Dinamica IV Sistemi di punti

Dinamica dei sistemi di punti
Forze interne ed esterne
Consideriamo n punti materiali di massa:
m1,m
2
,.........
m i,m
j
,.........
m
n
interagenti tra loro e con l’universo esterno
La forza Fi agente sull’i-esimo punto è data dalla risultante delle forze esterne agenti sul punto
Fi(E) e delle forze esercitate dagli altri n-1 punti: forze interne al sistema Fi(I):
Fi = Fi (E) + Fi (I)
Le forze interne sono quelle scambiate tra i punti. La natura delle forze interne può essere
qualsiasi, ad esempio tensioni dei fili, forze elastiche, elettriche e magnetiche, gravitazionali, etc.
Le forze esterne sono dovute all’interazione tra il sistema ed il mondo esterno
Per le forze interne per il III principio della dinamica :
Fi , j = −Fj,i
Le forze esterne si possono indicare come:
Fi
A.Romero
(E)
, Fj
(E)
Dinamica IV -Sistemi di punti
,...
1
y
Forze interne ed esterne
Fi, j
Fj,i
ri
In genere la risultante delle forze interne agenti sull’i-esimo punto
Fi(I) non è nulla, ma
rj
la risultante di tutte le forze interne R(I) del sistema è nulla,
O
x
perché in base al principio di azione e reazione esse sono uguali a
due a due ed opposte.
Risultante delle forze interne agenti sull’i-esimo punto Fi( I ) = ∑ Fi , j
i, j
(I)
Risultante di tutte le forze interne del sistema R = ∑ Fi
(I)
i
= ∑ Fi , j = 0
i, j
Sommando vettorialmente tutte le forze interne ed esterne che
agiscono sul sistema si ottiene:
R = R ( I ) + R ( E ) = R ( E ) = ∑ Fi
(E)
i
A.Romero
Dinamica IV -Sistemi di punti
2
Sistemi di punti
Consideriamo n punti materiali:
m
1
,m
2
,.........
m
i
,m
j
m
,.........
Per ciascun punto P, è possibile definire in un sistema di riferimento inerziale:
La posizione:
r1 , r2 ,.........ri , r j ,.........rn
La velocità:
v1 , v 2 ,.........v i , v j ,.........v n
La quantità di moto:
p1 ,p 2 ,.........p i ,p j ,.........p n
L’accelerazione:
Il momento angolare:
con: p j = m j v j
Fj
a1 , a 2 ,.........ai , a j ,.........a n
con: a j =
L1 ,L 2 ,.........L i ,L j ,.........L n
con: L j = rj × m j v j
mj
E k ,1 , E k , 2 ,.........E k ,i , E k. j ,.........E k ,n con: E k , j = 1 m j v 2j
L’energia cinetica:
2
y
vi
vj
ri
rj
O
A.Romero
Dinamica IV -Sistemi di punti
x
3
n
Sistemi di punti
m
Consideriamo n punti materiali:
1
,m
2
,.........
m
i
,m
j
m
,.........
Per il sistema complessivo , è possibile definire inoltre le grandezze:
m = ∑ mi
Massa totale:
i
Quantità di moto totale:
P = ∑ p i =∑ m i v i
Momento angolare totale:
L = ∑ L i = ∑ ri × m i v i
i
i
i
i
1
E k = ∑ E k ,i = ∑ m i v i2
i 2
i
L’energia cinetica:
y
vi
vj
ri
rj
O
A.Romero
x
Dinamica IV -Sistemi di punti
4
n
Centro di massa
Si definisce centro di massa di un sistema di punti materiali
il punto geometrico la cui posizione è individuata dal raggio vettore:
rCM =
∑ mi ri
i
∑ mi
∑ m i ri
rCM =
i
∑mi
i
i
∑mi x i
x CM =
In componenti
i
∑ mi
∑mi yi
y CM =
i
i
∑mi
i
=
m1r1 + m 2 r2 + ... + m n rn
m1 + m 2 + .... + m n
∑mi zi
z CM =
i
∑mi
i
NOTA: La posizione del centro di massa rispetto ai punti non dipende dal sistema di
riferimento, le sue coordinate variano con il sistema scelto.
Ad esempio in figura è rappresentato il centro di massa
nei due sistemi O e O’: r'i = ri + O'O
∑mir'i
r'CM =
i
∑mi
i
A.Romero
=
∑ mi (ri + O'O)
i
∑ mi
i
=
∑ mi (ri )
i
∑ mi
+
m
O'O = rCM + O'O
m
i
Dinamica IV -Sistemi di punti
5
Centro di massa - Esempio
Date le coordinate e le masse di tre punti: P1 (3,-2, 0) , P2 (-2, 4, -2) , P3 (3,-2, 0) ,
m1= 1 kg, m2=3kg, m3=2Kg, trovare il centro di massa
:
∑mi x i
∑ m i ri
m r + m r + ... + m r
rCM =
i
∑mi
=
1 1
2 2
x CM =
n n
m1 + m 2 + .... + m n
i
∑ mi
i
i
x CM =
∑mi yi
y CM =
i
∑mi
i
∑mi zi
z CM =
i
∑mi
i
1⋅ 3 − 3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 3 − 6 + 6 1
=
=
1+ 2 + 3
6
2
y CM =
− 1 ⋅ 2 + 3 ⋅ 4 − 2 ⋅ 2 − 2 + 12 − 4 6
=
= =1
1+ 2 + 3
6
6
z CM =
1⋅ 0 − 3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 0 0 − 6 + 0 − 6
=
=
= −1
1+ 2 + 3
6
6
A.Romero
Dinamica IV -Sistemi di punti
6
Centro di massa
Se gli n punti sono in movimento normalmente la posizione del centro di massa cambia, ed
è possibile dunque studiarne la variazione col tempo:
dri
dr
d i
dt
= CM =
= i
dt
dt ∑ mi
∑ mi
∑ mi ri
v CM
∑ mi v i
v CM
i
∑ mi
i
P
P
=
=
=
∑ mi ∑ mi m
Quantità di moto totale:
i
i
massa totale:
P = ∑ mi vi
i
m = ∑ mi
i
i
P = ∑ m i v i = mv CM
i
La quantità di moto totale (prima definita) coincide con
la quantità di moto del centro di massa, considerato come un punto materiale
che ha la posizione rCM, velocità vCM e massa pari alla massa totale del
sistema.
A.Romero
Dinamica IV -Sistemi di punti
7
moto del centro di massa
Variazione della velocità del centro di massa.Derivando la velocità rispetto al tempo:
∑mi vi
a CM =
dv CM d i
=
=
dt
dt ∑ m i
i
Sostituendo
a CM =
dv i
∑ miai ∑ m ia i
dt
= i
= i
∑mi
m
∑mi
∑mi
i
i
(E)
∑ Fi ∑ (Fi + Fi( I) )
i
m
=
i
m
Essendo:
ma i = Fi = Fi (E) + Fi (I)
i
(
)
ma CM = ∑ F ( E ) + Fi( I ) = ∑ F ( E ) + ∑ F ( I ) = R ( E ) + R (I) = R ( E )
i
i
i
i
i
i
maCM = R(E)
Il centro di massa si sposta come un punto materiale in cui sia concentrata tutta la
massa del sistema e a cui sia applicata la risultante delle forze esterne.
R
(E)
dP
d
dv CM
=
(
m
v
)
=
= ma CM = m
CM
dt
dt
dt
La risultante delle forze esterne è eguale alla derivata rispetto al tempo della
quantità di moto totale del sistema :Il moto del centro di massa è determinato
solo dalle forze esterne. L’azione delle forze interne non può modificare lo stato del
moto del centro di massa
A.Romero
Dinamica IV -Sistemi di punti
8
Esempio: trovare moto del centro di massa di un insieme di
punti soggetti solo alla gravità
Essendo le ai = g:
a CM =
∑ m iai
i
∑ mi
=
g∑ mi
i
m
gm
=
=g
m
i
Conservazione della quantità di moto
Se il sistema di punti considerato è isolato o soggetto a forze esterne tali che la
risultante è nulla:
R
(E)
=0
dP
=0
dt
P = cost
mv CM = cost
Principio di conservazione della quantità di moto per un sistema di punti
Quando la risultante delle forze esterne è nulla, la quantità di moto totale del sistema rimane
costante ed il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme o resta in quiete.
le quantità di moto dei vari punti in generale variano nel tempo
mv i ≠ cost
Il Principio di conservazione della quantità di moto di un sistema isolato discende
dalla omogeneità dello spazio, non c’e sistema di riferimento privilegiato
A.Romero
Dinamica IV -Sistemi di punti
9
Conservazione della quantità di moto
Si considerino due punti isolati, che possono interagire solo tra di loro:
P = p 1 + p 2 = m1 v1 + m 2 v 2 = costante
dP d
= (m1 v1 + m 2 v 2 ) = m1a1 + m 2a 2 = 0
dt dt
F1 + F2 = 0
F1 = −F2
Il principio di conservazione della quantità di moto per un sistema isolato di due punti,
ha come conseguenza il fatto che le forze che si esercitano tra i due punti sono uguali in
modulo e di verso opposto.
Se si considerano due masse ferme agli estremi di una molla compressa
CM fermo ⇒ P=0
m1 v 1 + m 2 v 2 = 0
m 2 = − m1
v1
v2
Il principio di conservazione della quantità di moto permette di definire dinamicamente la
A.Romero
Dinamica IV -Sistemi di punti
10
massa indipendentemente dalla forza peso.
Centro di massa e Momento angolare
Ragionamenti analoghi a quelli fatti per la quantità di moto
possono essere fatti per il momento angolare di un singolo
punto e del centro di massa.
L i = ri × mi v i
∑r × m v = ∑L
i
i i
i
i
=L
i
Anche in questo caso possiamo vederne il comportamento al variare del tempo:
dL d
=
dt dt
A.Romero
∑
i
Li =
d
dt
∑r × m v
i
i i
i
Dinamica IV -Sistemi di punti
11
Centro di massa e Momento angolare
Ipotesi: il polo O rispetto a cui si calcola il momento L sia fisso
Proseguendo con i calcoli.
dL d
d
= ∑ L i = ∑ ri × mi v i =
dt dt i
dt i
dr
dv
= ∑ i × mi v i + ∑ ri × mi i =
dt
i dt
i
Essendo il sistema di riferimento inerziale:
m i a i = Fi = Fi( E ) + Fi( I )
= ∑ v i × m i v i + ∑ ri × m i a i = ∑ ri × Fi
i
i
i
Momento delle forze esterne Momento delle forze interne
=0
dL
(e)
= ∑ ri × (Fi( E ) + Fi( I ) ) = ∑ ri × Fi + ∑ ri × Fi , j = M ( E) + M ( I )
dt i
i
i, j
M(I)=0 infatti se si calcola la somma dei momenti delle due forze interne rappresentate in figura:
M i,(I)j = r j × Fi , j + ri × Fj,i = r j × Fi, j − ri × Fi, j =(r j − ri ) × Fi , j = ri, j × Fi , j
ri,j
A.Romero
M i,(I)j = 0
perchè
ri, j // Fi , j
12
Centro di massa e Momento angolare
dL
= M ( E) + M ( I )
dt
=0
dL
= M ( E) = ∑ ri ×Fi( E )
dt
i
Teorema del momento angolare
Se il polo O, rispetto a cui si calcola il momento L è fisso nel sistema di riferimento
inerziale, l’evoluzione nel tempo del momento angolare del sistema di punti è
determinata dal momento delle forze esterne rispetto a O, mentre le forze interne non
portano contributi
A.Romero
Dinamica IV -Sistemi di punti
13
Centro di massa e Momento angolare
E se il polo O si muove con una certa velocità vo?
dL d
d
dr
dv
= ∑ L i = ∑ ri × mi v i = ∑ i × mi v i + ∑ ri × mi i =
dt dt i
dt i
dt
i dt
i
dri d OPi
=
= vi − vo
dt
dt
Si muove sia O che Pi
dL
= ∑ (v i − v o ) × m i v i + ∑ ri × Fi = ∑ (v i − v o ) × m i v i + ∑ ri × (FiE + Fi( I) ) =
dt i
i
i
i
= ∑ v i × mi v i − ∑ v o × mi v i +∑ ri × (FiE + Fi( I ) ) = − ∑ v o × m i v i +M ( E ) + M ( I )
i
i
i
=0
=0
dL (E)
= M − vo ×∑mi vi
i
dt
Teorema del momento angolare
dL
(E)
= M − v o × mv CM per un sistema di punti con O che si
dt
muove con velocità v
o
v o × mv CM = 0
Se O coincide con CM:
Il termine
A.Romero
vo=0
vCM=0
In tutti questi casi:
Dinamica
IV -Sistemi di punti
vo//vCM
dL
= M ( E)
dt 14
Conservazione del momento angolare
dL
= M ( E ) − v o × mv CM
dt
dL
= M ( E)
dt
se
In una situazione in cui valga:
M
(E)
=0
dL
=0
dt
v o × mv CM = 0
L = costante
Se il momento delle forze esterne è nullo, il momento angolare rimane costante
Il momento delle forze
dL
= M ( E) = ∑ ri ×Fi( E ) = 0
dt
i
nei seguenti casi:
Non agiscono forze esterne: sistema isolato. In questo caso M=0, per qualsiasi polo O,
per cui valga:
v o × mv CM = 0
Il sistema non è isolato ma il prodotto vettoriale
∑ ri ×Fi( E ) = 0
In questo caso M=0
i
rispetto ad un determinato O ma non rispetto a qualsiasi polo. In questo caso si ha
conservazione del momento angolare solo se calcolato rispetto a quel dato polo O
A.Romero
Dinamica IV -Sistemi di punti
15
y'
Sistema di riferimento del centro di massa
i
Sistema di riferimento del centro di massa: è un sistema avente il
centro di massa come origine e gli assi fissi nella direzione
degli assi di un sistema Oxy inerziale.
y
r'
r
O
CM
x'
rCM
x
Il Sistema di riferimento del centro di massa è in genere non
inerziale ma traslatorio
r = r'+rCM
Dal teorema delle velocità relative con ω=0: v = v'+ v CM
Nel sistema del centro di massa O’=CM, ∑ m i r'i
r 'CM =
i
∑mi
=0
∑ m i r'i = 0
i
v'CM =
i
∑mi
=0
v'CM = 0
a'CM = 0
Nel sistema del centro di massa la quantità di
moto totale del sistema risulta nulla
i
∑ m i v'i
r'CM = 0
∑ m i v'i = 0
P' = ∑ m i v'i = 0
i
i
i
∑ m i a'i
a'CM =
=0
m
∑ i
A.Romero
i
i
∑ m i a'i = 0
i
Dinamica IV -Sistemi di punti
16
Sistema di riferimento del Centro di massa
r
r
r
r r
r
F' = ma ' = m(a − a OO ' ) = F − ma OO '
La forza che agisce su ogni punto può essere espressa come:
Fi '= m i a'i = Fi( I) + Fi( E ) − m i a CM
e sommando su tutti i punti:
∑ m i a'i = R
(E)
− (∑ mi )aCM = R( E) − maCM = 0
i
Perché a’CM=0
Inoltre si può dimostrare che nel sistema del centro di massa:
1) Il momento risultante è uguale al momento delle
forze esterne senza il contributo di forze inerziali
2) Il teorema del momento angolare sussiste anche per il
sistema non inerziale del centro di massa purché CM sia
il polo rispetto a cui si calcolano i momenti
A.Romero
Dinamica IV -Sistemi di punti
M' ( E) = ∑ r'i ×Fi( E )
i
dL'
= M'( E)
dt
17
Teorema di König del momento angolare
I Teoremi di Konig forniscono per il momento angolare e per l’energia cinetica, una
relazione tra il valore misurato in un sistema inerziale e quello misurato nel centro di massa.
y'
i
y
r'
r
L0 =
Momento totale, considerando come polo
l’origine O del sistema inerziale:
con
x'
rCM
i
i i
i
CM
O
∑r × m v
 r i = r CM + r i'


v = v
CM + v ' i
 i
x
(
)
L 0 = ∑ rCM + ri' × mi (v CM + v 'i ) = rCM × ∑ mi v CM + rCM × ∑ mi v 'i + ∑ mi ri' × v CM + ∑ mi ri' × v 'i =
i
i
=P
L 0 = rCM × P + L' = L CM + L'
=0
i
i
i
=L’ momento angolare rispetto al CM
L 0 = L CM + L'
Teorema di König
dove abbiamo definito il momento angolare del centro di massa: L CM = rCM × P
Che rappresenta il momento, rispetto all’origine del sistema inerziale di un punto materiale che
A.Romero
Dinamica IV -Sistemi di punti
18
coincide
con il centro di massa ed ha come
massa la massa totale del sistema
Teorema di König per l’energia cinetica
Consideriamo sempre il caso precedente e vediamo cosa succede per l’energia cinetica.
Nel sistema inerziale:
1
E cin = ∑ m i v i 2
i 2
con:
ri = rCM + ri'


v = v
CM + v 'i
 i
1
1
1
1
2
2
E cin = ∑ m i v i 2 = ∑ m i ( v CM + v 'i )2 = ∑ m i v CM + ∑ m i v'i + ∑ m i v CM v'i =
i 2
i 2
i
i 2
i 2
ECM: Energia cinetica del
centro di massa
E’cin :calcolata nel sistema di
riferimento del centro di massa
1
1
E cin = mv CM 2 + ∑ m i v'i 2
2
i 2
=0, perchè Σmivi’=0
E cin = E CM + E'cin
Teorema di König
A.Romero
Dinamica IV -Sistemi di punti
19
Teorema dell’energia cinetica
Calcoliamo il lavoro associato al moto di un sistema di punti materiali.
Per il singolo punto Pi: dWi = Fi dri = Fi( E ) dri + Fi(int) dri = dWi( E ) + dWi(int)
Sommando su tutti i punti e integrando lungo le traiettorie
Γi percorse, si ottiene il lavoro totale:
W=W
Il termine
(E)
+W
Γi
(int)
dWi(int)è formato da termini del tipo:
Fi , jdrj + Fj,i dri = Fi , j (drj − dri ) = Fi , jdri , j
NOTA: la struttura di dWi(int) implica che il lavoro delle forze interne è legato al
cambiamento delle distanze mutue tra i vari punti.
Se queste non possono variare come avviene nel corpo rigido (che vedremo dopo) ⇒ W(int)=0
A.Romero
Dinamica IV -Sistemi di punti
20
Teorema dell’energia cinetica
dv i
dri = m i v i dv i
dt
Sommando su tutti i punti e integrando, si ottiene:
Riprendiamo l’espressione del singolo dWi:
dWi = Fi dri = m i
1
1
W ( E ) + W (int) = W = ∑ 2 m v − ∑ 2 m v
2
i
i
i ,B
i
i
2
i ,A
= E k ,B − E k ,A
Se tutte le forze agenti sull’intero sistema sono conservative si
ha la conservazione dell’energia meccanica del sistema
W = ∆E k = −∆E p
E k ,A + E p ,A = E k ,B + E p ,B = cost
e nel caso in cui siano presenti forze non conservative
L nc = (E k ,B + E p ,B ) − (E k ,A + E p ,A )
A.Romero
Dinamica IV -Sistemi di punti
21
Sistemi di forze applicati a punti diversi
R = ∑ Fi
Indichiamo con R la risultante delle forze
applicate ad un sistema di n punti
i
E con M il momento risultante della forza
calcolato rispetto al polo O
Se si calcola M rispetto al polo O’:
M O = ∑ OPi × Fi = ∑ ri × Fi
i
i
M O ' = ∑ r'i ×Fi
i
Tenendo conto che:r = r'+OO'
M O = ∑ (OO'+r'i ) × Fi= OO'×∑ Fi + ∑ r'i ×Fi
i
i
i
M O = OO'×R + M O'
Il momento dipende dal polo scelto a meno che non sia R=0
Se R=0
A.Romero
M 0 = M O'
Dinamica IV -Sistemi di punti
22
Sistemi di forze applicati a punti diversi:
coppia di forze
M O = OO'×R + M O'
Se R=0
M O = M O'
Coppia di forze: sistema formato da due forze uguali e di verso opposto, aventi in
generale una diversa retta di azione
La distanza tra le due rette di azione è detta braccio della coppia: b
Nel caso di una coppia di forze R=0,
perché le forze sono uguali ed opposte
M è indipendente dalla scelta del polo O
Calcolo MP1 rispetto a P1 modulo F.b.sen 90o e il segno è quello della
figura
M è un vettore con le seguenti caratteristiche:
direzione ortogonale al piano individuato dalle forze
verso dato dalla regola della mano destra
modulo pari a bF
A.Romero
Dinamica IV -Sistemi di punti
23
Sistemi di forze parallele
r
R = ∑ Fi = (∑ Fi )u
Indichiamo con R la risultante delle forze parallele che
ha quindi direzione fissa lungo il versore u
E con M il momento risultante calcolato rispetto
a un polo O. M è perpendicolare a u cioè a R
Quindi applico R in punto C tale che se
si calcola M rispetto al polo O ho
r r r
r
Quindi M O = ( ∑ Fi ri ) ×u = rc × ( ∑ Fi )u
i
i
i
i
r
r r
r
M O = ∑ ri × Fi u = (∑ Fi ri ) ×u
i
i
M = OC× R = rc × R
r
c
=
∑ F
i
∑ F
i
r
ri
i
i
Se tali forze sono le forze peso ottengo
rc =
r
m
g
∑ i ri
i
∑ mig
i
A.Romero
=
r
m
∑ i ri
i
∑ mi
= rCM
r
r
M = OC × mg = rCM × mg
i
Dinamica IV -Sistemi di punti
24