Istituzioni di Matematica – dott

Matematica
Simulazione Esame 2016-2017
dott. Francesco Giannino
dott.ssa Rosanna Campagna
Cognome e Nome:
___________________________
Matricola:
___________________________
Istruzioni per il corretto svolgimento dell’esame:
Non è consentito l’utilizzo di appunti, fogli riassuntivi, schemi, cellulari (anche se con app
calcolatrici), … . E’ consentito l’utilizzo della calcolatrice solo se personale.
Lo studente dovrà svolgere gli esercizi scrivendo negli spazi disponibili per ogni domanda riportando
il risultato nell’apposito spazio “R____________”. Non verranno corretti gli esercizi che non
riportano tale risultato.
Buon lavoro.
ESERCIZI OBBLIGATORI (necessari ma non sufficienti) per il superamento dell’esame
OB_1 L’insieme di definizione della seguente funzione è
ln( x)  3
4  3x  x 2
f ( x) 

x4
ex
OB_2 Disegnare sullo stesso sistema di assi cartesiani le seguenti funzioni 𝑥 4 , log𝑒 𝑥, 0.3𝑥 , 𝑒 𝑥 in
[0,∞)
OB_2 Individuare nel seguente grafico le quattro funzioni
OB_3 Calcolare la derivata della seguente funzione
f(x)=ln2(x2-1)
1
7 x  2, x 7 ,  7 x  7,7 x
OB_4 Quanto vale il seguente limite
lim
ln(𝑥)
𝑥→+∞ 𝑒 −𝑥
lim 2
x 0

1
x
2
+ =
𝑥


OB_5 Quanto vale
∫ 𝑥 sin(𝑥 2 ) + 𝑥 3 𝑑𝑥
𝑥
∫ 1−𝑥2 𝑑𝑥
OB_6 Scrivere in notazione esponenziale scientifica i due numeri seguenti (con 4 cifre dopo la
virgola)
300 000 km/s
R:__________________________
0.0000031415 x 102
R:__________________________
OB_7: Trovare il pH dalla concentrazione 0.1 molare ricavando x della seguente formula, dove x è la
concentrazione di H+ (trascurando o meno la x al denominatore)
𝑥2
−5
1.8 ∙ 10 =
0.1 − 𝑥
OB_7: Trovare la concentrazione iniziale dell’acido x della seguente formula, per un pH pari a 4.5
(10−4.5 )2
1.8 ∙ 10−5 =
𝑥 − 10−4.5
1. Assegnata la funzione 𝑓 (𝑥 ) =
𝑥 2 +𝑥+1
𝑥
rispondere alle seguenti domande:
- Quali sono gli eventuali zeri di f?
R:__________________________
- Quali sono gli asintoti della funzione?
R:__________________________
- Esistono punti stazionari? quali sono?
R:__________________________
- Quali sono gli estremi relativi?
R:__________________________
- E gli Estremi assoluti?
R:__________________________
- Fare il grafico della funzione
2
2. Quanto vale l’area sottesa dal grafico della funzione 𝑦 = 𝑥 3 − 1 nell’intervallo [-1,1]?
3. Tracciare i grafico possibile di una funzione y=f(x) date le seguenti informazioni:
1.
Dominio di f ]- ∞, +∞[
2.
f(x) positiva per -6<x<0 e x>10, negativa altrimenti
3.
4.
5.
lim f ( x )   lim f ( x)  
x   
x   
Max relativo=+4 in x=-4, min relativo=-4 in x=2
f decresce per -4<x<2 e f cresce per x<-4 e per x >2
3. Dal grafico della funzione che segue determinare:
a. dominio di f
b. immagine di f
c. gli eventuali asintoti di f
d. estremo superiore ed estremo inferiore
e. massimi e minimi relativi
f. gli eventuali massimi e minimi assoluti
g. gli intervalli in cui f cresce e decresce
h. gli zeri di f
i. gli intervalli in cui f >0 ed f<0
4. Sia data la funzione 𝑓(𝑥 ) = ln √4 − x 2 . Qual e’ l’equazione della retta tangente al grafico nel
punto x0=1?
3
𝑠
5. Data la funzione 𝐶 (𝑠, 𝑟) = (𝑠 + 1) ∙ 𝑟 2 + 𝑟 2 calcolare
C C
e
s r
6. Uno scaffale contiene 8 CD di musica classica, 9 CD di musica rock e 7 CD di musica leggera.
Calcolare la probabilità che prendendo, consecutivamente, a caso due CD siano:
(a) entrambi di musica rock
(b) Uno di musica classica ed uno di musica leggera.
6. La genetica studia la trasmissione dei caratteri ereditari, dovuta alla presenza di unità ereditarie
(definite geni) sui cromosomi contenuti nel nucleo di ogni cellula eucariote.
Supponiamo che 2 caratteristiche di una pianta (colore del fiore e altezza della pianta) siano
determinate da singoli geni localizzati su cromosomi differenti. Si ricorda che un gene è indicato
con una lettera e che per ogni gene esistono 2 copie (definite alleli), che possono essere uguali (es.
AA, aa) oppure diverse (es. Aa).
Colore del fiore: rosso (A) dominante o bianco (a)
Altezza della pianta: alta (B) dominante o bassa (b)
Incrociamo 2 piante la prima AaBb e la seconda AAbb
Quesito 1:
Disegnare il grafo ad albero di tutti i possibili incroci degli alleli
Quesito 2:
Scrivere la probabilità che esca:
- una pianta con A- (con almeno un A grande)
- una pianta Aabb
- una pianta A-B- (con almeno un A e una B)
- una pianta aabb
6. Quale è la probabilità che lanciando una moneta 4 volte esca:
- 3 volte croce
- Almeno 3 volte croce
- Nessuna volte croce
7. Un fabbricante di pentole vuole costruire la pentola più economica fra tutte quelle di acciaio di
forma cilindrica, aventi lo stesso volume V.
Il costo è proporzionale alla superficie esterna della pentola. Si consideri la funzione 𝑓 (𝑥 ) = 𝜋𝑥 2 +
2𝑉
, che rappresenta la superficie esterna della pentola, in funzione del raggio x>0. Determinare il
𝑥
valore del raggio di base x, in corrispondenza del quale quest’ultima, e dunque il costo, risulti
minima.
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