Calcolo dei limiti

22 IL CALCOLO DEI LIMITI
ESERCIZI
1. LE OPERAZIONI CON I LIMITI
Calcola i seguenti limiti, servendoti dei teoremi enunciati sui limiti e ricordando la continuità delle
funzioni elementari.
1A
1B
2A
2B
3x  x
x4
x2
1 x
lim
x 9
x x2
[7]
lim
[1]


lim 2 2 sen x  2 cos x  1
x
4


lim 2 3 sen x  2 cos x  1
x
[4]
[3]
3
3A
3x  2 x  1
lim 2 x x
x 4 2
3 5
8
15 
3B
lim
3x  2 2 x  1
x 2 2 x  3x  5
[1]
4A
lim
log  4  x   log  x  7 
x 3
x3
1
 6 
4B
lim
log  8  x   log  x  1
x2
x3
1 
 5 
Utilizzando il teorema del confronto, calcola i seguenti limiti.
5A
5B
1
x
1
lim  4 x  x 2   cos
x 0
x
lim  x 2  3x   sen
x 0
 0
 0
22 IL CALCOLO DEI LIMITI
ESERCIZI
2. LE FORME INDETERMINATE
Calcola il limite delle seguenti funzioni.
6A
6B

lim 
lim
x 
x 

x  4
x2  2  x2  5
 0
x2  3 
 0
2
x 
lim  x3  x 2  6 x  1
 
lim  x3  6 x 2  5 x  3
 
8A
lim
x3  3 x 2  3x
x  x 2  4 x  2
 
8B
lim
x 4  2 x3  3x 2
x 
x3  4 x  2
 
9A
lim
x  3x 2  x 4
x  1  5 x 4  2 x
 1
  5 
9B
2  x3  4 x 2
lim
x  2 x 3  x  2
 1
  2 
10 A
3x  x 2  5
x  1  2 x 3  2 x 2
7A
7B
10 B
11 A
11 B
x 
lim
[0]
2 x  x3  7
x  2  x  3 x 4
x2
lim
2
x 
x  2x  5
 0
lim
lim
x 
x2  2x  7
x5
 1
 1
12 A
x3  3x 2  x  1
x 1
x2  4 x  3
 1
12 B
lim
x3  3x 2  x  1
x2  x  2
 2
  3 
x2  5x  6
x2  4 x  4
 
x 2  5x  6
lim 2
x 3 x  6 x  9
 
13 A
13 B
lim
x 1
lim
x 2
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2
22 IL CALCOLO DEI LIMITI
14 A
14 B
3 x 2 1
lim  x  2 

2
2 x 2 ln x 2  2
x 
lim  x  1
2
2 x2 5

ESERCIZI


3 x 2 ln x 2 1
x 
 e3 


 3 e2 


3. I LIMITI NOTEVOLI
Calcola il limite delle seguenti funzioni.
15 A
15 B
sen x  2 x
sen x  2 x
sen x  2 x
lim
x  0 x  2sen x
 3
5  5cos x
x  0 2 x sen x
5
 4 
3  3cos x
x sen x
3
 2 
lim
x 0
16 A
lim
16 B
lim
17 A
lim
17 B
x 0
sen 4 x  x
x
sen 3x  5 x
lim
x 0
x
x 0
1
 5
8
x
18 A
 x3
lim 

x  x  1


x
18 B
 x4
lim 

x 
 x 1 
19 A
lim
ln  2 x  1
x 0
x
 2
19 B
lim
ln  4 x  1
x 0
x
 4
20 A
lim 1  5 x  5 x
1
 e
20 B
lim 1  2 x  2 x
1
 e
x 0
x 0
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e4 
e5 
3
22 IL CALCOLO DEI LIMITI
ESERCIZI
4. GLI INFINITESIMI, GLI INFINITI E IL LORO CONFRONTO
Confronta fra loro gli infinitesimi seguenti.
21 A
f  x   ex 1 , g  x   2x ,
per x  0 .
 f  x  ord. sup. a g  x  
21 B
f  x   ln  3 x  1 , g  x   x 2 , per x  0 .
 f  x  ord. inf. a g  x  
2
Determina l’ordine dei seguenti infinitesimi.
22 A
22 B
1
, per x   .
x  4x
1
f  x  4
, per x   .
3x  x
f  x 
2
 2
 4
Confronta fra loro i seguenti infiniti.
23 A
f  x   x 4  3x  2, g  x   x 2  1, per x   .
stesso ordine
23 B
f  x   2 x 2  5  x , g  x   3x  2, per x   .
stesso ordine
Determina l’ordine dei seguenti infiniti.
24 A
f  x 
1
, per x  0 .
x  1  cos x
 4
24 B
f  x 
1
,
x  sen 2 x
3
3
per x  0 .
Utilizzando il principio di sostituzione degli infinitesimi (o infiniti) calcola i seguenti limiti.
25 A
lim
x 0
25 B
lim
26 A
lim
26 B
ln 1  x 2 
x  e3 x  1
x 0
x 
lim
3x sen x
x 
1  cos x
x 6  3x3  2 x
2 x3  4
4 x 2  3x  5
2 x4  x  1
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1 
 3 
 6
1
 2 
2 2 


4
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ESERCIZI
5. LE FUNZIONI CONTINUE
Verifica che la seguente funzione è continua nel punto segnato a fianco utilizzando la definizione di
funzione continua.
27 A
f ( x)  x 2  7 x , x0  0 .
27 B
f  x   x 2  5 x , x0  0 .
Nota la continuità di alcune funzioni elementari, stabilisci se la seguente funzione è continua e
rappresentala.
se x  0
se x  0
28 A
x
f  x   x
e
28 B
se x  1
x
f  x  
ln x se x  1
 f  x  discontinua in x  0 
 f  x  discontinua in x  1
Date le seguenti funzioni f  x  e g  x  , stabilisci se la funzione composta  g  f  x  , considerata nel
suo dominio naturale, è continua nel punto indicato a fianco.
1
, x0  2 .
x
29 A
f  x   x2  2 , g  x  
29 B
f  x   x  1 , g  x   ln x , x0  1 .
30 A
f  x   x 2  1 , g  x   ln x , x0  0 .
30 B
f  x   cos x , g  x  
 no
 no
sì 
1
, x0  0 .
x
sì 
Disegna il grafico della seguente funzione nell’intervallo  1;1 , controlla le ipotesi del teorema di
Weierstrass e, se esistono, determina il massimo M e il minimo m della funzione.
31 A
e x
se  1  x  0
f  x  
ln 1  x  se 0  x  1
 no; M  1
31 B
e x
se  1  x  0

f  x    ln 1  x 
se 0  x  1

x

1

sì, M  1, m  e 
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22 IL CALCOLO DEI LIMITI
ESERCIZI
Assegnata la seguente funzione, stabilisci se sono verificate le condizioni del teorema degli zeri negli
intervalli a fianco indicati. Cosa possiamo dire per l’equazione f  x   0 ?
32 A
32 B
f  x   x 2  8 x  2 ; I1   0;1 ; I 2   1; 2 .
no; sì; l' equazione ammette almeno una soluzione reale x1 tale che  1  x1  2
f  x   2 x 3  x  5 ; I1   2; 1 ; I 2   0;1 .
sì; no; l' equazione ammette almeno una soluzione reale x1 tale che  2  x1  1
6. I PUNTI DI DISCONTINUITÀ DI UNA FUNZIONE
Determina i punti di discontinuità delle seguenti funzioni. Nel caso di un punto di discontinuità di I
specie, calcola il salto della funzione in quel punto.
33 A
33 B
| 2x  4 |
1
x2
| 3x  9 |
f  x 
2
x3
 x  2 discontinuità di I specie; salto  4
f  x 
 x  3 discontinuità di I specie; salto  6
34 A
x2  x  2
f  x  2
x  x6
 x  3 discontinuità di II specie; x  2 discontinuità eliminabile
34 B
x 2  3x  2
f  x  2
x  2x  8
 x  4 discontinuità di II specie; x  2 discontinuità eliminabile
35 A
f  x  e x
35 B
f  x   e 4 x
x 1
2
1
2 x
2
 x  1 discontinuità di II specie; x  1 discontinuità eliminabile
 x  2 discontinuità di II specie; x  2 discontinuità eliminabile
Determina i valori dei parametri a e b affinché la seguente funzione sia continua in tutto R.
36 A
se x  0
sen x  4
 x
f  x    2  bx  a  b se 0  x  1
 x 2  bx  a
se x  1

 a  4, b  1
36 B
se x  0
cos x  a
 x
f  x   3  x  3a  3b se 0  x  1
 x 2  bx  a  1 se x  1

 a  3, b  2
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ESERCIZI
7. LA RICERCA DEGLI ASINTOTI
Determina gli eventuali asintoti delle seguenti funzioni.
37 A
37 B
ln x  1
x
ln x  2
y
x
y
 x  0, y  0
 x  0, y  0
38 A
3x 2  x  1
y
x 1
38 B
y
2x2  2x  3
x2
 x  2, y  2 x  6
39 A
y   x  2   e x 1
39 B
y   x  2   e  x 1
 y  0
 y  0
40 A
y  9x2  4x 1
2

 y  3x  3 
40 B
y  4x2  5x  2
5

 y  2 x  4 
 x  1, y  3x  4
8. IL GRAFICO PROBABILE DI UNA FUNZIONE
Traccia il grafico probabile della seguente funzione.
41 A
x2  x  2
y 2
2 x  x  15
41 B
y
x3  1
x4
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