Prova di recupero di Matematica Applicata

Prova di recupero di Matematica Applicata*
21/04/2006
1. Sia Z una variabile casuale Normale standardizzata. Trovare, facendo uso delle tavole:
a) P(−0.47 < Z < 0.94) ;
b) il valore di Z che corrisponde al 16° percentile;
c) la probabilità associata all’insieme dei valori compresi in un intervallo simmetrico intorno alla
media di ampiezza σ .
Soluzione: P(−0.47 < Z < 0.94) ≈ 0,50, il valore di Z che corrisponde al 16-esimo percentile è –
0.99, la probabilità associata all’insieme dei valori compresi in un intervallo simmetrico intorno alla
media di ampiezza σ è P(−1 < Z < 1) ≈ 0,68.
2. In 265 campioni di 10 unità, ciascuno esaminati in una fabbrica di strumenti di precisione, si è
trovata la seguente distribuzione di pezzi difettosi
n. pezzi difettosi
n. campioni
0
93
1
108
2
49
3
12
4
2
5
1
Sottoporre a test l’ipotesi che si tratti di una distribuzione di Poisson facendo uso del test del χ 2
con livello di significatività del 5%.
Soluzione: Risulta
Oss.
0
1
2
3
4
5
Freq.
Oss.
93
108
49
12
2
1
265
Freq.
Emp.
101,4666
97,40795
46,75582
14,96186
3,590847
0,816911
265
e poiché la statistica test è inferiore al quantile di riferimento, l’ipotesi che il campione segue una
distribuzione di Poisson non va rigettata.
3. Una cavia può scegliere due strade: quella a destra (D) porta al cibo, quella a sinistra (S) porta ad
una scarica elettrica. Da passate esperienze è noto che la prima volta la cavia sceglie D o S con
probabilità pari a ½ . Sottoponendo la cavia ad una seconda prova, si è inoltre osservato che:
‰
‰
se la prima volta è andata a D, la seconda va ancora a D con probabilità 8/10;
se la prima volta è andata a S, la seconda va a D con probabilità 6/10.
Calcolare la probabilità che la cavia va a destra nella seconda prova.
Soluzione: Sia D1 l’evento “la cavia va a destra la prima volta” e S1 l’evento “la cavia va a sinistra
la prima volta”, P( D1 ) = P( S1 ) = 0,50. Sia D2 l’evento “la cavia va a destra la seconda volta” e S 2
*
Correzione dei compiti: 27 Aprile ore 11.30.
l’evento “la cavia va a sinistra la seconda volta”. Si ha P( D2 | D1 ) = 8 / 10, P( D2 | S1 ) = 6 / 10. Per
calcolare la probabilità che la cavia va a destra nella seconda prova si tratta di calcolare
P( D2 ) = P( D2 | D1 ) P( D1 ) + P( D2 | S1 ) P ( S1 ) .
4. In un esperimento condotto per verificare l’efficacia della corsa nel controllo della pressione
diastolica, 10 individui sono stati sottoposti ad un programma di esercizi per un mese. I valori
della pressione dei dieci individui prima e dopo l’esperimento sono i seguenti:
Soggetti
PRIMA
DOPO
1
106
91
2
94
97
3
118
96
4
109
107
5
118
115
6
95
97
7
99
93
8
97
79
9
109
85
10
106
95
Supponendo che le popolazioni di riferimento siano distribuite normalmente, si sottoponga a test
l’ipotesi H 0 di non efficacia della corsa nel controllo della pressione a livello di significatività
α = 0,01 .
Soluzione: Si tratta di effettuare un T-paired test, ossia
Test t: due campioni accoppiati per medie
Media
Varianza
Osservazioni
Correlazione di Pearson
Differenza ipotizzata per le medie
gdl
Stat t
P(T<=t) una coda
t critico una coda
P(T<=t) due code
t critico due code
L’ipotesi che la differenza tra medie è nulla va rigettata.
Prima
Dopo
105,1
95,5
76,98888889 102,9444
10
10
0,467405512
0
9
3,086974533
0,006496393
1,833113856
0,012992786
2,262158887