Qm 3 - Simone Ercoli

MECCANICA QUANTISTICA
Eq. di Schrödinger per un atomo di idrogeno:
 h2 2
e2
∇ −
−
4πε 0
 2m
1
ψ (r ) = Eψ (r )
r
Questa equazione è esattamente risolubile ed il risultato sono degli orbitali di energia definita
e2
1
≈
α=
4πε 0 hc 137
Con
h2
a0 =
≈ 0.5 ⋅10−10 m
2
me
1
2
m  e2 
1 2 α2
1 1 e2
 = − mc 2 = 2
En = − 2 
2n  4πε 0 h 
2
n
2n 4πε 0 a0
Orbitale tipo S
tipo P
tipo D
costante di struttura fine
raggio di Bohr
tipo F
MECCANICA QUANTISTICA
r
Grafichiamo gli orbitali in funzione dell’energia:
h
Pur non essendo una vera relazione di
∆
E
∆
t
≥
indeterminazione vale la relazione:
2
E2
E3
E4
Ne segue che la larghezza in energia dei livelli dipende dalla loro
vita media. Più un livello è instabile meno è definita la sua energia.
E1
E
Grossolonamente si può pensare che in un atomo a molti elettroni gli elettroni occupino orbitali
sempre più energetici in base al principio di esclusione
Se, come in un solido prendiamo più atomi e li mettiamo vicini avremo una situazione di questo
tipo:
MECCANICA QUANTISTICA
Le particelle quantistiche hanno la possibilità di passare attraverso le barriere di potenziale per
effetto tunnel. La probabilità di tunneling è più alta quanto più bassa è l’energia della barriera da
attraversare e quanto più sottile è la barriera.
Gli elettroni nei livelli energetici più altiu quindi hanno una probabilità più alta di saltare da un
atomo all’altro, l’energia dei corrispondenti livelli energetici quindi diviene ancor meno definita e
si formano delle bande energetiche.
Elettroni nella penultima banda (banda di valenza) non sono in grado di passare da un atomo
all’altro. Solidi nei quali questo è l’ultimo stato occupato si dicono isolanti.
Elettroni nell’ ultima banda (banda di conduzione) possono invece passare da un atomo all’altro.
Solidi nei quali questo è l’ultimo stato occupato si dicono conduttori.
MECCANICA QUANTISTICA
Fino ad ora abbiamo ignorato il ruolo della temperatura. In presenza di temperatura finita
dobbiamo considerare che la distribuzione degli elettroni negli stati energetici di un solido può
cambiare.
Dobbiamo infatti considerare la distribuzione energetica degli elettroni. Questa distribuzione non
è più quella di Maxwell-Boltzmann ma una distribuzione che tenga conto del principio di
esclusione e che prende il nome di Fermi-Dirac.
2.0
Maxwell-Boltzmann
1.5
1.0
Fermi-Dirac
0.5
0
20
40
60
80
100
EF
e2
(k F a0 )2
Gli elettroni occupano tutti i livelli disponibili fino all’ Energia di Fermi E F =
2 a0
con una incertezza pari a k T.
B
kF prende il nome di raggio di Fermi e dipende dalla densità di elettroni nel materiale.
La differenza fra conduttori ed isolanti è quindi data dall’energia di Fermi. Se è inferiore a quella
della banda di conduzione il materiale è isolante al contrario è un conduttore.
MECCANICA QUANTISTICA
Il meccanismo di conduzione viene quindi studiato considerando un gas di elettroni libero di
muoversi all’interno del reticolo. Tuttavia questi elettroni sono in presenza di un potenziale
periodico e questo ha importanti conseguenze.
In particolare si modifica la relazione di dispersione ovvero la relazione fra l’energia e il
momento.
Qualitativamente la periodicità del potenziale si deve riflettere in una periodicità della relazione
di dispersione
E
Si apre un gap di energia fra le bande
K=1/d
k
1
1 ∂ 2 E (k )
La massa della particella diviene quindi una massa efficace pari a
= 2
m * h ∂k 2
Il risultato principale di questa analisi è che una banda completamente occupata non conduce.
La conduzione è quindi affidata ad elettroni in bande non occupate o a lacune (cioè elettroni
mancanti) in bande occupate
MECCANICA QUANTISTICA
In generale la massa efficace è un tensore e quindi la conduzione può essere anisotropa.
Tenendo conto della relazione di dispersione si procede quindi a considerare il moto degli
elettroni liberi o delle lacune in presenza di impurezze nel cristallo. Gli elettroni collidono con le
impurezze e l’effetto della collisione è di riportare il moto degli elettroni a quello termico.
Naturalmente tutto il conto è fatto considerando la probabilità di collisione. Quello che si ottiene
è quindi un tempo di termalizzazione τF dipendente dall’energia di Fermi.
Il risultato finale è la formula per la conducibilità del modello classico (Drude) ma con la massa
sostituita dalla massa efficace.
2
ne e τ F
m*
nh e 2τ F
σh = −
m*
σe =
Questo modello ci permette anche di capire sia la conducibilità AC in funzione della frequenza.
Ci saranno ovviamente nuovi fenomeni se la frequenza è tale che ω è dell’ordine del band gap.
Con il modello si capisce anche perché la conducibilità termica è proporzionale alla conducibilità
elettrica.
K=
π 2  kB 
 Tσ
3  e 
NB Per capire a fondo i meccanismi di conduzione è necessario anche considerare le vibrazioni
termiche del reticolo (fononi)
MECCANICA QUANTISTICA
Se la band gap di un materiale non è troppo grande rispetto all’energia termica kBT un aumento
della temperatura porterà all’apparire di elettroni (e lacune) disponibili per la conduzione. Questi
materiali sono detti semiconduttori.
In un isolante invece la temperatura necessaria per avere una frazione rilevante di elettroni di
conduzione è superiore alla temperatura di fusione del materiale.
Nel caso dei semiconduttori è possibile introdurre impurezze nel cristallo per aumentare il
numero di elettroni (o lacune) di conduzione. Questa operazione si definisce drogaggio.
Se il drogaggio porta all’apparire di elettroni si definisce tipo n.
Se il drogaggio porta all’apparire di lacune si definisce tipo p.
Materiali drogati diversamente mantengono all’incirca la stessa struttura cristallina e quindi
possono essere combinati per formare giunzioni fra materiali con diverso drogaggio
p
n
p
n
p
MECCANICA QUANTISTICA
L’interpretazione di quanto avviene alla giunzione fra due materiali può essere fatta sia a partire
dalla densità dei portatori di carica (elettroni o lacune) oppure considerando una diversa band gap
nei diversi materiali.
banda di conduzione
banda di conduzione
EF
EF
banda di valenza
banda di valenza
In presenza di un voltaggio applicato la densità dei portatori cambia ed il comportamento delle
giunzione non è simmetrico (diodo).
p
n
p
Applicando un voltaggio nella zona intermedia si possono
cambiare le caratteristiche di conduzione del dispositivo
(transistor).