Appunti di Algebra

Appunti di Algebra
Sonia L’Innocente
Corso di Laurea
Matematica e Aplicazioni
Secondo Argomento
Teoria degli Insiemi
a.a.
2014-2015
Università di Camerino
Sonia L’Innocente (Appunti di Algebra)
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Teoria dei Numeri
Outline
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Siano A e B due insiemi; in vista di ripensamenti futuri, è conveniente
pensare A e B come sottoinsiemi di un insieme U cosı̀ “grande” che
tutti gli insiemi che ci può capitare di incontrare siano sottoinsiemi di U.
Definizione. A è equipotente a B (A ∼ B) se esiste una
corrispondenza biunivoca di A su B.
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Osservazione. ∼ è una relazione di equivalenza nell’insieme P(U) di
tutti i sottoinsiemi di U, infatti si verifica che, per ogni scelta di A, B,
C ⊆ U:
• A ∼ A (l’identità di A è una corrispondenza biunivoca di A su A);
• se A ∼ B, allora B ∼ A (se f è una corrispondenza biunivoca di A su
B, allora f −1 è una corrispondenza biunivoca di B su A);
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• se A ∼ B e B ∼ C, allora A ∼ C (se f è una corrispondenza
biunivoca di A su B e g è una corrispondenza biunivoca di B su C,
allora la composizione gf è una corrispondenza biunivoca di A su C).
Definizione. Sia A ⊆ U. Si dice cardinalità di A (card(A)) la classe di
equivalenza di A rispetto alla relazione ∼.
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Sappiamo che due insiemi finiti sono in corrispondenza biunivoca se e
solo se hanno lo stesso numero di elementi. Allora, se A è finito,
card(A) è determinata da (e si può intuitivamente identificare con) il
numero degli elementi di A. Se A è infinito, non è possibile contare i
suoi elementi, e quindi calcolarne il numero. Si può però determinare
card(A). Allora card(A) può sostituire per insiemi infiniti quello che per
insiemi finiti è il numero degli elementi. Si potrebbe comunque
obiettare che gli insiemi infiniti (appunto perché infiniti) abbiano tutti lo
stesso “numero” di elementi, cioè la stessa cardinalità: in altre parole,
se A e B sono infiniti, dovrebbe sempre verificarsi A ∼ B.
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Consideriamo l’insieme N e il suo sottoinsieme A formato dai quadrati
dei numeri naturali. Cosı̀ A = {n2 : n ∈ N} = {0, 1, 4, 9, . . .} è parte
propria di N. Eppure la funzione f di N in A che associa ad ogni n il
suo quadrato n2 è una corrispondenza biunivoca di N su A. Questa
apparente anomalia venne per la prima volta evidenziata da Galileo
Galilei in alcune sue riflessioni contenute nell’opera [?] del 1638 e per
questo è oggi nota con il nome di Paradosso di Galileo.
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Galileo la commentava cosı̀: “Io non veggo che ad altra decisione si
possa venire che a dire infiniti essere tutti i numeri, infiniti i quadrati, . . .
né la moltitudine de’ quadrati essere minore di quella di tutti numeri, nè
questa essere maggiore di quella, ed, in ultima conclusione, gli attributi
di eguale, maggiore e minore non aver luogo negl’infiniti ma solo nelle
quantità terminate.
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Albergo di Hilbert).
La funzione successore s di N in N – quella che associa a ogni
naturale n il suo successore n + 1 – è iniettiva e ha per immagine
N − {0}, dunque è una corrispondenza biunivoca di N su N − {0}. Ma
N − {0} ha un elemento in meno di N. Si conferma cosı̀ la possibilità di
costruire nell’ambito infinito corrispondenze biunivoche tra insiemi più
grandi e altri più piccoli. L’osservazione sulla funzione s è la base di un
argomento famoso che il matematico tedesco di fine Ottocento e inizio
Novecento David Hilbert (1862-1943) adoperava per divulgare presso i
non addetti ai lavori le sottigliezze dell’analisi dell’infinito che proprio in
quegli anni si sviluppava a opera di Georg Cantor (1845-1918).
L’argomento si chiamava l’Albergo di Hilbert.
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Ricordiamolo brevemente. Gli alberghi di questo mondo sono tutti finiti.
Supponiamo allora di avere un albergo al completo, nel quale dunque
ogni camera di numero n è già occupata da un ospite n; cosı̀, se
giungesse un nuovo cliente, il portiere dovrebbe dichiarargli con
rammarico di non poterlo ospitare. Ma ammettiamo per un momento di
essere in un albergo con infinite camere 0, 1, 2, . . ., e che queste
camere siano tutte occupate da (infiniti) clienti. Stavolta, se dovesse
arrivare un nuovo cliente, il portiere dell’albergo infinito non sarebbe pi
costretto a rifiutargli ospitalità poiché gli basterebbe far spostare
l’ospite della camera 0 nella camera 1, quello della camera 1 nella 2,
. . ., l’ospite della camera n nella n + 1, e cosı̀ via, liberando in tale
maniera la camera 0 per il nuovo arrivato. Il tutto sarebbe lecito proprio
perché l’albergo è infinito.
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L’argomento di Hilbert traduce cosı̀ in termini elementari e intuitivi il
fatto che la funzione s è una corrispondenza biunivoca tra i naturali e i
naturali maggiori di 0, quindi ribadisce come un insieme infinito possa
avere tanti elementi quanti un suo sottoinsieme proprio. La funzione s
rappresenta una funzione iniettavi ma non suriettiva dell’insieme infimo
N.
Dedekind propose di assumere questa proprietà per caratterizzare il
concetto di insieme infinito, di definire cioè un insieme X infinito se c’è
una funzione g da X a X iniettiva e non suriettiva, cioè se c’è una
corrispondenza biunivoca tra X e un suo sottoinsieme proprio (nella
fattispecie g(X )).
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Esempi.
1. L’insieme N dei naturali 0, 1, 2, . . . si potrebbe valutare ad occhio
come la met dell’insieme Z di tutti gli interi . . .,-2, -1, 0, 1, 2, . . .;
ma in effetti èpossibile determinare una corrispondenza biunivoca
f che li collega. Basta osservare che i naturali, a loro volta, si
suddividono a metà tra pari 0, 2, 4, . . . e dispari 1, 3, 5, . . . e
dunque trasformare gli interi non negativi nei primi e quelli negativi
nei secondi: in termini rigorosi, porre per ogni naturale x

se x ≥ 0,
 2x
f (x) =

−2x − 1 altrimenti.
2. Lo stesso accade tra N e l’insieme N2 tramite la biezione
f : N2 → N, f (m, n) = 12 ((m + n)2 + 3m + n) (spiegazione).
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Esempi.
2. Lo stesso accade tra N e l’insieme dei razionali Q: Cantor riuscı̀ a
costruirla: ecco i dettagli. Facciamo riferimento alla
rappresentazione dei razionali non negativi come frazioni m/n,
con m e n naturali, n > 0, m e n primi tra loro; riordiniamoli allora
prima secondo m + n e poi, a parità di somma, secondo il loro
ordine abituale, ottenendo cosı̀ in definitiva una successione
0 = 0/1, 1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, . . .
{z
}
| {z } | {z } |
m+n=3
m+n=4
m+n=5
che può essere cosı̀ posta in corrispondenza biunivoca con quella
dei naturali N
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, . . .
(0 in 0/1, 1 in 1/1, 2 in 1/2, 3 in 2/1, e via dicendo).
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A questo punto si estende la funzione cosı̀ ottenuta tra naturali (cioè
interi non negativi) e razionali non negativi, coinvolgendo da un lato
tutti gli interi e dall’altro tutti i razionali: basta trasformare −1 in −1/1,
−2 in −1/2, −3 in −2/1, e cosı̀ via. In questo modo si conclude
nuovamente che gli interi sono tanti quanti i razionali (pur
costituendone un sottoinsieme proprio). Fatto questo, componendo la
biiezione appena trovata tra Z e Q con quella che già conosciamo tra
N e Z otteniamo la corrispondenza biunivoca cercata tra N e Q.
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Tutti i segmenti aperti della retta hanno lo stesso “numero” di punti,
cioè sono in corrispondenza biunivoca tra loro. Un esempio:
π
f :]0, 1[→] −π
2 , 2 [.
Per ogni reale x con 0 < x < 1,
prima x → πx (da ]0, 1[ a ]0, π[ ),
poi x → x − π/2 (da ]0, π[ a ] − π/2, π/2[ ).
Tanti punti in un retta quanti in un suo segmento (aperto): una
corrispondenza biunivoca tra i due. Un esempio dalla trigonometria: la
funzione tangente induce una corrispondenza biunivoca tra
] − π/2, π/2[ e R. Vale anche per ]0, 1[.
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Tanti punti in una retta quanti in un piano quanti nell’intero spazio
(Cantor a Dedekind: “Lo vedo ma non lo credo”).
Cantor (1874) . Dimostra che:
L’infinito dei numeri 0, 1, 2, 3, 4, . . .
e l’infinito dei punti di una retta sono diversi!
Non c’è corrispondenza biunivoca possibile tra N e R, ovvero,
equivalentemente, tra N − {0} e ]0, 1[.
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Ci basta provare che una funzione f : N − {0} →]0, 1[ non è mai
suriettiva. La sua immagine in ]0, 1[ si compone degli elementi
f (1)
f (2)
f (3)
...
f (n)
...
= 0, r1 1 r1 2 r1 3 . . . r1n . . .
= 0, r2 1 r2 2 r2 3 . . . r2 n . . .
= 0, r3 1 r3 2 r3 3 . . . r3 n . . .
...
= 0, rn 1 rn 2 rn 3 . . . rn n . . .
...
dove i vari ri j sono cifre decimali tra 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8e9.
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Ecco come costruire un nuovo numero reale r tale che 0 < r < 1:
basta porre
r = 0, r1 r2 r3 . . . rn . . .
con
r1
r2
r3
...
rn
...
6= r1 1 , 0, 9 ,
6= r2 2 , 0, 9 ,
6= r3 3 , 0, 9 ,
...
6= rn n , 0, 9 ,
...
Nuovo e dunque esterno all’immagine di f .
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Ancora Cantor
Nessun insieme A in corrispondenza biunivoca con l’insieme delle sue
parti P(A).
Da N a P(N), da P(N) a P(P(N)) e oltre, in un processo senza fine,
verso infiniti sempre nuovi!
Importante: P(N) corrispondenza biunivoca con R Anzi, esiste
un’infinit di numeri infiniti: gli alef!
Numeri come i “fratelli minori” 0, 1, 2, 3, . . ., che come loro si ordinano,
si sommano, si moltiplicano, si elevano a potenza,
talora con le stesse regole,
talora con una nuova aritmetica, sorprendente e insidiosa.
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La “cardinalit” di N: 0 , alef con zero, il numerabile, lo stesso di Z, Q, N2
e molto altro.
La “cardinalit” di R:
20 , 2 alla alef con zero, il continuo, lo stesso di ]0, 1[, P(N), R2 , R3 , C e
molto altro.
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Gli assiomi: come e perché
Trattiamo il tema degli “assiomi” e del loro ruolo in Matematica.
Sappiamo tutti che la Matematica si compone in larga parte da
definizioni e dimostrazioni, ma
la definizione di ogni nuova nozione si rifà forzatamente a concetti
già noti,
la dimostrazione di ogni nuovo teorema si basa inevitabilmente su
risultati già conosciuti.
Ma questo gioco a ritroso, che introduce nuovi concetti rifacendosi a
nozioni precedenti, e prova nuovi risultati sulla base di altri più vecchi,
non può continuare all’infinito.
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