22 gennaio 2010 - Dipartimento di Fisica

Corso di Laurea in Fisica
Anno Accademico 2008-2009
Compito di Fisica B2 (22/01/2010)
NB Si scriva chiaramente e si descriva e/o giustifichi brevemente ogni passaggio; risultati dati senza
commento non saranno considerati.
1
Nella ionosfera si possono propagare onde elettromagnetiche (EM) trasversali con vettore d’onda
parallelo al campo magnetico terrestre. La propagazione di tali onde1 è descritta dalla permittività
dielettrica generalizzata ǫ± , ovvero dall’indice di rifrazione n± , dati da
ωp2
ǫ±
,
=1−
ǫ0
ω(ω ∓ ωc )
n2± =
ǫ±
ǫ0
(1)
dove i segni + e − si riferiscono a polarizzazione circolare destrorsa e sinistrorsa, rispettivamente,
mentre ωp è la frequenza di plasma e ωc è la frequenza di ciclotrone.
a) Mostrare che in un intervallo di frequenze opportunamente basse (da specificare a posteriori) la
propagazione è possibile solo per una delle due polarizzazioni e può essere descritta da una forma
approssimata di ǫ del tipo
ǫ≃
α
,
ω
(2)
dove α è un parametro (indipendente da ω) da determinare.
Si assuma per le domande seguenti di trovarsi nelle condizioni per cui la (2) è valida.
b) Scrivere la relazione di dispersione dell’onda (ovvero la relazione tra ω ed il vettore d’onda k) e
calcolare le velocità di fase e di gruppo in funzione di ω ed il loro rapporto.
c) Calcolare il rapporto tra le ampiezze del campo elettrico e del campo magnetico per un’onda
monocromatica piana, confrontando il risultato col caso di un’onda piana monocromatica nel vuoto
e in assenza di campi esterni.
d) Una sorgente opportuna genera a t = 0 una coppia di impulsi (pacchetti d’onda) quasi monocromatici di frequenze principali ω1 e ω2 > ω1 . Calcolare l’intervallo temporale tra l’arrivo dei due
impulsi misurato da un osservatore posto a distanza L dalla sorgente.
1
Macchi, Moruzzi, Pegoraro, Problemi di Elettromagnetismo Classico (PLUS, 2005), prob.13.7
1
2
Un’onda elettromagnetica (EM) piana e monocromatica di
frequenza ω0 ed ampiezza del campo elettrico E0 , polarizzaE
(ω )
ta lungo ŷ, si propaga lungo x̂ nel sistema S del laboratoy
rio. Una particella carica si muove nel piano xy con velocità
(ω)
k
θ
V
V = V (cos α, sin α, 0), formante un angolo α con x̂ e avente
x
α
z
modulo V ≪ c. (Nel seguito si diano tutti i risultati al primo
ordine in β = V /c, trascurando termini O(β 2 ).)
a) Calcolare la frequenza ω ′ e il vettore d’onda k′ dell’onda
EM nel sistema di riferimento S ′ che si muove rispetto a S con velocità V (ovvero nel quale la
velocità della particella V′ = 0).
b) Specificare la direzione dei campi elettrico e magnetico dell’onda EM in S ′ e determinarne
l’ampiezza.
c) Descrivere la diffusione dell’onda EM da parte della particella nel sistema mobile S ′ , specificando
la frequenza della radiazione diffusa e le direzioni angolari in cui l’intensità è rispettivamente massima
o nulla.
d) Determinare nel sistema del laboratorio S la frequenza ωd della radiazione diffusa nel piano xy
ad un angolo θ rispetto all’asse x, mettendo in evidenza la dipendenza da α e θ.
d
Suggerimento: considerare la trasformazione di Lorentz del quadrivettore (ωd , kd c) dove kd è il vettore
d’onda della radiazione emessa ad angolo θ.
2
SOLUZIONI
1
a) La propagazione dell’onda richiede ǫ > 0 ovvero un indice di rifrazione reale. Nei limiti ω ≪ ωc e
ω ≪ ωp2 /ωc la (1) si riduce a
ωp2
ωp2
ǫ±
≃1−
≃±
ǫ0
∓ωωc
ωωc
(3)
che è della forma cercata con α = ωp2 /ωc per la polarizzazione “+”, che è l’unica che può propagarsi.
b) La relazione di dispersione è data in generale da ω = kc/n. Prendendo l’espressione approssimata
per n+ e risolvendo per ω si ottiene
ω=
ωc c2 2
k .
ωp2
Le velocità di fase e gruppo si ottengono dalle loro definizioni
√
√
ωωc
ωωc
ω
∂ω
vf = = c
= 2c
,
vg =
,
k
ωp
∂k
ωp
(4)
(5)
da cui vg = 2vf .
c) Per un’onda monocromatica piana, dall’equazione di Helmholtz si ottiene E = vf B ≪ cB, quindi
il campo elettrico è “relativamente” molto più piccolo rispetto al caso di propagazione nel vuoto per
cui E = cB.
√
d) I due impulsi viaggiano con differente velocità di gruppo v1,2 = 2c ω1,2 ωc /ωp tali che v2 > v1 ,
quindi “arriveranno” a distanza L a tempi t1,2 = L/v1,2 con un intervallo t2 − t1 > 0. “L’arrivo”
del segnale pone qualche problema di definizione in quanto, essendo il mezzo dispersivo, gli impulsi
tenderanno ad allargarsi.
Notare che per un segnale elettromagnetico “a banda larga”, ovvero generato su un ampio intervallo di frequenze (quali ad esempio le onde EM generate da un fulmine) le frequenze più alte arriveranno
al ricevitore prima di quelle più basse. Questo giustifica il nome di “fischietti” (whistlers) per tali
segnali osservati in ionosfera.2
2
a) Al primo ordine in β, la trasformazione di Lorentz del quadrivettore (ω, ck) fornisce in S ′
ω ′ ≃ ω − k · V = ω(1 − β cos α),
′
kk′ ≃ kk − βω/c = (ω/c)(cos α − β),
k⊥
= k⊥ ,
dove k e ⊥ sono riferiti alla direzione di V. Notare che
q
p
′
′
k ′ = kk2 + k⊥2 ≃ (ω/c) 1 − 2β cos α ≃ ω(1 − β cos α) + O(β 2 ) = ω ′ /c
(6)
(7)
(8)
come deve per un’onda EM piana nel vuoto.
b) I campi E′ e B′ devono rimanere trasversali, quindi saranno orientati perpendicolarmente a k′ .
2
J. D. Jackson, Elettrodinamica classica, Ediz. Italiana dalla 2a Edizione Americana (Zanichelli, 1984), par.7.6.
3
Conviene calcolare dapprima l’ampiezza B0′ del campo magnetico in S ′
B′ ≃ B −
v
× E,
c2
B0′ ≃ B0 (1 − β cos α) = (E0 /c)(1 − β cos α).
(9)
L’ampiezza del campo elettrico E0′ = cB0′ = E0 (1 − β cos α).
c) La carica, oscillando nel campo elettrico dell’onda EM, emette radiazione di dipolo elettrico alla
stessa frequenza ω ′ . L’intensità è nulla lungo la direzione di oscillazione, cioè lungo la direzione di
E′ , e massima nel piano perpendicolare a tale direzione.
d) Per radiazione diffusa in direzione kd = (ωd /c)(cos θ, sin θ, 0), le trasformazioni di Lorentz danno
ω ′ ≃ ωd − kd · V = ωd (1 − β cos(θ − α)).
(10)
Quindi, sostituendo per ω ′ = ω(1 − β cos α), otteniamo
ωd ≃ ω
1 − β cos α
≃ ω(1 − β(cos α − cos(θ − α))) + O(β 2 ).
1 − β cos(θ − α)
4
(11)