Lezione di Termodinamica - Corsi di Laurea a Distanza

7. TERMODINAMICA
RICHIAMI DI TEORIA
Introduzione
Termodinamica: è lo studio delle trasformazioni dell’energia da un sistema all’altro e da
una forma all’altra.
Sistema termodinamico: è una definita e identificabile quantità di materia e/o di energia
che occupa una certa regione di spazio definita da “pareti” che lo separano dal mondo
esterno.
Variabili di stato: grandezze macroscopiche che servono per descrivere lo stato di un
sistema termodinamico; la descrizione macroscopica equivale ad effettuare una media
sullo spazio e sul tempo di molte osservazioni microscopiche (esempi di variabili di
stato sono la massa, l’energia, l’entropia, la densità, la pressione e la temperatura).
Un sistema si dice in equilibrio termodinamico quando le sue variabili di stato non
variano nel tempo, ossia rimangono costanti. Un sistema permane in uno stato di equilibrio
termodinamico fino a che resta isolato dall’ambiente esterno.
Due sistemi sono in equilibrio termodinamico se, una volta posti in contatto, le loro
variabili di stato non cambiano. Per semplicità diremo che due sistemi sono in equilibrio
termodinamico se e solo se hanno la stessa temperatura. La temperatura è una variabile di
stato; per misurarla useremo la scala di temperatura assoluta, la cui unità è il Kelvin (K). In
tale scala, la temperatura di fusione del ghiaccio (0°C) corrisponde a 273,15 K, e la
temperatura di ebollizione dell’acqua (100°C) a 373,15 K. La temperatura T = 0K è un
limite inferiore alle temperature raggiungibili, ed è detta zero assoluto.
PRINCIPIO ZERO DELLA TERMODINAMICA – Se il sistema A è in equilibrio
termico con il sistema C, e se il sistema B è in equilibrio termico con il sistema C, allora A
e B sono in equilibrio termico fra loro.
L’esperienza mostra che, qualunque sia l’insieme delle variabili termodinamiche che
definiscono lo stato di equilibrio di un sistema, esse non sono tutte indipendenti. Esiste
perciò tra esse una relazione, detta equazione di stato. Ad esempio se il sistema è costituito
da un fluido omogeneo, stabiliti i valori di temperatura e di pressione, quello di volume ne
risulta automaticamente definito, e lo stesso vale per qualsiasi altra coppia di variabili.
1
Pertanto deve esistere una relazione tra esse del tipo f(p, V, T)=0. Un esempio classico è
dato dall’equazione di stato dei gas perfetti. Un gas perfetto è un gas (ideale) formato da
molecole o atomi puntiformi e non interagenti. Questo significa che ogni molecola possiede
solo energia cinetica, mentre la sua energia potenziale elettrica è nulla. Queste condizioni
limite possono essere approssimate da gas reali molto rarefatti. Lo stato di un gas perfetto è
definito dalle variabili di stato p (pressione), T (temperatura), V (volume) e n (numero di
moli, ossia quantità di materia). L’equazione di stato che lega fra loro queste grandezze è:
pV = nRT
(7.1)
dove R = 0,082 l⋅atm/(mol⋅K) oppure R = 8,31 J/(mol⋅K). La temperatura deve essere
misurata in Kelvin.
Quando un sistema non è in equilibrio, tende a raggiungere uno stato di equilibrio
tramite una trasformazione termodinamica. Una trasformazione termodinamica implica
necessariamente la variazione di almeno una delle variabili di stato del sistema. Le
trasformazioni termodinamiche possono essere irreversibili o reversibili. Le
trasformazioni reversibili possono essere pensate come una successione di stati di equilibrio
in ognuno dei quali le variabili di stato hanno un valore ben definito, e pertanto possono
essere rappresentate tramite i diagrammi di Watt-Clapeyron in un piano (p, V).
Un sistema può essere spostato da una condizione di equilibrio se è messo in condizione
di interagire con l’esterno o con un altro sistema; tale interazione può avvenire:
• per scambio di calore, se i due sistemi hanno temperature diverse;
• per scambio di lavoro (indipendente dalla differenza di temperatura).
Calore
Dati due sistemi A e B, quando TA ≠ TB si crea una corrente di energia dal sistema più caldo
a quello più freddo. Si chiama tradizionalmente calore l’energia scambiata solo per effetto
delle differenze di temperatura.
Ogni volta che avviene un trasferimento di energia sotto forma di calore, vi è anche un
trasferimento di entropia. L’entropia è un’altra variabile di stato e tale che le correnti di
entropia (IS) ed energia (IE) sono legate da IE = T⋅IS essendo T la temperatura assoluta. Si
può dire insomma che la temperatura misura quanta energia è trasportata da una corrente di
entropia.
La capacità termica di un dato corpo è il calore necessario per aumentare di ∆T la
temperatura del corpo. Pertanto vale la relazione:
∆Q = C∆T
(7.2)
dove C è la capacità termica del corpo (si misura in J/K). Nel caso di corpi omogenei si
definisce il calore specifico come la capacità termica dell’unità di massa (si indica con c e
si misura in J/(kg⋅K)). Vale quindi la:
∆Q = m ⋅ c ⋅ ∆T
(7.3)
Nel caso di un gas è necessario specificare se il calore è fornito a volume costante o a
pressione costante, definendo i rispettivi calori specifici cV e cP. Si definisce inoltre:
2
γ = cP/cV > 1 perché cP > cV.
(7.4)
Nel caso di gas perfetti monoatomici, γ =5/3, nel caso di gas perfetti biatomici, γ = 7/5.
Il calore scambiato da un sistema durante una trasformazione dipende dal tipo di
trasformazione.
Lavoro
Se ci si limita allo scambio di energia sotto forma di calore, si scopre che l’energia non pare
essere conservata. Questo accade perché esiste la possibilità per un sistema di scambiare
energia anche in un’altra forma, ossia compiendo lavoro.
Il lavoro è una forma di energia che abbiamo già incontrato in meccanica. Il lavoro
meccanico compiuto da un sistema termodinamico è sempre legato al moto di una parete o
di una parte del sistema. Nel caso di un gas, il lavoro elementare è dato da dW = p⋅dV. Il
lavoro compiuto durante una trasformazione finita è perciò:
f
Wi ,f = ∫ pdV
(7.5)
i
Se la trasformazione è reversibile, questa è l’area sottesa alla curva che la rappresenta in un
diagramma sul piano (p,V). Si noti che la pressione può variare durante la trasformazione, e
che il lavoro dipende dal tipo di trasformazione. Calcoliamo ora il lavoro durante alcune
trasformazioni reversibili:
•
•
•
WA,B = p⋅(VB-VA)
trasformazione isobara (p costante)
WA,B = 0
trasformazione isocora (V costante)
trasformazione isoterma (T costante) di un gas perfetto. Sappiamo che pV = kT.
Allora, sul diagramma di Clapeyron una trasformazione isoterma è rappresentata da un
tratto di iperbole equilatera. Il lavoro compiuto dal gas per andare da A a B è l’area
sottesa dalla curva, che vale:
B
V
nRT
dV
= ∫ pdV = ∫
= nRT ln B
dV = nRT ∫
V
V
 VA
A
A
A
B
WA , B
•
B



trasformazione adiabatica (scambio di calore nullo con l’ambiente esterno ⇒ Q = 0)
di un gas perfetto. L’equazione di una curva adiabatica è p⋅Vγ = costante, dove γ =
cP/cV. Il lavoro compiuto è dato da:
WA , B
γ −1
p A VA   VA  
 
=
1 − 
γ − 1   VB  


3
In generale, quando in una trasformazione termodinamica aumenta il volume, il sistema
compie lavoro sui corpi circostanti; se invece il volume diminuisce, il sistema assorbe
lavoro dall’esterno.
Nel 1800 alcune considerazioni indussero dapprima il tedesco Mayer ad asserire che deve
esistere un rapporto costante tra lavoro e calore, rapporto che, nel 1843, l’inglese Joule
riuscì a determinare sperimentalmente (equivalente meccanico del calore), assicurando fra
l’altro la sua indipendenza dal tipo di trasformazione e dal senso in cui avviene.
Praticamente, quando una data quantità di lavoro viene integralmente convertita in calore,
si sviluppa sempre la stessa quantità di calore. In questa trasformazione si evidenzia
l’equivalenza fra 4,18 joule e 1 caloria ⇒ 1 cal = 4,18 J
Primo principio della termodinamica
Sebbene sia il lavoro che il calore scambiato dipendano dalla trasformazione, la quantità
(Q-W) è indipendente dal tipo di trasformazione e dipende solo dal punto di partenza e di
arrivo; chiameremo questa quantità differenza di energia interna tra lo stato finale e quello
iniziale:
∆U = Q-W
(7.6)
L’energia interna è una variabile di stato.
Vediamo ora alcune applicazioni del primo principio della termodinamica:
trasformazione isocora: sappiamo che W = 0, quindi ∆U = Q
trasformazione adiabatica: per definizione si ha Q = 0, quindi ∆U = -W
espansione libera adiabatica: Q = 0 perché è adiabatica, W = 0 perché è libera (nel vuoto);
allora ∆U = 0.
energia interna di un gas perfetto: in una espansione libera adiabatica (∆U = 0) di un gas
perfetto si trova che T = cost. Pertanto l’energia interna di un gas perfetto dipende solo
dalla temperatura; inoltre si può mostrare che dU = cVdT.
trasformazione ciclica: il punto di partenza e quello di arrivo coincidono, per cui ∆U = UF –
Ui = 0. Quindi Q-W = 0 e quindi Q = W. Quindi in un ciclo il lavoro totale compiuto dal
sistema è pari alla quantità di calore fornita al sistema.
Le macchine termiche
Sono dispositivi che operano ciclicamente e che trasformano in lavoro delle quantità di
calore che scambiano con un certo numero di sorgenti. Le macchine termiche si
schematizzano come nella figura sottostante, ove per semplicità sono riportate solo due
sorgenti, la “caldaia” a temperatura TC ed il “refrigerante” a temperatura TF.
Sorgente a TC
QC
ESERCIZI SVOLTI
W = QC - QF
Esercizio 1.
|QF|
Sorgente a TF
4
Il lavoro compiuto risulta essere uguale alla differenza tra il calore assorbito QC ed il calore
ceduto |QF|.
Si dice rendimento di una macchina termica il rapporto tra il lavoro compiuto ed il
calore assorbito dalla sorgente a temperatura più alta, ossia:
η=
QC − QF
QC
=1−
QF
(7.7)
QC
Si noti che in luogo di “calore assorbito” e di “calore ceduto”, che è la terminologia
tradizionale della termodinamica, si potrebbe parlare di “corrente di energia entrante” IE(i)
e di “corrente di energia uscente” IE(o). In questo modo si ha:
η=
I E ( i ) − I E ( o)
I E (i )
(7.8)
Secondo principio della termodinamica
Non è possibile realizzare una macchina termica che converta completamente in lavoro il
calore prelevato da una sola sorgente (fig. 1).
È impossibile realizzare una trasformazione il cui unico risultato sia trasferire calore da
un corpo più freddo ad uno più caldo (fig. 2).
Sorgente a TC
Sorgente a TC
Sorgente a TF
Sorgente a TF
Fig. 1
Fig. 2
Il secondo principio, nella sua prima formulazione, asserisce che |QF| = IE(o) ≠ 0. Questo fa
sì che il rendimento di qualunque macchina termica non può mai essere pari al 100%.
Macchina di Carnot: è una macchina che scambia calore solo con due sorgenti; il suo
ciclo è formato da 2 isoterme (le sorgenti) e 2 adiabatiche (v. figura sottostante).
5
isoterme
adiabatiche
P
A
B
D
C
V
Teorema di Carnot: tutte le macchine reversibili che operano tra le stesse 2 temperature
hanno lo stesso rendimento, indipendentemente dal fluido di lavoro, e qualunque macchina
reale (irreversibile) che operi tra le stesse sorgenti ha un rendimento minore.
Calcoliamo ora il rendimento di una macchina di Carnot reversibile (che è il massimo
rendimento per qualunque macchina operante tra le stesse sorgenti). Poiché il rendimento
non cambia cambiando il fluido di lavoro, purchè la macchina sia reversibile, tanto vale
calcolare il rendimento del ciclo di Carnot reversibile usando come fluido un gas perfetto.
A questo proposito, con riferimento alla figura precedente:
•
tratto AB: isoterma a TC. Poiché il gas è perfetto, la sua energia interna dipende solo
dalla temperatura e quindi non cambia: ∆U = 0, cioè Q = W. E allora:
A
V
dV
= nRTC ln B
V
 VA
A
B
Q C = ∫ pdV = nRTC ∫
B
•
•
tratto BC: adiabatica. Pertanto il calore scambiato è nullo.
tratto CD: isoterma a TF. Il calore scambiato è dato da:
D
V
dV
= nRTF ln D
V
 VC
C
D
Q F = ∫ pdV = nRTF ∫
C
•






tratto DA: adiabatica, senza scambi di calore.
Tenendo conto che, lungo le adiabatiche si ha pVγ = costante e quindi TVγ-1 = costante, si
ottiene un rendimento pari a:
η=1−
QF
QC
V
ln D
VC
T
=1− F 
TC  VB
ln
 VA
6


 = 1 − TF
TC



(7.9)
Si noti che, in pratica, il teorema di Carnot afferma che, per cicli reversibili,
QF
TF
=
QC
Q
Q
Q
Q
⇒− F = C ⇒ F + C =0
TC
TF
TC
TF
TC
(7.10)
mentre per cicli irreversibili l’ultimo uguale è sostituito da un segno di minore (<).
Teorema di Clausius
In un ciclo reversibile
δQ rev
∫ T = 0 , mentre in un ciclo irreversibile
δQ irr
∫ T <0
Entropia
Siccome l’integrale ciclico della funzione δQrev/T è nullo su qualunque ciclo, ne consegue
che tale funzone è una variabile di stato, viene chiamata entropia (S) e misurata
ovviamente in J/K. Vediamo ora alcune importanti osservazioni sul concetto di entropia:
•
•
•
•
•
La differenza di entropia tra due stati A e B si calcola lungo una qualsiasi
trasformazione reversibile, anche se la trasformazione che li connette non lo è.
L’entropia non si conserva; in una trasformazione irreversibile, l’entropia totale di un
sistema isolato aumenta.
Il secondo principio della termodinamica, in pratica afferma che l’entropia di un sistema
diminuisce solo quando esiste una corrente di entropia in uscita, mentre può aumentare
sia a causa di una corrente di entropia entrante, sia per la produzione di entropia
all’interno del sistema stesso.
L’entropia è legata al disordine; in ogni processo irreversibile il disordine aumenta.
La variazione di entropia dell’Universo è maggiore di zero per ogni trasformazione
irreversibile.
ESERCIZI SVOLTI
Esercizio 1.
Uno pneumatico da automobile viene gonfiato con aria, originariamente alla temperatura di
10°C ed alla pressione atmosferica. Durante il processo, l’aria viene compressa al 28% del
suo volume iniziale e si riscalda fino alla temperatura di 40°C. Determinare la pressione
dello pneumatico. Dopo un tratto ad alta velocità, la temperatura dell’aria dello pneumatico
è di 85°C ed il suo volume interno è aumentato del 2%. Determinare la nuova pressione
dell’aria nello pneumatico.
Si consideri l’aria come un gas perfetto. Durante il processo variano tutte le variabili di
stato del gas, pertanto occorre usare l’equazione di stato per determinare la variabile
incognita. Perciò:
p i Vi p F VF
p
p V
da cui i = F ⋅ F dove l’ultimo fattore è uguale a 28/100 = 0.28
=
Ti
TF
Ti TF Vi
Si ricava pertanto che
7
pF =
pi
V
1atm
1
⋅ TF ⋅ i =
⋅ 313,15K ⋅
= 3,95atm
Ti
VF 283,15K
0,28
Lo stesso procedimento si usa per rispondere alla seconda domanda.
Esercizio 2.
Una bolla d’aria ha un volume di 1,5 cm3 quando viene rilasciata da un sottomarino a 100
m sotto la superficie di un lago. Qual è il volume della bolla quando raggiunge la
superficie, ammettendo che la temperatura dell’aria non vari durante la salita?
L’aria deve essere trattata come un gas perfetto. Durante la salita della bolla la temperatura
è costante, per cui dall’equazione di stato discende che piVi = pFVF. pF è naturalmente la
pressione atmosferica, mentre pi dev’essere calcolata con la formula di Stevino: p = pa +
ρ⋅g⋅h. Pertanto in questo caso è :
pi = 1,013⋅105 Pa + (1000 kg/m3)(9.8 N/kg)⋅100 m ≈ 10.8 ⋅105 Pa
Quindi:
VF = piVi /pF =10.8⋅105 Pa⋅1,5 cm3 / 1.013⋅105 Pa = 16 cm3
Esercizio 3.
Un ferro di cavallo di 1,5 kg a 600°C è lasciato cadere in un secchio contenente 20 kg di
acqua a 25°C. Qual è la temperatura di equilibrio finale?
Il calore ceduto dal ferro di cavallo durante la sua variazione di temperatura è Q=m⋅c⋅(Tf –
Ti) ed è negativo perché il ferro si raffredda. Il calore assorbito dall’acqua per arrivare alla
temperatura finale è dato da Q’=m’⋅c’⋅(Tf –T’i) ed è positivo perché l’acqua si riscalda.
Poiché l’energia si conserva, tutto il calore ceduto dal ferro deve essere assorbito
dall’acqua, cioè Q = – Q’ (attenzione ai segni !). Perciò:
m⋅c⋅(Tf – Ti) = – m’⋅c’⋅(Tf – T’i).
Tenendo conto che c = 448 J/ (kg °C) e c’ = 4186 J/ (kg °C) si ottiene che la temperatura
finale è di 29,5 °C.
Esercizio 4.
Un gas perfetto inizialmente a pressione p0, volume V0 e temperatura T0 descrive il ciclo in
figura. Trovare, per ogni ciclo, il lavoro complessivo fatto dal gas ed il calore totale
assorbito. Ottenere un valore numerico per il lavoro, supponendo di avere una mole di gas
inizialmente a 0°C.
Analizziamo ogni tratto del ciclo e calcoliamo il lavoro.
8
P
3p0
B
C
P0
A
D
V0
3V0
V
WAB = 0;
WBC = 3p0⋅(3V0–V0) = 6p0V0
WCD = 0
WDA = p0 (V0 – 3V0) = –2p0V0
perciò Wciclo = 4⋅p0V0 = area del quadrato. Poiché in un ciclo ∆U =0, si ottiene che Qciclo=
Wciclo. Se si parte da 1 mole di gas perfetto a 0°C, si ha che:
W = 4⋅p0V0 = 4⋅ ( nRT0) = 4⋅(1mol⋅ 8,31 J/(mol K)⋅273,15 K) = 9079 J
Esercizio 5.
Una macchina, di 1500 kg di massa, si schianta contro un muro di cemento alla velocità di
20 m/s. Se la temperatura dell’aria è pari a 20°C, calcolare l’aumento di entropia.
La trasformazione è certamente irreversibile. La variazione di entropia può essere scritta
come ∆S= Q/T. Si noti che l’aria ha il ruolo di sorgente ideale, che scambia calore senza
cambiare temperatura. Il calore sviluppato nell’urto dev’essere uguale all’energia cinetica
che l’auto aveva prima di schiantarsi, perciò:
Q = 1/2⋅ m⋅ v2 = 0,5⋅1,5⋅103kg ⋅ 4⋅ 102 m2 /s2 = 3⋅ 105 J
e pertanto
∆S = Q/T = 3⋅105J / 293,15 K = 1023 J/K
Esercizio 6.
Un atleta di massa 70 kg beve 450 g di acqua a 2°C. (a) Calcolare l’aumento di entropia del
sistema supponendo che il corpo dell’atleta non si raffreddi. (b) Supponendo che invece il
corpo dell’atleta sia raffreddato dall’acqua, e ipotizzando che il suo calore specifico sia
uguale a quello dell’acqua, calcolare la variazione di entropia. Confrontare i due risultati.
9
(a) Il corpo dell’atleta si comporta come una sorgente ideale di calore, e rimane a
temperatura costante. Il calore scambiato tra atleta ed acqua è perciò il calore necessario per
scaldare l’acqua da 2°C a 37°C. Sapendo che il calore specifico dell’acqua è 4186 J/(kg⋅K),
si ottiene che:
Q ceduto dal corpo = – m acqua⋅ c acqua ⋅ (T –Ti) avendo posto T = 310,15 K, Ti = 275,15 K
Poiché il corpo cede calore a temperatura costante, la sua variazione di entropia è data da:
∆S corpo = Q ceduto dal corpo / T = – 212.5 J/K
Per calcolare la variazione di entropia dell’acqua occorre tenere conto del fatto che la sua
temperatura cambia; pertanto si ha che (posto m = m acqua ):
T
T
dT
dT
∆S acqua = ∫ m ⋅ c ⋅
= m⋅c⋅ ∫
= mc ln 
T
T
 Ti
Ti
Ti
T

 = 225.5 J/K

Quindi l’aumento di entropia del sistema è dato da:
∆S totale = 225.5 – 212.5 = 13 J/K
(b) Se anche il corpo cambia temperatura, occorre innanzitutto trovare la temperatura finale
di equilibrio. Si deve richiedere che:
Q ceduto dal corpo = – Q assorbito dall’acqua
Cioè m corpo c corpo ( Tf – Ti ) = – m acqua c acqua ( Tf – Ti’) da cui:
Tf =
m acqua T' i + m corpo Ti
m acqua + m corpo
Per ricavare gli aumenti di entropia, occorrerà integrare come nel punto (a). Si perviene alla
fine al risultato che:
∆S totale = 10.9 J/K.
Esercizio 7.
Con un rendimento del 30 % una macchina termica descrive un ciclo in 3 s. Calcolare il
lavoro compiuto dalla macchina in un’ora sapendo che per ogni ciclo la macchina assorbe
una quantità di calore pari a 16,72 cal.
Dalla relazione η= L/Q si ha che:
L = ηQ =
0,3 ⋅ 16,72 ⋅ 3600 ⋅ 4,18
J = 252 ⋅ 10 2 J
3
10
Esercizio 8.
In un ciclo di Carnot, l’espansione isoterma di un gas perfetto avviene a 400 K e la
compressione isoterma a 300 K. Durante l’espansione il gas assorbe 500 cal. Determinare:
a) Il lavoro compiuto dal gas durante l’espansione isoterma.
b) Il calore ceduto dal gas durante la compressione isoterma.
c) Il lavoro fatto sul gas durante la compressione isoterma.
a) Applichiamo il 1° principio della termodinamica all’espansione isoterma:
∆U = Uf – Ui = Q1 – L
dove Uf e Ui sono le energie interne degli stati finale ed iniziale dell’espansione, Q1 il
calore prelevato dal termostato a temperatura più alta e L il lavoro compiuto dal gas.
Piochè in un gas perfetto l’energia interna dipende solo dalla temperatura e poiché la
trasformazione in questione è isoterma, si ha che Uf = Ui. Risulta allora che :
L1 = Q1 =(500⋅4.185) J = 2092,5 J.
b) Ricordando l’espressione del rendimento della macchina di Carnot alla (7.9) e
sostituendo nella stessa si ha che il calore ceduto dal gas durante la compressione
isoterma è:
Q2 = 375 cal
Ripetendo il ragionamento svolto nel punto a) si trova che il lavoro eseguito sul gas durante
la compressione isoterma è:
L2 = (375⋅4,185) J = 1569,3 J.
Esercizio 9.
In un esperimento per trovare il calore specifico, si mescolano 100 g di piombo a 100 °C
con 200 g di acqua a 20 °C. Trovare la variazione di entropia del sistema tra lo stato finale e
lo stato iniziale (calore specifico del piombo cPb = 0,0345 cal/g⋅°C e dell’acqua cH2O = 1
cal/g⋅°C).
Chiamando tPb e tH2O rispettivamente le temperature iniziali del piombo e dell’acqua, tF
quella finale (comune), mPb e mH2O le masse di piombo e di acqua, si ha:
cPbmPb(tPb – tF) = cH2OmH2O(tF – tH2O)
che esprime il fatto che tutto il calore ceduto dal piombo viene assorbito dall’acqua. Si
trova quindi che :
tF =
c Pb m Pb t Pb + c H 2 O m H 2 O t H 2 O
≈ 21,36°C
c Pb m Pb + c H 2O m H 2 O
11
corrispondente a una temperatura assoluta pari a TF = tF +273,15 = 294,51 K.
Per poter rispondere al quesito del problema calcoliamoci ora l’espressione della variazione
di entropia di un corpo quando esso viene portato da una temperatura T1 a una temperatura
T2. Dalla definizone di entropia possiamo scrivere:
T2
T
T
dQ 2 cmdT
S =∫
=∫
= cm ⋅ ln 2
T T1 T
T1
T1
Dove cmdT è il calore assorbito o ceduto dal corpo di massa m durante la variazione di
temperatura dT. La variazione di entropia del sistema acqua+piombo tra lo stato finale e
quello iniziale sarà quindi:
294,51
294,51 

∆S = ∆S Pb + ∆S H 2 O =  3,45 ln
+ 200 ln
cal / K ≈ 0,11cal / K
373,15
293,15 

Esercizio 10.
Una bacchetta di ottone collega termicamente due termostati, avendo un estremo a contatto
col primo termostato a 127 °C e l’altro estremo a contatto col secondo a 27 °C. Determinare
la variazione di entropia dell’universo quando 1200 cal passano per conduzione da uno
all’altro termostato. E’ variata l’entropia della bacchetta stessa ?
La variazione di entropia del primo termostato è:
∆S1 = −
Q2
1200
cal / K = −3cal / K
=−
T2
400
quella del secondo termostato è:
∆S1 = +
Q1
1200
cal / K = 4cal / K
=−
T1
300
L’entropia della bacchetta non varia dato che essa riceve dal primo termostato una quantità
di calore pari a quella che cede al secondo termostato. La variazione di entropia del
sistema+ambiente (universo) è data da:
∆S = ∆S1 + ∆S2 = 1 cal/K
Il risultato è in accordo col fatto che l’entropia di un sistema isolato sottoposto ad una
trasformazione irreversibile (nel nostro caso la conduzione del calore) aumenta (Teorema di
Clausius).
12
ESERCIZI PROPOSTI
Esercizio 1.
Una macchina termica assorbe in un’ora 24⋅103 kcal fornendo una potenza di 6kW. Si
calcoli il rendimento della macchina.
[0,215]
Esercizio 2.
In un ciclo di Carnot il rapporto tra il calore Q2 prelevato dalla sorgente a temperatura
maggiore e il calore Q1 ceduto al refrigerante è di 10/7. Sapendo che la temperatura della
sorgente è 127 °C, calcolare la temperatura del refrigerante e il rendimento del ciclo.
[7°C ; 0,3]
Esercizio 3.
Il rendimento di una macchina termica irreversibile è espresso dalla relazione:
η=
(T2 − T1 ) T1 T2
2T1T2
Lavorando fra le temperature estreme t2 = 327 °C e t1 = 27 °C, la macchina compie ogni
ciclo il lavoro L = 140 J. Calcolare il calore assorbito dalla sorgente e quello ceduto al
refrigerante in ogni ciclo.
[400 J ; 260 J]
Esercizio 4.
Una mole di un gas perfetto monoatomico è portata da uno stato iniziale di pressione pi e
volume Vi ad uno stato finale di pressione 2pi e volume 2Vi attraverso il processo seguente:
• prima si espande isotermicamente fino a raddoppiare il volume, poi a volume costante,
si fa crescere la pressione fino al valore finale;
Calcolare:
a)
b)
c)
d)
il calore assorbito dal gas in ogni trasformazione;
il lavoro fatto sul gas lungo ciascuna delle trasformazioni eseguite;
la variazione dell’energia interna Uf - Ui;
la variazione dell’entropia del gas Sf - Si.
[a) piViln2 ; 3CVpiVi/R b) piViln2 ; 0
c) 0 ; 3CVpiVi/R d) Rln2 ; CVln4]
Esercizio 5.
In un recipiente costituito da un metallo di calore specifico medio noto (c=0,113kcal/kg/K),
che si trova inizialmente alla temperatura ambiente t1 = 18,2 °C, si versa una massa d’acqua
m = 2 kg alla temperatura t2 = 40,5 °C. Tutto il sistema assume la temperatura finale tf =
39,3 °C. Valutare la massa del recipiente supponendo trascurabili le perdite di calore.
[ ≈ 1 kg]
13
TEST
Test 1.
Un gas perfetto subisce una trasformazione isotermica. Possiamo affermare che la
differenza tra il calore assorbito ed il lavoro compiuto risulta:
a) in ogni caso uguale a 0;
b) in ogni caso uguale a 1;
c) non calcolabile in quanto non è dato il rapporto tra il volume finale e quello iniziale;
d) non calcolabile in quanto non è data la massa del gas.
[a]
Test 2.
Un sistema termodinamico subisce una trasformazione isocora. Possiamo affermare che la
differenza tra il calore assorbito e la variazione di energia interna risulta:
a) sempre uguale a 1;
b) sempre uguale a 0;
c) non calcolabile in quanto non si conosce la massa del sistema;
d) non calcolabile in quanto non si conoscono i valori della pressione iniziale e finale.
[b]
Test 3.
Considerando il ciclo rappresentato in figura, possiamo affermare che il lavoro compiuto è
pari a :
a) 0,4 J;
b) 4 J;
c) 40 J;
d) 400 J.
[a]
P (N/m2)
30
B
C
10
A
D
20
40
V(l)
Test 4.
Il rendimento di un ciclo di Carnot:
a) dipende dalla quantità di sostanza che lo descrive;
b) dipende dalla natura della sostanza che lo descrive;
c) è calcolabile conoscendo il rapporto fra la temperatura minore e quella maggiore delle
due sorgenti espresse in K;
d) è calcolabile conoscendo solo la temperatura della sorgente a temperatura più alta.
14
[c]
Test 5.
Due sostanze A e B descrivono un ciclo di Carnot: A fra le temperature 600 K e 450 K, B
fra le temperature 127 °C e 27 °C. Possiamo affermare che:
a) i rendimenti non sono confrontabili, in quanto non si conosce la natura delle sostanze
che descrivono il ciclo;
b) il rendimento di A è maggiore di quello di B;
c) i due rendimenti sono uguali;
d) il rendimento di A è minore di quello di B.
[d]
Test 6.
Una macchina termica descrive un ciclo fra le temperature estreme T2 e T1 con T2 > T1.
Possiamo affermare che il rendimento:
a) è sempre inferiore al rendimento di un ciclo di Carnot, qualunque siano le temperature
delle due sorgenti del ciclo di Carnot;
b) scegliendo opportunamente la sostanza che lo descrive, può essere maggiore di quello
del ciclo di Carnot che si svolge fra le stesse temperature estreme;
c) è uguale ad 1, solo se le trasformazioni che lo compongono sono tutte reversibili;
d) è espresso dalla relazione 1-T1/T2 se il ciclo è quello di Carnot.
[d]
Test 7.
Con un rendimento del 20 % una macchina termica assorbe da una sorgente per ogni ciclo
una quantità di calore pari a 50 J. Possiamo affermare che il lavoro compiuto dalla
macchina per un ciclo è:
a) 10 J;
b) 100 J;
c) 1000 J;
d) non si può calcolare in quanto non si conosce la temperatura della sorgente.
[a]
Test 8.
Un uomo compie un lavoro sviluppando una potenza media di 41,8 W. Consideriamo
l’organismo dell’uomo come una macchina termica avente un rendimento del 15 %;
nell’ipotesi che tutta l’energia chimica venga trasformata in calore, l’uomo consumerà il
fabbisogno energetico giornaliero di 3000 kcal in:
a) 12 ore;
b) un tempo maggiore di 12 ore;
c) un tempo inferiore a 12 ore;
d) un tempo inferiore a 12 ore, solo se si considera l’organismo umano come una
macchina lavorante secondo un ciclo di Carnot.
[b]
15