Soluzioni

Capitolo
8
Soluzioni
2. Applicando il teorema dell’energia cinetica separando le forze conservative da
quelle esterne:
 2
 2
Lest  U  K  (U B U A )  ( 1 m vB  1 m vA )
2
Lest
2
 (19.0  21.0)  1  0.0120  20.02  J  0.4 J
2


4. Essendo il sistema delle due cariche isolato, si conserva a sua energia, quindi:
1


1 
K  U  1 m | v2 | 2  1 m | v1 | 2  kQq     0
2
2
 r
r 


2
1

1
1
m
 
| v1 | 2 
r2
r1 2kQq
 1

2.30  103  12.02

1
1
 

 m  0.850 m
 8.00 2  8.99  109  6.20  106  4.10  106 
r2 
1
m  1.18 m
0.850
5. Essendo il sistema delle due cariche isolato, si conserva a sua energia, quindi:
1


1 
K  U  1 me | v2 | 2  1 me | v1 | 2  ke(e )    0
2
2
 r2 r1 

m

9.11  1031  (2.20  106 )2  1
1
1
1

  e | v1 | 2  

m 
r2
r1 2ke 2
 0.529  1010 2  8.99  109  (1.60  1019 )2 


 1

 
 0.958  1010 m1  0.932  1010 m1
 0.529

r2 
1
0.932  1010
m  1.07  1010 m
6. Essendo il sistema delle due cariche isolato, si conserva a sua energia. Indichiamo
con (1) l’istante in cui i due elettroni sono infinitamente lontani e con (2) quello di
massima vicinanza, in cui, vista la simmetria della situazione, la velocità si annulla,
invertendosi per entrambi




1
1
K  U  2  12 me | v2 | 2  2  12 me | v1 | 2  k (e)(e)     0
 r
r1 
2


1

v1
r1
e
e
r2
e
e
r2 
8.99  109  (1.60  1019 )2
ke 2
m  0.632  1010 m
 2 
31
6 2
me | v1 |
9.11  10  (2.00  10 )
7. Lest  LCoul  K  0
1
1 
Lest  LCoul  (U )  U  kqAqB    
 r2 r1 
 1
1 
 J  3.69  103 J
 8.99  109  44.0  106  28.0  106 

 0.200 0.600 

k (13e )(2e )
8. |F | 
 15.0  104 N
d2
d
26e 2k
 
|F |
26  (1.60  1019 )2  8.99  109
m  2.00  1014 m
15.0
Applchiamola conservazione dell’energia. Indichiamo con (1) l’istante in cui sono infinitamente lontani e con (2) quello di massima vicinanza, in cui la velocità della particella si annulla per poi invertirsi:




1
1
K  U  12 me | v2 | 2  12 me | v1 | 2  k (13e )(2e)     0
r
r1 
2


Ponendo v2  v, r2  d :
1
m v2
2 e
q3
d
q1
26e 2k
 v
d
52e 2k

dme
52  (1.6  1019 )2  8.99  109
14
2.00  10
27
 6.68  10
m/s  9.46  106 m/s
10. Dobbiamo prendere tutte le possibili coppie di particelle e sommare le loro energie:
U  U 12  U 13  U 14  U 23  U 24  U 34 
k
q4

q1q2
r12
k
q1q 3
r13
k
q1q 4
r14
k
q2q 3
r23
k
q2q 4
r24
k
q 3q 4
r34
q 2 Le distanze sono tutte pari allo spigolo del tetraedro:
r12  r13  r14  r23  r24  r34  d
Sostituendo:
k
U  q1q2  q1q 3  q1q 4  q2q 3  q2q 4  q 3q 4  
d

8.99  109
6.00  9.00  6.00  6.00  4.00  6.00 1012 J  2.25  102 J
2.00
11. Dobbiamo prendere tutte le possibili coppie di particelle e sommare le loro energie. Il cubo ha 12 spigoli, 6 facce con 2 diagonali lunghe s 2 , e 4 diagonali per il centro del cubo lunghe s 3 . Ci sono quindi 12 coppie distanti s , 12 coppie distanti s 2
e 4 coppie distanti s 3 :
kq 2
kq 2
kq 2
4kq 2 
3 
 12
4

s
s 
s 2
s 3
4kq 2 
3
1 
 
3 
s

U 
2
3 
4  8.99  109 (3.34  106 )2 
3
3 



4.00
2
U  12
s
3
2

1 

3 
1 
 m  0.572 m
3 
2
12. Dobbiamo prendere tutte le possibili coppie di particelle e sommare le loro energie:
U  U 12  U 13  U 14  U 23  U 24  U 34 
k
q1q2
r12
k
q1q 3
r13
q1q 4
k
r14
k
q2q 3
r23
k
q2q 4
r24
k
q 3q 4
r13  r24   2
q3

r34
Le distanze sono pari al lato, o alla diagonale del quadrato, come segue:
r12  r14  r23  r34  
q4
 2
q1
q2
Poniamo q1  q2  q 3  q e q 4  Q :
q 2
q2
qQ q 2
qQ
qQ  kq 2 
1  kqQ 
1 

2 
2 
U  k  




 
 
0


 
 
 
 
 2
 2
2
2 
k qQ
k q 2 
1 
2 
 
 

2


2  1   0  Q  q



2 
13. Le cariche sono ferme all’inizio e alla fine quindi:
Lest  LCoul  K  0
Lest  LCoul  (U )  U  U  U   U
Con rferimento alla figura , l’esagono regolare ha 6 lati lunghi a , 6 diagonali minori lunghe c , e 3 diagonali maggiori lunghe b . Ad ognuno di questi 15 segmenti corrisponde
un contributo all’energia potenziale del sistema, giacché negli estremi di ogni segmento si
trova una coppia differente di cariche:
 2 2 1
q2
q2
q2
U  6k
 6k
 3k
 3kq 2    
a c b 
a
c
b
a
c
c
b
Si ha in un esagono regolare:
b  2a e c  b 2  a 2  4a 2  a 2  a 3
Sostituendo:
2
2
1  3kq 2 
2
1  3kq 2  5
2 
2 
 
U  3kq 2  
  
  



a 
a  2
a a 3 2a 
3 2
3 
3kq 2  5
2  3  8.99  109  (3.00  106 )2  5
2 
 
 
a
 
 m  0.444 m  44.4cm
U  2
2.00
 2
3
3 
14. Le cariche sono ferme all’inizio e alla fine quindi:
Lest  LCoul  K  0
q
Lest  LCoul  (U )  U  U  U  U
Ci ovvorre quindi il valore di U . Col metodo della carica immagine (vedi capitolo 7)
tutto va come se in posizione simmetrica rispetto al piano, dalla parte opposta, vi
fosse una carica uguale e contraria q  6.00 μC . L’energia potenziale del sistema
d
formato dalla coppia di cariche uguali a distanza 2d :
kq(q )
kq 2

2d
2d
Però nel sistema reale il campo elettrico è solo sulla carica q (e non sulla q ) quindi
l’energia potenziale del sistema è metà di questo valore:
d
U imm 
1
kq 2
U  U imm  
2
4d
Lest  U 
kq 2
8.99  109  (8.00  106 )2

J  36.0 J
4d
4  4.00  102
3
q
15. Dividendo l’anello in tanti trattini lunghi x , su ciascuno di essi si troverà la carica x e contribuisce ll’energia potenziale del sistema di una quantità:
xq
k
R
sommando tutti questi contribti si ottiene l’energia del sistema:
 xq 

U  k

R 
Portando fuori dal simbolo di sommatoria i termini costanti, e osservando che
x  2R si ha:
k q
kq
U 
x 
2R  2k q 
R
R
 6.28  8.99  109  (5.00  106  100)(8.00  106 )J  226 J

Q
Q

Q
Q
A

17. La distanza di ciasuna carica dal centro del quadrato è metà della diagonale,
quindi:

q
q
3.00  109 

3
V  4k  4k
 4  8.99  109 
 V  1.53  10 V
r
0.100  0.707 
 2 /2 
18. Se indichiamo le distanze delle cariche dal punto A con:
r1  1  2 e r2  ( 1 )2  ( 3 )2 
2
2

2
1
4
 10
Risulta che il potenziale nel punto A vale:
1
 2
1 
4  4kQ 
2 

1 
VA  2kQ     2kQ 

 
 
 r1 r2 
  2  10   2 
5 

4  8.99  109  6.50  109 
2 
1 
 V  522V

0.600 2
5 
19. Dalla geometria elementare sappiamo che la distanza dei vertici dal centro del
triangolo equilatero è pari a due terzi della lunghezza della mediana  sin 60 :
r  2  sin 60  9.24 m
3
Risulta che il potenziale nel centro vale:
q
q
q
k
VA  k 1  k 2  k 3  (q1  q2  q 3 ) 
r
r
r
r


q2
r
q1
q3
200V
8.99  109
(3.00  4.00  7.50)  106 V  486V
9.24
20. Ognuno dei triangoli isosceli che lo compongono ha un angolo nel vertice che sta
nel centro del pentagono pari a 360/ 5  72 e quindi angolo alla base
(180  72)/2  54 . Indicando con r il raggio del pentagono risulta:
r sin 54  1   r   /2 sin 54
2
q5
q4
Il potenziale nel centro del pentagono si scrive:
q
q
q
q
q  k

V  k  1  2  3  4  5   q1  q2  q 3  q 4  q 5   200V
r
r
r
r  r
 r


2k cos 54
q1  q2  q3  q4  q5  
200V
2  8.99  109  cos 54
3.00  2.00  5.00  4.00  7.00 109 m  0.476 m
200
4
21. Dalla conservazione dell’energia:
K  U  0  K  U  U A U B


1
m | vB |2  1 m | vA |2  qVA  qVB
2
2


2q
2  300  109
| vA | | vB |2  (VA VB )  0.4002 
(800  100) m/s  0.300 m/s
m
6.00  103
22. Calcoliamo il valore del potenziale elttrostatico nelle due posizioni A e D:
 (0.800  109 ) (0.800  109 ) 
q
q 

  7.19 V
VA  k  A  B   8.99  109 


 AB AC 
2.00
2.00


 (0.800  109 ) (0.800  109 ) 
q
q 

  21.0 V
VD  k  A  B   8.99  109 

 BD CD 
2.00 sin 20 
 2.00 sin 20

Dalla conservazione dell’energia:
K  U  0  K  U  K D  K A  U A U D  e(VA VD )


1
m | vD |2  1 m | vA |2  e(VA VD )
2
2
B

D
A
C


2e
| vD | | vA |2 
(V VD ) 
me A
 (4.00  106 )2 
2  (1.60  1019 )
31
9.11  10
(7.19  21.0) m/s  3.34  106 m/s



q
AB 
23. LAB  |F | | s | cos   q |E | AB cos 0 
20
4.00  106  6.00  106
 2.50  102 J  1.36  102 J
2  8.85  1012
Calcoliamo la differenza di potenziale:
LAB  U A U B  qVA  qVB

LAB
B
A
1.36  102
V  0.340  104 V  3400 V
4.00  106
Dalla conservazione dell’energia:
VA VB 
q

K  U  0  K  U 


1
m | vB |2  21 m | vA |2  q(VA VB )
2

2q
| vB |
(V VB ) 
m A
2  4.00  106
15.0  103
KB  K A  U A U B  q (VA VB )
 3400 m/s  1.35 m/s
Q
B
24. Scriviamo il valore del potenziale elttrostatico in A e in C:
Q
Q
VA  4k
VC  4k
AB
 2/2
Dalla conservazione dell’energia:
K  U  0  K  U  KC  K A  U A UC  q (VA VC )


1
m | vC |2  12 m | vA |2  q(VA VC )
2
1
m
2

 2

Q
Q 
1 


| vA |2  q(VC VA )  q 4k
 4k

  4kqQ 
  2 AB 
  2 / 2
AB 
5
Q
C
A
q
Q
Q
Q
1
m
2

| vA |2
 2
1 

4kq 

  2 AB 
1
 4.50  103
2

6
9
4  8.99  10  3.50  10
 1.402

2
1 




1.50  2 3.00 
C  57.5 nC
26. Trasformiamo in joule l’energia:
U  (1.20  103 eV)  (1.60  1019 J)  1.92  1016 J
La velocità dei protoni può essere calcolata dalla conservazione dell’energia:
1
K  U  0  ( me v 2  0)  (U  0)  0
2
U 
1
m v2
2 P

v
2U

mP
2  1.92  1016
27
1.67  10
m/s  4.80  105 m/s
La forza che i protoni esercitano sulla lastra è uguale e contraria a quella che la lastra
esercita sui protoni, che è pari alla loro variazione di quantità di moto al secondo:
 p

F
 n p1
t


dove p1  mP v è la quantità di moto che ogni protone cede, nell’urto, alla lastra.
Calcoliamo il modulo della forza:


| F |  n | p1 |  nmP v  (5.00  109  1.67  1027  4.80  105 ) N  4.01  1012 N
3V
29. Quando q si porta da A in B il campo mediamente contrasta lo spostamento dato
che procede verso potenziali maggiori. Risulta:
6V
A
9V

LAB  q V  q(VA VB )  2.30  106 C  (6 V  9 V)  7  106 J

B
9V
C
D
Il lavoro che le forze del campo svolgono per uno spostamento fra due punti sulla
stessa superficie equipotenziale come il passaggio da A in C, è sempre nullo, indipendentemente dal transito intermedio per D:
LAC  q(VA VC )  0 J
Fra la superficie equipotenziale in A e quella più esterna vi è una differenza di potenziale di 3 V separazione di circa 4 mm per cui risulta:

V
3V
E 

 8  102 V/m
s
4  10-3 m
B
A
H
30. L’altezza del triangolo misura:

E
2
C
2
BH  AB  AH  50.02  30.02 cm  40.0 cm
Per andare da B ad H ci si deve spostare parallelamente alle linee di campo quindi,
tenendo conto che VH  VA la differenza di potenziale vale:


VB  VH  V  |E | s  | E | BH  VB  VA  300 V  100 V  200 V

200 V
200 V
|E | 

 500 V/m
0.400 m
BH
Dalla formula per il campo del doppio strato:

 500 V/m    500  8.85  1012 C/m2  4.43 nC/m2
0
Essendo poi:
ˆ  BH  40.0  4
cos ABH
50.0
5
AB

ˆ  500  4  400 V/m
EAB  |E | cos ABH
5
q
8V
5V
31. Detti r1 ed r2 i raggi delle sfere risulta:
6
V  k
r  r1
q
q
 k  kq 2
r1
r2
r1r2
V
q
q
8 V  5V
k
k

 0.5 V/cm
2
r2  r1
r1r2
6.00 cm
rG
32. Stimiamo il campo elettrico lungo una circonferenza di raggio intermedio fre le
due assegnate, che some sappiamo per il filo infinito ha direzione radiale:
V
90V  30V
E

 20 V/cm  2000 V/m
r2  r1
13.0 cm  10.0 cm
r1

90 V
Uguagliando questo risultato al valore del campo generato da un filo rettilineo infi-
30 V
nito a distanza r  12 (r1  r2 ) si ha:
E

20r
  2 0

  20rE
1
(r1  r2 )E  [3.14  8.85 1012(0.130  0.100) 2000] C/m  12.8 nC/m
2
33. Le linee del campo elettrico devono essere sempre perpendicolari alle superfici
equipotenziali. Le linee sono tutte separate da una stessa differenza di potenziale di
4V. Il campo è più intenso nella regione in basso, dove le superfici equipotenziali sono più ravvicinate.
Giacché le forze del campo elettrico sono le sole ad agire, per la carica q dalla conservazione dell’energia risulta:
K  U  0  K  U  KB  K A  U A U B  q (VA VB )
K
48  106
q

C  4.0 μC
VA VB
22  10
35. Quando si ha un insieme di conduttori con estensione finita, una linea di campo
non può giungere dall’infinito, dove si ha V  0 , su di un conduttore, e poi ripartire da esso verso l’infinito. Infatti, dovendo procedere sempre verso potenziali decrescenti si cadrebbe in contraddizione, perché il potenziale del conduttore è costante
ed il suo valore non può essere contemporaneamente minore di quello all’infinito
(cioè negativo) e maggiore di quello all’infinito, cioè positivo. Le linee di forza vanno
solo da un conduttore ad un altro conduttore a potenziale inferiore, oppure da un
conduttore verso infinito o viceversa. la situazione proposta è dunque impossibile.
37. Durante il contatto le due sfere costituiscono un unico conduttore, quindi i loro
potenziali devono essere uguali: indicheremo con V  questo valore comune. La carica complessiva di 100 nC si ripartirà in due frazioni q1 e q2 direttamente proporzionali ai raggi delle sfere, infatti:
q
q
q
r
V k 1 k 2  1  1
r1
r2
q2
r2
Per la conservazione della carica abbiamo q1  q2  q  100 nC , da cui:
q  q2
r1
q2 

r2
q2
r2

r2 (q  q2 )  r1q2

q2 
r2
r1  r2
q


20.0  102

q  
 100 nC  40.0 nC
 30.0  102  20.0  102
r1  r2

r2
q1  q  q2  100 nC  40.0 nC  60.0 nC
7
18 V
14 V
22 V
A
B
10 V
La variazione di potenziale subita da ciascuna sfera può essere calcolata con la formula:
 60.0  50.0  9
q
q  q /2
q /2
V1  V  V1  k 1  k
k 1
 8.99  109 
 10 V  300 V
r1
r1
r1
 0.300 
V2  V  V2  k
q2
r2
k
 40.0  50.0  9
q  q /2
q /2
 10 V  450 V
k 2
 8.99  109 
 0.200 
r2
r1
38. Durante il contatto le due sfere costituiscono un unico conduttore, quindi i loro
potenziali devono essere uguali: indicheremo con V  questo valore comune. Chiediamo che la carica complessiva q si ripartisca in due frazioni 2q / 3 e q /3 :
Vk
(2/3)q
(1/3)q
k
R
r
(2/3)q
R
R

 r
(1/3)q
r
2

La variazione di potenziale subita dalla sfera può essere calcolata con la formula:
(2/3)q
(1/3)q
q
V  V  V  k
 k  k
 (1/3)V
R
R
R
39. Dalla conservazione dell’energia:
Lest  Lelett  K

Lest  K  Lelett  (U )  U
Lest  (qVfin  qVin )  kq
Q
5.60 109 120  109
 8.99 109 
J  4.32  105 J
R
0.140
Lelett  Lest  4.32  105 J
40. Dalla conservazione dell’energia:
Lest  Lelett  K

Lest  K  Lelett  (U )  U
Lest  (qVfin  qVin )  k (e)
 1 1
Q
Q
 k(e)  keQ   
 R d 
d
R
 1
1 
 J  3.19  1013 J
 8.99  109  1.60  1019  130  106  

 0.500 6.00 
Lelett  Lest  3.19 1013 J
41. V  k
M  me
Q
R

Q
RV
0.200  (3000)

C  66.74  109 C
k
8.99  109
Q
(66.74  109 )
 9.11  1031 
kg  3.80  1019 kg
19
(e)
(1.60  10 )
42. Calcoliamo il raggio della goccia grande uguagliando il volume a quello delle
quattro gocce piccole:
4
4
4  r 3  R 3  R  r 3 4
3
3
Troviamo il potenziale osservado che la goccia grande contiene una carica Q  4q :
V k
4  (0.400  109 )
Q
4q
=k
 8.99  109
V  15.1  103 V  15.1 kV
R
r3 4
0.600  103  3 4
Q
RV
0.160  2000
 Q

C  66.74  109 C
9
R
k
8.99  10
Dal teorema di Coulomb:
44. V  k
8


Q
Q
RV
1
|E | 





2
0
A0
k
4R 0
4R 20

V
V
5000
 
V/m  2.00  104 V/m  20.0 kV/m
k 40R
R
0.250
Q
A
 4R 2
=k
=k
=4 Rk 
R
R
R
V
900
R

m  0.177 m  17.7 cm
4k 
4  3.14  8.99  109  45.0  109
45. V  k
46. Dal teorema di Coulomb ricaviamo la densità di carica massima:




|E max |  max  max  0 |E max |  Q  4R20 |E max |
0

Q  4 R 20 |E max |  (4  3.14  0.5002  8.85  1012  3.00  106 ) C  83.4 μC



4R 20 |E max |
Q
V  k =k
=k 40R |E max |  R |E max |
R
R

V =R |E max |  (0.500  3.00  106 )V  1.50  10 6 V
50. Indicheremo con il pedice 0 le grandezze dopo la rimozione della lastra.
Risulta:

V
24.0
|E | 

V/m  3.00  103 V/m
3
d
8.00  10
La carica sulle armature, essendo il condensatore isolato, non viene alterata dalla rimozione della lastra di teflon. Pertanto nemmeno la densità superficiale di carica risulta alterata dalla rimozione, e il suo valore prima e dopo è:
A

Q C V
 
 0 r V  0 r V
A
A
dA
d
8.85  1012  2.1  24.0
C  55.755  109 C/m2  56 nC/m2
8.00  103
Calcoliamo la capacità prima e dopo che la lastra è stata rimossa, che come sappiamo
dipende solo dalla geometria e dal dielettrico:

C 
0 r A
d
0A

8.85  1012  2.1  140  104
8.00  103
F  325  1013 F  32.5 pF
8.85  1012  140  104
F  155  1013 F  15.5 pF
d
8.00  103
Per la nuova differenza di potenziale risulta:
Q
A 56  109  140  104
V0  0 

V  51 V
C0
C0
15.5  1012
e per il nuovo campo elettrico:

V0
51
|E 0 | 

V/m  6.4  103 V/m
d
8.00  103
C0 

51. Calcoliamo la distanza fra le due armature dalla formula che lega campo e differenza di potenziale:
V V
132
d     
m  0.0110 m  1.10 cm
|E |
1.20  104
dalla distanza si ricava l’area passando per la formula della capacità, e quindi il raggio R :
9
A  R 2 
dC
1.10  102  4.50  1012 2

m  5.59  103 m 2
12
0
8.85  10
5.59  103
m  0.0422 m  4.22 cm
3.14
La massima carica è quella che produce il campo elettrico dato:
R
q  C (V V )  (4.50  1012  132) C  0.594 nC
52. Risulta:
Q  C V 
r 
A
B
C D
d
V
Qd
(27.2  109 C)  (0.450  103 m)

 2.1
0AV
(8.85  1012  30  104  220)Cm
53. Risulta:
Q  C V 
V
0r A
0A
d
V 
8.85  1012  130  104  4.50
2.80  103
C  0.185  109 C  0.185 nC
54. Le due lastre sono perpendicolari alle linee di campo quindi esse vengono disposte lungo superfici equipotenziali. Giacché tutto un conduttore è sempre equipotenziale, esse si portano al valore che il potenziale assume rispettivamente a distanza

d /3 da A e a distanza (2/ 3)d da A. Dalla relazione V  |E | s che vale muoven
dosi lungo le linee di campo, osservando che |E |  (VD VA )/d , abbiamo:
V V  d

45.0
A
VBA  |E | sBA   D
V  15.0V
  
 d
3
 3
V V  2

2
A
VCA  |E | sCA   D
  d   45.0V  30.0V
 3
 d
3
ed essendo VA  0 V abbiamo VB  15.0V , VC  30.0V
Il campo elettrico non viene alterato dalla presenza delle lastre B e C, perché disponendosi lungo superfici equipotenziali non alterano le linee di campo. Quindi, sia
prima che dopo l’inserimento, in tutte e tre le regioni creatisi, abbiamo:
 V VA
45.0
|E |  D

V/m  900 V/m
d
50.0  103
La carica su B e C è nulla, perché subiscono solo il fenomeno dell’induzione e quindi
si addensano solo cariche uguali e di segno opposto sulle loro facce.
55. Nel momento in cui sono collegate, B e C divengono un unico conduttore, quindi
tutto allo stesso potenziale. Pertanto il campo elettrico nella regione fra B e C è nullo.
Tutto va come se al condensatore originario fosse stata sottratta una fetta centrale BC
e lo spazio fra le armature ridotto a (2/ 3)d , ed in mezzo posta una lastra conduttrice
unica. Il nuovo campo elettrico, in entambe le regioni vale:
 V VA
45.0
|E |  D

V/m  1350 V/m
(2 / 3)d
(2 / 3)  50.0  103
Quindi:
V V  d

45.0
A
VBA  |E | sBA   D
V  22.5V  VCA
  
 2d / 3  3
2
Su D abbiamo una carica positiva:
10
0A
Q  C VAD 
(2 / 3)d
VAD 
8.85  1012  160  104  45.0
(2 / 3)  50.0  103
C  0.191 nC
Quindi su C la stessa carica sarà negativa, per il fenomeno dell’induzione completa
nei condensatori, e positiva su B. Rimuovendo il filo non succede nulla, i due conduttori rimangono allo stesso potenziale e il campo all’interno zero.
56. La carica sulle armature alla distanza iniziale vale:
0 A
8.85  1012  210  104
 48.0 C  12744  1013 C  1.27 nC
7.00  103
Dopo l’allontanamento con la batteria collegata, la capacità cambia ma la differenza
di potenziale è mantenuta uguale dalla batteria:
Q  C V 
d
V 
0A
8.85  1012  210  104
 48.0C  6120  1013 C  0.612nC
2  7.00  103
Dopo l’allontanamento con la batteria scollegata, il condensatore è isolato e la carica
sulle armature si conserva. La capacità cambia, e nuova differenza di potenziale vale:
Q1  C1V 
V2 
V 
2d
Q
2d
1.27  109  2  7.00  103
Q

V  0.00957  1093124 V  96 V
C1
0A
8.85  1012  210  104
57. Gli elettroni entrano nella regione fra le armature con una velocità solo orizzontale che può essere calcolata dalla conservazione dell’energia:
1
K  U  0  ( me vx2  0)  (eV1  0)  0
2
1
eV1  me vx2
2

2eV1
vx 
me
Considerato che la velocità orizzontale non cambia dentro al condensatore, gli elettroni rimangono fra le armature per un tempo:

t
vx
Mentre sono fra le armature, sulle particelle agisce una forza verticale diretta in alto, che
produce un’accelerazione:
eV2
eV2
Fy  eEy 
 ay 
d
med
Quando escono da tale regione gli elettroni hanno allora una deflessione verticale:
2
1
1 eV2   
1 eV2 2 me
  
y  y 0  v 0y  ay t 2 


2
2 med  vx 
2 med
2eV1
E una velocità verticale:
eV2 
vy  v0y  ay t 
med vx
Il triangolo che ha per cateri le componenti della velocità orizzontale e verticale è simile al
triangolo che ha per cateti L e h-y. A distanza L dalla fine del condensatore la deflessione
è diventata pertanto:
vy
h y

L
vx
h y L
y L
vy
vx
 y L
V2 
2V1d
eV2  1
eV2 
eV2  me
y L
 y L

2
med vx vx
med 2eV1
m dv
e
2

 V2
4d V1
L
V2 
2V1d

x
V2 
  2L
V1 4d
11
V2
h
e
V1
L
Quindi:
4dh
V2  V1
   2L 
 2500 
4  6.00  103  0.0625
0.0200 0.0200  0.480
V  375 V
Verifichiamo che gli elettroni non colpiscono le armature:
y
 2 V2
(2.00  102 )2  375
 0.00250 m  2.50 mm
4  6.00 103  2500
ed essendo y  d /2 il condensatore non viene colpito.
4d V1

58. Il fulmine scocca quando viene superata la rigidità dielettrica dell’aria, cioè:

E max  3.00  106 V/m
 3km
Nel condensatore piano risulta:

Vmax  E max d  (3.00  106 )(3.0  103 ) V  9.0  109 V
da cui si ha la carica, ponendo A  0.50 km 2  0.50  106 m 2
 8.85  1012  0.50  106

A

Q  C Vmax  0 Vmax  
 9.0  109  C  13 C
d

3.0  103


E

E

V
80  103
59. Risulta: E 

V/m  9.4  106 V/m
9
d
8.5  10

12

  A  8.85  10  6.0  5.00  109 
 F  31  1012 F  31 pF
C  0 r  


d
8.5  109

60. Indicheremo con il pedice 0 le grandezze prima dell’inserimento della lastra.
Risulta:

V0
12.0
E0 

V/m  1.50  103 V/m
3
d
8.00  10
Calcoliamo la carica sulle armature, che non viene alterata dall’inserimento della lastra di vetro:
Q0  C 0 V0 
0 A
d
V0 
0 R 2
d
V0 
8.85  1012  3.14  (9.00  102 )2  12.0
C  0.338  109 C  0.338 nC
8.00  103
Calcoliamo la capacità dopo che la lastra è stata inserita, che come sappiamo dipende
solo dalla geometria e dal dielettrico:

C 

0r A
d

0r R2
d

8.85  1012  5.6  3.14  (9.00  102 )2
3
F  0.16  109 F  0.16 nF
8.00  10
Per la nuova differenza di porenziale risulta:
Q
Q
0.338  109
 0 
V  2.1 V
C
C
0.16  109
e per il nuovo campo elettrico:

V
2.1
E 

V/m  2.6  102 V/m

3
d
8.00  10
V 
61. Mentre sono fra le armature, sulle particelle agisce una forza verticale diretta in alto,
che produce un’accelerazione:
12
  
Fy  eEy  e  
 0 

ay 
e
me 0
Considerato che la velocità orizzontale non cambia dentro al condensatore, gli elettroni rimangono fra le armature per un tempo:

t
vx
quando escono da tale regione gli elettroni hanno allora una velocità verticale:
e 
vy  v0y  ay t 

me 0 vx

1.60  10 19  88.5  109
31
12

6.00  102
6
m/s  13.2  106 m/s
9.11  10  8.85  10
8.00  10
Quindi l’elettrone esce con una velocità e ad un angolo con l’orizzontale che sono:

|v |  vx2  vy2  ( 8.002  13.22  106 ) m/s  15.4  106 m/s
  arctan
vy
vx
 arctan
13.2  106
8.00  106
 58.8
62. La forza di Coulomb con la quale il protone viene attirato verso il basso vale:



8.85  109
|F |  e |E |  e  (1.60  1019 
) N  1.60  1016 N
0
8.85  1012
La forza sul protone dovuta alla gravità è invece:
p
e
m p g  (1.67  1027  9.81) N  1.64  1026 N
Come si vede, la forza di Coulomb è 10 ordini di grandezza più intensa della gravità, il
che rende lecito trascurare l’azione di quest’ultima. A maggior raggione si potrà
trascurare la gravità per l’elettrone, circa 1831 volte più leggero.
L’accelerazione verso il basso sul protone è quindi:

e
m payp  e( )  ayp  
0
m p 0
E quella verso l’alto sull’elettrone invece:

e
meaye  e( )  aye  
0
me 0
scriviamo le leggi orarie ponendo l’origine degli assi nella posizione iniziale dell’elettrone:
e 2
e 2
ye (t )  1 ayt 2  1
t
y p (t )  y0  1 ay t 2  d  1
t
2
2m 
2
2m 
e 0
p 0
ricaviamo il tempo alquale s’incontrano imponendo y p (t )  ye (t ) :
d1
2
t2 
e 2
e 2
t 1
t
2
m p 0
me 0
2d 0
e


2d  t 2 (
e
e

)
me 0 m p 0

2d 0
e
 t 2(
1
1

)
me m p
me m p
me  m p
Da questo ricaviamo laquota dell’elettrone alla quale s’incontrano:
mp
2d 0 me m p
e
ye (t )  1 ay t 2  1


d
2
2m 
e me  m p
me  m p
e 0

63. Mentre è fra le armature, sull’elettrone agisce una forza verticale diretta in alto, che
produce un’accelerazione:

e
Fy  eEy  e( )  meay  ay 
0
me 0
13

aC
e


v
Quando escono da tale regione gli elettroni hanno allora una velocità verticale:
e
1.60  1019  29.0  109
t
 3.00  108 m/s  1.73  106 m/s
me 0
9.11  1031  8.85  1012
Essendo la forza solo verticale, la componente orizzontale della velocità non cambia mai:
 v 
 1.73  106 
 y

  30
  arctan    arctan 
6
 v 


3.00

10


 x
vy  v0y  ay t 
L’accelerazione centripeta si trova proiettando l’accelerazione complessiva
ay  Fy /me lungo la direzione perpendicolare alla traiettoria. Giacché a tangente alla
traiettoria forma un angolo  con l’orizzontale, la normale ad essa formerà un uguale angolo  con la verticale (angoli fra rette perpendicolari a due a due). Quindi:
Fy

e
|aC |  ay cos  
cos  
cos  
me
0me
(
29.0  109  1.60  1019
12
cos 30) m/s2  4.98  1014 m/s2
31
8.85  10  9.11 10
Uguagliando il risultato all’espressione dinamica dell’accelerazione centripeta troviamo il raggio di curvatura R :

(vx2  vy2 )

| v |2
|aC | 

R
R
R

4
He 
2
d /2
(vx2  vy2 ) (3.00  106 )2  (1.73  106 )2

m  2.41  102 m  2.41 cm

|aC |
4.98  1014
64. Fissiamo un riferimento con l’origine nel punto in cui la particella fa ingresso
nello spazio fra le armature con velocità orizzontale vx . Considerato che la velocità
orizzontale non viene influenzata dal campo del condensatore, la particella rimane
fra le armature per un tempo:

t
vx
Mentre è fra le armature, il campo del condensatore, diretto in basso, Ey   /0 esercita
sulle particelle una forza verticale Fy diretta in basso, che produce un’accelerazione:
  
Fy  eEy  q  
 0 

ay  
q
m0
Quando esce dalla regione fra le armature, il nucleo di elio ha allora una deflessione verticale:
2
1
1  q  
1 q 2
  
y  y 0  v 0y  ayt 2  
   
 vx 
2
2  m0 
2 m0 v 2
x
Imponendo che questa deflessione sia y  d /2 si ottiene la velocità che fa urtare la particella contro l’estremo dell’armatura negativa, in basso. E’ questo il valore da superare se
si desidera che la particella oltrepassi il condensatore:

1 q  2
d

2 m0 v 2
2
x
vx 
q  2

m0 d

vx 
q 2
m0 d
3.20 1019  88.5  109  (6.00  102 )2
27
6.68  10
12
 8.85  10
14
3
 8.00  10
m/s  0.464  106 m/s
65. Essendo il campo elettrico conservativo, il lavoro complessivo nel percorso chiuso che da D torna in A passando per i tratti rettilinei DC, CB e BA è nullo. Detto Lcur
il lavoro lungo il percorso curvo tratteggiato, si ha:
Lcur  LDC  LCB  LBA  0
 Lcur  LCB
dove abbiamo eliminato i tratti orizzontali, perpendicolari alla forza, verticale, lungo
i quali il lavoro è nullo. Risulta:


V
LCB  |F | CB cos 0  q |E | CB  q
CB 
d
400
 3.00  106 
 5.00  102 J  7.50  103 J
3
8.00  10
Lcur  LCB  7.50  103 J
67. Utilizzando la formula per l’energia incamerata:
1
CV 2  400J
2

V 
2  400
175  106
V  2.00  103 V
69. L’energia finale è minore perché se si fissa la differenza di potenziale fra le armature, U  CV 2 / 2 risulta direttamente proporzionale alla capacità, che diminuisce,
passando da C1  rC 2  177 pF al valore C 2  70.8pF (valori calcolati nell’esercizio
precedente). Il lavoro della forza elettrostatica è pari alla variazione dell’energia potenziale elettrostatica nel condensatore, fra le due situazioni U1 con la lastra ed U 2
senza lastra. Osservando che V1  V2  500 V si ha:
L  U  U 1 U 2  1 C 1V 2  1 C 2V 2  1V 2 (C1 C 2 )
2
2
2
Si ha C1  rC 2 , quindi:
L  1 V 2 (rC 2  C 2 )  1 V 2C 2 (r  1)  1  5002  70.8  1012 (2.50  1)J  1.33  105 J
2
2
2
positivo in quanto diminuisce l’energia potenziale.
70. Il condensatore è isolato quindi si mantiene costante la carica sulle armature:
A
Q  C1V1  0 V1
d1
Per l’energia potenziale conviene allora utilizzare l’espressione U  Q 2 / 2C :
L  U 1 U 2 

  A 2 (d  d )
Q 2d1 Q 2d2
Q2
Q2
Q2
2




(d1  d2 )   0 V1  1

 20A
2C1 2C 2
20A 20 A 20A
 d1
0AV12 (d1  d2 ) 8.85  1012 (120  104 )3002 (5.00  3.50)103


J  2.87  107 J
2
3 2
2
d1
2  (5.00  10 )
71. Il condensatore non è isolato, quindi non si mantiene costante la carica sulle armature, però è costante la differenza di potenziale. Per l’energia potenziale conviene
allora utilizzare l’espressione U  CV 2 /2 :
L  U 1 U 2 

C1V 2
2

C 2V 2
2

0AV 2
2d1
8.85  1012  (250  104 )  6002
2




0AV 2
2d2
1
3
4.00  10


0AV 2  1
1
   
2 d1 d2 
1

 J  5.97  106 J

3 

2.50  10
72. Conosciamo l’intensità della forza con la quale si attirano le due armature:
15
C
A
D
B
  2


 V 2
Q2
2A2
2A
 A
|F | 


 0   A  0 |E | 2 A  0 
20 A
20A
20
 0 
 d 
Uguagliamola al peso della massa sull’altro piatto per avere equilibrio:
 V 2
 A
mg  0 
 d 
m
C
m
0 V 2A

gd 2
8.85  1012  15002  (200  104 )
9.81  (3.00  103 )2
kg  0.451  102 kg  4.51 g
73. Il condensatore non è isolato, quindi non si mantiene costante la carica sulle armature, però è costante la differenza di potenziale. Per l’energia potenziale conviene
allora utilizzare l’espressione U  CV 2 /2 :
L  U 1 U 2 
C1V 2
2

C 2V 2
2

0AV 2
2d1

0AV 2
2d2

0AV 2  1
1
   
2 d1 d2 
Dall’espressione che lega la forza con cui si attirano le armature alla differenza di potenziale e alle altre grandezze in gioco abbiamo:
2

C 12V 2
0AV 2
Q2
V 2  0A 

|F1 | 


 

20 A
20A
20 A  d1 
2d12
Sostituendo:
 1

1 
L  d12 |F1 |     |F1 |
d1 d2 

0AV 2
2

 d12 |F1 |

d12 


d

 1
d2 

Se la distanza viene raddoppiata:
 
 d
d 2 
6.00  103
L  |F1 | d1  1   |F1 | 1  5.00  102 
J  1.50  104 J


2d1 
2
2

se la distanza viene dimezzata:
 

d 2 
L  |F1 | d1  1    |F1 | d1  5.00  102  6.00  103 J  3.00 104 J

d1 /2 

2

(3.00  106 )2
1
1   
2
2

75. u  0 | E |  0 


J/m 3  0.127 J/m 3

2
2  20 
0
8  8.85  1012

76. Ricordando che si ha |E | 

0 | E | 2

, risulta:
20x
2
2
0   

  
2
2  20 x 
8 2 0x 2
la densità di energia, come si vede non è costante, non essendo costante il campo
elettrico. Sostituiamo i valori numerici:
u 
u 

(5.00  106 )2
8  3.14  8.85  1012  0.04002
2
J/m 3  22.4 J/m 3
77. Dalle applicazioni del teorema di Gauss sappiamo che campo elettrico all’esterno
di una sfera carica è come quello di una carica puntiforme posta nel suo centro, di
valore Q uguale a quella totale. Giacché la superficie della sfera è A  4R 2 , si ha:
Q  A  4R2
A distanza R  x dal centro risulta allora:
16

|E | 
1
Q
1 4R2 

R2

1



40 (R  x )2
40 (R  x )2
0 (R  x )2
0 (1  x /R)2
Calcoliamo la densità di energia associata al campo elettrico:

2
0 | E | 2
 
1
2
 
u 
 0 

2
2  0 (1  x /R)2 
20 (1  x /R)4
la densità di energia, come si vede non è costante, non essendo costante il campo
elettrico. Sostituiamo i valori numerici:
(2.00  106 )2
u 
J/m 3  2.79  103 J/m 3
2  8.85  1012 (1  0.0300/0.0150)4
93. Dai dati abbiamo la capacità del condensatore:
Q
4.10  109

F  20.5 pF
V
200
Che confrontata con la formula in questa configurazione produce:
 R R 
40
1
1
C  40  1 2  


 R2  R1 
C
R1 R2
C 

 1
40
1
1
1
1
 m  22.1 m1






12
9

2
R1
C
R2
6.00  10 
 20.5  10  8.99  10
1
R1 
m  0.0452 m  4.52 cm
22.1
B
80. Da un esame della configurazione si vede che le due capacità C B e CC sono fra
1
A
loro in parallelo, e quindi equivalenti alla capacità:
C B  CC  C BC  9.0 μF  4.0 μF  13 μF
D
2
C
La capacità C BC risulta poi in serie alle capacità C A e C D , quindi complessivamente
fra il punto 1 ed il punto 2 abbiamo una capacità equivalente CE :
1
1
1
1



CE
C A C BC C D

 1
1
1
1 
 μF1
 
 

CE
 5.0 13 6.0 
5.0  13  6.0
390
μF 
μF  2.25 μF
13  6.0  5.0  6.0  5.0  13
173
Pensando che il terminale 1 sia a potenziale positivo, avremo che sull’armatura di
sinistra della capacità equivalente si deposita una carica:
CE 
q  C E V  (2.25  106  60.0) C  135 μC
Per definizione la capacità equivalente non altera il fenomeno fisico, quindi la stessa
carica 135 μC deve depositarsi sull’armatura di sinistra della capacità C A nella configurazione originale, e sull’armatura di destra, con segno opposto, del condensatore
C D nella configurazione originale. Questa stessa carica si localizza complessivamente sulle armature delle due capacità in parallelo C B e CC . Per capire come si ripartisce fra loro, osserviamo che essa deve produrre ai capi del parallelo una differenza di
potenziale V che si ottiene sottraendo ai 60.0 V complessivi la caduta q /C A ai
capi di C A più la caduta q /C D ai capi di C D :
VBC  60.0 V 
q
q
135  106
135  106

 60.0 V 
V
V
CA CD
5.00  106
6.00  106
 60.0 V  27.0 V  22.5 V  10.5 V
Per avere questa differenza di potenziale fra le armature di C B occorre che su di esse
vada una carica:
17
1
A
BC
D
2
qB  C B  (10.5 V)  (9.00  106  10.5) C  94.5 μC
mentre per avere questa differenza di potenziale fra le armature di CC occorre che
su di esse vada una carica:
qC  CC  (10.5 V)  (4.00  106  10.5) C  42.0 μC
81. Da un esame della configurazione si vede che le due capacità CC e C B sono fra
2
B
loro in serie, e quindi equivalenti alla capacità:
C C
1
1
1
6.00  8.00


 C AB  A B 
μF  3.43 μF
C AB
CA CB
CA  C B
6.00  8.00
A
1
C
La capacità C AB risulta poi in parallelo alla capacità C A , quindi complessivamente
fra il punto 1 ed il punto 2 abbiamo una capacità equivalente CE :
C E  C AB  CC  3.43 μF  4.00 μF  7.43 μF
Pensando che il terminale 1 sia a potenziale positivo, avremo che sull’armatura di
sinistra della capacità equivalente si deposita una carica:
q  C E V  (7.43  106  80.0) C  594 μC
Per definizione la capacità equivalente non altera il fenomeno fisico, quindi la stessa
carica 594 μC si localizza complessivamente sulle armature di sinistra delle due capacità in parallelo C AB e CC . Per capire come si ripartisce fra loro, osserviamo che
essa deve produrre ai capi del parallelo una differenza di potenziale V  80.0 V .
qAB  C AB V  (3.43  106  80.0) C  274 μC
qC  CC V  (4.00  106  80.0) C  320 μC
B
Sempre perché la capacità equivalente, se sostituita non altera il fenomeno fisico, sulle armature di sinistra di ciascun condensatore della serie AB avermo infine:
qA  qB  qAB  274 μC
D
1
2
C
A
82. Spostando leggermente i contatti in alto si vede che B e D sono in serie, e che la
loro capacità equivalente C BD è in parallelo a CC . La capacità equivalente C BDC è in
serie ad A. Calcoliamo C BD :
B
1
D
2
A
C
1
1
1
2



C BD
CB CD
C

C BD 
C
2
Calcoliamo C BDC :
C BDC  C BD  CC 
C
3
C  C
2
2
Calcoliamo C E :
1
1
1
2 1
1
5 1



 
CE
C BDC C A
3C C
3C

3
3
C E  C   500 μF  300 μF
5
5
83. La capacità C E equivalente al parallelo vale:
C E  C A  C B  4.50 μF  6.20 μF  10.7 μF
Sull’armatura collegata al terminale positivo della capacità equivalente si deposita
una carica:
q  C E V  (10.7  106  60.0) C  642 μC
Per definizione la capacità equivalente non altera il fenomeno fisico, quindi la stessa
carica 642 μC si localizza complessivamente sulle armature di sinistra delle due capacità in parallelo C A e C B .
18
Per capire come si ripartisce fra loro, osserviamo che essa deve produrre ai capi del
parallelo una differenza di potenziale V  60.0 V .
qA  C A V  (4.50  106  60.0) C  270 μC
qB  C B V  (6.20  106  60.0) C  372 μC
84. La carica sulle armature positive di una serie è la stessa che si localizza sulla capacità equivalente. Calcoliamo C E :
1
1
1


CE
CA CB

CE 
C AC B
C A C B

1.40  3.30
nF  0.983 nF
1.40  3.30
qA  qB  q
q  C E V  (0.983  109  400) C  393 nC
Le differenze di potenziale valgono invece:
q
393  109
VA  A 
V  281 V
CA
1.40  109
VB 
qB
CB

393  109
3.30  109
V  119 V
85. I tre condensatori sono in parallelo fra il terminale 1 e il terminale 2. Calcoliamo
la capacità equivente:
1
1
1
1
3
C
210
   
 CE  
μF  70.0 μF
CE
C C C
C
3
3
2
C
C
1
86. La differenza di potenziale può essere calcolata ai capi di uno qualunque dei tre
condensatori, perché essi sono in parallelo.
V12 
q
140  106

V  2.00 V
C
70.0  106
C
1
B
C
2
B
C
2
B
C
2
A
87. I tre condensatori sono in parallelo, come si deduce osservando che è possibile
andare da 1 a 2 passando per il solo A, oppure passando solo per B, o passando solo
per C. Calcoliamo la capacità equivalente:
 1
1
1
1
1
1
1
1 
 nF1




 


CE
C A C B CC
CE
 100 150 200 
CE 
100  150  200
3000
nF 
nF  46.2 nF
150  200  100  200  100  150
65
88. Visto dai teminali 1 e 2 si ha la serie dei due condensatori da 15.0 μF e 12.0 μF in
1
A
1
A
parallelo al condensatore da 20.0 μF :
C E  20.0 μF 
15.0  12.0
μF  26.7 μF
15.0  12.0
1
2
89. Visto dai teminali 1 e 3 si ha la serie dei due condensatori da 20.0 μF e 12.0 μF in
20.0μF
parallelo al condensatore da 15.0 μF :
C E  15.0 μF 
20.0  12.0
μF  22.5 μF
20.0  12.0
90. Visto dai teminali 2 e 3 si ha la serie dei due condensatori da 20.0 μF e 15.0 μF in
parallelo al condensatore da 12.0 μF :
19
15.0μF
3
12.0μF
C E  12.0 μF 
20.0  15.0
μF  20.6 μF
20.0  15.0
91. Il collegamento in serie produce una capacità più piccola della più piccola fra le
due. Scriviamo la capacità equivalente nella forma:
1
CE 
1
1

CA CB
Come si vede, più piccole sono le capacità, più grande risulta il denominatore, più
piccola C E . Quindi il minimo valore si ha collegandoli in serie, entrambi al valore
minimo:
20.0  20.0
CE 
nF  10.0 nF
20.0  20.0
Il collegamento in parallelo produce una capacità più grande della più grande fra le
due, quindo il massimo valore si ha collegandoli in serie. La semplicità della formula
per la capacità equivalente rende chiaro che per avere il massimo valore devono entrambe essere al valore massimo:
C E  C A  C B  200 nF  200 nF  400 nF
S
V1
V2
92. Quando l’interruttore S è aperto, sulle due armature in alto sono presenti le cariche:
q1  C V1
q2  C V2
Al momento della chiusura di S, essendo le due armature due conduttori identici, la
carica totale q  q1  q2 si ripartisce equamente fra di esse. Osservando che la capacità equivalente al parallelo è C E  2C , esse si portano a un potenziale:
V 
q  q 2 C V1  C V2
V1  V2
q
100  200
 1



V  150 V
CE
2C
2C
2
2
Calcoliamo l’energia del sistema prima della chiusura:
1
1
1
U  C V12  C V22  C (V12  V22 ) 
2
2
2
1
  300  109 (1002  2002 )J  7.50  103 J
2
E dopo la chiusura:
 V  V 2
1
1
2
9
2
3
1
2
U   C E V  2C 
  300  10  150 J  6.75  10 J

2
2

2
L’energia dissipata (ad esempio per calore, fenomeni magnetici eccetera) è quindi:
U U   (7.50  6.75)  103 J  0.750  103 J  0.750 m J
96. Sappiamo che la frazione della carica q 0  5.00 nC che va sulla parete interna
del guscio, quando questo è sottile, vale:

R
20.0 
 nC  4.00 nC
q  q 0 1  5.00 

R
25.0 
2
e che di conseguenza una carica di  4.00 nC è indotta sulla sfera dentro.
Calcoliamo la capacità del condensatore con la formula per il guscio sottile:


R22
1
0.2502

 F  0.139  109 F  139 pF
C  40
 

R2  R1  8.99 109 0.250  0.200 
Possiamo ottenere il potenziale del guscio considerando che questo coincide con la
differenza di potenziale rispetto alla sfera interna, che è a terra:
20
VG  V 
q
5.00  109

V  36.0 V
C
0.139  109
97. In questo caso, assumendo R3  R2 , il valore della capacità si calcola:
C  40 r
R1R2
R2  R1
 40 R2  40
R22  R1R2 (r  1)
R2  R1
21