Soluzioni - Osservatorio di Arcetri

COMPITO del 14/07/10
Soluzioni
★ Per tutti: Una massa m=230 g è tenuta in equilibrio su un piano inclinato (L=1.5m;
α=30°) da una molla di costante elastica k= 5.6 N/m e lunghezza a riposo nulla. Quanto
è allungata la molla? Se si taglia la molla, quanto tempo impiega la massa m ad arrivare
fino in fondo al piano?
Solo per esame da 9CFU: come cambiano i risultati se sul piano inclinato cʼè una forza
di attrito costante il cui modulo è FA = 0.2 R, con R modulo della reazione vincolare del
piano (sia nel caso statico che dinamico)?
Le forze che agiscono sulla molla sono
la forza peso P, la forza della molla Fk
e la reazione vincolare R.
La componente della forza peso nella
direzione perpendicolare al piano è
annullata dalla reazione vincolare.
Nella direzione parallela al piano la
forza peso è equilibrata dalla forza
della molla per cui
s
P sin α = k Δl
ovvero Δl = P sin α / k = 0.2 m
Appena si taglia la molla, la massa è soggetta alla sola forza peso e, siccome la
componente perpendicolare è sempre annullata dalla reazione vincolare, si avrà un moto
uniformemente accelerato con accelerazione
a = g sin α
Il corpo parte da fermo pertanto la sua equazione di moto sarà
s = 1/2 a t2
dove s è lo spazio percorso a partire dal punto in cui il corpo è attaccato alla molla. Per
arrivare in fondo al piano inclinato il corpo deve percorrere un tratto di lunghezza L-Δl per
cui il tempo richiesto è
t = [ 2 (L-Δl) / ( g sin α ) ]0.5 = 0.73 s
La reazione vincolare del piano è pari alla componente della forza peso perpendicolare al
piano stesso ovvero
R = P cos α = 1.95 N
Pertanto la forza di attrito è FA = 0.2 R = 0.39 N
La relazione per lʼequilibrio del corpo è
P sin α = k Δl + FA
per cui ΔlA = (P sin α-FA) / k = 0.13 m
Per il tempo richiesto ad arrivare fino in fondo basta notare che lʼaccelerazione è adesso
aA = g sin α - FA/m = g sin α - 0.2 P cos α/m = g (sin α - 0.2 cos α) = 3.2 m/s2
ed il tratto da percorrere è (L-ΔlA)= 1.37 m ovvero
tA = [ 2 (L-ΔlA) / aA ]0.5 = 0.93 s
★ Per tutti: Un pallone aerostatico ha un diametro d=20 m, ed è riempito di aria calda a
pressione atmosferica mantenuta alla temperatura di 90 °C. Il materiale di cui è fatto il
pallone ha massa mP=250 kg e la temperatura dellʼambiente è 25 °C. Qualʼè la massa
massima che il pallone può sollevare supponendo che il peso molecolare medio dellʼaria
sia 30 g mol-1? Si assuma che lʼaria si comporti come un gas perfetto. Qualʼè la velocità
media delle molecole (biatomiche) di aria allʼinterno del pallone?
Solo per esame da 9CFU: Se lo spettro di un corpo nero alla temperatura di 300 K ha il
picco di emissione per λ=9.7 μm, si determini a quale lunghezza dʼonda si ha il picco di
emissione dellʼaria calda nel pallone, assumendo che si comporti come un corpo nero.
La massa massima M che il pallone può sollevare si determina dallʼequilibrio tra il peso
totale di pallone, massa M e aria nel pallone e la spinta di Archimede dovuta allʼaria
esterna al pallone, ovvero
g (M+mP+mAC) = g mAF
dove mAC è la massa di aria calda nel pallone, e mAF è la massa di aria “fredda” spostata
dal pallone stesso.
Il pallone viene tenuto sollevato perché lʼaria calda nel pallone ha densità minore di un
volume di aria fredda corrispondente, ovvero allʼinterno del pallone cʼè una massa dʼaria
calda minore rispetto alla massa dello stesso volume di aria fredda.
mAC = μ nAC e mAF = μ nAF dove μ è il peso molecolare medio dellʼaria e nAC e nAF sono i
numeri di moli corrispondenti di aria calda e fredda.
I numeri di moli si possono trovare applicando lʼequazione di stato del gas perfetto ovvero
M = mAF - mAC - mP = μ (nAF - nAC) - mP = μ P V / R (1/TF - 1/TC) - mP
dove P è la pressione del gas (pressione atmosferica) uguale sia per lʼaria calda che per
quella fredda, V è il volume del pallone e TF, TC sono le temperature di aria fredda e calda.
Si ottiene
M = 659 kg
con P = 105 Pa; V = 4189 m3, TF=298 K, TC=363 K
Infine ricordando che mAC = μ nAC = nAC NA m (m massa media molecola aria, NA numero
di Avogadro) si ottiene
m = μ / NA
Dal modello cinetico del gas
1/2 m v2 = 5/2 kB TAC, ovvero sostituendo m = μ / NA si ha (R = kB NA)
v2 = 5 R TAC/μ da cui v = 709 m/s
λM , la lunghezza dʼonda di picco del corpo nero di temperatura T, segue la legge di Wien
λM T = costante
la costante si può ricavare sapendo che per T=300 K si ha λM=9.7 μm. La lunghezza
dʼonda di emissione dellʼaria nel pallone sarà pertanto
λM TAC = 300 K * 9.7 μm
ovvero λM = 9.7 μm * (300 / 363) = 8.0 μm
★ Un calorimetro perfetto contiene 2 litri di acqua alla temperatura Ta=25 °C. Qualʼè la
massa di ghiaccio a Tg=-25 °C che devo mettere nel calorimetro perché allo stato di
equilibrio abbia solo acqua alla temperatura di 0 °C? Qualʼè la temperatura di equilibrio
nel caso in cui ponga una massa di ghiaccio mg = 400 g alla temperatura Tg? Qualʼè la
variazione di entropia del sistema acqua+ghiaccio allʼinterno del calorimetro nel primo
caso? Se ne discuta il segno.
Il calore che lʼacqua nel calorimetro deve cedere per passare da Ta a 0 °C è
Q1 = ma ca (Ta - 0 °C) = ma ca Ta = 50 kcal
Il calore necessario a portare il ghiaccio alla temperatura di 0 °C è
Q2 = mg cg (0 °C - Tg) = mg cg (-Tg) con (-Tg) = 25 °C > 0
quello necessario per fonderlo completamente è
Q3 = mg qfus
La massa di ghiaccio richiesta è quella per la quale
Q1 = Q2 + Q3
ovvero
ma ca Ta = mg cg (-Tg) + mg qfus
mg = ma ca Ta /(cg (-Tg) + qfus) = 0.54 kg
Nel caso in cui mg = 400 g il calore necessario a fondere il ghiaccio è
Q2 + Q3 = mg cg (-Tg) + mg qfus = 37 kcal
pertanto la temperatura di equilibrio sarà data da
Q2 + Q3 + mg ca (Te - 0 °C) = ma ca (Ta - Te)
dove mg ca (Te - 0 °C) è il calore necessario a portare il ghiaccio sciolto da 0 °C alla
temperatura di equilibrio Te. Ovvero ricordando che Q1 = ma ca Ta
Te = (Q1 - Q2 - Q3)/(mg ca+ ma ca) = 5.4 °C
La variazione totale di entropia del sistema acqua ghiaccio nel primo caso è data da
ΔS = ΔSg + ΔSfus + ΔSa
dove ΔSg è la variazione di entropia del ghiaccio che passa da Tg a 0 °C, ΔSfus è la
variazione di entropia del ghiaccio che fonde e ΔSa è la variazione di entropia dellʼacqua
che passa da Ta a 0 °C.
ΔSg = mg cg ln(T0/Tg) = 0.026 kcal/K
con T0 = 273 K (corrispondente a 0 °C)
ΔSfus = mg qfus/T0 = 0.158 kcal/K
poiché la trasformazione è a temperatura costante, infine
ΔSa = ma ca ln(T0/Ta) = -0.175 kcal/K
ovvero
ΔS = 0.009 kcal/K = 37.7 J/K
il sistema acqua + ghiaccio nel calorimetro è isolato, ΔS>0 pertanto la trasformazione di
acqua e ghiaccio ad acqua a 0 °C è irreversibile.