Algoritmi

Algoritmi
1
Analisi e Programmazione
• I Calcolatori Elettronici si differenziano da altri tipi
di “macchine” per il fatto che possono essere
“predisposti” alla risoluzione di problemi di
diversa natura.
• A tale scopo, è necessario “indicare” al
Calcolatore quale è il problema che deve essere
risolto.
2
Analisi e Programmazione
• Per Analisi e Programmazione si intende l’insieme delle attività
necessarie per la risoluzione dei problemi per mezzo di un
Elaboratore, dalla formulazione del problema alla
predisposizione dell’Elaboratore.
Analisi e Programmazione
Problema
Risultati
• Scopo dell’analisi è definire un Algoritmo: elenco finito di
istruzioni necessarie per risolvere una classe di problemi; in
generale non può essere eseguito da un elaboratore;
• Scopo della programmazione è definire un Programma. Un
programma è la descrizione comprensibile ed eseguibile di un
algoritmo da parte di un elaboratore.
3
Algoritmi e Programmi
Problema
Analisi
Algoritmo
Programmazione
Programma
Risultati
4
Algoritmi
•
•
•
Il termine Algoritmo deriva dal nome di un
matematico arabo al-Khuwarizmi (IX sec d.C.).
Definizione formale: un Algoritmo è una
successione ordinata di “istruzioni” (o passi)
che definiscono le operazioni da eseguire su
dei “dati” per risolvere una classe di problemi.
Ogni problema corrisponde a dei dati sui quali
l’Algoritmo opera e i risultati sono la soluzione
a quel problema.
5
Algoritmi: un esempio
•
•
•
•
Problema: Calcolo del Massimo Comune Divisore
(M.C.D.) tra due numeri interi positivi a e b.
Algoritmo di Euclide (300 a.c.): si basa sul fatto che
ogni divisore comune ad a e b è anche divisore del
resto r della divisione intera di a con b, se a > b ed
r ≠ 0. Se r = 0, allora b è il M.C.D. richiesto.
Quindi, dalla regola a × q + r = b con q ed r
quoziente e resto della divisione, si ha:
M.C.D.(a,b) = M.C.D.(b,r) se r ≠ 0,
M.C.D.(a,b) = b se r = 0.
6
Algoritmo di Euclide per
M.C.D(a,b)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
inizio dell’algoritmo;
acquisisci i valori di a e b dall’esterno;
se b > a scambia tra loro i valori di a e b;
calcola il resto r della divisione intera di a con b;
se r = 0 allora comunica b all’esterno e vai al passo 7;
se r ≠ 0 sostituisci il valore di a con il valore di b ed il
valore di b con il valore di r e vai al passo 4;
fine dell’algoritmo.
7
Algoritmi
•
•
•
Le istruzioni di un Algoritmo devono essere
eseguite nello stesso ordine nel quale si
presentano.
Quindi il “flusso” va sempre in un’unica direzione,
dalla prima all’ultima istruzione.
Sono ammessi “salti” e “cicli” (vedi esempio
Algoritmo M.C.D.).
8
Proprietà degli Algoritmi
•
Esistono dei precisi requisiti che devono essere soddisfatti affinché
un elenco di istruzioni possa essere considerato un Algoritmo:
1.
2.
3.
Finitezza: un Algoritmo deve essere finito, ossia ogni istruzione
deve essere eseguita in un tempo finito e un numero finito di
volte;
Generalità: Ogni algoritmo deve fornire soluzione per tutti i
problemi appartenenti ad una data classe, ed essere applicabile
a tutti i dati appartenenti al suo insieme di definizione o dominio
producendo risultati che appartengono al suo insieme di arrivo o
codominio.
Non ambiguità: devono essere definiti in modo univoco tutti i
passi; devono essere evitati paradossi, contraddizioni ed
ambiguità. In pratica significa che il significato delle istruzioni
deve essere sempre lo stesso, indipendentemente dalla persona
che esegue l’Algoritmo.
9
Proprietà degli Algoritmi
•
Consideriamo l’Algoritmo di Euclide per il M.C.D. e
verifichiamo che effettivamente sia un Algoritmo:
1. E’ finito in quanto il resto r prima o poi diventa
nullo, ponendo termine al processo di calcolo.
2. E’ generale in quanto permette di calcolare il
M.C.D. di due qualunque numeri interi positivi.
3. E’ non ambiguo perché sono considerate tutte le
situazioni possibili e per ogni situazione le azioni
da compiere sono ben specificate.
10
Descrizione degli Algoritmi
•
•
•
Il linguaggio naturale non è adatto a descrivere gli
algoritmi in quanto ambiguo e ridondante.
E’ necessario adottare un linguaggio generalizzato
costituito da strutture linguistiche prive di ambiguità e
ridondanze;
Le proposizioni presenti in un Algoritmo sono composte
da due componenti fondamentali:
1.
2.
Descrizione delle operazioni da eseguire (Istruzioni);
Descrizione degli oggetti sui quali effettuare le operazioni
(Dati).
11
Dati
•
•
Costanti: mantengono lo stesso valore durante
l’esecuzione dell’intero Algoritmo.
Variabili: sono costituite da coppie <nome,valore>.
1.
2.
3.
Il nome della variabile non cambia durante l’esecuzione e
la identifica all’interno dell’algoritmo.
Il valore deve appartenere ad un insieme detto insieme di
definizione, che è l’insieme di tutti i possibili valori che la
variabile può assumere.
All’insieme di definizione sono associate delle regole di
manipolazione per operare sui suoi elementi (es. le
operazioni aritmetiche su interi positivi).
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Dati: esempio M.C.D.(16,24)
Istruzione
a
b
r
2
16
24
Non definito
3
24
16
Non definito
4
24
16
8
6
16
8
8
4
16
8
0
13
Dati
•
Vettori: sono variabili contenenti insiemi di valori
(detti elementi del vettore).
–
–
–
Tutti i valori devono appartenere allo stesso insieme di
definizione.
Il numero di elementi contenuti in un vettore è detto
dimensione del vettore.
Ogni elemento è indicato tramite un indice che ne
identifica la posizione all’interno del vettore (es. V(1) è il
primo elemento del vettore V, V(n) l’ultimo se n è la
dimensione del vettore).
14
Dati
•
Matrici: sono generalizzazioni dei vettori ad un
numero arbitrario di dimensioni.
–
–
Nelle matrici a due dimensioni gli elementi vengono
individuati tramite due indici, detti riga e colonna.
Ad esempio M(3,4) indica l’elemento contenuto nella terza
riga e nella quarta colonna della matrice M.
15
Istruzioni
•
Istruzione di assegnazione: imposta il valore
corrente di una variabile. Si indica con
nome di variabile ← espressione
– espressione è una stringa di costanti, nomi di
variabili ed operazioni.
– nome di variabile indica la variabile il cui valore
deve essere impostato al risultato di espressione.
– I valori delle variabili contenute nell’espressione
rimangono inalterati.
– Esempi: a ← b, x ← a + 2.
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Istruzioni: categorie principali
1. Istruzioni operative (Azioni): producono risultati
se eseguite (es. istruzione di assegnazione);
2. Istruzioni di controllo: in funzione del verificarsi di
condizioni determinano l’esecuzione di alcune
istruzioni piuttosto che di altre;
3. Istruzioni di salto: alterano il normale ordine di
esecuzione delle istruzioni;
4. Istruzioni di inizio e fine esecuzione;
5. Istruzioni di Input/Output: trasmissione dati o
messaggi fra l’ambiente esterno e l’algoritmo.
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Proposizioni e predicati
• Come sono espresse le condizioni nelle istruzioni di
controllo?
– Le istruzioni di controllo verificano se una condizione è vera o falsa.
– La condizione viene espressa per mezzo di predicati.
• Proposizione:
Costrutto del quale si può dire se è vero o falso.
• Predicato:
Una proposizione è un Predicato se in essa appaiono delle
variabili e il valore di verità delle variabili determina il valore di verità
della proposizione.
I predicati si esprimono con operatori logici e relazionali.
- Predicati Semplici: predicati di un solo operatore relazionale (>, <, M);
- Predicati Composti: predicati con almeno un operatore logico (AND,
OR, NOT).
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Operatori Relazionali
•
•
•
•
•
•
=
≠
>
<
≥
≤
uguale
diverso
maggiore
minore
maggiore o uguale
minore o uguale
19
Operatori Logici e Tavole di
Verità
• Tavole di Verità:
– descrivono i valori di verità dei predicati in funzione dei valori di
verità delle singole parti.
– Esprimono le modalità con cui operano gli operatori logici.
• Esempi:
A
B
A and B
A
B
A or B
A
not A
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
20
Esempi di Predicati
•
•
•
•
età > 30 (Predicato semplice)
età ≥ 30 AD età ≤ 50
età > 30 OR età < 50
sempre vera!
OT età > 50
21
Diagrammi a Blocchi
• Linguaggio generalizzato per la descrizione di
Algoritmi;
• Un Diagramma a Blocchi (o Diagramma di
Flusso) è la rappresentazione grafica di un
Algoritmo.
• Viene rappresentata la sequenza (il flusso)
delle istruzioni in una forma elementare.
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Diagrammi a Blocchi
• Ad ogni tipo di istruzione (esclusi i “salti”) è associato un
particolare simbolo grafico detto blocco elementare.
• I blocchi sono collegati tra loro tramite frecce che
indicano la “direzione del Flusso”.
Inizio
V
Lettura
Scrittura
Azioni
F
Controllo
Fine
23
Diagrammi a Blocchi
•
Un diagramma a blocchi è un insieme di
blocchi costituito da:
– un blocco iniziale,
– un numero finito n ≥ 1 di blocchi azione e/o
blocchi di lettura/scrittura,
– un numero finito m ≥ 0 di blocchi di controllo,
– un blocco finale.
•
Questo insieme di blocchi deve rispettare le
cosiddette condizioni di validità.
24
Diagrammi a Blocchi:
Condizioni di Validità
• ciascun blocco azione o di lettura/scrittura ha una
sola freccia entrante e una sola freccia uscente,
• ciascun blocco di controllo ha una sola freccia
entrante e due uscenti (Vero o Falso),
• ciascuna freccia entra in un blocco o si innesta su
un’altra freccia (ad esempio nei salti),
• ogni blocco è raggiungibile dal blocco iniziale,
• il blocco finale è raggiungibile da qualsiasi altro
blocco.
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Diagrammi a Blocchi:
M.C.D(a,b)
begin
leggi
a, b
falso
b>a
r ← a mod b
vero
x←a
a←b
b←x
b←r
a←b
falso
r=0
vero
scrivi
b
end
26
Diagrammi a Blocchi: M.C.D(a,b)
•
Osservazioni sul diagramma precedente:
– L’operazione “scambiare i valori di a con b” è
realizzata con l’ausilio di una variabile di
appoggio x; questo è necessario in quanto
l’assegnazione è un’operazione distruttiva:
• La sequenza a ← b, b ← a, avrebbe
cancellato il valore della variabile a, e
conservato solo quello di b.
– La funzione “mod” calcola il resto della divisione
tra due numeri interi.
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Analisi Strutturata
• Procedimento che permette di ottenere descrizioni di
algoritmi che siano facilmente documentabili e
comprensibili;
• Un diagramma a blocchi è strutturato se:
– è costituito da un blocco iniziale, almeno un blocco
di azione o lettura/scrittura ed un blocco finale,
– è costituito da blocchi collegati tramite i seguenti
schemi di flusso strutturati:
• Schema di sequenza
• Schema di selezione
• Schema di iterazione
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Schema di sequenza
• Nota: il seguente schema
è strutturato se e solo se
sono strutturati gli schemi
S1, S2, M, Sk
begin
S1
S2
SK
end
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Schema di selezione
• Contiene un blocco di controllo che opera in uno dei seguenti modi:
– Caso 1: subordina l’esecuzione di uno schema di flusso SV alla
soddisfazione della condizione C.
– Caso 2: permette di scegliere quale schema di flusso eseguire
tra due schemi indicati SV ed SF.
begin
Nota: i seguenti
schemi sono
strutturati se e solo se
sono strutturati gli
schemi Sv e SF.
falso
C
begin
vero
SV
end
falso
C
vero
SV
SF
end
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Schema di iterazione
• Permette di eseguire più volte un determinato schema di flusso S.
– Iterazione per vero: lo schema S viene eseguito finché una
condizione C è vera.
– Iterazione per falso: lo schema S viene eseguito finché una
condizione C è falsa.
Nota: i seguenti schemi
sono strutturati se e
solo se è strutturato lo
schema S.
begin
begin
S
S
C
end
vero
falso
C
end
31
Schema di iterazione
•
Detto anche ciclo o loop, si distingue anche per la posizione della
“condizione di fine ciclo”:
– Controllo in Testa: la condizione viene verificata prima dell’esecuzione
dell’Iterazione (che quindi può anche non essere eseguita).
– Controllo in Coda: la condizione viene verificata dopo aver eseguito
l’Iterazione (viene eseguita almeno una volta).
Iterazione per vero
con controllo in testa
Inizializzazione
Iterazione
Condizione
V
Inizializzazione
Condizione
F
Iterazione per falso
con controllo in coda
F
V
Iterazione
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Schema di iterazione
• Un ciclo è detto enumerativo (o definito) quando è noto a priori il
numero di volte che deve essere eseguito.
– Si usa la tecnica del contatore per controllarne l’esecuzione: si
usa una variabile detta contatore del ciclo che viene
incrementata (o decrementata) fino a raggiungere un valore
prefissato.
• Un ciclo è indefinito quando non è noto a priori il numero di volte
che deve essere eseguito.
– Questo accade quando la condizione di fine ciclo dipende dal
valore di una o più variabili che o dipendono dall’interazione con
l’esterno o vengono modificate all’interno dell’iterazione in modo
complesso.
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Diagrammi a blocchi: un altro
esempio
• Problema: Dato un vettore V contenente N numeri interi,
calcolarne il valore massimo.
• Algoritmo: scorrere il vettore V dal primo all’ultimo
elemento (iterazione) e trovare il massimo (max):
– Suppongo che max coincida con il primo elemento di
V e lo confronto con il secondo elemento, se questo
è maggiore di max aggiorno il valore di max.
– Ogni elemento di V viene confrontato con max.
34
Diagrammi a blocchi: Max(V) con N = 100
falso
35
Algoritmi Ricorsivi
• Un algoritmo si dice ricorsivo quando è
definito in “termini di se stesso”;
• E’ un approccio alternativo allo schema
iterativo;
• È costituito da due parti:
1. Passo base
(stabilisce il risultato per valori precisi dei dati iniziali);
2. Passo di induzione
(risultato per n in funzione del risultato per n-1).
36
Principio di Induzione
•
Un Algoritmo è definibile ricorsivamente se
vale il Principio di Induzione:
–
Sia Pn una proposizione di cui si può dire se è
vera o falsa, allora:
Hp) Sia P0 vera;
Supponendo Pn-1 vera, si dimostra che Pn
è vera;
Ts) Pn è vera ∀n.
37
Esempi di algoritmi ricorsivi
• Potenza (definizione iterativa):
a b = a1⋅ 42
a ⋅ ........
⋅a
43
b volte
• Potenza (definizione ricorsiva):
b=0
1
a =
b −1
a
a
b≠0
⋅

b
38
Esempi di algoritmi ricorsivi
• Fattoriale (definizione iterativa):
n! = n ⋅ (n − 1) ⋅ ... ⋅ 1
• Fattoriale (definizione ricorsiva):
n=0
1
n! = 
n ⋅ (n − 1)! n ≠ 0
39
Diagramma a blocchi del
Fattoriale Iterativo
Inizio
i ←1
F
fatt ← 1
i≤n
V
fatt ← fatt ⋅ i
i ← i +1
Fine
40
Diagramma a blocchi del
Fattoriale Ricorsivo
Inizio
V
n=0
F
fatt ← n ⋅ (n −1 )!
fatt ← 1
Fine
41
Sviluppo del Fattoriale
Ricorsivo
4! = 4 ⋅ 3!
4! = 4 ⋅ 3! = 4 ⋅ 6 = 24
3! = 3 ⋅ 2!
3! = 3 ⋅ 2! = 3 ⋅ 2 = 6
2! = 2 ⋅ 1!
2! = 2 ⋅ 1! = 2 ⋅ 1 = 2
1! = 1 ⋅ 0!
Passo base
1! = 1 ⋅ 0! = 1 ⋅ 1 = 1
0! = 1
42
Algoritmi
Metodo delle scomposizioni successive
o approccio Top-Down
•
•
•
•
Metodo di analisi utile nel caso di Algoritmi per
problemi complessi.
In pratica consiste nello scomporre il problema da
risolvere in k sottoproblemi indipendenti, elaborando
per ciascuno un possibile Algoritmo.
Se il sottoproblema i-esimo, con i=1,..,k, risulta
ancora troppo complesso, si procede ad una
ulteriore scomposizione.
Esempio generico: si pensi allo schema di
Sequenza.
43
Complessità degli Algoritmi
•
Si definisce Complessità di un Algoritmo C(A) la
funzione dei parametri rilevanti per A che
determina il numero di operazioni necessarie per
l’esecuzione di A. Quindi:
C ( A) = f (n1 , n2 ,..., nk )
• Esempio: nel caso dell’Algoritmo per il calcolo del
Massimo di un vettore, il solo e unico parametro
rilevante è la dimensione N del vettore stesso: in tal
caso si dirà che la complessità di A è proporzionale
a f(N), e si indica:
C ( A) = Ο( f ( ))
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