I valori Medi

I valori medi
Si può chiamare media di una distribuzione x1, …, xn rispetto a una funzione F( x1, …, xn ),
quella quantità m che sostituita alle xi nella funzione lascia invariato il risultato.
In statistica si distinguono solamente due tipi di medie:
-Medie di calcolo: Sono quelle che soddisfano a una condizione di invarianza e che si
calcolano tenendo conto di tutti i valori della distribuzione.
-Medie di posizioni: Sono quelle che si calcolano tenendo conto solo di alcuni valori.
Medie di calcolo
Media aritmetica:
Si definisce media aritmetica di più numeri quel valore che, sostituito ai dati, lascia invariata la
loro somma.
Media semplice = x1  x2  ...  xn
n
Media ponderata = (x1*y1+x2*y2+…+xn*yn)/(y1+y2+…+yn)
Proprietà:
1) La somma degli scarti positivi dalla media aritmetica è uguale, in valore assoluto, a
quella degli scarti negativi, e quindi la somma algebrica di tutti gli scarti( positivi e
negativi) è uguale a zero.
Scarto = xi – M
2) La somma dei quadrati degli scarti dei valori della distribuzione della media aritmetica
è minore della somma dei quadrati degli scarti da qualsiasi numero. Perciò: La somma
dei quadrati degli scarti della media aritmetica è un valore minimo rispetto alla somma
dei quadrati degli scarti da qualsiasi altro numero.
3) Aggiungendo o sottraendo a tutti i valori xi la stessa quantità k, la media aritmetica
viene incrementata o ridotti di tale quantità.
4) Moltiplicando o dividendo tutti i valori xi per una quantità l, la media aritmetica risulta
moltiplicata divisa per quel numero k.
Media geometrica:
Si definisce media geometrica dei valori x1, x2, …, xn quel numero G che sostituito ai valori
xi lascia invariato il loro prodotto.
G semplice =
G ponderata =
n
n
x1* x2 * ... * xn
x1y1 * x2 y 2 *... * xnyn
Media quadratica:
Q=
x12  x 2 2  ...  xn2
n
Q ponderata =
x12 * y1  x2 2 * y 2  ...  xn2 * yn
y1+y2+…+yn
Media armonica:
A = n/[(1/x1)+(1/x2)+…+(1/xn)]
A ponderata = (y1+y2+…+yn)/[(y1/x1)+(y2/x2)+…+(yn/xn)]
Moda o valore normale
E’un valore caratteristico di una distribuzione di frequenze la cui determinazione non
richiede alcun calcolo
Si dice moda o valore normale di una distribuzione di frequenze la modalità o il valore della
variabile al quale corrisponde la massima frequenza.
Classe modale: Se l’ampiezza delle classi e costante.
Mediana e quartili:
Siano x1,x2 i valori ordinati in senso non decrescente, si dice mediana ME il valore che
bipartisce la successione, ossia il valore non inferiore a metà dei valori e non superiore
all’altra metà.
1) Dati un insieme di valori x ordinati in senso non decrescente, se il numero n dei termini
è dispari la mediana è il valore centrale. Se n è pari si assume come mediana la
semisomma dei due valori centrali.
2) Per le distribuzioni di frequenza con valori discreti, si calcola le frequenze assolute
cumulate. Si divide per due alla sequenza cumulata se la somma è pari, se dispari si
aggiunge 1 e poi si divide per due
3) Nel caso di distribuzioni di frequenze con valori raggruppati in classi, si determina la
classe mediana utilizzando il metodo delle frequenze cumulate. Per ottenere il valore
mediano, si applica una interpolazione lineare