Logica - Carlo Strapparava

Prerequisiti Matematici
 Richiami di teoria degli insiemi

Relazioni d’ordine, d’equivalenza
 Richiami di logica

Logica proposizionale, tabelle di verità,
calcolo dei predicati
 Importante: Principio di Induzione
 Teoria degli insiemi - sta alla base della semantica
denotazionale
 Logica - sta alla base delle tecniche di specifica
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Prerequisiti matematici: Logica
“D’altra parte”, continuò Tweedledee, “se era così , doveva esserlo;
E se fosse stato così, lo sarebbe; ma poiché non lo è, non può esserlo.
Questa è logica.”
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Logica proposizionale
 La logica proposizionale tratta combinazioni di
frasi (proposizioni) a prescindere dalla loro
struttura interna
 Es. P = “Trento è bella”
Q = “Oggi piove”
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Logica proposizionale
 Sintassi: stabilisce le regole di forma del linguaggio






True, False, simboli proposizionali: P, Q, …
Negazione: ¬P
Congiunzione: P ∧ Q
Disgiunzione: P ∨ Q
Implicazione: P ⇒ Q
Equivalenza: P ⇔ Q
 ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔ si chiamano connettivi logici
 Le frasi formate con queste regole si chiamano
formule ben formate
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Logica proposizionale
 Semantica: assegna significato alle formule
ben formate
 Il significato di una formula ben formata è un
valore di verità, cioe’ un elemento
dell’insieme {T,F} (indicato anche con {0,1})
P
¬P
0
1
1
0
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Semantica dei connettivi logici
P
Q
P∧Q
P∨Q
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
P⇒Q P⇔Q
 Una proposizione costruita su n proposizioni elementari,
ammetterà ben
componenti
2n
ipotesi sul valore di verità delle sue
P
Q
R
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
23 = 8
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Logica proposizionale
 Una formula ben formata si dice valida (o
tautologia) se risulta vera sotto ogni possibile
interpretazione (cioè qualunque sia
l’assegnazione dei valori di verità)
 Es. (false ⇒ P) è una tautologia
 Una formula ben formata si dice soddisfacibile
se è vera sotto qualche interpretazione (cioè
esiste qualche assegnazione dei valori di verità
che la rende vera)
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Esercizio
 Dimostrare che
(P ∧ (P ⇒ Q)) ⇒ Q
è una tautologia
P
Q
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
P ⇒ Q P ∧ (P ⇒ Q)
(P ∧ (P ⇒ Q)) ⇒ Q
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Equivalenze di formule
 Vediamo una serie di equivalenze di formule. Ciascuna
può essere dimostrata usando la semantica dei
connettivi logici e costruendo le rispettive tabelle di
verità
¬true ≡ false
¬false ≡ true
P ∧ true ≡ P
P ∧ false ≡ false
P ∨ true ≡ true
P ∨ false ≡ P
(false ⇒ P) ≡ true
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Equivalenze di formule
 Commutatività:


i connettori ∧ ∨ e ⇔ sono commutativi
Es. F ∧ G ≡ G ∧ F
 Distributività:






P ∧ (G ∨ Q) ≡ (P ∧ G ) ∨ (P ∧ Q)
P ∨ (G ∧ Q) ≡ (P ∨ G ) ∧ (P ∨ Q)
(P ∨ G ) ⇒ Q ≡ (P ⇒ Q ) ∧ (G ⇒ Q)
(P ∧ G ) ⇒ Q ≡ (P ⇒ Q ) ∨ (G ⇒ Q)
P ⇒ (G ∨ Q) ≡ (P ⇒ G ) ∨ (P ⇒ Q)
P ⇒ (G ∧ Q) ≡ (P ⇒ G ) ∧ (P ⇒ Q)
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Equivalenze di formule
 Negazione:




¬(¬P) ≡ P
¬(P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q
¬(P ∨ Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q
¬(P ⇒ Q) ≡ P ∧ ¬Q
 Leggi di controposizione:
 F ⇒ G ≡ ¬G ⇒ ¬F
 (¬F ⇒ G) ≡ (¬G ⇒ F)
 F ⇔ G ≡ ¬F ⇔ ¬G
 Riduzione:
 P ⇒ Q ≡ ¬P ∨ Q
P⇔Q≡P⇒Q∧Q⇒P
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Calcolo dei predicati
 Il calcolo dei predicati estende il calcolo
proposizionale e consente di “entrare” nella struttura
delle proposizioni
 Consente cioè di fare riferimento ad oggetti e di
predicare (esprimere affermazioni) su di essi


∀x P(x) ⇒ Q(x)
∀x informatico(x) ⇒ hacker(x)
 Il calcolo dei predicati consente l’uso di due
quantificatori


∀ si dice quantificatore universale (si legge “per ogni”)
∃ si dice quantificatore esistenziale (si legge “esiste”)
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Calcolo dei predicati
 Es. ∃x informatico(x) ⇒ hacker(x)
 La presenza dei quantificatori pone la necessità di
stabilire delle regole per la portata (in inglese scope)
degli stessi
 Scope di un quantificatore: la parte della formula
sulla quale il quantificatore influisce
 Se una variabile x in una formula P non è legata da
nessun quantificatore, si dice che è libera in P
 Una formula ben formata si dice chiusa se non ha
occorrenze di variabili libere
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Calcolo dei predicati
 L’insieme {x | P(x)} è detto estensione di P
 Alcune equivalenze:
¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)
 Distributività:
∀x (P(x) ∧ R(x)) ≡ (∀x P(x)) ∧ (∀x R(x))
∃x (P(x) ∧ R(x)) ≡ (∃x P(x)) ∧ (∃x R(x))
∃x (P(x) ⇒ R(x)) ≡ (∀x P(x) ⇒ ∃x R(x))
 Ridenominazione delle variabili:
∀x P(x) ≡ ∀y P(y)
∃x P(x) ≡ ∃y P(y)
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Richiami di logica
 Letture consigliate:
1.
2.
Dispense sul sito del corso
La logica può essere divertente:
R. Smullyan - “Qual è il titolo di questo libro?” edizioni Zanichelli
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