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POLITECNICODIMILANO
FondamentidiFisicaSperimentale,a.a.2014-15
Primaprovainitinere,8maggio2015,prof.R.Bertacco
Giustificare le risposte e scrivere in modo chiaro e leggibile. Sostituire i valori numerici solo alla fine, dopo aver
ricavato le espressioni letterali. Scrivere in stampatello nome, cognome, matricola e firmare ogni foglio.
1.Siconsideriilsistemainfigura,incuiaunamassam1=1kgappoggiatasu
F
un piano scabro, inclinato dell’angolo θ=30° rispetto all’orizzontale, è
m 1
collegata, tramite un filo inestensibile e di massa trascurabile, una massa
m2=3kg.L’oggettodimassam2èsospesonelvuotomedianteunacarrucola
θ
privadiattritiedimassatrascurabile.Ilpianoscabrohacofficientidiattrito
staticoµS=0.3edinamicoµD=0.2.Inoltre,unaforzaFèapplicataallamassa
m 2
m1indirezioneparallelaalpianoinclinato,versol’alto.
Inizialmenteilsistemaèinquiete;inquestacondizionesicalcolino:
a)ilmodulodellatensionedelfilo;
b)ilmassimovaloredelmodulodellaforzaFaffinchèilsistemarimangainquiete.
LaforzaFvienequindiaumentatadel10%rispettoalvalorecalcolatonelpuntob).Intalicondizioni:
c)calcolareillavorodellaforzad’attritoquandol’oggettodimassam2salediΔh=20cm.
2.Unsatellitedimassam=250kgèinorbitageostazionariaattornoallaterra.
a)trovareilraggiodell’orbita.
Auncertoinstante,eperuntempomoltobreve,vengonoaccesiirazzidiposizionamentoeilmodulo
dellavelocitàdelsatellitevienedimezzato(ladirezionedellavelocitàrimaneinvececostante).Ilsatellite
vienecosìatrovarsinell’apogeodiunanuovaorbitaellittica.
b)Sideterminilaminimadistanzadalcentrodellaterradellanuovaorbita(perigeo).
[G=6.6710-11m3/kgs2;MTerra=5.971024kg;RTerra=6371km]
3. Un corpo puntiforme di massa m=0,5 kg procede lungo un piano orizzontale liscio con velocità
vi=1m/seurtauncorpoinizialmentefermodimassaM=1kg.Inseguitoall’urtolamassaMiniziaa
muoversi con velocità vM=2/3 m/s, nello stesso verso di vi mentre il corpo di massa m inverte il suo
motoeacquisisceunavelocitàinmodulopariavf=1/3m/s.
a)Qualigrandezzesiconservanodurantel’urtoedichetipodiurtositratta?
b) Enunciare il terzo principio della dinamica e spiegare perché i risultati dell’esperimento descritto
soprapossonoessereimpiegatiperdimostrarelavaliditàdiunapartedidettoprincipio.
4.UnamassapuntiformeM=400gèappesaaunfiloinestensibileedimassatrascurabiledilunghezza
L=60cm.
a) Indicare, giustificando la risposta, in quale punto del moto del pendolo la tensione del filo
raggiungeilsuovaloremassimo.
SisacheilfilosispezzasesottopostoatensioniugualiomaggioridiTmax=5N.
b)Determinarel’angolominimoθmin(formatodalfiloedallaverticaleperilpuntodisospensione)da
cuifarepartirel’oscillazionedelpendolo,convelocitàinizialenulla,affinchéilfilosispezziduranteil
moto.
TRACCEDISOLUZIONE
ES.1
a)Quandoilsistemaèinquiete,leunichedueforzeadagiresullamassam2,cioèlatensioneelaforza
peso,devonoessereugualiinmodulo.Perciò:
! = #$ % = 29.4N
b) La forza F è applicata sulla massa m1. La forza massima applicabile si ottiene considerando una
situazionediequilibrioincuilaforzadiattritohaversooppostorispettoaF:
0 = ! + #. % sin 2 + 34 #. % cos 2 − 89:; Siricava:
89:; = ! + #. % sin 2 + 34 cos 2 = 36.8N
c) Il sistema si mette in moto non appena la forza F supera il valore trovato al punto precedente. Il
lavoro fatto dalla forza d’attrito dipende però solo da quest’ultima (ha un valore costante nella
situazionedimotoedindipendentedaF)edallospaziopercorsoesihasemplicemente:
? = −3@ #. % cos 2 ∆ℎ = −0.34J
ES.2
a)Un’orbitageostazionariaècaratterizzatadall’averelostessoperiododelgiornoterrestre,cheperla
precisione vale T = 86164 s (ma anche l’approssimazione 24 h x 60 min x 60 s = 86400 s va bene).
Affinché il satellite appaia stazionario rispetto ad un sistema di riferimento solidale alla superficie
terrestre tale orbita deve essere circolare. Il moto del satellite sarà quindi di tipo circolare uniforme,
responsabiledelqualeèlaforzadiattrazionegravitazionaleconlaTerra:
D$
#GH
#
=F $ E
E
Siricavadaquestaequazionecinematicailvaloredelraggiodell’orbita:
E=
J
FGH ! $
= 4.210L m
4I $
b)Nelmomentoincuilavelocitàèdimezzatairazzinonsonopiùinazione.Dataleistanteinpoiagisce
la sola forza di attrazione gravitazionale, che è conservativa. In particolare, conviene considerare la
conservazione del momento angolare L = r x p (perché la forza gravitazionale è centrale) e la
conservazione dell’energia totale meccanica. Sia DN = D/2 la velocità nel punto di afelio (punto di
distanzamassimaparialladistanzainizialeE,cheèquelloincuiilsatellitesitrovadopolafrenata),dove
D è la velocità del moto precedente, che possiamo ricavare semplicemente da D = 2IE/!. Sia DP la
velocità nel punto di perigeo (punto di minima distanza EP , che dobbiamo ricavare), dove il satellite è
sull’asseminoredell’orbitaellittica,alladistanzaEP dallaTerra.
Leequazionidiconservazionesiscrivono:
E#DN = EP #DP 1
#GH 1
#GH
#DN$ − F
= #DP$ − F
2
E
2
EP
Daquestesiricava:
EQ =
−FGH ±
DN$ −
L’espressionesisemplificain:
EQ =
Lasoluzioneperilsegnomenoè:
F $ GH $ + E $ DNS − 2FGH EDN$
2FGH
E
−FGH ± EDN$ − FGH
E
EDN$ − 2FGH
EQ =
E $ DN$
2FGH − EDN$
.
.
PoichéEDN$ = GH Fsiottiene:EQ = E = 6.0310T m
S
L
Lasoluzioneconilsegnopiùcoincideconl’apogeo(r).
ES.3
a)Siconservanolaquantitàdimotoel’energiacineticatotale,quindil’urtoèelastico.
b)Poichéilsistemaèisolatoilcasosperimentalepresentatoèunesempiodiapplicazionedelprincipio
diconservazionedellaquantitàdimotonelcasodisistemiisolati.
La dimostrazione di tale principio è possibile solo assumendo valida la parte del terzo principio della
dinamica che permette di asserire che la risultante di tutte le forze interne è uguale a zero. Solo in
questo caso la variazione della quantità di moto totale è nulla, essendo nulla la risultante delle forze
esterne.
Laconservaizonedellaquantitàdimotononriesceperòadimostrarecheleforzechesiscambianodue
corpidevonoaverelastessarettadiapplicazionechecongiungeiduecorpi.Perquestasecondaparteè
necessarioverificarelavaliditàsperimentaledelprincipiodiconservazionedelmomentoangolareper
unsistemadipuntimateriali.
ES.4
a)Latensionedelfilonelpendoloèdatada
! = G%cos U + G
VW
X
edèdunquemassimaperα =0(filoverticale),dovesialavelocitàsialaproiezionedellaforzapesosono
massime.
b)Calcololavelocitànelpuntodimassimatensionemedianteunbilancioenergetico:
1
GD $ = G%? 1 − cos U
2
→D=
2%? 1 − cos U L’equazionedelladinamicaproiettatalungoladirezioneradialedelmotofornisce(nelpuntodimassima
tensione)
G
D$
= ! − G%
?
esiharotturadellafunequandoT=Tmax,dacuisostituendol’espressionepervsitrova
Umin = arcos
3 !max
−
≅ 30°
2 2G%