Metodi Matematici per l`Economia AK FUNZIONI Corso di

Metodi Matematici per l’Economia A-K
FUNZIONI
Corso di Laurea in Economia - anno acc. 2012/2013
docente: Elena Polastri, [email protected]
1. Funzioni: nozioni generali e proprietà
Definizione 1. Dati due insiemi A e B chiamiamo funzione o applicazione da A
in B ogni corrispondenza che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento
di B. Si scrive:
f: A → B
x 7→ f (x)
A si chiama dominio o insieme di definizione di f e si indica anche con Df .
L’insieme B si chiama insieme di arrivo di f.
x ∈ A è detta variabile indipendente.
y = f (x) ∈ B è detta variabile dipendente o immagine di x.
L’insieme
f (A) = {y ∈ B | y = f (x), x ∈ A} ⊂ B
è detto codominio o insieme dei valori o insieme delle immagini di f .
Esempio 1. Siano A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 4, 5} e sia f la funzione definita
nel modo seguente:
f (1) = 1;
f (2) = 1;
f (3) = 3;
f (4) = 2.
Abbiamo che il codominio di f è l’insieme f (A) = {1, 2, 3} ⊂ B.
A
B
4
4
2
1
1
5
3
2
3
f (A)
Definizione 2. Data la funzione f : A → B, chiamiamo grafico di f l’insieme Gf
definito da
Gf = {(x, y) ∈ A × B | y = f (x)}.
Esempio 2. Siano A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 4, 5} e sia f la funzione definita
nel modo seguente:
f (1) = 1;
f (2) = 1;
f (3) = 3;
f (4) = 2.
Abbiamo che
Gf = {(1, 1); (2, 1); (3, 3); (4, 2)}.
1
2
1.1. Proprietà delle funzioni.
Definizione 3. La funzione f : A → B : x 7→ f (x) si dice INIETTIVA se x 6= x0 ,
allora f (x) 6= f (x0 ), ossia se f mappa elementi distinti di A in elementi distinti di
B.
La funzione f si dice SURIETTIVA se f (A) = B, ossia se il codominio è esattamente B.
La funzione f si dice si dice BIIETTIVA se f è sia iniettiva che suriettiva.
A
B
Tale funzione non è iniettiva, perché esistono due elementi distinti di A che hanno
la stessa immagine in B. La funzione è suriettiva perché f (A) = B.
A
B
Tale funzione non è iniettiva, perché esistono due elementi distinti di A che hanno
la stessa immagine in B. La funzione non è suriettiva, perché esistono elementi di B
che non sono immagini di nessun elemento di A.
A
B
Tale funzione è sia iniettiva che suriettiva, quindi è biiettiva.
A
3
B
Questa NON è una funzione, perché un elemento di A viene mappato in due
distinti elementi di B.
1.2. Composizione di applicazioni.
Definizione 4. Siano
f: A → B
x 7→ y = f (x)
e
g: B → C
y 7→ z = g(y)
due funzioni. Poiché y = f (x) ∈ B, l’immagine di f (x) in C tramite g è g(f (x)). È
definita cosı̀ l’applicazione
h: A → C
x 7→ z = g(f (x))
La funzione h è detta funzione composta di g e f e si scrive h = g ◦ f . Dunque
h(x) = (g ◦ f )(x) = g(f (x)).
Si usa anche scrivere:
f
g
A →
B
→ C
x 7→ y = f (x) 7→ z = g(y) = g(f (x))
NOTA BENE: In generale g ◦ f 6= f ◦ g.
Esempio 3. Siano
f: R → R
x 7→ y = 2x
e
g: R → R
y 7→ z = y 2
Abbiamo che:
g◦f : R → R
x 7→ z = g(f (x)) = (2x)2 = 4x2
f ◦g : R → R
x 7→ z = f (g(x)) = f (x2 ) = 2x2
4
1.3. Funzione inversa.
Definizione 5. Sia f : A → B : x 7→ f (x) una funzione biiettiva. Esiste un’applicazione,
che indichiamo con f −1 : B → A : y 7→ x ≡ f −1 (y), tale che f (x) = y. La funzione
f −1 è detta funzione inversa di f .
Consideriamo f : A → B : x 7→ y una funzione biiettiva, quindi esiste l’inversa
f −1 : B → A : y 7→ x.
Abbiamo che:
• (f ◦ f −1 )(y) = f (f −1 (y)) = f (x) = y
• (f −1 ◦ f )(x) = f −1 (f (x)) = f −1 (y) = x
ossia f ◦ f −1 e f −1 ◦ f sono rispettivamente le funzioni identità su B e su A.
Esse sono indicate con IA : A → A e IB : B → B.
Esercizio 1. Data la funzione
f: R →
R
x 7→ 2x − 3
dire se è iniettiva, suriettiva. Se f è biiettiva, trovare f −1 .
INIETTIVITA’: Siano x1 , x2 ∈ R tali che f (x1 ) = f (x2 ), quindi
2x1 − 3 = 2x2 − 3 ⇒ 2x1 = 2x2 ⇒ x1 = x2
Dunque f è iniettiva.
SURIETTIVITA’: Poniamo y = 2x − 3 e ricaviamo la x, otteniamo che:
y+3
x=
.
2
y+3
∈ R e f (x) = y, quindi ogni y ∈ R è
Abbiamo che per ogni y ∈ R si ha x =
2
l’immagine di un tale x ∈ R.
Dunque f è suriettiva.
La funzione f è biiettiva ed allora esiste la funzione inversa f −1 di f definita come
segue:
f −1 : R →
R
y+3
y 7→
2
Esercizio 2. Dire se la seguente funzione:
f: N →
N
x 7→ x + 1
è suriettiva.
5
Poniamo y = x + 1 e ricaviamo la x, otteniamo che:
x=y−1
Se consideriamo y = 0 ∈ N si ha x = −1 ∈
/ N, quindi nessun numero naturale x ha
come immagine 0 tramite f .
La funzione f non è suriettiva.
Esercizio 3. Dire se la seguente funzione:
f: R → R
x 7→ x2
è biiettiva.
INIETTIVITA’: Siano x1 , x2 ∈ R tali che f (x1 ) = f (x2 ), quindi
x21 = x22 ⇒ x21 − x22 = 0 ⇒
⇒ (x1 − x2 ) · (x1 + x2 ) = 0 ⇒ x1 = x2 o x1 = −x2
La funzione f non è iniettiva, dunque f non è biiettiva.
1.4. Proprietà generali delle funzioni reali.
Definizione 6. Una funzione a valori reali è un’applicazione da un insieme A ad R
f: A →
R
x 7→ y = f (x)
dove A si chiama dominio di f e si indica con Df .
Se A ⊂ R o A = R, allora f si dice funzione reale di variabile reale.
L’insieme
Gf = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ A, y = f (x)}
è detto grafico di f .
Esempio 4. La funzione f : R → R : x 7→ f (x) = c, dove c è una costante, ha come
grafico una retta parallela all’asse x.
6
y
y=c
x
Esempio 5. La funzione f : R → R : x 7→ f (x) = x è detta funzione identità ed
ha come grafico la retta y = x, bisettrice del primo e terzo quadrante.
y
y=x
x
Remark 1.1. La rappresentazione del grafico di una funzione f nel piano è efficace
per illustrare l’“andamento” di f .
• Un insieme di punti del piano è il grafico di una funzione se e solo se ogni
retta parallela all’asse y interseca tale insieme di punti in al più un solo
punto.
• Sia f una funzione definita su un intervallo A ⊆ R. Possiamo verificare
“graficamente” se la funzione f è iniettiva o suriettiva.
La funzione f è iniettiva se qualsiasi retta parallela all’asse x interseca il
grafico di f in al massimo un punto.
La funzione f : A → B è suriettiva sull’insieme B ⊆ R se qualsiasi retta
parallela all’asse x che interseca B in un punto interseca anche il grafico di
f in almeno un punto.
7
2. Esempi notevoli di funzioni
2.1. Funzione lineare. Consideriamo la funzione lineare
f (x) = a x + b,
a, b ∈ R.
Abbiamo che Df = R e il grafico Gf è la retta di equazione y = ax + b.
• In particolare, se a = 0 otteniamo la funzione costante f (x) = b, che è una
funzione limitata e pari. Tale funzione non è iniettiva, quindi non invertibile.
y
y=b
x
• Se a 6= 0 e b = 0 otteniamo la funzione f (x) = ax il cui grafico è una retta
passante per l’origine.
Una tale funzione è monotona strettamente crescente se a > 0 o monotona
strettamente decrescente se a < 0; non limitata e dispari.
Per esempio, consideriamo la funzione identità f (x) = x, il cui grafico
è la retta y = x (bisettrice del I e III quadrante).
y
y=x
x
• Se a 6= 0 e b 6= 0 otteniamo la funzione f (x) = ax + b il cui grafico è la retta
y = ax + b.
Una tale funzione è monotona strettamente crescente se a > 0 o monotona
strettamente decrescente se a < 0; non limitata e né pari né dispari.
8
y
x
Remark 2.1. Tutte le funzioni lineari non costanti sono invertibili. In particolare,
l’inversa della funzione identità f (x) = x coincide con la funzione sia nell’espressione
che nel grafico (il grafico di f e f −1 è sempre la retta y = x).
Ad esempio, consideriamo la funzione f (x) = 3x + 1, il cui grafico è la retta
y = 3x + 1.
y
1
x
−1/3
Tale funzione è invertibile,per trovare l’espressione della sua inversa basta esplicy−1
itare y = 3x + 1 rispetto ad x. Otteniamo cosı̀ x =
, quindi
3
f −1 (y) =
y−1
.
3
Vogliamo ora rappresentare graficamente queste due funzioni nello stesso piano
cartesiano. Sappiamo che i due grafici sono simmetrici rispetto alla retta y = x.
9
y−1
sono la stessa retta. Quindi per
3
nello stesso piano cartesiano dobbiamo seguire una
Però, geometricamente, y = 3x + 1 e x =
disegnare i grafici di f e f −1
regola pratica.
Per disegnare il grafico di x = f −1 (y) nello stesso piano cartesiano di y = f (x),
basta riguardare f −1 come una funzione g avente la stessa espressione di f −1 , ma
con i nomi delle variabili scambiati e disegnare quindi y = g(x).
Allora tracciamo il grafico della “nuova funzione”
g(x) =
x−1
,
3
ossia la retta
y=
1
1
x−
3
3
y
y = f (x)
y=x
y = g(x)
x
2.2. Funzione quadratica. Consideriamo la funzione quadratica
f (x) = ax2 + bx + c,
a, b, c ∈ R, con a 6= 0.
Il dominio è Df = R e il grafico è la parabola y = ax2 + bx + c con vertice
b
∆
− ,−
.
2a 4a
Distinguiamo due casi.
• Se a > 0
10
y
x
V
b La funzione è monotona strettamente decrescente in −∞; −
e monotona
2a
b
b
strettamente crescente in − ; +∞ ; è limitata inferiormente con x = −
2a
2a
h ∆
punto di minimo assoluto; né pari né dispari; Cf = − ; +∞ .
4a
• Se a < 0
y
V
x
b La funzione è monotona strettamente crescente in −∞; −
e monotona
2a
b
strettamente decrescente in −
; +∞ ; è limitata superiormente con
2a
b
∆i
x=−
punto di massimo assoluto; né pari né dispari; Cf = − ∞; −
.
2a
4a
Se b = c = 0 otteniamo la funzione f (x) = ax2 , il cui grafico è la parabola y = ax2
con vertice nell’origine O(0; 0).
11
y
x
Tali funzioni sono tutte pari.
Remark 2.2. Abbiamo visto che la funzione
f : [0; +∞) → [0; +∞)
x
7→
x2
è invertibile e ha come funzione inversa
f −1 : [0; +∞) → [0;√
+∞)
x
x
7→
y = x2
y
y=x
y=
√
x
x
2.3. Funzione Valore Assoluto di x. Consideriamo f (x) = |x| la funzione valore assoluto di x, dove
x se x ≥ 0
|x| =
−x se x < 0
Il dominio è Df = R, mentre il codominio Cf = [0; +∞). Il grafico è il seguente:
12
y
x
La funzione f (x) = |x| ha le seguenti proprietà :
• f è monotona strettamente decrescente in (−∞; 0) e monotona strettamente
crescente in (0; +∞);
• f è limitata inferiormente;
• x = 0 è un punto di minimo assoluto;
• f è pari.
|x|
2.4. Funzione Segno di x. Consideriamo f (x) = sgn(x) =
la funzione segno
x
di x, dove
|x|
1 se x > 0
sgn(x) =
=
−1 se x < 0
x
Il dominio è Df = R \ {0}, mentre il codominio Cf = {−1; 1}. Il grafico è il seguente:
y
1
−1
La funzione f (x) = sgn(x) ha le seguenti proprietà :
• f è costante in (−∞; 0) e in (0; +∞);
• f è limitata;
• f è dispari.
x
13
2.5. Funzione Esponenziale. Consideriamo f (x) = ax la funzione esponenziale, con a > 0 e a 6= 1.
Il dominio è Df = R, mentre il codominio Cf = (0; +∞).
Distinguiamo due casi:
1) Se a > 1, il grafico di f (x) = ax è la curva y = ax . Ad esempio: y = ex ,
y = 2x , y = 3x etc.
y
x
La funzione f (x) = ax , con a > 1 ha le seguenti proprietà :
• ax > 0 per ogni x ∈ R;
• a0 = 1, infatti il grafico passa per il punto (0; 1);
• f è monotona strettamente crescente;
• f è limitata inferiormente, ma non limitata superiormente;
• f non è né pari né dispari.
2) Se 0 < a < 1, il grafico di f (x) = ax è la curva y = ax . Ad esempio:
1 x
1 x
y=
,y=
etc.
2
3
y
x
La funzione f (x) = ax , con 0 < a < 1 ha le seguenti proprietà :
• ax > 0 per ogni x ∈ R;
14
•
•
•
•
a0 = 1, infatti il grafico passa per il punto (0; 1);
f è monotona strettamente decrescente;
f è limitata inferiormente, ma non limitata superiormente;
f non è né pari né dispari.
3. Funzione Logaritmo
Consideriamo f (x) = loga (x) la funzione logaritmo, con a > 0 e a 6= 1.
Il dominio è Df = (0; +∞), mentre il codominio Cf = R.
Distinguiamo due casi:
1) Se a > 1, il grafico di f (x) = loga (x) è la curva y = loga (x). Ad esempio:
y = ln(x), y = log2 (x), y = log(x) etc.
y
x
La funzione f (x) = loga (x), con a > 1 ha le seguenti proprietà :
• loga (x) > 0 per ogni x > 1
• loga (x) < 0 per ogni 0 < x < 1;
• loga (1) = 0, infatti il grafico passa per il punto (1; 0);
• f è monotona strettamente crescente;
• f non è limitata né inferiormente né superiormente;
• f non è né pari né dispari.
2) Se 0 < a < 1, il grafico di f (x) = loga (x) è la curva y = loga (x). Ad esempio:
y = log 1 (x), y = log 1 (x) etc.
2
3
15
y
x
La funzione f (x) = loga (x), con 0 < a < 1 ha le seguenti proprietà :
• loga (x) > 0 per ogni 0 < x < 1
• loga (x) < 0 per ogni x > 1;
• loga (1) = 0, infatti il grafico passa per il punto (1; 0);
• f è monotona strettamente decrescente;
• f non è limitata né inferiormente né superiormente;
• f non è né pari né dispari.
Remark 3.1. La funzione esponenziale e la funzione logaritmo sono una l’inversa
dell’altra, infatti:
aloga (x) = x
e
loga (ax ) = x.
Supponiamo a > 1 e vediamo che i grafici di y = ax e di y = loga (x) sono simmetrici
rispetto alla retta y = x (ad esempio poniamo a = 2).
y
y = 2x
y=x
y = log2 (x)
x
16
4. Funzioni Goniometriche
Definizione 7. Considerati la circonferenza goniometrica C (C ha centro in O(0; 0)
e raggio 1), un punto P (x; y) ∈ C e l’angolo α da esso individuato, si definiscono
cos α e sin α come
cos α = x
sin α = y
ossia P ∈ C è il punto di coordinate P (cos α; sin α).
y
P
α
O
H
1
x
Se P (cos α; sin α) appartiene al primo quadrante, allora xP = cos α = OH e
yP = sin α = P H (vedi Figura).
Osserviamo che:
• nel I quadrante, ossia in [0; π2 ], si ha cos α ≥ 0 e sin α ≥ 0;
• nel II quadrante, ossia in [ π2 ; π], si ha cos α ≤ 0 e sin α ≥ 0;
• nel III quadrante, ossia in [π; 32 π], si ha cos α ≤ 0 e sin α ≤ 0;
• nel IV quadrante, ossia in [ 32 π; 2π], si ha cos α ≥ 0 e sin α ≤ 0.
Poiché, al variare di α, x = cos α e y = sin α sono l’ascissa e l’ordinata dei
punti appartenenti alla circonferenza goniometrica avente equazione x2 + y 2 = 1, ne
consegue che cos α e sin α verificano la seguente relazione, detta prima relazione
fondamentale della goniometria:
cos2 α + sin2 α = 1,
la quale si dimostra applicando il Teorema di Pitagora al triangolo rettangolo OHP .
Seguono immediatamente le limitazioni:
−1 ≤ cos α ≤ 1,
−1 ≤ sin α ≤ 1
per ogni α ∈ R.
17
4.1. Angoli Notevoli. Abbiamo la seguente tabella di valori:
α◦ cos α sin α
0◦
1
0
√
3
π
1
◦
30
6
√2
√2
2
2
π
45◦
4
2
√2
3
π
1
60◦
3
2
2
π
90◦
0
1
2
π 180◦
-1
0
3
◦
270
0
-1
π
2
2π 360◦
1
0
α
0
Inoltre si dimostra le seguenti relazioni:
cos(π − α) = − cos α,
sin(π − α) = sin α;
cos(π + α) = − cos α,
sin(π + α) = − sin α;
sin(−α) = − sin α;
cos(−α) = cos α,
√
3
• cos(150 ) = cos(180 − 30 ) = − cos(30 ) = −
;
2
√
2
• sin(225◦ ) = sin(180◦ + 45◦ ) = − sin(45◦ ) = −
;
2
1
• cos(300◦ ) = cos(−60◦ ) = cos(60◦ ) = .
2
4.2. Tangente goniometrica.
Esempio 6.
◦
◦
◦
◦
Definizione 8. Siano α ∈ [0; 2π], P ∈ C un punto tale che P individua l’angolo α.
Si definisce tangente dell’angolo α come:
sin α
tg α =
cos α
π
purché il denominatore abbia senso, quindi deve essere cos α 6= 0, ossia α 6= + kπ,
2
per k ∈ Z.
18
y
r
P
α
O
H
T
A
x
t
Con riferimento alla figura, per la similitudine dei due triangoli rettangoli OHP
e OAT , si vede che
PH
AT
AT
=
=
tg α =
1
OH
OA
ossia la tangente di α è uguale alla lunghezza del segmento AT sulla retta tangente
t alla circonferenza nel punto A.
4.3. Cotangente goniometrica.
Definizione 9. Siano α ∈ [0; 2π], P ∈ C un punto tale che P individua l’angolo α.
Si definisce cotangente dell’angolo α come:
cos α
1
cotg α =
=
sin α
tg α
purché il denominatore abbia senso, quindi deve essere sin α 6= 0, ossia α 6= 0 + kπ,
per k ∈ Z.
Le definizioni
cos α
1
sin α
;
cotg α =
=
cos α
sin α
tg α
sono dette seconda relazione fondamentale della goniometria.
tg α =
19
4.4. Angoli Notevoli. Abbiamo la seguente tabella di valori:
α◦ cos x sin x tg α cotg α
0◦
1
0
0
6∃
√
√
√
3
3
π
1
◦
30
3
6
3
√2
√2
2
2
π
◦
45
1
1
4
2
√2
√
√
3
3
π
1
◦
60
3
3
2
2
3
π
90◦
0
1
6∃
0
2
π 180◦
-1
0
0
6∃
3
◦
0
-1
6∃
0
2 π 270
◦
2π 360
1
0
0
6∃
α
0
4.5. Funzione seno. Consideriamo f (x) = sin x la funzione seno.
Il dominio è Df = R, mentre il codominio Cf = [−1; 1], poiché −1 ≤ sin x ≤ 1.
Il grafico di f è detto “sinusoide” ed è simmetrico rispetto all’origine.
y
1
0
π/2
π
3π/2
2π
x
−1
La funzione f (x) = sin x ha le seguenti proprietà :
• f è limitata, ossia −1 ≤ sin x ≤ 1;
• f è dispari, ossia sin(−x) = − sin x;
• f è periodica di periodo 2π, ossia sin(x + 2kπ) = sin x, per ogni k ∈ Z.
4.6. Funzione coseno. Consideriamo f (x) = cos x la funzione coseno.
Il dominio è Df = R, mentre il codominio Cf = [−1; 1], poiché −1 ≤ cos x ≤ 1.
Il grafico di f è detto “cosinusoide” ed è simmetrico rispetto all’asse y. Inoltre i
grafici di y = sin x e y = cos x sono sovrapponibili mediante una traslazione lungo
l’asse x di lunghezza π/2.
20
y
1
0
π/2
π
3π/2
2π
x
−1
La funzione f (x) = cos x ha le seguenti proprietà :
• f è limitata, ossia −1 ≤ cos x ≤ 1;
• f è pari, ossia cos(−x) = cos x;
• f è periodica di periodo 2π, ossia cos(x + 2kπ) = cos x, per ogni k ∈ Z.
4.7. Funzione tangente. Consideriamo f (x) = tg x la funzione tangente.
n
o
π
sin x
, il dominio è Df = x ∈ R | x 6= + kπ, k ∈ Z , mentre il
Poiché tg x =
cos x
2
codominio Cf = R.
Il grafico di f è detto “tangentoide” ed è simmetrico rispetto all’origine.
y
−π/2
0 π/2
π
3π/2
2π
x
La funzione f (x) = tg x ha le seguenti proprietà :
• f non è limitata;
sin(−x)
− sin x
=
= −tg x;
cos(−x)
cos x
• f è periodica di periodo π, ossia tg (x + kπ) = tg x, per ogni k ∈ Z;
π
• f ha infiniti asintoti verticali di equazioni x = + kπ, con k ∈ Z;
2
• f è dispari, ossia tg (−x) =
21
i π πh
• se consideriamo f (x) = tg x nell’intervallo − ; , allora f è anche stret2 2
tamente crescente questo vale in ogni intervallo di ampiezza π ed estremi
π
π
k · e (k + 2) · , con k dispari .
2
2
4.8. Funzione cotangente. Consideriamo f (x) = cotg x la funzione cotangente.
n
o
cos x
, il dominio è Df = x ∈ R | x 6= 0 + kπ, k ∈ Z , mentre
Poiché cotg x =
sin x
il codominio Cf = R.
Il grafico di f è detto “cotangentoide” ed è simmetrico rispetto all’origine.
y
−π
−π/2
0 π/2
π
3π/2
2π
x
La funzione f (x) = cotg x ha le seguenti proprietà :
• f non è limitata;
cos(−x)
cos x
• f è dispari, ossia cotg (−x) =
=
= −cotg x;
sin(−x)
− sin x
• f è periodica di periodo π, ossia cotg (x + kπ) = cotg x, per ogni k ∈ Z;
• f ha infiniti asintoti verticali di equazioni x = 0 + kπ, con k ∈ Z;
• se consideriamo f (x) = cotg x nell’intervallo ]0; π[, allora f è anche strettamente decrescente (questo vale in ogni intervallo di ampiezza π ed estremi
k · π e (k + 1) · π).