Esercizi Probabilità 2 - Università degli Studi di Cagliari

A - Facoltà di Economia - Esame di Statistica – 21.07.2010
1. Le vendite trimestrali di un’impresa artigiana, espresse in decine di migliaia di Euro, seguono una legge
normale N(50, 3) e i corrispondenti costi di produzione, sempre in decine di migliaia di Euro, seguono una
legge normale N(45, 1). Assumendo che vendite e costi siano tra loro statisticamente indipendenti,
determinare
a. la probabilità che i guadagni trimestrali siano compresi tra le 4 e le 6 decine di migliaia di Euro.
Inoltre:
b. si calcoli la probabilità che l’impresa non abbia alcun guadagno in un trimestre;
c. se le prime 2 decine di migliaia di Euro di guadagno in un trimestre sono esenti da imposta, mentre i
restanti guadagni sono gravati del 20% di imposte, si valuti la probabilità che l’impresa debba
versare più di 5000 Euro di imposte in un trimestre.
B - Facoltà di Economia - Esame di Statistica – 21.07.2010
5. Una prova d’esame “a quiz” prevede per ogni domanda 5 risposte, di cui una sola corretta. Un candidato
può rispondere perché conosce la risposta giusta oppure provando a indovinare. Supponiamo che sia pari a
3/4 la probabilità che il generico candidato conosca la risposta (e quindi 1/4 che tiri a indovinare!). Avendo
risposto correttamente a una domanda, si determinino le probabilità
a. che conoscesse la risposta giusta;
b. che abbia tirato a indovinare.
C - Facoltà di Economia - Esame di Statistica – 9.11.2010
1. Il manager di un’azienda metalmeccanica ha verificato che il numero di guasti giornaliero segue una legge
di Poisson e ha stimato il numero medio di tali guasti in 1.5. Si vuole determinare
a. la probabilità che in un giorno si verifichino almeno 3 guasti;
b. la probabilità di più di 4 guasti in una settimana lavorativa (5 giorni).
Inoltre
c. Se il costo aziendale per ciascun guasto è pari a 475,00 Euro, quale cifra il manager deve mettere in
bilancio per il numero medio di guasti previsti in un giorno?
D - 4. E’ noto che il punteggio – in unità convenzionali - riportato dagli studenti nella prova d’ingresso in
una certa Università si distribuisce secondo una legge normale con media pari a 420 e varianza 8100.
a. Si determini la percentuale di individui che ottengono un punteggio superiore a 550;
b. Se l’Università è interessata ad ammettere l’80% dei candidati, quale dovrà essere il punteggio di
soglia perché uno studente sia ammesso?
c. Scegliendo a caso tre studenti che hanno sostenuto la prova d’ingresso, si calcoli la probabilità che
almeno due di essi siano stati ammessi.
E - Facoltà di Economia - Esame di Statistica – 18.03.09
2. Un prodotto è venduto a un prezzo che è distribuito normalmente con media 50.00 Euro e deviazione
standard 5.00 Euro. Gli acquirenti sono disposti a pagare un prezzo anch’esso distribuito normalmente con
media 45.00 Euro e deviazione standard 2.50 Euro. Qual è la probabilità che una transazione abbia luogo?
F - 4. La produzione aziendale di un certo manufatto è caratterizzata da un numero di pezzi difettosi pari a 25
su 100. Da 100 pezzi prodotti, viene estratto casualmente e senza rimpiazza mento, un campione di 4 unità.
a. Si determini la probabilità che il campione non contenga più di 2 pezzi difettosi.
b. Supponendo che l’estrazione avvenga con rimpiazzamento, qual è la probabilità di dover estrarre
esattamente 4 pezzi per trovarne 2 difettosi?
G - Facoltà di Economia - Esame di Statistica – 27.04.07
2. Un compito d’esame di Statistica è costituito da due esercizi. In base all’esperienza di molti anni d’esami,
il professore sa che, trattandosi di studenti in genere molto studiosi, il 6% degli studenti sbaglia soltanto il
primo esercizio, l’8% sbaglia soltanto il secondo, e il 2% li sbaglia entrambi.
Prendendo a caso un compito da correggere, con quale probabilità il professore
a) non troverà in esso alcun esercizio sbagliato?
b) troverà un solo esercizio sbagliato?
H - 4. Un corriere espresso che opera all’interno della regione ha rilevato che i plichi che consegna hanno un
peso medio di 1.4 kg con deviazione standard pari a 0.2 kg. Dovendo caricare 100 plichi arrivati a caso, si
domanda a) qual è la probabilità che il loro peso medio superi 1.45 kg?
b) entro quali valori estremi sarà compreso tale peso medio, con probabilità pari a 0.9?
I - Facoltà di Economia - Esame di Statistica – 11.12.2006
1. Il numero mensile di “fuori uso” di un certo tipo di Bancomat può essere considerato come una variabile
aleatoria che segue una legge di Poisson con parametro  . Il parametro  non è noto ma, in base a
esperienze precedenti è noto che esso assume i valori seguenti con le rispettive probabilità:
 =1 con probabilità pari a 0.5,
 =2 con probabilità pari a 0.4,
 =4 con probabilità pari a 0.1.
Sapendo che un Bancomat di quel tipo ha avuto 3 “fuori uso”, si valuti qual è il valore più probabile del
parametro  che gli si deve attribuire.
L - Facoltà di Economia - Esame di Statistica – 14.12.2007
1. A uno scommettitore è data l’opportunità di scommettere su due diverse possibilità:
a. sull’evento che X sia maggiore di 2, sapendo che X~N(3,1);
b. sull’evento che X sia minore di 2, sapendo che X~N(5,4).
Si valuti quale delle due scommesse sia più conveniente per lo scommettitore.
M - Facoltà di Economia - Esame di Statistica – 30.01.2008
2. In un esperimento che si propone di studiare le diverse propensioni dei soggetti in esame, è data un’urna
contenente 21 gettoni rossi e 9 bianchi. A ogni individuo si chiede di estrarre dall’urna 4 gettoni
singolarmente e di registrare quanti di essi sono rossi, lasciandolo libero di rimettere nell’urna il gettone
estratto di volta in volta (reimbussolamento) o di lasciarlo fuori (non reimbussolamento).
Sapendo che il 40% degli individui preferisce le estrazioni con reimbussolamento,
a. si valuti la probabilità che su 4 gettoni estratti da un individuo scelto a caso, i rossi siano esattamente 2.
b. Se un individuo ha estratto 2 rossi su 4, è possibile affermare che egli ha verosimilmente estratto con
reimbussolamento?
N - Facoltà di Economia - Esame di Statistica – 26.07.2007
2. Una raccolta di compiti d’esame contiene 40 esercizi. Per superare la prova ciascun candidato deve
svolgere almeno 2 esercizi a sua scelta tra 3 estratti a caso dalla raccolta.
Se un candidato sapesse risolvere soltanto 25 dei 40 esercizi, quale probabilità avrebbe di superare l’esame?
O - Facoltà di Economia - Esame di Statistica – 17.09.2008
2. Un’azienda di imballaggi per televisori, produce tre tipi di confezioni per apparecchi da 30 e 37 pollici.
Tali confezioni pesano in media, rispettivamente 1.8 kg e 4.1 kg.
I televisori che vengono imballati appartengono a numerose marche e i loro pesi sono distribuiti secondo le
seguenti leggi normali:
30 pollici: N(24 kg, 0.64 kg2)
37 pollici: N(37 kg, 0.81 kg2)
La consegna di un televisore al domicilio del cliente viene fatta pagare in base al peso: è gratuita sino a 35 kg
e costa 10 Euro per ogni eccedenza di 5 kg o frazione di 5 kg oltre i 35 kg.
Si determini quanto deve aspettarsi di dover pagare ciascun acquirente di un apparecchio TV da 30 e 37
pollici.
P - Facoltà di Economia - Esame di Statistica –09.02.1999
4. Una nota fabbrica di detersivi vende il prodotto in fustini il cui peso lordo è una variabile aleatoria
distribuita con legge normale di media pari a 600 gr e deviazione standard di 8 gr, mentre il peso del
contenitore di cartone è anch’esso distribuito normalmente con media e deviazione standard di 50 gr e 1.8 gr,
rispettivamente.
Si determini la probabilità che l’acquiente di un fustino porti a casa una quantità di detersivo maggiore di
560 gr.
Q - Facoltà di Economia - Esame di Statistica – 22.06.2004
1. Il contabile di un’azienda commerciale in chiusura di cassa aspetta che gli vengano recapitate le ultime 8
fatture della giornata da pagare e gli ultimi 3 assegni da incassare. Sapendo che in genere le fatture che
riceve hanno un importo medio di 132 € con varianza pari a 120 €2 e che gli assegni valgono in media 340 €
con varianza 625 €2, e avendo in cassa contanti per 146 €, si chiede qual è la probabilità di chiudere in deficit
il bilancio della giornata. (Si assume che l’importo di fatture e assegni sia distribuito con legge Normale).
R - Facoltà di Economia - Esame di Statistica – 29.11.2005
4. Una fabbrica di profilati metallici deve produrre barre di alluminio di lunghezza intorno ai 2 metri. E’ noto
che, a causa di difetti di calibrazione delle macchine, il 70% delle barre prodotte ha una lunghezza inferiore
ai 2.2 metri e soltanto il 5% non raggiunge i 2 metri. Supponendo che la lunghezza delle barre sia distribuita
normalmente, se ne determini media e varianza.
S - Facoltà di Economia - Esame di Statistica – 25.09.2007
1. Un’azienda casearia produce pecorino in forme, per l’esportazione, di peso pari a 1 kg. L’oscillazione di
peso tollerata dalle norme contrattuali è di 50 gr per forma. L’azienda si approvvigiona per la produzione da
tre piccoli produttori, convenzionalmente indicati con le lettere A, B e C. La capacità produttiva di tali
produttori è, rispettivamente, del 40%, 45% e 15%. Sapendo che la percentuale di forme fuori norma di
ciascuno di essi è pari a: per A del 3%, per B del doppio di A e per C del triplo di A, si valuti
a.
la probabilità che una forma sia rifiutata perché fuori norma;
b.
la probabilità che una forma rifiutata sia prodotta da A o da B.
T - Facoltà di Economia - Esame di Statistica – 6.04.2006
4. Una lotteria consiste nell’estrarre da un’urna piena di gettoni colorati un gettone d’oro (uno solo) del
valore di 12 Euro (insomma: dorato!). Ogni estrazione avviene con reimbussolamento e un giocatore può
effettuare quanti tentativi vuole, pagando 4 Euro per ciascuno di essi. Sapendo che l’urna contiene una
percentuale di gettoni d’oro del 10%, si determini la probabilità che il giocatore non vada in perdita.
U - Facoltà di Economia - Esame di Statistica – 6.02.2006
2. Un contenitore a forma di cubo è suddiviso in tre parti, due delle quali, A e B, uguali tra loro, e la terza,
C=A+B. Esso contiene palline di due colori: nere e bianche, e viene utilizzato per una sorta di “pesca della
fortuna” ad occhi bendati. Chi pesca una bianca ha diritto ad un premio. La parte A contiene il 10% di palline
bianche; la parte B ne contiene il 20% e la parte C il 10%.
a. Qual è la probabilità che un giocatore in una estrazione, vinca il premio?
b. Un giocatore ha la sfortuna di estrarre una pallina nera, da quale delle tre parti ha presumibilmente
pescato?
V - Facoltà di Economia - Esame di Statistica – 21.09.2005
2. Un call center risponde alle chiamate di due diverse ditte, indicate convenzionalmente con A e B.
Per la ditta A arrivano in media 3 chiamate ogni cinque minuti; per la ditta B invece 2 chiamate ogni cinque
minuti. Supponendo che le chiamate per A e per B siano tra loro indipendenti ed assumendo che il numero
delle chiamate segua in entrambi i casi una legge di Poisson, si valuti la probabilità che al call center non
arrivi alcuna chiamata nell’intervallo di un minuto.
Z - Facoltà di Economia - Esame di Statistica – 26.07.2005
1. Un commerciante di giocattoli vende biglie di vetro a peso. Sapendo che il peso medio di una biglia è di
24 gr con deviazione standard pari a 4 gr e che 1 kg di biglie viene venduto al prezzo di 30 Euro, si valuti la
probabilità che con 15 Euro Pierino riesca a comprare almeno 20 biglie.
J - Facoltà di Economia - Esame di Statistica – 17.12.2008
1. Un mobilificio produce mensole la cui lunghezza X è distribuita secondo una legge Normale di media µ e
deviazione standard σ. Sapendo che le mensole di lunghezza inferiore a 155 cm e quelle di lunghezza
superiore a 175 cm vengono scartate, si determini quale dovrà essere la lunghezza media e la varianza delle
mensole prodotte affinché le percentuali delle mensole di lunghezza inferiore a 155 cm e di quelle superiori a
175 cm non eccedano ciascuna il 5%.
K - Facoltà di Economia - Esame di Statistica – 26.06.2008
1. Due amici al Luna Park decidono di tentare la sorte alla “Pesca miracolosa”. Il gioco consiste
nell’estrarre, uno alla volta (ovviamente con reimbussolamento) dei numeri da un sacchetto contenente tutti i
numeri del Lotto da 1 a 90.
Si vincono 5 € per ogni numero pescato maggiore di 60. Ogni pescata costa 1 €.
Uno dei due amici decide di fare 10 pescate.
L’altro decide invece di pescare fino a che non riscuote 20 €.
a. Qual è il guadagno atteso da ciascuno dei due giocatori?
b. Quale probabilità ha il primo giocatore di non rimetterci neppure un euro?
W1 - Facoltà di Economia - Esame di Statistica – 26.06.2008
3. A un gestore di telefonia mobile è noto che la durata delle chiamate telefoniche (X) si distribuisce con
legge normale di media  x  8 minuti e deviazione standard  x  2 minuti. Si seleziona a caso un
campione di 25 telefonate.
a. Si valuti quale proporzione della durata media di queste chiamate estratte a caso, sarà compresa tra i
7.8 e gli 8.2 minuti, e quale tra i 7.5 e gli 8 minuti.
b. E’ piu’ probabile che abbia durata superiore a 11 minuti una singola chiamata o che sia superiore ai
9 minuti la durata media delle 25 estratte nel campione?
W2 - Facoltà di Economia - Esame di Statistica – 12.03.2008
1. In vista delle prossime elezioni vengono intervistati 10000 elettori e si chiede ad essi se daranno un voto
favorevole o contrario al partito Alfa. Indicando con
1 voto favorevole
Xi  
0 voto contrario
si determini la probabilità che la proporzione di voti favorevoli in tutta la popolazione dei votanti si discosti
dalla stima campionaria meno dell’1%.
W3 - 3. Sia data una variabile aleatoria X distribuita con legge normale N (  ,  2 ) . Si considerano due
campioni casuali distinti e indipendenti tra loro entrambi di numerosità n. Si determini il valore di n tale che
la probabilità che le due medie campionarie X 1 e X 2 differiscano tra loro più di 2σ sia pari al 5%.