Lezioni da Matematica I Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica G. Aletti & G. Naldi & L. Pareschi http://www.ateneonline.it/naldi matematica McGraw-Hill Capitolo 2, Limiti e continuità 1 Limiti e continuità Limite: concetto cardine alla base di molte costruzioni del Calcolo Differenziale. • Esempi • Definizione di limite • Limite destro e sinistro limx→x0 f (x) = L Iniziamo con alcuni problemi ... 2 Problema A (buona definizione delle funzioni). Abbiamo definito (con a > 0 base) ar , r ∈ Q ma se desideriamo calcolare ax , x ∈ R? Possiamo considerare una successione di valori razionali {rk } sempre più vicini a x e poi “osservare” se ar k si avvicina al valore y. Possiamo definire y = ax , ma è una buona definizione? Dipende dalla scelta della successione di valori rk ? Cosa significa “vicino”? 25 ??? 20 15 10 5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Figura 2.1: Dove va a finire ark (cerchietti)? e ark (crocette)?. 3 Problema B (Approssimazioni successive) Calcoliamo l’area di un cerchio di raggio r approssimando tale area con l’area An di un poligono regolare inscritto con n lati uguali. Abbiamo S M π /n r O R Figura 2.2: Calcolo di un’area come limite di aree approssimanti. An = nr2 sin(π/n) cos(π/n), cosa possiamo dire di A − n al crescere di n? In simboli la domanda si scrive lim An =? n→+∞ Sospettiamo (desideriamo) che lim An = πr2 n→+∞ 4 Problema C (come andrà a finire?) I grafici della retta di equazione y = x e della funzione y = sin x passano per l’origine O ≡ (0, 0). Cosa succede al quoziente sin(x) ? x Facciamo qualche prova numerica x sin (x)/x 0.1250 0.0625 0.0312 0.0156 0.0078 0.9974 0.9993 0.9998 1.0000 1.0000 Tabella 2.1: Esperimenti numerici per il calcolo di f (x) = sin (x)/x per valori di x prossimi a 0. Questi esperimenti dovrebbero condurre alla deduzione (con scrittura ormai chiara) sin(x) = 1. lim x→0 x 5 Problema D (la tangente) Cerchiamo la posizione della retta tangente al grafico della parabola y = x2 nel punto P (1, 1) approssimandola con rette passanti per P e per un differente punto Q del grafico. Abbiamo Q(x, x2 ) e indichiamo con mQ la pendenza della retta P Q. Per esempio con Q(1.5, 2.25) si ottiene mQ = 2.25 − 1 = 2.5. 1.5 − 1 Quello che vorremmo definire il “limite” lim mQ (x) = m oppure . lim mQ (x) = m x→1 Q→P dove y = m(x − 1) + 1 è l’equazione della retta tangente. 7 7 6 6 5 5 f(x)=x 2 f(x)=x 2 4 4 3 3 2 2 P 1 P 1 (1,1) 0 (1,1) 0 −1 −1 retta tangente −2 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 retta tangente 1.5 2 2.5 −2 −2.5 7 7 6 6 5 −2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 2 2.5 5 f(x)=x 2 f(x)=x 2 4 4 3 3 2 2 P 1 P 1 (1,1) 0 (1,1) 0 −1 −1 retta tangente −2 −2.5 0 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 retta tangente 1.5 2 2.5 −2 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 Figura 2.3: Calcolo della retta tangente come limite. 6 Una parentesi un pò euristica ... Come tradurre: - vicino - avvicinarsi - Mentre x si avvicina a ... f (x) si avvicina a ... Stare nelle “vicinanze” ∼ stare in un intorno Come si comporta f Intorno di centro x e raggio r 0 x0−r x0+r x0 Intorni di "infinito" a a Figura 2.4: Intorni ragionevoli. per valori di x prossimi a x0 ? Quali punti x0 considerare? x0 punto di accumulazione (caso x0 ∈ R): ∀I(x0 , r) con r > 0, ∃x ∈ dom(f ) ∩ I(x0 , r) \ {x0 }, dove I(x0 ) = (x0 − r, x0 + r). È importante la posizione di x0 rispetto a dom(f ) non che x0 ∈ dom(f ). 7 Personaggi: • f funzione f : A → R; • x0 ∈ R, punto di accumulazione di A. Definizione (Usiamo gli intorni) Diremo che limx→x0 f (x) = L, con L ∈ R, quando per ogni intorno I(L; ²), ² > 0, esiste un intorno I(x0 ; δ), δ > 0, tale che se x ∈ I(x0 ; δ)\{x0 }, x ∈ dom(f ), allora f (x) ∈ I(L; ²). f f Intorno di L Intorno di L x0 x0 Intorno di x 0 Intorno di x 0 Figura 2.5: Illustrazione geometrica del concetto di limite tramite gli intorni. 8 Graficamente dovremmo aver intuito ma per fare i “conti”? Dobbiamo descrivere un intorno. • Cosa significa “... per ogni intorno I(L; ²)...”? ◦ Significa che possiamo scegliere arbitrariamente ² . • Cosa significa “... esiste un intorno I(x0 ; δ) ...”? ◦ Significa che possiamo determinare un δ > 0 tale che l’intorno I(x0 ; δ) sia adeguato. Il gioco consiste in botta-risposta, qualcuno gioca un intorno I(L; ²) e noi dobbiamo essere in grado di rispondere con un intorno I(x0 ; δ). Attenzione: basta una strategia/scelta/metodo/... per un intorno I(x0 ; δ), non è detto che sia unico, anzi ... ne basta comunque uno. Definizione (Notazione ²−δ) Diremo che f tende al limite L ∈ R (o che converge ad L) per x che tende ad x0 se ∀² > 0 si pu trovare un δ > 0 tale che |f (x) − L| < ² se 0 < |x − a| < δ, x ∈ dom(f ). . Esercizio, si dimostri, attraverso la definizione, che lim (4x − 5) = 7. x→3 9 Proprietà fondamentali: - il limite (quando c’è) è unico; - il limite è compatibile con le operazioni aritmetiche, per esempio se limx→x0 f (x) = L1 limx→x0 g(x) = L2 con L1 , L2 ∈ R, allora lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x) = L1 + L2 . x→x0 x→x0 x→x0 L f f L’ x 0 Figura 2.6: Illustrazione grafica dell’unicità del limite. 10 Non sempre i limiti esistono. Consideriamo la funzione (funzione segno) definita per x 6= 0, 1 se x > 0 |x| , sign(x) = = −1 se x < 0 x non esiste il limite lim sign(x). x→0 Infatti in ogni intorno di x0 = 0 vi sono punti x e punti x tali che sign(x) = −1, sign(x) = 1. Se invece conosciamo alcuni limiti altri si possono dedurre tramite il Teorema (di compressione o dei due carabinieri). Se f, g, h : A → R, x0 punto di accumulazione di A, g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) per x ∈ dom(f ) \ {x0 }, 0 < |x − x0 | < r per un certo r > 0, e se limx→x0 g(x) = limx→x0 h(x) = L allora limx→x0 f (x) = L. h h f g f g x0 Figura 2.7: Illustrazione geometrica del teorema di compressione. 11 Qualche volta lo zero vince Mostriamo che 1 = 0. x→0 x Non possiamo usare la regola del prodotto, lim x2 sin lim x2 sin x→0 1 1 = lim x2 · lim sin =? x→0 x→0 x x Abbiamo invece −1 ≤ sin 1 ≤ 1, x 6= 0, x quindi 1 ≤ x2 , x 6= 0, x −x2 ≤ x2 · sin da cui (Teorema due carabinieri) lim x2 sin x→0 1 = 0. x In generale: “Il prodotto di una funzione infinitesima per una funzione limitata è una funzione infinitesima”. 12 Estensioni del concetto di limite Vi sono vari modi per estendere il concetto di limite, noi considereremo le seguenti, • limite destro, limite sinistro (cio quando x tende a x0 solo da “un lato”); • limiti all’infinito (quando x diventa arbitrariamente grande, positivo o negativo); • limiti infiniti (quando f diventa arbitrariamente grande, positiva o negativa). Definizione (Limite destro) Sia f : A → R, si dice che la funzione f ha limite destro L per x che tende a x0 , e si scriver lim f (x) = L x→x+ 0 se ∀² > 0, esiste δ > 0 tale che |f (x) − L| < ² quando x0 < x < x0 + δ, x ∈ dom(f ). In questo caso, x0 deve essere tale che ∀δ > 0 esista almeno un x ∈ dom(f ) tale che x0 < x < x0 + δ. Per li limite sinistro la definizione è analoga (con le modifiche intuitive del caso). Per esempio, lim sign(x) = 1, x→0+ lim sign(x) = −1. x→0− Nota: se limite destro e sinistro esistono e sono uguali allora esiste anche il limite ed è uguale al valore comune. 13 Limiti all’infinito, limiti infiniti Per una successione f : N → R, non ha senso porsi il problema (n ∈ N) lim f (x). x→n Ogni singolo punto n ∈ N è isolato, la domanda ragionevole invece riguarda il comportamento di f al crescere di x. Consideriamo il caso di f : A ⊆ R → R con x0 = +∞ punto di accumulazione: ∀a ∈ R si ha (a, +∞) ∩ A 6= ∅. Quindi limx→+∞ f (x) = L ∈ R significa che ∀² > 0 esiste un valore a ∈ R tale che |f (x) − L| < ² quando x ∈ A ∩ (a, +∞). Sia ora x0 punto di accumulazione di A, la scrittura limx→x0 f (x) = +∞ significa che f diventa arbitrariamente grande per x che si avvicina a x0 , in altri termini: per ogni M > 0 esiste δ > 0 tale che f (x) > M quando 0 < |x − x0 | < δ, x ∈ A. Nota: Definizioni analoghe nel caso di limiti per x → −∞ e limite infinito −∞. 14 Possiamo combinare tra di loro i vari casi, anche per i limiti destri e sinistri. f M M f (B) f (A) a x −δ x +δ 0 0 x L+ ε 0 L −ε L x −δ 0 x0 a (C) (D) −M Figura 2.8: Illustrazione grafica di alcuni limiti, (A) f → +∞, per x → x0 ; (B) f → +∞, per x → +∞; (C) f → −∞, per x → x− 0 ; (D) f → L, per x → +∞. 15 Continuità Iniziamo considerando la continuità in un punto x0 . Definizione (funzione continua in un punto)Siano f : A ⊆ R → RSiano e x0 ∈ A punto di accumulazione di A. La funzione f è detta continua nel punto x0 se lim f (x) = f (x0 ). x→x0 Osserviamo che, • il limite deve esistere; • il limite deve essere finito (deve appartenere a R); • il limite deve coincidere con f (x0 ). Notazione ² − δ, ∀² > 0, ∃δ > 0 tale che ∀x ∈ dom(f ), |x−x0 | < δ implica |f (x)−f (x0 )| < ². Teorema (Continuità e operazioni).Siano f e g due funzioni continue in x0 e definite in un intervallo contenente x0 , allora le funzioni f + g, f − g, f g sono continue in x0 . Se c ∈ R è anche la funzione c · f è continua in x0 . Se inoltre g(x0 ) 6= 0, la funzione f /g è continua in x0 . 16 Alcune funzioni continue • lineari, quadratiche; • funzioni polinomiali; • funzioni trigonometriche elementari; • funzioni esponenziali e logaritmiche. Non sempre la verifica è immediata (tramite le operazioni aritmetiche elementari). Esempio di strumento utile. Teorema(Continuità e composizione)Siano f e g due funzioni per cui è definita la funzione composta f ◦ g. Se f è una funzione continua in y0 e se lim g(x) = y0 , x→x0 allora lim f (g(x)) = f (y0 ) = f x→x0 µ ¶ lim g(x) . x→x0 In particolare, se g è continua in x0 allora la funzione composta f ◦g è continua in x0 . Per esempio la funzione f (x) = sin3 (x2 ) + 5 cos (7x) è continua in ogni punto x ∈ R. Esempio di discontinuità, f (x) = [x] (funzione parte intera) è discontinua in tutti i punti x ∈ Z (e continua negli altri punti non interi). 17 4 3 2 1 0 −1 [x] −2 −3 −4 −5 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 Figura 2.9: Funzione parte intera [x]. Albero delle discontinuià. Grafici di funzioni discontinue. 18 L=f(x ) Continuità L finito L diverso da f(x ) Esiste L L infinito Discontinuità eliminabile Punto di infinito L+ e L− finiti Salto Esistono L+ e L− Uno infinito Punto di infinito Non esiste L Discontinuità di seconda specie Non esiste L+ o L− Figura 2.10: Albero decisionale per continuità e discontinuità. Funzioni continue in un intervallo: possiamo disegnare il grafico “senza staccare la matita dal foglio” Consideriamo, (I1) f : [a, b] → R, con a, b ∈ R; (I2) f continua in ogni punto x ∈ [a, b]. In viaggio dal punto (a, f (a)) al punto (b, f (b)), dobbiamo attraversare almeno una volta punti con ordinata intermedia tra f (a) e f (b). 19 4 100 3.5 3 90 Discontinuità eliminabile 80 2.5 70 2 60 1.5 50 1 40 0.5 30 0 20 −0.5 Punto di infinito 10 x −1 −2 0 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 −3 3 −2 −1 0 1 2 3 0.8 1 1 2 0.8 Salto 0.6 Seconda specie 1.5 0.4 0.2 1 0 x0 −0.2 −0.4 0.5 −0.6 −0.8 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 −1 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 Figura 2.11: Vari tipi di discontinuità. La continuità implica importanti proprietà Teorema dei valori intermedi Sia f : [a, b] → R continua in [a, b], se y è un numero reale compreso tra f (a) e f (b) allora esiste un numero reale r ∈ (a, b) tale che f (r) = y. Teorema di Bolzano o degli zeri Sia f : [a, b] → R continua in [a, b], se f (a)·f (b) < 0, allora esiste c ∈ (a, b) tale che f (c) = 0. 20 4 ( b, f(b) ) 3.5 3 2.5 2 y=c 1.5 1 ( a,f(a) ) 0.5 0 −0.5 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 Figura 2.12: Il grafico della funzione f deve attraversare la retta y = c con c valore intermedio tra f (a) e f (b). Teorema di Weierstrass Sia f : [a, b] → R continua in [a, b], allora esiste un numero reale positivo k tale che |f (x)| ≤ k, ∀x ∈ [a, b]. Esistono inoltre due punti x0 (punto di minimo assoluto) e x1 (punto di massimo assoluto) tali che f (x0 ) ≤ f (x) ≤ f (x1 ), ∀x ∈ [a, b]. 21