Calcolo delle Probabilità e statistica

UNIVERSITA’ DI TORINO
II FACOLTA’ DI SCIENZE MFN
ALESSANDRIA
Calcolo delle Probabilità e statistica
Scienze dell’Informazione
ESERCIZIO 1
Si considerino due urne U1 e U2 contenenti ciascuna m palline bianche e n palline rosse. Si
estrae una pallina da U1 e la si mette in U2. A questo punto quanto vale la probabilità di estarre
una pallina rossa da U2 ?
ESERCIZIO 2
Si estrae a caso una carta da un mazzo formato da 40 carte. Si indichi con A l'evento :"è
stata estratta una carta di cuori" e con B l'evento :"e' stata estratta una figura". Calcolare la
probabilità dell'evento A∪B.
[motivare ogni affermazione!]
ESERCIZIO 3
In una lotteria un biglietto su n è vincente. Una persona compra n biglietti.
1) Determinare la legge della variabile aleatoria che ha come valore il numero di biglietti
vincenti .
Calcolare :
2) la probabilità che questa persona abbia un solo biglietto vincente;
3) la probabilità che questa persona abbia almeno un biglietto vincente.
ESERCIZIO 4
K
Una centrale telefonica riceve in media K chiamate in un'ora (oppure
chiamate in un minuto).
60
Supponiamo che il numero di chiamate ricevute in una unità di tempo segua una legge di Poisson.
Calcolare la probabilità che :
1) in due minuti si ricevano esattamente 3 chiamate;
2) in due minuti si riceva almeno una chiamata;
3) in due minuti si ricevano almeno tre chiamate.
ESERCIZIO 5
La popolazione di Nicosia (Cipro) e' composta per il 75% da popolazione di origine
greca e per la restante parte da polazione di origine turca . Il 20% della popolazione di
origine greca e il 10% di quella di origine turca parlano anche inglese.
Un turista visita la citta' e incontra una persona che parla inglese. Quanto vale la
probabilita' che sia di origine greca ?
ESERCIZIO 6
Due persone A e B giocano con due dadi. La persona A punta sull'uscita del sette,la
persona B sull'uscita del sei. Inizia a giocare A e poi vengono lanciati i dadi
alternativamente fino a che uno dei due vince.
1) Costruire lo spazio di probabilita' adatto a studiare il problema posto.
2) Calcolare la probabilita' di vittoria del giocatore A.
3) Calcolare la probabilita' di vittoria del giocatore B.
4) Indicato con N il numero di lanci necessari alla vittoria di uno dei due,calcolare la
media di N
ESERCIZIO 7
Si considerino le variabili aleatorie X e Y indipendenti, con distribuzione data da :
P[X=1]=P[X=-1]=0.5(1-p)
P[X=0]=p
P[Y=1]=p
P[Y=2]=1-p
Posto Z= X+Y , calcolare :
1) la legge di Z;
2) la speranza matematica di Z;
3) la varianza di Z.
4) Determinare, se esiste, un valore del parametro p tale che media e varianza di Z
coincidano.
ESERCIZIO 8
Abbiamo due urne. Nella prima urna ci sono n1 palline bianche e m1 palline nere,nella
seconda urna n2 palline bianche e m2 palline nere.
Si estrae una pallina da ciascuna delle due urne e poi si sceglie a caso una delle
due palline estratte.
Calcolare la probabilita’ che quest’ultima pallina sia bianca.
ESERCIZIO 9
Si lancia ripetutamente un dado. Sia T1 il numero di lanci necessario ad ottenere il sei la
prima volta e T2 il numero di lanci necessario ad ottenere il sei la seconda volta.
Calcolare la legge di T1 e di T2.
ESERCIZIO 10
Si consideri la funzione definita per i valori di x maggiori di 1 :
f(x) =
1.
2.
3.
(a − 1)
xa
Stabilire per quali valori di a f(x) e’ una densita’ di probabilita’ di una variabile
aleatoria X.
Determinare, fra i valori di a trovati al punto 1, quelli che rendono
X di media finita.
Posto
Y= - X
Z= X*Y,
calcolare la legge del vettore (Y,Z) e le marginali fz(z) e fy(y)
ESERCIZIO 11
Siano X e Y due variabili aleatorie indipendenti di legge :
g X ( x ) = λ e−λ
gY ( y ) = λ e −λ
1
1
x
y
{ x > 0}
(x)
{ y > 0}
( y)
Dimostrare che le variabili aleatorie
T=X + Y
X
Y
sono indipendenti e calcolarne la legge. Che nome ha la legge di T ?
W=