XX n - Digilander

Sommario
Corso di Statistica
Facoltà di Economia
z
Convergenza e Principali Teoremi
–
–
Lezione n° 20
–
–
a.a. 20002000-2001
–
Francesco Mola
–
Convergenza in probabilità
Convergenza in distribuzione
Teorema di Beronoulli
Legge dei Grandi Numeri (debole e forte)
Teorema di De Moivre-Laplace
Teorema Limite Centrale
a.a. 2000-2001
Convergenza in probabilità
Data una successione di v.c.
X n ~ Fn ( x)
statistica-francesco mola
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Convergenza in distribuzione
X ~ F ( x)
Data una successione di v.c.
lim P{X n − X < ε }= 1
X n ~ Fn ( x)
X ~ F ( x)
lim Fn ( X ) = F ( X )
n→∞
n→∞
d
Xn 
X
→
p
→
Xn 
X
oppure
p lim X n → X
a.a. 2000-2001
statistica-francesco mola
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a.a. 2000-2001
statistica-francesco mola
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Convergenza in media quadratica
Data una successione di v.c.
X n ~ Fn ( x)
Teorema di Bernoulli
X ~ F ( x)
E’ il primo teorema, in ordine di tempo, sul comportamento di una combinazione di v.c.
lim E (X n − X ) = 0
Considerato un
2
X

lim P  − p < ε  = 1
n→∞
 n

n→∞
m
Xn 
X
→
Con
=
a.a. 2000-2001
statistica-francesco mola
ε >0
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X
= v.c. frequenza relativa =
n
1
∑ X i ed X i sono v.c. bernoulliane
n
a.a. 2000-2001
enunciato
statistica-francesco mola
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dimostrazione
Si usa la diseguaglianza di Cebicev
Al divergere del numero delle prove, il limite
della probabilità che la differenza fra
frequenza relativa e probabilità di un evento sia,
in valore assoluto, minore di una
quantità positiva piccola a piacere, è uguale ad 1
σ 2 X 
 
X

X
P  − E   < ε  ≥ 1 −  2n 
ε
n
 n

1
1
X 1
E   = E (∑ X i ) = ∑ (E ( X i ) = np = p
n
n
n n
σ 2 X  =
 
 n
a.a. 2000-2001
statistica-francesco mola
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a.a. 2000-2001
pq
1
1
1
Var (X i ) = 2 σ (2B ( n , p ) ) = 2 npq =
2
n
n
n
n
statistica-francesco mola
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Dimostrazione (cont.)
Dimostrazione (cont.)
Quindi:
X

pq
P − p < ε  ≥ 1 − 2
nε
 n

X

pq
lim P  − p < ε  ≥ 1 − lim 2 ⇒
n →∞
n → ∞ nε
 n

X

⇒ lim P  − p < ε  ≥ 1
n →∞
 n

a.a. 2000-2001
X

ε
−
<
P
p
lim 
 =1
n →∞
 n

Al crescere di n la v.c.frequenza
relativa si concentra intorno al valore p
(infatti la varianza pq/n tende a 0)
Dato che la
probabilità è
sempre minore
o uguale ad 1
abbiamo
necessariamente
che:
statistica-francesco mola
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Legge debole dei grandi numeri
E’ una estensione del Teorema di Bernoulli
Data una successione di v.c. {X n }indipendenti fra loro,
aventi tutte la stessa distribuzione, cn stessa media µ e
varianza finita σ 2 , la successione {X n }, in cui
1
∑ X i , converge in probabilitàalla media comune
n
delle v.c. X i , e cioé :
Xn =
{
}
lim P X n − µ < ε = 1
n →∞
a.a. 2000-2001
statistica-francesco mola
Si dimostra
ricorendo alla
diseguaglianza di
Cebicev 11
a.a. 2000-2001
statistica-francesco mola
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Legge debole dei grandi numeri (cont.)
z La
legge debole dei grandi numeri deriva
dall’osservazione sperimentale di un
fenomeno.
z Al crescere delle prove la media rilevata su
un campione si stabilizza e cnverge alla
media della popolazione.
a.a. 2000-2001
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Legge forte dei grandi numeri
Se fissato
ε >0
e
σ >0
Legge forte dei grandi numeri (cont.)
E’ possibile determinare un n0 tale che la
probabilità del contemporaneo verificarsi di tutte
diseguaglianze
X no +1 − µ < ε ;
X no + 2 − µ < ε ; X no + k − µ < ε ;
z La
legge debole non implica che le
diseguaglianze valgono per tutti i termini.
z La legge forte implica che le diseguaglianze
valgono per tutti gli n>n0
è, ∀k , ≥ a 1-1
a.a. 2000-2001
statistica-francesco mola
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a.a. 2000-2001
Teorema di De Moivre-Laplace
statistica-francesco mola
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Teorema Limite Centrale
Sia {X n }una successione di v.c. indipendenti ed
Sia {X n }una successione di v.c. indipendenti con egual
identicamente distribuite (iid) come v.c. di Bernoulli
con parametro p ; allora
media µ ed egual varianza σ 2 (0 < σ 2 < ∞), allora
data la v.c.
Sn = X1 + X 2 + X n
S − np d
Zn = n

→ Z ~ N (0,1)
npq
con S n = X 1 + X 2 + X n
a.a. 2000-2001
statistica-francesco mola
Zn =
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a.a. 2000-2001
con
E (S n ) = nµ
Var (S n ) = nσ 2
S n − nµ d

→ Z ~ N (0,1)
σ n
statistica-francesco mola
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Teorema Limite Centrale (cont.)
cont.)
E' un teorema importantissimo!
Se consideriamo la successione
Sn 1
= ∑ Xi = Xn
n n
abbiamo :
Zn =
a.a. 2000-2001
Xn − µ
~ N (0,1)
σ
n
statistica-francesco mola
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