Universitá di Roma Tor Vergata - Dipartimento di Matematica Tor

Universitá di Roma Tor Vergata
Analisi 2 (Corso di laurea in Matematica 2009-10)
Proff. A. Porretta e F. Donati
Diario del corso
02/03
Richiami sui teoremi di Rolle e di Lagrange ed il loro significato geometrico.
Teorema di Cauchy: dimostrazione. Primo teorema di de L’Hôpital: rapporto di
infinitesimi. Esempi. Retta reale estesa e suo ordinamento.
04/03
Applicazione iterata del primo teorema di de L’Hôpital: esempi. Osservazioni e cautele per l’uso del teorema di de L’Hôpital. Dimostrazione del primo
teorema di de L’Hôpital. Secondo teorema di de L’Hôpital: rapporto di infiniti.
Dimostrazione ed esempi.
05/03
Terzo teorema di de L’Hôpital: limiti all’infinito. Dimostrazione ed esempi.
Trattamento di altre forme indeterminate. Esempi vari. Ancora sulla retta reale
estesa: impossibilità di estendere la struttura di corpo.
09/03
Applicazione del teorema di de L’Hôpital: esame delle discontinuità della
funzione derivata. Teorema dei valori intermedi per la funzione derivata.
Definizione di o piccolo. Definizione di funzioni equivalenti. Relazione tra le
due nozioni. Esempi.
12/03
Limiti notevoli ed o piccolo: senx/x, (cosx − 1)/x2 , (ex − 1)/x, lg(1 + x)/x.
Prime proprietà del simbolo o piccolo. Esempi. Derivabilità e formula di Taylor
del primo ordine. Enunciato generale del teorema di Taylor con il resto nella
forma di Peano.
16/03
Dimostrazione del teorema di Taylor con il resto nella forma di Peano.
Formula di Maclaurin. Sviluppi di alcune funzioni elementari. Definizione e
prime proprietà di senhx e coshx.
18/03
Altri sviluppi di funzioni elementari e loro utilizzo nel calcolo di limiti.
Esercizi vari. Algebra degli o piccolo.
19/03
Uso dell’algebra degli o piccolo. Esercizi. Formula di Taylor e limiti di
successioni. Esercizi.
23/03
Studio di limiti dipendenti da un parametro. Sviluppi di funzioni composte.
Esercizi. Definizione del simbolo O grande e suo uso per la formula di Taylor.
25/03
Studio dei punti di minimo, di massimo e di flesso mediante la formula
di Taylor. Esempi. Formula di Taylor con il resto di Lagrange: enunciato e
dimostrazione. Stima del resto.
26/03
Esercizi con il resto di Lagrange: approssimazioni numeriche e studio di disuguaglianze. Definizione e proprieta’ di tghx e studio delle inverse delle funzioni
iperboliche. Osservazioni sulle funzioni continue in un insieme. Definizione di
uniforme continuità .
30/03
Funzioni Hölderiane e Lipschitziane. Esempi. Cenni di topologia della
retta reale: aperti, chiusi, chiusura di un insieme, punti aderenti, frontiera di
un insieme. Esempi. Il teorema di uniforme continuità di Heine-Cantor.
1/4
Dimostrazione del teorema di Heine-Cantor. Esempio di una funzione
uniformemente continua e non Holderiana. Una C.N. dell’uniforme continuità
sui limitati. Una C.N.E.S. per l’uniforme continuità . Esempi. Enunciati di due
proprietà delle funzioni uniformemente continue: prolungabilità e crescita.
02/04
Il metodo di esaustione e l’area del segmento parabolico. Somme integrali
inferiori e superiori di una funzione limitata in un intervallo. Insiemi numerici
separati e contigui. Definizione di funzione integrabile secondo Riemann in un
intervallo.
06/04
C.N.E.S. per l’integrabilità in un intervallo. Significato geometrico dell’integrale
esteso ad un intervallo. L’integrale definito. Additività dell’integrale definito
come funzione d’insieme. Oscillazione di una funzione limitata su un insieme.
08/04
Classi di funzioni integrabili: funzioni continue e funzioni monotone in un
intervallo chiuso e limitato. Cenni a possibili generalizzazioni. Un esempio di
funzione non integrabile secondo Riemann. Il teorema della media integrale.
Enunciato del secondo teorema della media integrale. Alcune proprietà delle
funzioni integrabili: prodotto, linearità , isotonia, modulo.
09/04
Definizione di funzione integrale. Lipschitzianità della funzione integrale.
Teorema fondamentale del calcolo. Versione puntuale del Teorema fondamentale.
Definizione di primitiva. Caratterizzazione delle primitive in un intervallo.
Formula per il calcolo di integrali definiti. Integrale indefinito: primitive delle
funzioni elementari. Primi esempi ed esercizi di calcolo di integrali.
13/04
Integrale per sostituzione. Esempi. Integrale per parti. Esempi ed esercizi.
15/04
Integrazione delle funzioni razionali: esempi modello, strategia generale, caso
con denominatore quadratico. Esempi con denominatore di grado superiore a 2.
Cenno alla decomposizione di Hermite per il caso generale.
16/04
Uso del metodo di sostituzione per ricondurre alcuni integrali al caso di
funzioni razionali. Esempi di alcune sostituzioni particolari. Calcolo di aree di
domini normali. Esercizi.
20/04
Integrazione di funzioni irrazionali. Uso delle funzioni iperboliche nei
cambi di variabile: significato geometrico delle funzioni iperboliche. Formule
di iterazione per l’integrazione di polinomi trigonometrici. Esercizi.
22/04
Integrali impropri: definizioni e osservazioni. Criterio del confronto. Esempi
ed esercizi.
23/04
Criterio dell’assoluta integrabilità .
l’esempio di sinx x . Esercizi.
27/04
Derivazione di funzioni integrali. Esercizi su grafici e limiti con funzioni
integrali. Esercizi vari sugli integrali impropri: discussione della convergenza,
calcolo esatto.
29/04
Serie numeriche: definizione dei concetti di base, somma parziale, convergenza etc..Somma e serie geometrica. Esempi. Il paradosso di Zenone. Ogni
successione si può riscrivere come serie. Esempi di serie telescopiche. La serie
∞
P
1
converge a e. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Critek!
Integrazione di funzioni oscillanti:
k=0
rio di Cauchy per le serie. Esempio: la serie armonica. Proprietà di linearità per
le serie convergenti.
30/04
Serie a termini positivi. Criterio del confronto. Esempi. Legame tra serie
e integrali impropri. Criterio integrale per la convergenza. La serie armonica
generalizzata. Esempi ed esercizi.
04/05
Esempi di applicazioni del criterio del confronto. Criterio degli infinitesimi.
Confrontare con la serie geometrica: criterio della radice (versione del libro e
versione precisata attraverso l’uso del lim sup). Esempi. Criterio del rapporto.
Esercizi.
06/05
Serie a termini di segno variabile. Criterio della convergenza assoluta.
Esempi ed esercizi. Serie a segno alterno: criterio di Leibniz. Esercizi.
07/05
Cenno sul criterio di Dirichlet per le serie a termini variabili. Esercizi.
11/05
Formula del resto integrale per il polinomio di Taylor. Sviluppabilita’ di una
funzione in serie di Taylor. Esempi ed esercizi. Esempio di una funzione di classe
C ∞ e non analitica (ovvero non sviluppabile in serie di Taylor). Uso delle serie
di Taylor per il calcolo esatto di una serie.
13/05
Criterio per la sviluppabilità in serie di Taylor. Sviluppo della funzione
esponenziale. Esponenziale complesso e formula di Eulero. Esercizi sul calcolo
esatto delle serie e sul calcolo approssimato tramite polinomio di Taylor.
14/05
Esercizi.
20/05
Equazioni differenziali: motivazioni ed esempi.
Equazioni a variabili separabili. Esercizi.
21/05
Equazioni differenziali lineari del prim’ordine. Formula risolutiva dell’integrale
generale e caratterizzazione del problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli. Esempi ed esercizi. Cenno al problema della stabilità degli stati stazionari in un
esempio modello.
25/05
Equazioni del second ’ordine lineari a coefficienti costanti. Linearità
dell’operatore differenziale: struttura dell’integrale generale dell’equazione non
omogenea. Teorema di unicità del problema di Cauchy. Descrizione dello spazio
delle soluzioni dell’equazione omogenea: condizioni perché una coppia di soluzioni
sia linearmente indipendente. Soluzioni di tipo esponenziale.
27/05
Risoluzione completa delle equazioni del second’ordine a coefficienti costanti.
Metodo della variazione delle costanti. Soluzioni di tipo particolare. Esempi ed
esercizi.
28/05
Esercizi sulle equazioni differenziali.
01/06
Esercizi.
Problema di Cauchy.