Gli Elementi ed il quinto postulato

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Geometria euclidea - Gli Elementi ed il quinto
postulato
- La geometria è la scienza della misura.
- Inizialmente i greci si limitavano a misurare linee, rette, superfici, volumi, in
seguito l’espressione misurare assunse un significato più ampio: stabilire
relazioni tra oggetti geometrici. Ad esempio:
- La retta r è parallela alla retta m.
- Il segmento AC è il triplo del segmento AB
- La relazione tra la lunghezza di una circonferenza ed il suo diametro è un
numero non definibile da una frazione.
- Per stabilire la veridicità di queste relazioni, fu necessario perfezionare il
sistema di misurazione, che finì per diventare il metodo matematico per
eccellenza: la dimostrazione.
- Euclide riunì l’insieme dei risultati (teoremi) ottenuti dai principi primari
tramite “catene di ragionamenti”. Questa abilità, quasi artistica, è quella che
caratterizza la geometria euclidea. Euclide, i suoi Elementi ed il quinto postulato - Non si hanno molte notizie su Euclide, tutte le informazioni disponibili
derivano da interpretazioni di altri studiosi su testi antichi. Si legge che visse
prima di Archimede, tra il 325 e il 265 a.C, fu contemporaneo di Tolomeo
(367-283 a.C). L’analisi del pensiero indica che fu discepolo di Platone e
quindi studiò ad Atene. Visse ad Alessandria, insegnando matematica e
fondando una scuola in cui sviluppò la sua attività intellettuale.
- Intorno agli anni 300 a.C., scrisse gli Elementi di geometria, dove raccolse
tutto il sapere matematico dell’epoca. Questa opera è la più diffusa dopo la
Bibbia.
- Ancora oggi il testo è considerato il fondamento della geometria quotidiana e
del senso comune.
- La prima versione stampata apparve a Venezia nel 1482 (traduzione dall’arabo
al latino). Nel 1505 fu pubblicata la prima versione in latino direttamente dal
greco.
- L’opera è composta da 13 volumi che riuniscono 465 proposizioni (o
enunciati, affermazioni di chi si può dimostrare essere vere o false), 732
teoremi (tesi dimostrabile tramite dimostrazione) e 93 problemi.
- Platone difendeva la geometria come una disciplina intellettuale fine a se
stessa: studiare la geometria, non tanto per risolvere problemi, ma per l’unico
fine di conoscere. Secondo Platone la scienza si coltiva per il solo fine di
conoscere.
- Negli Elementi si dimostrano tutte le proposizioni.
- I primi 4 libri sono denominati pitagorici in quanto il loro contenuto era
legato alla materia studiata da Pitagora. Qui si parla di geometria piana
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e di figure geometriche.
- I 2 libri successivi studiano la proporzionalità e la similitudine dei poligoni.
Qui compaiono i primi riferimenti alla proporzione aurea (la ragione
media ed estrema). - Il settimo, ottavo e nono libro sono dedicati all’aritmetica, la teoria dei
numeri: divisibilità, numeri primi, numeri perfetti, ecc. Si esprime il
concetto di numero: grandezza misurabile, cioè lunghezza di un
segmento.
- Il decimo libro presenta i numeri irrazionali.
- Gli ultimi tre libri analizzano la geometria nello spazio. Qui sono
studiati i famosi e unici 5 poliedri regolari convessi (detti anche solidi
platonici): il tetraedro (il fuoco, figura con 4 lati formati da triangoli
regolari), il cubo (la terra), l’ottaedro (l’aria, figura formata da 8 lati che
si forma facendo combaciare due piramidi regolari sul lato quadrato), l’
icosaedro (l’acqua, figura formata da 20 lati triangolari), il dodecaedro
(l’universo nella sua totalità, figura formata da 12 pentagoni regolari). Euclide partì dalle definizioni e assiomi (o postulati: un assioma in ambito
geometrico viene chiamato postulato), affermazioni semplici assumibili come
vere in modo intuitivo. Da queste articolò le su proposizioni, una catena di
definizioni che sviluppavano una dimostrazione.
Le basi del metodo euclideo si trovano nel primo libro, dove compaiono 23
definizioni (ad esempio quella di retta), assiomi (ad esempio, il tutto è
maggiore di una parte), i 5 postulati e 48 proprietà.
Quando Euclide si riferisce alle figure, al posto di uguaglianza viene usata
congruenza. In pratica due figure sono congruenti se sovrapponendoli
coincidono.
Terminologia euclidea.
- Proposizione. Affermazioni o enunciato che si può dimostrare
- Teorema. Proposizione dimostrabile a partire da assiomi o altri teoremi
già dimostrati, tramite regole di inferenza accettate e ben definite
- Assioma. Proposizione che si ammette vera senza dimostrazione. La sua
evidenza è maggiore rispetto a quella del postulato
- Postulato. Proposizione la cui verità si ammette senza prove, necessaria
come base per ulteriori ragionamenti (presupposto per una
dimostrazione).
Le 5 definizioni principali.
- Il punto è quello che non ha parti.
- Una linea è una lunghezza senza ampiezza.
- Una linea retta è una linea che giace nei suoi punti.
- Quando una linea retta è situata sopra un’altra in modo che gli angoli
adiacenti sono uguali, ciascuno dei due angoli è retto, e della linea retta
che si appoggia sull’altra, si dice che è perpendicolare ad essa.
- Le linee rette parallele sono linee rette che, trovandosi sullo stesso
piano e prolungandosi all’infinito in entrambe le direzioni, non si
incontrano mai in nessuna delle direzioni.
Assiomi principali
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- Cose uguali ad una terza sono uguali tra loro
- Se a cose uguali si aggiungono altre cose uguali, si ottengono somme
uguali.
- Se a cose uguali si sottraggono cose uguali, si ottengono differenze
uguali.
- Le cose che coincidono tra loro sono uguali tra loro.
- Il tutto è maggiore di una parte.
- I 5 celebri postulati
1.
2.
3.
4.
5.
Per due punti distinti passa una sola retta.
Un segmento rettilineo può essere prolungato all’infinito.
Esiste un’unica circonferenza con un dato centro ed un dato diametro.
Tutti gli angoli retti sono uguali.
Se una linea retta interseca due rette in modo che gli angoli interni di uno
stesso lato siano minori della somma di due angoli retti, le due linee rette
prolungate all’infinito, si incontrano dal lato in cui i due angoli sono minori
di due angoli retti. Da cui si deriva: data una retta, per un punto esterno
ad essa passa solo una parallela alla retta data (vedi disegno).
- Il quinto postulato ha un enunciato più complesso degli altri: è meno chiaro ed
intuitivo. Così come è scritto è più una proprietà o proposizione, che
un’affermazione evidente. I matematici si sono cimentati per più di duemila
anni nel tentativo di dedurlo dai primi quattro postulati, finché nell'Ottocento
hanno effettivamente dimostrato la sua indeducibilità. Modificando questo
postulato si creano geometrie diverse, dette non euclidee.
- Non è un caso, probabilmente, che negli Elementi il quinto postulato venga
usato solo dopo la dimostrazione di ben 28 "proposizioni" che non ne
dipendono, cioè fino a che non ha presentato la numero 29: “la somma degli
angoli di un triangolo misura due angoli retti”. Questa proprietà in effetti è
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equivalente al quinto postulato.
- L’equivalenza del quinto postulato con la proposizione 29 fa ritenere che il
postulato sia in realtà anche lei una proprietà. Non solo ma questo è anche
equivalente al teorema di Pitagora.
- Se si continua a cercare le equivalenze al quinto postulato si moltiplicano. Enunciati equivalenti al quinto postulato - L’idea di parallelismo associato a rette che si prolungano in definitivamente
introduce il concetto di infinito. Inoltre la formulazione del quinto postulato da
parte di Euclide ha più l’aspetto di teorema che di verità universale. Per
questo motivo diversi matematici furono convinti che questa era una proprietà
che poteva essere dimostrata, e per questo dedicarono i loro sforzi al tentativo
di trovare la dimostrazione (senza riuscire). Il frutto di tutto ciò fu una grande
quantità di enunciati equivalenti che hanno poi portato alla nascita delle nuove
geometrie. - Il filosofo greco Proclo (410-485) fu un eminente rappresentate della scuola di
Atene. Suo è il postulato di equidistanza: “Una parallela ad una retta data dista
da questa una lunghezza costante”.
- Il matematico francese Adrien-Marie Legendre (1752-1833) propose le sue
dimostrazioni del quinto postulato nel suo libro Elements de Geometrie. Non
riuscì però a trovare una dimostrazione rigorosa e comprensibile per i suoi
lettori (si avvicinò comunque alle geometrie non euclidee). Egli stabilì il
postulato degli angoli di un triangolo: “Esiste un triangolo nel quale la somma
degli angoli interni misura due angoli retti”.
- Il padre di Joanos Bolyai cercò senza successo di dimostrare il quinto
postulato e consigliò al figlio di non perdere tempo a dimostrarlo. Joanos
Bolyai (1802-1860) si spinse però ancora oltre, verso le geometrie non
euclidee. Tutti cominciò con il postulato dei tre punti: “Per tre punti non
allineati passa sempre una circonferenza”.
- Il tedesco Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) cominciò a lavorare sul
quinto postulato a 15 anni: era convito, a ragione, che questo fosse del tutto
indipendente dagli altri quattro. Stabilì il postulato dell’area del triangolo: “
Esistono triangoli con area arbitrariamente grande”.
- Lo scozzese John Playfair (1748-1819) si convinse della veridicità assoluta del
quinto postulato, anzi il suo enunciato equivalente è quello che viene
insegnato nelle scuole, molto più intuitivo e facile da capire: “Per un punto
esterno ad una retta, passa una ed una sola retta parallela alla retta data".
- Anche se l’enunciato di Playfair sembra così evidente, non convinse gran
parte della comunità di studiosi, per tanto lo sottomisero ad un processo di
demolizione. Perché screditare Euclide ?
- Teorema del punto grande. E’ in realtà uno scherzo, un gioco matematico,
un altro modo per screditare Euclide: “Il numero di parallele ad una retta data
che passano per un punto esterno ad essa, dipende da quante è grande il
punto”. Anzi, da un punto grande possono tracciarsi infinite rette parallele (o
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perpendicolari) ad una retta data.
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