Equazioni d`onda e loro soluzioni

Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6a
Equazioni d’onda e loro soluzioni
Le equazioni di Maxwell danno una descrizione completa delle
relazioni tra i campi elettromagnetici, le cariche e le distribuzioni di
correnti e costituiscono il modello matematico della teoria
elettromagnetica.
Speciali tecniche analitiche e numeriche forniscono procedimenti
risolutivi, senza incrementare o modificare la struttura fondamentale
delle equazioni di Maxwell sulle quali sono basate, ciò fa
comprendere la loro importanza e potenzialità.
M. Usai
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Equazioni d’onda e loro soluzioni
Attraverso le equazioni di Maxwell si definiscono:
V potenziale elettrico scalare e
A potenziale magnetico vettoriale.
La conoscenza dei due potenziali in funzioni delle sorgenti
(cause) di campo ρ e J , consente di definire in qualunque
punto tutte le altre grandezze grandezze elettromagnetiche a
queste legate (effetti).
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In generale risultano applicabili le equazioni d’onda non omogenee.
Esse si riducono alle equazioni di Poisson nel caso di campi statici :
equazioni d’onda non omogenee ⇒
∂2 A
∇ A − µε 2 = − µ J
∂t
2
∂ 2V
ρ
∇ V − µε 2 = −
∂t
ε
2
soluzione e. di Poisson
⇒
µ0
J
A=
dv'
∫
4 π V' R
⇒
1
ρ
V=
dv'
∫
4 πε0 V' R
V potenziale elettrico scalare e
A potenziale magnetico vettoriale.
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Equazioni d’onda e loro soluzioni
Ci si propone ora di studiare:
le soluzioni delle equazioni d’onda non omogenee
considerando
• prima il caso più semplice di un campo elettromagnetico
generato da una carica elementare puntiforme ρ(t) ∆v' al
tempo t,
• estendendo poi il procedimento al caso più generale di una
distribuzione di cariche qualsiasi, sommando gli effetti di
tutte le cariche elementari in una regione data.
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Soluzione delle equazioni d’onda per potenziali
Si vuole determinare la soluzione della equazione non omogenea
per il potenziale scalare:
2
∂ 2V
ρ
∇ V − µε 2 = −
∂t
ε
Per fare ciò si consideri da prima la soluzione per il caso di una
carica elementare puntiforme al tempo t, ρ(t) ∆v' localizzata
nell’origine degli assi.
z
P(x,y,z)
Per la simmetria sferica della carica puntiforme
R
é conveniente considerare le coordinate sferiche,
ρ(t)
y
così che il potenziale V dipende solo dalla
dv’
coordinata della distanza R e dal tempo t.
x
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V soddisfa la seguente equazione omogenea per tutti i punti, fatta
eccezione per l’origine, dove è localizzata la carica elementare:
z
P(x,y,z)
1 ∂ ⎛ 2 ∂V ⎞
∂ 2V
⎜R
⎟ − µε 2 = 0
R
2
∂t
R ∂R ⎝ ∂R ⎠
ρ(t)
y
dv’
x
Se si introduce una nuova variabile U(R,t) legata a V dalla
1
relazione:
V(R,t) = U (R,t )
R
si ottiene una espressione più semplice detta equazione d’onda
omogenea unidimensionale:
2
2
∂ U
∂ U
− µε 2 = 0
2
∂R
∂t
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Si può dimostrare per sostituzione diretta che ogni funzione f
di:
(t − R µε ) o di (t + R µε )
due volte differenziabile, é una soluzione della equazione
d’onda omogenea unidimensionale, quindi si ha:
U(R,t) = f(t − R µε )
Questa equazione rappresenta un’onda che viaggia nella
direzione radiale R con velocità u = 1/ µε .
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U(R,t) = f(t − R µε )
Poiché ∆t = ∆R µε = ∆R/u, con u = 1/ µε è velocità di
propagazione, la funzione per, R+∆R e t+ ∆t é :
[
]
U(R+ ∆R,t+ ∆t)= f t + ∆t − (R + ∆R) µε =
[
] (
)
= f t + ∆R µε − R − ∆R µε = f t − R µε .
quindi la funzione traslando al variare del tempo (all’aumentare di
R e di t), conserva la sua forma.
Si può quindi scrivere:
1
1
V(R,t) = U ( R , t ) = f(t − R / u).
R
R
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Per determinare la funzione specifica f(t-R/u), si ricorda che il
potenziale V dovuto a una carica puntiforme statica q = ρ ( t )∆v'
nell’origine, pari a:
ρ(t)∆v'
∆V ( R ) =
4πεR
Quindi si adatta questo modello matematico per tener conto del
ritardo R/u con cui si sente l’effetto della densità di carica ρ ,
alla distanza R, in modo che sia soddisfatta anche l’espressione:
1
∆V(R,t) = f(t − R/u)
R
1
ρ(t − R / u )∆v'
Ottenendo che: ∆V(R , t ) = ∆f (t − R / u ) =
R
4 πεR
Da cui il potenziale V dovuto a una distribuzione di carica in un
volume V’, tenendo conto del tempo di propagazione dell’effetto
sarà:
1 ρ (t − R / u )
V ( R, t ) =
dv '
4πε V '
R
∫
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Questa equazione é chiamata equazione del potenziale scalare
ritardato:
V ( R,t ) =
1
4πε
∫
V'
ρ(t − R/u )
dv'
R
[V ]
essa infatti denota che il potenziale scalare V alla distanza R dalla
sorgente e al tempo t, dipende dal valore della densità di carica
all’istante precedente (t-R/u), ossia é richiesto un tempo R/u
perché l’effetto della densità di carica ρ sia sentito alla distanza
R.
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Mentre
la funzione di (t+R/u) non può essere una soluzione fisica,
ma solo una soluzione matematica
perché é impossibile che
l’effetto della densità di carica sia sentito in un punto distante
dalla sorgente prima che sia presente in un punto in prossimità
della sorgente (non causalità).
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Analogamente si deduce la soluzione della equazione
dell’onda non omogenea per il potenziale magnetico A
vettoriale detta equazione del potenziale vettore ritardato:
µ J(t − R/u )
A(R,t ) =
dv'
4 π V'
R
∫
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⎡ Wb ⎤
⎢⎣ m ⎥⎦
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Riassumendo le equazioni del potenziale scalare ritardato e del
potenziale vettore ritardato sono rispettivamente uguali a :
1
V(R, t ) =
4πε
∫
V'
ρ(t − R/u )
dv'
R
µ J(t − R/u )
A(R,t ) =
dv'
4 π V'
R
∫
[V]
⎡ Wb ⎤
⎢⎣ m ⎥⎦
Le grandezze del campo elettromagnetico si ottengono dalle
espressioni di A e di V differenziando in funzione della variabile
(t-R/u), ritardata nel tempo.
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In base alle considerazioni fatte si deduce che é richiesto un
certo tempo per la trasmissione delle onde elettromagnetiche,
perché si sentano gli effetti delle cariche e delle correnti
variabili nel tempo in punti distanti da queste.
Nel modello approssimato quasi statico:
•si trascura l’effetto del ritardo temporale e
•si assume una risposta istantanea.
Tale modello è assunto implicitamente nella trattazione
dei problemi circuitali.
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