12/10/2010
ANOVA (ANalysis Of VAriance)
Un caso di studio
Ip
punti vendita di un’azienda sono
classificati in base all’ubicazione (centro,
semicentro, periferia)
Corso di
C
Statistica per l’impresa
Sulla base delle osservazioni campionarie si
vuole verificare se in media il risultato
operativo differisce o no a seconda
dell’ubicazione
Prof. A. Regoli
a.a. 2010-2011
L’ubicazione (con 3 modalità) rappresenta il
fattore o criterio di classificazione
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1
ANOVA (Analisi della varianza ad
un fattore)
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ANOVA (Analisi della varianza ad
un fattore)
Il problema si riconduce in termini
inferenziali alla verifica dell’ipotesi di
uguaglianza di m medie (m>2)
m popolazioni (m>2)
definite in base alle modalità di un fattore o
criterio di classificazione (trattamenti)
È l’estensione
l estensione del test t per il confronto di 2
medie
Si assume che le m popolazioni siano
distribuite
d
st bu te normalmente
o a e te co
con varianza
a a a
comune σ2 incognita
Si estraggono m campioni indipendenti di
numerosità n1, n2,…,nm
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1
12/10/2010
Uguaglianza tra più di due medie
Finalità dell’ANOVA
Sulla base dell’evidenza empirica, vogliamo
verificare
ifi
lla seguente
t ipotesi
i t i
H0: μ1= μ2=… μm= μ
(μi-μ=0 per tutte le
medie)
H1: μi-μ ≠ 0 (per almeno una media)
• Le differenze tra le medie campionarie
sono dovute a variazioni casuali che si
possono verificare anche nel caso in cui si
campiona dalla stessa popolazione?
si accetta H0
• Oppure sono dovute alle diverse modalità
del fattore?
si accetta H1
Accettare H0 significa concludere che i
campioni provengono dalla stessa
popolazione (il fattore non discrimina)
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Medie di gruppo
e media complessiva
Informazioni campionarie
xij
i=1,2,…,m
j=1,2,…,ni
m: numero dei trattamenti ((dei campioni)
p
)
ni: numerosità di ogni campione
1
x11
x12
…
x1j
…
x1n1
2
x21
x22
…
x2j
…
x2n2
Campioni (gruppi)
3
…
i
x31
…
xi1
x32
…
xi2
…
…
…
x3j
…
xij
…
…
…
x3n3
…
xini
…
…
…
…
…
…
…
xi =
m
xm1
xm2
…
xmj
…
xmnm
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6
x=
7
1
ni
ni
∑
j=1
x ij Media dell’i-esimo gruppo
1m n
1m
xij = ∑ xini
∑
∑
n i=1 j=1
n i=1
i
p
Media complessiva
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2
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Variabilità di gruppo e
variabilità complessiva
Media del gruppo i
xi =
1
x11
x12
…
x1j
…
x1n1
2
x21
x22
…
x2j
…
x2n2
Campioni (gruppi)
3
…
i
x31
…
xi1
x32
…
xi2
…
…
…
x3j
…
xij
…
…
…
x3n3
…
xini
1
ni
ni
∑
j=1
x ij
si2 =
ni
…
…
…
…
…
…
…
m
xm1
xm2
…
xmj
…
xmnm
m
m ni
m ni
i=1
2
m ni
i=1
2
i=1 j=1
DEVTOT = DEVTRA + DEVENTRO
9
10
La variabilità ENTRO i gruppi dipende dalla dispersione dei
valori all’interno di ogni gruppo
DEVENTRO=0 se e solo se c’è omogeneità all’interno di ogni
gruppo, cioè se xij = xi per ogni j all' interno di ogni gruppo i
DEVENTRO
DEVTRA
m ni
m
m ni
s2 (n − 1) = ∑∑ (xij − x) = ∑ (xi − x) ni + ∑∑ (xij − xi )
2
La variabilità TRA i gruppi dipende dalle differenze tra le
medie di gruppo
DEVTRA=0 se e solo se tutti i gruppi hanno la stessa media
cioè se xi = x per ogni i
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Scomposizione della devianza
i=1 j=1
i=1 j=1
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m
Devianza totale = Devianza TRA i gruppi + Devianza ENTRO i gruppi
s2 (n − 1) = ∑∑ (xij − x) = ∑ (xi − x) ni + ∑∑ (xij − xi )
i=1 j=1
2
i=1 j=1
DEVENTRO
2
Devianza dell’i-esimo gruppo
s2 (n − 1) = ∑∑ (xij − x) = ∑ (xi − x) ni + ∑∑ (xij − xi )
Il confronto tra le medie dei gruppi si effettua a
partire dalla scomposizione della devianza totale nelle
due componenti, TRA i gruppi e ENTRO i gruppi
DEVTRA
2
V i
Varianza
dell’i-esimo
d ll’i
i
gruppo
j=1
Scomposizione della devianza
2
i
si2 (ni − 1) = ∑ (xij − xi )
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m ni
1 n
(xij − xi )2
∑
(ni − 1) j=1
11
2
i=1
2
2
i=1 j=1
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3
12/10/2010
Confronto tra componenti di
variabilità (tra e entro gruppi)
Varianza TRA e varianza ENTRO
• Dai dati campionari si ricavano due stime
puntuali indipendenti della varianza incognita
σ2
• VARTRA e VARENTRO si ottengono da DEVTRA e
DEVENTRO dividendo per gli opportuni gradi di
libertà
m
(xi − x )2 ni
∑
DEV
Osservazioni del gruppo I
Osservazioni del gruppo II
Osservazioni del gruppo III
a)
La variabilità tra gruppi non è grande
rispetto alla variabilità entro i gruppi.
Si tende a accettare H0: μ1= μ2= μ3
b)
VAR TRA =
La variabilità tra gruppi è grande
rispetto alla variabilità entro i gruppi.
Si tende a rifiutare H0: μ1= μ2= μ3
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TRA
m −1
i=1
m −1
m
VAR ENTRO
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DEVENTRO
=
=
n−m
ni
∑ ∑ (x
i=1 j=1
− xi )
m
2
ij
n−m
=
∑ s (n
i =1
m
2
i
∑ (n
i
− 1)
− 1)
i
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- Prof. Regoli
=1
14
Statistica test
Stimatori di σ2
1. VARTRA è uno stimatore NON distorto di
σ2 solo se è vera H0. Quando non è vera
H0, VARTRA produce una stima distorta
verso l’alto
E(VARTRA)≥σ2
E(VARTRA)=σ2
solo se Ho è vera
Le due stime di σ2 vengono confrontate
usando un test F
Il rapporto VARTRA/VARENTRO è una statistica F
Infatti, ricordando che
DEV TRA
~ χ 2me
−1
σ2
DEV ENTRO
~ χ n2 − m
σ2
DEVTRA
VAR TRA
σ2 (m − 1)
=
~ Fm−1,n−m
DEVENTRO
VAR ENTRO
σ2 (n − m)
2. VARENTRO è sempre uno stimatore NON
distorto di σ2
E(VARENTRO)=σ2
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=
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12/10/2010
Regione critica del test
Regione critica del test
La regione critica del test comprende valori
di F > Fα;m−1,n−m
Se H0 è vera, ci aspettiamo di osservare un
valore empirico di F intorno a 1 in quanto è il
rapporto tra due stime, entrambe non
distorte, dello stesso parametro incognito
Se H0 è falsa, ci aspettiamo un valore di F
maggiore di 1 in quanto una stima di σ2
di t t verso l’alto
distorta
l’ lt è rapportata
t t ad
d una
stima non distorta dello stesso parametro
Fα;m-1,n-m
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Regola di decisione
Si accetta H0 se F < Fα ;m−1,n−m
concludendo che le osservazioni
campionarie provengono dalla
stessa popolazione
Tavola ANOVA
le m popolazioni
sono normali, con la
stessa varianza e la
stessa media, quindi
sono un’unica
grande popolazione
Si rifiuta H0 se F > Fα;m−1,n−m
concludendo che almeno una media
di gruppo differisce dalle altre
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Fonte
Devianza
della
(Somma dei
variazione quadrati)
g.d.l.
Varianza
(Media dei
quadrati)
Statistica test
TRA i
gruppi
DEVTRA
m-1
VARTRA=
DEVTRA/(m-1)
VARTRA/VARENTRO
=Fm-1,n-m
ENTRO i
gruppi
DEVENTRO
n-m
n
m
VARENTRO=
DEVENTRO/(n-m)
Totale
DEVTOT
n-1
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12/10/2010
Analisi della varianza –
Output Excel
Analisi della varianza –
Output Excel
H0: il risultato operativo medio è uguale nei tre gruppi
H1: c’è
’è almeno
l
un gruppo per il quale
l il risultato
i l
operativo medio differisce da quello degli altri gruppi
I punti vendita sono raggruppati in base
all’ubicazione (fattore di classificazione a 3 modalità)
La variabile di analisi è il risultato operativo
Origine
della
variazione
Il campione è di 20 unità
Gruppi
Conteggio Somma
Media
Varianza
SQ
F
6879,06
2 3439,53
5891,67
58803 89
58803,89
17 3459,05
3459 05
2622,00
Totale
65682,95
19
9
818
90,89
3174,61
Semicentro
4
550
137,50
Periferia
7
833
119,00
C’è differenza tra le medie osservate.
Ma queste differenze sono sufficientemente elevate da farci
rifiutare l’ipotesi nulla di uguaglianza tra le medie?
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Valore di
significatività
(p-value)
0,994
F crit
(α=0,05)
0,390
3,592
Si accetta H0, non ci sono differenze
significative tra il risultato operativo
medio dei tre gruppi
F<F crit
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Esercizio ANOVA
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Esercizio ANOVA
Quindici partecipanti ad un programma di
addestramento sono assegnati casualmente a tre
corsi che usano metodi didattici differenti. Alla fine dei
corsi si esegue
g
un test p
per valutare l’apprendimento.
pp
I
punteggi ottenuti in base al corso frequentato sono i
seguenti:
Corso 1
Corso 2
Corso 3
90
86
78
76
79
85
88
81
70
82
70
71
89
84
71
Ricaviamo medie e devianze dei tre gruppi
Per il primo gruppo (Corso 1):
x1 =
n1
xij
∑
j=1
=
1
(90 + 76 + 88 + 82 + 89 ) = 85
5
n1
∑ (x
j =1
− x1 ) =
2
1j
= (90 − 85 ) + (76 − 85 ) + (88 − 85 ) + (82 − 85 ) +
2
2
2
2
+ (89 − 85 ) = 140
2
Per i tre g
gruppi
pp e p
per il totale:
H0: μ1= μ2=μ3= μ
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1
n1
s12 (n1 − 1) =
Verificare l’ipotesi nulla che il punteggio medio non è
influenzato dal tipo di corso frequentato [α=0,05]
(μi-μ=0 per tutte le
medie)
H1: μi-μ ≠ 0 (per almeno una media)
MQ
Entro i
gruppi
Centro
Tra gruppi
gdl
23
Corso 1
Corso 2
Corso 3
Media
85
80
75
Totale
80
Devianza
140
154
166
710
n
5
5
5
15
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6
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Esercizio ANOVA
Esercizio ANOVA
Ricaviamo devianza TRA e devianza ENTRO:
3
∑ (x
DEV TRA =
i =1
(85 − 80 )
2
DEV
i
− x ) ni =
Fonte della
variazione
× 5 + (80 − 80 ) × 5 + (75 − 80 ) × 5 = 250
2
3
ENTRO
Costruiamo la tavola:
2
=
ni
∑ ∑ (x
i=1
j=1
2
− xi ) =
2
ij
= 140 + 154 + 166
3
∑
i=1
s i2 (n i − 1 ) =
= 460
g.d.l. Varianza
(Media dei
quadrati)
Tra gruppi
250
2
125
Entro i gruppi
460
12
38,33
Totale
710
14
Statistica
test
3,26
Il valore soglia (α=0,05) della distribuzione F con 2 e
12 gdl è pari a 3,885
Poiché 3,26 < 3,885
Sulla base dei dati campionari non si può rifiutare
l’ipotesi nulla
Si conclude che il punteggio medio del test è uguale
indipendentemente dal tipo di corso frequentato
La scomposizione della devianza è verificata perché:
DEVTOT = DEVTRA + DEVENTRO
710 = 250 + 460
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Devianza
(Somma dei
quadrati)
25
Corso di Statistica per l'impresa a.a. 2010-2011 – Univ. NA Parthenope - Prof. Regoli
26
7
