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RICHIAMI DI TOPOLOGIA GENERALE
TOPOLOGIA 2
2006-07
Notazione generale: Rn lo spazio euclideo n-dimensionale; I un intervallo
chiuso in R, di solito I = [0, 1]; I n n-cubo chiuso; Dn n-disco chiuso; S n
n-sfera in Rn+1 .
1. prodotti
1.1. Siano X, X 0 due spazi topologici. Nel prodotto cartesiano X × X 0 i
sottoinsiemi del tipo U × U 0 , con U, U 0 aperti in X, X 0 , formano una base
per una topologia. L’insieme prodotto dotato di questa topologia si dice lo
spazio prodotto dei due spazi. Le due proiezioni p, p0 del prodotto sui fattori
sono continue.
X
1.2. Applicazioni continue a valori in un prodotto.
0
%
↑
Una applicazione f : Y → X ×X è data da una coppia
0
0
Y → X × X0
di applicazioni g : Y → X e g : Y → X , e si scrive
&
↓
anche f = (g, g 0 ). Allora f è continua se e solo se g, g 0
0
X
sono continue.
1.3. In modo analogo si definisce un prodotto finito di spazi topologici
X1 × · · · × Xn . Esempio: Rn ∼
= R × · · · × R. Con qualche accortezza si
n
definisce un prodotto infinito di spazi topologici.
2. quozienti
2.1. Una relazione di equivalenza ∼ su un insieme X determina un insieme
quoziente X/∼ e una proiezione canonica p : X → X/∼ . Un sottoinsieme
U ⊂ X si dice saturo rispetto a ∼ se è unione di classi di ∼. Si ha una
corrispondenza biunivoca tra i sottoinsiemi U ⊂ X saturi rispetto a ∼ e i
sottoinsiemi V ⊂ X/∼ , data da U 7→ p(U ) e inversamente V 7→ p−1 (V ).
2.2. Se X è uno spazio topologico, la famiglia formata dai sottoinsiemi
V ⊂ X/∼ tali che p−1 (V ) è aperto in X è una topologia sull’insieme X/∼ ,
rispetto alla quale la proiezione p è continua. L’insieme quoziente dotato di
questa topologia si dice lo spazio quoziente.
2.3. Applicazioni continue definite su un quoziente. Se f : X/∼ → Y
è una applicazione continua, la composizione f ◦ p : X → X/∼ → Y è
una applicazione continua, invariante per l’equivalenza ∼. Una applicazione
g : X → Y si dice invariante per ∼ se x ∼ x0 ⇒ g(x) = g(x0 ).
1
Viceversa, se g : X → Y è una applicazione continua invariante per ∼, esiste un’unica applicazione
continua f : X/∼ → Y tale che g = f ◦ p.
g
X
p
−→
Y
& %f
X/∼
2.4. Nel diagramma precedente, f è iniettiva se e solo se: x ∼ x0 ⇔ g(x) =
g(x0 ). Dunque una applicazione continua g determina la relazione di equivalenza ∼ per cui l’applicazione indotta f è iniettiva. Se f è un omeomorfismo si dice che g è una applicazione quoziente. Una proiezione canonica
p : X → X/∼ è una applicazione quoziente, ovvio. Ogni applicazione continua suriettiva che sia aperta oppure chiusa è una applicazione quoziente.
2.5.
Esempi di superfici costruite come quozienti.
2.5.1. Il cilindro. Una equivalenza sul quadrato unitario I 2 è definita ponendo
(x, y) ∼ (x0 , y 0 ) se e solo se x = x0 e y − y 0 ∈ {−1, 0, 1}. Lo spazio quoziente
I 2 /∼ è omeomorfo al cilindro I × S 1 in R3 . Questo omeomorfismo è indotto dalla
applicazione I 2 → R3 data da (u, v) 7→ (u, cos 2πv, sen 2πv).
2.5.2. Il toro. Una seconda equivalenza su I 2 è definita ponendo (x, y) ∼ (x0 , y 0 )
se e solo se x − x0 , y − y 0 ∈ {−1, 0, 1}. Lo spazio quoziente si immerge in R3
sotto forma di un toro. Questo omeomorfismo è indotto dalla applicazione (u, v) 7→
((2 + cos 2πu) cos 2πv, (2 + cos 2πu) sen 2πv, sen 2πu).
2.5.3. Esercizio. Sul disco chiuso D2 si definisce una relazione di equivalenza ponendo P ∼ Q se e solo se P = Q oppure P, Q ∈ S 1 hanno la stessa ordinata.
Dimostrare che il quoziente D2 /∼ è omeomorfo alla sfera S 2 .
3. spazi di orbite
3.1. Una azione di un gruppo G su un insieme X è una applicazione G ×
X → X (g, x) 7→ g · x che soddisfa le proprietà
1. g · (h · x) = (gh) · x
2. 1 · x = x
Per ogni g ∈ G si ha una biiezione g̃ : X → X x 7→ g · x, la cui inversa è
−1 . L’applicazione G → S(X) g 7→ g̃ è un omomorfismo di gruppi
g̃ −1 = gg
a valori nel gruppo delle permutazioni dell’insieme.
3.2. Una azione determina una relazione di equivalenza x ∼ y ⇔ y = g · x
per qualche g ∈ G. La classe di equivalenza, detta anche orbita, di un
elemento x è l’immagine della applicazione G → X g 7→ g · x, e si denota
con il simbolo G · x. Il sottogruppo Gx ⊂ G formato dagli elementi g tali
che g · x = x si dice lo stabilizzatore di x, e si ha una biiezione G/Gx → G · x.
L’insieme delle orbite dell’azione si indica con il simbolo X/G, e si ha una
proiezione canonica p : X → X/G.
2
3.3. Se X è uno spazio topologico si richiede che l’applicazione G × X → X
sia continua rispetto a X, i.e. che ogni applicazione g̃ sia continua, dunque
un omeomorfismo. Si ha allora un omomorfismo G → Aut(X) a valori nel
gruppo degli automorfismi dello spazio topologico. L’insieme X/G dotato
della topologia quoziente si dice lo spazio delle orbite dell’azione. Esercizio:
la proiezione p : X → X/G è una applicazione continua e aperta.
3.4. Applicazioni continue definite su uno spazio di orbite. Se f : X/G → Y
è una applicazione continua, la composizione f ◦ p : X → X/G → Y è una
applicazione continua, G-invariante. Una applicazione f 0 : X → Y si dice
G-invariante se f 0 (g · x) = f 0 (x).
Viceversa, se f 0 : X → Y è una applicazione continua
G-invariante esiste un’unica applicazione continua f :
X/G → Y tale che f 0 = f ◦ p.
f0
X
p
−→
Y
& %f
X/G
3.5. La circonferenza. Il gruppo Z agisce sulla retta R per traslazione:
(n, x) 7→ x + n. Lo spazio quoziente R/Z è omeomorfo a S 1 .
L’omeomorfismo è indotto dalla applicazione esponenziale e : R → S 1 definita da
e(θ) = (cos 2πθ, sen 2πθ). Infatti e è un’applicazione aperta.
3.6. Spazi proiettivi. Su Rn+1 −{0} agisce il gruppo R∗ , mediante la moltiplicazione per scalari: (c, v) 7→ cv. L’equivalenza associata è la relazione di
proporzionalità tra vettori. Lo spazio quoziente Pn := Rn+1 −{0}/ R∗ si dice
lo spazio proiettivo reale di dimensione n. I sottoinsiemi di Rn+1 −{0} saturi
rispetto a R∗ sono gli insiemi del tipo U − {0} dove U ⊂ Rn+1 è un cono con
vertice 0. Sulla sfera S n ⊂ Rn+1 − {0} agisce il sottogruppo {±1} ⊂ R∗ . Si
ha un omeomorfismo S n /{±1} ∼
= Pn . Lo spazio Pn è connesso e compatto.
Inoltre è separato, a base numerabile. Per n = 1 si ha P1 ∼
= S1.
3.7. Esercizio. Se lo spazio quoziente X/∼ è separato allora il sottoinsieme R ⊂
X × X grafico della relazione ∼ è un sottoinsieme chiuso. Questo implica che le
classi di ∼ sono insiemi chiusi di X. Viceversa se R ⊂ X × X è chiuso e se la
proiezione X → X/∼ è aperta (per esempio per uno spazio di orbite X/G) allora il
quoziente X/∼ è separato.
4. connessione
4.1. Una sconnessione di uno spazio X è una coppia di sottoinsiemi aperti
non vuoti A, B tali che A∩B = ∅ e A∪B = X. Notare che i due sottoinsiemi
sono ciascuno sia aperto sia chiuso, uno complementare dell’altro. Uno
spazio topologico si dice connesso se non ha sconnessioni. Equivalentemente,
se non contiene alcun sottoinsieme A che sia contemporaneamente aperto e
chiuso, diverso da ∅, X.
4.2. Sia X uno spazio connesso. Se f : X → X 0 è continua, allora f (X) è
connesso. In particolare, ogni spazio quoziente X/∼ è connesso.
3
4.3. Se X, X 0 sono spazi connessi, allora X × X 0 è connesso. Si deduce che
è connesso ogni prodotto finito di spazi connessi.
4.4. Se uno spazio X = ∪Ci è unione di una famiglia di sottospazi connessi
con ∩Ci 6= ∅ allora X è connesso.
4.5. Se C è un sottospazio connesso di X anche la chiusura C è un sottospazio connesso.
4.6. Gli intervalli di R sono connessi. Rn ed ogni n-cubo aperto o chiuso
sono connessi. Ogni n-disco aperto o chiuso è connesso. Ogni n-sfera è
connessa, per n ≥ 1. Il cilindro, il toro sono connessi.
4.7. Sia n ≥ 2. Lo spazio Rn −{0} è connesso. Se D ⊂ Rn è un disco aperto
con centro 0, allora D − {0} è connesso. Se U ⊂ Rn è un aperto connesso,
per ogni x ∈ U l’aperto U − {x} è ancora connesso. Questo implica che
per ogni insieme finito di punti x1 , . . . , xk ∈ U l’aperto U − {x1 , . . . , xk } è
ancora connesso.
4.8. Invarianza della dimensione 1. Un aperto di R e un aperto di Rn ,
n ≥ 2, non sono omeomorfi.
5. connessione per archi
5.1. Una applicazione continua α : [a, b] → X si dice un cammino o arco
in X. L’immagine α[a, b] è un sottospazio connesso di X, che si dice la
traiettoria del cammino, a volte anche una Òcurva” in X. Se u : [0, 1] →
[a, b] è un omeomorfismo, il cammino α0 = α ◦ u : [0, 1] → X si dice una
riparametrizzazione di α e percorre la stessa traiettoria α0 [0, 1] = α[a, b].
Perciò ci si può limitare a considerare solo cammini [0, 1] → X. Esempio: in
Rn sono archi speciali i segmenti α(t) = (1 − t)x + ty e gli archi poligonali,
per cui la traiettoria è unione di una successione di segmenti consecutivi.
5.2. Si dice connesso per archi uno spazio X se per ogni coppia di punti
x0 , x1 ∈ X esiste un arco α : [0, 1] → X tale che α(0) = x0 , α(1) = x1 . Uno
spazio connesso per archi è connesso. Sono connessi per archi: Rn , i cubi,
i dischi, le sfere, ogni sottoinsieme di Rn che sia convesso o più in generale
stellato rispetto a un punto.
5.3. Sia X uno spazio connesso per archi. Se f : X → X 0 è continua,
allora f (X) è connesso per archi. In particolare, ogni spazio quoziente X/∼
è connesso per archi.
5.4. Se X, X 0 sono spazi connessi per archi, allora X × X 0 è connesso per
archi. Si deduce che è connesso per archi ogni prodotto finito di spazi connessi per archi.
5.5. Se uno spazio X = ∪Ci è unione di una famiglia di sottospazi connessi
per archi con ∩Ci 6= ∅ allora X è connesso per archi.
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5.6. La sinusoide. In R2 i sottospazi F = {(x, sin x1 ) : x > 0}, G =
{(0, y) : −1 ≤ y ≤ 1}, sono connessi per archi, la chiusura F = F ∪ G è un
sottospazio connesso ma non connesso per archi. Lo spazio F è anche un
esempio di uno spazio connesso ma non localmente connesso.
6. componenti connesse
6.1. Sia X uno spazio topologico. Si dicono componenti connesse di X i
suoi sottospazi connessi massimali. La collezione delle componenti connesse
costituisce una partizione dello spazio X. Le componenti connesse sono
sottoinsiemi chiusi di X. Sono sottoinsiemi aperti di X per esempio se sono
in numero finito.
6.2. Uno spazio X si dice localmente connesso se ha una base di aperti
connessi. Sono localmente connessi: Rn , ogni aperto di Rn , più in generale
ogni aperto di uno spazio localmente connesso. Se X è localmente connesso,
ogni componente connessa di X è un aperto.
6.3. Esercizio. Se X è localmente connesso e a base numerabile, le componenti
connesse di X sono al massimo una infinità numerabile.
6.4. Sia X uno spazio topologico. Si dicono componenti connesse per archi
di X i suoi sottospazi connessi per archi massimali. La collezione delle componenti connesse per archi costituisce una partizione di X. Le componenti
connesse per archi non necessariamente sono chiuse. Ad esempio per lo
spazio F in 5.6 la componente F non è chiusa.
6.5. Per ogni componente connessa per archi C 0 esiste un’unica componente
connessa C tale che C 0 ⊂ C. Questo definisce una corrispondenza C 0 7→ C
tra le componenti connesse per archi e le componenti connesse dello spazio,
suriettiva ma non iniettiva in generale
6.6. Uno spazio X si dice localmente connesso per archi se ha una base
di aperti connessi per archi. Sono localmente connessi per archi: Rn , ogni
aperto di Rn , più in generale ogni aperto di uno spazio localmente connesso
per archi. Se X è localmente connesso per archi, ogni componente connessa
di X è aperta ed è connessa per archi; in altre parole, si ha equivalenza tra
i due concetti di componente, connessa o connessa per archi.
7. Compattezza
7.1. Uno spazio X si dice compatto se ogni ricoprimento aperto R di X ha
un sottoricoprimento finito R0 ⊂ R.
7.2. Ogni sottospazio chiuso di uno spazio compatto è compatto. Ogni
sottospazio compatto di uno spazio separato è chiuso.
7.3. Sia X uno spazio compatto. Se f : X → X 0 è continua, allora f (X) è
compatto. In particolare, ogni spazio quoziente X/∼ è compatto.
5
7.4. Siano X uno spazio compatto, X 0 uno spazio separato. Ogni applicazione continua f : X → X 0 è chiusa. In particolare ogni f continua e
biiettiva è un omeomorfismo.
7.5. Se X, X 0 sono spazi compatti, allora X × X 0 è compatto. Si deduce
che è compatto ogni prodotto finito di spazi compatti. Si dimostra infatti
che è compatto qualsiasi prodotto di spazi compatti (Tychonoff).
7.6. R non è compatto. Ogni intervallo chiuso di R è compatto. Ogni
n-cubo chiuso è compatto. Ogni n-disco chiuso, n-sfera, sono compatti. Il
cilindro, il toro sono compatti. Un sottospazio di Rn è compatto se e solo
se è chiuso e limitato.
7.7. Lemma di Lebesgue. Sia X uno spazio metrico compatto. Per ogni
ricoprimento aperto R di X esiste un δ ∈ R>0 tale che ogni sottoinsieme di
X con diametro < δ è contenuto in qualche aperto ∈ R.
Perugia, gennaio 2007
Lucio Guerra
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