DINAMICA

DINAMICA
Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006
INTRODUZIONE
• La Dinamica è lo studio quantitativo del
moto dei corpi in relazione alle interazioni
tra i corpi stessi
• Ad esempio uno dei problemi della
Dinamica è quello di stabilire in modo
quantitativo quale sarà il moto di un corpo
essendo note le sue interazioni con gli altri
corpi nell’Universo
• Esempi: moto di un proiettile, di un satellite
artificiale, di una sonda spaziale, ecc.
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DEFINIZIONE DI CONCETTI NUOVI
• La Cinematica ci ha fornito gli strumenti
matematici per la descrizione del moto; tra
questi vi sono alcune grandezze fisiche
come la posizione, lo spostamento,la
velocità, l’accelerazione
• Nella Dinamica, per la descrizione delle
interazioni tra corpi e degli effetti di queste
interazioni è necessario introdurre due
grandezze fisiche proprie della Dinamica: la
massa e la forza. Inoltre introdurremo il
concetto di punto materiale
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MASSA
• La massa di un corpo è proporzionale alla
quantità di materia contenuta in un corpo
• La massa di un corpo si può misurare per
paragone con quella di un corpo preso come
riferimento (bilancia)
• L’unità di misura della massa nel sistema MKS
(o sistema internazionale, SI) è il chilogrammo
(kg)
• La massa è rappresentata da un numero
(scalare) ed è sempre positiva (strettamente)
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FORZA (1)
• L’interazione tra corpi si descrive mediante il
concetto di forza
• La forza è una grandezza vettoriale perché il
vettore permette di rendere conto delle
caratteristiche di intensità, direzione e verso
dell’interazione tra corpi
• Oltre a queste tre caratteristiche, la forza ne
possiede una quarta: il punto di applicazione,
che è il punto del corpo nel quale è esercitata
la forza
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FORZA (2)
• L’effetto di diverse forze agenti
simultaneamente su di un corpo è uguale a
quello della loro somma vettoriale
• La somma vettoriale di tutte le forze agenti
simultaneamente su di un corpo si chiama
forza risultante
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FORZA (3)
• La forza si può misurare mediante un
dinamometro
• L’unità di misura MKS (del modulo) della
forza è il newton (N)
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PUNTO MATERIALE (1)
• Il punto materiale è un punto nel senso
della cinematica, dotato di una massa
che è un concetto della dinamica
• Questo concetto è contraddittorio in
quanto una massa presuppone un
volume
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PUNTO MATERIALE (2)
• In pratica un corpo può essere rappresentato da un
punto materiale:
1) se le sue dimensioni possono essere trascurate
rispetto a quelle del moto, ad esempio nel caso del
moto della Terra attorno al Sole
2) se il fatto che il corpo abbia delle dimensioni non è
rilevante ai fini della descrizione del moto. Ad
esempio, in un moto traslatorio tutti i punti del corpo
descrivono la stessa traiettoria, quindi in quel caso il
moto del corpo è uguale a quello di uno dei suoi punti
• Per il momento ci occuperemo solo della Dinamica del
punto materiale
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PUNTO MATERIALE (3)
Moto traslatorio
rettilineo
curvo
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I PRINCIPI DELLA DINAMICA
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PRINCIPI DELLA DINAMICA
(Leggi di Newton)
• I Se un corpo non è soggetto ad alcuna
forza, o è in quiete o si muove di moto
rettilineo uniforme
• II La risultante delle forze che agiscono su
di un corpo è uguale al prodotto della massa
per l’accelerazione del corpo stesso
 F = ma
• III Se un corpo A esercita su di un corpo B
una forza F, allora il corpo B esercita sul
corpo A una forza uguale a –F (uguale e
contraria)
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OSSERVAZIONI (1)
(Primo principio)
• Il primo principio sembra già contenuto nel secondo.
Infatti se  F = 0 allora a = 0 e il corpo è in quiete o in
moto rettilineo uniforme.
• Il primo principio afferma che lo stato “naturale” di un
corpo (in assenza di forze) è indifferentemente la
quiete o il moto rettilineo uniforme
• In realtà quest’ultima affermazione non è sempre vera.
Ad esempio non è vera su di un treno che accelera o
su di una giostra che gira. Affronteremo il problema
della validità dei principi di Newton quando parleremo
dei sistemi di riferimento
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OSSERVAZIONI (2)
(Secondo principio)
• Nel secondo principio, la risultante  F è la somma
vettoriale di tutte (e sole) e le forze applicate al punto
materiale che si prende in considerazione. Se la forza
è una sola, la risultante è uguale a quella forza. In
ogni caso, è importante osservare che ma è uguale
alla risultante e non ad una diversa combinazione di
forze
• E’ importante, nell’applicazione pratica del secondo
principio, distinguere quali forze sono applicate al
punto materiale preso in considerazione, e quali sono
invece applicate ad altri corpi
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OSSERVAZIONI (3)
(Secondo principio)
• E’ importante osservare che il secondo principio
 F = ma
stabilisce un’uguaglianza tra vettori. Ciò
significa che, fissato un sistema di coordinate
cartesiane, le componenti corrispondenti sono
uguali:
 Fx = max
 Fy = may
 Fz = maz
• Il secondo principio è espresso da tre
uguaglianze tra numeri
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OSSERVAZIONI (4)
(Terzo principio)
• Il terzo principio prende anche il nome di principio di
azione e reazione: la forza –F è la reazione associata
all’azione F
• Si noti che le forze F e –F sono applicate a corpi
diversi (F a B, e –F ad A)
• Nelle applicazioni pratiche è importante individuare
con precisione i corpi A e B
Esempio:
qual è la reazione?
P
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EQUILIBRIO (1)
• Un punto materiale è in equilibrio se la sua
velocità è costante e uguale a zero
• Una posizione di equilibrio si dice stabile se
dopo una piccola perturbazione il punto
materiale ritorna e rimane nella posizione di
equilibrio
• Una posizione di equilibrio si dice instabile se
dopo una piccola perturbazione il punto
materiale si allontana indefinitamente dalla
posizione di equilibrio
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EQUILIBRIO (2)
Equilibrio stabile
Equilibrio instabile
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EQUILIBRIO (3)
Condizione di equilibrio di un punto materiale
• Se un punto materiale è in equilibrio, allora
F=0
• ovvero
!
 Fx = 0
 Fy = 0
 Fz = 0
Questa condizione è necessaria ma
non sufficiente
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EQUILIBRIO (4)
Condizione di equilibrio di un punto materiale
• Poiché la condizione di equilibrio di un
punto materiale non è una condizione
sufficiente, essa non serve a stabilire se un
punto è in equilibrio. Essa serve a calcolare
le forze su di un punto in equilibrio
N
Esempio:
qual è l’intensità della
forza che il tavolo
esercita sul blocco?
P
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FORZE
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RUOLO DELLE FORZE (1)
• Le forze giocano un ruolo fondamentale nella
risoluzione del problema del moto
• Dall’equazione del moto a =  F / m vediamo
che per conoscere l’accelerazione dobbiamo
conoscere la risultante delle forze
• E’ quindi necessario disporre di leggi che
descrivono le forze e permettono di calcolarle
in ogni situazione
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RUOLO DELLE FORZE (2)
Leggi delle forze
Principi della Dinamica,  F = ma
Cinematica, descrizione del moto
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DIVERSI TIPI DI FORZA (1)
• Le forze fondamentali sono interazioni tra le
particelle elementari costituenti la materia
(protoni, neutroni, elettroni), generalmente
queste forze sono azioni a distanza (o
mediate da un campo)
esse sono:
1) la forza di gravitazione universale
2) la forza elettromagnetica
3) la forza nucleare forte
4) la forza nucleare debole
(in realtà quest’ultima è stata unificata con la
forza elettromagnetica)
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DIVERSI TIPI DI FORZA (2)
• Queste forze si differenziano per:
1) l’intensità,
2) il raggio d’azione,
3) le particelle elementari che interagiscono per
loro tramite
Forza
Gravitazionale
Elettromagnetica
Nucleare forte
Nucleare debole
Intensità Raggio
relativa d’azione
10-38
10-2
1
10-5
Particelle


Tutte
Particelle cariche
10-15 m Nucleoni
10-15 m Nucleoni ed elettroni
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DIVERSI TIPI DI FORZA (3)
• Le forze non fondamentali sono riconducibili
alle forze fondamentali, sono generalmente
delle forze di contatto, cioè delle forze che
agiscono tra corpi in contatto uno con l’altro
• Queste forze costituiscono la maggioranza
delle forze della vita quotidiana
• Esempi: forze molecolari, forza elastica, forze
vincolari, forze di attrito
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FORZA DI GRAVITA’ (1)
(Forza di gravitazione universale)
m2
F12 = - F21
F21
r
m1
F12 = F21
G m1m2
= 
r2
F12
Costante di gravitazione universale:
G = 6,672  10-11 m3/(kg.s2)
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FORZA DI GRAVITA’ (2)
• Nella legge precedente, m1 e m2 sono due
masse puntiformi (punti materiali)
• I corpi possono essere assimilati a dei punti
materiali se la loro distanza r è molto
maggiore delle loro dimensioni
• Se i due corpi sono sferici e omogenei, la
formula è applicabile considerando tutta la
massa di ogni corpo concentrata nel suo
centro
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FORZA DI GRAVITA’ (3)
Forza peso
• La legge di gravitazione universale si
semplifica nel caso di un corpo che si muove
vicino alla superficie terrestre. In questo
caso, uno dei due corpi che interagiscono è
la Terra, e la forza è quella che essa esercita
sull’altro corpo, cioè il peso di quel corpo (si
dice anche forza peso per evidenziare la
distinzione con la massa del corpo)
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FORZA DI GRAVITA’ (4)
m
P
G mMT
P = 
RT2
MT = massa della Terra
RT = raggio della Terra
GMT
P = m 
RT2
GMT
 = costante = g
RT2
P = mg
Accelerazione di gravità:
g  9,81 m/s2
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FORZA DI GRAVITA’ (5)
• Nella formula precedente esprime il modulo della
forza peso. In forma vettoriale:
P=mg
• Secondo quanto detto sopra, g dovrebbe essere
diretto verso il centro della Terra. In realtà esso
devia leggermente verso l’equatore per via dello
schiacciamento ai poli e della forza centrifuga
N
dovuta alla rotazione terrestre
g
S
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FORZA DI GRAVITA’ (6)
• In realtà g non è realmente costante ma varia sulla
superficie terrestre per via della forza centrifuga
che dipende dalla latitudine, e può anche variare
localmente secondo la composizione della crosta
terrestre. Il valore g = 9,81 m/s2 è il valore medio
alla nostra latitudine
• In pratica consideriamo sempre g costante e la
superficie terrestre piana. La direzione di g
definisce la verticale ed è ortogonale alla superficie
terrestre
m
mg
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FORZA DI GRAVITA’ (7)
• Applichiamo il secondo principio della dinamica ad
un corpo che è soggetto solo alla forza peso
 F = ma
mg = ma
a=g
• Un corpo che è soggetto solo al suo peso ha
un’accelerazione uguale all’accelerazione di
gravità. Si dice che il corpo è in caduta libera
m
g
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MASSA GRAVITAZIONALE E
MASSA INERZIALE (1)
• Nella seconda legge di Newton e nella legge di
gravitazione universale la grandezza “massa” ha
rispettivamente significati diversi:
• Nella seconda legge di Newton,  F = ma , la forza è
proporzionale alla massa. Quanto maggiore è la
massa di un corpo, tanto maggiore deve essere la
forza applicata per ottenere una data accelerazione.
• Nella seconda legge di Newton, la massa rappresenta
l’inerzia del corpo, ovvero la sua “riluttanza” a variare
la velocità
• Per questo motivo, nella seconda legge di Newton, la
massa viene detta massa inerziale
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MASSA GRAVITAZIONALE E
MASSA INERZIALE (2)
• Anche nella legge di gravitazione universale,
F = Gm1m2/r2 , la forza è proporzionale alla massa.
Ma qui il significato è diverso. Quanto maggiore è la
massa di un corpo, tanto maggiore è la forza
gravitazionale con la quale interagisce con un altro
corpo.
• Nella legge di gravitazione universale, la massa
rappresenta la “sorgente” della forza di gravità
• Per questo motivo, nella legge di gravitazione
universale, la massa viene detta massa gravitazionale
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MASSA GRAVITAZIONALE E
MASSA INERZIALE (3)
• Nessun esperimento è riuscito a mettere in evidenza
una differenza numerica tra massa inerziale e massa
gravitazionale
• Ad esempio, nella caduta libera, se la massa inerziale
e la massa gravitazionale fossero diverse per un
corpo, questo avrebbe un’accelerazione diversa da g
mIa = mGg
a = (mG/mI)g
se a = g per tutti corpi, allora mI = mG numericamente
(mI e mG restano grandezze fisiche diverse)
• D’ora in avanti non distingueremo tra massa inerziale
e massa gravitazionale
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OSSERVAZIONI
• Il peso è una nozione molto familiare e per questo si
può usare come termine di paragone. Ad esempio,
quanto è intensa una forza di 1N? Ponendo mg = 1N,
otteniamo m  0,102 kg. Quindi una forza di 1N è
uguale al peso di un oggetto di circa 100 grammi
• Quanto è intensa la forza di gravità tra due oggetti di
dimensioni tipiche della vita quotidiana? Se poniamo
nella formula F = Gm1m2/r2 , m1= m2= 1kg e r = 1m,
otteniamo F  7  10-11N = 0,00000000007 N che è
uguale al peso di una massa di 7  10-12kg cioè sette
milionesimi di milligrammo. Questo esempio illustra il
fatto che la forza di gravità è molto debole
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FORZA ELETTROSTATICA (1)
• La seconda interazione fondamentale è la forza
elettromagnetica. Essa agisce tra corpi dotati di carica
elettrica
• La carica elettrica è una proprietà delle particelle
elementari che costituiscono la materia. Vi sono due
tipi di carica elettrica: quella del protone (positiva) e
quella dell’elettrone (negativa). Entrambe queste
cariche hanno lo stesso valore assoluto: 1,6 10-19 C
• La forza che agisce tra due cariche a riposo si chiama
forza elettrostatica. Il caso di cariche in movimento è
più complesso e sarà trattato in seguito
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FORZA ELETTROSTATICA (2)
(Forza di Coulomb)
q2
F12 = - F21
F21
F21
r
q1
F12
q 1q 2 > 0
q 1q 2 < 0
F12 = F21
ke q1 q2
= 
r2
F12
Costante elettrostatica:
ke = 9  109 kg.m3/(A2s4)
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FORZA ELETTROSTATICA (3)
• Confrontiamo l’intensità della forza gravitazionale e
della forza elettrostatica
• Consideriamo due protoni posti ad una distanza r
l’uno dall’altro
mp = 1,67  10-27 kg
qp = 1,6 10-19 C
calcoliamo il rapporto tra i moduli delle due forze
Fe/Fg = (keqp2/r2) / (Gmp2/r2) = (keqp2) / (Gmp2)
Fe/Fg = [9109(1,610-19)2] / [6,6710-11(1,6710-27)2]
Fe/Fg  1036 =
1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000
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FORZE MOLECOLARI (1)
• Sono le forze che agiscono tra molecole
• Esse sono riconducibili alla forza elettrostatica
• Anche se una molecola è globalmente neutra
(somma algebrica delle cariche = 0), le cariche
positive e negative occupano posizioni diverse
all’interno della molecola e, di conseguenza, le
forze che esse esercitano all’esterno della
molecola non si cancellano esattamente e la
loro risultante è diversa da zero, benché
debole
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FORZE MOLECOLARI (2)
• Le forze molecolari agiscono, ad esempio, tra
le molecole di un liquido o di un gas. In
particolare, nel caso di un liquido, sono le
forze molecolari che mantengono le molecole
vicine le une alle altre
• E’ complicato dare una formula per descrivere
queste forze: ne daremo una descrizione
qualitativa
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FORZE MOLECOLARI (3)
F
Grafico della forza esercitata dalla
molecola 1 sulla molecola 2
per F < 0 la forza è attrattiva
per F > 0 la forza è repulsiva
r
F = - F r/r
~r7
d
1
2
r
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F
FORZA ELASTICA (1)
• Le forze elastiche sono generate dalla deformazione
di un solido
• Una deformazione elastica è una deformazione non
permanente. Quando cessa la causa della
deformazione il solido ritorna alla sua forma originaria
• Una deformazione plastica è una deformazione
permanente. Quando cessa la causa della
deformazione il solido non ritorna alla sua forma
originaria
• Esiste un limite nella deformazione di un solido oltre il
quale una deformazione elastica diventa plastica. E’ il
limite elastico del solido
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FORZA ELASTICA (2)
• La legge di Hooke afferma che quando un
solido subisce una deformazione elastica
esso esercita (sul corpo che produce la
deformazione) una forza proporzionale alla
deformazione stessa e di verso opposto alla
deformazione
riposo
compressione
allungamento
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FORZA ELASTICA (3)
• La forza esercitata dalla molla ha la direzione della
deformazione e verso opposto
• Il valore algebrico della forza è F = - k x, dove x è la
deformazione (allungamento o compressione) e il
coefficiente k di proporzionalità è la costante
elastica della molla
• L’unita di misura MKS della costante elastica della
molla è N/m = kg/s2
• Se L è la lunghezza a riposo della molla, la sua
lunghezza durante la deformazione è L+x (con x
positivo o negativo)
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FORZA ELASTICA (4)
k
L
F=-kx
0
x
L = lunghezza a riposo della molla
k = costante elastica della molla (N/m)
x = deformazione della molla
(allungamento: x > 0; compressione: x < 0)
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FORZA ELASTICA (5)
Massa attaccata ad una molla
All’equilibrio F = 0
mg – kx = 0
mg = kx
x = mg / k
0
F = -kx
x
m
P = mg
L’allungamento della
molla è proporzionale al
peso del corpo
Affiancando la molla ad
una scala graduata si ha
uno strumento per la
misura del peso di un
corpo (dinamometro)
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FORZE VINCOLARI (1)
Reazioni vincolari
• Sono forze che limitano le possibilità di movimento di
un corpo (si dice che il moto è vincolato)
• Generalmente si tratta di forze elastiche generate
dalla deformazione del corpo che costituisce il vincolo
• Anche se si può descrivere quantitativamente la
deformazione dei corpi, in molti casi non è necessario
né utile un tale livello di complessità
• Le reazioni vincolari si possono calcolare mediante la
seconda legge di Newton
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FORZE VINCOLARI (2)
Esempi
• Reazione di un piano. R è ortogonale al piano che
vincola il moto. R si chiama anche forza normale
R
P
In questo caso il corpo è in
equilibrio e F = 0
P–R=0
R=P
la reazione è uguale al peso
del corpo
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FORZE VINCOLARI (3)
Esempi
• Piano inclinato. R è ortogonale al piano quindi non è
parallela alla forza peso. Il corpo non è in equilibrio
(perché F  0): scivola (senza attrito) sul piano
inclinato
R
P
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FORZE VINCOLARI (4)
Esempi
• Scegliamo un sistema di assi cartesiani e e
esprimiamo le componenti di P e R rispetto a questi
assi
Px = mg sen Rx = 0
y
Fx = max
Py = - mg cos Ry = R
Fy = 0
m
mg sen  = max
R
R – mg cos  = 0
P

ax = g sen 
R = mg cos 
x
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FORZE VINCOLARI (5)
Esempi
• Tensione di un filo
All’equilibrio F = 0
mg – T = 0
T = mg
T
mg
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FORZE VINCOLARI (6)
Esempi
• Tensione di un filo
-T
T
Se la massa del filo
è trascurabile, il filo
trasmette invariata
la tensione all’altra
estremità
mg
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FORZE VINCOLARI (7)
Esempi
• Tensione di un filo
T’
m’
T
Altrimenti la
tensione trasmessa
all’altra estremità è
aumentata del peso
del filo
T’ = T + m’g
mg
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FORZE DI ATTRITO (1)
• Quando due solidi sono in contatto, generalmente
essi esercitano l’uno sull’altro delle forze che si
oppongono o impediscono il moto di scorrimento di
un solido rispetto all’altro. Queste forze si chiamano
forze di attrito. (Esiste anche l’attrito tra solido e
liquido, o tra solido e gas, o tra liquido e liquido, ecc.)
• Esistono due tipi di attrito: statico e dinamico.
Nell’attrito statico il movimento è impedito del tutto,
nell’attrito dinamico il movimento non è impedito ma
la forza di attrito vi si oppone, nel senso che essa
agisce nel verso opposto alla velocità
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FORZE DI ATTRITO (2)
Attrito statico
• Vi è attrito statico quando, benché una forza sia
applicata ad un corpo, questo resta fermo
• Il corpo è in equilibrio sotto l’azione della forza
applicata e della forza di attrito statico
• In questo caso non vi è una formula per esprimere la
forza di attrito: si deve usare la legge dell’equilibrio
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FORZE DI ATTRITO (3)
Attrito statico
S
Fas
All’equilibrio F = 0
S – Fas = 0
Fas = S
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FORZE DI ATTRITO (4)
Attrito statico
N
• Vi è un limite superiore all’intensità della forza di
attrito statico. Esso è dato dal prodotto della reazione
del piano N per il coefficiente di attrito statico s
Fas  sN
• Se la forza applicata è maggiore di sN, il corpo si
muove
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FORZE DI ATTRITO (5)
Attrito dinamico
v
• L’attrito dinamico si ha invece quando il corpo si
muove e una forza di attrito si oppone al movimento
• Il corpo non è in equilibrio
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FORZE DI ATTRITO (6)
Attrito dinamico
N
• La forza di attrito dinamico è data dal prodotto della
reazione del piano N per il coefficiente di attrito
dinamico d
Fad = dN
• Osserviamo che la forza di attrito dinamico è costante
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FORZE DI ATTRITO (7)
Attrito dinamico
S
v
Fad
II legge di Newton F = ma
S – Fad = ma
a = (S – Fad)/m
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FORZE DI ATTRITO (8)
Coefficienti di attrito
• I coefficienti di attrito (sia statico che dinamico)
hanno le seguenti proprietà:
1) dipendono solo dai materiali che costituiscono i
corpi in contatto
2) non dipendono dalla massa dei corpi in contatto
3) non dipendono dall’area della superficie di
contatto
4) per una data coppia di materiali, il coefficiente di
attrito statico è maggiore del coefficiente di attrito
dinamico
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FORZE DI ATTRITO (9)
Piano inclinato con attrito dinamico
Fad = d N = d m g cos
Px = mg sen
Py = - mg cos
y
Fad
m
Nx = 0
Ny = N
N
P
Fadx = - d m g cos
Fady = 0

x
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FORZE DI ATTRITO (10)
Piano inclinato con attrito dinamico
Fad = d N = d m g cos
y
Fad
Fx = max
Fy = 0
mg sen  - d mg cos = max
N – mg cos  = 0
m
N
P
ax = g (sen  - d cos)
N = mg cos 

x
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FORZE DI ATTRITO (11)
Piano inclinato con attrito statico
Px = mg sen
Py = - mg cos
y
Fad m
Nx = 0
Ny = N
N
Fasx = - Fas
Fady = 0
P

x
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