L9 Probabilità - Università di Macerata

Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali
a.a. 2014
2014--2015 La probabilità
Cristina Davino
La probabilità
à
La probabilità
p
viene utilizzata
per prendere decisioni in
condizioni di incertezza
L’incertezza riguarda esperimenti con più di un risultato possibile
 La teoria della probabilità stabilisce i risultati che ci si può
attendere dall’esecuzione di un esperimento
 L’inferenza statistica si serve dei risultati dell’esperimento
p
p
per
cercare di costruire o interpretare la legge che sta dietro ai
risultati sperimentali ottenuti.
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Il campionamento e l’inferenza
Popolazione
Cristina Davino
L’inferenza e la probabilità
à
 Il campione
a po
deve essere rappresentativo
d
app
a od
della
a
popolazione
 campionamento
p
casuale
Campione
Il calcolo delle probabilità esamina i risultati che si
ottengono
tt
sotto
tt l’influenza
l’i fl
del
d l caso
Popolazione
Campione
Dai dati osservati mediante scelta
campionaria
i
i sii giunge
i
ad
d affermazioni
ff
i i che
h
riguardano la popolazione da cui essi sono
stati prescelti
Calcolo delle
probabilità
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La probabilità
à
Cristina Davino
Alcuni esempi
Un’urna contiene 100 palline di cui 70 bianche e 30 nere
E
Esperimento:
i
t sii estrae
t
a caso una pallina
lli
Evento elementare: la pallina estratta è nera
Esperimento
p
op
prova
Una qualsiasi operazione il cui risultato non può essere previsto
con certezza
Evento elementare
Per controllare la qualità
à dei prodotti realizzati da un’azienda si
estraggono a caso 100 unità
Esperimento: estrazione casuale di 100 unità
E
Evento
t elementare:
l
t
almeno
l
10 unità
ità sono difettose
dif tt
Ogni risultato possibile di un esperimento
Spazio Campionario ()
Insieme di tutti i possibili risultati dell’esperimento
Esperimento: lancio di un dado
Un’indagine
U
’i d i
campionaria
i
i viene
i
realizzata
li
t per capire
i il grado
d di
soddisfazione degli utenti che usufruiscono del servizio Postepay.
Esperimento: si estrae a caso un campione di 1000 utenti
Evento elementare: meno del 10% degli utenti è insoddisfatto
Spazio campionario
E
Evento
t elementare
l
t
E1:
E1 uscita
it faccia
f
i 1
Spazio
campionario
p
p
PARI
DISPARI
Evento composto E1: uscita faccia pari
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L’Algebra degli Eventi e i diagrammi
di Eulero-Venn

Evento A
L’Algebra degli Eventi e i diagrammi
di Eulero-Venn
1. Somma logica

A
AB
A
A
Evento negazione di A
o
B
Definiamo UNIONE tra due eventi A
e B l’evento C che si verifica quando
si verifica almeno uno dei due eventi
A e B;
2. Prodotto logico
A
AB
Unione
C  AB

A
Cristina Davino
B
o
Intersezione
C  AB
Definiamo INTERSEZIONE tra due eventi A e
B l’evento C che si verifica se e solo se si
verificano contemporaneamente sia A che B;
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Un esempio
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Eventi particolari
Nell ambito dell
Nell’ambito
dell’esame
esame di ammissione ad una Accademia teatrale, si considerino
i seguenti eventi:
A il candidato ha meno di 35 anni;
B il candidato ha una buona dizione;;
C il candidato ha già avuto esperienze nell’ambiente teatrale;
• Evento Certo: è l'evento
l evento che si verifica sempre
• Evento Impossibile: è l'evento che non può mai
Assumendo a caso uno tra i candidati, si scrivano i seguenti eventi:
verificarsi
1. il candidato non ha una buona dizione;
B
• Eventi Indipendenti: il verificarsi di uno di essi
2 ha meno di 35 anni ed ha una buona dizione;
2.
AB
o ha
a alcuna
a cu a influenza
ue a sulla
su a probabilità
p obab à del
de
non
3. ha meno di 35 anni ma non ha una buona dizione;
AB
4. non ha una buona dizione ma ha già avuto esperienze;
B C
5. ha più di 35 anni, una buona dizione ed ha avuto esperienze;
ABC
6. ha almeno una delle tre caratteristiche;
ABC
verificarsi degli altri
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La Probabilità
Relazioni tra Eventi
• Incompatibilità: il verificarsi di uno
La probabilità è un concetto primitivo, perché innato e sempre presente nelle regole di
comportamento dell’essere umano;

qualunque degli eventi esclude il verificarsi
degli altri nella stessa prova
E
F
D’altra parte, la probabilità è una misura, perché associa al concetto primitivo una
valutazione numerica;
Gli elementi
l
ti che
h caratterizzano
tt i
i diversi
di
i ambiti
biti in
i cuii è possibile
ibil applicare
li
la
l probabilità
b bilità
riguardano:
G  EF  
1 Incertezza
del risultato
• Necessarietà: in ogni prova almeno uno
degli eventi verificarsi
F
F
E
Definizione classica
incluso implica il verificarsi dell’evento
includente
2 Ripetibilità
dell’esperimento
Condizioni 1, 2 e 3
3 Equiprobabilità
dei risultati
(Esperimento in condizioni di perfetta uniformità)
La probabilità di un evento A è il rapporto tra il numero di esiti favorevoli e il numero di
esiti possibili, posto che tutti i risultati siano ugualmente possibili.
Definizione frequentista
• Inclusione: Il verificarsi dell’evento
Cristina Davino
E
F
Definizione soggettivista
nA
n
Condizioni 1 e 2
In n esperimenti, tutti effettuati nelle medesime condizioni, la probabilità di un evento
A è il limite cui tende la frequenza relativa dell’evento
dell evento al crescere del numero di prove.

P  A 
Condizione 1
P  A   lim
n 
fr  A 
n
(Esperimento per eventi futuri)
La probabilità di un evento A è una misura del grado di fiducia che una persona ripone sul verificarsi di un
dato evento,
evento avendo a disposizione informazioni sul fenomeno
fenomeno. Può essere quantificato nella somma che
un individuo coerente è disposto a scommettere in un gioco equo nel quale, al verificarsi di A, egli riceve
dal banco un importo unitario.
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Cristina Davino
Cristina Davino
La definizione frequentista
La definizione frequentista
• Esperimento: lancio di due dadi
• Esperimento: lancio di due dadi
• Obiettivo: calcolare le probabilità che si verifichino i
• Obiettivo: calcolare le probabilità che si verifichino i
diversi punteggi (somma dei numeri che appaiono sui due
dadi dopo ogni gettata)
diversi punteggi (somma dei numeri che appaiono sui due
dadi dopo ogni gettata)
Spazio
campionario
Risultatti dado 2
Risultati dado 1
1
2
3
4
5
6
1
2
2
3
3
4
5
6
7
4
5
6
7
3
8
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
Spazio
campionario
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La definizione frequentista
Somma
dei punti
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
totale
Prob. a
Prob
priori
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
1
Freq.
Freq
%
2,8
5,6
8,3
11,1
13,9
16,7
13,9
11,1
8,3
56
5,6
2,8
100
Freq. %
Freq
dopo
100 lanci
5
11
4
14
6
13
18
9
12
5
3
100
Cristina Davino
Gli assiomi della probabilità
Freq. %
Freq
dopo
1000
lanci
3,5
6,7
9,2
11,5
13,1
14,4
13,9
10,3
9,4
55
5,5
2,5
100
Freq. %
Freq
dopo
7000
lanci
2,4
4,6
7,8
11,1
14,1
16,0
13,9
12,0
9,5
57
5,7
2,9
100
1
1.
2.
3.
P  Ei   0
P   1
Ei  E j  
Ei  
 P  Ei  E j   P  Ei   P  E j 
• La p
probabilità è un numero reale compreso
p
tra 0 e 1
associato al presentarsi dell’evento
(evento impossibile  0p1  evento certo)
• La probabilità sull’intero spazio campionario è uguale a 1
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Gli assiomi della probabilità
Il teorema delle probabilità totali
“La prova genera l’evento con una certa probabilità”
Consente di calcolare la probabilità che si verifichi almeno uno tra
due o più eventi
Eventi incompatibili:
Modello probabilistico
 L’insieme costituito dallo spazio campionario di un esperimento e
dalle probabilità associate.
1
Ω
A
Cristina Davino

P  E1 o E 2 o ... o E s  =P  E1 + E 2 + ... + E s  
E1
E2
 P  E1  E 2  ...  E s   P  E1   ...  P  E s 
P(
P(evento)
)
B
Eventi compatibili:
D
C
P  E1 o E 2  = P  E1   P  E 2   P  E1  E 2 

E1
E2
E
0
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Un esempio
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Un esempio
Estraendo a caso una carta da un mazzo di 52 carte
carte, qual
è la probabilità di ottenere un due o un sette?
Estraendo a caso una carta da un mazzo di 52 carte
carte, qual
è la probabilità di ottenere una carta di cuori o un sette?
• Esperimento: estrazione di una carta
• Esperimento: estrazione di una carta
la carta estratta è un due”
due
• E1: evento “la
la carta estratta è di cuori”
cuori
• E1: evento “la
• E2: evento “la carta estratta è un sette”
• E2: evento “la carta estratta è un sette”
• E1 e E2 sono incompatibili
• E1 e E2 sono compatibili
PE1 o E 2  PE1  E 2   PE1  PE 2  
1 1

13 13
PE1 o E 2   PE1  E 2   PE1  PE 2   PE1  E 2  
1 1 1
 
4 13 52
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PUniversità
 E1  E 2  di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali
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Il teorema delle probabilità composte
Consente di calcolare la probabilità che si verifichino tutti
gli eventi considerati
Cristina Davino
La probabilità condizionata
La probabilità di un evento dipende dalle circostanze sotto
le quali l’esperimento viene condotto
Eventi indipendenti:
P  E1 e E 2 e ... e E s  = P  E1  E 2  ...  E s   P  E1   ...  P  E s 
Elementi condizionanti

E1
P  E1  E 2 
*
Spazio campionario ridotto
EE
2 *2*
E1
E2
Eventi dipendenti:
P  E1 e E 2  = P  E1  E 2   P  E1   P  E 2 | E1 
Probabilità
condizionata
P  E 2 | E1  =
P  E1  E 2 
P  E1 
se P  E1   0
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Indipendenza
Schema logico per le applicazioni
Due eventi E1 e E2 sono indipendenti se:
P  E 2 | E1  =P  E 2 
 L’indipendenza
’ d
d
è una relazione
l
reciproca
P  E 2 | E1  =P  E 2 
Cristina Davino
P  E1 | E 2  =P  E1 
 Se due eventi sono indipendenti allora
P  E1  E 2  = P  E1   P  E 2 
1 Individuare
1.
I di id
correttamente
tt
t la
l prova e gli
li eventi
ti che
h essa genera
2. Distinguere gli eventi elementari
3. Esplicitare gli eventi complessi
incompatibili
P  A  B   P  A  P  B 
P  A  B  0
Eventi A e B
compatibili
P  A  B   P  A  P  B   P  A  B 
P  A  B
indipendenti
P  A  P  B 
dipendenti
P  A  P  B | A
P B  P  A | B
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Cristina Davino
Un esempio
Cristina Davino
Un esempio
Estraendo a caso due carte da un mazzo di 52 carte
carte, qual
è la probabilità che entrambe siano regine?
Estraendo a caso due carte da un mazzo di 52 carte
carte, qual
è la probabilità che entrambe siano regine?
• Esperimento: estrazione di due carta
• Esperimento: estrazione di due carta
• E1: evento “la
la prima carta estratta è una regina
regina”
• E1: evento “la
la prima carta estratta è una regina
regina”
• E2: evento “la seconda carta estratta è una regina”
• E2: evento “la seconda carta estratta è una regina”
1. Estrazione senza ripetizione (eventi dipendenti)
2. Estrazione con ripetizione (eventi indipendenti)
PE1 e E 2   PE1  E 2   PE1  PE 2 | E1 
4 3

52 51
PE1 e E 2   PE1  E 2   PE1  PE 2 
4 4

52 52
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Cristina Davino
Il Teorema di Bayes
Il Teorema di Bayes
???
Problema diretto
???
Probabilità
note:
 P  E1 
 P  E2 
 P  A | E2 
 P  A | E2 
???
Problema inverso
E1
Cristina Davino
E2
Probabilità
a posteriori
 P E | A
1
 P  E2 | A 
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Cristina Davino
Il Teorema di Bayes
E1
E2
Il Teorema di Bayes
En
……………..
E1
n
• E1, ..., En: eventi necessari e incompatibili (  E
i

)
(Cause)
i1
Probabilità note:
Probabilità da determinare
 P  Ei 
 P  Ei | A   Prob. a posteriori

E2
……………..
En
n
• E1, ..., En: eventi necessari e incompatibili (  E
i

)
(Cause)
i1
• A: evento incluso nello stesso spazio campionario ( A  )
Prob a priori
Prob.
Cristina Davino
(Effetto)
• A: evento incluso nello stesso spazio campionario ( A  )
(Effetto)
(Teorema delle prob. Composte)
P  E i  A  =P  E i  P  A | E i 
P  Ei | A  
 P  A | Ei   Prob. condizionate
P  Ei  A 
P A
n
n
i =1
i1
P  A  =  P  A  E i    P  E i  P  A|E i 
(Teorema delle prob. Totali)
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Cristina Davino
Il Teorema di Bayes
Cristina Davino
Un esempio
In una fabbrica di pneumatici ci sono tre turni di operai: un turno di
E1
E2
giorno, uno di sera e uno di notte.
En
……………..
Secondo dati del passato,
passato il 40% dei pneumatici prodotti dalla fabbrica
furono prodotti dal turno di giorno, un altro 40% dal turno di sera e il
n
• E1, ..., En: eventi necessari e incompatibili (  E
i

)
(Cause)
restante 20% dal turno di notte.
i1
• A: evento incluso nello stesso spazio campionario ( A  )
P  Ei | A  
P  Ei  P  A | Ei 
n
 P E  P A | E 
i
i 1
i
i
(Effetto)
Il 5% dei pneumatici prodotti dal turno di giorno erano difettosi, mentre
percentuale di p
prodotti difettosi era p
pari al 10% di q
quelli p
prodotti dal
la p
turno di sera e al 20% di quelli prodotti dal turno di notte.
Estraendo a caso un pneumatico, esso risulta difettoso. Il direttore del
controllo della qualità vuole stabilire quale turno di produzione lo abbia
prodotto.
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Un esempio
Cristina Davino
Un esempio
In una fabbrica di pneumatici ci sono tre turni di operai: un turno di giorno, uno di sera e uno di notte.
……Secondo dati del passato, il 40% dei pneumatici prodotti dalla fabbrica furono prodotti dal turno di
Secondo dati del passato, il 40% dei pneumatici prodotti dalla fabbrica furono prodotti dal turno di
giorno, un altro 40% dal turno di sera e il restante 20% dal turno di notte.
giorno, un altro 40% dal turno di sera e il restante 20% dal turno di notte.
Il 5% dei pneumatici prodotti dal turno di giorno erano difettosi, mentre la percentuale di prodotti
Il 5% dei pneumatici prodotti dal turno di giorno erano difettosi
difettosi, mentre la percentuale di prodotti
difettosi era p
pari al 10% di q
quelli p
prodotti dal turno di sera e al 20% di q
quelli p
prodotti dal turno di notte….
difettosi era pari al 10% di quelli prodotti dal turno di sera e al 20% di quelli prodotti dal turno di notte.
PS1   0,40
PS 2   0,40
PS3   0,20
Estraendo a caso un pneumatico, esso risulta difettoso. Il direttore del controllo della qualità vuole
stabilire quale turno di produzione lo abbia prodotto
prodotto.
Evento S1: il pneumatico estratto è stato prodotto dal turno di giorno
Evento S2: il pneumatico estratto è stato prodotto dal turno di sera
Evento S3: il pneumatico estratto è stato prodotto dal turno di notte
PS1 | D  

Evento D1: il pneumatico estratto è difettoso
PD | S1   0,05
PD | S 2   0,10
PD | S 3   0,20
PD | S1   PS1 

PD | S1   PS1   PD | S 2   PS 2   PD | S 3   PS3 
0,05  0,40
0,02

 0,20
0,05  0,40  0,10  0,40  0,20  0,20 0,10
Evento D2: il pneumatico estratto non è difettoso
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Un esempio
……Secondo dati del passato, il 40% dei pneumatici prodotti dalla fabbrica furono prodotti dal turno di
……Secondo dati del passato, il 40% dei pneumatici prodotti dalla fabbrica furono prodotti dal turno di
giorno, un altro 40% dal turno di sera e il restante 20% dal turno di notte.
giorno, un altro 40% dal turno di sera e il restante 20% dal turno di notte.
Il 5% dei pneumatici prodotti dal turno di giorno erano difettosi, mentre la percentuale di prodotti
Il 5% dei pneumatici prodotti dal turno di giorno erano difettosi, mentre la percentuale di prodotti
difettosi era p
pari al 10% di q
quelli p
prodotti dal turno di sera e al 20% di q
quelli p
prodotti dal turno di notte….
difettosi era p
pari al 10% di q
quelli p
prodotti dal turno di sera e al 20% di q
quelli p
prodotti dal turno di notte….
PS1   0,40
PS 2   0,40
PS3   0,20
PS 2 | D  

PD | S1   0,05
PD | S 2   0,10
PD | S 3   0,20
PD | S 2   PS 2 

PD | S1   PS1   PD | S 2   PS 2   PD | S3   PS3 
0,10  0,40
 0,40
0,05  0,40  0,10  0,40  0,20  0,20
PS1   0,40
PS 2   0,40
PS3   0,20
PS3 | D  

PD | S1   0,05
PD | S 2   0,10
PD | S 3   0,20
P  D | S 3   P S 3 

PD | S1   PS1   PD | S 2   PS 2   PD | S3   PS3 
0,20  0,20
 0,40
0,05  0,40  0,10  0,40  0,20  0,20
Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali
Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali
a.a. 2014
2014--2015 La probabilità
a.a. 2014
2014--2015 La probabilità
Cristina Davino
Descrizione dello spazio campionario attraverso
una tabella di contingenza
La tabella riporta i risultati di 100
candidati ad un Concorso pubblico,
divisi per genere ed esito.
Genere
Maschi
Femmine
Positivo
18
34
52
Negativo
22
26
48
40
60
100
Esito
Si estrae a caso un candidato. Qual
è la probabilità che:
Cristina Davino
Descrizione dello spazio campionario attraverso
una tabella di contingenza
Genere
Esito
Maschi
Femmine
Tot
Positivo
0,18
0,34
0,52
Negativo
0,22
0,26
0,48
Tot
0,40
0,60
1,00
a. Sia maschio?
18  22
 0,, 4
100
b. Abbia superato la prova?
18  34
 0,52
100
Indipendenza  P  A  B   P  A   P  B 
c.
Abbia superato la prova posto che sia maschio?
18
 0, 45
40
P  A   0, 40
d Sia maschio posto che abbia superato la prova?
d.
18
 0,35
52
e.
f.
A: Maschio
La tabella riporta le probabilità relative ai risultati di
100 candidati ad un Concorso pubblico, divisi per
genere ed esito.
E possibile considerare l’esito
E’
l esito come indipendente dal
Genere?
B: Esito positivo
P  B   0,52
P  A   P  B   0, 40  0,52  0,208
Maschi
Femmine
Tot
0,208
0,312
0,520
Negativo
0,192
0,288
0,480
Tot
0,400
0,600
1,000
Genere
Maschi
Femmine
Positivo
21
31
52
Negativo
19
29
48
Tot
40
60
100
Esito
34
 0,34
100
Abbia superato la prova ma non sia maschio?
Genere
Positivo
Frequenze in caso di indipendenza
P  A  B   0,18
52
60
34


 0,78
100 100 100
Abbia superato la prova oppure sia femmina?
Probabilità in caso di indipendenza
Esito
Tot
Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali
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a.a. 2014
2014--2015 La probabilità
a.a. 2014
2014--2015 La probabilità
Cristina Davino
Un esempio
Dove e come studiare
In un cassetto ci sono 10 pile, di cui 7 funzionanti e 3 esaurite. Dal cassetto
viene
i
presa, a caso, una prima
i
pila
il e poi,
i senza reintrodurre
i t d
nell cassetto
tt la
l
prima, ne viene presa una seconda. Qual è la probabilità che le due pile
siano:
a Entrambe funzionanti?
a.
b. Entrambe esaurite?
c. Una funzionante e una esaurita?
Evento A: La prima pila è funzionante
• S. Borra, A. Di Ciaccio (2008) – Statistica – Metodologie per le scienze
economiche e sociali – McGraw-Hill. Cap. 8
• D. Piccolo (2004) – Statistica per le decisioni – Il Mulino. Cap. 8
Evento B: La seconda pila è funzionante
a. Entrambe le pile sono
funzionanti:
P  A  B 
b Entrambe le pile sono
b.
esaurite:
P AB
c. Una pila funziona e una è
esaurita:
Cristina Davino


7 6
 0,7
0 7  0,
0 667  0,
0 467

10 9

3 2
0 3  0,222
0 222  0,
0 067
  0,3
10 9
3 7
7 3
 

P AB  AB  


10 9 10 9

 

 0,233  0,233  0, 466
File “esercizi probabilità.pdf”
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a.a. 2014
2014--2015 La probabilità
Cristina Davino
Riepilogo
Elementi di teoria della probabilità
 Teoria della probabilità e inferenza
 I concetti
tti basilari
b il i della
d ll probabilità:
b bilità esperimento,
i
t evento,
t spazio
i
campionario
 L’algebra degli eventi e i diagrammi di Eulero-Venn
 Relazioni tra eventi: incompatibilità, necessarietà, inclusione, indipendenza
 Definizioni di probabilità: classica, frequentista, soggettivista
 Teoria assiomatica
 Descrizione dello spazio campionario attraverso una tabella di contingenza
 Probabilità marginale
marginale, congiunta
congiunta, condizionata
 Teorema delle probabilità totali
 Teorema delle p
probabilità composte
p
 Teorema di Bayes