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Seminario:
Matematica & Musica
Marco Costanzi
Stefano Maragnoli
2
Indice
1 Introduzione
5
2 Onde e Armoniche
2.1 Cos’è il suono? . . . . . . . . . . . .
2.2 Perché il seno è un’onda? . . . . . .
2.3 Il moto armonico . . . . . . . . . . .
2.4 Vibrazioni delle corde . . . . . . . .
2.5 Identità trigonometriche e battimenti
2.6 Sovrapposizioni . . . . . . . . . . . .
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3 Teoria di Fourier
3.1 Introduzione . . . . . . . .
3.2 Coefficienti di Fourier . .
3.3 Funzioni pari e dispari . .
3.4 Coefficienti complessi . . .
3.5 Trasformata di Fourier . .
3.6 Lo spettro . . . . . . . . .
3.7 Un cenno sulle Armoniche
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4 Il temperamento degli strumenti: viaggio tra i rapporti numerici
4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 La scala Pitagorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Il problema del trasporto nella scala Pitagorica . . . . . . . . . .
4.4 L’intonazione giusta e la scala Zarliniana . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Il temperamento equabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Qualche nota storica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 La Geometria nel mondo musicale
5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . .
5.2 Le isometrie nel piano . . . . . . .
5.3 Visualizzazione di una melodia . .
5.4 Traslazioni orizzontali . . . . . . .
5.5 Traslazioni verticali e oblique . . .
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4
INDICE
5.6
5.7
5.8
Simmetrie e riflessioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Altre trasformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Matematici e musicisti nella storia
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49
49
51
Capitolo 1
Introduzione
Lo studio di discipline molto astratte, come può essere la matematica, porta
spesso a chiedersi dov’è possibile trovare applicazioni di quanto si è studiato
e ricercato in altri campi che appaiono invece molto più pratici, o molto più
artistici, o molto più spontanei e poco rigorosi... Questo seminario vuole partire
proprio da questa curiosità, proponendo un possibile volo tra le note e le dolci
melodie accompagnati però da un rigore dal punto di vista matematico.
Inizialmente abbiamo svolto una ricerca a carattere storico, scoprendo quanto le filosofie musicali e matematiche fossero affini, in quanto espressioni della
purezza divina e dell’armonia universale. Notando dunque quanto la matematica fosse importante nella storia per lo sviluppo tecnico degli strumenti, del
suono e delle tecniche di composizione, ci siamo poi lasciati trasportare dallo
studio di grandi analisti che hanno “usato” la musica come input per ricerche
fisiche, matematiche..., basti solo pensare al grande studio iniziato da Lagrange
e completato da Fourier nel campo delle onde. Infine un rapido sguardo alla
composizione, intesa come “compimento” di alcune regole base della nota geometria euclidea, in quanto traslazioni e riflessioni delle melodie divengono per
i grandi musicisti compositori strumenti necessari per sviluppare le loro opere,
basti pensare solo alle numerosissime fughe del grande Bach.
In questi termini va dunque la nostra attenzione: nel mostrare che due “arti” cosı̀ apparentemente diverse, hanno vissuto e vivono anora oggi vicine, nella
ricerca degli appassionati dell’una nell’altra.
Per il lettore che volesse approfondire maggiormente l’argomento abbiamo
ritenuto giusto indicare, all’inizio di ogni capitolo, le fonti da noi analizzate per
la stesura del capitolo stesso.
Stefano Maragnoli
Marco Costanzi
6
Introduzione
Capitolo 2
Onde e Armoniche
( cfr. [1], cap. 3 )
( cfr. [3], capp. 1, 4 )
2.1
Cos’è il suono?
La musica, come ben sappiamo, è costituita da suoni. Una comprensione
adeguata della musica richiede dunque una comprensione elementare della natura del suono e del come lo percepiamo.
Il suono è costituito dalle vibrazioni dell’aria. Per capire correttamente il
suono, dobbiamo prima avere un’idea di cosa sia l’aria. L’aria è un gas: gli
atomi e le molecole sono legati fra loro debolmente.
Ma perché le molecole dell’aria non cadono a terra? Dopotutto, il principio
di Galileo dichiara che gli oggetti dovrebbero cadere a terra con accelerazione
uguale, indipendentemente dalla loro forma e massa. La risposta si trova nel
movimento estremamente veloce di questi atomi e molecole. La velocità media delle molecole d’aria alla temperatura ambiente e in circostanze normali è
intorno ai 450 - 500 metri al secondo.
Il percorso libero medio di una molecola d’aria è di circa 6 · 10−8 metri.
Ciò significa che in media una molecola d’aria percorre questa distanza prima
di scontrarsi con un’altra molecola d’aria. Gli scontri fra le molecole d’aria
sono perfettamente elastici. Possiamo ora calcolare la frequenza di scontro delle
molecole:
frequenza di collisione =
velocità media
≈
persorso medio prima dello scontro
≈ 1010 collisioni al secondo.
Cosı̀ abbiamo una chiara idea del perché le molecole d’aria non cadono a
terra: le molecole percorrono distanze piccolissime e si scontrano in tempi brevissimi, pertanto rimbalzano e non cadono. L’effetto della gravità è osservabile
8
Onde e Armoniche
come fenomeno di variazione di pressione, cosı̀ se noi andiamo ad alte quote, la
pressione è lievemente più bassa.
Cosı̀ l’aria consiste in un largo numero di molecole che continuano a scontrarsi, le quali vengono recepite sotto forma di pressione. Quando un oggetto
vibra, produce delle onde di incremento e decremento di pressione. Queste onde
sono percepite nell’aria come suono.
Il suono attraversa l’aria a circa 340 metri al secondo. Ciò non significa che la
singola molecola d’aria si sta muovendo nel senso dell’onda a questa velocità, ma
piuttosto che la dispersione locale della pressione si propaga a questa velocità.
Ciò è simile a quello che accade sulla superficie del mare quando un’onda si
muove; nessuna zona d’acqua si muove con l’onda, ma sulla superficie del mare
osserviamo la dispersione delle propagazioni del disturbo.
C’è una grande differenza fra le onde sonore e quelle dell’acqua: nel caso
delle onde dell’acqua, i movimenti locali che coinvolgono l’onda sono verticali,
ossia perpendicolari al senso della propagazione dell’onda: tali onde sono denominate onde trasversali. Anche le onde elettromagnetiche sono trasversali.
Nel caso del suono, i movimenti dell’onda avvengono nella stessa direzione della
propagazione. Le onde con questa proprietà sono denominate onde longitudinali.
Le onde sonore hanno quattro attributi principali che possono essere percepiti.
- ampiezza dell’onda: rappresenta l’estensione della vibrazione che viene
percepita come intensità. L’ampiezza di un suono è molto piccola nei
termini di spostamento fisico, solitamente soltanto una piccola frazione di
millimetro.
- altezza, che viene pensata come corrispondente della frequenza della vibrazione.
- timbro, che corrisponde alla figura dello spettro di frequenza del suono.
- durata, ossia la lunghezza temporale per cui la nota suona.
Queste nozioni devono però essere modificate per un certo numero di motivi.
Il primo è che la maggior parte delle vibrazioni non consistono di una singola
frequenza, e definirne la frequenza può essere molto difficile. Il secondo motivo
della scelta relativa a questi attributi è fisica: il suono viene classificato nei
termini della percezione del suono e non nei termini del suono in sé. Cosı̀,
per esempio, l’altezza percepita di un suono può rappresentare una frequenza
2.2 Perché il seno è un’onda?
9
non realmente presente nella forma d’onda1 . Questo fenomeno è denominato
“mancanza della fondamentale”, e viene studiato in psico-acustica.
Attributi del suono:
Fisico
Ampiezza
Frequenza
Spettro
Durata
2.2
Percettivo
Intensità
Altezza
Timbro
Durata
Perché il seno è un’onda?
Che legame sussiste tra le onde di seno e la discussione sulla percezione del
suono? Potremmo fare la stessa discussione usando una certa altra famiglia di
onde periodiche; ma queste oscillano in un senso simile? La risposta si trova
nella soluzione dell’equazione differenziale del moto armonico semplice:
d2 y
= −ky
dt2
(2.1)
le cui soluzioni sono le funzioni:
y = A cos
o equivalentemente:
√
√
kt + B sin kt
√
y = c sin( kt + φ)
L’equazione differenziale rappresenta cosa accade quando un corpo è soggetto
ad una forza diretta verso una posizione di equilibrio: la grandezza della forza
è proporzionale alla distanza dall’equilibrio.
Nel caso dell’orecchio umano, l’equazione differenziale (2.1) può essere presa
come approssimazione dell’equazione di movimento di un punto particolare sulla
membrana basilare, o in altro luogo lungo il canale di trasmissione tra l’aria
esterna e la coclea. Ma se volessimo essere precisi, essa risulta inesatta in
diversi casi. . . Prima di tutto dovremmo studiare un’equazione differenziale di
secondo ordine a derivate parziali che descrive il movimento della superficie della
membrana. Ciò non è realmente ricavabile dai risultati dell’analisi per spiegare
le origini del k costante. La seconda inesattezza su cui dovremmo riflettere sta
nel movimento che avviene: esso è armonico smorzato forzato, e vi compare un
termine proporzionale alla velocità, il quale deriva dalla viscosità del liquido o
1 Basti pensare all’effetto Doppler che si avverte quando un’ambulanza, con la sirena in
azione, si allontana
10
Onde e Armoniche
del gas e dal fatto che la membrana non è perfettamente elastica. Si osserva
comunque che il movimento del moto armonico smorzato forzato è sinusoidale,
ma contiene una rapida componente attenuatrice.
Per concludere, la maggior parte delle note musicali non consistono di una
singola onda di seno. Per esempio, se una corda viene fatta vibrare, risulterà
un’onda periodica, ma l’onda risultante consisterà in una somma di onde di
seno con le varie ampiezze. Cosı̀ ci saranno picchi di diversa ampiezza della
vibrazione della membrana basilare e un segnale più complesso trasmesso al
cervello. La decomposizione di un’onda periodica come somma delle onde di
seno è denominata analisi di Fourier, di cui parleremo in seguito.
2.3
Il moto armonico
Consideriamo una particella di massa m, soggetta ad una forza F diretta verso
la posizione di equilibrio (y = 0) e la cui intensità è proporzionale alla distanza
y dalla posizione di equilibrio,
F = −ky
in cui k è la costante di proporzionalità. Le leggi di Newton ci forniscono
l’equazione
F = ma
dove
d2 y
dt2
è l’accelerazione della particella e t rappresenta il tempo. Unendo queste equazioni,
otteniamo l’equazione differenziale di secondo grado:
a=
m·
d2 y
+ ky = 0
dt2
2.4 Vibrazioni delle corde
11
o, equivalentemente,
d2 y ky
+
=0
(2.2)
dt2
m
Se scriviamo ÿ al posto della derivata seconda di y, l’equazione diventa:
ÿ +
ky
=0
m
Le soluzioni di questa equazione sono le funzioni:
r
r
k
k
t) + B sin(
t)
y = A cos(
m
m
(2.3)
Il fatto che queste sono le soluzioni di questa equazione differenziale è la spiegazione del perché l’onda di seno, e non altre onde periodicamente oscillanti, è alla base dell’analisi armonica delle onde periodiche. Questa è l’equazione differenziale che governa il movimento di qualsiasi punto particolare sulla membrana
basilare nella coclea e quindi governante la percezione umana del suono.
2.4
Vibrazioni delle corde
Consideriamo la vibrazione di una corda, fissata ad entrambe le estremità. Supponiamo prima che la corda abbia un peso fissato alla metà di essa, in modo
che la massa m del peso sia molto più grande della massa della corda. Allora
la corda impiega una forza F sul peso, verso la posizione di equilibrio, la cui
grandezza è proporzionale alla distanza y dalla posizione di equilibrio,
F = −ky
dunque otteniamo, dal paragrafo precedente, l’equazione differenziale:
d2 y ky
+
=0
dt2
m
dove le soluzioni sono le funzioni
r
y = A cos(
r
k
k
t) + B sin(
t)
m
m
dove le costanti A e B sono determinate dalle posizioni iniziali e dalla velocità
iniziale della corda.
Se la massa della corda è distribuita uniformemente, allora sono possibili più
modelli per le corde vibranti. Per esempio, il punto mediano della corda può
rimanere stazionario mentre le due metà vibrano con le fasi opposte. Su una
chitarra, questo può essere realizzato premendo il punto mediano della corda,
rilasciandolo poi subito. L’effetto sarà esattamente un suono di un’ottava sopra
rispetto a quello naturale della corda, ossia esattamente pari a due volte la
frequenza a corda libera. L’uso delle armoniche in questo senso è un dispositivo
12
Onde e Armoniche
comune fra i chitarristi. Se ogni metà sta vibrando con un’onda pura di seno
allora il movimento di un punto diverso dal punto mediano sarà descritto dalla
funzione
r
r
k
k
y = A cos(2
t) + B sin(2
t)
m
m
Se un punto è fissato esattamente ad un terzo della lunghezza della corda
da un’estremità e la corda viene pizzicata, l’effetto sarà un suono di un’ottava e
una quinta perfetta sopra rispetto a quello naturale della corda, esattamente tre
volte la frequenza. Pertanto, con il ragionamento descritto sopra, otteniamo:
r
r
k
k
t) + B sin(3
t)
y = A cos(3
m
m
In generale, una corda pizzicata vibrerà con una miscela di tutti i modi descritti dai multipli della frequenza naturale, con le varie ampiezze. Le ampiezze
in questione dipendono dal modo in cui la corda è pizzicata o colpita. Per esempio, una corda colpita da un martelletto, come accade in un pianoforte, avrà
un insieme diverso di ampiezze d’onda che nel caso la stessa fosse pizzicata.
L’equazione generale di movimento di un punto sulla corda sarà:
r
r
∞
X
k
k
y=
(An cos(n
t) + Bn sin(n
t))
(2.4)
m
m
n=1
Ciò ci lascia con un problema: come può una corda vibrare con un numero
di frequenze diverse allo stesso tempo? Ciò forma l’argomento della teoria della
serie di Fourier e dell’equazione delle onde. Prima di trattare le serie di Fourier,
dobbiamo capire le “onde di seno” e come interagiscono tra loro.
2.5
Identità trigonometriche e battimenti
Poiché gli angoli in matematica sono misurati in radianti e ci sono 2π radianti
in un ciclo, un’onda di seno con frequenza ν misurata in Hertz, ampiezza c e di
fase φ corrisponderà ad un’onda di seno della forma:
c sin(2πνt + φ)
(2.5)
La quantità ω = 2πν è chiamata velocità angolare. Il significato dell’angolo φ è
di mostrare dove l’onda di seno attraversa l’asse temporale. Un’onda in coseno
è collegata con un’onda di seno dall’equazione cos x = sin(x + π2 ), cosı̀ un’onda
in coseno ha una fase diversa. Per esempio, il temperamento moderno dispone
la nota la sopra il do centrale a 440 Hz, cosı̀ questo può essere rappresentato da
un’onda della forma
c sin(880πt + φ)
e questo può essere convertito in combinazione lineare di seni e coseni usando
le formule standard per il seno ed il coseno di una somma:
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
(2.6)
2.5 Identità trigonometriche e battimenti
13
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
(2.7)
cosı̀ abbiamo
c sin(ωt + φ) = a cos(ωt) + b sin(ωt)
dove
a = c sin φ
Per contro, dati a, b, c e φ, abbiamo:
p
c = a2 + b 2
b = c cos φ
tan φ =
a
b
Che cosa accade quando due onde pure di coseno o di seno vengono suonate
contemporaneamente? Per esempio, perché quando due note molto vicine sono
suonate simultaneamente, noi sentiamo un “battimento 2 ”? Poiché questo è il
metodo per accordare le corde di un pianoforte, è importante capire le origini
di questi “battimenti”.
La risposta a questo problema si trova nelle identità trigonometriche (2.6) e
(2.7). Da sin(−β) = − sin β e da cos(−β) = cos β, sostituendo β con -β nelle
equazioni (2.6) e (2.7) otteniamo:
sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β
(2.8)
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β
(2.9)
Sommando le equazioni (2.6) e (2.8)
sin(α + β) + sin(α − β) = 2 sin α cos β
(2.10)
che può essere riscritto come:
sin α cos β =
1
(sin(α + β) + sin(α − β))
2
(2.11)
Similmente, operando membro a membro nelle equazioni (2.7) e (2.9) si ottiene:
cos(α + β) + cos(α − β) = 2 cos α cos β
(2.12)
cos(α − β) − cos(α + β) = 2 sin α sin β
(2.13)
o anche
1
(cos(α + β) + cos(α − β))
(2.14)
2
1
(2.15)
sin α sin β = (cos(α − β) − cos(α + β))
2
Questo ci permette di scrivere i prodotti di seni e coseni come somma o
differenza di seni e coseni3 .
cos α cos β =
2 Battimento
= alternativo aumentare e diminuire dell’ampiezza di oscillazioni acustiche,
dovuto alla sovrapposizione di due onde di frequenze vicine.
3 Tali formule sono chiamate Formule di Werner. La loro denominazione è dovuta a Johannes Werner (1468-1528), che le utilizzò per semplificare calcoli astronomici; si sa tuttavia
che esse erano già note ben tre secoli prima ai matematici arabi
14
Onde e Armoniche
In realtà siamo interessati a realizzare il processo opposto. Cosı̀ abbiamo
imposto: u = α + β e v = α − β. Risolvendo per α e β, questo dà α = 21 (u + v)
e β = 12 (u − v). Sostituendo nelle equazioni (2.11), (2.12) e (2.13), otteniamo:
1
1
sin u + sin v = 2 sin (u + v) cos (u − v)
2
2
(2.16)
1
1
cos u + cos v = 2 cos (u + v) cos (u − v)
(2.17)
2
2
1
1
cos u − cos v = −2 sin (u + v) sin (u − v)
(2.18)
2
2
Questo ci permette di scrivere qualsiasi somma o differenza di seni e coseni
come prodotto di seni e coseni4 .
Per esempio, supponiamo che un accordatore abbia accordato una delle tre corde
che corrispondono alla nota la sopra il do centrale a 440 Hertz. La seconda
corda è ancora fuori tono, in modo che risuona a 436 Hertz. La terza deve
essere smorzata in modo da non interferire con la sintonizzazione della seconda.
Ignorando la fase e l’ampiezza per un momento, le prime due corde suoneranno
insieme come sin(880πt) + sin(872πt)
Usando l’equazione (2.16), possiamo riscrivere questa somma come:
2 sin(876πt) cos(4πt)
4 Queste
ultime formule sono invece dette di “prostaferesi”, parola di origine incerta, ma
molto probabilmente derivata dal greco, ove, tra altri significati, può anche significare “somma
e sottrazione”
2.6 Sovrapposizioni
15
Ciò significa che percepiamo la combinazione degli effetti come onda di seno
con frequenza 438 Hertz, la media delle frequenze delle due corde, ma con
l’ampiezza modulata da un’onda di coseno di frequenza 2 Hz, o metà della
differenza fra le frequenze delle due corde. Questa modulazione viene concepita come battimento. L’ampiezza dell’onda di modulazione di coseno ha due
picchi per ciclo, cosı̀ il numero di battimenti al secondo sarà quattro, non due.
Dunque il numero di battimenti al secondo è esattamente la differenza fra le due
frequenze. L’accordatore sintonizza la seconda corda alla prima “lavorando” sui
battimenti, vale a dire registrando la corda cosı̀ che i battimenti ritardino fino
a fermarsi.
Se desideriamo includere i termini di fase e ampiezza, scriviamo
c sin(880πt + φ) + c sin(872πt + φ0 )
dove gli angoli φ e φ’ rappresentano le fasi delle due corde. Da ciò si ottiene
1
1
2c sin(876πt + (φ + φ0 )) cos(4πt + (φ − φ0 ))
2
2
cosı̀ questa equazione può essere usata per capire qual è il rapporto fra la fase
dei battimenti e le fasi dell’onda sinusoidale originale. Se le ampiezze sono molto
diverse, allora i battimenti non saranno cosı̀ pronunciati perché la parte della
nota più forte è preponderante.
2.6
Sovrapposizioni
Sovrapporre due suoni corrisponde a sommare le funzioni corrispondenti dell’onda. Ciò fa parte del concetto di linearità. In generale, un sistema è lineare
se due condizioni sono soddisfatte. La prima, la sovrapposizione, ossia la somma
di due segnali in ingresso indipendenti simultanei deve produrre la somma delle
due uscite. La seconda condizione, l’omogeneità, ossia un’amplificazione del livello di input di un fattore costante dovrebbe moltiplicare il livello dell’uscita per
lo stesso fattore costante. In simboli
se u, v sono soluzioni u + v è soluzione
se w è soluzione
kw è soluzione, k ∈ R
In generale, cioè, se u e v sono soluzioni, anche αu + βv lo è. (α, β ∈ R)
La sovrapposizione di movimenti armonici della stessa frequenza funziona
come segue. Due movimenti armonici semplici con la stessa frequenza, ma con
ampiezze e fasi diverse, sovrapponendosi danno un altro movimento armonico
semplice con la stessa frequenza. Vediamo che c’è un metodo grafico facile per
trasportare questo nella pratica.
16
Onde e Armoniche
Consideriamo un’onda in seno della forma c sin(ωt + φ) dove ω = 2πν. Essa
può essere considerata come la componente verticale di un movimento circolare
della forma
x = c cos(ωt + φ)
y = c sin(ωt + φ)
2
Da cos2 (θ) + sin (θ) = 1, quadrando e sommando queste equazioni si dimostra che il punto (x; y) si trova sul cerchio
x2 + y 2 = c2
con il raggio c, centrato all’origine. Al variare di t, il punto (x; y) percorre il
cerchio in senso antiorario e compie ν giri in ogni secondo: ν misura il numero
di cicli al secondo intorno all’origine e ω sta misurando la velocità angolare in
radianti al secondo. La fase φ è l’angolo, misurato in senso antiorario dall’asse
positivo x, sotteso dal raggio congiungente il punto (x; y) con l’asse x, quando
t = 0.
Ora supponiamo che siano date due onde di seno della stessa frequenza, ad
esempio c1 sin(ωt + φ1 ) e c2 sin(ωt + φ2 ). I vettori corrispondenti a t = 0 sono:
(x1 ; y1 ) = (c1 cos φ1 ; c1 sin φ1 )
(x2 ; y2 ) = (c2 cos φ2 ; c2 sin φ2 )
2.6 Sovrapposizioni
17
Per sovrapporre queste onde di seno, sommiamo semplicemente questi vettori:
(x; y) = (c1 cos φ1 + c2 cos φ2 ; c1 sin φ1 + c2 sin φ2 ) = (c cos φ; c sin φ)
Disegnamo una coppia di segmenti che vanno da (0; 0) a (x1 ; y1 ) e da (0; 0)
a (x2 ; y2 ) e consideriamo tali segmenti come vettori. Facendo la loro somma
vettoriale otteniamo un parallelogramma. L’ampiezza c della risultante della
somma è la lunghezza della linea diagonale disegnata dall’origine al punto (x; y)
del parallelogramma formato in questo modo. L’angolo φ è l’angolo sotteso da
questa linea, misurato come di consueto in senso antiorario dall’asse delle x.
18
Onde e Armoniche
Capitolo 3
Teoria di Fourier
( cfr. [3], capp. 2, 4 )
3.1
Introduzione
Come può vibrare una corda con un numero di frequenze diverse allo stesso tempo? Questo problema ha occupato le menti di molti matematici e musicisti del
diciassettesimo e diciottesimo secolo. Fra le persone il cui lavoro ha contribuito
alla soluzione di questo problema vi sono Marin Mersenne, Daniel Bernoulli,
la famiglia di Bach, Jean-le-Rond d’Alembert, Leonhard Euler e Jean Baptiste
Joseph Fourier. In questo capitolo discutiamo la teoria di Fourier dell’analisi armonica, ossia la decomposizione di un’onda periodica nella somma (solitamente
infinita) di seni e coseni. Le frequenze in questione sono i multipli interi della
frequenza fondamentale dell’onda periodica, e ciascuno ha un’ampiezza che può
essere determinata come integrale.
3.2
Coefficienti di Fourier
Fourier ha introdotto l’idea che le funzioni periodiche possono essere analizzate
usando la serie trigonometrica come segue. Le funzioni cos(θ) e sin(θ) sono
periodiche, con periodo 2π, nel senso che soddisfano:
cos(θ + 2π) = cos(θ)
sin(θ + 2π) = sin(θ)
In altre parole, traslare di 2π lungo l’asse θ lascia queste funzioni invariate. Ci
sono molte altre funzioni f (θ) che sono periodiche di periodo 2π, nel senso che
soddisfano l’equazione
f (θ + 2π) = f (θ)
Dobbiamo soltanto specificare la funzione f su metà-intervallo aperto [0; 2π) ed
20
Teoria di Fourier
allora la suddetta equazione determina il valore di tutti gli altri valori di θ.
Altri esempi di tali funzioni sono le funzioni costanti ed il cos(nθ) ed il sin(nθ)
di funzioni per ogni intero positivo n. Per valori negativi di n, abbiamo:
cos(−nθ) = cos(nθ)
sin(−nθ) = − sin(nθ)
Più generalmente, possiamo scrivere qualsiasi serie nella forma:
f (θ) =
∞
X
1
a0 +
(an cos(nθ) + bn sin(nθ))
2
n=1
(3.1)
Qui, 12 a0 è solo una costante; la ragione di 1/2 sarà spiegata successivamente.
Tali serie vengono chiamate serie trigonometriche. A condizione che non ci siano
problemi di convergenza, ogni serie sarà definita da una funzione che soddisfa:
f (θ + 2π) = f (θ)
La domanda che si pone naturale ora è: in che misura possiamo estendere la
serie trigonometrica la cui somma è uguale ad una data funzione periodica? Per
iniziare a rispondere a questo problema, prima ci chiediamo: data una funzione
definita da una serie trigonometrica, come possiamo calcolare i coefficienti an ,
bn ? La risposta si trova nelle formule (per m ≥ 0 e n ≥ 0)
Z 2π
cos(mθ) sin(nθ) dθ = 0
(3.2)
0
Z
0
2π

 2π
cos(mθ) cos(nθ) dθ =
π

0
se m = n = 0
se m = n > 0
altrimenti
(3.3)
3.2 Coefficienti di Fourier
Z
21
2π
sin(mθ) sin(nθ) dθ =
0
π
0
se m = n > 0
altrimenti
(3.4)
Queste equazioni possono essere dimostrate usando le equazioni (2.11) - (2.15):
basta riscrivere il prodotto delle funzioni trigonometriche all’interno dell’integrale come somma di funzioni trigonometriche ed eseguire poi l’integrazione. Il
fattore supplementare di 2π dentro (3.3) per m = n = 0 spiegherà il fattore di
1
2 nella parte anteriore di a0 dentro (3.1). Ciò suggerisce l’ordine per cercare i
coefficienti am : moltiplichiamo f (θ) per cos(mθ) ed integriamo. Vediamo che
cosa accade quando applichiamo questo processo all’equazione (3.1). Passiamo
dall’integrale ad una somma infinita, dove solo un termine dà un contributo
diverso da zero. Cosı̀ per m > 0 abbiamo:
Z
2π
cos(mθ)f (θ) dθ =
0
=
Z
2π
0
1
a0
2
Z
0
2π
cos(mθ) dθ+
∞
1
X
(an cos(nθ) + bn sin(nθ)) dθ =
cos(mθ) a0 +
2
n=1
∞ X
an
n=1
Z
2π
cos(mθ) cos(nθ) dθ+bn
0
Z
2π
cos(mθ) sin(nθ) dθ
0
= πam
Da questo otteniamo, per m > 0,
am =
1
π
Z
2π
cos(mθ)f (θ) dθ
(3.5)
0
Un teorema di analisi dice che se la somma converge assolutamente (cioè se
la somma dei valori assoluti converge), allora l’integrale può essere scritto come
somma infinita in questo modo. Nelle stesse circostanze, verifichiamo per m > 0
Z
1 2π
bm =
sin(mθ)f (θ) dθ
(3.6)
π 0
Le funzioni am e bm ricavate dalle equazioni (3.5) e (3.6) sono denominate
coefficienti di Fourier della funzione f (θ). Possiamo ora spiegare il perché di 12
come coefficiente di a0 nell’equazione (3.1). Vale a dire, poiché π è metà di 2π
e cos(0θ) = 1 abbiamo
a0 =
1
π
Z
2π
cos(0θ)f (θ) dθ
(3.7)
0
significa che la formula (3.5) per i coefficienti am vale per tutti gli m ≥ 0.
Sarebbe bello pensare che quando usiamo le equazioni (3.5), (3.6) e (3.7)
per definire am e bm , l’equazione (3.1) converga sempre a f (θ). Ciò è vero per
alcune funzioni f , ma purtroppo, non per tutte.
22
Teoria di Fourier
Ora, qualsiasi intervallo di lunghezza 2π rappresenta un periodo completo,
e può essere usato preferibilmente per l’integrazione da 0 a 2π. È a volte più
conveniente, per esempio, integrare da −π a π:
Z
1 π
cos(mθ)f (θ) dθ
am =
π −π
bm =
Z
1
π
π
sin(mθ)f (θ) dθ
−π
Nella pratica, la variabile θ non corrisponderà al tempo, perché il periodo
non è necessariamente 2π secondi . Se la frequenza fondamentale (il reciproco
del periodo) è ν allora la sostituzione corretta è θ = 2πνt. Imponendo F (t) =
f (2πνt) = f (θ) e sostituendo, otteniamo una serie di Fourier della forma
F (t) =
∞
X
1
a0 +
(an cos(2nπνt) + bn sin(2nπνt)),
2
n=0
e seguono le formule per i coefficienti di Fourier
am = 2ν
Z
1
ν
cos(2mπνt)F (t) dt
(3.8)
sin(2mπνt)F (t) dt
(3.9)
0
bm = 2ν
Z
1
ν
0
Esempio: Coefficienti di Fourier per l’onda quadra
3.3 Funzioni pari e dispari
23
I coefficienti di Fourier sono:
Dunque, la serie di Fourier per l’onda quadra risulta essere:
F (t) =
3.3
4
1
1
(sin(θ) + sin(3θ) + sin(5θ) + ...)
π
3
5
(3.10)
Funzioni pari e dispari
Una funzione f (θ) si dice pari se f (−θ) = f (θ), e si dice dispari se f (−θ) =
−f (θ). Per esempio, cos θ è pari, mentre sin θ è dispari. Ma molte funzioni non
sono né pari, né dispari. Se una funzione è sia pari che dispari, allora questa è
la funzione costante nulla, poiché verifica f (θ) = f (−θ) = −f (θ).
Data ogni funzione f (θ), possiamo ottenere una funzione pari, prendendo la
media di f (θ) e f (−θ) : 12 (f (θ) + f (−θ)). Analogamente 12 (f (θ) − f (−θ)), è
una funzione dispari. Queste somme producono la funzione originale f (θ), cosı̀
siamo riusciti a scrivere f (θ) come somma della sua parte pari con la sua parte
dispari
f (θ) =
f (θ) + f (−θ) f (θ) − f (−θ)
+
2
2
Per vedere che questo è l’unico modo per scrivere la funzione come somma
di una funzione pari e una funzione dispari, supponiamo che siano date 2 espressioni f (θ) = g1 (θ) + h1 (θ) e f (θ) = g2 (θ) + h2 (θ) con g1 e g2 pari e h1 e h2
24
Teoria di Fourier
dispari. Riscrivendo g1 + h1 = g2 + h2 , otteniamo g1 − g2 = h2 − h1 . La parte
di sinistra è pari e la parte di destra è dispari, in modo che il loro valore è sia
pari che dispari e quindi nullo. Ciò significa che g1 = g2 e h1 = h2 .
Moltiplicazioni di funzioni pari e dispari danno il seguente risultato:
- moltiplicazioni di funzioni pari per un numero pari di volte, o moltiplicazioni di funzioni dispari per un numero dispari di volte, danno una
funzione pari
- moltiplicazioni di funzioni pari per un numero dispari di volte, o moltiplicazioni di funzioni dispari per un numero pari di volte, danno una funzione
dispari
Ora per ogni f (θ) dispari e per qualsiasi a > 0, abbiamo
Z
0
−a
f (θ) dθ = −
Z
a
f (θ) dθ
0
cosı̀
Z
a
f (θ) dθ = 0.
−a
Cosı̀ per esempio, se f (θ) è pari con periodo 2π, allora sin(mθ)f (θ) è dispari
e cosı̀ i coefficienti di Fourier bm sono nulli poiché
bm =
1
π
Z
2π
sin(mθ)f (θ) dθ =
0
1
π
Z
π
sin(mθ)f (θ) dθ = 0.
−π
Analogamente, se f (θ) è dispari, con periodo 2π, allora cos(mθ)f (θ) è dispari
e cosı̀ i coefficienti di Fourier am sono nulli in quanto
am
1
=
π
Z
0
2π
1
cos(mθ)f (θ) dθ =
π
Z
π
cos(mθ)f (θ) dθ = 0.
−π
Ciò spiega, per esempio, perché am = 0 nell’esempio precedente. L’onda
quadrata non è una funzione sufficientemente uniforme, perché f (π) 6= f (−π),
ma cambiando il valore della funzione in un insieme finito di punti nell’intervallo
di integrazione, non cambia il valore stesso, in modo che possiamo sostituire f (π)
ed f (−π) con zero.
C’è una spiegazione simile per bm = 0 nello stesso esempio, usando una
simmetria diversa. La discussione sulle funzioni pari e dispari dipendeva dalla
simmetria θ 7→ −θ di ordine due. Per le funzioni periodiche di periodo 2π, c’è
un’altra simmetria di ordine due, vale a dire θ 7→ θ + π. Le funzioni f (θ) che
soddisfano f (θ + π) = f (θ) sono funzioni simmetriche mezzo-periodiche, mentre
le funzioni che soddisfano f (θ + π) = −f (θ) sono funzioni antisimmetriche
mezzo-periodiche. Tutte le funzioni f (θ) possono essere decomposte nelle parti
simmetriche ed antisimmetriche di mezzo periodo:
3.4 Coefficienti complessi
f (θ) =
25
f (θ) + f (θ + π) f (θ) − f (θ + π)
+
2
2
Moltiplicando funzioni simmetriche ed antisimmetriche di mezzo periodo si
ottengono ancora funzioni di questi due tipi, nello stesso modo descritto per le
funzioni pari e dispari.
Se f (θ) è una funzione mezzo-periodica antisimmetrica, allora
Z 2π
Z π
f (θ) dθ = −
f (θ) dθ
π
0
cosı̀
Z
2π
f (θ) dθ = 0.
0
Ora le funzioni sin(mθ) e cos(mθ) sono entrambe mezzo-periodiche simmetriche se m è pari, e mezzo-periodiche antisimmetriche se m è dispari. Cosı̀
deduciamo che se f (θ) è mezzo periodica simmetrica, f (θ + π) = f (θ), allora i
coefficienti di Fourier con indici dispari (a2m+1 e b2m+1 ) sono nulli; mentre se
f (θ) è mezzo periodica antisimmetrica, f (θ + π) = −f (θ), allora i coefficienti di
Fourier ad indice pari (a2m e b2m ) sono nulli (questo si ottiene anche per a0 !).
Ciò corrisponde al fatto che la simmetria di mezzo periodo è realmente la stessa
cosa della periodica con la metà di periodo, in modo che le componenti della
frequenza devono essere multipli pari della frequenza base; invece le funzioni
antisimmetriche di mezzo periodo hanno soltanto componenti di frequenza di
multipli dispari della frequenza base. Nell’esempio dell’onda quadra, la funzione
è mezzo-periodica antisimmetrica, infatti i coefficienti a2m e b2m sono zero.
3.4
Coefficienti complessi
La teoria delle serie di Fourier è considerevolmente semplificata con l’introduzione degli esponenziali complessi. Sapendo le relazioni
eiθ = cos θ + i sin θ
cos θ =
eiθ + e−iθ
2
sin θ =
eiθ − e−iθ
2i
e−iθ = cos θ − i sin θ
si ottiene che l’equazione (3.1) può essere riscritta come
f (θ) =
∞
X
αn einθ
(3.11)
n=−∞
dove α0 = 12 a0 , e per m > 0, αm = 12 am +
1
2i bm
e α−m = 12 am −
1
2i bm .
26
Teoria di Fourier
Analogamente, data una serie nella forma (3.11), possiamo ricostruire la
serie (3.1) usando a0 = 2α0 , am = αm + α−m , e bm = i(αm − α−m ), per m > 0.
Le equazioni (3.2) e (3.4) possono essere riscritte nella singola equazione
Z 2π
2π se m = −n
eimθ einθ dθ =
0 se m 6= −n
0
e le equazioni (3.5) e (3.7) possono esser riscritte come
αm =
3.5
1
2π
Z
2π
e−imθ f (θ) dθ.
(3.12)
0
Trasformata di Fourier
La teoria della serie di Fourier, come descritta precedentemente, decompone le
forme d’onda periodiche in somme infinite di seni e coseni, o equivalentemente
in funzioni esponenziali complesse della forma eint . È spesso desiderabile analizzare le funzioni non periodiche in un senso simile. Ciò conduce alla trasformata
di Fourier. Questa teoria è basata fortemente sulle condizioni della teoria della
serie di Fourier. In particolare, senza l’introduzione delle funzioni generalizzate
o delle distribuzioni, la teoria descrive soltanto le funzioni che tendono a zero
per i grandi valori positivi o negativi del tempo t. Questo è importante in una
prospettiva musicale: i suoni reali non sono realmente periodici, poiché le funzioni periodiche non hanno punto di partenza e punto finale. Inoltre, noi non
vogliamo un’analisi di frequenza, per esempio, di un’intera orchestra, perché
la risposta sarebbe dominata dalle informazioni a bassa frequenza sensibili alla
fase. Vorremmo però sapere in ciascun istante qual è lo spettro di frequenza del
suono e tracciare questo spettro di frequenza su un’asse temporale.
Osserviamo che non ha significato chiedere lo spettro di frequenza istantanea
di un suono, perché non abbiamo abbastanza informazioni: dobbiamo conoscere
la forma d’onda per un intervallo di tempo intorno ad ogni punto ed analizzarla.
I piccoli intervalli di tempo forniscono le informazioni che sono localizzate in un
tempo breve, ma le componenti di frequenza sono disposte anche al di fuori
dello spettro. I grandi intevalli di tempo forniscono le informazioni in cui le
componenti di frequenza sono descritte più esattamente, ma disperse in maniera
maggiore lungo l’asse temporale. Questa limitazione è inerente al processo e
non ha niente a che fare con quanto la forma d’onda è misurata esattamente:
assomiglia al principio d’indeterminazione di Heisenberg.
Se f (t) è una funzione reale o complessa di una variabile reale t, allora la
sua Trasformata di Fourier fˆ(ν) è la funzione nella variabile reale ν definita da
Z ∞
ˆ
f (ν) =
f (t)e−2πiνt dt.
(3.13)
−∞
L’esistenza della trasformata di Fourier per una funzione presuppone la convergenza del suddetto integrale e questa già mette le limitazioni sulla funzione
f (t). Una condizione ragionevole che accerta la convergenza è la seguente. Una
3.5 Trasformata di Fourier
27
R∞
funzione f (t) si dice L1 , o assolutamente integrabile in (−∞, ∞) se −∞ |f (t)| dt
converge.
In particolare, questo forza che f (t) tenda a zero per |t| → ∞ (tranne su un
insieme di misura nulla, che può essere ignorato).
Calcolare la trasformata di Fourier per una funzione è di solito difficile. Per
2
esempio calcoliamo la trasformata di Fourier di e−πt .
2
2
Teorema 1 La trasformata di Fourier di e−πt è e−πν .
2
Dimostrazione: Poniamo f (t) = e−πt . Allora
Z ∞
2
e−πt e−2πiνt dt.
fˆ(ν) =
−∞
Z
=
∞
2
e−π(t
+2iνt)
dt.
−∞
=
Z
∞
e−π((t+iν)
2
+ν 2 )
dt.
−∞
Sostituiamo x = t + iν, dx = dt, otteniamo
Z ∞
2
2
fˆ(ν) =
e−π(x +ν ) dx.
(3.14)
−∞
Da questa forma dell’integrale otteniamo evidentemente che fˆ(ν) è positiva
e reale, ma non è chiaro come valutare l’integrale. Ma può essere valutato
usando un trucco. Il trucco consiste nell’elevare al quadrato entrambi i membri
e considerare il membro destro come un doppio integrale.
Z ∞
Z ∞
2
2
2
−π(x2 +ν 2 )
ˆ
f (ν) =
e
dx
e−π(y +ν ) dy
−∞
=
Z
∞
−∞
−∞
Z
∞
e−π(x
2
+y 2 +2ν 2 )
dx dy
−∞
Ora convertiamo questo integrale doppio in (x; y) in coordinate polari (r; θ).
Ricordiamo che l’area in coordinate polari è rdrdθ, abbiamo
fˆ(ν)2 =
Z
0
2πZ ∞
e−π(r
2
+2ν 2 )
r dr dθ.
0
Possiamo realizzare facilmente l’integrazione rispetto a θ, poiché la parte
integranda è costante rispetto a θ. Ed allora l’altro integrale può essere estratto
esplicitamente:
28
Teoria di Fourier
fˆ(ν)2 =
Z
∞
2πre−π(r
2
+2ν 2 )
dr
0
h
i∞
2
2
= − e−π(r +2ν )
0
2
= e−2πν .
Per concludere, poiché l’equazione (3.14) mostra che la fˆ(ν) è positiva,
ˆ = e−πν 2 come volevasi dimostrare.
prendiamo la radice f (ν)
Ne segue la formula della trasformata di Fourier per la derivata di una
funzione.
Teorema 2 La trasformata di Fourier di f 0 (t) è 2πiν fˆ(ν).
Dimostrazione: Integriamo per parti e abbiamo
Z ∞
Z ∞
f 0 (t)e−2πiνt dt = [f (t)e−2πiνt ]∞
−
f (t)(−2πiν)e−2πiνt dt
−∞
−∞
−∞
= 0 + 2πiν fˆ(ν).
Come volevasi dimostrare.
La formula inversa è la seguente:
Teorema 3 Sia f (t) C 1 a tratti e inoltre L1 . Allora nei punti dove f (t) è
continua, il suo valore è dato dall’inversa della trasformata di Fourier
Z ∞
fˆ(ν)e2πiνt dν.
(3.15)
f (t) =
−∞
(si noti il segno diverso dell’esponente dall’equazione precedente . . . )
Come nel caso della serie di Fourier, non è vero che le funzioni continue a tratti
e L1 soddisfano le conclusioni di suddetto teorema. Ma un dispositivo analogo
detto sommatoria di Cesàro viene usato in questi casi. Si cerca cioè di avere
una media delle prime n somme per introdurre un fattore 1 − |ν|/R dentro
l’integrale definito nell’inversa della trasformata di Fourier, prima di prendere i
valori principali.
Teorema 4 Sia f (t) una funzione L1 e continua a tratti. Nei punti dove f (t)
è continua essa vale
Z R
|ν| ˆ
f (ν)e2πiνt dν.
f (t) = lim
1−
R→∞ −R
R
Nei punti di discontinuità la formula diventa
1
+
2 (f (t )
+ f (t− )).
3.6 Lo spettro
3.6
29
Lo spettro
Cosa ci dice la trasformata di Fourier riguardo alla distribuzione di frequenza
della funzione originale? Abbiamo visto precedentemente che possiamo passare
da funzioni ad esponenti complessi in termini di seno e coseno, e viceversa.
Cosı̀ i valori della funzione fˆ in ν e −ν non ci indicano soltanto il valore della
componente di frequenza ν, ma anche della fase. Se la funzione f (t) originale è
reale allora fˆ(−ν) è complesso coniugato di fˆ(ν). La densità di energia ad un
valore particolare di ν è definita dal quadrato dell’ampiezza |fˆ(−ν)|,
Densità di Energia = |fˆ(−ν)|2 .
L’integrazione di questa quantità nell’intervallo misurerà l’energia totale che
corrisponde alle frequenze in questo intervallo. Ma notiamo che entrambi i ν e
−ν contribuiscono nell’energia, cosı̀ se viene usato soltanto il valore positivo ν,
dobbiamo ricordare di raddoppiare la risposta.
Il metodo usuale per rappresentare lo spettro di frequenza di un valore reale
è rappresentare esclusivamente l’ampiezza e la fase di fˆ(ν) separatamente per
i valori positivi di ν. Ricordiamo che in coordinate polari possiamo scrivere
fˆ(ν) come reiθ dove r = |fˆ(ν)| è l’ampiezza della corrispondente componente
di frequenza e θ è la fase. Cosı̀ r è sempre positivo e prendiamo θ che varia tra
−π e π. Allora fˆ(−ν) = fˆ(ν) = re−iθ cosı̀ mostriamo cosa succede quando ν è
negativo o positivo, al variare di ampiezze e fasi.
L’identità di Parseval dichiara che l’energia totale di un segnale è uguale
all’energia totale del relativo spettro:
Z ∞
Z ∞
2
|f (t)| dt =
|fˆ(ν)|2 dν
−∞
−∞
Generalizzando, se f (t) e g(t) son due funzioni, diviene
Z ∞
Z ∞
f (t)g(t) dt =
fˆ(ν)ĝ(ν) dν
−∞
3.7
(3.16)
−∞
Un cenno sulle Armoniche
Quando una nota suona in uno strumento a corde o in uno strumento a fiato
con una determinata frequenza ν, significa che il suono è (approssimativamente)
periodico con quella frequenza. La teoria della serie di Fourier mostra che un
suono può essere decomposto come somma di onde sinusoidali con varie fasi,
in multipli interi della frequenza ν. La componente del suono con la frequenza
ν è denominato fondamentale. La componente di frequenza mν è denominata
m-esima armonica.
30
Teoria di Fourier
Questo schema rappresenta la serie di armoniche basate sulla fondamentale
do sotto il do centrale. La settima armonica è in realtà più bassa del si[ nella
chiave di violino. Nella scala “ben temperata” moderna (che sarà oggetto di uno
dei prossimi paragrafi), le armoniche del terzo e quinto grado sono leggermente
diverse dalle note sol e mi effettive, ma l’analisi di questa cosa non è qui trattata.
C’è un’altra parola che viene usata in questo contesto: l’ n-esimo parziale di
un suono; è la componente di frequenza n-esima, valutata come multipla. Per
esempio su un clarinetto, in cui soltanto le armoniche dispari sono presenti, il
primo parziale è la fondamentale, o prima armonica ed il secondo parziale è la
terza armonica. Questo termine è molto utile quando si analizzano i suoni in
cui i parziali non sono multipli semplici della fondamentale, come per esempio
nel tamburo, nel gong, o nelle varie percussioni.
Capitolo 4
Il temperamento degli
strumenti: viaggio tra i
rapporti numerici
(
(
(
(
cfr.
cfr.
cfr.
cfr.
4.1
[1], cap. 1 )
[2], capp. 1, 3 )
[3], cap. 5 )
[6] )
Introduzione
Ai tempi dell’antica Grecia, già si sapeva che i suoni musicali “ben consonanti” erano relazionati a semplici rapporti numerici. Tuttavia, usando tale fatto per costruire una scala
musicale o per accordare uno strumento, i problemi crebbero. Tali problemi erano notevoli
specialmente quando si tentava di trasporre una tonalità in un’altra, in modo tale cioè che
il brano potesse essere suonato ad un’altezza differente. Una soluzione adottata nella musica
Europea negli ultimi secoli è stata quella di guardare in modo diverso i rapporti matematici
tra gli intervalli, fino a giungere alla divisione della “scala ben temperata”.
Ogni nota musicale ha una sua propria frequenza (essenzialmente, il numero
di oscillazioni che l’onda musicale produce in un determinato periodo di tempo):
cosı̀ la nota la, che possiamo sentire suonata dall’oboe in un’orchestra mentre
questa si sta accordando, ha una frequenza di 440 Hz. La frequenza ci permette
di parlare delle relazioni intercorrenti tra i vari suoni. Comunque, per comparare due note, l’effettiva frequenza risulta essere meno importante rispetto al
rapporto tra tali frequenze.
La struttura di una scala musicale è determinata dai rapporti di frequenza
32 Il temperamento degli strumenti: viaggio tra i rapporti numerici
delle note che formano la scala. La scelta di questi rapporti è governata principalmente dal grado di consonanza tra le note. Il criterio di consonanza è sia
psicologico che fisico: due note sono consonanti se risultano “piacevoli” quando
suonate insieme. In termini fisici ciò sembra accadere quando il rapporto tra
le frequenze delle due note è un rapporto di interi bassi: più semplice è tale
rapporto, più le due note risultano consonanti.
A parte per il caso più insignificante, quello dell’unisono, per il quale il rapporto di frequenza è 1:1, il caso più semplice è definito dal rapporto 2:1. Quando
due note hanno tale rapporto di frequenza l’intervallo tra esse è un’ottava: cosı̀,
per il la del diapason, il la successivo avrà una frequenza di 880 Hz. Le origini
di questo intervallo possono risiedere nella preistoria, nel momento in cui i primi
tentativi di canti di gruppo hanno avuto bisogno di modificare (di un’ottava,
appunto) la melodia per fare in modo che uomini, donne e bambini potessero
cantarla all’“unisono”.
Questa semplice relazione 2:1, corrispondente a due note distanziate da
un’ottava, è alla base della costruzione di ogni scala musicale. In termini matematici, il problema della costruzione di una scala è quello di determinare una serie
di rapporti di frequenza da inserire tra le note di tale scala; ovviamente, tentando
di mantenere il principio psicologico/estetico della consonanza.
In questo veloce viaggio attraverso la formazione delle tre scale più importanti (Pitagorica, Zarliniana, equabile) avremo modo di vedere come il criterio
musicale della semplicità tra i rapporti, per ottenere un effetto consonante, sia
in accordo con altri princı̀pi matematici.
4.2
La scala Pitagorica
Il più antico sistema di costruzione di una scala musicale è quello comunemente
chiamato scala Pitagorica. Tale sistema è in realtà più vecchio di Pitagora (ca.
550 A.C.) ma il suo nome è associato con la giustificazione teorica, in termini
matematici, della sua costruzione. Le leggende pervenute fino a noi attraverso i
più remoti scrittori come Boezio, ci parlano di come Pitagora abbia “scoperto”
questa scala: essi asseriscono che Pitagora notò l’armonia prodotta dai martelli
in una bottega di un mastro ferraio, e successive informazioni gli rivelarono che
le masse di tali martelli erano, straordinariamente, in un semplice rapporto di
numeri interi! Per questa rivelazione si dice che Pitagora abbia fatto salti di
gioia, per aver compreso cioè che i suoni consonanti e i semplici rapporti numerici
fossero correlati – ossia che in fondo musica e matematica condividevano le stesse
basi.
Non è difficile costruire una scala seguendo l’intuito di Pitagora. La strategia
è di prendere una qualsiasi nota e di produrre le altre relazionandole ad essa
attraverso semplici rapporti tra numeri interi, credendo al principio di Pitagora
secondo cui tali suoni risultanti sarebbero stati consonanti. La struttura di tale
scala è da principio basata sui semplici rapporti 2:1 e 3:2.
Nel caso di una corda vibrante, a seconda di come la facciamo vibrare possiamo ottenere diverse note. Consideriamo una corda vibrante con una frequen-
4.2 La scala Pitagorica
33
za t.
La stessa corda può vibrare anche a doppia frequenza, dando la nota di frequenza 2t. L’intervallo tra le due frequenze equivale al rapporto tra esse, ossia
2t : t, o 2 : 1, un’ottava.
Se la corda si fa vibrare con una frequenza tripla rispetto all’originale, si
ottiene una frequenza 3t:
L’intervallo tra le note di frequenza 3t e 2t è 3 : 2, o 23 . Cosı̀ la nota un’ottava
sotto 3t è 23 t, e l’intervallo tra la nota con frequenza t e questa nota è ancora 32 .
34 Il temperamento degli strumenti: viaggio tra i rapporti numerici
Abbiamo dunque una scala tri-tonica {t, 23 t, 2t}. Considerando ad esempio
come nota iniziale il do, otteniamo la sequenza do - sol - Do.
Questa procedura non ha solo creato una nuova nota (sol ), ma anche un
ulteriore nuovo intervallo. Il nostro precedente intervallo, tra do e sol, è chiamato
una quinta giusta e il nuovo intervallo tra sol e Do è detto quarta giusta. Il
rapporto corrispondente alla quinta giusta è 32 , come abbiamo visto, mentre la
quarta giusta ha rapporto 2t : 23 t, o 43 .
Adesso abbiamo dunque un metodo per generare altre note. Se abbassiamo
il Do di una quinta, dividendo la sua frequenza per 23 , otteniamo la nota fa di
frequenza 43 . Essa si trova tra il do e il sol. La scala risultante è
do
t
fa
4
3t
sol
3
2t
Do
2t
La procedura con la quale la scala è generata è pertanto iterativa: ogni
nuova nota produce un nuovo intervallo più piccolo, che può essere utilizzato
per generare altre note.
Continuando questo esempio, otteniamo l’intervallo tra fa e sol. Questo è
denominato seconda maggiore, e ha rapporto 23 t : 43 t ossia 89 . Questo nuovo
intervallo crea dunque la frequenza del nostro re, ossia (partendo dal do con la
solita frequenza t) 98 t.
Possiamo ora man mano completare la scala: ecco il risultato:
nota
frequenza
do
t
re
9
8t
mi
81
64 t
fa
4
3t
sol
3
2t
la
si
27
16 t
243
128 t
Do
2t
Notiamo che il rapporto tra due note consecutive è sempre 98 , eccetto che
tra mi e f a e tra si e do, tra i quali risulta un rapporto di 256
243 . Il rapporto
9
256
dà
infatti
origine
a
un
tono,
mentre
produce
un
semitono.
Un modo
8
243
alternativo è vedere la scala come formata da una successione di quinte giuste,
partendo dal fa. In tal modo, formiamo le sette note come successive quinte sul
fa, poi riunendo il tutto in un’unica ottava (ossia moltiplicando o dimezzando i
rapporti ottenuti). Il risultato è equivalente a quello appena enunciato...
4.3 Il problema del trasporto nella scala Pitagorica
35
Notiamo una cosa: per come abbiamo agito sui rapporti di frequenza dovrebbe
risultare che il rapporto relativo a un semitono, elevato alla seconda, sia equiv9
2
alente a quello di un tono intero. Si verifica in realtà che ( 256
243 ) è meno di 8 (e
dunque non è un semi-tono in senso accurato!) Ciò porterà a notevoli problemi soprattutto nel trasporto di brani musicali da una tonalità ad un’altra. Ma
questo lo vedremo nel prossimo paragrafo.
Per concludere, notiamo che in questi calcoli di rapporti sono intervenuti
solo i numeri 2 e 3 (e le loro potenze). Cosı̀, ogni nota della scala Pitagorica
può essere scritta nella forma 2p · 3q dove p e q sono numeri interi. Possiamo
dunque, da ora in poi, omettere il fattore t. La scala diventa:
nota
frequenza
4.3
do
1
re
32 /23
mi
34 /26
fa
22 /3
sol
3/2
la
33 /24
si
35 /27
Do
2
Il problema del trasporto nella scala Pitagorica
Ci proponiamo di dare solo un breve accenno ai problemi sorti con la scala
pitagorica, per far comprendere la necessità di creare nuovi tipi di scale musicali
e l’importanza di esse.
Supponiamo di voler trovare la nota a distanza di una settima maggiore dal
la(33 /24 ): questa nota si calcola attraverso la moltiplicazione 33 /24 · 35 /27 =
38 /211 . Abbassando questa nota di un’ottava (per confrontarla con quelle della
scala-base di cui lo schema precedente), otteniamo 38 /212 , che si trova tra il
sol e il la. Questo ci fa capire che la scala Pitagorica non è chiusa rispetto
all’operazione di trasporto, ma le regole sotto le quali abbiamo costruito tale
scala portano a un numero infinito di nuove note. Questo è il problema che
successivamente si tentò di eliminare attraverso l’introduzione di nuovi tipi di
scale, più accurate.
Ciò è anche visibile a partire dal fatto che abbiamo costruito la scala pitagorica a partire da una nota e proseguendo nella ricerca degli intervalli per quinte
successive, ossia moltiplicando ogni volta per 32 , e dove necessario abbassando
di un’ottava la nota trovata (dividendo cioè per 2 la sua frequenza).
Cominciando la costruzione della scala dalla nota sol, otteniamo numerosi
rapporti che già nella precedente (quella di do) erano presenti. Vi è però un
intruso, un rapporto “nuovo”, la frequenza 36 /29 : la nota relativa si trova tra
le due note esistenti fa e sol, in quanto 22 /3 < 36 /29 < 3/2. Questa nuova nota
corrisponde al fa diesis, comunemente indicato come fa]. Allo stesso modo,
cominciando dal fa nella costruzione della nostra scala pitagorica, troviamo
ben presto l’introduzione di una nuova nota compresa tra la e si, di frequenza
33 /27 : è la nascita del si[. Continuando per questa via, generiamo ogni volta
una nota tra un paio di note già trovate precedentemente; è da notare che il fa] è
leggermente più vicino al sol che non al fa (intesa come “vicinanza” il confronto
rispetto alla media geometrica effettiva tra fa e sol ). Analogamente si vede che
il si[ è leggermente più basso della media geometrica.
36 Il temperamento degli strumenti: viaggio tra i rapporti numerici
Questo fatto porterà, ad un certo punto, a riscontrare come le note fa] e
sol [, contrariamente a quanto succede oggi nei moderni strumenti a tastiera,
risultano essere note diverse. L’intervallo tra queste due note risulta essere
(36 /29 )/(210 /36 ), che si trasforma in 312 /219 , ossia circa 1, 01364 . . . Questa
differenza cosı̀ piccola, detta comma pitagorico, è la base delle contraddizioni
sussistenti all’interno della scala pitagorica. Sebbene 312 e 219 siano molto simili,
non sono lo stesso numero.
E non possiamo neppure pensare che alcuna successione di quinte possa
formare un esatto numero di ottave – perché se cosı̀ fosse, ci dovrebbero essere
delle soluzioni p e q dell’equazione ( 32 )p = 2q , o, equivalentemente, 3p = 2p+q .
E questa non ha soluzioni, poiché nessuna potenza di 3 è uguale a una potenza
di 2 (eccetto per la 0-esima), cosa che deriva dall’unicità della fattorizzazione in
primi, conosciuta fin dai tempi di Euclide.
Dunque il processo può andare avanti all’infinito, trovando nuove note (con
l’introduzione di doppi ] e doppi [) differenti dalle precedenti per un comma
pitagorico: un nulla, che però fa la differenza. . .
scala di↓
do
f a]
si
mi
la
re
sol
1
do
1
fa
1
si[
1
mi[
1
la[
1
re[
1
sol[
scala di↑
4.4
do
do]
37
211
37
211
37
211
37
211
37
211
28
35
28
35
28
35
re[
re
32
23
32
23
32
23
32
23
32
23
32
23
32
23
re
re]
39
214
39
214
39
214
25
33
25
33
25
33
25
33
25
33
mi[
mi
34
26
34
26
34
26
34
26
34
26
34
26
34
26
mi
fa
311
217
22
3
22
3
22
3
22
3
22
3
22
3
22
3
fa
f a]
36
29
36
29
36
29
36
29
36
29
36
29
210
36
210
36
sol[
sol
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
sol
sol]
38
212
38
212
38
212
38
212
27
34
27
34
27
34
27
34
la[
la
33
24
33
24
33
24
33
24
33
24
33
24
33
24
la
la]
310
215
310
215
24
32
24
32
24
32
24
32
24
32
24
32
si[
si
35
27
35
27
35
27
35
27
35
27
35
27
35
27
Do
2
2
2
2
2
2
2
212
37
si
Do
L’intonazione giusta e la scala Zarliniana
Molti degli intervalli prodotti dal sistema pitagorico sono ben lontani dall’essere
semplici: ciò che è partito da un sistema di consonanze concernente solo numeri
interi si è ridotto ad essere meno semplice di ciò che a prima vista poteva
81
) e il semitono
apparire. Per esempio l’intervallo di terza maggiore (( 98 )2 = 64
256
( 243 ) usano numeri relativamente grandi. Fino al primo Rinascimento ciò non
recò particolari problemi in quanto gli intervalli più utilizzati erano comunque
le ottave, le quarte e le quinte giuste. Ma quando nel Rinascimento la musica
polifonica cominciò a svilupparsi, anche l’uso di terze e seste ebbe notevole
crescita. Il sistema Pitagorico venne in parte modificato, l’intervallo di terza
80
5
27
25
5
( 81
64 ) ben presto divenne 64 , o 4 , e quello di sesta da 16 passò a 15 , o 3 .
Durante il sedicesimo secolo, vari tentativi furon fatti per modificare la scala
pitagorica per inserire tali terze e seste, più consonanti. La più rilevante di tali
4.4 L’intonazione giusta e la scala Zarliniana
37
riforme fu ideata da Gioseffo Zarlino, maestro di cappella a Venezia. Nel 1558
pubblicò le sue Institutioni Harmonicae nelle quali propose una base alternativa
da cui partire per la costruzione di una scala. Tenendo la relazione tra ottava,
quinta e tonica (4:3:2), ne creò una simile per la sequenza quinta - terza maggiore
- tonica (6:5:4), ossia 54 per la terza maggiore e 65 per la terza minore. La scala
cosı̀ ottenuta, conosciuta come la scala della giusta intonazione, era dunque
costituita da questi intervalli:
nota
frequenza
do
1
re
mi
fa
sol
la
si
9
8
5
4
4
3
3
2
5
3
15
8
Do
2
Gli intervalli sono dunque cambiati:
9
8
• tra do e re :
10
9
• tra re e mi :
16
15
• tra mi e fa :
9
8
• tra fa e sol :
• tra sol e la :
• tra la e si :
• tra si e Do :
10
9
9
8
16
15
L’intervallo 98 dà luogo al tono maggiore, l’intervallo 10
9 invece al tono minore. Il rapporto tra tali intervalli, 98 : 10
,
è
chiamato
comma sintonico e
9
vale 81
=
1,
0125
esattamente.
80
L’intonazione dovuta a Zarlino della nuova scala musicale è tuttora usata in
larga parte nell’accordatura degli strumenti a corda delle orchestre: le armoniche
infatti producono intervalli di ottava (2a , 4a e 8a armonica), di quinta (3a , 6a e
12a armonica), mentre il tono maggiore ( 89 ) è dato dalla 9a armonica, e la terza
a
a
maggiore ( 81
64 ) dalla 5 e 10 armonica.
Le frequenze delle note di questa scala possono essere rappresentate nella
forma 2p · 3q · 5r , dove p, q ed r sono interi, e può essere scritta come
nota
frequenza
do
1
re
32 /23
mi
5/22
fa
22 /3
sol
3/2
la
5/3
si
(3 · 5)/23
Do
2
Entro una singola scala, la giusta intonazione forma una soluzione soddisfacente ai problemi della scala pitagorica, ma anche qua i compromessi vengon
meno quando uno prova a suonare in un’altra tonalità. Il trasporto è ancora
più complesso che per la scala pitagorica. Quando ad esempio trasportiamo in
su di una quinta, troviamo che la nuova scala include due nuove note: il si è
portato al fa], come prima, ma il re diventa una nuova nota, un la di 33 /24 ,
differente dal precedente la da 35 di un comma sintonico. La ragione sta nel
fatto che l’intervallo sol-la nella scala originale era un tono minore, ma diventa
maggiore dopo il trasporto.
38 Il temperamento degli strumenti: viaggio tra i rapporti numerici
do
scala di do
1
scala di sol
1
do]
re
32
23
32
23
re]
mi
5
22
5
22
fa
22
3
f a]
32 ·5
25
sol
3
2
3
2
sol]
la
5
3
33
24
la]
si
3·5
23
3·5
23
Do
2
2
Vediamo il prospetto totale nella tabella seguente:
scala di↓
do
f a]
si
mi
la
re
sol
1
do
1
fa
1
si[
1
24 ·5
34
24 ·5
34
24 ·5
34
mi[
la[
re[
sol[
scala di↑
do
do]
37
211
37
211
33 ·5
210
33 ·5
210
33 ·5
210
re
re]
35 ·5
210
35 ·5
210
35 ·5
210
32
23
32
23
32
23
32
23
2·5
32
2·5
32
2·5
32
28
35
28
35
28
35
re[
mi
34
26
34
26
34
26
34
26
5
22
5
22
5
22
25
33
25
33
25
33
25
33
29 ·5
37
mi[
re
fa
37 ·5
213
f a]
36
29
36
29
36
29
32 ·5
25
32 ·5
25
32 ·5
25
22
3
22
3
22
3
22
3
26 ·5
35
26 ·5
35
26 ·5
35
fa
mi
210
36
210
36
sol[
sol
sol]
38
212
34 ·5
28
34 ·5
28
34 ·5
28
3
2
3
2
3
2
3
2
23 ·5
33
23 ·5
33
23 ·5
33
27
34
27
34
27
34
27
34
la[
sol
la
33
24
33
24
33
24
33
24
5
3
5
3
5
3
la
la]
36 ·5
211
36 ·5
211
24
32
24
32
24
32
24
32
28 ·5
36
28 ·5
36
si[
si
35
27
35
27
35
27
35
27
3·5
23
3·5
23
3·5
23
re
1
mi
fa
sol
la
si
Do
9
8
6
5
4
3
3
2
5
3
16
9
10 9 10 16 9
con rapporti tra note consecutive di 89 , 16
15 , 9 , 8 , 9 , 15 , 8 .
Re
2
2
2
2
2
25 ·5
34
25 ·5
34
25 ·5
34
212
37
si
Ciò creava nondimeno problemi di cambio di tonalità notevoli, specialmente
sugli strumenti a tastiera. Un matematico del 17o secolo, Marin Mersenne,
considerò il problema a fondo, e nella sua tastiera a 31 tasti che descrisse e
discusse nella sua Harmonie Universelle (ca. 1636) c’erano ben 4 tasti tra fa e
sol !
Questa molteplicità di tasti è necessaria perché anche in questo caso trasporti
successivi generano una nuova nota “nera”, come nel caso pitagorico, ma anche
una ulteriore nota a distanza di un comma sintonico da una precedente. E
più trasporti si eseguono, più il problema si fa peggiore. Ovviamente ciò non
incoraggiava i costruttori e i commercianti di strumenti musicali, costretti a
cimentarsi con la costruzione di tastiere sempre più complesse.
Molti tentativi furono fatti per sviluppare sistemi che superassero le difficoltà del sistema Zarliniano. Tra essi, Francesco Salina (1530-1590) propose
l’idea della creazione di un sistema detto mezzo-tono, nel quale i due tipi di
tono della scala zarliniana ( 98 e 10
sostituiti dalla loro media geomet9 ) venivano
√
1
rica (creando un intervallo unico di 2 5). L’intervallo di terza rimaneva cosı̀
di 54 , mentre la quinta diminuiva il suo rapporto di frequenza, passando dai 23 a
√
4
5, che è circa 1, 4953. Anche Isaac Newton si dedicò all’argomento, tentando di relazionare le sette note musicali ai sette colori dell’arcobaleno e ideando
una scala che fosse simmetrica negli intervalli: proprio per questo la sua scala
cominciava dalla nota re, ed era cosı̀ fatta:
nota
frequenza
Do
Do
4.5 Il temperamento equabile
39
Altre scale furono create, contenenti spesso anche consonanze pure: ma anche queste, se si rivelavano soddisfacenti per le tonalità prossime al do, divenivano fonte di insoddisfazione nelle tonalità più lontane. Per tale motivo non
intendiamo parlarne in questa sede.1
4.5
Il temperamento equabile
Dall’inizio del diciottesimo secolo, si cominciò a comprendere che per permettere
infiniti trasporti di tonalità in uno strumento a tastiera, senza alcuna priorità,
era necessario dividere l’ottava in modo che ogni intervallo fosse generato a partire da un intervallo base: questa scala sarà definita temperamento equabile. Una
tale idea poggia le sue radici molto indietro nel tempo (persino nella Cina medievale). Più recentemente, Vincenzo Galilei, padre di Galileo, aveva proposto
nel suo Dialogo della musica antica e moderna (1581) che la scala fosse costruita
con semitoni tutti uguali e pari al rapporto di frequenza 18
17 . È semplice calcolare
18 7
12
)
=
1,
9855
.
.
.,
ossia
poco
meno
di
2,
e
che
(
che ( 18
17
17 ) = 1, 4919 . . ., poco
meno di 32 . Ciò produceva dunque ottave e quinte leggermente abbassate, modificando pertanto quelle che erano state le basi di partenza per i temperamenti
precedenti.
Da questo tentativo vi fu un passo avanti dato da Simone Stevino (15481620), che propose di porre l’intervallo di semitono pari a 21/12 , in modo tale
da preservare il rapporto di frequenza delle ottave, 2. Poiché 27/12 = 1, 4983 . . .,
questa scelta dava ancora una quinta leggermente abbassata, ma migliore di
quella di Vincenzo Galilei. 21/12 è un numero irrazionale, non esprimibile cioè
nella forma pq , e tutte le sue potenze fino all’undicesima sono anch’esse irrazionali. Naturalmente, però, 27/12 è un’approssimazione molto buona di 32 , cosicché
la differenza è quasi impercettibile: in ciò giace la giustificazione del suo uso.
Nella seguente tabella i rapporti di frequenza (pitagorico, zarliniano, equabile) per la scala maggiore sono messi a confronto:
do
re
mi
fa
sol
la
si
Do
Pitagorico
1
1, 125
1, 265625
1, 3333 . . .
1, 5
1, 6875
1, 8984375
2
giusta intonazione
1
1, 125
1, 25
1, 3333 . . .
1, 5
1, 6666 . . .
1, 875
2
temperamento equabile
1
1, 122462 . . .
1, 259921 . . .
1, 334839 . . .
1, 498307 . . .
1, 681792 . . .
1, 887748 . . .
2
1 Tra le scale più singolari ricordiamo quella utilizzata da certe melodie popolari giapponesi,
ossia la cosiddetta “scala di cinque note” corrispondente proprio alle frazioni più semplici:
1,
5 4 3 8
, , ,
4 3 2 5
40 Il temperamento degli strumenti: viaggio tra i rapporti numerici
Per orecchi abituati alla giusta intonazione, la terza maggiore di quasi 1,26 è
notevolmente alzata, e cosı̀ l’estrema consonanza dell’accordo maggiore (6:5:4)
è persa nel temperamento equabile.
Per il trasporto, possiamo analizzare il comportamento della scala di temperamento equabile analogamente a quanto fatto nei casi precedenti; la scala
“ben temperata” ha le seguenti note:
do
1
re
22/12
mi
24/12
fa
25/12
sol
27/12
la
29/12
si
211/12
Do
2
Possiamo applicare ancora l’usuale trasporto su questa scala, e scrivere cosa
accade nelle varie nuove tonalità: notiamo che le tonalità di fa ] e sol [ risultano
essere cosı̀ costituite:
scala di↓
f a]
do
sol[
do
do]
α1
re
re]
α3
α2
1
α1
mi
α4
α3
fa
α5
α5
α5
f a]
α6
sol
α7
α6
sol]
α8
α9
α8
la
la]
α10
α11
α10
si
α11
Do
2
α11
ove con α si è indicata la quantità 21/12
Le “nuove” note (quelle ‘nere’, per intenderci) adesso stanno esattamente in
mezzo, ossia in maniera simmetrica, tra le “vecchie”, in quanto sono le rispettive
medie geometriche delle due laterali. I trasporti di tonalità non creano più problemi, e dunque fa ] e sol [ ora coincidono perfettamente. Il comma pitagorico è
stato eliminato; arriviamo cosı̀ a definire il circolo delle quinte:
4.6 Qualche nota storica
41
Il problema della creazione e produzione di strumenti a tastiera adatti per
le varie tonalità è cosı̀ risolto, poiché ogni nota ha ora infiniti nomi: il fa ] si
può chiamare anche sol [, la [[[, mi ]] ecc.
4.6
Qualche nota storica
L’idea della consonanza (lo ricordiamo un’ultima volta) aveva le sue fondamenta
nella nozione di commensurabilità, concetto essenziale della matematica greca.
I Greci davano all’incommensurabile (e dunque anche al concetto di numero
irrazionale) poca rilevanza, e mai avrebbero permesso che tale tipo di numerazione avesse sopraffatto le consonanze cosı̀ perfette derivanti dai rapporti tra
interi, come invece accadrà con l’introduzione del temperamento equabile.
L’adozione del temperamento equabile fu comunque un processo lento. Già
nel tardo periodo di regno della regina Elisabetta I (fine del 16o secolo), alcuni compositori scrivevano opere a tonalità cosı̀ distanti dal do che sicuramente
dovevano utilizzare una sorta di temperamento (quasi) equabile, ma pur nella
metà del diciottesimo secolo ciò non era il canone predefinito, specialmente in
Inghilterra: nessuno degli organi della Great Exibition del 1851 era accordato
tramite temperamento equabile. Ma ben presto il sistema prese piede e venne
sperimentato sempre di più. Un’opera di Fischer, l’Ariadne musica (1702) era
una raccolta di miniature musicali che comprendeva diciannove tra le ventiquattro possibili tonalità (maggiori o minori) del nuovo temperamento. Ovviamente
però l’opera più famosa che utilizza tutte e ventiquattro possibilità rimane il
Clavicembalo ben temperato di J.S.Bach (1722 e 1738-44), una serie di 48 preludi e fughe per clavicembalo (il titolo in realtà è alquanto ermetico: miglior
traduzione sarebbe “Lo strumento a tastiera correttamente accordato secondo
il sistema del temperamento equabile”). A poco a poco ci si rende conto che
le stonature che il temperamento equabile comporta non offendono il comune
senso di . . . piacere musicale; è il prezzo da pagare a un immenso vantaggio in
praticità. Nel corso di pochi anni la tendenza si diffonde sempre più. Riteniamo
che raramente una soluzione di compromesso, sı̀, ma suggerita da un argomento scientifico, sia stata altrettanto feconda di risultati artistici. L’affermarsi
del pianoforte, ad esempio, non sarebbe stato cosı̀ impetuoso senza la duttilità
prodotta dal temperamento; e la musica romantica avrebbe avuto ben altro
sviluppo. Ma la polemica che fin dal XVII secolo infuriava tra i musicisti teorici
e pratici non è e non sarà mai finita, perché il nostro orecchio rimane quello
naturale e c’è sempre chi può permettersi il lusso di evitare quelle stonature,
come i musicisti che si dedicano alla musica vocale polifonica (senza accompagnamento) o al quartetto d’archi (senza tastiere).
Inoltre, in tempi molto più recenti, vale a dire nell’ultimo secolo, le possibilità di
modificare temperamenti a piacere è stata resa più accessibile dall’introduzione
del mondo informatico, degli strumenti elettronici e dei Personal Computer.
42 Il temperamento degli strumenti: viaggio tra i rapporti numerici
Capitolo 5
La Geometria nel mondo
musicale
( cfr. [1], cap. 6 )
( cfr. [3], cap. 9 )
( cfr. [7] )
5.1
Introduzione
Nella descrizione degli ingredienti strutturali della musica la tradizione distingue il ritmo, la melodia e l’armonia. Il loro significato e la loro funzione sono
abbastanza chiari e familiari alla maggior parte degli ascoltatori, anche a quelli
che non hanno mai avuto modo di studiare la teoria. Per esempio, spesso nella
musica leggera la melodia è prodotta dal cantante, l’armonia dalla chitarra,
il ritmo dalla batteria: tre ruoli molto diversi, tra cui il primo ha una certa
prevalenza1 . Naturalmente le tre cose devono “interferire” in modo coerente:
l’ascoltatore si accorge facilmente quando qualcosa non va.
Lo schema dato (ritmo, melodia, armonia) regge abbastanza bene con la
musica classica, ma non con la cosiddetta polifonia. In questo genere musicale,
sviluppatosi soprattutto nel Rinascimento, non c’è una voce principale ma un
intreccio di molte voci, ciascuna delle quali svolge un ruolo di identica importanza. Le varie voci si sovrappongono in modo da rispettare le leggi dell’armonia,
ma vengono rispettati ulteriori vincoli di parentela, secondo una raffinata arte
canonica che porta anche il nome di contrappunto: un po’ come in un balletto,
1 Riassumiamo con la nomenclatura delle “equivalenze” e del “passaggio al quoziente” (con i
quali un matematico moderno è familiare) un paio di concetti fondamentali in questo campo:
“nota” è nell’insieme delle frequenze una classe di sovrapponibilità, cioè l’insieme di tutte
quelle frequenze che sono del tipo 2n f ; “melodia” è nell’insieme delle successioni (di frequenze)
una classe di similitudine, cioè l’insieme di tutte quelle successioni che sono proporzionali a
una assegnata.
44
La Geometria nel mondo musicale
vi sono voci che proseguono in parallelo, altre che si seguono ad una certa distanza, altre che si avvicinano o si allontanano simmetricamente dal centro del
palcoscenico. È di questi rapporti che ci occuperemo.
Queste considerazioni si addicono particolarmente ai lettori che hanno una
preparazione tecnico-scientifica, tra i quali abbondano appassionati musicofili,
perché alcune pratiche contrappuntistiche diventano del tutto trasparenti se
soltanto si ha il “coraggio” di utilizzare per la loro descrizione il linguaggio e i
concetti della matematica.
L’intuizione visiva che si esercita in geometria, in particolare, si può mettere al servizio della comprensione musicale con eccellenti risultati, soprattutto
quando si tratta di venire in aiuto ad un orecchio non particolarmente dotato.
Questo capitolo si potrebbe infatti intitolare: Rappresentazione visiva delle
melodie: il ruolo delle isometrie. In realtà il nostro scopo rimane essenzialmente
quello di dare al lettore un’idea di alcuni aspetti strutturali dei canoni di Bach,
attraverso un linguaggio accessibile a chiunque sia familiare con i concetti di funzione, grafico, trasformazioni geometriche, ma non abbia molta dimestichezza
con il pentagramma.
5.2
Le isometrie nel piano
Intoduciamo nel piano un sistema di coordinate cartesiane ortogonali Oxy e
consideriamo le seguenti famiglie di trasformazioni geometriche, che rappresentiamo come funzioni di due variabili:
1) traslazioni orizzontali:
τo :
2) traslazioni verticali:
τv :
3) riflessioni orizzontali:
ρo :
4) riflessioni verticali:
ρv :
5) simmetrie puntuali (o “mezzi giri”): γc,d :
x→ x+a
y→y
x→x
y →y+b
x→x
y → 2h − y
x → 2k − x
y→y
x→ c−x
y →d−y
ove il simbolo φ : x → x0 , y → y 0 significa che la funzione φ trasforma il
generico punto (x, y) nel punto (x0 , y 0 ); di conseguenza anche un insieme di
punti (un segmento, una retta, una curva ecc.) viene trasformato in un altro
insieme di punti.
In ognuna della precedenti famiglie si trovano infinite funzioni, caratterizzate
da un parametro che le contraddistingue (a, b, h, k, c, d rispettivamente). Tutte
le funzioni sopra descritte godono però delle seguenti proprietà:
• conservano la distanza (si dice anche: sono isometrie): due punti che
abbiano una certa distanza l’uno dall’altro vengono trasformati in punti
che hanno ancora quella distanza.
5.2 Le isometrie nel piano
45
• conservano le due direzioni degli assi nel senso che una retta orizzontale
viene trasformata in una retta orizzontale, e una verticale in una verticale.
Si noti che le uniche direzioni invarianti sono queste.
Ne consegue che le distanze e le direzioni degli assi vengono conservate anche
dalle funzioni che si ottengono componendo due delle precedenti. Qui comporre
due funzioni φ e ψ vuol dire fare agire prima l’una e poi l’altra, che agisce
sull’effetto della prima. La trasformazione composta si chiama anche il prodotto
delle due e si indica con il simbolo ψ ◦ φ. Per esempio:
il prodotto di due traslazioni
τv ◦ τo : x → x + a, y → y + b
è una traslazione obliqua (tutto si sposta secondo il vettore (a, b)).2
Tutte queste funzioni, insieme ai loro prodotti, formano ciò che in algebra
si chiama un gruppo di trasformazioni, che chiameremo il gruppo musicale. Per
prendere dimestichezza con queste trasformazioni si può considerare come esse
agiscano su figure paticolarmente familiari, come sono ad esempio le lettere
dell’alfabeto:
τo : R → R ρo : A → ∀ ρv : E → ∃ γ : N → N
Cosı̀ alcune parole possono leggersi, cambiando eventualmente significato, anche
da destra a sinistra o riflesse su uno specchio.
Le prossime considerazioni si riferiscono alla familiare nozione di grafico di
una funzione f (si scrive anche y = f (x)), in cui la variabile x assume valori in un
certo dominio. Il grafico di f è una particolare linea, cioè l’insieme dei punti che
hanno coordinate (x, f (x)) al variare di x nel dominio. Se sottoponiamo questa
linea alle trasformazioni del nostro gruppo musicale si osserva che la nuova figura
è un’altra linea che è ancora il grafico di una (opportuna) funzione imparentata
con l’originale. Precisamente, in corrispondenza delle cinque famiglie principali
si trova:
1) traslazioni orizzontali:
τo : f (x) → f (x − a)
2) traslazioni verticali:
τv : f (x) → f (x) + b
3) riflessioni orizzontali:
ρo : f (x) → 2h − f (x)
4) riflessioni verticali:
ρv : f (x) → f (2k − x)
5) simmetrie puntuali (o “mezzi giri”): γc,d : f (x) → d − f (c − x)
Il grafico di questa funzione è essenzialmente riconducibile ai seguenti quattro casi particolari (tutti gli altri si ottengono traslando questi quattro):
f (x)
− f (x)
f (−x)
− f (−x)
2 Notiamo per completezza che la composizione di due riflessioni, una verticale e una orizzontale, dà per risultato proprio la simmetria puntuale rispetto al punto di intersezione degli
assi di simmetria delle riflessioni stesse.
ρv ◦ ρo = γc,d
46
5.3
La Geometria nel mondo musicale
Visualizzazione di una melodia
Suoni e rumori non sono che perturbazioni della pressione dell’aria che vengono
percepite dall’orecchio umano. Volendo distinguere tra suono e rumore, abbiamo
già visto che in un suono musicale la perturbazione è un’oscillazione regolare (ha
andamento sinusoidale) alla quale si può attribuire una certa frequenza. Una
melodia è una successione di questi suoni che si succedono senza interruzioni
(ignoreremo, per semplicità, le eventuali pause). Una melodia quindi si può
rozzamente rappresentare come una funzione f (t) in cui la frequenza f dipende
dal tempo t.
Nella musica tradizionale la funzione f può assumere soltanto un insieme discreto di valori, che corrispondono, per esempio, ai tasti di un pianoforte (bianchi
e neri), ossia alle 12 note musicali già analizzate a fondo nel capitolo precedente.
Avendo visto che tali valori sono legati attraverso i rapporti esistenti tra le loro
frequenze (e non ai loro valori assoluti), dovendo rappresentare una melodia
come funzione conviene usare sull’asse y una scala logaritmica, scegliendo come
unità di misura il semitono, cioè l’intervallo log(21/12 ). Allora f (x) assume
soltanto valori interi e il salto di un’ottava corrisponde a dodici unità.
Anche le durate dei suoni sono di regola multipli interi o frazioni molto semplici (come 1/2, 4/3, 3/4. . . ) di una certa unità di tempo. Perciò, in molti casi,
prendendo un opportuno sottomultiplo come unità sull’asse x anche le durate
si rappresentano con numeri interi.
In definitiva il grafico di una melodia è spesso rappresentabile sul reticolato
intero, si tratta cioè di una spezzata che si può sovrapporre alle righe stampate
di una carta quadrettata.
Abbiamo cosı̀ sostituito con i nostri grafici il famoso pentagramma: in esso
l’uso della chiave (di violino, di basso ecc.) non è che la scelta dell’origine
sull’asse y; la durata dei singoli suoni è invece affidata nel pentagramma a una
simbologia più complessa, che fa la disperazione degli apprendisti del solfeggio.
5.4
Traslazioni orizzontali
La popolare melodia Fra’ Martino Campanaro consiste di quattro frasi, ciascuna ripetuta due volte; la grande popolarità di questa melodia è dovuta alla
pratica di sovrapporla con altre sue (infinite) copie, ottenute con le traslazioni
orizzontali τo . Ecco lo schema delle sovrapposizioni:
5.5 Traslazioni verticali e oblique
47
-AABBCCDD AA BB CC DD AA BB CC DD AA BB CC DD AA BB. . .
AABB CC DD AA BB CC DD AA BB CC DD AA BB CC DD AA. . .
AA BB CC DD AA BB CC DD AA BB CC DD AA BB CC DD. . .
AA BB CC DD AA BB CC DD AA BB CC DD AA BB CC . . .
Terminata la melodia, ciascuna voce riparte da capo creando una polifonia ciclica senza fine in cui è impossibile distinguere il ruolo delle singole voci. Una
tale composizione si chiama canone perpetuo a quattro voci.
Il fatto che Fra’ Martino utilizzi soltanto traslazioni orizzontali lo classifica come
canone all’unisono, perché tutte le voci partono con lo stesso suono. Per quanto
ingenua possa sembrare questa composizione, dobbiamo riconoscerle il merito
di mettere alla portata di tutti il piacere di fare musica d’insieme, realizzando
un esempio di quella coerenza tra ritmo, melodia ed armonia che ogni orecchio musicale sa apprezzare. Il gioco del contrappunto è però spesso molto più
complesso: passiamo dunque ad esempi più classici e più interessanti.
5.5
Traslazioni verticali e oblique
Normalmente la sovrapposizione di due melodie ottenute l’una dall’altra attraverso una traslazione verticale τv non è armonicamente ben accetta, a meno
che, come si è detto sopra, non si tratti di ottave.
Le traslazioni oblique, cioè del tipo τo ◦ τv , svolgono nel contrappunto un
ruolo molto più importante, che vogliamo esemplificare.
J.S.Bach, nella sua immensa produzione, non ha mai smesso di “giocare3” con
la musica; in qualche caso il gioco è geniale, ispirato da sentimenti profondi. Ma
in altri casi – sarebbe sciocco negarlo – il gioco è semplicemente raffinato ed
ingegnoso. Sarebbe impossibile scoprire a fondo relazioni matematiche celate in
maestosi canoni alla quinta4 , sebbene spesso un’analisi attenta permetta all’esecutore dal brano musicale di enfatizzare le nuove entrate e i temi che vengono
ripetuti successivamente al primo.
Nelle traslazioni oblique pertanto la componente orizzontale non è oggetto
di grande interesse: è la componente verticale quella che conta, perché – soprattutto per certe modifiche di altezza – mette il compositore a dura prova. È
normale dunque che, come concessione alle regole dell’armonia, talvolta i compositori si permettano di introdurre nei loro pezzi brevi correzioni, imposte per
lo più dallo schema tonale del brano stesso.
Una bella antologia di canoni a due voci che utilizzano traslazioni oblique
si trova nelle Variazioni Goldberg di J.S.Bach, dove uno stesso tema, molto
semplice, subisce elaborazioni diverse.
3 tutti
i vocaboli stranieri jouer, to play, zu spielen significano giocare e anche suonare
alla quinta indica un canone in cui la seconda voce imita il tema della prima
a distanza, appunto, di una quinta, ossia 7 semitoni sopra la precedente (come se avessimo
applicato una traslazione τv di 7 unità verso l’alto)
4 canone
48
5.6
La Geometria nel mondo musicale
Simmetrie e riflessioni
Nelle Variazioni bachiane, due canoni (il n◦ 12 e il n◦ 15) fanno uso di riflessioni il cui riconoscimento comporta per l’ascoltatore un vero salto di difficoltà.
Infatti riconoscere un tema che ha subı̀to una traslazione, oltre a qualche piccola correzione, non è difficile. Ben più difficile è riconoscere un tema rivoltato.
Possiamo farcene un’idea sottoponendo la melodia Fra’ Martino alla riflessione
ρo : se l’originale cominciava ad esempio con do-re-mi-do adesso inizierà con
mi-re-do-mi. Il riconoscimento della parentela con la melodia originaria si aiuta
molto con la struttura ritmica, cioè con la durata delle note, che è la stessa. In
altre parole, se si prescinde dai suoni, il messaggio ritmico delle due melodie è
identico.
L’uso delle simmetrie rispetto a un asse orizzontale nelle composizioni di
Bach è comunissimo: partite, sonate, invenzioni, suites . . . tutte contengono –
in forma più o meno evidente – traslazioni e riflessioni.
Più generalmente, le traslazioni stanno alla base di quel genere musicale
che ha dominato tutta la storia della musica, la fuga. La fuga nasce appunto da un tema iniziale, che viene dapprima sottoposto a traslazioni varie e in
seguito elaborato con maggiore libertà (anche attraverso introduzione di nuovi
sotto-temi o riflessioni varie). Nel capolavoro bachiano L’Arte della Fuga alcune
composizioni vengono addirittura esposte in due versioni: quella dritta (rectus)
e quella rivoltata (inversus). Lo stesso materiale musicale viene cioè ricombinato per produrre effetti differenti.
Riflettere una melodia rispetto a un asse vericale è un po’ come leggere una
frase da destra a sinistra, pronunciando ogni parola con l’ordine delle lettere
invertito. Tuttavia, mentre un testo verbale cosı̀ rovesciato è privo di senso, una
semplice melodia rovesciata un qualche significato musicale lo ha, anche se è
praticamente impossibile correlarlo ad orecchio con il tema originario. È interessante sottoporre per gioco a questa prova il solito Fra’ Martino, ottenendo una
melodia vagamente marziale che non richiama minimamente quella originaria.
Ma il gioco può diventare più interessante: se prima la melodia di Fra’
Martino poteva produrre un canone infinito in quanto vi era una compatibilità
armonica notevole, e tale compatibilità era essenzialmente verticale (la sovrapposizione dei suoni emessi simultaneamente deve risultare gradevole), ci si può
aspettare che siano armonicamente compatibili anche le frasi musicali invertite
ρv (A) = A−1 , ρv (B) = B −1 , ecc. E infatti è proprio cosı̀. Di conseguenza si
ottiene un nuovo canone perpetuo con lo schema:
-D−1 D−1 C −1 C −1 B −1 B −1 A−1 A−1 D−1 D−1 C −1 C −1 B −1 B −1 . . .
D−1 D−1 C −1 C −1 B −1 B −1 A−1 A−1 D−1 D−1 C −1 C −1 . . .
D−1 D−1 C −1 C −1 B −1 B −1 A−1 A−1 D−1 D−1 . . .
D−1 D−1 C −1 C −1 B −1 B −1 A−1 A−1 . . .
Tornando al contrappunto classico, un canone cancrizzante (al passo a ritroso,
tipico del gambero) è quello in cui il tema f (x) interferisce in un qualche modo
con la sua immagine speculare f (−x).
Nell’Offerta Musicale di Bach compare il seguente esempio di canone a due voci:
5.7 Altre trasformazioni
49
le frasi distinte sono quattro, diciamo f (x), g(x), f (−x), g(−x) ma le due voci
le eseguono secondo lo schema seguente:
////////EEEEEEEE
∃∃∃∃∃∃∃∃ . . . . . . . .
5.7
Altre trasformazioni
Anche per quanto concerne il mezzo giro il nostro Fra’ Martino si presta positivamente all’esperimento.
Otteniamo un qualcosa di totalmente estraneo al tema iniziale, qualcosa di
marziale e nel contempo un po’ triste. Anche qui però possiamo incominciare
un nuovo canone perpetuo.
Non vi sono componimenti di Bach che utilizzino simmetrie centrali, ma tale
trasformazione compare in forma dichiaratamente scherzosa nelle composizioni
di altri artisti dell’epoca e in pagine di autori, anche importanti, dei secoli
successivi.
Va detto infine che esistono nella letteratura musicale molti altri giochi simili
a questi. Si possono creare temi traslati di uno, due, tre toni mescolati assieme,
oppure si possono individuare talvolta anche trasformazioni non isometriche: si
sovrappone, per esempio, una melodia con una sua copia che procede a velocità
dimezzata (per augmentationem) ecc. Quest’ultima trasformazione corrisponde
a una dilatazione dell’asse x, come in un foglio di carta elastico che venga
deformato da una trazione laterale. Non si può nemmeno escludere che alcuni
di questi giochi musicali - almeno in autori minori - siano ancora da scoprire.
5.8
Conclusioni
Sarebbe insensato sostenere che il valore musicale delle composizioni contrappuntistiche, soprattutto nei capolavori di Bach, consista nei dettagli strutturali
che abbiamo descritto. Tuttavia ci sembra innegabile che, trascurando questi
aspetti della musica, l’ascoltatore si privi - almeno in parte - di un importante contributo al piacere musicale, come avverrebbe ad esempio se ammirasse
un’architettura classica senza accorgersi del ruolo straordinario che vi giocano
le simmetrie.
Ovviamente sappiamo tutti che la poesia, la musica, la pittura non hanno
bisogno, per esprimersi, di regolarità e simmetrie strutturali. Ma con questo
breve viaggio nel mondo delle simmetrie abbiamo voluto confutare il punto di
vista di coloro che affermano che la presenza di tali regolarità possa far perdere
spontaneità alla creazione artistica. Nel grande artista abbondano sia la tecnica
che l’ispirazione, e la sua grandezza sta anche nel fatto che, senza tradire la vena
creativa che lo caratterizza, possa permettersi anche di sottoporsi a tali vincoli
strutturali, traendone anzi in alcuni casi un ulteriore stimolo di creatività.
50
La Geometria nel mondo musicale
Capitolo 6
Matematici e musicisti nella
storia
Riportiamo in maniera abbastanza schematica i contributi dati da grandi personalità nell’evoluzione del confronto sussistente tra i campi matematico e musicale. Chi volesse saperne di più, può consultare [1], cap.1 ; [2] ; [4] ; [5].
• Già nel 5o secolo a.C. lo scrittore Proclo divideva le scienze matematiche
in
– concernenti la QUANTITÀ
∗ ARITMETICA (quantità in quanto tale)
∗ MUSICA (relazioni tra quantità)
– concernenti la MISURA
∗ GEOMETRIA (misura a riposo)
∗ GEOMETRIA SFERICA (misura del movimento di oggetti)
• Cassiodoro, non molto tempo dopo, dividerà ulteriormente la Musica in
– ARMONIA (scienza che distingue i suoni in base all’altezza)
– RITMICA (spiega se i suoni (cosı̀ come le parole nel linguaggio)
combinati assieme suonano più o meno bene)
– METRICA (scienza che dà le indicazioni sulla lunghezza dei suoni)
• Pitagora (6◦ sec. a.C.) e i Pitagorici
Pitagora fu uno dei primi a dedicarsi al problema dello studio dei rapporti intercorrenti tra i diversi suoni, più o meno distanti, e ad analizzare
gli intervalli musicali dal punto di vista di rapporti e proporzioni, come
abbiamo già avuto modo di analizare nei capitoli precedenti. A Pitagora
è attribuita la prima scala musicale (la scala pitagorica, appunto), di cui
abbiamo già ampiamente parlato nel relativo capitolo di questo seminario.
52
Matematici e musicisti nella storia
È a Pitagora infine che molti storici fanno risalire la dottrina dell’ “Armonia Universale”, che sarà alla base delle scienze matematiche successive,
dottrina che sostiene come ogni realtà inserita nell’Universo possieda in sé
un’implicita organizzazione armonica e armoniosa.
• Archytas di Tarentum (ca. 4◦ sec. a.C.)
Fu il primo (almeno per quanto ne possiamo dedurre da fonti storiche
pervenuteci) che cercò di scoprire una relazione tra
– Movimenti dei corpi celesti
– Geometria
– Aritmetica
– Musica
Inoltre a lui si deve il proseguimento dello studio delle scale, sebbene senza
modifiche degne di nota rispetto alla precedente scala pitagorica.
• Platone (4◦ sec. a.C.)
Cercò di sostenere che la musica avesse in sé un carattere razionale, e
pertanto potesse esser messa in relazione con le scienze contemporanee, e
fu il primo a “lanciare” l’idea di ricercare una unità di misura minima per
il riconoscimento della durata delle note e un’altra per l’altezza di esse.
• Aristosseno (discepolo di Aristotele)
Rifiutò la tradizione Pitagorico-Platonica precedente secondo cui i suoni e
gli intervalli corrispondevano a particolari intervalli razionali e si prefissò
di studiare tutti i suoni e tutti gli intervalli musicali, anche quando non corrispondevano ad alcuna proporzione razionale, comunicando l’idea cioè che
anche nella musica vi potesse essere una sorta di continuità, esattamente
come nel campo matematico l’insieme Q può essere espanso attraverso
l’introduzione dell’insieme R.
Delle molte sue opere di cui possediamo i titoli, solo due però sono state
parzialmente conservate: gli “Elementi di armonia” e gli “Elementi ritmici”, dove Aristosseno espone e sistema gli elementi della teoria musicale
greca, rilevando inoltre un interessante pensiero estetico: un’idea di quel
che sia o come debba essere intesa l’opera d’arte musicale. Purtroppo
è andata perduta un’opera intitolata “Sull’ascoltare musica” nella quale
pare Aristosseno riconoscesse la funzione fondamentale della memoria nella intelligenza della musica: “Di queste due cose, invero, la musica è coesistenza: sensazione e memoria. Bisogna infatti sentire ciò che accade e
ricordare ciò che è accaduto”.
• Sant’Agostino(354-430)
Con il suo “Trattato sulla Musica”, che in realtà prenderà in considerazione
principalmente uno dei tanti aspetti musicali, il ritmo, sant’Agostino esprime la sua concezione di musica intesa come “numero sonoro”, fornendo
quindi un’importante correlazione tra i due mondi matematico e musicale.
53
Nelle sue opere la musica è dunque vista in termini matematici, ma anche
la matematica può essere per lui intesa in termini musicali: il concetto
di “proporzione musicale” si può utilizzare infatti per l’analisi di tutte le
altre manifestazioni di bellezza artistica.
• Boezio (476-525)
Costituı̀ un importantissimo tramite tra la cultura classica e la cultura
medioevale, grazie alle traduzioni e commenti delle opere di Aristotele. Il
“De institutione musica” costituisce una summa delle teorie musicali elleniche: in quest’opera vengono ripresi i fondamenti matematici e simbolici
della teoria musicale pitagorica.
• Nel medioevo la musica, assieme ad aritmetica, geometria e astronomia,
rientrava nel corso di studi posto alla base della conoscenza scientifica e
filosofica del medioevo: il quadrivium. In questo ambito l’aritmetica
costituiva il fondamento della conoscenza scientifica, ma la musica ne era
considerato il compimento, perché comprendeva nei suoi ambiti problematici tanto la scienza dei numeri, quanto la scienza del moto degli astri,
quanto le regole dei metri verbali desunti dalla retorica. La teoria musicale
veniva vista come applicazione dell’ordine numerico su cui l’intero cosmo
era fondato.
• La musica liturgica
Già con sant’Agostino si era fatto un primo passo per l’introduzione di
un nuovo modo di intendere la musica: uno strumento attraverso il quale
poter meglio comprendere la grandezza divina.
MUSICA → NUMERI → DIO
Pian piano, e in maniera sempre più diffusa, verranno composti Salmi Biblici musicati e cantati, da solisti o in coro, attraverso melismi e altri artifici
di abbellimento. Comunque, all’interno della Musica Liturgica il canto e
l’accompagnamento verranno sempre visti solo come proclamazione della
Parola divina; pertanto la musica in questo periodo non sarà analizzata come arte autonoma, astratta, tralasciando dunque anche il carattere
“matematico” studiato in precedenza.
• Giacomo di Liegi (1300- 1350 circa)
Fu l’autore della più estesa e completa summa del sapere musicale del
Medioevo. Il suo “Speculum musicae” (1330-40), in sette libri, raccoglie
l’intero sapere musicale medioevale, approfondendone i fondamenti aritmetici, retorici, teologici e fisici, attraverso l’apporto delle più diverse
fonti, da Aristotele al platonismo, a Boezio, alla scolastica, utilizzate come
specchio dell’unica dottrina dell’harmonia universale.
• Mersenne (1588-1648)
L’importante apporto matematico-musicale di Mersenne sta nell’ “Harmonie Universelle” (1636, scritto molto lungo e complesso): in quest’opera viene trattato l’aspetto musicale sotto diversi aspetti:
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Matematici e musicisti nella storia
1. Studio del suono per una riformulazione della conoscenza (studio dell’acustica, dell’intensità del suono, delle vibrazioni delle corde, tensione e
frequenze di corde...)
2. Fisica del suono: studio della velocità del suono (e da cosa può dipendere tale velocità), fenomeno dell’eco; Mersenne arrivò ad una misurazione
quantitativa della velocità del suono stesso.
3. Conoscenza sensibile e conoscenza razionale: studio della percezione
(come agisce l’intelletto per avere conoscenza degli oggetti); la conoscenza
sensibile senza ragione non è conoscenza, ma solo registrazione di impressioni.
4. Teoria musicale e teorizzazione del temperamento dodecatonico equalizzato: divisione del Monocordo in dodici semitoni uguali usando la formula
della “media geometrica”. Inoltre studiò la divisione del manico degli strumenti musicali (chitarre, mandolini...).
Mersenne era un grande conoscitore della musica del suo tempo e in quest’opera riporta tutti i sistemi dell’accomodamento dell’ottava pubblicati o
noti prima del 1630.
• Johannes Kepler (1571-1630)
L’interesse musicale di Keplero è dato dallo studio dei pianeti, dalla forza
dei dati sperimentali e dalla capacità di elaborazione.
1. Il sistema del mondo scelto da Keplero è quello copernicano.
2. Le velocità dei pianeti sono messe in analogia con le note musicali:
Keplero verifica che solo in questi casi ci sono corrispondenze precise.
3. Nessun pianeta crea un’orbita circolare intorno al sole, né tanto meno
la velocità è costante. Keplero decide di non considerare valori medi o
approssimati, ma dedica un serio studio per elaborare le sue teorie. Il
modello di Keplero è “unico” perché l’armonia che si ascolta non è più
data dalla sovrapposizione di onde fisse, ma evolve continuamente nel
tempo. Osserviamo che la terza legge di Keplero (studiata a scuola come
(R3 /T 2) = cost), ma elaborata e usata da Keplero come R3/2 , sfrutta il
rapporto 23 : questa frazione rappresentava l’intervallo musicale di quinta,
che stava alla base sella costruzione della scala pitagorica (cfr. la sezione
dedicata al temperamento).
• René Descartes (1596-1650)
Nel 1618 stese il “Compendium musicae”, opera in cui Cartesio tratta
in modo “nuovo” l’approccio musico-matematico: la novità della tecnica
sta nell’attenzione riservata all’ascolto (analisi del tempo, ritmo, consonanze...), nella scelta dei “numeri sonori” 2, 3 e 5 (consonanze dell’ottava, della quinta e della terza maggiore) che creano una visione dinamica
delle grandezze musicali (e tra esse la triade maggiore verrà in particolar
modo vista come centro propulsore dinamico della struttura musicale) e
nell’analisi psicologica che pone la regola di fondamento della buona composizione. Cartesio inoltre creò una scala con 18 note, che non ebbe mai
però alcuna applicazione effettiva. Il “Compendium musicae” è un vero
trattato di musica: nei 13 capitoli vengono trattati diversi argomenti e
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definizioni musico-matematiche: dalla proprietà del suono (durata, altezza), alle proporzioni aritmetiche e non geometriche) usate nella costruzione
della battuta, dalla durata delle note alla diversità del suono. Inoltre vengono trattati nel dettaglio i problemi degli intervalli: consonanze, dissonanze e “altezze” (ottava, quinta, quarta, terza maggiore, minore e seste),
con regole e modi per la buona composizione. Il capitolo finale è una
conclusione personale del trattato, che fu indirizzato a Beeckmann, dove
l’autore nota imprecisioni e incompletezze della sua opera. Quest’opera fu
scritta come “lettera personale” a Beeckmann. Importante ricordare che
Cartesio ebbe una fitta corrispondenza con Mersenne.
• Athanasius Kircher (1601-1680)
“Musurgia Universalis” (1650): opera di Kircher composta da 10 libri divisi in 2 tomi. Gli argomenti trattati hanno natura diversa: studio sulla
fisiologia della voce, origine della musica, speculazione teorica sulla divisione del monocordo e sulla scienza armonica, compendio di teoria della
composizione e struttura degli strumenti musicali, elaborazione di una
propria personale classificazione degli stili musicali. Kircher tratta in modo fantasioso i misteriosi effetti della musica, ritenuta fra l’altro in grado
di curare le malattie, e costituisce una delle più importanti teorizzazioni
della concezione barocca dell’armonia delle sfere: egli affermò che l’intera
compagine del mondo era determinata da un’intima armonia di tutti gli
esseri, accordati fra loro da Dio, che definı̀ supremo organista come già aveva fatto Keplero. L’apporto strettamente matematico dato da Kircher sta
nello studio della varietà di arrangiamenti e combinazioni delle note e nello
studio della sequenza metrica (ritmo, battute...). Inoltre compose musica
utilizzando delle particolari tavole di numeri da lui prodotte (“musica dei
numeri”)
• Christiaan Huygens (1629-1695)
Una delle personalità più famose all’interno del mondo della fisica, analizzò
a fondo la Teoria delle Onde e scrisse su questo argomento diversi trattati.
In realtà la Musica per lui era uno strumento che, pur nella sua dimensione
matematica e fisica attraverso la quale poteva esser analizzata, in primo
luogo era da considerarsi un’arte e pertanto utilizzata quasi esclusivamente
allo scopo di dilettare.
• Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716)
L’interesse musicale di Leibniz verte su tre diversi aspetti:
1. Interesse verso problemi molto specifici riguardante la teoria musicale,
l’acustica e le pratiche esecutive (definisce la musica come una pratica
occulta dell’aritmetica, nella quale l’anima non si rende conto di calcolare; definisce la struttura numerica sottostante la musica come principio
costruttivo)
2. Il fine della ricerca è la comprensione di quel principio armonico che
governa il mondo ( consonanza e dissonanza... )
3. La musica inizia ad assumere un ruolo privilegiato, che caratterizzerà il
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Matematici e musicisti nella storia
suo intero sistema filosofico. Leibniz ebbe una corrispondenza con Kircher
(“Musurgia Universalis”) al quale inviò la sua opera giovanile “De arte
combinatoria” per ottenerne un giudizio. Il punto in comune tra i due
studiosi è costituito dalla nozione di simbolicità del linguaggio musicale:
ordine dell’universo, concezione di bello musicale come percezione della
struttura numerica costituente l’armonia; la musica ha le caratteristiche
che la rendono adatta a divenire strumento di costruzione della lingua
universale: un sistema logico relazionale e non gerarchico, la cui base è
costituita da pochi elementi da cui dedurne infiniti altri sulla base di un
metodo combinatorio.
• Leonhard Euler (1707-1783)
Numerosi suoi saggi e trattati sulla musica e l’acustica li troviamo nelle
“lettere ad una principessa tedesca” (1768-1772): inizialmente ammettendo la sua “ignoranza” in campo musicale, afferma che il piacere musicale
va ricercato nel concetto di ordine, che risulta comprensibile sulla base di
due elementi: armonia (suoni gravi o acuti) e misura (ogni suono ha una
certa durata). L’origine del piacere musicale è integrato dall’osservazione
che armonia e misura si fondano su proporzioni matematiche, ma il piacere non è dovuto alla semplicità dei rapporti matematici. Per Eulero
la musica è matematica, come assistere alla soluzione di un problema: le
facoltà dello spirito possono essere in tal modo occupate senza incontrare
difficoltà. Un tema importante per Eulero è poi il problema del singolo suono: “Conjectura physica circa propagationem soni ac luminis”, del
1750: in questo contesto ricerca la scienza dell’acustica e la spiegazione
matematica della musica. Il suono coincide per Eulero con una serie di
vibrazioni che colpiscono il nostro orecchio, grazie alle quali distinguiamo
suoni e rumori (frequenze “regolari e non regolari”). Eulero riuscı̀ ad indicare in maniera approssimata i limiti di frequenza percettibili dall’orecchio
umano: 30-7520 (dopo si scoprirono 20-4000).
• Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)
Lagrange ebbe un importantissimo ruolo nello studio della corrispondenza
matematico-musicale. Nella Francia del fine ’700 gli intellettuali consideravano la musica un campo troppo “sottile” per poter essere spiegata da
concetti matematici. Ma il grande scienziato iniziò uno studio a partire
dalle regole matematiche usate in musica, e spese molto tempo sullo studio
degli strumenti a fiato. Dallo studio delle vibrazioni nell’aria, passò allo
studio delle vibrazioni delle corde, arrivando ad importantissimi risultati
fisico matematici: scoprı̀ in questi studi la “relazione ortogonale” del seno
e del coseno ed arrivò alla soluzione generale per le corde vibranti e per la
propagazione del suono. Le conseguenze di tali scoperte:
1. Nel caso delle vibrazioni delle corde le oscillazioni sono periodiche.
2. La velocità del suono è indipendente dal primo movimento.
Scoprı̀ inoltre che l’equazione differenziale della corda vibrante era la stessa per le particelle nell’aria (dallo studio infinitesimale del movimento
delle particelle): un’equazione differenziale del secondo ordine. Lo studio
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che iniziò Lagrange sarà terminato e approfondito da Fourier (attraverso
i coefficienti di Fourier per la soluzione di tale equazione differenziale).
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Bibliografia
[1] J. Fauvel, R. Flood, R. Wilson :
University Press, 2003
“Music and Mathematics”, Oxford
[2] G. Assayag, H.G. Feichtinger, J.F. Rodrigues: “Mathematics and Music”,
Springer, 2002
[3] D. Benson: “Mathematics and Music”,
http://www.math.uga.edu/ e djb/html/math-music.html
[4] E. Tannery: “Du rôle de la musique greque dans le développement de la
mathématique pure”, 1902
[5] Cartesio: “Compendium musicae”, 1618
[6] B. Scimemi: “Musica, aritmetica e buon temperamento”, Archimede, 1983
[7] B. Scimemi: “Contrappunto musicale e Trasformazioni geometriche”, Lettera Matematica Pristem, 27/28, Atti del convegno su Matematica e cultura,
a cura di M. Emmer, 1997
[8] Journal of New Music Research, vol. 30/1 (2001): “Music and Mathematics”