Laboratorio di Calcolo delle Probabilità e Statistica :

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO
Laboratorio di Calcolo delle Probabilità e Statistica
Prof. Ornella Giambalvo
TRE UNITÀ DIDATTICHE SU:
ü ST AT IST ICA
ü VAL O R I M E DI E VAR IAB IL IT À
ü CAL CO L O DE L L E PR O B AB IL IT À
elaborazione di:
Ø Di Venti Tiziana
Ø Domingo Maria
Ø Guida Rosanna
Ø Monteleone Antonio
Ø Occhipinti Alberto
Ø Riccobono Caterina
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO
Indirizzo fisico-matematico.
Laboratorio di Statistica e Calcolo delle Probabilità
Docente: prof. O. Giambalvo
Relatori: T. Di Venti, M. Domingo, R. Guida, A. Monteleone, A. Occhipinti, C. Riccobono
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PRIMA UNITÀ DIDATTICA:
LA STATISTICA
Premessa
Per far propri metodi e strumenti della Statistica si pensa sia opportuno percorrere in
piccolo le fasi di un progetto di ricerca: rilevazione dei dati, costruzione e
rappresentazione delle distribuzioni statistiche, elaborazione dei dati tramite la
somministrazione di un questionario.
Il lavoro è stato proposto in una classe 3° di un Liceo Scientifico, e i contenuti sono quelli
previsti dai nuovi programmi istituzionali.
Scansione dell’unita’ didattica
Questa unità didattica sarà suddivisa in due sotto-unità:
I. Indagine statistica
II. Valori medi
Obiettivi generali
− Acquisire capacità deduttive e pratica dei processi induttivi
− Passare da una forma espressiva - rappresentativa ad un’altra (testo, grafico,
diagramma, tabella,…)
− Matematizzare semplici situazioni di problemi in vari ambiti disciplinari e
sviluppare attitudini a rappresentare e quindi interpretare i dati
Obiettivi specifici
− Saper identificare l’unità statistica e la popolazione di un’indagine
− Saper scegliere e classificare le variabili inerenti il problema analizzato
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− Costruire e leggere le distribuzioni di frequenza come modo appropriato ed efficace
di organizzare i dati
− Costruire ed interpretare rappresentazioni grafiche
− Individuare gli indici centrali e di variabilità più appropriati ed interpretarli
− Impostare una ricerca statistica
Sotto - unità:
L’INDAGINE ST AT IST ICA
Prerequisiti
− Conoscere le quattro operazioni sull’insieme dei numeri razionali
− Conoscere la rappresentazione grafica sul piano cartesiano
Obiettivi
− Acquisire il concetto di fenomeno collettivo, distinguere il campione e la
popolazione
− Individuare le fasi attraverso le quali passa un’indagine statistica
− Familiarizzare con le tabelle statistiche sia nel senso della loro corretta lettura ed
interpretazione sia nel senso della loro costruzione
− Distinguere tra frequenze assolute e relative
Contenuti
− Fenomeni collettivi
− Popolazione, campione e unità statistica
− Concetti di raccolta, spoglio, classificazione
− Modalità, frequenza, distribuzioni di frequenza, tabelle statistiche, grafici
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I Fase (2 ore) - lezione interattiva e introduttiva
Per incuriosire gli studenti si propone la scelta di un argomento di loro interesse (internet,
telefonia, problemi sociali,…). Si invitano gli studenti a proporre delle domande
sull’argomento scelto al fine di formulare un questionario che contenga le diverse
tipologie di variabili statistiche (eventualmente pilotandoli).
Si somministra il suddetto questionario alla classe.
II Fase - lezione frontale e interattiva
E’ essenziale una lezione introduttiva e motivazionale dell’unità didattica. Attraverso una
serie di domande poste agli alunni tese a rilevare la conoscenza o meno di alcuni concetti
di tipo statistico, si puntualizza con esempi tipo che cosa vuol dire Statistica, il concetto di
fenomeno collettivo, di popolazione e di unità statistica.
Si introduce il concetto di variabile distinguendo tra variabili qualitative (nominali o
ordinali) e quantitative (a intervalli o a rapporti), con il supporto di opportuni esempi.
Il passo successivo sarà introdurre la prima fase dell’indagine statistica (raccolta dei dati)
partendo dai risultati del questionario somministrato nella prima fase.
Si attua quindi la seconda fase dell’indagine statistica (spoglio dei dati) e si fa capire ai
ragazzi che, per meglio utilizzare i dati ottenuti, è preferibile trascriverli in tabelle
(trascrizione dei dati).
Si introducono i concetti di modalità, distribuzioni di frequenze, frequenze assolute,
relative, cumulate e percentuali, specificando come e quando usarle.
III Fase - lezione frontale e interattiva
Per facilitare il confronto dei dati e soprattutto favorire una conoscenza visiva e immediata
del fenomeno preso in esame si introducono le rappresentazioni grafiche.
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Si specifica che le variabili qualitative possono essere rappresentate attraverso il grafico a
barre o a settori circolari, puntualizzando le differenze in funzione degli obiettivi che ci si
propone.
Traendo spunto dai dati del questionario si spiega che per variabili quantitative è
opportuno utilizzare, come rappresentazione, i diagrammi a punti, ad aste e gli
istogrammi. Si specifica che il diagramma a punti è utilizzato per variabili quantitative
discrete, mentre le altre rappresentazioni sono usate per le variabili continue.
Al fine di evitare incomprensioni, mediante esempi si sottolinea la differenza tra il
diagramma a barre e l’istogramma.
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SECONDA UNITÀ DIDATTICA:
VALORI MEDI E VARIABILITA’
Prerequisiti
− Conoscenza delle operazioni sui numeri razionali.
− Conoscenza delle rappresentazioni grafiche del piano cartesiano.
Obiettivi generali
− Acquisire capacità di deduzione a partire da processi induttivi.
− Dare un’interpretazione matematica di semplici situazioni di problemi in vari
ambiti disciplinari e sviluppare corrispondenti attitudini a rappresentare e quindi
ad interpretare dati.
Obiettivi specifici
− Calcolare e interpretare indici centrali e di variabilità.
Contenuti
− Concetto di valore medio.
− Confronto fra diversi valori medi.
− Concetto di variabilità.
− Relazione tra valore medio e variabilità.
− Indici di variabilità e loro proprietà.
− Coefficiente di variazione.
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I Fase (2 ore) - lezione frontale e partecipata
Al fine di introdurre l’argomento valori medi, si chiede ai ragazzi che tipo di valori medi
conoscano o credano di conoscere (per esempio la media aritmetica). Si fa osservare che i
valori medi sono indice di sintesi di osservazioni e che sono esclusivamente valori di
modalità.
Sulla base delle tabelle raccolte nell’unità didattica precedente si invitano gli studenti a
calcolare la media aritmetica dei dati raccolti .
Una volta che hanno scoperto che non si può calcolare la media aritmetica per tutte le
variabili, si fa presente che esistono altri tipi di valori medi come la moda e la mediana e se
ne esplicita il significato attraverso esempi.
Si spiega, inoltre, per quali variabili ha senso calcolare un certo tipo di valore medio,
facendo loro notare che: la media aritmetica tende a livellare tutti i dati e quindi non mette
in risalto le grosse differenze che possono esserci fra di essi; la moda è il dato che si ripete
con maggiore frequenza e quindi non è influenzata da tutti gli altri dati; la mediana tiene
conto solo del dato centrale della successione dei dati e non è influenzata né dai valori più
grandi né dai valori più piccoli.
II Fase (2 ore) - lezione partecipata e divisione della classe in gruppi di lavoro
Sulla base dei dati raccolti in tabelle che gli studenti hanno a disposizione, si propone
loro, suddividendoli in gruppi, di trovare diversi tipi di valori medi. In seguito si invita,
quindi, la classe a relazionare su quanto trovato e a confrontare i risultati ottenuti.
Si presentano alla classe le varie proprietà dei valori medi e si mettono in risalto, traendo
spunto dal lavoro fatto e da esempi di vita quotidiana, le differenze qualitative tra i diversi
tipi di valori medi.
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Si fa notare come la media aritmetica sia sensibile ai valori estremi e pertanto in alcune
occasioni sia preferibile utilizzare la mediana al posto di essa (proprietà della robustezza
della mediana).
III Fase (2 ore) - lezione frontale e partecipata
Poiché il solo utilizzo dei valori medi non permette di sintetizzare al meglio una
distribuzione è necessario introdurre il concetto di variabilità. A tal fine si utilizzano
esempi calzanti per far capire agli studenti la necessità di questo nuovo argomento e si
spiega che si tratta di un indice di che ci informa su come varia la modalità.
Si presentano gli indici di variabilità assoluta (indici di dispersione, indici di
disuguaglianza e indici di eterogeneità) specificandone le sostanziali differenze e per quale
tipo di variabile è possibile calcolarli. Si entra nel dettaglio degli indici di dispersione,
proponendone le proprietà e presentando i concetti di varianza e di scarto quadratico
medio, il tutto ben supportato da validi esempi, al fine di mettere in risalto le informazioni
che tali indici ci permettono di raccogliere e i loro rapporti con i valori medi (Media
Aritmetica).
Si fa osservare alla classe che per avere una distribuzione con minore variabilità, i termini
della distribuzione devono essere più addensati intorno al valore medio.
Infine si fa notare che per permettere una buona operatività con tali indici (poter fare
confronti) bisogna renderli adimensionali ed eliminarne le differenze dovute agli ordini di
grandezza. A tal scopo si introduce alla classe il concetto di coefficiente di variazione e si
invitano gli studenti a risolvere semplici esercizi per intuire le enormi potenzialità del
nuovo strumento.
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TERZA UNITÀ DIDATTICA:
IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
Prerequisiti
Conoscenza delle operazioni sui numeri razionali
Conoscenza dei numeri frazionari
Uso del linguaggio degli insiemi come mezzo di chiarificazione dei concetti
Obiettivi generali
Acquisire capacità di deduzione e pratica dei processi induttivi.
Matematizzare, ovvero dare un’interpretazione matematica, semplici situazioni di
problemi in vari ambiti disciplinari e sviluppare corrispondenti attitudini a rappresentare
e quindi ad interpretare dati
Acquisire una mentalità di carattere combinatorio
Capire che la probabilità ha un suo ambiente applicativo
Obiettivi specifici
sapere distinguere tra eventi certi, impossibili ed aleatori
accostarsi alla concezione classica della probabilità
accostarsi ad altre concezioni di probabilità (frequentista e soggettivista)
cogliere il nesso tra frequenza e probabilità fornito dalla legge empirica
operare con il teorema delle probabilità composte distinguendo tra eventi indipendenti e
dipendenti
operare con il teorema delle probabilità totali distinguendo tra eventi compatibili ed
incompatibili
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Contenuti
concetto di evento semplice e composto
probabilità e frequenza dell’evento
evento casuale
diverse concezioni di probabilità (classica, frequentista e soggettivista)
eventi indipendenti e dipendenti
teorema delle probabilità composte
eventi incompatibili e compatibili
teorema delle probabilità totali
PERCORSO DIDATTICO
I Fase (6 ore)
Tenendo conto che lo studio delle probabilità prende origine dai giochi d’azzardo,
useremo il gioco (estrazioni, lanci e giochi di carte,…) per stimolare la fantasia dei ragazzi,
la loro intuizione e lasciare loro il gusto della scoperta. Nell’unità didattica si parlerà
pertanto di previsione, scelte e confronti introducendo, in un secondo tempo, le definizioni
inerenti la probabilità, con l’intento di farle maturare lentamente. Ci si presenterà in classe
con un’urna contenente varie palline di colore diverso (ad esempio bianche e rosse), si
chiama un ragazzo e lo si invita ad estrarre una pallina dall’urna con gli occhi chiusi. Si
chiederà alla classe di che colore sarà la pallina estratta facendo notare che il loro
compagno al tatto e con gli occhi chiusi non avrà la possibilità di distinguere se la pallina
estratta sia bianca o rossa. Ciò sarà possibile solo guardando la pallina. Successivamente
si prenderà un’altra urna contenente sette palline rosse e tre bianche. Dopo avere
mescolato le palline un alunno estrarrà una pallina verificandone il colore. Si inserirà
nell’urna e, dopo avere mescolato, si procede ad una nuova estrazione: il colore della
pallina è uguale a quella precedente. Si continuerà l’esperimento per 20 volte, notando che
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si estrarranno palline bianche in numero maggiore di quelle rosse. Si chiederà ai ragazzi se
sanno dare una spiegazione al risultato ottenuto tenendo presente l’esito dell’esperimento
precedentemente svolto. Si farà notare che le palline in entrambi casi erano lisce e della
stessa grandezza, ma nella seconda urna le palline rosse erano più pesanti e quindi, pur
mescolandole, restavano nel fondo dell’urna e avevano meno possibilità di essere estratte.
In questo modo si farà vedere come il primo esperimento è stato condotto in modo
corretto, mentre nel secondo le palline non avevano le stesse probabilità di essere estratte e
l’esperimento non era corretto. A questo punto sembra opportuno introdurre i concetti di
eventi semplici e composti avvalendoci di validi esempi tratti dalla quotidianità (risultato
di una partita di calcio, estrazione del lotto…). Sempre tramite esempi si parlerà di evento
certo (lanciando un dado si presenterà un numero compreso tra 1 e 6), evento impossibile
(lanciando un dado si presenterà il numero 7), evento possibile (lanciando un dado si
presenterà uno dei primi sei numeri naturali); distinzione tra esperimento e prova.
Occorre aggiungere che oltre agli eventi sopra citati che nella realtà esistono gli eventi
casuali o aleatori cioè quegli eventi per i quali non si può dire se si verificheranno o meno
(lanciando un dado si presenterà il numero 5, l’evento può verificarsi, ma non è certo che
si verifichi).
Si sottolineerà che con il termine casuale o “a caso” si intende, quando il contesto in cui si
svolge l’esperimento è privo di ambiguità, l’uguale probabilità delle varie alternative.
II Fase (4 ore)
A questo punto il problema non è di arrivare a dire che un evento è più o meno probabile.
Queste espressioni sono molto vaghe. Ciò che interessa è dare una misura alla probabilità
espressa da un valore ben preciso e si introducono le diverse concezioni di probabilità:
definizione classica (rapporto tra casi favorevoli e casi possibili), frequentista (rapporto del
numero dei successi e il numero delle prove eseguite) e definizione soggettiva (il grado di
fiducia che uno ha nell’evento).
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Procedendo sempre con esempi calzanti si introdurranno i concetti di eventi compatibili e
incompatibili, dipendenti e indipendenti necessari per spiegare le leggi della probabilità
totale e della probabilità composta.
Per la legge delle probabilità totali per eventi compatibili ci serviremo del mazzo di carte.
Chiederemo loro qual è la probabilità che estraendo una carta a caso questa sia rossa o una
figura. I due eventi sono compatibili quindi la probabilità cercata è data dalla somma delle
probabilità dei due eventi meno la probabilità della loro intersezione.
Test di verifica: frequenze , tabelle (verifiche per la prima fase)
1. Fai un esempio di fenomeno collettivo precisando le unità statistiche che lo
compongono;
2. Che cosa si intende per raccolta globale e raccolta di tipo campionario;
3. Costruisci un esempio di tabella semplice;
4. Considerando gli studenti della classe prepara una tabella composta dalla quale
risulti il numero dei componenti del nucleo familiare di ciascuno e il numero delle
automobili posseduti da ogni nucleo familiare;
5. Considerando gli studenti della classe prepara una tabella a doppia entrata dalla
quale risulti la loro distribuzione secondo il numero di lettere che compongono il
nome e il cognome;
6. Che cosa intendi per frequenze relative? Considerando la tabella composta
dell’esercizio precedente, trasforma le frequenze assolute in relative.
Test di verifica (verifiche per la seconda fase)
1. Moltiplicando la media aritmetica di una distribuzione semplice per il numero dei
dati si ottiene…
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2. Quale significato viene attribuito alla media aritmetica,
3. Si può parlare di moda quando tutti i termini della distribuzione hanno uguale
frequenza?;
4. A cosa servono i diagrammi di dispersione?;
5. Considera le distribuzioni A, B e C di cui alla tabella che segue
A
41
41
41
41
41
B
12
25
68
48
44
C
0
0
34
7
52
Dopo avere costruito il diagramma di dispersione di ciascuna di esse, calcolane lo
scarto quadratico medio traendone opportune considerazioni sul grado di
variabilità.
6. Calcola lo scarto quadratico medio della seguente distribuzione:
10
14
16
20
21
Calcola quindi lo scarto quadratico medio della stessa distribuzione nel caso in cui
essa venga ponderata con le frequenze seguenti:
6
4
3
5
2
7. Tizio, che possiede un certo numero di azioni A, ha osservato che nel corso di due
settimane le stesse hanno raggiunto le seguenti quotazioni:
Prima settimana
Seconda settimana
Lunedì
980
982
Martedì
982
981
Mercoledì
981
979
Giovedì
980
983
Venerdì
984
982
Indica durante quale settimana le quotazioni hanno presentato maggiore grado di
variabilità.
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Indirizzo fisico-matematico.
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Docente: prof. O. Giambalvo
Relatori: T. Di Venti, M. Domingo, R. Guida, A. Monteleone, A. Occhipinti, C. Riccobono
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Test di verifica su eventi casuali e probabilità
1. Con riferimento a un’urna che contiene 50 palline numerate da 1 a 50 si considerino
i seguenti eventi:
E1 : estraendo due palline contemporaneamente esse mostrano il numero 10
E2 : estraendo due palline, una successivamente all’altra e rimettendo la prima
nell’urna prima della seconda estrazione, entrambe le palline mostrano il numero
10
E3 : estraendo due palline, una successivamente all’altra e non rimettendo la prima
estratta nell’urna prima della seconda estrazione, entrambe le palline mostrano il
numero 10
Dire quali fra questi eventi sono impossibili.
2. Dati gli eventi:
E1 : nel lancio di una moneta risulta testa;
E2 : nel lancio di una moneta, che si farà entro un’ora, risulta testa;
dire quale tra essi può essere pensato come evento ripetibile.
3. Dati gli eventi:
E1 : lanciando due dadi la somma dei punti realizzati è 8
E2 : lanciando due dadi la somma dei punti realizzati è pari;
E3 : lanciando due dadi la somma dei punti realizzati è dispari
Dire quali fra essi sono compatibili.
4. Lanciando una moneta per 40 volte si è presentata testa per 15 volte. Determina con
quale frequenza si è presentata testa e con quale frequenza si è presentata non testa.
5. In una stanza vi sono 10 donne e 11 uomini. Supposto che si apra la porta ed esca
una persona qual è la probabilità che si tratti di una donna?
6. La probabilità che una persona scelta a caso fra un gruppo di persone sia bionda è
0,2; quella che abbia gli occhi chiari è 0,12. calcola la probabilità che una persona
scelta a caso sia bionda e con gli chiari.
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Relatori: T. Di Venti, M. Domingo, R. Guida, A. Monteleone, A. Occhipinti, C. Riccobono
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7. Un’urna contiene 30 palline bianche, 20 rosse e 10 verdi. Calcola la probabilità che,
estraendo una pallina, essa sia bianca o rossa.
8. In un’urna sono contenuti 21 bigliettini su ciascuno dei quali è indicata una lettera
dell’alfabeto. Si estrae un bigliettino. Calcola la probabilità che esso indichi una
vocale oppure una lettera anteriore alla M.
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