- Termodinamica 28
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(2)
Fluidodinamica
Dipartimento di Ingegneria Industriale
Il bilancio di Energia (1)
Consideriamo come volume di controllo una sezione infinitesima di condotto di
lunghezza ds. Per la prima legge della termodinamica e in condizioni di moto
permanente il flusso di energia interna dovrà uguagliare il calore scambiato ed il
lavoro fatto sul siatema: Si noti che le forze di attrito non compiono lavoro
agendo su pareti fisse, pertanto ler uniche forze che compiono lavoro
sono le pressioni in/out
Energia del sistema Sotto forma di
τ
2
θ
1
τ
s
U+dU
v
U
Energia Interna
= e
Cinetica
U2/2;
Potenziale
gz
(U2/2 +e+gz)1 - (U2/2 +e+gz)2
Lavoro delle pressioni
ρgdV
d ( pdV ) ⎞
⎛
⎛ d ( pdV ) ⎞
dL p = ( pdV )1 − ⎜ ( pdV )1 +
ds ⎟ = −⎜
⎟ ds
ds
ds
⎝
⎠
⎝
⎠
Moti 1D Comprimibili- Termodinamica 29
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Fluidodinamica
Dipartimento di Ingegneria Industriale
• Bilancio di Energia (2)
•Variazione dell’Energia nell’Unità di tempo
•
d ( e + U 2 / 2 + gz )
(UA ρ )
ds = d E
ds
•Lavoro forze pressione per unità di tempo
dW p =
⎛ d( p / ρ)
⎞
= −⎜
( ρUA) ⎟ ds
dt
⎝ ds
⎠
dL p
•Bilancio Energia: Ripetendo esattamente le considerazioni del caso incomprimibile per la 1
•
legge della termodinamica e detto δ Q
•
il calore scambiato nell’unità di tempio si ha:
•
d E = δ Q + dW p
•si ha la forma differenziale :
d ( e + p / ρ + U 2 / 2 + gz ) d q
=
ds
ds
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Fluidodinamica
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•Bilancio Energia (3):
•Si noti che q è il calore scambiato per unità di massa
•La Presenza di dispositivi per la cessione/estrazione di Energia; Il procedimento Rimane valido:
ma si aggiunge un termine rappresentativo : ovvero il Δh; nella formulazione Integrata:
( e + p / ρ + u 2 / 2 + gz ) 2 = ( e + p / ρ + u 2 / 2 + gz )1 + Δ q + Δ h p / T
( h + u 2 / 2 + gz ) 2 = ( h + u 2 / 2 + gz )1 + Δ q + Δ h p / T
dQ&
•Se il calore scambiato è fornito in potenza termica per unità di lunghezza:
ds
&
⎛ dQ ⎞
⎜⎜ Δs ⎟⎟/( ρuA)
Δ
=
q
che Δq dovrà essere calcolato :
⎝ ds ⎠
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si ricordi
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•Bilancio di Energia (4)
•Una interessante formulazione nel caso Adiabatico :q=0 , e trascurando le quote è:
d (e + p / ρ + U / 2)
=0
ds
u2
h+
= h0
2
2
h = c p ⋅T ;
a = γ ⋅ R ⋅T
2
2
cp
a2
a2
2
; h = cp ⋅
=a ⋅
=
γ ⋅R
γ ⋅ R γ −1
2
2
0
a
a u
+ =
(γ −1) 2 (γ −1)
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•Poiché spesso le variazioni di quota sono modeste , il termine gz:viene
trascurato nelle
gz
equazioni:
d ( ρAu )
=0
ds
dA(ρu + p)
dA
= p −D
ds
ds
2
d ( h + u 2 / 2 ) dq
=
ds
ds
(ρAu) = Costante
No Attrito
(ρu 2 + p) = I = Costante
Area Costante
2
(
h
+u
/ 2) =Costante
o
c
i
erm
T
o
i
mb
a
c
S
No
2
2
2
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a0
a u
+ =
(γ −1) 2 (γ −1)
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