Elettromagnetismo
Prof. Francesco Ragusa
Università degli Studi di Milano
Lezione n. 2 – 6.10.2016
Elettrostatica – Il campo elettrico
Anno Accademico 2016/2017
La Forza Elettrostatica è Conservativa
• Un'importantissima proprietà della Forza Elettrostatica (Forza di Coulomb) è
che si tratta di una forza conservativa
• Dipende dalla natura centrale della forza
• Le cariche possono (in generale sono) mantenute nelle posizioni assegnate da
forze non elettriche
• Possiamo comunque immaginare di spostare una carica da una posizione
all'altra con un movimento estremamente lento, bilanciando istante per
istante la forza elettrica che agisce sulla carica in esame
• Consideriamo il lavoro fatto per spostare una carica q2
che interagisce con una carica q1 posta nell'origine
• Calcoliamo il lavoro seguendo una traiettoria arbitraria da rA a rB
• Suddividiamo la traiettoria in segmenti con gusci sferici centrati a r = 0
y
y
q2
q1
rA
q2 r
B
q2
q1
x
z
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rA
q2
rB
x
z
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La Forza Elettrostatica è Conservativa
• Consideriamo lo spostamento ds compreso fra i due
gusci concentrici posti a r e r + dr
• La carica q2 è in equilibrio sotto l'effetto delle
forze elettrica e meccanica Fm = − Fel
• La forza elettrica Fel in quel punto è
• Il lavoro è
• Il prodotto scalare
è la proiezione di ds lungo
la direzione radiale
• Vale per un ds qualsiasi purché fra i due gusci
y
Fel
Fm
α
dr
q2
ds
r
q1
x
• Il lavoro per spostare una carica
da rA a rB è pertanto
Dipende solo dalle posizioni
iniziale e finale
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Non sono più vettori
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La Forza Elettrostatica è Conservativa
• Una traiettoria arbitraria può intersecare
y
i gusci più di una volta
• Ad esempio la traiettoria in figura
• Ci sono tre spostamenti all'interno dei gusci
dr
fra r e r + dr: ds1, ds2, ds3
ds1
• Tutti e tre gli spostamenti hanno una proiezione
radiale che ha la stessa lunghezza (in modulo): dr
ds2
• Tuttavia due sono nel senso positivo e uno
q2
nel senso negativo
• Il campo elettrico ha sempre lo stesso modulo
ds3
q
x
1
(il modulo di r è costante sul guscio)
• Il contributo al lavoro dello spostamento ds2 cancella uno degli altri due
• Rimane un solo contributo
• È facile convincersi che rimangono solo i contributi che sommati danno ancora
una volta
• Il lavoro non dipende dalla particolare traiettoria ma solo dal punto di
partenza e quello di arrivo
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La Forza Elettrostatica è Conservativa
• C'è un modo più formale per rendersi conto che il lavoro dipende solo dalle
distanze radiali dall'origine dei punti di partenza e di arrivo della traiettoria
• La traiettoria può essere espressa in forma parametrica†
• Il vettore tangente è
• Consideriamo il lavoro (ricordiamo che Fm = − Fel )
• †Schey H. - Div, Grad, Curl And All That; An Informal Text on Vector Calculus 3rd ed - Norton, 1997. p. 66
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Energia di un sistema di cariche
• Ci limitiamo a sistemi elettrostatici in cui le cariche sono ferme
• Come abbiamo visto la forza elettrostatica è conservativa
• In generale le cariche mantenute nelle posizioni date da forze non elettriche
• Possiamo comunque immaginare di spostare una carica da una posizione all'altra
con un movimento estremamente lento, bilanciando istante per istante la forza
elettrica che agisce sulla carica in esame
• In presenza di altre cariche sulla carica in esame
sarà esercitata una forza elettrostatica Fel
• Durante il moto è applicata una forza Fm che
bilancia la forza Fel
Fm
• Nel corso del movimento la forza Fm
B
ds
Fel
• Potrà "frenare" la carica
A
• Angolo fra Fm e ds maggiore di π/2
• Lavoro negativo, energia guadagnata dal
sistema meccanico, persa dal sistema elettrostatico
• Potrà "spingere" la carica
• Angolo fra Fm e ds minore di π/2
• Lavoro positivo, energia persa dal sistema meccanico, guadagnata dal
sistema elettrostatico
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Energia di un sistema di cariche
• L'energia elettrostatica di un sistema di cariche è definita come il lavoro
fatto sul sistema (energia guadagnata dal sistema elettrostatico) per costruire
una data configurazione di cariche elettriche inizialmente poste all'infinito
• Consideriamo il caso più semplice
• Un sistema di due cariche poste a distanza d
• Consideriamo una carica q1 posta nell'origine
• Trasportiamo una carica q2 dall'infinito a una
distanza d dalla prima carica
• Per semplicità lungo una traiettoria rettilinea
• Il lavoro fatto sul sistema elettrostatico
è dato dall'integrale
y
q2
q1
d
q2 +∞
x
z
• Il segno di questo integrale deve essere trattato con cura
• L'inversione dell'ordine degli estremi di integrazione introduce un segno meno
• Determiniamo prima il segno del risultato sulla base di un ragionamento fisico
• Dopo capiremo la matematica
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Energia di un sistema di cariche
• Supponiamo, per fissare le idee, che le due cariche abbiano lo stesso segno
• La forza elettrica Fel su q2 è repulsiva, diretta nel senso positivo
dei vettori posizione che partono dall'origine
• La forza meccanica Fm è diretta verso l'origine
y
Fel
• Lo spostamento è diretto verso l'origine
• Ricordiamo il lavoro
q1
Fm q
2
d
x
• Lo spostamento e la forza sono nella stessa direzione z
• L'integrando, il lavoro infinitesimo dW, è positivo
• D'altro canto, l'integrale che abbiamo introdotto
• Il segno è negativo, diverso da quanto avevamo previsto
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Energia di un sistema di cariche
• Evidentemente l'integrale non è stato definito correttamente
• Il motivo risiede nel fatto che gli estremi di integrazione sono nell'ordine
inverso rispetto al verso crescente della variabile r
• Pertanto se si invertono gli estremi di integrazione occorre anche fare la
sostituzione dr → − dr
• Un altro modo per definire correttamente l'integrale è considerare il lavoro
che vogliamo calcolare come
• Il lavoro necessario per spostare la carica dal punto a distanza d fino
all'infinito, cambiato di segno
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Il Campo Elettrico
• La legge di Coulomb permette di trovare le forze che si esercitano fra le
cariche elettriche che costituiscono un sistema elettrostatico
• È tuttavia particolarmente interessante formulare il problema in modo
differente
• Si definisce un sistema elettrostatico fatto da N cariche elettriche
q1, … qj, … qN poste nelle posizioni r1, … rj, … rN
• Ci si chiede qual è la forza che viene esercitata su una carica q0 posta in
una posizione arbitraria r0
• La legge di Coulomb fornisce immediatamente la risposta
Abbiamo usato il principio
di sovrapposizione (linearità)
• A questo punto introduciamo il campo elettrico E nel punto r0 come il
rapporto fra la forza F e la carica q0
evidentemente
• Il campo elettrico E(r) permette di calcolare la forza su una
carica arbitraria q in una posizione arbitraria r: F = q E(r)
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Il Campo Elettrico
• Per fissare meglio i concetti appena esposti consideriamo in maggiore
dettaglio un caso molto semplice
• Il campo elettrico di una carica puntiforme q1 posta nel punto r1
• La formula precedente, specializzata al caso di una sola carica è
• Il versore
punta dalla posizione r1 in cui è posta la
carica al punto r0 dove vogliamo conoscere il campo
• Semplifichiamo ulteriormente ponendo la carica nell'origine
r1 = 0 e chiamando r invece che r0 il punto generico
• Il versore
diventa il versore che
dall'origine punta a r, cioè
y
x
• In definitiva il campo elettrico di una carica puntiforme è
z
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Il Campo Elettrico
• Quanto fatto fino a ora non aggiunge nulla alla legge di Coulomb
• Vedremo tuttavia che il concetto di campo ha delle implicazioni molto
importanti che potremo apprezzare completamente quando tratteremo
fenomeni variabili nel tempo
• Nell'esempio descritto le N cariche elettriche avevano una posizione fissata
• In generale sono tenute nelle posizioni date da forze di tipo non elettrico
che mantengono le cariche nelle posizione date
• Quando introdurremo i conduttori tratteremo problemi in cui le cariche
possono muoversi
• Il questi casi occorre assicurarsi che l'introduzione della carica q0 non
modifichi la posizione delle cariche
• In pratica q0 deve essere molto piccola
• Si esprime questo requisito modificando la definizione di campo elettrico
• Questa espressione definisce matematicamente il campo elettrico
• Tuttavia sperimentalmente si scontra con la circostanza che la carica più
piccola osservata è la carica dell'elettrone e
• Sperimentalmente si chiede che la carica q0 non modifichi il sistema
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Il Campo Elettrico
• Continuiamo a elaborare il concetto di campo
• Il sistema di N cariche elettriche q1, … qj, … qN genera una proprietà dello
spazio
• Ad ogni punto dello spazio è assegnato un vettore, il vettore di E(r), che
descrive in modo esauriente l'interazione di una carica arbitraria q con il
sistema di N cariche
• Le N cariche sono le sorgenti del campo
• Si dice anche che le N cariche elettriche generano il campo elettrico E
• Nello spazio vuoto, fissate le cariche elettriche (il loro valore e la loro
posizione) il campo elettrico può essere calcolato con la formula
• Nella materia o in presenza di conduttori occorre sviluppare dei metodi più
potenti per calcolare il campo elettrico
• Si utilizzano le equazioni differenziali alle derivate parziali
• Si fissano opportune condizioni al contorno
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Il Campo Elettrico
• Sottolineiamo un aspetto importante di questa formulazione
• Il campo elettrico è una proprietà locale dello spazio
• In linea di principio, potrebbe succedere che
• In un dato punto dello spazio una carica di valore q Coulomb
sente una forza F
• Nello stesso punto una carica del valore 2q potrebbe sentire una
forza diversa da 2F
• La forza potrebbe dipendere dalla disposizione e dai valori di tutte le
cariche che costituiscono il sistema, inclusa la carica 2q
• Se fosse così l'introduzione del Campo Elettrico sarebbe inutile
• Invece la conoscenza del campo in un punto e nell'intorno è tutto quello che
serve per determinare la forza su una carica arbitraria
• Non importa come il campo è stato generato
• Questo è il significato dell'aggettivo "locale"
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Visualizzazione del Campo Elettrico
• Con il calcolo del Campo Elettrico si assegna ad ogni punto r
dello spazio un vettore E(r)
• È sottinteso che E(r) è un vettore applicato nel punto r
• La visualizzazione di un campo elettrico con metodi grafici è difficile
• Comunque inadeguata. Un'approssimazione
• Il metodo più utilizzato è quello delle linee di campo
• Si tratta di linee curve che sono tangenti al campo elettrico in ogni punto
• Consideriamo per cominciare il campo elettrico di una carica puntiforme
• Tracciamo una linea allontanandoci dalla carica positiva richiedendo che sia
sempre tangente a E(r)
• Lo stesso per le altre
• Notiamo che le linee "escono"
dalla carica positiva
• È una sorgente
• Per una carica negativa la
situazione è analoga
• Le linee "entrano" nella
carica negativa
• È un pozzo
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Visualizzazione del Campo Elettrico
• Consideriamo adesso il campo generato da una carica q+ = +3 e una
carica q− = −1 (unità arbitrarie)
• Tracciamo una linea allontanandoci dalla carica positiva richiedendo
che sia sempre tangente a E(r)
• Lo stesso per le altre
Bassa densità di linee
campo elettrico piccolo
Alta densità di linee
campo elettrico elevato
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Visualizzazione del Campo Elettrico
• Si potrebbe dare una definizione analitica delle linee di campo
• Un breve accenno e un esempio si trovano nel testo di Mazzoldi, Nigro, Voci
• Non ci addentreremo nella descrizione analitica delle linee di campo
• Potreste utilizzare il vostro computer e le tecniche di programmazione dei
laboratori di informatica per rappresentare graficamente alcuni campi
elettrici
• È bene tenere presente alcune proprietà delle linee di campo
• In ogni punto la tangente alla linea dà la
direzione del campo elettrico
• La densità locale delle linee di campo è
maggiore dove il campo elettrico è più intenso
• In pratica si disegnano un numero di linee
proporzionale al valore delle cariche positive
• Termineranno sulle cariche negative o all'infinito
• Le linee di campo non si incrociano mai
• Se si incrociassero nel punto di incrocio il campo
elettrico avrebbe due direzioni simultaneamente
?
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Visualizzazione del Campo Elettrico
• Le linee di campo originano dalle cariche positive
e terminano su quelle negative
• Oppure possono partire o terminare all'infinito
• Il numero di linee che originano da una carica
(o terminano su una carica) è proporzionale
alla grandezza della carica
• Caso particolare: in un sistema con due cariche
uguali tutte le linee che originano dalla carica
positiva terminano sulla carica negativa
• Eventualmente passando per l'infinito
• Anche per sistemi con più di una carica, a distanze molto piccole dalle
cariche puntiformi le linee di campo sono radiali
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Distribuzioni di carica
• Fino ad ora abbiamo considerato solo cariche puntiformi
• Particelle cariche di dimensioni trascurabili
• Matematicamente punti senza dimensione
• Risulta tuttavia conveniente generalizzare il concetto di carica e ammettere
che la carica possa essere una sorta di sostanza continua caratterizzata da
una densità volumetrica di carica ρ ( Coulomb/m3)
• Un volume dV = dxdydz contiene una carica dq
• Abbiamo già visto che la materia contiene dell'ordine di
1023 elettroni per cm3
• Un numero estremamente elevata che giustifica la trattazione continua
• Almeno finché dV è piccolo ma sempre di dimensioni macroscopiche, non
atomiche
• Naturalmente la densità di carica è, in generale, una funzione della posizione
• Accanto alla densità volumetrica si usano anche
• La densità superficiale σ: dq = σ dS
• La densità lineare λ: dq = λ dl
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Distribuzioni di carica
• Richiamiamo la formula scritta per il calcolo del campo elettrico
• Per una data configurazione di cariche puntiformi
y
• La formula può essere generalizzata al caso di
distribuzioni continue di carica
• Consideriamo un oggetto con una generica
distribuzione di carica descritta dalla funzione ρ(r)
• Individuiamo un volume dV = dxdydz ≡ d3r all'interno
• La sua carica è ρ(r)d3r
• È la generalizzazione di qj
• La somma è sostituita da un integrale
• Il campo in r0 è
r
r0
x
z
• Il versore punta dalla carica al punto r0
• L'integrale è esteso a tutto il volume dell'oggetto
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Campo generato da un anello
• Consideriamo un anello di carica Q e di raggio r.
z
Calcolare il campo elettrico in un generico punto sull'asse
• Supponiamo che le dimensioni trasversali
dell'anello sia trascurabili rispetto al raggio r
h α
• Possiamo modellizzarlo come una distribuzione
y
lineare di carica di densità λ = Q/(2πr)
θ
• Consideriamo un elemento di carica sull'anello
• La lunghezza dell'elemento è dl = r dθ
x
• La carica dell'elemento è dQ = λdl
• Consideriamo un punto ad altezza h dal piano che contiene l'anello di carica
• La distanza del punto considerato dall'elemento di carica è d
• Il modulo del campo elettrico è dE
• Il campo elettrico generato dall'elemento forma un angolo α con l'asse z
• La proiezione lungo l'asse z
del campo è dEz = dE cosα
• La proiezione perpendicolare all'asse z si elide con
il contributo dell'elemento sull'anello posto ad un angolo θ + π
• Il campo elettrico totale si trova integrando Ez su θ
• Per z < 0 il campo cambia segno
• Sufficiente considerare h con segno
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Campo all'interno di un guscio sferico
• Calcolare il campo elettrico all'interno di un guscio sferico cavo di raggio R e
carica totale Q distribuita uniformemente sulla superficie
z
• Il guscio può essere modellizzato come una distribuzione
di carica superficiale uniforme σ = Q/4πR2
• Consideriamo un generico punto P all'interno del guscio,
P
a distanza c dal centro
c
• Non si perde generalità nella soluzione se si
c P
considera il punto P sull'asse z
R
• Il problema può adesso essere risolto suddividendo il
y
guscio in tanti anelli e utilizzare la soluzione trovata
per il campo generato da un anello (sull'asse)
• Un generico anello è individuato dall'angolo polare θ
• E dalla sua estensione trasversale infinitesima dθ
• La superficie dell'anello è
c
• La carica dell'anello è
dθ
θ θ0
• L'altezza (con segno) del punto P sul piano dell'anello
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x
Campo all'interno di un guscio sferico
• Riepilogando
• Il campo generato dall'anello è
dθ
c
θ θ0
• Sostituendo
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Campo all'interno di un guscio sferico
• Pertanto
• Operiamo un cambio di variabile
• I limiti di integrazione diventano
• Sostituendo (cambiando l'ordine di integrazione)
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Campo all'interno di un guscio sferico
• L'integrale si trova nelle tabelle di integrali
• Posto
• Nel nostro problema
• Calcoliamo
esteso fra gli estremi di integrazione
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