Distanze Terra-Sole, Terra-Luna

MISURAZIONE DELLA DISTANZA TERRA - LUNA
eseguita da Aristarco di Samo ( III secolo a.C.)
1 - Procedimento per trovare il rapporto fra la distanza Terra-Sole e la distanza
Terra-Luna.
L = centro della Luna esattamente al primo quarto
S = centro del Sole
T = posizione dell’osservatore sulla Terra
TS = distanza Terra-Sole
TL = distanza Terra-Luna
Fig 1
Quando la Luna è esattamente semipiena, l’angolo TLS è di 90°. Aristarco ha misurato l’angolo
LTS ottenendo un valore di 87°. Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è di 180°,
l’angolo TSL risulta di 3°. Disegnato un triangolo con questi valori per i tre angoli, si misurano i
lati TS e TL e si calcola il loro rapporto, che risulta uguale a 19. Quindi TS:TL = 19:1.
Tutti i triangoli che hanno gli angoli di 90°; 87°; 3° sono simili fra di loro e di conseguenza per
tutti, anche per quello Terra-Luna –Sole, si avrà TS:TL = 19:1. La distanza Terra-Sole (TS)
deve quindi essere 19 volte maggiore della distanza Terra-Luna (TL).
In realtà l’angolo LTS è di 87°51' ed il rapporto TS:TL è di 389:1.
2 - Rapporto fra i diametri del Sole e della Luna.
fig. 2
La Luna ed il Sole sono visti dalla Terra sotto lo stesso angolo di circa mezzo grado. I triangoli
OAB e OCD sono simili, avendo tutti gli angoli uguali. I lati corrispondenti sono perciò in
proporzione e si avrà: CD:AB = OC:OA. CD ed AB sono i diametri del Sole e della Luna, OC e
OA le distanze Terra-Sole e Terra-Luna, che per Aristarco stanno fra loro come 19:1. Di
conseguenza anche CD e AB, diametri del Sole e della Luna, stanno fra loro come 19:1.
Si potrebbe osservare che OC ed OA non sono esattamente le distanze Terra-Sole e Terra-Luna e
che le basi dei due triangoli sono un po’ più piccole dei diametri ai quali sono state eguagliate.
Queste approssimazioni non influiscono però sul risultato perché le distanze fra i corpi sono molto
maggiori delle loro dimensioni e l’angolo COD è molto piccolo.
3 - Misurazione del diametro della Luna.
fig. 3
La figura rappresenta un’eclisse di Luna di massima durata che Aristarco ebbe modo di
osservare.
Diversamente da come appare nella figura, nella realtà le distanze fra i tre corpi celesti sono molto
più grandi delle loro dimensioni e l’angolo AOB è molto piccolo. Di conseguenza si può ritenere
che, con grande approssimazione, il triangolo COD rappresenti il cono d’ombra della Terra e che
CD ed EF siano contemporaneamente diametri della Terra e del Sole e basi dei triangoli COD ed
EOF. Infine AB rappresenta il diametro dell’ombra della Terra in corrispondenza della Luna,
AH il diametro della Luna, HK e KN sono le distanze Terra-Luna e Terra-Sole.
In un’eclisse lunare di massima durata la Luna giace direttamente sull’eclittica e passa quindi
direttamente per il centro dell’ombra della Terra muovendosi lungo il diametro di tale ombra (vedi
fig. 4). Misurando lo spazio percorso dalla Luna si ottiene la misura del diametro del cono d’ombra
(il segmento AB in fig. 3).
Eclisse di minima durata
Eclisse di massima durata
ombra della Terra
Luna
Luna
Fig. 4
Aristarco misurò prima il tempo trascorso fra l’istante in cui il bordo della Luna era entrato
nell’ombra e l’istante in cui la Luna s’era oscurata totalmente per la prima volta. Poi confrontò
questo valore con quello del tempo durante il quale la Luna era rimasta totalmente oscurata e scoprì,
in questo modo, che il periodo di oscurità totale aveva all’incirca la stessa durata del periodo
necessario alla Luna per entrare nell’ombra della Terra. Ne trasse la conclusione che la larghezza
dell’ombra della Terra nella regione dove essa è attraversata dalla Luna è, con grande
approssimazione, due volte il diametro della stessa Luna. Quindi : AB = 2AH.
Per eseguire i calcoli poniamo:
OH
HK
KN
AH
AB
CD
EF
=
=
=
=
=
=
=
x
y
19y
d (diametro Luna)
2d
h (diametro Terra)
19d (diametro Sole)
I triangoli AOB, COD, EOF sono simili fra loro (angoli uguali).
Dalla similitudine dei triangoli AOB ed EOF si ricava :
OH : AB = ON : EF
cioè :
x
x  20 y
=
2d
19 d
19 x 2( x  20 y )

38d
38d
19x = 2x + 40y
17x = 40y
x =
40 y
17
ed abbiamo così trovato x in funzione di y.
Dalla similitudine dei triangoli AOB e COD si ricava :
OH : AB = OK : CD
x
x y

2d
h
cioè:
e, sostituendo ad x il valore trovato in funzione di y :
40 y
40 y
y
17 = 17
2d
h
40 y  17 y 1
40 y 1
.
=
.
h
17
17 2d
57 y
20 y
=
d
h
20 57

d
h
d =
20
. h = 0,35 . h
57
Il diametro della Luna risulta quindi di poco maggiore di un terzo del diametro della Terra.
Se utilizziamo la misura del diametro terrestre ottenuta successivamente, sempre nel III secolo a.C.,
da Eratostene ( probabilmente circa 12500 km ), otteniamo :
d = 0,35 . 12500 = 4400 km
valore che non è molto lontano da quello ottenuto dalle misurazioni moderne ( 3476 km ) e che
comunque fornisce correttamente l’ordine di grandezza.
4 - Misurazione della distanza Terra – Luna
angolo di 0,5°
Luna
orbita della Luna intorno alla Terra
La Luna, nel suo moto intorno alla Terra in un’orbita supposta circolare, copre un arco di
circonferenza corrispondente ad un angolo al centro di 0,5°, misurato correttamente da Aristarco,
dopo una prima valutazione errata di 2°. Siccome l’intero angolo giro è di 360°, ci vogliono 720
lune per coprire l’intera circonferenza. Quindi l’orbita descritta dalla Luna intorno alla Terra è una
circonferenza la cui lunghezza corrisponde a 720 volte il diametro della Luna, cioè :
C = 720x 4400 = 3168000 km
Il raggio di questa circonferenza corrisponde alla distanza Terra- Luna e si calcola dividendo la
lunghezza della circonferenza per 6,28 :
R =
C
3168000
=
= 500000 km
6,28
6,28
La distanza Terra-Luna varia da circa 360000 a circa 400000 km. La misurazione di Aristarco
fornisce quindi correttamente l’ordine di grandezza.
Anche in quest’ultimo calcolo sono state fatte della approssimazioni, sempre supponendo le
distanze fra i corpi celesti molto maggiori dei loro diametri. Ad esempio, il centro dell’orbita della
Luna è stato posto nel centro della Terra, ma l’angolo di 0,5° è stato misurato dalla superficie della
Terra, non dal suo centro.
Il valore della distanza Terra-Luna ottenuto con questo metodo è migliore di quello ottenuto da
Eratostene ( 123000 km ), che aveva misurato con maggior precisione il rapporto fra il diametro
della Terra e quello della Luna, ma aveva probabilmente stimato in 2° l’angolo con cui la Luna è
vista dalla Terra.
La distanza Terra-Sole misurata da Aristarco con il suo metodo è invece largamente
sottostimata, perché la distanza del Sole dalla Terra è 400 volte quella della Luna e non 19, come
credeva Aristarco.
Questa differenza non influisce però apprezzabilmente sul calcolo del diametro della Luna e della
distanza Terra-Luna. Basta sostituire 400y al posto di 19y per KN, 400d al posto di 19d per
EF. Facendo i calcoli si ottiene d = 0,33 h anziché d = 0,35 h.
L’errore principale è nella misura del rapporto fra il diametro dell’ombra della Terra ed il
diametro della Luna durante l’eclisse.
Successivamente ad Aristarco, Eratostene ottenne la misura AB = 3 AH, più vicina alla realtà,
che, utilizzata nei calcoli, avrebbe portato ad un risultato quasi esatto. Ma Eratostene, purtroppo,
introdusse altri errori nelle sue misurazioni.