Matematica Generale Rita Laura D’Ecclesia Università di Roma “La Sapienza” Email:[email protected] Web: http://w3.uniroma1.it/decclesia 1-1 1 1.1 Introduzione di modello matematico 1. Le ipotesi 2. Le componenti 3. La soluzione Le ipotesi Esempio classico: modello di domanda e offerta Agenti= aziende, consumatori e governi. Contesto economico= domanda e offerta possono essere descritte da un modello lineare (semplice) Scelte effettuate in un mondo “razionale” Equilibrio: Il risultato delle scelte operate dagli agenti. Un modello è in equilibrio quando variazioni delle variabili vengono causate solo da variazioni del contesto economico. I valori di equilibrio delle variabili economiche sono “endogeni”- vengono determinati all’interno del modelli- e dipendono da variabili “esogene”. Cambiamenti: Analizzare come l’equilibrio può essere modificato in seguito a variazioni delle condizioni economiche 1-1 3 Il modello di Domanda e Offerta Gli agenti in questo modello sono consumatori e aziende. Il comportamento della domanda di beni e dell’offerta possono essere descritte da modelli lineari. C’è una relazione inversa tra prezzo e domanda del bene, e una relazione diretta tra offerta e prezzo del bene che posso descrivere con le seguenti curve: Domanda P = a − bQD Offerta P = c + dQs [1] [2] P= prezzo del bene, QD= quantità domandata; Qs= quantità offerta 1-1 4 Le componenti a e b sono parametri esogeni che dipendono da molti fattori quali le preferenze dei consumatori e il loro reddito ced (esogeni) dipendono dai prezzi delle materie prime e degli input tecnologici e fattori produttivi P ,Qs e Qd sono le variabili endogene che vengono determinate come soluzione del nostro semplice modello a > 0, c < a a>0; b>0 c ≥ 0 c+d >0 d ≥ 0 c>0; d>0 1-1 5 La soluzione (1) La soluzione del modello- il prezzo e la quantità domandata ed offerta di equilibrio- si ottiene trovando il punto di intersezione fra la curva di domanda e la curva di offerta: 1. Intersezione delle due curve (metodo grafico):Qs=Qd 2. Algebra Matriciale 3. …. 1-1 6 La soluzione (1) Il primo semplice approccio per risolvere tale problema e trovare la quantità di equilibrio è porre la quantità domandata uguale alla quantità offerta: Qs = Q D = Q [3] Sostituendo le espressioni riportate nella 1 e nella 2 abbiamo a − bQ = c + dQ [4] a − c = (b + d )Q Q * ( a − c) = (b + d ) 1-1 [5] 7 La soluzione (2) Per avere il prezzo di equilibrio dobbiamo risolvere il sistema sostituendo nelle due equazioni il valore di equilibrio per Q* ( a − c) P =c+d (b + d ) Usando l’equazione dell’offerta [2] Usando l’equazione della domanda [1] P * c(b + d ) + d (a − c ) P= (b + d ) ( ad + bc ) = (b + d ) 1-1 [6] [7] [8] 8 La soluzione (3) Abbiamo quindi trovato la soluzione in FORMA RIDOTTA (i valori delle variabili endogene in funzione delle variabili esogene) P * ( ad + bc ) = (b + d ) [9] Una volta risolto in funzione delle variabili esogene e trovato l’equilibrio possiamo studiare come varia questo equilibrio al variare di una delle variabili esogene: STATICA COMPARATA 1-1 9 Statica Comparata Matematicamente ciò implica calcolare le derivate o più genericamente le derivate parziali della soluzione trovata in funzione dei parametri P = f (a, b, c, d ) ≡ f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) * [10] Ma siamo in grado di fare queste operazioni??? Dobbiamo introdurre prima i seguenti concetti: -vettori, spazi vettoriali, algebra matriciale, funzioni in Rn, calcolo differenziale in Rn….etc.etc. 1-1 10 La soluzione (1a) La soluzione del modello- inserendo al posto dei parametri dei numeri reali: a=2, b=3, c=1,d=2 2 − 3Q = 1 + 2Q Q * ( 2 − 1) 1 = = (3 + 2) 5 Ha senso? Che vuol dire produrre 1/5 di prodotto? 1-1 11