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Corso di Laurea:
Numero di Matricola:
Esame del Simulazione d’Esame
Tempo consentito: 120 minuti
Corso di Econometria
Professor Paolo Vitale
Anno Accademico 2016-7
UdA, Scuola d’Economia
Domanda 1 [6 punti].1
Si consideri la seguente regressione cross-section stimata per testare la validità del CAPM su un insieme di
100 titoli azionari,
r̄i = λ0 + λ1 β̂ i + λ2 β̂2i + λ3 σ̂i2 + ei .
α. Si spieghi cosa rappresentano r̄i , β̂ i e σ̂i2 .
β. Si spieghi quali restrizioni rispettano i coefficienti λ0 , λ1 , λ2 e λ3 se è valido il CAPM.
δ. Si spieghi quale distorsione (e perché) condiziona le proprietà degli stimatori dei minimi quadrati
per i coefficienti λ0 , λ1 , λ2 e λ3 .
γ. Si spieghi brevemente quale metodo Fama e McBeth impiegano per porre rimedio alla distorsione
illustrata al punto δ..
Domanda 2 [6 punti].
Si supponga che un ricercatore, utilizzando i dati sulla dimensione delle classi, CS, e sul punteggio medio
di un test per 50 classi relative alla terza media, stimi la seguente regressione con il metodo dei minimi
quadrati
d
TestScore
=
640.3 − 4.93 CS , R̄2 = 0.11 , SER = 8.7 ,
(23.5) (2.02)
dove in parentesi sono riportate le stime delle deviazioni standard dei coefficienti della regressione.
a. Una classe è composta da 25 alunni. Qual è la previsione della regressione per quanto riguarda il
punteggio medio nella classe?
b. L’anno scorso un’altra classe era composta di 21 studenti. Quest’anno la stessa classe è composta di
24 studenti. Qual è la previsione della regressione per la variazione del punteggio medio di questa
classe tra i due anni?
c. La dimensione media delle classi nel campione delle 50 classi è 22.8. Qual è il punteggio medio del
test nelle 50 classi del campione, TestScore? [Suggerimento: si consideri il nesso tra gli stimatori
dei minimi quadrati dei coefficienti di un modello di regressione lineare con un unico regressore e
un’intercetta.]
d. Qual è la deviazione standard del punteggio medio del test nelle 50 classi del campione? [Suggerimento: si consideri il nesso tra questo valore e l’R2 e il SER della regressione.]
1 Si
ricordi di siglare ogni foglio del compito con il proprio numero di matricola, ma non con il proprio nome. La
consultazione di libri di testo e appunti non è consentita. E’ consentito l’impiego della calcolatrice scientifica e delle
tavole statistiche allegate al libro di testo. Massima importanza verrà data alla chiarezza delle risposte.
Econometria, Numero di Matricola
Simulazione d’Esame
Domanda 3 [6 punti].
Si consideri il modello di regressione lineare classico yt = β0 xt + ut , dove xt è un vettore k × 1 di variabili
esplicative, mentre β è un vettore k × 1 con i coefficienti di regressione. Si abbia a disposizione un campione
di T osservazioni per (yt , xt ). Sia quindi y il vettore delle T osservazioni della variabile dipendente, X la
matrice T × k delle T osservazioni delle k variabili esplicative e u il vettore delle T osservazioni del termine
di errore.
Si risponda (a scelta) ad una delle seguenti due domande:
1. Si consideri lo stimatore dei minimi quadrati di β, β̂. Sia ŷ il vettore di T valori previsti della variabile dipendente e sia û = y − ŷ il vettore dei T valori dei residui della regressione. Utilizzando le
condizioni del primo ordine del metodo dei minimi quadrati impiegato per stimare β si dimostri che
ŷ0 û = 0 [Suggerimento: si dimostri in primo luogo che X0 û = 0].
2. Si ricordi che per ipotesi E[u] = 0 e che Var[u] ≡ E[uu0 ] = σu2 I T . Si assuma che le variabili esplicative
siano predeterminate, cioè deterministiche. Considerando che β̂ = (X0 X)−1 X0 y, si verifichi che
Var[ β̂] = σu2 (X0 X)−1 .
Domanda 4 [6 punti].
Si sono impiegate 420 osservazioni relative ai distretti scolastici californiani per stimare la seguente regressione lineare,
d
TestScore
=
681.44 − 0.61 LchPct , R̄2 = 0.75 , SER = 9.45 ,
dove TestScore è il valore medio del test scolastico nel relativo distretto scolastico e LchPct la percentuale
media nel distretto scolastico di studenti che hanno diritto al pasto gratuito nella mensa scolastica. Il valore
medio nel campione di questa variabile è 44.7 (ovvero 44.7%).
i. Si interpretino i risultati della regressione.
ii. La statistica F per la significatività del coefficiente angolare è 1149.57. Qual è la distribuzione di
questa statistica test se è valida l’ipotesi nulla? Quali sono i gradi di libertà di questa statistica? Si
spieghi sotto quali ipotesi vale questo risultato.
iii. Si individui il valore critico della statistica F per un livello di significatività dell’1%. Si verifichi
l’ipotesi che non esista una relazione lineare tra la variabile TestScore e LchPct.
iv. Qual è la stima della deviazione standard dello stimatore del coefficiente angolare? [Suggerimento:
con un unico regressore la statistica F è il quadrato della statistica t per il coefficiente angolare]
Econometria, Numero di Matricola
Simulazione d’Esame
Quiz 1 [1 punto] (Si selezioni un’unica risposta).
Nel modello di regressione lineare con un’intercetta ed una variabile esplicativa, la varianza della variabile
dipendente, Var[y], è
A) α2 + β2 Var[ x ] + Var[u].
B) la varianza di u.
C) β2 Var[ x ] + Var[u].
D) la varianza dei residui.
Quiz 2 [1 punto] (Si selezioni un’unica risposta).
La dimostrazione che gli stimatori del metodo dei minimi quadrati dei coefficienti del modello di regressione lineare sono BLUE richiede le seguenti assunzioni con l’eccezione di:
A) gli errori sono omoschedastici.
B) gli errori sono normalmente distribuiti.
C) E[u | x ] = 0.
D) non vi sono valori estremi (outliers).
Quiz 3 [1 punto] (Si selezioni un’unica risposta).
Qualora in una regressione lineare vengano omesse delle variabili che influenzano la variabile dipendente
A) non è possibile valutare l’effetto delle variabili omesse, ma non si hanno effetti sullo stimatore dei
coefficienti delle variabili incluse nella regressione.
B) questo non ha effetto sullo stimatore dei coefficienti delle variabili incluse poiché queste sono considerate nella regressione.
C) in ogni caso lo stimatore del metodo dei minimi quadrati per i coefficienti delle variabili incluse nella
regressione è distorto.
D) lo stimatore del metodo dei minimi quadrati per i coefficienti delle variabili incluse nella regressione
è distorto se e solo se le variabili omesse sono correlate con quelle incluse nella regressione.
Econometria, Numero di Matricola
Simulazione d’Esame
Quiz 4 [1 punto] (Si selezioni un’unica risposta).
Si consideri il modello di regressione lineare y = β 1 + β 2 x2 + β 3 x3 + . . . β k xk + u e il test di ipotesi per la
verifica dell’ipotesi nulla H0 : β 2 = 0 β 3 = 0, . . . , β k = 0. Ciascuna delle seguenti formuli (dove “res” indica
valori della regressione stimata sotto la restrizione che β 2 = 0 β 3 = 0, . . . , β k = 0, mentre “unres” indica
valori della regressione stimata senza restrizioni) rappresentano correttamente la corrispondente statistica
test F ad eccezione di
A)
F =
R2unres − R2res
1 − R2unres
T−k
k−1
.
B)
F =
∑tT=1 û2res,t − ∑tT=1 û2unres,t
!
∑tT=1 û2unres,t
T−k
k−1
.
C)
F =
R2unres
1 − R2unres
T−k
k−1
.
D)
F =
∑tT=1 û2unres,t − ∑tT=1 û2res,t
!
∑tT=1 û2unres,t
T−k
k−1
.
Quiz 5 [1 punto] (Si selezioni un’unica risposta).
In un modello di regressione lineare con una sola variabile esplicativa, la dimensione e il segno/direzione
della distorsione da errore di misura (errors-in-variables bias) dipendono da
A) la correlazione tra la variabile osservata e l’errore di misura.
B) la dimensione del campione.
C) il valore dell’R2 della regressione.
D) la varianza dell’errore di misura.
Quiz 6 [1 punto] (Si selezioni un’unica risposta).
Per stabilire se degli strumenti per un singolo regressore endogeno sono deboli si applica la seguente
regola:
A) la statistica F deve essere significativa.
B) la statistica F deve assumere un valore minore di 1.96.
C) la statistica t di ogni strumento deve essere inferiore a 1.65.
D) la statistica F deve assumere un valore minore di 10.