Numero 3 - Dipartimento di Fisica

S l di D tt t L
Scuola di Dottorato Leonardo da Vinci –
d d Vi i a.a. 2008/09
LASER: CARATTERISTICHE, PRINCIPI FISICI, APPLICAZIONI
Versione 2 – Luglio 09 – http://www.df.unipi.it/~fuso/dida
Parte 3
Qualche richiamo di meccanica quantistica
i
i i
Ve 03
03.07.09
07 09 12-13
12 13 aula DIC
Ma 07.07.09 10-13 aula DIC
Laser a.a. 2008/09 –
Laser a.a.
http://www.df.unipi.it/~fuso/dida
2007/08 ‐ Parte 3 Versione 1 ‐ Parte 3 ‐ Versione 2 1
SOMMARIO
‐Approccio classico classico ai sistemi materiali mostra che non c’è possibilità di avere un laser:
radiazione di corpo nero
radiazione di corpo nero
assorbimento da mezzi dielettrici
‐Necessario usare approccio almeno semiclassico ‐Necessario
usare approccio almeno semiclassico (radiazione classica, materia quant.):
semiclassico (radiazione classica materia quant ):
cenni su concetti e strumenti per descrizione quantistica quantistica materia
funzioni d’onda, confinamento e quantizzazione
livelli discreti di energia
livelli discreti di energia
Obiettivo finale : mostrare che si può avere amplificazione di radiazione amplificazione di radiazione da parte di un mezzo materiale se si considerano
di un mezzo materiale se si considerano sistemi quantistici e l’emissione stimolata
emissione stimolata
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MECCANICA QUANTISTICA
Effetti quantistici diventano rilevanti (e predominanti) nei sistemi di interesse Effetti
quantistici diventano rilevanti (e predominanti) nei sistemi di interesse
per la produzione di luce laser (atomi, molecole, solidi) Punto di partenza della MQ:
Complementarità (o dualismo) onda corpuscolo
(e.g., onda e.m. è rappresentabile con fotone e, viceversa, particella materiale d
deve poter essere rappresentata come onda)
d )
Strumento fondamentale della MQ (diretta conseguenza di sopra):
Strumento
fondamentale della MQ (diretta conseguenza di sopra):
Funzione d’onda Ψ(r,t) per descrivere una particella quantistica (e.g., elettrone, fotone, etc.)
Æ approccio probabilistico: |Ψ(r,t)|2 è la probabilità di trovare particella in r, r+dr
Æ decade il concetto di traiettoria
decade il concetto di traiettoria
Infatti il principio di indeterminazione 3 stabilisce, e.g., per un moto unidimensionale:
ΔxΔp ≥ ≥ =/2
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CLASSICO VS QUANTISTICO
Problema fondamentale della meccanica classica (del punto):
- Determinare r(t) e v(t) (la traiettoria) a partire dalle forze F
- Strumento principe: equazione del moto a = F/m
Problema fondamentale della meccanica quantistica:
-Determinare Ψ(r,t) e interpretarla probabilisticamente
-Strumento principe: equazione di Schroedinger (casi non relativistici!):
G
=2 2 G
∂Ψ (r , t )
G
∇ Ψ (r , t ) + V (r , t ) = i =
−
2m
∂t
con
∂2
∂2
∂2
G
G
∇ Ψ (r , t ) = ( 2 + 2 + 2 )Ψ ( r , t ) (in coordinate cartesiane)
∂x
∂y
∂z
2
V(r,t) potenziale che controlla la dinamica del corpo), generciamente dipendente da r,t
Equazione di Schroedinger nel caso unidimensionale:
=2 ∂ 2
∂Ψ ( x, t )
−
Ψ
(
x
,
t
)
+
V
(
x
,
t
)
=
i
=
∂t
2m ∂x 2
Laser a.a. 2008/09 – http://www.df.unipi.it/~fuso/dida ‐ Parte 3 ‐ Versione 2 Derivate parziali!
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FONDAMENTI DELL’EQ. SCHROEDINGER
Semplici ragionamenti generali conducono alla
formulazione dell’equazione
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AUTOFUNZIONI E AUTOVALORI
Soluzione dell’eq
dell eq. di Schroedinger è in genere complicata (derivate parziali!)
Fortunatamente esistono casi in cui l’equazione è più semplice
Se V non dipende dal tempo, cioè è V(x), allora: E
Ψ ( x, t ) = ψ ( x)ϕ (t )
con
ϕ (t ) = e
−i t
=
e
=2 d 2
−
ψ ( x) + V ( x) = Eψ ( x)
2
2m dx
La f.ne d’onda degli stati
stazionari è fattorizzabile
Ψ(x) : autofunzione o autostato
E : autovalore dell’energia
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DERIVAZIONE EQ. AUTOSTATI
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ESEMPIO 1: FUNZIONE D’ONDA PARTICELLA LIBERA
V=0
Esempio: particella libera (cfr. fotone) che si muove lungo X avendo quantità di moto definita p
p
X
Ψ ( x, t ) ∝ eikx e − iωt = ψ ( x)ϕ (t )
Secondo de Broglie si ha: ψ ( x) = eikx
con p = =k
con p = Lunghezza d’onda di de Broglie
Lunghezza d’onda di de Broglie: : λdB=2π/k = h/p
Attenzione: la funzione d’onda di de Broglie ha |ψ|2 = 1
p
p
q
Æ la probabilità è sempre e ovunque unitaria
Æ ∫ |ψ|2 dx (fattore di normalizzazione) diverge!
D’altra parte, per principio di indeterminazione: Δp = 0 Æ Δx → ∞
(realisticamente occorre pacchetto d’onda, cfr. serie di Fourier)
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VALORI DI ASPETTAZIONE E MISURE
Il valore “medio” di una grandezza
(misurabile) su un sistema quantistico è
definito come
< f >= ∫ Ψ * (r , t ) f Ψ (r , t )d 3 r =<Ψ * | f | Ψ >
Esempio: <x> = 0 per particella libera
La grandezza misurata dipende dalla
“sovrapposizione spaziale” delle funzioni
che compaiono nell’integrazione (di
volume)
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ESEMPIO 2: POTENZIALE A GRADINO
Classicamente: per E<V0 ho solo
riflessione sulla barriera
(esempio: un piano inclinato che deve
essere risalito da una particella)
Quantisticamente ho riflessione, ma
anche trasmissione!!
trasmissione
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POTENZIALE A GRADINO II
Autofunzione determinata completamente dalla
continuità a parte un coefficiente di normalizzazione
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POTENZIALE A GRADINO III
V0
E
d
Nota: la particella può “tunnellare” se il gradino
termina dopo d < λdB
Nota: nel caso (meno interessante) in cui E<V0 la soluzione si trova con procedimento simile,
ma manca l’andamento
l andamento esponenziale decrescente
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ESEMPIO 3: BUCA DI POTENZIALE (INFINITA)
a
Esempio: particella libera (elettrone) che si muove lungo X essendo confinata in intervallo –a/2, a/2 da potenziale
p
X
Suppongo, ragionevolmente, che la particella sia costretta a stare nella buca
Ψ(x,t) sarà sovrapposizione di particella/onda che si muove vs dx e verso sin
Ψ ( x, t ) = Ae
i ( kx −ωt )
+ Be
i ( − kx −ωt )
con
ω=
E
=
Condizioni al bordo: Ψ = 0 per x = 0 e x = a
A = B oppure A = -B
Nota: qui non vale continuità della derivata a causa di V Æ ∞
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BUCA DI POTENZIALE (INFINITA) II
Le condizioni al contorno sono le stesse della radiazione nella cavità (scatola)
Si era ottenuto: kn = n
π
a
Essendo la particella libera
p
l’energia è solo cinetica:
g
2 2
pn2 = 2 k 2
=
π
2
=
=n
En =
2m
2m
2ma 2
Sistema con livelli discreti
discreti
(q
(quantizzati) di energia
)
g
Nota: n ≠ 0
Energia stato fondamentale non è nulla
Esempio: pallina m = 0.1 kg in scatola a = 10 cm Æ E1~10-64 J !!
Elettrone m ~ 10-30 kg in scatola a = 1 nm Æ Æ E1~5x10-20 J ~ 0.5 eV
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BUCA DI POTENZIALE FINITA
Le condizioni al contorno non impongono più Ψ = 0
- La funzione d’onda “deborda” esponenzialmente dalla buca
- Il numero di livelli possibili è limitato
In ogni caso:: confinamento spaziale ÅÆ quantizzazione livelli
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ESEMPIO 4: OSCILLATORE ARMONICO
V(x)=(C/2)x2
Soluzione autofunzioni oscillatore armonico più complicata
Sempre
p autofunzioni confinate spazialmente
p
((decadono
esponenzialmente oltre i punti di inversione)
Livelli equispaziati
Autovalori: En = (n+1/2)
(n+1/2)h
hν
(cfr energia fotoni
(cfr.
fotoni, che sono autofunzioni di oscillatore armonico di radiazione)
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RIASSUMENDO…
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MATERIA QUANTISTICA
La descrizione quantistica della materia è essenziale per interpretare
correttamente l’interazione radiazione/materia, con approcci sia semiclassici
(radiazione come onda) che quantistici (radiazione come fotoni)
Paradiigma della materia è l’atomo, anzi il più semplice tra gli atomi: idrogeno
Modello planetario dell’atomo (classico):
‐ Equilibrio (forza Coulomb dà acc. centr.)
‐ Energia (elettrostatica + cinetica)
V(r)
~1/r
r
~1/r
Confinamento
Æ
quantizzazione
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ATOMO DI BOHR (OLD QUANTUM THEORY)
Ipotesi di Bohr
Bohr (quantistica):
E
Quantizzazione raggio orbitale:
n=4
n=3
Quantizzazione energia:
n=2
n=1
Sistema con livelli discreti
discreti
(quantizzati) di energia
(quantizzati) di energia
Esistono orbite stabili con momento angolare quantizzato
Æ energia quantizzata
Æ possibilità di transizioni tra livelli discreti (spiegazione spettri sperimentali)
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ATOMO (DI IDROGENO) “DI SCHROEDINGER”
Ricerca autofunzioni complicata da
simmetria sferica
(coordinate sferiche)
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ATOMO (DI IDROGENO) II
Autovalori simili a Bohr
Autofunzioni con “armoniche
armoniche sferiche”
sferiche
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ATOMO (DI IDROGENO) III
Autofunzioni dipendenti da r
Risolvendo atomo di idrogeno con
Schroedinger si trovano stati stazionari
Esistono livelli stabili con energia
quantizzata
Applicabile anche ad altri atomi (con
maggiori difficoltà)
Esistono “degenerazioni” dei livelli
(scompaiono per altri atomi e scompaiono
in parte anche per idrogeno in trattazione
relativistica)
Laser a.a. 2008/09 –
Laser a.a. 2007/08 ‐
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Parte 3 ‐ Versione 1 ‐ Parte 3 ‐ Versione 2 22
CONCLUSIONI
La MQ rappresenta un approccio molto potente per interpretare i sistemi fisici
La MQ mostra che sistemi “confinati” hanno livelli discreti di energia
La MQ si applica molto bene alla materia, in particolare agli atomi (vedremo poi ulteriori estensioni a sistemi di diversa natura)
i lt i i t i i i t i di di
t )
La semplice ipotesi di Bohr mostra livelli discreti (in accordo con esperimenti)
Schroedinger conferma, ed estende portando alla determinazione delle autofunzioni
Faremo interagire sistemi di questo tipo con la radiazione e vedremo cosa succede
Laser a.a. 2008/09 – http://www.df.unipi.it/~fuso/dida ‐ Parte 3 ‐ Versione 2 23
FONTI
E. Arimondo, Struttura della Materia (ETS, 2005)
http://www.wikipedia.org
D.Batani, Seminario Sicurezza Laser (UniBicocca)
D.Batani, Seminario Sicurezza Laser (UniBicocca)
W. Demtroeder, Laser Spectroscopy, (Springer, 1991)
Eisberg Resnick, Quantum Physics of…., second ed. (Wiley,)
Laser a.a. 2008/09 – http://www.df.unipi.it/~fuso/dida ‐ Parte 3 ‐ Versione 2 24