Determinazione della massa del buco nero posto nel centro della

Università degli Studi di Firenze
Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Tesi di Laurea in Fisica di I livello
Determinazione
della massa del buco nero
posto nel centro della Via Lattea
Candidata: Sara Faggi
Relatore: Prof. Alessandro Marconi
Anno Accademico 2007/08
Indice
Introduzione
La Via Lattea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Il Centro Galattico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
3
1 Fenomenologia di SgrA*
1.1 Scoperta di SgrA* e studio del nucleo galattico . . . . . . . . . . . . .
1.2 L’ammasso stellare nucleare e il Paradosso di giovinezza . . . . . . . .
1.3 Moto proprio e limite sulla massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
6
7
2 Dinamica del sistema stella buco nero
10
2.1 Problema dei due corpi e riduzione alla forza centrale . . . . . . . . . 10
2.2 Momento angolare e moto nel piano dell’orbita . . . . . . . . . . . . . 12
3 Il sistema di riferimento
17
4 Fit
4.1
4.2
4.3
4.4
20
20
26
27
28
della massa
Elaborazione dati con IDL .
Risultati . . . . . . . . . . .
È veramente un Buco Nero?
Conclusioni . . . . . . . . .
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Bibliografia
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29
I
Introduzione
Molte, se non tutte le galassie sono caratterizzate dall’avere un buco nero molto
massiccio, ovvero con massa M ∼
= (106 − 1010 )M , posto nel loro centro. Misure
ripetute della velocità e delle posizioni delle stelle che si trovano attorno al centro
della nostra Galassia, e la successiva scoperta di emissione di raggi X in tale zona,
hanno mostrato, con forte evidenza, l’esistenza di tale oggetto supermassivo al centro
della Via Lattea. Lo scopo di questo lavoro è la stima della massa del buco nero
situato al centro della nostra galassia, la Via Lattea, utilizzando i moti propri e le
velocità di alcune stelle.
La Via Lattea
La Via Lattea, galassia a cui appartiene il sistema solare, è individuata da quella
banda di luce continua che attraversa la sfera celeste, inclinata di 62, 6◦ rispetto
all’equatore celeste e formata dalle stelle situate nel disco della galassia stessa.
La Via Lattea è una galassia a spirale barrata di classe intermedia SBb-SBc, con una
massa complessiva di circa 1011 M e che contiene da 200 a 400 miliardi di stelle.
La galassia è costituita da tre componenti principali: bulge, disco e alone.
• Il bulge rappresenta il nucleo centrale della nostra galassia, è uno sferoide con
diametro di 1 kpc e un’ altezza di 0, 4 kpc, è formato da stelle sia di prima
che seconda popolazione, distribuite all’ interno di un ellissoide triassiale. Le
stelle di popolazione I, ricche di metalli come ad esempio Carbonio, Ossigeno e
Ferro, sono relativamente giovani (età ¡ 10Gyr) perchè formate da nubi di gas
interstellare che erano state arricchite con gli elementi pesanti formati dalle
stelle delle precedenti generazioni. Al contrario le stelle di popolazione II,
povere di metalli, sono stelle vecchie (età 12-14 Gyr) che si sono formate da
nubi ricche di Idrogeno ed Elio primordiali. I moti delle stelle sono caotici,
con dispersione di velocità pari a σz ∼
= 120 Km/s.
• Il disco galattico ha un diametro di circa 50 kpc, uno spessore di 1kpc, ed
è composto principalmente da stelle di popolazione I in rotazione ordinata
attorno al centro galattico. Oltre a tali stelle, il disco non ha una struttura
omogenea, ma è formato da un aggregato di ammassi stellari e nubi miste di
polvere, gas atomico e molecolare. Inoltre si suddivide in un disco sottile, nel
1
Figura 1: I componenti della Via Lattea
quale le stelle compiono orbite che giacciono sul piano galattico, dove si trova
anche il Sole ad una distanza di 8 ± 0.5 kpc dal centro, e da un disco spesso
che costituisce una sorta di regione intermedia fra disco sottile ed alone, in cui
le stelle compiono orbite inclinate rispetto al piano galattico.
• L’ alone ha una forma approssimativamente sferica, con un diametro di circa
40 kpc, ed è composto da ammassi globulari, stelle ad alta velocità e materia
oscura che circondano il disco galattico. A differenza del disco galattico, l’
alone è quasi del tutto sgombro di polvere interstellare e gas. Le stelle dell’
alone sono tutte di popolazione II, più vecchie e con meno metalli delle stelle
di popolazione I del disco. La componente principale dell’alone, cosı̀ come di
tutta la Galassia è la materia oscura che costituisce circa il 90% della massa
totale. La presenza di materia oscura nell’ alone è dedotta dal suo effetto
gravitazionale sulla curva di rotazione della galassia. La velocità rotazionale
di una galassia, ricavata dal bilanciamento q
tra la forza gravitazionale della
galassia stessa e quella centrifuga, è v(r) = ( M (r)G
). Dove r è la distanza
r
dal centro, M(r) è la massa racchiusa entro il raggio r, ovvero stelle e gas
2
che sono presenti fino ad una distanza di r∼
=10kpc dal centro. Dove non c’è
1
più materia, la velocità dovrebbe diminuire allontanandosi dal centro v∝ r 2 ,
invece le osservazioni delle linee di emissione dell’idrogeno a lunghezza d’ onda
di λ = 21cm mostrano che la velocità di rotazione non diminuisce, ma resta
costante ben oltre il limite visibile della galassia. Questo può essere spiegato
solo dalla presenza di materia oscura.
Il Centro Galattico
Il centro della Via Lattea è un campo di ricerca affascinante ed estremamente interessante. Data la sua vicinanza, D0 ∼
= 8kpc, è l’unico laboratorio esistente che ci
permette di studiare in dettaglio i processi fisici che avvengono nei nuclei galattici.
Nel raggio di pochi anni luce dal centro sono presenti dense e luminose aggregazioni
di stelle e gas caldi sia ionizzati che neutri. In tale zona è presente inoltre una
sorgente radio molto compatta, localizzata proprio al centro dell’ ammasso stellare
nuclere, in direzione della costellazione del Sagittario. Dalle osservazioni eseguite
su diverse lunghezze d’onda e dagli studi fatti si è verificato che tale sorgente radio
compatta, con densità di circa 1017 M pc−3 e non termica, è associata ad un oggetto
molto massiccio, probabilmente un buco nero, la cui determinazione della massa è
lo scopo di questa tesi.
3
1
1.1
Fenomenologia di SgrA*
Scoperta di SgrA* e studio del nucleo galattico
Studi svolti sulla regione entro un raggio di pochi parsec dal Centro Galattico, hanno mostrato che questa zona contiene varie componenti che coesistono all’interno
del potenziale gravitazionale della galassia. Questi componenti sono: un buco nero
(BH) supermassiccio , un ammasso stellare che circonda il BH, un anello di gas
molecolare, polvere e gas ionizzato caldo, associato a resti di supernovae. Molti di
questi fenomeni sono spiegati per mezzo delle osservazioni a diverse lunghezze d’onda (Radio, IR, X, γ) che distinguono le regioni dello spazio in cui avvengono.
Il centro dinamico del nucleo galattico è stato individuato in SgrA*, una sorgente radio compatta, non termica, scoperta nel 1974 da Balick e Brown con osservazioni nel
radio, a lunghezza d’onda λ = 90cm, ottenute con il National Radio Astronomical
Observatory (NRAO) interferometer e confermata successivamente dalle osservazioni ottenute con il Very Long Baseline Interferometer (VLBI). Questo interferometro,
composto da molti telescopi sparsi sulla superficie terrestre fornisce osservazioni alla risoluzione di un telescopio equivalente con un diametro pari a quello terrestre.
Fu Brown che identificò tale sorgente compatta col nome SgrA* per sottolinearne
l’unicità rispetto all’emissione radio della totalità del nucleo galattico.
Negli ultimi anni, l’ipotesi che il centro Galattico contenesse un buco nero associato
a SgrA* è stata verificata in maniera molto solida. Gli studi di dinamica stellare
nelle vicinanze di SgrA* hanno mostrato l’esistenza di una enorme massa puntiforme che è all’origine della radio sorgente. Le osservazioni più accurate sono state
condotte da un gruppo tedesco al VLT (Genzel et al. 1996; Eckart e Genzel 1997;
Eckart et al. 2002; Schodel et al. 2002, 2003; Eisenhauer et al. 2005) e da un gruppo
americano al Keck (Ghez et al. 1998, 2003, 2005).
Questi due gruppi stanno misurando i moti propri e le velocità delle stelle molto
vicine al buco nero (entro un raggio di circa 30 anni luce) da circa una quindicina
di anni. Ciò ha permesso la ricostruzione tridimensionale dell’ orbita di sei stelle
identificate con S1, S2, S8, S12, S13 e S14 appartenenti alle classi spettrali B0-B9.
Le orbite di queste stelle sono tutte di tipo kepleriano, ovvero ellittiche (Ghez et
al. 2003, Eisenhauer et al. 2005). La conoscenza delle orbite di queste stelle, ha
permesso quindi di ottenere una stima accurata della massa del buco nero supermassiccio (MBH = (4.6 ± 0.38) · 106 M ).
4
Figura 2: Osservazioni radio del Centro Galattico
Le osservazioni del moto di tali stelle, nella direzione del centro della Via Lattea,
vengono generalmente effettuate nelle bande del vicino infrarosso (NIR), ovvero nelle
bande H,K e L (1.7µm, 2.2µm e 3.8 µm). In particolare, i dati presi in considerazione in questa tesi sono stati ottenuti in banda K, centrata a λ = 2.2µm. Questo
è stato fatto per evitare l’ assorbimento che si avrebbe nella banda del visibile (da
400nm a 800nm) dovuto alle nubi di polvere interstellare che dominano il piano del
disco Galattico. Ovviamente per le immagini ad alta risoluzione da terra è stata
necessaria l’introduzione delle ottiche adattive che correggono i disturbi causati dall’atmosfera, come ad esempio il seeing.
5
1.2
L’ammasso stellare nucleare e il Paradosso di giovinezza
Il conteggio più recente delle stelle presenti nell’ammasso nucleare è stato ottenuto
con osservazioni profonde di spettroscopia panoramica ottenute con SINFONI (Spectrograph for INtegral Field Observations in the Near Infrared) insieme al VLT(Very
Large Telescope), che ha fornito come risultato circa un centinaio di stelle di classe
OB, con un’ età compresa tra i 5 e 50 milioni di anni, incluse varie supergiganti blu
molto luminose, stelle di tipo Wolf-Rayet (stelle molto massiccie che hanno raggiunto uno stadio estremamente avanzato della loro evoluzione e che hanno perso buona
parte della loro massa originaria a causa dell’ intensissimo vento stellare da esse
emanato) e stelle giovani di sequenza principale. Questo ci permette di capire come
l’ammasso stellare nucleare costituisca una delle maggiori concentrazioni di stelle
massicce della Via Lattea. Grazie all’ ottica adattiva del VLT, sono state anche
rivelate stelle più deboli, fino ad una magnitudine K=17-18, che corrispondono a
stelle di tipo ”late B” o ”early A” (3 − 6M ).
La rivelazione di queste stelle ha permesso di studiare la distribuzione di densità
dell’ ammasso stellare. Il risultato è stato che mentre la distribuzione della luminosità superficiale dell’ ammasso non è centrata su SgrA*, la distribuzione di densità
lo è. Esiste quindi un addensamento molto netto di stelle brillanti intorno alla radio
sorgente (Genzel et al. 2003, Schodel 2006), la densità volumetrica di tale addensamento è descritta tramite la seguente legge di potenza in funzione del raggio:
ρ(r) = r(1.4±0.1) consistente con il valore atteso per un ammasso stellare rilassato
intorno ad un buco nero supermassiccio (Alexander 2005).
Il paradosso di giovinezza nasce dal capire la coesistenza di un ammasso di stelle
giovani attorno ad un buco nero supermassicio. Affinchè avvenga il collasso gravitazionale per la formazione di tali stelle, la densità del gas che occorrerebbe, in
presenza delle forze mareali cosı̀ forti come quelle misurate nel centro galattico, è
sicuramente superiore alla densità delle nubi di gas osservate fino ad ora nel centro
Galattico. Da tali considerazioni sulla densità possiamo capire che tali stelle non
possono essersi formate in loco. Del resto, se si fossero formate esternamente da
tale regione centrale, il tempo necessario alla loro formazione e al loro spostamento
vicino al centro sarebbe molto maggiore dell’età delle stelle stesse.
Sebbene siano state avanzate molte proposte per spiegare il cosiddetto ”paradox of
youth ” , la questione non è stata ancora spiegata in maniera esauriente. I modelli
proposti hanno difficoltà a conciliare i differenti aspetti che sono presenti nel centro
6
galattico. Le idee più ragionevoli che spiegano questo apparente problema sono: la
fomazione in loco di un denso gas di un disco di accrescimento che potrebbe soddisfare i limiti ”mareali”; il ringiovanimento di stelle più vecchie attraverso collisioni o
perdite di massa; la formazione di un denso ammasso stellare esterno che sottoposto
alla forte attrazione gravitazionale è degenerato nelle condizioni osservate.
1.3
Moto proprio e limite sulla massa
I moti propri, accelerazioni, e le orbite delle stelle attorno al comune centro gravitazionale sono stati determinati con molta precisione nell’infrarosso. Attraverso i dati
ricavati dalle osservazioni astronomiche è stata stimata una massa di ∼
= 4 · 106 M
all’interno di un raggio di 100AU . Questi risultati sono completamente consistenti
con l’ipotesi che afferma che SgrA*, la sorgente radio compatta nel Centro Galattico, sia associata ad un buco nero supermassiccio (SMBH). Mostriamo ora come
sia possibile ottenere un vincolo sulla massa di SgrA* dal suo moto proprio.Dalle
osservzioni nel radio e nell’IR si è potuto vedere che SgrA* ha un moto proprio
dovuto alla rotazione del Sole attorno al centro della galassia. Il Local Standard of
Rest (LSR, Sistema di Riferimento di Riposo Standard) è il sistema di riferimento
nel quale l’origine si trova istante per istante nella posizione del Sole e si muove
lungo un’ orbita circolare con velocità orbitale di VLSR = 220 km/s nel piano della
Galassia, a distanza di 8kpc dal centro.SgrA* avrà quindi nel LSR un moto apparente dovuto in gran parte al moto di rotazione del LSR stesso. Una volta sottratta
alla velocità misurata di SgrA* quella del Local Standard Rest(VLSR = 220km/s),
quello che otteniamo è un limite superiore alla velocità del moto proprio di SgrA*:
VSgrA∗ < 8km/s. Questo risultato mette in luce il fatto che SgrA* può essere considerato un oggetto molto massiccio.
Dalla misura del moto proprio di SgrA* e delle stelle che vi orbitano attorno è
possibile stimare la massa del buco nero. Le stelle intorno al nucleo galattico hanno
masse tipiche di M∗ ∼
= 10M e velocità V∗ ∼
= 1000Km/s. Se assumo che nel centro
della galassia ci sia equipartizione dell’energia allora SgrA* avrà la stessa energia
cinetica di queste stelle, allora ricavo:
1
1
2
MSgrA∗ VSgrA∗
= M∗ V∗2
2
2
7
Figura 3: Moto proprio di SgrA* nel piano del cielo
1
1
MSgrA∗ (8Km/s)2 > (10M )(1000km/s)2
2
2
Quindi ottengo un limite inferior alla massa di SgrA*:
MSgrA∗ > 2 · 105 M
Nel mio lavoro cercherò di fornire una stima più accurata della massa del SMBH
attraverso le misure delle posizioni delle stelle nel tempo e attraverso le misure di
velocità lungo la linea di vista di tali stelle. Ho a disposizione quindi i dati dei
moti propri di alcune stelle, forniti gentilmente dal professor R. Genzel, direttore
del Max Planck Institut für Extraterrestrische Physik e a capo del gruppo che ha
effettuato gli studi più accurati del centro galattico, misurati nel sistema di riferi-
8
mento del laboratorio (cioé a Terra). La posizione delle righe di assorbimento degli
spettri stellari fornisce direttamente la velocità lungo la linea di vista, vls , mentre le
posizioni delle stelle sono misurate in ascensione retta AR(t) e declinazione DEC(t),
le coordinate sul piano del cielo.
Dai moti propri delle stelle, tenendo di conto degli effetti di proiezione dell’orbita
rispetto al sistema di riferimento del laboratorio e risolvendo il problema gravitazionale dei due corpi nel piano del moto, considerando il BH posto nel fuoco dell’orbta
delle stelle, quello che si ottiene sono delle funzioni delle posizioni e della velocità in
funzione del tempo e dei parametri liberi del sistema.
Il fit dei dati osservati mi permette quindi di ricavare i parametri liberi, tra i quali
la massa del BH.
Figura 4: Traiettorie e velocità delle stelle attorno ad SgrA*
9
2
Dinamica del sistema stella buco nero
2.1
Problema dei due corpi e riduzione alla forza centrale
La stima della massa del BH situato nel centro galattico viene fatta attraverso lo
studio del moto delle stelle che vi orbitano attorno. Alla base del moto di tali stelle
attorno ad SgrA* sta la soluzione del problema dei due corpi. Per problema di due
corpi intendo la descrizione del moto di due corpi puntiformi sotto l’azione della sola
forza gravitazionale. Scegliendo come sistema di riferimento una terna cartesiana
ortogonale, nella quale indichiamo la posizione dei due corpi rispettivamente come
~r1 e ~r2 e indicando con m1 e m2 le masse, la forza gravitazionale che agisce fra i due
punti massa, classicamente è:
m1 m2
(~
r1 − r~2 )
F~12 = −G
|~
r1 − r~2 |3
(1)
La Lagrangiana del sistema sarà:
1
L(r1 , r2 , r˙1 , r˙2 ) = [m1 |r~˙1 |2 + m2 |r~˙2 |2 ] − V (r)
2
(2)
con r = |~
r1 − r~2 | e con V(r) energia potenziale.
Nella mia trattazione sto considerando la massa m1 associata al BH che sappiamo
essere molto maggiore della massa di una qualsiasi stella che vi orbita attorno, a cui
associo m2 (MBH > 2·105 M >> M∗ ∼
= 10M ). I corpi celesti inoltre possono essere
trattati come punti materiali in quanto si trovano a distanze reciproche molto grandi
rispetto alle loro dimensioni. Date quindi tali particolari circostanze, il problema dei
due corpi, che apparterrebbe ad un sistema dinamico in R12 dimensioni, può essere
ridotto ad un sistema dinamico in R6 introducendo il moto relativo di uno dei due
corpi rispetto all’ altro sotto la forza di attrazione gravitazionale ed introducendo il
moto del centro di massa.
~rcm =
m1 r~1 + m2 r~1
coordinata del centro di massa
m1 + m2
r = |~
r1 − r~2 |
coordinata relativa
(3)
(4)
Nel nuovo sistema di riferimento, la conservazione delle forze esterne permette
10
~ è un integrale primo del moto:
di apprendere subito che la quanitá di moto Q
~
dQ
~ = cost
=0 ⇒ Q
F~ext = 0 ⇒
dt
È importante allora notare che, dato che la massa del BH è molto maggiore rispetto
a quella della stella, allora il centro di massa è coincidente con la posizione del BH.
Nel sistema del centro di massa il BH sta fermo, mentre la stella vi orbita attorno
sotto l’azione della forza centrale gravitazionale.
In tale sistema la Lagrangiana del moto relativo di una stella attorno ad SgrA*
risulta:
1
(5)
L(~r, ~r˙ ) = [µ|~r˙ |2 ] − V (r)
2
m2
con µ = mm11+m
massa ridotta del sistema. Poichè il fattore µ non influisce sul moto,
2
si puo considerare la Lagrangiana ridotta:
1
1
1
G(m1 + m2 )
1
Lµ (~r, ~r˙ ) = L(~r, ~r˙ ) = |~r˙ |2 − V (r) = |~r˙ |2 −
µ
2
µ
2
r
(6)
Infatti: V (r) = − G(mr1 m2 ) ⇒ W (r) = µ1 V (r) = − G(m1r+m2 )
Tale energia potenziale riscalata corrisponde all’ energia potenziale di un corpo
di massa unitaria nel campo gravitazionale di un corpo di massa M.
L’equazione di moto risulta allora essere:
m1 + m2
1
1 ∂V (r)
~
r
=
−(
~r¨ = ~¨r1 − ~¨r2 = −G
+
)
|~r|3
m1 m2 ∂r
(7)
Chiamo A = G(m1 + m2 ) ∼
= Gm1 = GmBH quindi:
A
~r¨ = ~¨r1 − ~¨r2 = − 3 ~r
|~r|
(8)
Tale equazione differenziale rappresenta il moto di un corpo di massa unitaria soggetta ad una forza centrale.Una soluzione del sistema in R12 , con condizione iniziale
(~r1 (0), ~r2 (0), ~r˙1 (0), ~r˙2 (0)) si otterrà a partire da una soluzione del sistema dinamico
in R6 con condizioni iniziali (~r(0), ~r˙ (0)).
11
2.2
Momento angolare e moto nel piano dell’orbita
Poichè la Lagrangiana del moto relativo è simmetrica rispetto alle rotazioni, per il
teorema di Noether le equazioni di moto avranno un vettore di integrali primi che
si può interpretare come il momento angolare.
Nel sistema di riferimento del centro di massa, centrato nel BH, e del moto relativo,
il momento angolare risulta:
~ = ~r ∧ ~r˙ = cost
L
Nel caso in esame stò considerando un corpo di massa unitaria soggetto ad un
campo centrale. Il momento angolare è un integrale primo del moto in quanto
~˙ = 0.
~r ∧ F~ ext = L
Conseguenze:
~ è ortogonale a ~r e a ~r˙ quindi al piano delle fasi in cui
• Il momento angolare L
avviene il moto. Prendendo un sistema di coordinate di R3 tale che l’asse x3
~ allora posso considerare il moto totalmente sul piano, ~r ∈
sia diretto come L
R2 .
~ e conoscendo le condizioni iniziali (~r(0), ~r˙ (0)) possiamo
• dalla costanza di L
risolvere il moto sul piano.
Per risolvere il problema ridotto al piano conviene passare alle coordinate polari
(r, θ) come segue:
Figura 5: Riferimento utilizzato con origine O coincidente con la posizione del BH
(
x1 = r cos θ
x2 = r sin θ
12
Cerco adesso l’equazione della traiettoria geometrica: considero le relazioni
A
~r¨ − 3 ~r = 0
|~r|
~ = ~r ∧ ~r˙ = cost
L
e
(9)
e ne faccio il prodotto vettoriale:
~ = A ~r ∧ L
~
~r¨ ∧ L
|~r|3
Tale equazione si risolve utilizzando l’uguaglianza matematica:
~a ∧ (~b ∧ ~c) = (~a · ~c)~b + (~a · ~b)~c
~ = A d ( ~r )
~ = d (~r˙ ∧ L)
~r¨ ∧ L
dt
dt r
Se:
d ˙
(~r
dt
(10)
~ − A ~r ) = 0
∧L
r
~ − A ~r ) = cost = ~eA
allora: (~r˙ ∧ L
r
Con ~e= eccentricità= cost
Moltiplico adesso scalarmente l’equazione per ~r:
~ − A (~r · ~r) = A(~r · ~e)
~r · (~r˙ ∧ L)
r
introducendo l’uguaglianza matematica:
~a · (~b ∧ ~c) = (~a ∧ ~b) · ~c
ricavo:
~ − Ar = A(~r · ~e)
~r · (~r˙ ∧ L)
(L)2 = Ar(1 − e cos θ)
Quindi:
r=
(L)2
A(1 − e cos θ)
13
(11)
Questa è l’equazione della traiettoria geometrica, rappresenta l’equazione di una
conica. Date delle condizioni iniziali si ricavano l’ eccentricità e ed A ∼
= Gm1 .
Consideriamo adesso l’energia, in coordinate polari la Lagrangiana si trasforma:
1
L(~r, ~r˙ ) = [|~r˙ |2 + |~r|2 θ̇2 ] − W (r)
2
(12)
con W (r) = µ1 V (r) = − G(m1r+m2 )
Si ottiene subito un integrale primo, cioè il momento pθ coniugato alla variabile
ciclica θ:
∂L(~r, ~r˙ )
= r2 θ̇ = L = cost
∂ θ̇
L
θ̇ = 2
r
Sostituendo l’equazione (11) nell’equazione( 14) ricavo:
pθ =
(13)
(14)
L4
θ̇ = L
A2 (1 − e cos θ)2
separando le variabili e risolvendo l’integrale è possibile ricavare la soluzione θ(t).
Sostituisco allora l’equazione( 14) nella lagrangiana, si ottiene la lagrangiana ad
un grado di libertà:
1
L
L(~r, ~r˙ ) = [|~r˙ |2 + 2 ] − W (r)
2
r
Adesso ricavando anche il momento pr coniugato alla variabile ciclica r:
(15)
r
∂L(~r, ~r˙ )
L2
G(m1 + m2 )
pr =
= ~r˙ = 2(E − 2 −
)
(16)
∂ ṙ
2r
r
Anche in questo caso separando le variabili ed integrando è possibile ricavare la
soluzione.
L’Hamiltoniana risulta:
1
L2
G(m1 + m2 )
H(~r, pr , pθ ) = p2r + 2 −
=E
2
2r
r
(17)
Ci fornisce l’ultimo integrale primo.
In conclusione il problema dei due corpi ridotto ha 7 integrali primi: le tre compo-
14
nenti della quantità di moto, le tre componenti del momento angolare e l’energia
totale. L’ r(t) e il θ(t) cosı̀ trovati mi permettono di risolvere il problema del sistema
Stella-Buco Nero e forniscono quelle relazioni per fittare i dati astronomici e determinare la massa del BH. L’utilizzo di tali soluzioni risulta però essere complicato,
pertanto è piu utile introdurre le seguenti variabili che semplificano la trattazione.
Definisco dell’anomalia media M, che rappresenta il moto medio di un corpo posto
sulla circonferenza immaginaria di raggio OP’:
M=
2π
(t − T )
P
(18)
Con T passaggio dal periastro e con P periodo dell’orbita.
È importante ricordare che il periodo dell’orbita è legato alla massa totale del sistema
dalla seguente relazione:
√
2π a3
√
2π a3
∼
P =p
=√
GmBH
G(m1 + m2 )
(19)
Dalla definizione di M è possibile ricavare, con considerazioni geometriche, una
relazione che la lega all’anomalia eccentrica E, ovvero l’equazione di Keplero:
M = E − e sin E
(20)
Figura 6: Riferimento in cui l’origine non coincide con il BH che è posto nel fuoco
F dell’ellisse
15
In questo modo posso esprimere le coordinate del sistema dipendenti da (r, θ)
rispetto alle nuove variabili:
(
x1 = r cos θ = a cos E − ea
√
x2 = r sin θ = b sin E = a 1 − e2 sin E
ed è possibile inoltre ricavare la relazione che lega θ ad E:
cos θ =
cos E − e
1 − e cos E
16
(21)
3
Il sistema di riferimento
Per individuare la posizione del centro galattico, che è libero di muoversi rispetto ad
un sistema di riferimento fisso, occorrono 6 parametri indipendenti: le 3 coordinate
dell’origine Ω del sistema solidale e i 3 angoli di Eulero.
Suppongo di avere due sistemi di riferimento cartesiani ortogonali: Σ sistema fisso
con coordinate (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) nel quale vengono fatte le misure, in cui ξ1 e ξ2 rappresentano le coordinate (AR, DEC) sul piano del cielo e ξ3 è diretto lungo la linea di
vista, e Σ ∗ sistema solidale al centro galattico con coordinate (x1 , x2 , x3 ), centrato
sul BH stesso, nel quale avviene il moto della stella attorno al BH. Devo trovare la
trsformazione tra il sistema di riferimento in cui avviene il moto, perchè è in tale
riferimento che si ricavano le equazioni di moto, con il sistema di riferimento fisso
nel quale si ricavano misure.
Dalla trattazione svolta considero il BH posto nell’origine del sistema di riferimento
del cm, per cui le rotazioni che deve compiere il sistema di riferimento (Ω, ξ1 , ξ2 , ξ3 )
per sovrapporsi al sistema (Ω, x1 , x2 , x3 ) sono:
• rotazione antioraria di un angolo ψ attorno all’ asse x3
• rotazione antioraria di una angolo θ attorno all’asse x1
• rotazione antioraria di un angolo ϕ attorno all’asse x3
Ognuna di queste rotazioni può essere scritta matematicamente come una matrice. Riporto di seguito le matrici associate alle rotazioni riapettivamente:






cos ψ − sin ψ 0
1
0
0
cos ϕ − sin ϕ 0






A =  sin ψ cos ϕ 0  ; B =  0 cos θ − sin θ  ; C =  sin ϕ cos ϕ 0 
0
0
1
0 sin θ cos θ
0
0
1
La matrice della trasformazione completa che permette di passare dalla base delle coordinate del centro di massa a quelle osservative è:
F = CBA
17


cos ϕ cos ψ − cos θ sin ψ sin ϕ − cos ϕ sin ψ − cos θ cos ψ sin ϕ sin ϕ cos θ


F =  cos ψ sin ϕ + cos θ cos ϕ sin ϕ − sin ϕ sin ψ + cos θ cos ϕ cos ψ − cos ϕ sin θ 
sin θ sin ψ
sin θ cos ψ
cos θ
Tale matrice fornisce quindi il legame tra le coordinate xi e le coordinate ξi :




ξ1
x1




 ξ2  = F  x2 
ξ3
x3
In realtà i dati da elaborare sono costituiti dalle coordinate astronomiche misurate
nel piano del cielo, ovvero angoli che sono legati alle coordinate cartesiane di posizione per mezzo della seguente relazione:
(
ξ1 = D0 δ
ξ2 = D0 (AR)
18
(22)
con δ declinazione, (AR) ascensione retta e D0 distanza dal centro galattico. Se
il BH non è nel centro del sistema di riferimento allora devo considerare anche la
traslazione necessaria per posizionarlo nell’origine. Se (δ0 , AR0 ) sono le coordinate
della stella nel sistema equatoriale, per mettermi nelle condizioni descritte dovrò
tener di conto della posizione del BH:
(
δ = (δ0 − δBH )
AR = (AR0 − ARBH )
(23)
La trasformazione di interesse diventa quindi:




x1
AR
1 



F  x2 
 δ =
D0
x3
ξ3
(24)
Dato che il moto avviene sul piano, la coordinata x3 non verrà considerata.
Per quanto riguarda le coordinate della velocità le trasformazioni sono:



x˙1
ξ˙1

 ˙ 

 ξ2  = F  x˙2 
ξ˙3
x˙3

(25)
In realtà nei dati da elaborare, insieme alle coordinate astronomiche prese ad un
certo istante di tempo, ho la velocità delle stelle lungo la linea di vista, ovvero
la componente lungo l’asse ξ3 del vettore velocità nel sistema di riferimento del
laboratorio.
Tale componente pertanto sarà pari a:
vls = ξ˙3 = (sin ϕ cos θ)ẋ1 − (cos ϕ sin θ)ẋ2
19
4
Fit della massa
4.1
Elaborazione dati con IDL
La stima della massa del BH è stata ottenuta facendo un fit dei dati astronomici
forniti gentilmente dal professor R. Genzel, direttore di MPE. Il lavoro è stato svolto
con IDL, Interactive Data Language, un linguaggio di programmazione specializzato
nell’analisi di dati scientifici.
Per svolgere il fit dei dati è necessario ottenere una routine che fornisca, ad un
dato tempo t l’ascensione retta AR(t), la declinazione δ(t) e la velocità vls (t), di una
stella in funzione dei parametri liberi del sistema: D0 , ϕ, ψ, θ, e, a, ARBH , decBH , T, MBH .
D0 = distanza da centro galattico
ϕ, ψ, θ= tre angoli di rotazione del sistema di riferimento (Cap 3)
e = eccentricità
a = asse maggiore
ARBH , DECBH = posizione del BH sul piano del cielo
T = passaggio al periastro
MBH = massadelBH
Tale funzione si costruisce facilmente nel seguente modo:
1. Dato il tempo, a cui sono state prese le misure, si ricava l’anomalia media M
dalla seguente relazione:
2π
(t − T )
(26)
M=
P
Dove P =
√
3
√2π a .
GmBH
2. Conoscendo adesso l’anomalia media è possibile ricavare l’anomalia eccentrica
E risolvendo l’equazione tracendentale:
M = E − e sin E
(27)
La soluzione dell’equazione trascendentale è stata fatta utilizzando delle routine nella libreria Markwardt IDL.
3. L’anomalia eccentrica E adesso può essere inserita nell’equazione che descrive
20
il moto della stella attorno al BH:
(
x1 = a cos E − ea
√
x2 = a 1 − e2 sin E
(28)
4. Per legare le coordinate x1 , x2 all’ascensione retta e alla declinazione utilizzo
le trasformazioni di riferimento ricavate nel Cap3:




AR
x1
1 



F  x2 
 δ =
D0
ξ3
x3
(29)
Ricordiamo che la coordinata x3 non verrà considerata perchè il moto avviene
sul piano dell’orbita (x1 ,x2 ). I parametri liberi introdotti sono i tre angoli
(ψ, ϕ, θ) delle trasformazioni di sistema di riferimento.
L’equazione conclusiva che utilizzerò nel fit è la seguente:
AR(t) =
δ(t) =
1
[(cos ϕ cos ψ−cos θ sin ψ sin ϕ)x1 −(cos ϕ sin ψ+cos θ cos ψ sin ϕ)x2 ]+ARBH
D0
1
[(cos ψ sin ϕ + cos θ cos ϕ sin ϕ)x1 − (sin ϕ sin ψ − cos θ cos ϕ cos ψ)x2 ] + δBH
D0
I dati sono misurati in un sistema di coordinate in cui la posizione di SgrA* è (0,0),
quindi mi aspetto che ARBH , δBH siano prossimi all’origine. Nei dati da elaborare,
insieme alle coordinate astronomiche prese ad un certo tempo, ho anche, per alcuni
tempi, la velocità delle stelle lungo la linea di vista, ovvero la componente lungo
l’asse ξ3 del vettore velocità nel sistema di riferimento del laboratorio.
Adottando le stesse procedure del calcolo delle posizioni si ricava l’equazione della
componente lungo l’asse ξ3 , necessaria per il fit:
vls = ξ˙3 = (sin ϕ cos θ)ẋ1 − (cos ϕ sin θ)ẋ2
Con:
(
ẋ1 = −aĖ sin E
√
ẋ2 = a 1 − e2 Ė cos E
21
(30)
Ė si può ricavare derivando l’equazione di Keplero 20, ovvero:
Ṁ = Ė − eĖ sin E
Ė =
Ṁ
1 − e sin E
con
2π
P
Quindi con IDL siamo stati in grado di scrivere dei programmi che, sfruttando le
funzioni delle posizioni delle stelle e la funzione della velocità delle stelle, eseguissero
un fit dei dati astronomici e restituissero i valori dei parametri liberi del sistema.
Noti i valori AR(t)mod , DEC(t)mod e Vmod riottenuti al tempo t dai parametri liberi,
considerando che gli errori sulle misure seguono una distribuzione di tipo gaussiano:
χ2
e[ 2 ] , allora per vedere la bontà del fit abbiamo svolto il χ2 test per valutare quanto
le misure si discostano dai valori veri. Il χ2 è stato calcolaco come segue:
Ṁ =
N
M
X
X
(ARmod − AR)2 (DECmod − DEC)2
(Vmod − V )2
χ =
{
+
}
+
2
2
2
ARerr
DECerr
Verr
i=0
i=0
2
La minimizzazione del χ2 è stata ottenuta con la routine MPFIT, realizzata da
Markwardt, che fornisce anche gli errori sui parametri calcolati con la matrice di
covarianza.
22
Figura 7: Fit dell’orbita e della velocità della stella S1
23
Figura 8: Fit dell’orbita e della velocità della stella S2
24
Figura 9: Fit dell’orbita e della velocità della stella S8
25
4.2
Risultati
I parametri fittati risultano consistenti con quelli trovati in letteratura. Riporto
nella tabella che segue i valori di tali parametri per le tre stelle studiate: S1, S2, S8.
D0 [kpc]
a (mpc)
T (yr)
AR (arcsec)
DEC
(arcsec)
MBH (106 M )
ecc
ϕ (deg)
ψ (deg)
θ(deg)
χ2
S1
7.9801±0.7523
17.5556± 5.6078
2000.5571±1.0081
0.0020± 0.0094
0 .0082± 0.0105
S2
8.0275±0.4005
4.6938±0.1691
2002.2984± 0.0165
0.0001± 0.0012
0.0025±0.0016
S8
8.0275
12.6276± 2.6580
1988.0799± 5.1318
0.1612±0.1496
-0.0926±0.0899
4.6023± 0.9773
0.4053±0.2194
200.0332± 2.2837
68.7423± 8.3762
120.8705±2.5361
0.98
4.1863±0.4581
0.8767±0.0041
314.7019±1.0275
118.0029±1.1275
137.1809± 1.2703
0.75
2.1448± 2.9080
0.7767±0.0595
43.2324± 0.9021
370.2584±31.1947
-79.2872± 5.9749
0.63
Tabella 1: Dati fittati
Dall’ analisi di tutti i dati, ho quindi trovato come stima della massa del Buco
Nero: (4.2 ± 0.2)M ,ricavata come media pesata delle masse fittate per le tre stelle.
PN
MBH =
i=0 (wi mi )
P
N
i=0 wi
con wi indico i pesi delle misure:
wi =
1
σi2
L’ errore è dato dalla somma in quadratura delle incertezze:
N
X
1 1
σBH = (
)2
w
i
i=0
26
4.3
È veramente un Buco Nero?
Un oggetto come SgrA* con una massa di (4.2 ± 0.2)M e una dimensione r < a (
ad esempio considero a, semiasse maggiore di S2) avrebbe una densità di:
ρ=
Mstimata ∼ 4 · 106
M pc−3 ∼
= 4
= 1010 M pc−3
4
3
−3
πa
π4
·
10
3
3
Se assumiamo come altermativa al SMBH, un ammasso di oggetti oscuri formato
ad esempio da nane marroni, stelle di neutroni, buchi neri stellari(M ∼
= 1M ), in
base ai calcoli di Mauz (1997) è stato possibile calcolare il tempo di vita massimo di
tale ammasso e verificare che tale tempo è molto più breve della vita della galassia
stessa, quindi anche se assumiamo come alternativa al SMBH un ammasso oscuro,
sapremmo che questo degenerebbe comunque in un buco nero supermassivo.
Per stimare il tempo di vita massimo dell’ammasso assumiamo che: il sistema abbia
una bassa temperatura affinchè le velocità di collisione fra le stelle siano minimizzate, il sistema sia formato da oggetti di circa uguale massa e la distribuzione di
velocità delle stelle dell’ammasso sia di tipo Maxwelliano.
Con tali condizioni, il limite superiore al tempo di vita media del sistema è dato dal
processo di evaporazione e contrazione. Infatti quelle stelle che collidono fra di loro e
acquistano velocità maggione della velocità di fuga dell’ammasso riescono a scappar
via dalla dinamica chiusa del sistema, provocando di conseguenza, una contrazione
dell’ammasso su se stesso verso una nuova condizione di equilibrio a temperatura
minore. Una volta raggiunto tale equilibrio ci saranno delle stelle che riusciranno ad
acquistare nuovamente una velocità per evaporare dal sistema, innescando cosi una
ulteriore contrazione. Tale processo porta quindi all’ inevitabile collasso del sistema
in un buco nero supermassivo che contiene tutta la massa.
Il breve tempo di vita di un massiccio ammasso di materia oscura che si potrebbe
assumere come alternativa, se SgrA* non contenesse la maggior parte della massa e
la ricostruzione dell’ orbita della stella S2, che passa a soli 6 · 10−3 pc dall’ oggetto
centrale che permette di vincolare la massa dell’ oggetto entro il raggio dell’orbita.
Questo permette di escludere quasi tutte le spiegazioni alternative a quella di un
buco nero supermassivo.
27
4.4
Conclusioni
Un argomento fondamentale a sostengono della tesi che la massa gravitazionale
stimata con misure nell’infrarosso sia associata con la sorgente radiativa SgrA* è
stata la chiusa corrispondenza fra le posizioni delle orbite delle stelle e la posizione
focale di SgrA* in tali orbite.
In questo lavoro ho determinato la massa del Buco Nero dai moti delle stelle S1,
S2, S8 ricavando il valore di (4.2 ± 0.2)M . Inoltre è stato possibile ricavare anche
la misura della distanza del centro galattico D0 per le stelle S1 e S2: (8.02 ± 0.12)
kpc.Per la stella S8, il valore del parametro D0 è stato fissato a quello della stella S2.
Qusto è stato fatto perchè i dati misurati della stella S8 descrivono solo una pozione
dell’orbita, quindi attraverso il fit non si riesce a determinare in modo preciso i
parametri liberi.
Le coordinate delle stelle sono in un riferimento in cui SgrA* è in (0,0) quindi,
osservando le posizioni del BH fittate per le tre stelle, S1: ARBH = (0.0020±0.0094)
arcsec e DECBH = (0.0082 ± 0.0105) arcsec; S2: ARBH = (0.0001 ± 0.0012) arcsec
e DECBH = (0.0025 ± 0.0016) arcsec; S8: ARBH = (0.1612 ± 0.1496) arcsec e
DECBH = (−0.0926 ± 0.0899) arcsec; posso affermare che il BH è praticamente
coincidente con SgrA*, entro gli errori. Osservando i risultati posso notare che i
parametri migliori sono quelli della stella S2, questo probabilmente è dovuto al fatto
che i dati misurati riescono a descrivere completamente l’obita. Mentre per le stelle
S1 ed S8 i dati forniscono solo una porzione dell’orbita. Inoltre osservando i χ2 ,
posso capire che per la stella S1 i dati ricostruiscono la porzione di orbita in modo
più preciso rispetto alla stella S2, questo lo posso spiegare considerando che i dati
che descrivono l’orbita completa della stella S2 devono rispettare un vincolo più
forte dei dati della stella S1 che descrivono solo una porzione dell’orbita e quindi che
risultano meno vincolati. Questo si riscontra anche negli andamenti delle velocità
(Fig. 5, 6, 7).
28
Riferimenti bibliografici
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[2] F.Eisenhauer (2005) The Astrophysical Journal 628 246-259
[3] F. Melia, H. Falcke (2001) Annu. Rev. Astron. Astrophys., Springer, 39 309-361
[4] Nevin N. Weinberg, Milos Milosavljevic, A.M. Ghez (2005) The Astrophysical
Journal 622 878-891
[5] R. Shodel, R. Genzel, R. Hoffman (2002) Nature 419 694-696
[6] A. Eckart, R. Genzel, T. Ott, R. Shodel (2002) Mon. Not. Astron. Soc. 331
917-934
29