Il potenziale
elettrostatico
8
1. L’energia potenziale elettrostatica
Per quali motivi è stata introdotta la grandezza fisica “lavoro”?
Il lavoro è stato introdotto perché l’evidenza sperimentale mostra che esiste una differenza fra i due fenomeni seguenti:
Se il punto di applicazione della forza si sposta durante l’azione, infatti, a seconda
dell’angolo che essa forma con lo spostamento, il sistema aumenta o diminuisce la
propria capacità di agire modificando se stesso e l’ambiente. A tale capacità di modificare
le cose si dà il nome di energia. Una seconda evidenza sperimentale mostra che
l’effetto, sull’energia di un sistema, di una forza il cui punto di applicazione si muove, è differente se la forza in questione ha una componente diretta lungo lo spostamento oppure se gli è perpendicolare. Si decide pertanto di misurare queste proprietà introducendo un’opportuna grandezza fisica chiamata lavoro. Si dice quindi che
quando il punto di applicazione di una forza costante F subisce uno spostamento
rettilineo, individuato da un vettore s come in figura, essa ha compiuto il lavoro
elementare L :
L | F || s | cos Fs
dove F |F | cos è la componente (con segno) della forza lungo s , e per sem-
plicità si è indicato il modulo del vettore spostamento semplicemente con s .
Quindi le forze sono gratis ma il lavoro si paga?
Le forze per le quali non si sposta il punto di applicazione sono “gratis”. Non dobbiamo pagare alcun costo per averne una. Vogliamo una forza diretta verso l’alto per
equilibrare il nostro peso? Ecco che il pavimento ce la fornisce. Serve una spinta lun257
s
a) su di un sistema è applicata una forza il cui punto di applicazione si muove;
b) su di un sistema è applicata una forza il cui punto di applicazione resta fisso.
F
L 0
F F cos 0
F
L 0
s
F F cos 0
F
L 0
F 0
s
go un angolo rispetto al terreno, che ci tenga parcheggiata la macchina in una
strada in pendenza? L’attrito fra le gomme e l’asfalto la esercita gratuitamente. Ganci e muri sono sempre disponibili, per trazioni e supporti, e basta un cuneo per ruotare la retta lungo cui la forza agisce. La cosa difficile non è disporre di una forza,
ma spostare il punto in cui la forza viene applicata. Per svolgere questo compito la
natura ci presenta immancabilmente un conto. Il lavoro è la grandezza fisica che
s’introduce per misurare l’entità di questo conto.
Qual è il significato del segno del lavoro elementare?
Come si vede in figura, il segno del lavoro elementare ha un significato fisico: una
forza F che forma un angolo 0 90 con s , (e quindi |F | cos 0 ), com
pie lavoro elementare positivo, che viene detto lavoro motore, perché F sta contribuendo al moto nella direzione dello spostamento. Se viceversa 90 180
compie un lavoro negativo, detto lavoro resistente perché F sta contrastando il moto
nella direzione di s .
E se la traiettoria è curvilinea?
Per spostamenti più complessi, che seguono traiettorie curve, e forze che variano la
loro direzione e la loro intensità lungo il percorso, la definizione di lavoro si generalizza suddividendo la traiettoria del punto di applicazione in tanti spostamenti
elementari rettilinei si come in figura, ad ognuno dei quali associamo un vettore
costante Fi , che rappresenti F nel tratto interessato, ed un angolo i :
Fi
B
i
si
F4
s 3
F3
2
s2
F1 1
A
s1
F2
L
F
i
si cos i
Come fa un sistema ad immagazzinare energia?
La “capacità di agire” che chiamiamo energia, e che il sistema acquista (o cede) per
l’azione di forze che spostano il proprio punto di applicazione, può essere immagazzinata solo in due modi:
(1) nello stato di moto in cui le parti del sistema si sono portate: questa modalità
di incamerare si dice energia cinetica e si indica con K .
(2) nella configurazione che le sue parti assumono: questa modalità di incamerare è detta energia potenziale e si indica con U .
Come si misura l’energia cinetica di un sistema?
Il contenuto di energia cinetica K incamerato in un sistema viene definito come il
lavoro che occorre fare per portare tutte le sue parti da una situazione in cui sono ferme fino
alla loro velocità attuale. Come abbiamo a suo tempo dimostrato, per un oggetto pun
tiforme di massa m e velocità v tale lavoro vale:
K
1 2
mv
2
Quindi l’energia cinetica di un sistema è la somma di tanti addendi della forma
2
1
ognuno relativo ad una delle sue parti (supposte puntiformi). Vale inoltre il
2m v
teorema dell’energia cinetica, secondo il quale il lavoro complessivamente svolto su
di una particella è pari alla variazione della sua energia cinetica:
Ltot K
258
Come si misura l’energia potenziale di un sistema?
Un sistema è in grado di incamerare energia potenziale solo nel caso in cui può compiere un tipo di lavoro tutto a spese (o a vantaggio) di un cambio nella sua configurazione.
Un lavoro pagato solo con una variazione nella configurazione non può dipendere
dalla traiettoria seguita per andare dalla situazione iniziale a quella finale, come invece accade nel caso più generale.
A
Infatti, le possibili traiettorie che conducono da uno stato all’altro sono infinite: se il
lavoro dipendesse dal tragitto seguito dai punti di applicazione delle forze, poq
tremmo ottenere infiniti valori diversi per le stesse configurazioni, iniziale e finale. 1
Ad esempio in figura abbiamo raffigurato tre fra le infinite traiettorie che portano un
1m
sistema di due cariche positive, q1 e q2 , dalla configurazione A (in cui sono distanti
B
1m) alla configurazione B (in cui distano fra loro 2m). Se il lavoro della forza di Coulomb assumesse i tre valori differenti in figura, non potremmo mai introdurre q1
un’energia potenziale elettrostatica per esprimere un unico valore del lavoro della
forza di Coulomb nel cambio di configurazione. Possiamo quindi introdurre
un’energia potenziale, solo se fra le parti del sistema agiscono delle particolari forze, dette conservative, il cui lavoro non dipende dalla traiettoria, ma unicamente da
quali sono la configurazione iniziale e finale del sistema. Nel caso in cui sia possibile
l’introduzione di un’energia potenziale, si procede scegliendo una configurazione di
riferimento R e si definisce energia potenziale U del sistema nella configurazione A , il
lavoro che le forze conservative interne svolgono quando il sistema si porta da A
nella configurazione R:
U A LAR
q2
L 20 J
q2
2m
L 10 J
L 30 J
Si può inoltre dimostrare che il lavoro delle forze conservative LC quando il
sistema passa da una configurazione ad un’altra differente è pari alla variazione nell’energia potenziale cambiata di segno:
LC U
1
B
q
A
2
Q
La forza di Coulomb è conservativa?
Sì, la forza elettrostatica è conservativa. Per dimostrarlo dobbiamo provare
che il lavoro che essa compie non dipende dalla traiettoria che le cariche seguono, ma solo dalle posizioni reciproche, iniziale e finale. Poniamoci in una
regione di spazio dove è presente una carica puntiforme positiva Q , che
esercita una forza Coulombiana FE su di una seconda carica puntiforme q , posta in
una posizione A. Prendiamo q di valore molto più piccolo rispetto a Q , in modo che
si possa trascurare la sua azione nello spazio rispetto a quella di Q . Supporremo che
q sia negativa, e quindi che FE risulti attrattiva, ma il ragionamento che faremo si
potrà ripetere anche nel caso di segno positivo. Supponiamo ora che la carica q si
sposti dalla posizione A ad una nuova posizione B. Si faccia attenzione, perché non si
sta dicendo che è la forza elettrostatica dovuta a Q ad essere la causa dello spostamento. Potremmo invece pensare di prendere q con le nostre mani e di portala da A in B mentre Q viene mantenuta ferma. Durante una tale operazione la forza elettrostatica potrebbe sia agevolarci che fare resistenza: dipenderà dalle posizioni A e B rispetto a
Q . Costruiamo una quadrettatura dello spazio intorno a Q facendo uso solo di linee radiali e circolari. Supponiamo di muovere q da A in B spostandoci solamente
lungo dei pezzettini di quadrettatura. In figura sono evidenziate due traiettorie di
questo tipo, contrassegnate dai numeri 1 e 2, ma molte altre sono possibili. Il lavoro
svolto dalla forza elettrostatica FE lungo uno qualsiasi degli archi circolari è chiara259
mente zero perché FE è sempre diretta radialmente, e cioè perpendicolare in ogni
s
F
F
Q
punto a tutte le circonferenze centrate in Q . Durante uno spostamento radiale il lavoro non è in generale nullo, e dipende solo da quanto è distante da Q l’anello della
quadrettatura cui appartiene il tratto percorso, ma non dalla posizione di q entro di
s esso. Infatti, sebbene la forza elettrica vari con l’inverso del quadrato della distanza
da Q , essa ha simmetria sferica, e cioè ponendoci ad una fissata distanza r da Q , non
ha alcuna importanza trovarsi sopra di essa o sotto, oppure ad est o a nord: misure
remo sempre uguale intensità e quindi FE compirà lo stesso lavoro a parità di spo
stamento. Inoltre FE forma sempre con la traiettoria, un angolo di 0° se q si sta avvicinando a Q (e quindi cos 1 ) oppure di 180° se q si sta allontanando da Q (e
quindi cos 1 ). Allora, se lungo la traiettoria vi sono tratti radiali percorsi
prima in avanti e poi indietro, anche se non consecutivamente, il lavoro associato ai due
spostamenti sarà uguale ed opposto, e nel complesso nullo. Pertanto il percorso che
conta ai fini del lavoro netto di FE è solo la differenza fra il raggio della circonferenza su cui si trova la posizione di arrivo e quello della posizione di partenza. Questa
proprietà permette di concludere che quando spostiamo q da A in B il lavoro che
FE compie è indipendente dal fatto che si segua la traiettoria 1 o la 2, e cioè non di-
pende dal percorso seguito.
E se la traiettoria non è composta di tratti radiali e circolari?
E
2
Anche se consideriamo una traiettoria qualunque, sarà sempre possibile, con una
quadrettatura sufficientemente fitta, approssimarla con la precisione desiderata tramite un percorso di tratti radiali e circolari. Con attenzione a ciò che succede negli
spigoli, calcolare il lavoro lungo la spezzata radiale e circolare è lo stesso che calcolarlo lungo la traiettoria curva. Grazie al principio di sovrapposizione poi, qualunque sia la configurazione che origina la forza elettrostatica (uno strato piano, un filo
carico, un corpo irregolare) essendo questa il risultato dell’azione di tante cariche
puntiformi, ed essendo conservative tutte le singole forze elettrostatiche corR
rispondenti, lo sarà anche la forza dovuta all’intera distribuzione di carica1.
Dalla conservatività discende poi la possibilità di introdurre un’energia potenziale elettrostatica.
1
Come è definita l’energia potenziale elettrostatica?
q
3
A
La definizione di un’energia potenziale richiede una configurazione di riferimento, come si fa quando diamo una distanza riferendoci alla posizione a
partire dalla quale è stata misurata. Non avrebbe senso dire semplicemente
“la mia distanza è 4 km”, dobbiamo riferirci a qualcosa. In questo modo, in
qualunque punto A nella regione di spazio sede di campo elettrico, si trovi
una carica puntiforme q , potremo associare a questa configurazione di carica il lavoro
LAR che le forze elettrostatiche svolgono se qualcuno prende q e la porta da A
nella posizione di riferimento R. Visto, infatti, che tale lavoro non dipende dalla
traiettoria che si decide di seguire, non è necessario specificare altro. Ripetendo
l’operazione per ogni posizione dello spazio, avremo la possibilità di costruire una
funzione U , detta energia potenziale elettrostatica della carica2 puntiforme q rispetto
alla posizione di riferimento R:
1
Va osservato che la caratteristica della forza elettrostatica di essere conservativa è stata dimostrata facendo unicamente
uso del fatto di essere centrale, cioè di dipendere solo dalla distanza da un punto. In linea di principio, per qualunque forza centrale, come ad esempio la forza gravitazionale, si può ripetere il ragionamento.
2 Più propriamente l’energia potenziale è associata al sistema formato dalla carica q e dalle altre che producono il campo.
Tuttavia delle altre cariche è noto solo l’effetto che producono tramite il campo, ed essendo q l’unica parte mobile si può
parlare anche di energia potenziale associata alla carica q.
260
Energia potenziale elettrostatica U(q ) di una carica puntiforme q
Si chiama energia potenziale elettrostatica U(q ) (o semplicemente U ) di una carica
puntiforme q il lavoro che la forza elettrostatica compirebbe se q si spostasse, dalla
sua posizione in una posizione scelta come riferimento.
Come si sceglie la configurazione di riferimento?
La configurazione di riferimento che più conviene è quella dove la carica di cui si sta
calcolando l’energia potenziale si trova libera dall’influenza di ogni altra carica. Tale
scelta è coerente con l’interpretazione dell’energia come capacità di spostare le forze,
cioè di cambiare configurazioni e stati di moto: in una situazione in cui ogni interazione è nulla, sarà nulla anche la capacità di modificare le cose che ad essa è associata. Dato che la forza coulombiana decresce con l’inverso del quadrato della distanza,
essa si annulla solo a distanza infinita, pertanto porremo come posizione di riferimento quella in cui la carica in oggetto è a distanza infinita da tutte le altre. In base
alla nostra definizione avremo che l’energia potenziale nella configurazione di riferimento dovrà essere zero perché, se la carica q già si trova in R, evidentemente nessuno spostamento deve essere fatto per portarcela e quindi nessun lavoro viene
compiuto dalla forza elettrostatica. Chiaramente, ad una scelta differente della posizione di riferimento, corrisponderà un valore differente dell’energia potenziale in
ogni punto. Questo non è un problema perché nella formula per il calcolo del lavoro
L U figura solo la differenza di energia potenziale, che non dipende dalla configurazione di riferimento.
Esercizi
1. In una regione sede di campo elettrico è mantenuta ferma una carica puntiforme
di massa m 15 g in un punto A dove ha energia potenziale UA 30J . Quando la
carica viene liberata, inizia a muoversi sotto l’azione delle sole forze del campo elettrico. Calcolare il lavoro eseguito dalla forza elettrica durante spostamento verso una
posizione B in cui la sua energia potenziale è U B 10J . Calcolare la velocità della
carica nella posizione B.
Il lavoro delle forze conservative è dato dalla variazione di energia potenziale cambiata di segno, quindi:
LAB U U A U B 30J 10J 20J
Dal teorema di conservazione dell’energia si ha:
U K Lest
dove Lest è il lavoro delle forze esterne, cioè esercitate da fuori sul sistema a cui è
associata l’energia potenziale, che in questo caso è la carica che si muove, insieme
con la distribuzione delle altre cariche che genera il campo. Poiché è specificato che
la carica è solo sotto l’effetto delle forze del campo elettrico si ha Lest 0J , da cui:
2
U K 0 (U B U A ) ( 21 m vB 0) 0
1
2m
vB
2
U A U B
vB
2 20
m/s 51.6 m/s
15 103
2. In una regione sede di campo elettrico viene tenuta ferma una pallina puntiforme,
carica, di massa m 12.0 g e la cui energia potenziale elettrostatica è U A 21.0J .
Calcolare il lavoro che occorre svolgere dall’esterno per portare la pallina fino ad una
posizione B dove U B 19.0J in modo che abbia velocità 20.0 m/s .
261
[R: 0.4 J ]
Quali conseguenze pratiche ha la conservatività della forza elettrostatica?
B
E
3J
4J
q
A
Se per assurdo la forza coulombiana non fosse conservativa potremmo sfruttarla
come sorgente illimitata di energia. Infatti, immaginiamo di trovarci in una regione sede di campo elettrico, ad esempio costante verso il basso come nello spazio fra
le armature di un condensatore. Poniamo che quando una carica q si sposta dalla
posizione A alla posizione B, la forza elettrostatica compia un lavoro di 3 J lungo
la traiettoria rettilinea in figura, ed un lavoro differente, di 4 J lungo la traiettoria
curvilinea. Allora potremmo portare in alto q seguendo il percorso rettilineo, in
modo da spendere 3 J di lavoro contro la forza elettrostatica (è il minimo che occorre per farla arrivare ferma in cima). Quassù costruiremmo una guida curva avente la
forma della seconda traiettoria e lasceremmo rotolare q lungo di essa: arriverebbe in
fondo con un’energia cinetica pari al lavoro del peso, e cioè 4 J . Ci sarebbe per noi un
guadagno netto di 1 J d’energia ogni volta, e la possibilità di ripetere il percorso
all’infinito, cioè disporremmo di una sorgente energetica inesauribile!
Quanto lavoro compie la forza elettrostatica lungo un percorso chiuso?
la "girandola elettrica"
Immaginiamo di costruire un dispositivo come la “girandola elettrica” in figura, dove delle sfere cariche sono sostenute da bracci isolanti liberi di ruotare. Esso non potrebbe mai mettersi in moto e continuare a girare sotto l’azione solo di un campo elettrostatico. In caso contrario, infatti, al termine del primo giro ciascuna delle sfere
tornerebbe al punto di partenza con un’energia cinetica che prima non aveva, ed in
base al teorema di conservazione dell’energia U K 0 questa potrebbe essere
presa solo dalla variazione U di energia potenziale elettrostatica. Ma alla fine del
giro non può che essere U fin U in (e quindi U 0 ) dato che l’energia potenziale
dipende solo dalla posizione della carica nel campo, ed in questo caso posizione iniziale e finale coincidono. Da questo:
(U fin U in ) (K fin K in ) 0
E
C (E ) 0
C (E ) 0
K fin K in
Il dispositivo non può quindi variare la sua energia cinetica3 solo per l’azione di un
campo elettrostatico: se è inizialmente fermo, rimane fermo, e se già sta girando, il
campo elettrostatico non è in grado né di rallentarne né di accelerarne la rotazione.
Il fatto che U 0 su di un percorso chiuso, cioè che la forza elettrostatica
non può compiere lavoro su di un percorso chiuso, è una via alternativa per enunciarne la conservatività. Come sappiamo, anche la gravità è una forza conservativa, e analogamente non ci aspetteremmo mai che una girandola possa mettersi
in moto soltanto sotto l’azione del suo peso. Anzi, quando ci troviamo in presenza di questi fenomeni, immediatamente pensiamo a dispositivi artificiali che
li producano (ad esempio la pompa che fa girare l’acqua in un presepio). Indi
cando quindi con il nome di circuitazione C (E ) il lavoro della forza elettrostatica
su di una carica unitaria che segue un percorso chiuso (si tratta quindi del lavoro del campo elettrico, che è la forza per unità di carica), possiamo dire che:
La circuitazione del campo elettrostatico è zero:
C (E ) 0
cioè il campo elettrostatico non può mettere in moto una carica inizialmente ferma e
farle percorrere una traiettoria chiusa.
3
Se lo facesse, sarebbe un’indicazione che il campo elettrico all’origine del fenomeno non è prodotto da una configurazione statica di cariche. Analogamente, come vedremo, per far circolare delle cariche in un qualunque circuito elettrico,
è necessario un dispositivo elettromotore, come la pila, che possa compiere lavoro lungo un percorso chiuso, rifornendo le
cariche dell’energia che vanno dissipando nel tragitto.
262
Quale espressione ha l’energia potenziale nel campo di una carica puntiforme?
Calcoliamo ora il lavoro LAB della forza elettrostatica esercitata da una carica puntiforme Q 0 su di una piccola carica q 0 , relativamente ad uno spostamento radiale da distanza rA fino ad una maggiore distanza rB . Il conto è reso difficile dal
fatto che la forza elettrostatica varia d’intensità lungo la traiettoria. Nella formula per
il calcolo del lavoro su un tratto rettilineo:
L |F | |s | cos
s rB rA
rB
q
possiamo sostituire |s | rB rA e cos 1 ( 0 in quanto sia la forza elettri-
rA
ca che lo spostamento sono radiali verso l’esterno). Però non sappiamo cosa mettere
al posto di |F | kQq /r 2 giacché il valore di r cambia da rA ad rB , e con esso cambia
l’intensità della forza elettrica lungo lo spostamento. Se quindi sostituiamo nella
formula il valore massimo kqQ / rA2 assunto dalla forza otteniamo un lavoro troppo
grande, e se sostituiamo il minimo
k
kqQ / rB2
un lavoro troppo piccolo, cioè:
Qq
Qq
(rB rA ) LAB k 2 (rB rA )
rB2
rA
Approssimeremo con un valore intermedio, ponendo al posto di r 2 il prodotto della
distanza massima per la minima, cioè il quadrato della media geometrica
rArB :
r 2 rArB
il risultato sarà tanto migliore4 quanto più le due posizioni sono vicine fra loro:
LAB
Q
rB
rA
Qq
kQq 1 1
k
(rB rA ) kQq
rArB
rA rB
rA rB
rA rB
Questa formula può essere applicata anche al caso di due posizioni molto distanti fra
loro, semplicemente suddividendo la traiettoria fra rA ed rB in piccoli spostamenti,
La Controfisica
Date due grandezze positive a , b
la loro media aritmetica (a b )/ 2
è sempre maggiore della loro
media geometrica ab . Infatti,
vale in ogni caso la disuguaglianza:
2
(a b) 0
che si riscrive:
a 2 2ab b 2 0
a 2 b 2 2ab
.Sommiamo 2ab ad ambo i
membri:
prima da rA ad r1 , poi da r1 ad r2 , eccetera, così brevi da poter applicare a ciascuno
(a b)2 4ab
il risultato trovato prima. Si ottiene una serie di addendi della forma 1/r ciascuno
prima sommato e poi sottratto, in modo che dopo le semplificazioni rimangono solo i
valori iniziale e finale:
ed estraiamo la radice quadrata ad
ambo i membri (positivi per
ipotesi):
LAB
1
1
1
1
1
1
1
kQq
...
r
r1
r1
r2
r2
r3
rB
A
E infine, avendo scelto come configurazione di riferimento quella in cui la carica q si
trova infinitamente distante da tutte le altre, ricaviamo un’espressione per l’energia
potenziale di q nel campo generato da Q calcolando il lavoro che la forza elettrica
svolge quando rB :
1
1
Qq
U (rA ) LA kQq k
rA
rA
Si può dimostrare che questa formula, ricavata nel caso di due cariche di uguale segno, è valida anche nel caso di segni discordi.
Potremmo pensare di approssimare la distanza radiale r con la media aritmetica degli estremi: (rA rB )/ 2 , ma dovendo approssimare il valore del quadrato di r , la media geometrica degli estremi dell’intervallo, rArB , sempre più
piccola della media aritmetica, risulta più accurata (allo stesso risultato si giunge tramite l’uso del calcolo integrale).
4
263
a b
2
ab
Esercizi
3. Una carica puntiforme q 5.40 106 C e massa m 5.00g , in moto a velocità
| v1 | 20.0 m/s è respinta da un’altra carica puntiforme Q 3.50 105 C tenuta
v2
ferma, e si allontana progressivamente da essa, come in figura. Calcolare il lavoro
compiuto dalla forza elettrostatica in un tratto in cui la distanza fra le due cariche è
q
passata da r1 4.00 m a r2 7.00 m , e la nuova velocità di q .
r2
v1
Q
r1
Applicando la formula trovata:
1
1
1
1
J
L12 kQq 8.99 109 3.50 105 5.40 106
4.00 7.00
r1 r2
8.99 3.50 5.40 (0.250 0.143) 10956 J 15.9 J
Dal teorema di conservazione dell’energia applicato al sistema delle due cariche, es
sendo Q sempre ferma, e indicando con v2 la nuova velocità di q , si ha:
K U Lesterno 0
Essendo U L12 risulta
| v2 |
v1
2 L | v | 2
1
m 12
1
m
2
| v2 | 2 1 m | v1 | 2 L12 0 da cui:
2
215.9 20.02 m/s 82.2 m/s
0.00500
4. Una carica puntiforme q 4.10 106 C di m 2.30 103 kg si trova a distanza
q
Q
r1 8.00 m da una carica Q 6.20 106 C tenuta immobile. Sapendo che in
quell’istante la velocità di q1 , diretta verso q2 , è 12.0 m/s , si dica a quale distanza da
q 2 la repulsione elettrostatica annulla la velocità di q1 e le cambia verso. [R: 1.18 m ]
v1
r1
e
5. Un elettrone ( me 9.11 1031 kg , e 1.60 1019 C ) si allontana lungo la linea che lo congiunge ad un protone immobile, a velocità 2.20 106 m/s (è meno
dell’1% di quella della luce, pari all’ordine di grandezza della velocità con cui gli
elettroni orbitano intorno al nucleo in un atomo di idrogeno). Se l’elettrone parte a
e
r2
e
e
distanza r1 0.529 1010 m dal protone (raggio di un atomo d’idrogeno), calcolare
la distanza dove la sua velocità si annulla e inverte direzione.
[R: 1.07 1010 m ]
6. Due elettroni ( me 9.11 1031 kg , e 1.60 1019 C ) stanno viaggiano lungo
una linea retta, l’uno verso l’altro alla velocità di 2.00 106 m/s ciascuno. Nell’ipotesi
che non si abbia nessuna deviazione dalla direzione originale, calcolare fino a che di[R: 0.632 1010 m ]
stanza possono avvicinarsi.
7. Due cariche
qA 44.0 μC e
qB 28.0 μC
sono vincolate ad una distanza
r1 60.0 cm . Calcolare il lavoro che occorre fare dall’esterno per ridurre la loro distanza a r2 20.0 cm , senza variazione di energia cinetica.
[R: 3.69 103 J ]
8. Una particella ( q 2e , m 6.68 1027 kg ) viene sparata con velocità v contro un nucleo di alluminio (carica Ze con Z 13 , e 1.60 1019 C ), senza elettroni e tenuto immobile. Essa subisce una forza repulsiva che nella posizione di minima
distanza d vale 15.0 N . Calcolare d e v , supponendo che la particella fosse inizial[R: 2.00 1014 m, 9.46 106 m/s ]
mente a distanza infinita dal nucleo.
264
Come si scrive l’energia potenziale di un sistema di cariche?
QB
Essendo l’energia una grandezza additiva, la formula è facilmente generalizzabile al caso in cui le cariche siano più di due semplicemente sommando
le energie potenziali di tutte le coppie di particelle coinvolte. Ad esempio per tre
cariche QA , QB , QC l’energia potenziale del sistema si scrive:
Q Q
Q Q
Q Q
U k A B A C B C
r
rAC
rBC
AB
rAB
rBC
QA
rAC
L’energia potenziale elettrostatica di un sistema di cariche esprime il lavoro
che la forza di Coulomb eseguirebbe se le cariche venissero rimosse dalla
loro posizione e portate a distanze infinita le une dalle altre, cioè nella configurazione di riferimento in cui U 0 .
QC
Qual è il significato del segno nell’energia potenziale elettrostatica?
L’energia potenziale di un sistema rappresenta il lavoro che le forze del campo compirebbero qualora il sistema stesso venisse smembrato portando a
distanza infinita una carica alla volta, mentre le altre rimangono congelate
energia potenziale
nella loro posizione originaria. Se, durante lo smembramento, le forze del
elettrostatica
campo compiono lavoro motore, vale a dire positivo, e quindi favoriscono il
processo, il sistema ha energia potenziale positiva. Viceversa se compiono
lavoro resistente, vale a dire negativo, e quindi per smembrare la distribun
n
zione delle cariche occorre lavorare dall’esterno, allora l’energia potenziale è
negativa. Quindi un sistema elettrico con U 0 è tenuto insieme dalle sue
n
n
stesse forze e per smembrarlo bisogna faticare: si pensi ad esempio ad un
n
elettrone che orbita attorno ad un nucleo atomico costituito solo da un pron
tone, cioè un atomo di idrogeno. Si tratta di un sistema ad energia potenziale
negativa: per sottrarre l’elettrone al nucleo bisogna esercitare una forza energia potenziale
elettrostatica
esterna e durante il procedimento di estrazione ed allontanamento il sistema
stesso lavora in modo resistente. Viceversa, per tenere accostate due cariche
La Controfisica
dello stesso segno dobbiamo intervenire con un vincolo contro la repulsione elettrica, L’energia potenziale elettrostatie, non appena il vincolo viene meno, il sistema si smembra da solo portando le cari- ca costituisce una parte
dell’energia liberata nelle esploche a distanza reciproca infinita: la sua energia potenziale elettrica è positiva. Un sioni nucleari. Queste sono otesempio di questo secondo caso può essere il nucleo di un atomo, dove l’energia po- tenute rendendo il nucleo più
grande sparandogli altre particeltenziale elettrica è positiva. Sono le interazioni nucleari attrattive fra i protoni, la co- le contro. Una volta inglobate le
siddetta forza forte, a tenere insieme le particelle con carica di segno concorde: in as- particelle-proiettile, il nucleo
diviene più instabile a causa
senza di esse il nucleo si smembrerebbe.
della maggiore distanza media a
0
0
Esercizi
9. Calcolare l’energia potenziale elettrostatica di un sistema di quattro cariche
q1 1.00 μC , q2 2q1 , q3 3q1 , q4 4q1 , poste in questa sequenza nei vertici di un
quadrato di lato 1.50 m .
Dobbiamo prendere tutte le possibili coppie di particelle e sommare le loro energie:
U U12 U13 U14 U 23 U 24 U 34
k
q1q2
r12
k
q1q 3
r13
k
q1q 4
r14
k
q 2q 3
r23
k
q2q 4
r24
k
q 3q 4
r34
Le distanze sono pari al lato, o alla diagonale del quadrato, come segue:
r12 r14 r23 r34
r13 r24 2
Sostituendo:
2q 2
3q 2
4q 2 6q 2
8q 2
12q12 kq12
11
24
U k 1 1 1 1 1
2
2
2
265
cui si portano i protoni. Al crescere della distanza, infatti,
l’attrazione nucleare forte che li
tiene insieme diminuisce molto
più rapidamente di quanto non
faccia la repulsione elettrostatica.
In un nucleo grande come quello di Uranio, già poco stabile di
suo a causa della grande separazione fra i nucleoni, l’aggiunta di
nuove particelle fà si che si raggiunga una distanza media per
cui la repulsione elettrostatica
vince sull’attrazione forte e le
particelle del nucleo schizzano
via come proiettili.
q4
q3
q1
2
q2
q3
d
8.99 109 (1.00 106 )2
11
24
J 0.190 J
1.50
2
10. Quattro cariche q1 q3 3.00 μC e q2 q4 2.00 μC sono fissate ai vertici di
q4
q 2 un tetraedro regolare, di spigolo lungo d 2.20 m . Si calcoli l’energia potenziale
q1
[R: 2.25 102 J ]
del sistema.
11. Nei vertici di un cubo sono bloccate sei cariche uguali, di valore q 3.34 μC .
Sapendo che l’energia potenziale elettrostatica del sistema è U 4.00 J , si calcoli la
misura s dello spigolo del cubo. Si calcoli il lavoro che svolge la forza elettrostatica
quando una qualunque delle cariche viene portata a distanza infinta dalle altre, fisse
nei vertici.
[R: 0.572 m ]
12. Quattro cariche sono disposte nei vertici di un quadrato di lato . Tre di esse
sono positive, di uguale valore q , la quarta è negativa, di valore Q . Calcolare Q che
rende nulla l’energia del sistema.
[R: Q q ]
s
a
c
b
13. Viene compiuto un lavoro L 2.00 J per portare sei cariche, all’inizio infinitamente distanti, vincolate nei vertici di un esagono regolare di lato a . Sapendo che le
cariche hanno tutte valore q 3.00 μC , calcolare a .
[R: 44.4 cm ]
c
14. Una carica q 6.00 μC si trova a distanza d 4.00 cm da un piano infinito di
metallo, neutro, sul quale la carica esercita il fenomeno dell’induzione. Calcolare il
lavoro che occorre fare per portare q a distanza infinita, senza variazione di energia
cinetica, tramite il metodo della carica immagine.
[R: Lest kq 2 / 4d 36.0 J ]
15. Un anello di raggio R 4.00 cm è uniformemente carico con densità lineare di
carica 5.00 μC/cm . Una carica q 8.00 μC viene posizionata nel centro
dell’anello. Calcolare l’energia potenziale del sistema.
[R: 226J ]
2. Il potenziale elettrostatico
Ricordiamo che si è definito campo elettrico il rapporto fra la forza elettrica che
agisce su di una piccola carica di prova q in un punto dello spazio, e la carica stessa,
cioè la forza per unità di carica. Il campo elettrico consente una descrizione dei fenomeni elettrici senza usufruire del concetto di azione a distanza, ma assegnando delle
proprietà allo spazio stesso. Ci proponiamo ora di definire una grandezza fisica, il potenziale, che rivesta un ruolo analogo nei confronti dell’energia potenziale, cioè
l’energia potenziale per unità di carica. Supponiamo quindi di avere un certo numero di
cariche Qi vincolate ad occupare delle posizioni nello spazio (oppure su di un cor-
E lim F /q
q 0
po): esse daranno origine ad un campo elettrico nella regione circostante. Scriviamo
ora l’energia potenziale U (q ) associata ad una carica q posta fra le tante cariche Qi di
r1
Q1
q
r3
r2
Q2
Q3
questo sistema. Essa sarà una parte dell’energia potenziale associata all’intero sistema di
tutte le cariche, precisamente quella che si ottiene sommando i soli addendi in cui figura q :
Q q Q q Q q
U (q ) k 1 2 3 ...
r2
r3
r1
266
dove r1 , r2 , r3 sono le distanze fra q e ciascuna delle Qi . Se le cariche Qi si trovano
localizzate su di un corpo, e su di esso viene posta anche la carica q , la grandezza
U (q ) rappresenta il lavoro che le forze del campo elettrico - dovuto a tutte le Qi di-
verse da q - compirebbero qualora q venisse prelevata dalla sua posizione e portata a distanza infinita dal corpo stesso mentre le altre rimangono congelate nella loro
posizione.
Quindi un corpo carico possiede la capacità di conferire energia potenziale?
Considerando le cose da un differente punto di vista, si può dire che un corpo carico è
capace di conferire energia potenziale ad ogni nuova carica che viene posta su di esso o nelle
sue vicinanze. Un’analogia con la forza peso può aiutare: immaginiamo una collina, e
una pietra che viene portata sulla sua cima. Assumendo come posizione di riferimento quella in cui la pietra si trova al livello del suolo, la forza peso compie, durante lo
spostamento, un lavoro resistente. Nel momento in cui decidessimo di “smembrare il
sistema” riportando la pietra nella posizione di riferimento, la forza peso ci agevolerebbe, e, quindi, secondo la definizione data, la pietra in cima alla collina ha
un’energia potenziale gravitazionale positiva, che è tanto maggiore quanto più alta è
la collina. Tuttavia, indipendentemente dal fatto che vi si porti la pietra sopra, la collina si trova già là, ed ogni oggetto che vi viene posto acquisisce questa proprietà che
prima non aveva, a cui si dà il nome di energia potenziale gravitazionale. In modo
figurato, possiamo vedere nella pietra la carica q , e nella collina la capacità di conferire energia potenziale posseduta da un corpo carico, e dare ad essa il nome di potenziale.
energia potenziale
potenziale
Come possiamo definire l’analogo elettrico dell’altezza della collina?
Se nell’espressione di U (q ) raccogliamo a fattor comune il valore di q ci accorgiamo
che l’energia potenziale di una carica in un campo elettrostatico è proporzionale alla
carica stessa :
Q
Q
Q
U (q ) k 1 2 3 ...q
r1
r2
r3
r1
Q1
infatti i termini addizionati fra parentesi non dipendono da q . Se quindi calcoliamo
il rapporto fra l’energia potenziale U e la carica a cui è associata:
U (q )
q
e cioè l’energia per unità di carica, otteniamo una grandezza che non è più legata a q
ma solo alla configurazione di cariche che genera il campo. Possiamo allora usare
U /q come misura della proprietà che ha la distribuzione di cariche di conferire
energia potenziale ad una carica posta in un punto P dello spazio. E’ questa quantità che potremmo intendere come altezza della collina elettrica nel punto P , e che prende il nome di potenziale elettrostatico V .
Potenziale elettrostatico:
è la proprietà dello spazio che misura l’energia potenziale elettrica per Coulomb acquistata da una carica posta in un punto di quella regione. Un sistema di cariche puntiformi Q1,Q2 ,... produce in un punto P che dista r1, r2 ,... dalle cariche, un potenziale:
V
Q
Q
Q
U (q )
k 1 2 3 ...
r1
q
r2
r3
267
P
r3
r2
Q2
Q3
Come si utilizza il potenziale elettrostatico?
Il valore del potenziale in un punto dello spazio permette di sapere subito quale sarà
l’energia potenziale di una carica q posta in quel punto, in quanto, ribaltando la
formula si ha U (q ) qV . Il ruolo svolto dal potenziale rispetto all’energia potenziale
è analogo al ruolo svolto dal campo elettrico rispetto alla forza elettrica:
F qE
U (q ) qV
con la differenza che, mentre il campo elettrico è un vettore, il potenziale elettrostatico è uno scalare. Per tale motivo si dice anche che il potenziale elettrostatico è un
campo scalare, mentre il campo elettrico è un campo vettoriale: il primo definisce un
numero in ogni punto dello spazio, il secondo definisce un vettore in ogni punto dello
spazio. Anche V , come U , è relativo ad una posizione di riferimento. Come prima, la
scelta più naturale in caso di distribuzioni di estensione finita, è quella di riferirsi ad
una distanza infinita. L’unità di misura del potenziale si chiama volt , le sue dimensioni fisiche sono: V J / C , cioè una carica di 1 C posta in un punto dello
spazio che si trovi al potenziale di 1 V rispetto all’infinito, acquista un’energia potenziale di 1 J rispetto all’infinito. Se quindi in una regione sede di campo elettrico,
una carica q si porta da un punto A ad un punto B, il lavoro della forza di Coulomb si scrive:
LAB U q(VA VB ) q V
q
q
Esercizi
16. Calcolare il lavoro della forza elettrostatica quando spostiamo una carica
q 4.30 106 C dal terminale positivo al terminale negativo di una batteria che
mantiene una differenza di potenziale V V 1.5 V . Spiegare che relazione c’è
V ?
fra il lavoro della forza elettrostatica ed il lavoro necessario per spostare la carica.
q
q
Applicando la formula per il lavoro di una forza conservativa:
LE U qV q(V V ) 4.30 106 C 1.5 V 6.45 106 J
Il lavoro compiuto (dalla batteria, da un agente esterno…) per spostare la carica è
uguale ed opposto a quello della forza elettrostatica solo se nel tragitto non è cambiata l’energia cinetica della carica (ad esempio se essa è ferma all’inizio ed alla fine). In
caso contrario per trovare la relazione fra i due lavori bisogna conoscere la variazione di energia cinetica, essendo: Ltot LE Lnostro K .
Q
Q
17. Calcolare il potenziale nel centro di un quadrato di lato 10.0 cm , sui cui vertici sono tenute ferme quattro cariche uguali di valore q 3.00 nC .
Q
Q
A
[R: 1.53 103 V ]
18. Una carica q 1.20 nC inizialmente ferma a distanza infinita, viene portata e
bloccata nella posizione A in figura. Calcolare VA e il lavoro che occorre compiere
dall’esterno per eseguire quest’operazione,
60.0 cm .
sapendo che Q 6.50 nC e che
[R 522V, 626 nJ ]
19. Calcolare il potenziale nel centro di un triangolo equilatero di lato 16.0 m ,
sapendo che nei suoi vertici sono localizzate tre cariche q1 3.00 μC , q2 4.00 μC ,
q2
q3 7.50 μC .
r
q1
q3
200V
q5
[R: 486V ]
20. Si misura un potenziale di 200 V al centro di un pentagono regolare nei cui vertici sono fissate q1 3.00 nC , q2 2.00 nC , q3 5.00 nC , q4 4.00 nC ,
q4
q5 7.00 nC . Calcolare il lato del pentagono.
268
[R: 0.476 m ]
21. Una pallina di massa m 6.00 g e carica q 300 nC si muove da una posizione
A dove il potenziale è 800 V ad una posizione B dove il potenziale è 100 V . Quando
la pallina passa in B, si osserva che la sua velocità è 0.400 m/s . Calcolare qual era la
sua velocità in A.
[R: 0.300 m/s ]
B
22. Un elettrone ( me 9.11 1031 kg , e 1.60 1019 C ) passa per la posizione A
in figura con velocità 4.00 106 m/s . La particella avanza perpendicolarmente al
segmento che ha vincolate negli estremi le due cariche qB qC 0.800 nC , ed è
D
A
diretta verso il punto medio D. Calcolare la velocità dell’elettrone quando passa per
C
[R: 3.34 106 m/s ]
D sapendo che AB 2.00 m e 20 .
23. Uno strato piano infinito è uniformemente carico con densità superficiale
6.00 μC/m2 . Una particella carica q 4.00 μC di massa m 15.0 g è posta ferma in una posizione A davanti allo strato. Essa viene spostata dall’azione del campo
B
A
elettrico lungo le sue linee di forza, per un tratto AB 2.50 cm . Calcolare il lavoro
fatto dalla forza elettrostatica, la differenza di potenziale fra queste due posizioni, e
[R: 1.36 102 J,VA VB 3400V,1.35 m/s ]
la velocità della particella in B.
24. Una particella carica q 3.50 μC di massa m 4.50 g avanza perpendicolar-
Q
B
Q
mente ad un quadrato di lato 1.50 m , puntando verso il centro C. Nei vertici del
quadrato sono vincolate quattro cariche identiche di valore Q . Quando si trova nella
posizione A in figura, la velocità della particella è 1.40 m/s . Sapendo che A
AB 3.00 m , calcolare il valore di Q che fa giungere q ferma nel punto C.
q
[R: 57.5 nC ]
C
Q
Q
Che cos’è l’elettronvolt?
L’elettronvolt ( eV ) è un’unità per la misura dell’energia (e quindi non per il potenziale)
molto più piccola del joule, ed utilizzata nella fisica delle particelle elementari, dove
l’ordine di grandezza delle energie coinvolte è assai minore rispetto a quello della
scala degli oggetti. Un elettronvolt è l’energia guadagnata (oppure perduta) da una
particella che abbia la carica di un elettrone, quando si muove tra due punti fra i
quali la differenza di potenziale sia 1V . Il valore di un elettronvolt in joule è allora:
ordini di grandezza
1 eV 1.60 1019 C 1V 1.60 1019 J
3
6
9
Sono spesso usati multipli 1 keV 10 eV , 1 MeV 10 eV , e 1 GeV 10 eV .
raggio di un atomo 1010 m
raggio di un nucleo 1015 m
Esercizi
25. Calcolare l’energia elettrostatica, espressa in elettronvolt, di un elettrone di un
atomo d’Idrogeno nello stato fondamentale ( r 0.529 1010 m ) e del sistema di
due protoni nel nucleo dell’atomo di elio ( r 1.7 1015 m ).
Per l’elettrone nell’atomo di Idrogeno abbiamo:
e( e )
1
8.99 109 1.60 1019
eV
eV 27.2 eV
r
0.529 1010
1.60 1019
Il contributo positivo dell’energia cinetica è uguale alla metà dell’energia potenziale,
come si dimostra imponendo che la forza elettrostatica sia uguale a quella centripeta:
U k
m
v2
e2
k
r
r2
K
1
1 ke 2
1
mv 2
U
2
2 r
2
269
quindi l’energia totale dell’elettrone è 1 Ue 13.6 eV , detta anche energia di legame.
2
Per la coppia di protoni nel nucleo di Elio abbiamo:
U k
e( e )
1
8.99 109 1.60 1019
eV
eV 8.5 105 eV 1MeV
15
19
r
1.7 10
1.60 10
26. Un fascio di protoni ( mP 1.67 1027 kg , e 1.60 1019 C ) è accelerato da un
dispositivo che fornisce a ogni particella un’energia U 1.20 keV . Calcolare la velocità che raggiungono, e la forza che essi esercitano su di una lastra metallica contro la
quale colpiscono senza rimbalzare, cedendo la loro quantità di moto, in ragione di
[R: 4.80 106 m/s, 4.01 1012 N ]
n 5.00 109 particelle/s .
Come possiamo raffigurare il potenziale nello spazio?
Muovendo una carica lungo una traiettoria sempre perpendicolare alle linee di
campo, la forza
di Coulomb non
compie
lavoro.
Dovendo essere
L q (Vfin Vin ) 0 , è quindi costante il potenziale lungo tutto il tragitto. Spostandosi nello spazio, per ogni fissato valore di V si individua quindi una superficie “bucata” perpendicolarmente dalle linee di campo, i cui punti sono tutti
allo stesso potenziale, che è detta superficie equipotenziale. In figura sono riportate le
superfici sferiche equipotenziali di una carica puntiforme positiva (valori di potenziale positivi dato che V kQ /r 0 ) e le superfici equipotenziali di un dipolo.
q
q
q
8V
6 V
6V
4V
6V
4 V
4V
2V
2 V
0V
Come sono orientate le linee di campo rispetto ai valori del potenziale?
Consideriamo lo spostamento elementare s (cioè rettilineo e piccolo rispetto alle
distanze in gioco) di una carica unitaria. Se è l’angolo fra E e s , il lavoro del
campo elettrico5 (cioè il lavoro per unità di carica) relativamente a questo spostamento si può scrivere nei due modi:
L V
L |E | | s | cos
E
s
Nel caso particolare in cui ci si stia muovendo proprio lungo una linea di forza
seguendone il verso, E sarà sempre tangente alla traiettoria e quindi risulterà
cos 1 , da cui:
V |E | | s |
s
E
9V
6V
ed essendo il modulo del vettore s 0 possiamo concludere che, seguendo
le linee di campo, si ha V 0 , cioè si sta procedendo verso potenziali decrescenti (ad esempio è ciò che accade partendo dalla superficie di un conduttore,
3V
5
Poiché il campo elettrico è la forza per unità di carica, qui il simbolo L indica il lavoro per unità di carica.
270
dove fanno capo le linee di campo, e muovendosi lungo di esse).
Le linee di campo sono orientate nel verso in cui diminuisce il potenziale. Spostan
dosi lungo le linee di campo di un tratto lungo | s | si ha: V |E | | s | . Quindi il
campo spinge le cariche positive giù dalla “collina elettrica”.
Se invece lo spostamento s avviene in una direzione qualunque, indicando con
Es |E | cos la componente del campo elettrico lungo tale direzione avremo:
V Es s
Es
V [ Volt ]
piccolo
Es 0
grande
Es 0
V
s
e cioè la componente del campo elettrico lungo lo spostamento è pari alla variazione del potenziale per ogni unità di lunghezza di cui ci si è spostati in quella direzione, presa con segno negativo in modo che Es sia positivo se ci si muove nel verso in cui il potenziale decresce. Chiaramente, maggiore è la variazione V del potenziale nel tratto di
spostamento s , più grande risulta la componente Es del campo, quindi possiamo
vedere nel numero Es la rapidità con cui varia il potenziale in quella direzione.
l’intensità della componente del campo elettrico in una direzione esprime la rapidità
con cui cambia il potenziale spostandosi in quella direzione.
s [ metri ]
La Controfisica
L’intensità del potenziale non ha
quindi nulla a che vedere con
l’intensità del campo elettrico!
L’intensità del campo è legata ai
cambiamenti di potenziale. In un
piano cartesiano
che riporti
l’andamento del potenziale nello
spazio, il campo è la pendenza
della retta tangente cambiata di
segno.
Nell’analogia in cui il potenziale misura l’altezza della “collina elettrica” (e quindi
100V
V il cambiamento di altezza) il campo elettrico misura la pendenza di quella stesE
sa collina:
V
V altezza della "collina elettrica "
0V
campo elettrico intenso
E pendenza della "collina elettrica "
Grazie alla formula Es V /s , le unità di misura del campo elettrico, anziché
essere scritte N/C possono essere espresse in V/m senza cambiare il valore numerico.
Esercizi
27. Calcolare l’intensità del campo elettrico fra le armature di un condensatore piano
(cioè un doppio strato uniforme di carica) sapendo che la loro differenza di potenziale è V V 12.0 V e la distanza che le separa d 6.00 cm .
E
100V
V
campo elettrico debole
Nel caso di un campo uniforme come quello fra le armature di un condensatore, la
formula Es V /s consente il calcolo dell’intensità del campo semplicemente
dividendo la differenza di potenziale fra due punti su di una stessa linea di campo
per la distanza che li separa. Quindi il campo E , orientato dall’armatura positiva
verso la negativa, ha intensità:
V V
12.0
E
V/m 200 V/m
d
0.0600
V kq /r
q0
Che succede al potenziale nei punti dove sono localizzate le cariche?
La formula per il potenziale di una carica puntiforme V kq /r produrrebbe un valore
infinito in corrispondenza della posizione della carica r 0 . Però tale formula è stata ricavata sotto la condizione che la carica possa considerarsi un punto privo di dimensioni, e questo è vero nello spazio intorno a q , ma non lo è più se tento di salire
sopra ad essa, quindi non può essere adoperata per calcolare V nella posizione di q .
Ricordando che le linee di campo sgorgano dai punti dove sono le cariche positive, e
confluiscono in quelli dove si trovano le cariche negative, avremo che i primi saranno punti di massimo del potenziale (cioè maggiore od uguale ai valori intorno) e i se271
r
V kq /r
r
q 0
0V
condi punti di minimo (cioè minore od uguale ai valori intorno). Difatti l’unico caso in
cui le linee di campo possono uscire da un punto andando in qualunque direzione si
ha quando tutt’intorno il potenziale è minore. Analogamente se entrano tutte in un
punto si avrà che intorno ad esso il potenziale assume sempre valori maggiori che
non nel punto, quindi:
le cariche positive sono dei massimi per il potenziale, le cariche negative dei minimi.
E
Esercizi
28. Fra le lastre di un doppio strato di carica si ha un campo elettrico uniforme di intensità 800 N/C . Calcolare che differenze di potenziale esistono fra i
punti A , B e C vertici del triangolo rettangolo in figura.
B
10 cm
6.0 cm
A
8.0 cm
I punti A e C sono sulla stessa superficie equipotenziale perché la retta che li
contiene è perpendicolare alle linee di campo, quindi VAB 0.0 V .
C
Per andare da B ad A ci si deve spostare parallelamente alle linee di campo
quindi la differenza fra valore iniziale e finale del potenziale vale:
VA VB V E s E BA (800 6.0 102 ) V 48 V
3V
ed è anche VC VB 48 V poiché come si è detto, A e C sono equipotenziali.
6V
9V
A
B
9V
C
D
B
29. In figura sono riportate le superfici equipotenziali di una coppia di cariche identiche. Calcolare il lavoro che compie il campo elettrico (1) quando
una carica q 2.30 106 C viene portata dalla posizione A alla posizione B;
(2) quando la carica viene portata da A in C passando per D. Si stimi in base
a misurazioni di lunghezza fatte direttamente sulla figura, il valore del cam[R: 7 106 J, 0 J, 8 102 V/m ]
po elettrico in A.
E
30. Si consideri il triangolo isoscele ABC in figura, posto nella regione fra le lastre di
un doppio strato piano di carica. Sapendo che VA 100 V e VB 300 V , e che
A
C
AB 50.0 cm , BC 60.0 cm calcolare la densità superficiale di carica del doppio strato e la componente del campo elettrico lungo il segmento AB.
[R: 4.43 nC/m2 , 400 V/m ]
31. In figura sono riportate due superfici equipotenziali del campo elettrico generato
dalla carica q . Sapendo che le superfici sono due sfere concentriche, i cui raggi differiscono di 6.00 cm , calcolare il valore del campo elettrico su di una sfera centrata
q
8V
5V
nella carica, di raggio pari alla media geometrica rG r1r2 .di quelli delle due sfere.
[R: 0.5 V/m ]
r1
90 V
32. In figura sono riportate due circonferenze equipotenziali generate da un filo rettilineo infinito, uniformemente carico con densità lineare , su un piano perpendicolare al filo. Sapendo che r1 10.0 cm , r2 13.0 cm , stimare il valore di .
r2
[R: 12.8 nC/m ]
30 V
18 V
14 V
22V
33. In una regione dello spazio le superfici equipotenziali hanno la forma rappresen-
10V tata in figura. Tracciare l’andamento delle corrispondenti linee di campo, specifican-
do la zona dove esso è più intenso. Calcolare il valore di una carica q che si sposta
dalla posizione A alla posizione B con una variazione di energia cinetica
K 48 μ J , se le forze del campo elettrostatico sono le sole ad agire su q .
A
[R: 4.0 μC ]
B
272
3. Potenziale e campo di conduttori carichi
Come sono fatte le superfici equipotenziali di un conduttore carico?
Come abbiamo visto, le cariche in eccesso in un conduttore si dispongono su di uno
strato superficiale, e le linee di campo escono perpendicolarmente dal conduttore
stesso. Di conseguenza la superficie di un conduttore carico in equilibrio elettrostatico è
equipotenziale. Se spostiamo una carica mantenendola sulla superficie del conduttore, la forza di Coulomb non compie lavoro, essendo la traiettoria sempre perpendicolare alla forza. Anche nello spazio interno il potenziale dovuto alle cariche in eccesso è costante. Infatti, dovendo in tale regione essere nullo il campo elettrico,
quando si sposta una carica dentro il conduttore, E compirà un lavoro sempre nullo, da cui L V 0 ovunque. Inoltre, il valore del potenziale interno dovuto
solo6 alle cariche in eccesso, sarà esattamente lo stesso della superficie. Se, infatti, non
fosse così, avremmo due possibilità: un valore all’interno più alto di quello sulla superficie, e cioè dentro vi sarebbe un massimo del potenziale, oppure un valore più
basso, e cioè dentro vi sarebbe un minimo. Ma come si è visto, massimi e minimi
comportano una localizzazione di carica da cui le linee di campo devono sgorgare, e
ciò all’interno di un conduttore non è possibile:
La Controfisica
Ricordiamo che gli elettroni del
mare di conduzione non sono
fermi, ma in stato di agitazione
termica, cioè animati da velocità
con direzioni distribuite in modo
del tutto casuale nello spazio,
che già a temperatura ambiente
sono dell’ordine delle centinaia di
migliaia di metri al secondo. Inoltre sono sottoposti ai campi generati dagli ioni del reticolo e
dagli altri elettroni. Tuttavia, su di
una scala grande rispetto alle dimensioni atomiche, questi campi
microscopici hanno un valore
medio nullo, cioè qualunque superficie possiamo immaginare
internamente al conduttore, essa
verrà attraversata, nello stesso
intervallo di tempo, da un uguale
numero di elettroni tanto in un
verso quanto nel verso opposto.
E’ su questa grande scala, dove
sono assenti i moti ordinati
d’insieme, che consideriamo
equipotenziale lo spazio occupato
dal conduttore.
l’intero spazio occupato da un conduttore carico in equilibrio elettrostatico risulta
equipotenziale.
Se quindi abbiamo un conduttore carico positivamente, isolato nello spazio e di
estensione finita, le linee di campo partono dal conduttore per giungere all’infinito
(o dall’infinito per entrarvi se il conduttore è carico negativamente). Ne segue che
le superfici equipotenziali sono, per così dire, ”parallele” alla superficie del conduttore, nel senso che ne riproducono la forma almeno nelle immediate vicinanze.
E
Vcostante
Cosa succede alle linee di campo in presenza di due o più conduttori?
Come esempio, consideriamo le situazioni proposte nella figura seguente.
VA
VB VA
VA
6
VC costante
VB
Se non ci limitiamo all’effetto delle cariche in eccesso, allora anche quando il conduttore è neutro, il valore del potenziale interno è di alcuni volt superiore a quello della superficie, a seconda del metallo. Questo perché deve esistere un campo
elettrico diretto sempre dalla superficie verso l’esterno, dovuto al fatto che il reticolo cristallino termina, e l’azione elettrica degli ioni più esterni non è più controbilanciata da quelli vicini. Questo campo ha un verso tale da confinare gli elettroni di conduzione sul conduttore impedendogli di fuoriuscire (viene detta una barriera di potenziale). Il suo valore è molto
più intenso di quello del campo dovuto ad un eccesso di carica elettrica eventualmente presente, tuttavia esso agisce solo
su scala microscopica. La barriera di potenziale non è quindi in grado di produrre moti ordinati d’insieme, e rimane inalterata dal piccolo disturbo dovuto all’eventuale presenza di uno strato di carica in eccesso.
273
possibile?
V costante
Nel disegno a sinistra abbiamo due conduttori affacciati, carichi dello stesso segno
ma a potenziale diverso,VA VB . Il conduttore a potenziale minore subisce un fenomeno di induzione più marcato per la presenza dell’altro. Nella regione d‘affaccio,
le linee di campo vanno da quello a potenziale maggiore verso quello a potenziale
inferiore, mentre esternamente andranno verso l’infinito, dove il potenziale è nullo.
Va sottolineato che i conduttori sono entrambi equipotenziali, anche se la densità di
carica che si raccoglie sulle superfici è di segno diverso in differenti punti, e le linee
di campo che fanno capo ad essi, in parte escono ed in parte entrano. Nel disegno a
destra invece, abbiamo posto un conduttore C nella regione di spazio dove ha sede il
campo elettrico generato da altri due conduttori A e B, e dove subisce il fenomeno
dell’induzione elettrostatica. Le cariche al suo interno raggiungeranno presto una
configurazione di equilibrio per cui il potenziale di C è costante, anche in questo caso con linee di campo che sono sia entranti che uscenti.
Esercizi
34. Si dica se è possibile che le linee di campo di un conduttore carico abbiano
l’andamento disegnato nella figura qui a lato.
Una stessa linea di forza non può uscire da un conduttore per poi tornarvi, perché in
tale caso il punto di rientro sarebbe a potenziale più basso di quello d’uscita, cosa
non compatibile col fatto che la superficie deve essere equipotenziale. Quindi la situazione proposta è impossibile.
35. Si dica se è possibile che le linee di campo di un conduttore carico abbiano
l’andamento dall’infinito e verso l’infinito come nella figura a lato.
[R]
V costante
Quanto vale il potenziale su di una sfera conduttrice carica?
Sappiamo che le cariche in eccesso su di un conduttore si distribuiscono sulla sua superficie, quindi il problema consiste nel trovare il potenziale generato da una distribuzione di carica su di una superficie sferica. In base al principio di sovrapposizione,
il potenziale in un punto P dello spazio è la somma dei potenziali generati da tutte
possibile?
le cariche q1, q2 ,... che risiedono su questa superficie sferica:
V k
q1
r1
k
q2
r2
...
in cui r1, r2 ,... sono le distanze di ciascuna carica da P . Giacché il potenziale di un
conduttore è costante su tutto lo spazio occupato, possiamo calcolare V ponendo P
nel centro della sfera. In questo modo ogni carica dista da P sempre quanto misura
q1
q2
il raggio R , cioè r1 r2 ... R , da cui:
r1
r2
V k
P
dove q
qi
q1
R
k
q2
R
... k
(q1 q2 ...)
R
k
q
R
è la carica complessivamente presente sulla sfera. Anche se il con-
duttore carico non ha forma sferica, la formula V kq /R può essere usata per una
rapida stima dell’ordine di grandezza del suo potenziale.
Quant’è il potenziale generato da una sfera carica a grande distanza dal centro?
Una sfera uniformemente carica, se vista da una distanza r maggiore rispetto al suo
raggio R di almeno un ordine di grandezza, si comporta come una carica puntiforme. Pertanto possiamo adoperare per essa l’espressione del potenziale valida nel
caso in cui tutta la carica q fosse localizzata nel suo centro: V kq /R .
274
Esercizi
36. Un generatore di Van de Graaff è costituito da una cinghia isolante che, mossa da
una manovella, si carica per strofinio e deposita su di una cupola metallica di raggio
R 17.5 cm una carica q 80.0 nC . Calcolare il potenziale della cupola. Una sfera
metallica di raggio r 5.00 cm entra in contatto con la cupola e poi viene separata.
Calcolare la carica che si deposita sulla sfera metallica.
Prima del contatto, il potenziale a cui si porta la cupola del generatore può essere
calcolato con la formula per una sfera metallica di raggio R 17.5 cm :
q
80.0 109
V k 8.99 109
V 4110 V
R
0.175
Durante il contatto le due sfere costituiscono un unico conduttore, quindi i loro potenziali devono essere uguali: indicheremo con V questo valore comune. La carica
complessiva di 80.0 nC si ripartirà in due frazioni q1 e q2 direttamente proporzionali ai raggi delle sfere, infatti:
q
q
q
R
V k 1 k 2 1
R
r
q2
r
Per la conservazione della carica abbiamo q1 q2 q 80.0 nC , da cui:
q q2
R
q2
q2
r
r (q q2 ) Rq2
q2
r
q
R r
r
5.00 102
q
80.0 nC 17.8 nC
17.5 102 5.00 102
R r
37. Due sfere metalliche separate, di raggi rispettivamente r1 30.0 cm ed
r2 20.0 cm contengono una carica complessiva q 100 nC , ripartita in parti uguali. Calcolare di quanto varia il potenziale di ciascuna nel momento in cui sono poste a
[R: V1 300 V, V2 450 V ]
contatto.
38. Da una sfera di raggio R si vuole estrarre un terzo della carica q che essa contiene. Calcolare il raggio d r i una seconda sfera metallica neutra che, posta a contatto
con la prima, permette quest’operazione. Calcolare di quanto varia il potenziale V
della prima sfera nell’estrazione.
[R: R /2, V / 3 ]
39. Una carica puntiforme q 5.60 nC è portata, da distanza infinitamente grande,
sulla cupola di un generatore di Van de Graaff. Sapendo che la cupola contiene una
carica Q 120 nC ed ha un raggio R 14.0 cm si calcoli: (1) il lavoro eseguito
dall’esterno per compiere questa operazione, (2) il lavoro eseguito dalla forza elettro[R: Lest Lelett 4.32 105 J ]
statica.
40. Si calcoli il lavoro necessario per estrarre un elettrone ( e 1.60 1019 C ) da
una sfera metallica di raggio r 50.0 cm contenente una carica Q 130 μC e portarlo ad una distanza dal centro della sfera pari a d 6.00 m senza variazione di
energia cinetica, ed il lavoro compiuto dalla forza elettrostatica durante l’operazione.
[R: Lest Lelett 3.19 1013 J ]
41. Una sfera metallica di raggio R 20.0 cm viene caricata negativamente ad un
potenziale V 3.00 kV . Calcolare la massa complessiva degli elettroni aggiuntivi
275
R
r
che
sono
stati
19
(e 1.60 10
E
A
La Controfisica
Se poi, addirittura, facciamo rientrare la base esterna del cilindro
nel conduttore, avremo che la
carica racchiusa dal cilindro andrà
man mano diminuendo, di modo
che il campo elettrostatico, avente
sempre direzione normale, va diminuendo anch’esso in intensità
dentro lo strato superficiale occupato dalle cariche, fino ad annullarsi entro pochi spessori atomici.
depositati
sulla
sfera
31
C , me 9.11 10
per
conferirgli
questo
potenziale.
[R: 3.80 1019 kg ]
kg) .
42. Quattro gocce d’acqua di raggio r 0.600 mm , che contengono una carica
q 0.400 nC ciascuna, si fondono in un’unica goccia. Calcolare il potenziale della
goccia grande.
[R: 15.1 kV ]
Quanto vale il campo in prossimità di un conduttore carico?
Prendiamo una porzione della superficie esterna del conduttore, così piccola da potersi considerare piana. Si immagini una superficie cilindrica che abbia le basi di
area A , a cavallo del bordo del conduttore, e parallele alla porzione di superficie
scelta, come in figura. La direzione normale alla superficie sarà quindi perpendico
lare al piano contenente A , ed il flusso del vettore E attraverso il cilindro sarà dato
soltanto dal prodotto dell’intensità di E per l’area della A esterna. Infatti, essendo
nullo il campo dentro il conduttore, sarà nullo il suo flusso attraverso la superficie di
base interna, ed essendo la normale alla superficie laterale del cilindro perpendicolare al campo elettrico, sarà nullo anche il flusso attraverso di essa, pertanto:
cilindro (E ) | E | A
Applicando il teorema di Gauss si ha che cilindro (E ) Qinterna /0 , dove la carica in-
terna è quella localizzata sulla porzione superficiale di conduttore intercettata dal cilindro ed evidenziata in figura. Detta la densità superficiale media su quella zona
del conduttore, risulta7 Qinterna A e di conseguenza:
A
cilindro (E )
0
A
|E | A
0
L’area si è semplificata uguagliando le espressioni, e si è ottenuto il seguente:
Teorema di Coulomb
Il campo elettrico sulla superficie di un conduttore carico, in un punto dove la densità superficiale di carica vale , ha intensità:
|E |
0
che fornisce l’intensità del campo elettrostatico in prossimità di un conduttore carico.
Se il conduttore è carico positivamente avremo 0 e quindi (E ) 0 : il campo
R1
R2
elettrico dà luogo ad un flusso positivo attraverso una superficie chiusa e quindi la
sua direzione è uscente da essa e dal conduttore. Analogamente, E entra nel conduttore se 0 . Nulla cambia se immaginiamo la base esterna del cilindro appoggiata
sul conduttore. In questo modo possiamo affermare che il teorema di Coulomb forni
sce il valore di E proprio sulla superficie.
Esercizi
43. Si dimostri che il campo elettrico è più intenso in prossimità delle punte schematizzando un conduttore a punta come composto di due sfere a contatto aventi raggi
differenti ed usando il teorema di Coulomb.
carica che si dispone su ogni unità di superficie del conduttore, in generale non è un valore costante ma è legata
alla sua curvatura. Avendo però scelto per le basi del cilindro un’estensione così piccola da poter considerare piano il
conduttore in quella regione, possiamo ritenere costante al suo interno e pari al valore medio in quella zona.
7La
276
Le due sfere conduttrici, essendo a contatto, è come fossero un unico conduttore, si
porteranno pertanto allo stesso potenziale:V1 V2 . Indicando con Q1 e Q2 le porzioni di carica totale che si localizzano su ciascuna di esse ( Q1 Q1 Q ), dalla formula che dà il potenziale di una sfera abbiamo:
Q1
Q2
40 R1
40 R2
e cioè la carica si distribuisce
proporzionalmente ai raggi delle sfere:
Q1 /Q2 R1 /R2 . Dal teorema di Coulomb segue che il rapporto fra i campi elettrici
in prossimità delle superfici sarà dato da:
1
0
R1 R22
| E1 |
Q1 4R22
R
1
2
2 Q
2
R1
| E2 |
R2 R1
4R1
2
2
2
0
Quindi la sfera di raggio più piccolo ha un più intenso campo elettrico.
44. La cupola sferica di un generatore di Van de Graaff ha un raggio R 25.0 cm e
viene caricata fino a portarla ad un potenziale di 5000 V . Si calcoli il campo elettrico
in prossimità della sua superficie.
[R: 20.0 kV/m ]
45. Il potenziale di una sfera metallica vale V 0.900 kV e la sua densità superficiale di carica è 45.0 nC/m2 . Calcolare il raggio della sfera.
[R: 17.7 cm ]
46. L’aria, in condizioni normali è un isolante, ma diventa conduttrice se sottoposta
ad un campo elettrico d’intensità superiore a 3.00 106 V/ m . Calcolare la massima
carica che può essere posta una sfera metallica di raggio R 50.0 cm e il potenziale
[R: 83.4 μC,1.50 106 V ]
massimo corrispondente.
Cos’è un tubo di forza e quali proprietà ha?
Seguiamo ora un tubo di forza, cioè l’insieme di tutte le linee di forza individuate
partendo da un contorno chiuso che giace sulla superficie di un conduttore, e giunge
sulla superficie di un secondo a delimitare un altro contorno chiuso. Avremo che,
all’interno del secondo contorno, sarà localizzata una carica uguale ed opposta a
quella racchiusa dal primo. Per convincersene basta applicare il teorema di Gauss
alla superficie chiusa ottenuta completando il tubo di flusso con delle calotte come le
S1 e S 2 , tutte interne ai conduttori. Il flusso del campo elettrico attraverso la superficie complessiva è nullo, perché lungo la superficie laterale del tubo la normale è
sempre perpendicolare al campo elettrico, mentre su S1 ed S2 , tutte interne ai conduttori, il campo vale zero.
A
S1
S2
B
l'induzione dall' interno
è sempre completa
tubo di flusso
277
S
Se ne conclude che la somma delle cariche interne fa zero anch’essa e che quindi le
regioni racchiuse dai due contorni originari, evidenziate in verde in figura, contengono un quantitativo di carica uguale ed opposto.
Quali sono le proprietà dello schermo elettrostatico?
Già sappiamo che il campo elettrico nella cavità di un conduttore A, quando questa è
vuota, deve essere nullo indipendentemente dalla carica posta su di esso. Se ora
all’interno della cavità neutra si viene a trovare un altro conduttore B, dotato di carica complessiva pari a Q , sulla superficie interna della cavità, per induzione, si localizza una certa quantità di carica: dimostriamo ora che, nel caso di questa geometria,
la carica indotta è Q , cioè esattamente uguale ed opposta a quella inducente. Prendendo una superficie chiusa come la S in figura, tutta interna al conduttore A in mo
do che essa, a sua volta, contenga la cavità, abbiamo che S (E ) 0 , essendo
E 0 nello spazio occupato dal conduttore. Per il teorema di Gauss, inoltre, è
S (E ) (Qindotta Q )/0 0 , da cui necessariamente segue: Qindotta Q . Si
giunge alla stessa conclusione anche osservando che tutti i tubi di flusso come quello
evidenziato in figura, contengono una carica complessivamente uguale a zero. Poiché l’induzione non può alterare la carica complessiva sul conduttore cavo, avremo
poi che sulla superficie più esterna si andrà a disporre una carica uguale ed opposta
a Q , e cioè all’esterno si riproduce Q . Questo risultato è noto come fenomeno
dell’induzione completa e trova applicazione in dispositivi analoghi al pozzo di Faraday utilizzato per l’elettroscopio.
Che cosa si percepisce dall’esterno di uno schermo elettrostatico?
Per la particolare sovrapposizione degli effetti che questa configurazione geometrica
produce, la carica interna complessiva, data da Q distribuita su B e da Q indotta
sulla parete interna di A, genera un campo elettrico che risulta diverso da zero solo
all’interno della cavità. La loro azione combinata, nello spazio fuori di A, è
A
nulla: all’esterno si percepisce unicamente la carica Q distribuita sulla superficie dell’involucro esterno. Per dimostrare questa proprietà osserviamo
che il campo nello spazio fuori di A è il risultato della sovrapposizione di
quello delle cariche sulla superficie del guscio esterno e di quello dovuto
B
alle cariche interne alla cavità. Se quindi disperdiamo le cariche sul guscio
esterno, ad esempio collegando A con la terra, resterà solo il campo dovuto
alle cariche interne. Come sappiamo, il campo complessivo delle cariche
interne deve essere nullo nella regione metallica, pertanto se le cariche interne
conduttore esterno a terra
generassero un campo anche nello spazio esterno ad A, esso dovrebbe ripartire improvvisamente fuori dal guscio, dopo una brusca interruzione. Questo è
impossibile perché le linee di campo possono nascere solo là dove sono localizzate le cariche,
e se il campo ripartisse nello spazio fuori di A, le sue linee dovrebbero sgorgare dal
nulla. Pertanto:
Proprietà dello schermo elettrostatico
le cariche interne ad un guscio metallico non creano campo fuori dalla cavità, ed ogni
loro azione non è percepibile all’esterno del guscio stesso.
Che accade fuori dallo schermo elettrostatico se si muove B nella cavità?
Se muoviamo B all’interno della cavità, oppure lo portiamo a contatto con essa in
modo che si scarichi, la carica Q sull’esterno di A non muta il suo valore, ma anzi si
va sempre a distribuire sulla superficie nell’unico modo in cui questa risulta equipotenziale. Una carica q , ad esempio positiva, posta in prossimità di A, interagisce con
278
le cariche presenti sulla superficie esterna e con quelle che vi induce, ma non risente
della presenza e dei movimenti di B. In maniera del tutto simmetrica, B non risente
degli spostamenti di q . Ciò che accade è che il campo complessivamente generato
da q e dalla carica da essa indotta sulla superficie esterna di A, è diverso da zero
solo all’esterno del conduttore. Nello spazio da esso occupato, il campo è nullo per
le proprietà elettrostatiche dei conduttori, e dentro la cavità, come si è già osservato,
non potrebbe ripartire dato che non vi sono cariche localizzate legate ad esso.
Agendo da fuori si può cambiare la differenza di potenziale fra il guscio l’interno?
Le differenze di potenziale nello spazio occupato dal conduttore ed in quello racchiuso non possono essere cambiate dall’esterno: la presenza di qualunque carica q
nelle prossimità può avere l’unico effetto di sommarvi o sottrarvi un valore costante
V0 . Alterare il potenziale in modo più complesso comporterebbe la comparsa di
nuovi punti di massimo e di minimo. Se q potesse creare nuovi massimi o nuovi
minimi di potenziale in un guscio vuoto, questi potrebbero stare solo dove si trovano
i conduttori, e ciò sarebbe come dire che nuove cariche si sono create su di essi, violando la legge di conservazione della carica.
Ma perché si chiama schermo elettrostatico?
Possiamo interpretare il complesso di fenomeni sopra descritti dicendo che tutto va
come se il conduttore cavo schermasse le azioni delle cariche che racchiude, ma va ricordato che ciò che chiamiamo schermatura è solo l’ effetto del principio di sovrapposizione nel caso di questa particolare geometria
4. I Condensatori
Com’è fatto un condensatore?
Consideriamo un sistema costituito da due lastre conduttrici sagomate per esempio a
disco, di raggio R e spessore molto piccolo rispetto al raggio. Le lastre si trovano affacciate l’una di fronte all’altra a distanza d , di dimensioni per cui sia d R , e su
di esse viene distribuita la stessa quantità Q di carica, ma con segno opposto.
R
Q
Q
d
Una simile struttura prende il nome di condensatore, e le lastre conduttrici vengono
dette armature. Le linee di forza del campo elettrico saranno quelle qualitativamente
illustrate in figura, con la carica sulle armature per la gran parte concentrata sullo
strato superficiale delle facce interne, a causa degli effetti di induzione reciproca.
279
Quanto vale il campo elettrico fra le armature?
Condensatore
sferico
Regione
Neutra
Adopereremo, nel seguito, un modello che ben approssima condensatore reale, assumendo che le due cariche Q e Q siano interamente localizzate sulle superfici
interne, e distribuite uniformemente su di esse. In tale modo trascureremo tutti i piccoli effetti ai bordi della struttura, ed il campo elettrico risulterà diverso da zero solo
nella regione di affaccio, e lì perpendicolare alle armature. Questa semplificazione,
unita alla condizione d R , permette di avvalersi della formula per il campo elettrico del doppio strato infinito. Pertanto, se S è la misura della superficie dove la carica è distribuita, fra le armature abbiamo un campo uniforme, la cui intensità nel
vuoto vale:
Q
|E0 |
0
0S
La forma a disco delle armature è importante?
La geometria a disco qui proposta non è vincolante: nelle realizzazioni pratiche la
forma delle armature può essere di vario tipo, purché si rispettino le due condizioni
di: induzione completa e distanza di separazione molto minore dell’ estensione lineare. Sono concepibili, quindi, condensatori a forma di sfera contenuti in cavità metalliche ad essa concentriche, a forma di cilindro, e così via. In generale qualunque
coppia di conduttori affiancati è in una certa misura un condensatore, e può esserlo
anche un singolo conduttore se si considera che l’ambiente circostante subisce fenomeni di induzione.
E dielettrico
E armature
Nello spazio fra le armature ci dev’essere aria?
Nella realtà si è soliti porre fra le armature, al posto dell’aria, uno strato di dielettrico, il quale si polarizza, e come si è visto a suo tempo, ha l’effetto di indebolire di un
fattore 1/r , a parità di carica localizzata, il valore del campo E nello spazio interposto. Infatti, la tendenza delle molecole del dielettrico a deformarsi, o allinearsi lungo
la direzione del campo, lascia neutra la regione interna e produce l’equivalente di
uno strato superficiale di carica. Questo origina un campo aggiuntivo E p che si so
vrappone, con direzione opposta, ad E 0 , riducendo l’intensità del campo risultante:
E E 0 E p . Se lo spazio di separazione è omogeneamente riempito, si osserva
sperimentalmente che, indipendentemente dalla carica Q localizzata sulle armature,
il rapporto E 0 / E r è legato unicamente al tipo di materiale dielettrico utilizzato. Il valore numerico di questo rapporto, r 1 , prende il nome di costante dielettrica del mezzo. Fra le armature avremo quindi un campo di intensità:
Conduttore
Isolante
E0
E
.
r
0r
Nella pratica, come viene costruito un condensatore?
soluzione La realizzazione pratica di un condensatore a facce piane parallele fa uso di alcuni
elettrolitica accorgimenti tecnici, come quello di utilizzare per armature delle sottili strisce metalliche separate da pellicole isolanti. La struttura viene avvolta a rotolo, come in figura, e si presenta a forma di piccolo cilindro. Si costruiscono anche condensatori in
cui una delle due armature è costituita da una soluzione liquida o gelatinosa, generalmente di tetraborato di sodio, detti condensatori elettrolitici. La configurazione è
quella di un involucro cilindrico di alluminio, contenente la soluzione elettrolitica, ed
al centro un altro conduttore cilindrico di alluminio. Intorno a quest’ultimo, immerso
nella soluzione, attraverso un opportuno passaggio di carica si fa formare un sottile
strato di bollicine di idrogeno. Questo sottilissimo strato fa depositare sul conduttore
Condensatore
elettrolitico
interno dell’ossido di alluminio, che riveste il ruolo del dielettrico per questo tipo di
Ossido
di Al
280
condensatore. L’involucro e la soluzione possono quindi essere caricati negativamente, mentre il conduttore interno fa da armatura positiva.
Ma a cosa serve un condensatore?
Un condensatore è un sistema di due conduttori carichi, quindi come tutte le distribuzioni di carica, possiede energia potenziale elettrostatica. Realizzare un condensatore è quindi un modo per intrappolare le cariche in una certa configurazione, e disporre di un “serbatoio” di energia potenziale.
Condensatore
è un dispositivo in grado di accumulare energia potenziale elettrostatica
L’energia potenziale elettrostatica è il lavoro svolto dal campo elettrostatico quando
si smembra una configurazione di cariche e si portano le cariche all’infinito: nel caso
del condensatore dovremo quindi separare fino a distanza infinita le cariche in eccesso su ciascuna delle armature8. Al termine dello smembramento avremo quindi due
lastre conduttrici neutre affacciate. Il fatto che la forza elettrostatica sia conservativa
ci autorizza a dire che il lavoro svolto dal campo durante qualunque processo che
conduca ad un tale stato finale è sempre pari all’energia potenziale del sistema, anche quello che pone in collegamento fra loro le due armature cariche, colmando
l’eccesso positivo di una con l’eccesso negativo dell’altra. Pertanto l’energia potenziale elettrostatica del condensatore è anche il lavoro svolto dal campo elettrico durante
il passaggio della carica in eccesso sull’armatura positiva a quella sull’armatura negativa. Un tale processo è detto scarica del condensatore; e dato che la scarica è agevolata dalle forze del campo, l’energia potenziale di un condensatore è positiva.
pompa
Come dobbiamo immaginarci un condensatore?
È bene pensare al condensatore come ad come una molla compressa, in grado di rilasciare la sua energia allungandosi di scatto non appena gliene venga data
l’opportunità. Un condensatore si dice pertanto carico quando vi è stata incamerata
energia potenziale. Si faccia pertanto attenzione all’ambiguità del termine carico, che,
in questo caso, non si riferisce ad una localizzazione di carica elettrica. In effetti, un
membrana
condensatore non accumula carica, dato che nel complesso si tratta di un oggetto
elastica
neutro: la sua carica complessiva è Q Q 0 . Un modello di condensatore che si
rifà all’idraulica viene proposto qui a lato. Supponiamo che all’interno di una conduttura piena di acqua vi sia una camera con una membrana elastica separatrice. Tale dispositivo blocca lo scorrimento dell’acqua al suo interno, e può, in un certo senso, essere caricato. Se, infatti, una pompa spinge l’acqua contro la membrana estendendola in una delle due direzioni, il condensatore idraulico incamera energia potenziale, senza tuttavia variare il quantitativo di acqua al suo interno, visto che
all’incremento di liquido in una delle due regioni separate dalla membrana corrisponde la diminuzione nell’altra. Se scolleghiamo la pompa e colleghiamo queste
due regioni con un tubo, il condensatore sarà in grado di rilasciare l’energia incame- La Controfisica
una colorita analogia porata, spingendo l’acqua attraverso il tubo. Durante il processo si avrà una violenta Con
tremmo assimilare il condensatoscarica di liquido, ma al termine, il dispositivo sarà riempito esattamente dello stes- re allo sciacquone del gabinetto!
differenza dell’acqua che scenso quantitativo che conteneva inizialmente, e, viceversa, la sua energia potenziale sa- A
de un po’ per volta dal rubinetto,
rà scesa a zero. Il condensatore torna utile tutte le volte che si ha bisogno di una sorta il condensatore incamera energia
cioè acqua in un pundi molla elettrica: ovvero di produrre un intenso flusso di cariche che scorrano in un potenziale,
to in alto, e la rilascia tutta insietempo brevissimo. Nei dispositivi di defibrillazione del cuore, ad esempio si fa am- me. (Il disegno è tratto da
un’idea di Andrea Martocchia)
pio uso di tale proprietà, così come nei flash delle macchine fotografiche.
8
Per portare all’infinito le cariche positive senza distruggere il reticolo dell’armatura possiamo immaginare che la lastra
metallica si vada estendendo infinitamente, di modo che gli ammanchi di elettroni si disperdano su di essa a distanza infinita le une dalle altre.
281
Quale grandezza regola quanta energia può incamerare un condensatore?
Calcoleremo ora la proprietà di incamerare energia in relazione alla carica che poniamo su una delle due armature. Indichiamo con V il potenziale dell’armatura carica positivamente e con V quello dell’armatura negativa affacciata. Per raffigurare
il condensatore useremo il simbolo qui a fianco. Definiamo prima una nuova grandezza fisica che descrive il condensatore esprimendo quanta carica Q si deve porre
sull’armatura positiva (e quindi quanta Q sulla negativa) per ogni Volt di differenza di potenziale che si desidera stabilire. Si tratta del rapporto:
V
C
V
Q
Q
V V VC
dove per comodità si è posto VC V V per indicare la differenza di potenziale
VC V V
fra le armature. Il numero C viene detto capacità del condensatore, e dipende dalla
geometria (cioè dalla forma delle armature –piane, sferiche, cilindriche… - e dalla loro
distanza reciproca) e dal dielettrico interposto fra le armature (aria, soluzione elettrolitica, carta…). L’unità di misura della capacità prende il nome di farad (simbolo: F )
quindi 1F 1C/V . Si tratta di un’unità molto grande e si usano più che altro i suoi
sottomultipli: il microfarad ( 1μF 106 F ), il nanofarad ( 1nF 109 F ) ed il picofarad
(1pF 1012 F) .
La capacità di un condensatore dipende anche da Q e VC ?
La capacità è utile perché è del tutto indipendente da Q e VC . Il quantitativo di carica
da porre sulle armature per avere ogni Volt di differenza di potenziale non dipende
né dalla carica già ivi presente né dalla differenza di potenziale già stabilita, ma è
una costante, caratteristica di quel condensatore9. Dimostriamo che la capacità è una
costante caratteristica solo della geometria e del dielettrico interposto, attraverso una
catena di ragionamenti:
1. La geometria del condensatore costringe le cariche a distribuirsi in modo uniforme
sulle due facce affiancate.
2. Se quindi Q aumenta di un certo fattore, di quello stesso fattore aumenta (essendo fissata la superficie).
3. Ne segue che del medesimo fattore cresce |E | /0 .
4. Essendo |E | V / s VC / d , e rimanendo fissa la distanza d fra le armature,
anche VC cresce nel medesimo rapporto.
Pertanto la capacità di un condensatore (lontano da influenze esterne) è una costante:
raddoppiando la carica Q raddoppia VC , triplicandola triplica, e così via.
V
d
Quanto vale la capacità di un condensatore piano?
Calcoliamo la capacità di un condensatore piano, con armature di area A , separate da una distanza d . Come sappiamo, la diminuzione di potenziale spo
standosi lungo le linee di campo, vale V | E | d . Poiché nel caso del conden-
E
satore le linee di campo vanno dall’armatura positiva a quella negativa, spostarsi lungo le linee significa avere Vinziale V e Vfinale V . Nella formula che leV
ga campo elettrico e differenza di potenziale abbiamo allora V V V , da
9
Come utilità assomiglia in un certo senso alla resistenza, che introdurremo studiando la corrente, che è indipendente
dalla tensione applicata e dalla corrente presente, come stabilito dalla legge di Ohm.
282
cui si ricava:
V V
|E |
d
Ma sappiamo anche che fra le armature il campo elettrico è costante, e pari a
|E | /0 ( |E | /0r nel caso di dielettrico interposto). Confrontando le due
espressioni otteniamo V V d /0 , che sostituito nella formula per C fornisce:
C
Q
A
Q
0 0
V V
d
d
dove si è sfruttato il fatto che Q/A .
Come cambia la capacità se vi è un dielettrico interposto?
Ripetendo i passaggi la formula precedente cambia in: C A0r /d , cioè
il dielettrico accresce il valore della capacità, dato che è sempre r 1 . Questo
significa che, a parità di carica posta sulle armature, un condensatore con dielettrico raggiunge una minore differenza di potenziale, infatti l’espressione
(V V ) Q /C si trova ad avere un denominatore maggiore. Essendo
|E | (VV )/d , si spiegano ora le osservazioni sperimentali riportate ad
sostanza
rigidità
dielettrica
[V/m]
r
aria
3.0 106
1.0
6
2.1
6
3.7
teflon
6
mica
100 10
5.4
vetro
6
5.6
6
6.7
6
2.2
14 10
neoprene
polipropilene
plessivo di un fattore r .
È possibile che in certe condizioni si rompa il dielettrico?
Qualunque sostanza isolante può diventare conduttrice quando la si sottopone a
quel valore di campo elettrico in grado di disgregarne gli atomi, separando
l’elettrone esterno dallo ione formato da nucleo ed elettroni interni10. L’intensità
massima di campo elettrico che un isolante può sopportare senza rompersi è detta
rigidità dielettrica: ad esempio per l’aria è 3.00 106 V/m (valori per altri materiali sono riportati in tabella). Sottoponendo un dielettrico fra le armature di un condensatore, ad una differenza di potenziale tale da produrre un campo che supera la sua rigidità dielettrica, ha luogo attraverso di esso un rapido passaggio di cariche accompagnato da emissione di luce, detto scarica oppure arco elettrico, ed in altri modi ancora, a seconda della tipologia. Questo è il fenomeno che viene sfruttato nei tubi al
neon usati per le insegne luminose (dove un gas naturalmente isolante diventa conduttore) ed ha molti usi pratici quali la candela di accensione nei motori a scoppio, il
saldatore elettrico ad arco, e numerosi utilizzi chimici e termici. Anche il fulmine è
un esempio di bagliore prodotto da rottura dielettrica, in questo caso dell’aria. Le nuvole, caricate negativamente dallo strofinio delle gocce d’acqua contro l’aria, inducono una carica positiva sul terreno sottostante, formando un gigantesco condensatore. Quando il campo elettrico che si stabilisce fra la terra e le nuvole supera i tre milioni di volt al metro, si produce un violento passaggio di carica accompagnato da
emissione luminosa e sonora.
Esercizi
47. Un condensatore è costituito da due armature quadrate, parallele, di superficie
240 cm 2 ciascuna, separate da uno spessore di 8.00 mm . Si calcoli la capacità quan-
do è interposta l’aria e quando è interposto un dielettrico di r 6.00 . Se la distanza
In realtà la rottura dielettrica avviene perché gli elettroni si liberano dall’attrazione del proprio nucleo grazie ad un fenomeno di meccanica quantistica detto effetto tunnel.
283
16 10
carta
inizio di questa sezione, cioè che il dielettrico riduce il campo elettrico com-
10
60 10
12 10
35 10
Il teflon è una materia plastica
altamente resistente alla temperatura, molto utilizzata in campo tecnico ad esempio per
guarnizioni di contatto con
agenti corrosivi, per giunti a
basso attrito, e per i fondi delle
padelle antiaderenti.
La mica è un minerale con gli
atomi disposti in fogli stratificati che si sfaldano, noto all’uomo
sin dai tempi preistorici. È usato come isolante in cavi ed in
condensatori, viene pressato
per farne le finestre dei forni
(data la sua resistenza al calore)
ed i vetri delle serre. Polverizzata ha un uso cosmetico in creme dentifrici quale abrasivo.
Il neoprene è una gomma sintetica assai porosa ed elastica.
Trova
molte
applicazioni
nell’industria (specie automobilistica e nautica), per fare guarnizioni, raccordi e rivestimenti.
Di neoprene sono fatte le mute
da sub.
Il polipropilene è l’innovativa
sostanza commercializzata con
il nome di moplen, che valse il
premio Nobel per la chimica a
Giovanni Natta nel 1963. Materiale plastico estremamente
versatile,
di
polipropilene
sono fatte le bacinelle da cucina, le stoviglie di plastica, gli
scolapasta, i secchi, i tubi di
scarico e numerosissimi altri
utensili comuni.
fra le armature raddoppia, si dica di quanto deve essere incrementata la misura del
loro lato per mantenere la stessa capacità.
Dalla formula abbiamo:
C
0A
8.85 1012 240 104
F 26.5 pF
8.00 103
Interporre il dielettrico significa moltiplicare la capacità per r :
d
C rC (6.00 26.5) pF 159 pF
Infine dalla formula si vede che ad un raddoppio della distanza, al denominatore
nella formula, deve corrispondere un raddoppio dell’area, al numeratore, se si vuole
che la capacità non cambi. Quindi il lato deve crescere di un fattore
V0
48. Un condensatore è formato da due lastre di area 120 cm2 ciascuno, posti alla distanza di 6.00 mm . Le lastre sono connesse ai capi di una batteria, cioè un dispositivo che le carica di segno opposto, stabilendo fra loro una differenza di potenziale di
48.0 V , e che poi viene scollegata. In queste condizioni viene inserita una lastra di
V
mica (r 5.4) di superficie uguale alle armature e spessore pari alla loro distanza.
C0
C
2.
Calcolare il campo elettrico, la capacità, e la differenza di potenziale fra le armature
prima e dopo l’inserimento.
r
Indicheremo con il pedice 0 le grandezze prima dell’inserimento della lastra. Risulta:
V0
48.0
|E 0 |
V/m 8.00 103 V/m
d
6.00 103
Calcoliamo la carica sulle armature, che essendo il condensatore isolato, non viene
alterata dall’inserimento della lastra di mica:
A
Q0 C 0 V0 0 V0
d
8.85 1012 120 104 48.0
3
C 8496 1013 C 0.850 nC
6.00 10
Calcoliamo la capacità prima e dopo che la lastra è stata inserita, che come sappiamo
dipende solo dalla geometria e dal dielettrico:
C0
0A
d
0r A
8.85 1012 120 104
3
6.00 10
F 177 1013 F 17.7 pF
8.85 1012 5.4 120 104
F 955.8 1013 F 96 pF
3
d
6.00 10
Per la nuova differenza di potenziale risulta:
C
Q Q0
0.850 109
V 8.9 V
C
C
96 1012
e per il nuovo campo elettrico:
V
8.9
|E |
V/m 1.5 103 V/m
3
d
6.00 10
V
49. Un fascio di elettroni emesso da un filamento caldo, è accelerato attraverso una
V2
e
V1
y
differenza di potenziale V1 2500 V , e passa orizzontalmente fra le armature di
un condensatore come in figura. Le armature sono quadrate, di lato 2.00 cm , distanti d 8.00 mm , e la differenza di potenziale fra esse vale V2 150 V . Calcolare la deflessione verticale y con la quale gli elettroni escono dal condensatore.
Trascurare l’azione della gravità.
284
Fissiamo un riferimento con l’origine nel punto in cui gli elettroni fanno ingresso nello spazio fra le armature. Gli elettroni entrano in tale regione con una velocità solo
orizzontale che può essere calcolata dalla conservazione dell’energia:
1
K U 0 ( me vx2 0) (eV1 0) 0
2
eV1
1
m v2
2 e x
vx
2eV1
me
Considerato che la velocità orizzontale non viene influenzata dal campo del condensatore, gli elettroni rimangono fra le armature per un tempo:
t
vx
Mentre sono fra le armature, il campo del condensatore, diretto in basso, Ey V2 /d
esercita sulle particelle una forza verticale Fy
diretta in alto, che produce
un’accelerazione:
V
2
Fy eEy e
d
ay
eV2
med
Quando escono dalla regione fra le armature, gli elettroni hanno allora una deflessione
verticale:
y y 0 v0y
2 V2
4d V1
2
1 2
1 eV2
1 eV2 2 me
ay t
2
2 med vx
2 med
2eV1
(2.00 102 )2 150
4 8.00 103 2500
0.000750 m 0.750 mm
50. Un condensatore è formato da due armature di area 140 cm2 ciascuna, alla distanza di 8.00 mm . Fra le armature è interposta una lastra di teflon (r 2.1) di superficie uguale alle armature e spessore pari alla loro distanza. Le armature sono
connesse ai capi di una batteria, che stabilisce fra loro una differenza di potenziale di
24.0 V , e che poi viene scollegata. In queste condizioni la lastra di teflon viene sfilata. Calcolare la capacità del condensatore, la densità superficiale di carica sulle armature, e la differenza di potenziale fra esse prima e dopo la rimozione del teflon.
[R: 32.5 pF,15.5 pF, 56 nC/m2 , 51 V ]
51. Si deve progettare un condensatore a facce piane e parallele a forma di disco, con
aria fra esse, che abbia la capacità di 4.50 pF , da utilizzare in un dispositivo dove
sarà sottoposto alla differenza di potenziale di 132 V . Sapendo che il campo elettrico
fra le armature raggiungerà i 1.20 104 N/C , si trovi la distanza fra le armature, il loro raggio e la massima carica che potranno ospitare. [R: 1.10 cm, 4.22 cm, 0.594 nC ]
52. Un condensatore avente facce piane parallele di superficie 30 cm 2 , separate da
uno spessore di 0.450 mm , ha le armature poste ad una differenza di potenziale di
220 V . Sapendo che in queste condizioni sull’armatura positiva si hanno 27.2 nC si
A
B
C D
[R: teflon, r 2.1 ]
dica qual è il materiale interposto.
53. Calcolare quanta carica possiamo immagazzinare in un condensatore a facce piane parallele di superficie 130 cm 2 separate da una distanza di 2.80 mm quando lo
colleghiamo ad una batteria di 4.50 V .
[R: 0.185 nC ]
54. Le armature A e D di un condensatore, distanti d 50.0 mm , sono collegate ai
capi di una batteria che mantiene sempre VD VA 45.0 V , con VA 0 V . Fra esse
285
V
vengono inserite due lastre piane conduttrici B e C, in modo che A, B, C, e D siano
equi spaziati. Calcolare i potenziali VB eVC a cui si portano le lastre, il campo elettrico nelle tre regioni che si creano e la carica complessiva su B e su C.
[R: 15.0V, 30.0V, 900V/m, 0 C ]
55. Le armature B e C del problema precedente vengono collegate fra loro con un filo. Calcolare i nuovi potenziali VB eVC a cui si portano le lastre, il campo elettrico
nelle tre regioni che si creano e la carica complessiva su B e C, assumendo che la superficie delle armature sia 160 cm 2 . Che succede se poi il filo viene rimosso?
[R: 22.5V,1350V/m, 0.191 nC,nulla ]
56. Le due armature di un condensatore hanno area 210 cm2 ciascuna, sono distanti
7.00 mm , e sono collegate ad una batteria che mantiene fra esse una differenza di
potenziale V 48.0 V . La distanza fra le armature viene raddoppiata. Calcolare la
carica sulle armature dopo l’operazione, e la differenza di potenziale, sia che
l’allontanamento venga eseguito con la batteria collegata, sia scollegata.
[R: 0.612 nC, 48.0V,1.27 nC, 96V ]
57. In un tubo catodico, un fascio di elettroni è accelerato attraverso una difV2
h
e
V1
L
ferenza di potenziale V1 2500 V , e passando orizzontalmente fra le armature di un condensatore scarico produce un punto luminoso nel centro di uno
schermo fluorescente posto a distanza L 24.0 cm dalla fine del condensatore. Quando il condensatore viene caricato, il puntino si solleva in verticale di
un tratto h 6.25 cm . Calcolare la differenza di potenziale V2 fra le armature, sapendo che sono quadrate di lato 2.00 cm , distanti d 6.00 mm .
Verificare che gli elettroni non colpiscono le armature. Trascurare l’azione
della gravità.
[R: 375 V, y 2.50 mm d /2 ]
3km
58. Sapendo che le nuvole più basse si trovano ad una distanza di 3.0 km dal
suolo, approssimando il sistema con un condensatore a facce piane parallele,
si stimi la differenza di potenziale fra nuvola e suolo affinché scocchi un fulmine. Si stimi la carica che la parte inferiore di una nuvola di 0.50 km 2 di
superficie deve contenere perché ciò avvenga.
E
E
[R: 9.0 109 V,13 C ]
59. Una cellula di un tessuto vivente può essere vista come un condensatore.
Infatti, racchiude un fluido ricco di ioni positivi di potassio, mentre l’ambiente
esterno è ricco di ioni positivi di sodio. Poiché la membrana cellulare lascia
passare il potassio ma è impermeabile al sodio, la parete esterna si carica positivamente e quella interna negativamente. Ne risulta una differenza di potenziale di 80 mV . Assumendo uno spessore di 8.5 nm , una superficie di
5.00 109 m2 e sia r 6.0 si calcoli il campo elettrico nella membrana e la
[R: 9.4 106 V/m, 31 pF ]
sua capacità.
60. Un condensatore è composto di due dischi metallici di raggio R 9.00 cm a distanza d 8.00 mm e separati da aria. I dischi sono connessi ai capi di una batteria,
cioè un dispositivo che li carica di segno opposto, stabilendo fra loro una differenza
di potenziale a 12.0 V , e che poi viene scollegata. Calcolare il campo elettrico fra le
armature. In queste condizioni viene inserita una lastra di vetro (r 5.6) di superficie uguale alle armature e spessore pari alla loro distanza. L’isolamento fa si che
286
non cambi la carica sulle armature. Calcolare la nuova capacità, la nuova differenza
di potenziale ed il nuovo campo elettrico.
[R: 1.50 103 V/m, 0.16 nF,2.1 V,2.6 102 V/m ]
61. Un elettrone ( me 9.11 1031 kg , e 1.60 1019 C ) penetra, in direzione
e
orizzontale, all’interno di un condensatore piano, parallelamente alle armature, con
6
velocità vx 8.00 10 m/s . La densità di carica sulle armature vale 88.5 nC/m
2
e il condensatore è lungo 6.00 cm . Calcolare la direzione e l’intensità della velocità dell’elettrone quando esce dal condensatore. Trascurare l’azione della gravità.
[R: 15.8 106 m/s, 58.8 ]
62. Un protone e un elettrone sono rilasciati fermi in prossimità delle armature, rispettivamente positiva e negativa, di un condensatore piano, distanti d . La densità
p
2
di carica sulle armature vale 8.85 μC/m . Calcolare quale frazione di d sono di-
e
stanti dall’armatura negativa quando s’incontrano, specificando se è lecito trascurare la gravità ( mP 1.67 1027 kg , me 9.11 1031 kg , e 1.60 1019 C ).
[R: d mp /(me mp ) ]
63. Un elettrone ( me 9.11 1031 kg , e 1.60 1019 C ) penetra, in direzione
orizzontale, all’interno di un condensatore piano, parallelamente alle armature, con
velocità
vx 3.00 106 m/s .
La
densità
di
carica
sulle
armature
vale
aC
2
29.0 nC/m . Calcolare l’angolo arctan(vy /vx ) che la tangente alla sua traiet-
toria forma con la direzione orizzontale dopo un tempo t 3.00 108 s , e servirsi di e
questo dato per trovare l’accelerazione centripeta e il raggio di curvatura della traiettoria quell’istante. Trascurare la gravità.
[R: 30, 4.98 1014 m/s2 ,2.41 cm ]
64. Un nucleo di elio ( q 3.20 1019 C , m 6.68 1027 kg ) penetra, in direzione
orizzontale, all’interno di un condensatore piano, parallelamente alle armature ed
ugualmente distante da ognuna esse di uno spazio d /2 4.00 mm . La densità di carica sulle armature vale 88.5 nC/m2 e il condensatore è lungo 6.00 cm . Calcolare la velocità minima che deve avere la particella per non colpire le armature.
4
He
2
d /2
[R: 0.464 106 m/s ]
65. Fra le armature di un condensatore a facce piane parallele, distanti d 8.00 mm
, è stabilita una differenza di potenziale V 400V . Una carica q 3.00 μC viene
spostata da A fino a D passando per il percorso curvo tratteggiato in figura. Calcola-
C
A
D
B
re il lavoro della forza esercitata dal campo elettrico sapendo che BC 5.00 cm .
[R: 7.50 103 J ]
Facendo uso di C possiamo calcolare l’energia incamerata in un condensatore?
V (t )
La conservatività della forza elettrostatica ci consente di immaginare un qualunque
processo per caricare le armature e calcolare l’energia potenziale della configurazione ottenuta per questa via: in ogni caso il risultato è identico visto che il lavoro non
dipende dalla traiettoria seguita. Supponiamo quindi di partire dalle due armature
neutre e di spostare di volta in volta un certo quantitativo di carica Q 0 V(t )
dall’armatura che diventerà negativa a quella che diventerà positiva. Sarà un po’
come scavare una buca nel suolo per costruire una collina con la terra estratta. Ad
ogni spostamento di Q si ha un incremento pari a U nell’energia potenziale del
condensatore, pari a:
287
Q
v
U U fin U in Q[V (t ) V (t )]
V (t )
Se volessimo calcolare l’energia potenziale finale, quando sulle armature abbiamo
posto complessivamente la carica Q e fra di esse si è stabilita la differenza di potenziale V dovremmo addizionare tutti questi U :
V(t )
U U1 U 2 ...
Ma per ognuno dei
U
viene considerata una differenza di potenziale
V (t ) V(t ) che cresce ad ogni nuova aggiunta di carica, proprio come la collina di
terra sale di livello ad ogni aggiunta di materiale, ed ogni volta dobbiamo faticare un
po’ di più per portarla fino in cima. Infatti, ogni nuova carica positiva Q strappata
VC
VC (t)
rende l’armatura negativa un poco più negativa, così da opporsi di più alla successiva estrazione. Analogamente ogni aggiunta di Q sull’armatura positiva la rende
un poco più positiva, così da opporsi maggiormente al successivo inserimento.
Q(t) E’ insomma come una strana scala i cui gradini aumentano ad ogni nostro pasC
Vfin
so. Durante tutto questo processo, il rapporto Q(t )/VC (t ) è sempre costante, e
pari a C . Se dunque raffiguriamo la relazione che definisce la capacità, in un
piano avente sulle ascisse Q(t ) (carica sulle armature al tempo t ), e sulle ordinate VC (t ) (differenza di potenziale fra le armature al tempo t ):
VC (t )
VC (t )
U
Q
0
Q
Qfin
Q(t )
C
otteniamo una retta di coefficiente angolare 1/C . Come si vede, in questo piano
ogni incremento di energia U corrisponde all’area del rettangolo sotteso dalla retta, di base Q ed altezza VC (t ) . L’energia complessivamente incamerata
sarà pertanto l’intera area del triangolo evidenziato in giallo di base Q fin ed al-
Q(t )
Q(t ) Q
tezza V fin , quelli che finora abbiamo chiamato semplicemente Q e VC , cioè rispettivamente la carica depositata sulle armature e la differenza di potenziale raggiunta. Si ottiene quindi:
La Controfisica
Una via alternativa per giungere
alla formula U=QV/2 è osservare che V(t) cresce linearmente
con la carica Q(t) sull’armatura
positiva, e che quindi, vale per
esso un risultato analogo al “teorema della velocità media” visto
a suo tempo, per cui il suo valore
medio è la media aritmetica fra il
valore iniziale (nullo) e quello
finale V, cioè (0+V)/2. Si ottiene l’energia potenziale assumendo che la carica totale Q sia spostata in un solo passaggio fra due
armature a differenza di potenziale costante e pari al valore
medio V/2, cioè U=QV/2.
Energia potenziale incamerata da un condensatore
1
Q2
1
U QVC
CVC2
2
2C
2
66. Il flash di una macchina fotografica è alimentato dalla scarica di un condensatore
di capacità C 400 F caricato ad una differenza di potenziale fra le armature
V V 300 V . Calcolare quanta energia rilascia quando viene scaricato.
L’energia rilasciata è quella incamerata nel condensatore:
U 1 CV 2 [ 1 (400 106 )(300)2 ]J 6.00 J
2
2
67. La fibrillazione ventricolare è una contrazione del cuore in modo scoordinato.
Poiché i muscoli sono delle macchine elettriche, è possibile ristabilire la normalità attraverso il rapido passaggio di carica prodotto dalla scarica di un condensatore. Sapendo che il condensatore ha capacità C 175 F e che viene caricato con
un’energia di U 400 J calcolare la differenza di potenziale fra le sue armature.
[R: 2.00 103 V ]
288
Come si calcola il lavoro della forza elettrostatica nel condensatore?
Se cambiamo qualcosa nella configurazione del condensatore carico, ad esempio la
carica sulle armature, oppure la differenza di potenziale fra di esse, o ancora il dielettrico interposto o la geometria, il corrispondente lavoro della forza elettrostatica è
pari alla variazione dell’energia potenziale elettrostatica nel condensatore fra le due
situazioni U1 ed U 2 :
L U U 1 U 2
C 1V12
2
C 2V22
2
Q1V1
2
Q2V2
2
Q12
2C 1
Q22
2C 2
esprimibile nelle tre forme equivalenti sopra scritte, da utilizzare a seconda della
convenienza del caso specifico.
Con quanta forza si attirano le armature di un condensatore piano?
Scriviamo l’energia di un condensatore piano rendendo esplicita la distanza fra le
armature:
U
Q2
Q2
d
2C
20A
Se la distanza viene incrementata di un tratto x il campo fra le armature compie
un lavoro resistente:
L U
Q2
Q2
Q2
d
(d x )
x
20A
20A
20A
Il lavoro si scrive anche L |F | x cos180 |F | x , confrontando le due
espressioni abbiamo:
Q2
|F |
Q |E1 | Q
20A 20
Osserviamo che si sarebbe potuto giungere al risultato moltiplicando la forza eserci
tata dal campo generato da una sola armatura, |E1 | /20 sulla carica Q che si trova
sull’altra armatura.
Riassumendo, quali usi pratici si possono fare del condensatore?
Nella pratica i condensatori sono usati per la loro capacità di:
(1) separare due regioni che in un dispositivo devono stare a potenziali differenti;
(2) essere un serbatoio di energia potenziale da rilasciare o sotto forma di scariche
brevi ed intense oppure un poco per volta per lungo tempo;
(3) caricarsi e scaricarsi in continuazione, rispondendo a sollecitazioni esterne.
Esercizi
2
68. Un condensatore piano è composto da due armature di superficie 80.0 cm separate da una distanza di 2.10 mm , fra le quali è interposta una lastra isolante, di co-
C1
r
U1
stante r 2.50 . Le armature vengono portate ad una differenza di potenziale di
500 V ed il condensatore isolato da tutto. Calcolare il lavoro della forza elettrostatica
se si estrae la lastra dielettrica e la si porta lontano.
Il lavoro della forza elettrostatica è pari alla variazione dell’energia potenziale elettrostatica nel condensatore fra le due situazioni U1 con la lastra ed U 2 senza lastra:
289
U2
C2
L U U 1 U 2 1 C 1V12 1 C 2V22
2
2
Infatti, nell’operazione di estrazione non cambia la carica Q sulle armature, essendo
il condensatore isolato, ma cambia la sua capacità, e di conseguenza cambia da V1 a
V2 la differenza di potenziale fra le armature. Risulta:
C 1 0r
C 2 0
A 8.85 1012 5.00 100 104
F 177 1012 F 177 pF
d
2.50 103
177 pF
A C1
70.8 pF
d
r
2.5
calcoliamo V2 ricordando che la carica è sempre pari al valore iniziale Q C1V1 :
V2
CV
Q
1 1 rV1 1250V
C2
C2
da cui infine:
L 1 C 1V12 1 C 2V22 1 (177 5002 70.8 12502 ) 1012 J 3.32 105 J
2
2
2
Il valore è negativo, cioè le forze interne compiono lavoro resistente. Il fatto che
l’energia finale sia maggiore di quella iniziale, si deduce anche osservando che se la
carica è costante, l’energia U Q 2 /2C è inversamente proporzionale alla capacità,
che diminuisce, passando da C1 rC2 al valore C 2 .
r
C1
69. Il condensatore dell’esercizio precedente, anziché restare isolato, viene collegato i
capi di un generatore, cioè un dispositivo che ne mantiene sempre costante la diffe
generatore renza di potenziale 500 V . Calcolare il lavoro della forza elettrostatica quando si
estrae la lastra dielettrica e la si porta lontano. Perché in questo caso l’energia finale
[R: 1.33 105 J ]
è minore?
70. Un condensatore a facce piane parallele ha le armature di superficie 120 cm 2 ,
separate da una regione piena di aria spessa 5.00 mm . Viene caricato con una differenza di potenziale di 300V e poi isolato. Si calcoli il lavoro che svolge il campo elet7
[R: 2.87 10
trico se si avvicinano le armature portandole a distanza 3.50 mm .
J]
71. Un condensatore a facce piane parallele ha le armature di superficie 250 cm 2 ,
separate da una regione piena di aria spessa 4.00 mm . Viene collegato i capi di un
generatore, cioè un dispositivo che ne mantiene sempre costante la differenza di potenziale a 600 V . Si calcoli il lavoro che svolge la forza elettrica se in queste condi6
[R: 5.97 10
zioni si avvicinano le armature portandole a distanza 2.50 mm .
m
C
J]
72. Un condensatore a facce piane parallele ha le armature di superficie 200 cm 2 ciascuna, che distano d 3.00 mm . La differenza di potenziale fra le armature vale
V 1500 V . L’armatura positiva viene sospesa al piatto di una bilancia, e quella
negativa è ancorata ad un supporto isolante. Calcolare la massa m da mettere
sull’altro piatto affinché la bilancia stia in equilibrio.
[R: 4.51 g ]
73. Le armature di un condensatore a facce piane parallele, distanti d1 6.00 mm , si
attirano con una forza di 5.00 102 N . Calcolare il lavoro svolto dal campo elettrico,
mentre il condensatore è collegato a un generatore che ne mantiene costante la differenza di potenziale, se (1) la distanza fra le armature viene raddoppiata, (2) la distan4
[R: 1.50 10
za fra le armature viene dimezzata.
290
J, 3.00 104 J ]
5. La densità di energia del campo elettrico
Quando una regione di spazio è sede di un campo elettrico significa che è stato
compiuto del lavoro per distribuire le cariche nella configurazione che a tale campo
dà luogo. Ad esempio lo spazio fra le armature di un condensatore è sede di un
campo elettrico costante e per produrlo si è dovuto lavorare contro il campo elettrico
al fine di separare le cariche che originano il campo e disporle sulle armature. Da un
punto di vista matematico è comodo pensare che questa energia la si trova distribuita nella regione di spazio che è sede del campo, e quindi risulta utile associare una
densità di energia ad ogni punto. Attenzione però che stiamo parlando solo di una
comodità matematica, che non va presa alla lettera. L’energia è una grandezza fisica associata all’interazione fra oggetti, e misura la capacità di produrre lavoro del
sistema di corpi in questione11. Non esiste, nemmeno in linea di principio, dell’energia separata dagli oggetti che interagiscono. Quindi non bisogna immaginare l’energia come
effettivamente localizzata nello spazio, ma piuttosto parlare di densità di energia intendendo con essa uno strumento per poter eseguire dei calcoli. Nota infatti la densità di
energia, basterà moltiplicarla per il volume ove è localizzato il campo elettrico (ad
esempio lo spazio fra le armature) per avere l’energia complessiva.
Come si calcola la densità di energia del campo elettrico?
Indicata con u l’energia del campo elettrico per unità di volume, il condensatore
piano di area A e distanza di separazione d ne consente agevolmente il calcolo come segue:
densità di energia u
1 QV
energia
C
2
volume
d A
Esprimiamo ora u in funzione del campo elettrico. Si ricavano le relazioni:
Q
|E |
0
A0
Q 0A | E |
V
| E | C VC | E | d
d
Che inserite nell’espressione per u forniscono:
1 QVC
1 0 A | E | | E | d
1
u
0 | E | 2
2 dA
2
2
dA
Quindi in una regione di spazio sede di campo elettrico E costante, ad ogni metro
cubo risulta associato un quantitativo di energia pari a 1 0 | E | 2 .
2
Ma questa espressione che è stata ricavata per il condensatore vale in generale?
Questa espressione è del tutto generale, e non dipende dal fatto che sia stata ricavata
nel particolare caso di un condensatore piano. Infatti, se accadesse che la densità di
energia dovuta ad una distribuzione di cariche che generano un campo di valore E ,
fosse dipendente da come sono disposte le cariche che lo producono, significherebbe
che il campo elettrico non conterrebbe informazioni sufficienti per descrivere le proprietà fisiche di quella regione di spazio. Il campo elettrico sarebbe allora un concet
to sbagliato ed inutile se, per ipotesi, in una regione sede di un valore di E identico
a quello fra le armature del condensatore, ma originato da una distribuzione di cariche puntiformi, si avesse una diversa densità di energia.
11
La definizione di energia come “capacità di eseguire lavoro (in condizioni ideali)” ha senso se riferita ad un sistema e
non ad un singolo oggetto.
291
E se il campo elettrico non è costante?
Volume 2
u2 1 0 E 2
2
Chiaramente l’espressione u 1 0 E vale nel caso di campo costante: se l’intensità
2
di E cambia da punto a punto, come vicino a una carica puntiforme, dovremo suddividere lo spazio in tanti cubetti all’interno dei quali il campo si può considerare co2
stante, applicare la formula u 1 0 E in ognuno di essi e poi fare la somma su
2
2
2
q
tutto lo spazio.
Vol 1 1 0 E1
2
totale
energia
Volume 1
u1 1 0 E1
2
Vol 2 1 0 E2
2
2
2
...
2
Esercizi
74. Calcolare l’energia necessaria per instaurare un campo elettrico di 700 V/m fra
le armature di un condensatore distanti 3.00 cm ed aventi una superficie di
2.40 104 m2 .
Dalla formula per la densità di energia elettrostatica:
u 1 0 | E | 2 (1 8.85 1012 7002 )J/m 3 2.17 106 J/m 3
2
2
L’energia si ottiene moltiplicando per il volume dello spazio fra le armature:
U (3.00 102 )(2.40 104 )(2.17 106 )J 15.6 1012 J 15.6 p J
75. Calcolare la densità di energia in prossimità di uno strato piano infinito, uniformemente carico con densità superficiale 4.00 106 C/m2 .
[R: 0.127 J /m3 ]
76. Esprimere la densità di energia u a distanza x da un filo infinito, uniformemente carico con densità lineare . Calcolare il valore di u per x 4.00 cm e
2
2
2
3
[R: u / 8 0x ,22.4 J /m ]
5.00 106 C/m .
77. Esprimere la densità di energia u del campo elettrico in funzione della distanza
x dalla superficie di una sfera di raggio R , carica con densità superficiale . Calcolare u per x 3.00 cm , R 1.50 cm e 2.00 106 C/m2 .
2
4
3
3
[R: u /[20 (1 x /R) ],2.79 10 J /m ]
6. Serie e parallelo di condensatori
Combinando fra loro condensatori differenti e formando in tal modo dei sistemi,
si possono ottenere valori differenti di capacità, e quindi variare a piacimento gli accumuli di energia potenziale. In ogni caso al sistema in questione è sempre possibile
associare una capacità equivalente, che lo sostituisca.
Capacità equivalente
si dice capacità equivalente CE , di un sistema di condensatori, fra un punto 1 ed un
punto 2, la capacità di quel condensatore che, quando viene collegata una sua armatura al punto 1 e l’altra al punto 2, è in grado di accumulare la stessa energia potenziale del sistema.
Quando sostituiamo a un sistema la sua capacità equivalente CE , osservando dai
punti 1 e 2 non deve apparire nulla di fisicamente differente. Pertanto sull’armatura
292
di CE collegata al punto 1 dovrà depositarsi tutta la stessa carica che prima era ripartita fra le armature delle varie capacità a contatto con 1, e lo stesso varrà per il punto
2 . Vi sono due modi fondamentali di mettere in relazione due o più condensatori: in
serie e in parallelo.
1
Che cosa si intende per collegamento in serie di due condensatori?
A
Collegamento in serie
Due (o più) condensatori si dicono collegati in serie fra un punto 1 ed un punto 2
quando, per andare da 1 a 2 siamo costretti ad attraversare le armature di tutti. Sulle
armature di condensatori in serie si trova sempre la stessa carica Q, replicata a segni
alterni.
B
Quanto vale la capacità equivalente ad una serie?
2
La capacità equivalente di due condensatori A e B collegati in serie si ricava tenendo
conto del fatto che, posta una carica Q sulla prima armatura, essa si riprodurrà, per
induzione, su tutte le altre con i segni alternati, e che la differenza di potenziale fra il
punto 1 ed il punto 2 è la somma delle differenze di potenziale intermedie. Si scrive
quindi:
V VA VB
La capacità equivalente CE , messa fra 1 e 2 al posto della serie, una volta caricata
con la medesima carica Q che si pone su ciascuno dei due condensatori, dovrà generare una differenza di potenziale fra le sue armature pari proprio a questo valore
V . Solo in questo modo, infatti, essa incamererà la stessa energia della serie. Dovrà quindi essere:
Q
CE
V
E poiché è, per definizione, C A Q/VA e C B Q/VB , sostituendo:
Q
Q
Q
CE
CA CB
e, semplificando:
1
1
1
CE
CA CB
Da tale formula si evince che la capacità equivalente ad una serie è più piccola della più
piccola capacità presente.
1
Che cosa s’intende per collegamento in parallelo di due o più condensatori?
Collegamento in parallelo
Due (o più) condensatori si dicono collegati in parallelo fra un punto 1 ed un punto 2
se possiamo andare da 1 a 2, con un percorso continuo che non inverta mai direzione, attraversando solo le due armature di uno qualunque di essi. Ai capi di due condensatori in parallelo si ha la stessa differenza di potenziale.
A
B
Quanto vale la capacità equivalente ad un parallelo?
La capacità equivalente di due condensatori posti in parallelo, si ricava tenendo conto che la differenza di potenziale fra le armature di uno qualunque di essi, è sempre
pari alla differenza di potenziale V fra il punto 1 ed il punto 2. Infatti, ognuno
dei condensatori ha la prima armatura collegata con 1 e la seconda con 2: le armature di A e di B collegate al punto 1 è come se fossero un unico conduttore, e lo stesso
può dirsi delle armature collegate al punto 2. Pertanto, se le capacità sono differenti,
la carica su ognuna delle armature di A sarà senz’altro differente da quella sulle ar293
2
mature di B, ma il prodotto di queste cariche per ciascuna capacità deve sempre dare V . Questo è possibile solo se la carica totale Q QA QB , che poniamo complessivamente sulle armature tramite un generatore, si ripartisce in maniera proporzionale alle capacità:
QA CA V
A
B
QB CB V
Se ora, al posto del parallelo, si mette la capacità equivalente C E , tutta la carica Q
andrà sulle sue armature. Ma sappiamo che C E deve incamerare la stessa energia
del parallelo, e questo è possibile solo se V resta lo stesso di prima, da cui:
CE
Q QB
Q
Q
Q
A
A B
V
V
V
V
Sostituendo abbiamo:
CE CA CB
Da questo risultato si deduce che la capacità di un parallelo è maggiore della più grande
capacità presente
Perché le capacità in parallelo si sommano?
A
1
B
2
La formula che somma le capacità in parallelo può essere intuita osservando la figura
accanto. Immaginiamo di allontanare le armature connesse al punto 1 da quelle connesse al punto 2. Sarà allora più trasparente che, ponendo in parallelo due condensatori, in realtà stiamo accostando una sola armatura, composta da due lastre collegate
fra loro, ad una seconda armatura, composta sempre da due lastre collegate fra loro.
Appare quindi naturale sommare le capacità dei due se si vuole sostituire al parallelo un solo oggetto.
Esistono collegamenti che non sono né in serie né in parallelo?
C
3
In un circuito complesso si possono avere collegamenti che sono combinazioni di
serie e parallelo, e collegamenti non riconducibili a serie o parallelo, come ad esemcollegamento
pio il collegamento a stella dei tre condensatori in figura. (Notare che la carica è nula stella
la nel conduttore formato dalle tre armature interne, che subiscono solo induzione.)
3C
1
C
2
C
5C
calcoli la carica su ciascuna delle armature.
Da un esame della configurazione si vede che le due capacità di valore 3C e 2C sono fra loro in parallelo, e quindi equivalenti alla capacità:
3C 2C 5C
La capacità 5C risulta poi in serie alla capacità C e quindi complessivamente fra il
2C
1
Esercizi
78. Si calcoli la capacità equivalente del sistema di condensatori in figura, essendo
C 2.40 μF . Sapendo che la differenza di potenziale fra i punti 1 e 2 vale 12.0 V si
2
punto 1 ed il punto 2 abbiamo una capacità equivalente CE :
5
1
1
1
5
C E C 2.40 μF 2.00 μF
6
CE
C
5C
6
Pensando che il terminale 1 sia a potenziale positivo, avremo che sull’armatura di
sinistra della capacità equivalente si deposita una carica:
q C E V (2.00 106 12.0) C 24.0 μC
294
Per definizione la capacità equivalente non altera il fenomeno fisico, quindi la stessa
carica 24.0 μC deve depositarsi sull’armatura di sinistra della capacità C nella configurazione originale. Questa stessa carica si localizza complessivamente sulle armature delle due capacità in parallelo 2C e 3C . Per capire come si ripartisce fra loro,
osserviamo che essa deve produrre ai capi del parallelo una differenza di potenziale
V che si ottiene sottraendo ai 12.0 V complessivi la caduta q /C ai capi di C :
5
C
6
1
2
q
24.0 106
12.0 V
V 12.0 V 10.0V 2.00 V
C
2.40 106
Per avere questa differenza di potenziale fra le armature di 2C occorre che su di esse
vada una carica:
V 12.0 V
q2C 2C (2.00 V) (2 2.40 106 2.00) C 9.60 μC
mentre per avere questa differenza di potenziale fra le armature di 3C occorre che
su di esse vada una carica:
q 3C 3C (2.00 V) (3 2.40 106 2.00) C 14.4 μC
Osserviamo che q si ripartisce in maniera proporzionale alle capacità.
79. In relazione al sistema di condensatori del problema precedente, si calcoli
l’energia complessivamente incamerata, verificando che si ottiene lo stesso valore sia
utilizzando la capacità equivalente, sia addizionando le energie nei tre condensatori.
[R: 1.44 104 J ]
B
A
1
D
2
80. Si calcoli la capacità equivalente e la carica sulle armature positive dei quattro
condensatori nella figura, sapendo che C A 5.00 μF , C B 9.00 μF , CC 4.00 μF ,
C D 6.00 μF , e che V2 V1 60.0 V .
81. Si
C
[R: 2.25 μF,135 μC,94.5 μC, 42.0 μC ]
A
calcoli la capacità equivalente al sistema a lato dove C A 6.00 μF ,
C B 2CC 8.00 μF . Si trovi quindi la carica sulle armature positive di ciascun
condensatore assumendo che V2 V1 80.0 V .
1
C
[R: 7.43 μF,274 μC, 320 μC ]
82. Si stabilisca come sono disposti i condensatori A, B, C, D nella figura a lato, e se
ne calcoli la capacità equivalente, assumendo che siano identici, ciascuno di capacità
1
C 500 μF .
[R: 300 μF ]
2
B
B
D
2
C
A
83. Due condensatori, C A 4.50 μF C B 6.20 μF sono collegati in parallelo fra due
punti che stanno ad una differenza di potenziale di 60.0 V . Si calcoli la carica sulla
capacità equivalente e quella ciascuno di essi.
[R: 642 μC,270 μC, 372 μC ]
84. Due condensatori, C A 1.40 nF e C B 3.30 nF sono collegati in serie fra due
punti che stanno ad una differenza di potenziale di 400 V . Si calcoli la carica su ciascuno di essi e la differenza di potenziale ai capi di ciascuno. [R: 393 nC,281 V,119 V ]
2
C
C
C
85. Si calcoli il valore della capacità C in figura sapendo che la capacità equivalente
ai tre condensatori uguali, fra il punto 1 ed il punto 2, vale CE 210 μF . [R: 70.0 μF ]
1
86. Si calcoli la differenza di potenziale fra il punto 1 ed il punto 2 nella figura con le
tre capacità uguali, C 70.0 μF , sapendo che la carica su ciascuna delle armature 1
positive vale q 140 μC .
[R: 2.00 V ]
295
B
A
C
2
87. Si stabilisca come sono disposti i condensatori A, B, C nella figura a lato, aiutandosi individuando i modi in cui è possibile andare da 1 a 2. Si calcoli quindi la capacità equivalente assumendo CA 100 nF , C B 150 nF , CC 200 nF .
1
2
[R: 46.2 nF ]
88. In relazione alla figura con i tre terminali, 1, 2 e 3, si calcoli la capacità equivalente
fra i terminali 1 e 2.
[R: 26.7 μF ]
20.0μF
89. In relazione alla figura con i tre terminali, 1, 2 e 3 si calcoli la capacità equivalente
fra i terminali 1 e 3.
[R: 22.5 μF ]
15.0μF
12.0μF 90. In relazione alla figura con i tre terminali, 1, 2 e 3 si calcoli la capacità equivalente
fra i terminali 2 e 3.
[R: 20.6 μF ]
3
91. Si hanno due condensatori variabili, entrambi con 20.0 nF C 200 nF . Calcolare la minima e la massima capacità realizzabile collegando i due condensatori.
[R: 10.0 nF, 400 nF ]
S
V1
92. Due condensatori identici, con capacità C 300 nF carichi, con differenze di po-
V2
tenziale rispettivamente V1 100 V , V2 200 V hanno un’armatura in comune, come in figura. L’interruttore S viene chiuso e i condensatori si trovano in parallelo. Calcolare la nuova differenza di potenziale fra le armature, e l’energia dissipata
nell’operazione.
[R: 150 V, 0.750 m J ]
7. Condensatori sferici
Quanto vale la capacità di un conduttore sferico?
La Controfisica
Abbiamo introdotto la capacità per i condensatori e potrebbe apparire strano riferire
questo concetto anche a un singolo conduttore. Tuttavia qualunque conduttore carico è
anche un condensatore, se immaginiamo che la seconda armatura sia la terra, insieme
con le pareti della stanza e l’ambiente intorno ad esso, tutti a potenziale nullo. Il
conduttore, infatti, induce comunque carica sulle superfici degli oggetti vicini. La
capacità di un singolo conduttore sarà allora il rapporto fra la carica depositata su di
esso ed il potenziale V a cui si porta calcolato rispetto a dove vale zero. Nel caso del
conduttore sferico sappiamo che V kq /R quindi:
Questa formula può servire anche
per un calcolo approssimativo della
capacità di un conduttore dalla
forma irregolare delle stesse dimensioni della sfera.
C
q
q
R
q
40R
V 0 V
kq
Esercizi
93. Si calcoli la capacità del pianeta Terra, sapendo che RT 6.378 106 m , considerato il pianeta una sfera conduttrice carica che induce sull’atmosfera.
Applicando la formula per la capacità di una sfera:
C2
6.378 106 m 709F
C 12.56 8.854 1012
2
Nm
Che cosa s’intende per condensatore sferico?
Si chiama condensatore sferico una struttura costituita da due conduttori: una sfera
di raggio R1 , circondata da un guscio sferico, di raggio interno R2 e raggio esterno
R3 , come nello schema di principio qui accanto, eventualmente separati da un die296
lettrico. Consideriamo la situazione nel caso in cui il conduttore esterno sia neutro e
la sfera interna contenga una carica q , per esempio positiva. Per fenomeno
dell’induzione completa, sulla superficie interna del guscio dovrà localizzarsi una
carica q , ed essendo lo spazio occupato dal guscio sempre neutro, come in tutti i
conduttori, sulla sua superficie esterna troveremo nuovamente q .
q
q
R1
Cosa succede se colleghiamo a terra l’esterno?
q
R3
Con riferimento alla figura a lato, dove è raffigurato il simbolo della messa a terra, la
conseguenza di una tale operazione è che il guscio non sarà più neutro, perché delle
cariche negative (ricordiamo che gli elettroni sono gli unici a potersi muovere), saliranno dalla terra richiamate, per induzione, dalla sfera carica al centro. Possiamo
pensare che il guscio esterno insieme con l’intero pianeta Terra formino un unico
conduttore. Sul guscio andrà allora a localizzarsi una carica pari a q .
R2
Quanto vale la capacità di un condensatore sferico con l’esterno a terra?
Per svolgere il calcolo utilizziamo la definizione di capacità, indicando con V1 il po-
q
tenziale della sfera dentro (supposto positivo) e con V2 quello del guscio:
C
q
q
V1 V2
Il potenziale della sfera sarà la somma del potenziale dovuto alle cariche sulla sfera
stessa, cioè kq /R1 , sommato a quello dovuto alla carica sulla superficie interna del
guscio. Riguardo a quest’ultimo, sappiamo che una distribuzione sferica di carica
produce ovunque al suo interno un potenziale uguale a quello sulla superficie, e
quindi alla superficie interna del guscio si deve un contributo pari a kq /R2 . Sommando:
q
q
V1 k
k
R1
R2
Il potenziale del guscio è anch’esso dovuto ai due contributi, quello della sfera, calcolato ovviamente a distanza R2 dal centro, cioè kq /R2 , e quello della carica indotta,
La Controfisica
La configurazione con la sfera
esterna a terra è da preferire a quella con la sfera interna a terra, perché si crea uno schermo elettrostatico. In altri termini il condensatore
è indipendente dall’effetto di altri
oggetti esterni carichi.
che vale kq /R2 :
V2 k
q
q
k
0
R2
R2
Risulta V2 0 come ci saremmo aspettati avendolo collegato a terra. Inserendo i ri-
q0 q
sultati otteniamo la capacità del condensatore sferico con l’esterno a terra.
q
C
k
q
R1
k
q
40
R2 R1
R2
Che succede se invece si collega a terra la sfera interna?
Se depositiamo una carica q0 sul guscio esterno e colleghiamo a terra la sfera interna,
q0 si ripartirà fra le due superfici - interna ed esterna - del guscio, dando luogo ad
induzione sia sulla terra (e sulle eventuali pareti ed oggetti intorno), sia sulla sfera
interna collegata a terra. Se indichiamo con q la frazione che va sulla superficie interna, su quella esterna resterà la differenza q 0 q . Quanta carica vada dall’una e
dall’altra parte dipende dai raggi delle sfere e dal dielettrico interposto, tuttavia sarà
297
q
R1R2
q
sempre tale che la differenza di potenziale fra l’interno del guscio e la sfera sia la
stessa che c’è fra l’esterno e la terra, poiché tutto il guscio è allo stesso potenziale. In
ogni caso sulla sfera interna sarà indotta una carica q , uguale e contraria a quella
affacciata dalla parete interna del guscio, e che possiamo pensare proveniente dalla
terra. Oppure, diciamo che dalla sfera interna se ne va a terra una carica q .
C1
C2
Come possiamo schematizzare questo sistema?
A ben guardare il dispositivo così realizzato è costituito da due condensatori in parallelo: il primo, C1 , fra la sfera dentro e il guscio, il secondo, C 2 , fra il guscio fuori e la
q
C1
q
q0 q
C2
(q 0 q )
terra. Per visualizzarli immaginiamo di rimuovere il metallo interno al guscio (comunque neutro e quindi ininfluente) e sostituirlo con un filo che collega parete interna ed esterna. I due condensatori sono raffigurati qui a lato, insieme con un modello
equivalente ad armature piane. Essi sono in parallelo poiché, per andare dalla sfera
interna alla terra, dobbiamo attraversare tutte le armature. Applicando la formula
che prevede che le capacità in parallelo si sommino, otteniamo la capacità di un condensatore sferico con la sfera interna messa a terra:
C C 1 C 2 40
R1R2
R2 R1
40R3
Se lo spazio interposto è riempito da un dielettrico, il primo dei due addendi andrà
poi moltiplicato per la costante r Nel caso speciale in cui lo spessore del guscio
esterno sia minimo, di modo che possiamo considerare R3 R2 , la formula (senza
dielettrico) si semplifica con un passaggio algebrico, e diviene:
C 40
R22
R2 R1
Come possiamo calcolare la carica indotta sulla sfera interna?
La sfera interna, essendo a terra, si trova a V 0 , ed il suo potenziale è dovuto a tre
contributi, quello delle cariche sulla superficie esterna del guscio, quello delle cariche
sulla superficie interna ed infine quello delle cariche sulla sfera stessa:
V1 k
q q
q
q
k
k 0
0
R1
R2
R3
Calcoliamo q solo nel caso in cui il guscio sia sottile e si possa considerare R3 R2 .
Otteniamo:
q q 0
R1
R2
Che succede se nessuna delle due sfere è a terra?
La situazione è analoga a quella con la sfera interna a terra, cioè si hanno due capacità in parallelo, solo che nessuno dei valori di potenziale è nullo.
Esercizi
94. Un condensatore è formato da una sfera interna di raggio 10.0 cm e da un guscio
sottile di raggio 10.5 cm , collegato a terra. Sapendo che sulla sfera interna è posta
una carica di 0.0117 μC si calcoli il suo potenziale. Si confronti la capacità di questo
dispositivo con quella della sola sfera interna, spiegando perché quella del condensatore è maggiore.
Dalla definizione di capacità si ha la differenza di potenziale VS VG fra le armature, che coincide col potenziale VS della sfera, essendo il guscio a terra (VG 0 ):
298
C
q
q
q
VS
VS VG VS
C
Calcoliamo la capacità del condensatore sferico in questa configurazione:
R1R2
1
0.100 0.105
9
C 40
F 0.234 10 F 0.234 nF
9
R R
0.105 0.100
8.99 10
2
1
da cui otteniamo:
q
0.0117 106
V 500 V
C
0.234 109
La capacità di un condensatore è tanto minore quanto maggiore è la differenza dei
due raggi al denominatore. La capacità di una sfera isolata può essere pensata come
VS
quella di un condensatore in cui il guscio ha raggio infinito, cioè quando R1 /R2 possa considerarsi nullo:
C 40
R1
4 R
40
0 1
1 R1 /R2
R2 R1
R1R2
1
In questo caso: 40R1
0.100 F 0.0111 109 F 0.0111nF
9
8.99 10
95. Fra le armature di un condensatore sferico si misura una differenza di potenziale
di 200V . Sapendo che sul guscio, sottile, di raggio R2 6.00 cm e collegato a terra,
è indotta una carica di 4.10 nC , calcolare il raggio della sfera interna.
[R: 4.52 cm ]
96. Una sfera di raggio 20.0 cm è collegata a terra e circondata da un guscio metallico
sottile, di raggio 25.0 cm , dove è posta una carica di 5.00 nC . Si calcoli la carica indotta sulla sfera interna e il potenziale elettrostatico del guscio.
[R: 139 pF, 36.0 V ]
97. Ripetere il calcolo dell’esercizio precedente nel caso in cui lo spazio interposto
venga riempito con un dielettrico di costante r 2.50 .
[R:C 40 [R22 R1R2 (r 1)]/(R2 R1 ) ]
299
300
