26 Gennaio - Sezione di Fisica

Esame Scritto, Modulo di Fisica 1, Corso di Chimica e Fisica Generali, per Biotecnologie
26 Gennaio 2011
Il tempo a disposizione è di tre ore. E’ ammesso l’uso di calcolatrici. Non è ammesso l’uso di appunti, libri, computer,
telefoni, altri dispositivi di comunicazione. Un libro di testo è a disposizione per consultazione. Costanti utili:
accelerazione di gravità g = 9.81 m/s2 , massa dell’elettrone me = 9.1×10−31 kg, carica dell’elettrone e = 1.602×10−19
C, permeabilità dielettrica del vuoto 0 = 8.85 × 10−12 C2 /(Nm2 ). Si raccomanda di spiegare in modo conciso ma
chiaro il procedimento seguito. Ogni domanda sarà valutata fino a 4 punti.
Problema 1
Un corpo di massa m = 1.5 kg, appeso ad un filo (inestensibile e senza massa) di lunghezza
l = 2 m si muove, sotto l’azione della forza di gravità e della tensione del filo, di moto
circolare in un piano orizzontale (pendolo conico). Il filo forma un angolo θ = 30◦ con la
verticale, che rimane costante durante il moto.
1. Trovare il valore della tensione T del filo.
2. Trovare la relazione che lega la velocità v del corpo a l e θ e calcolare il valore di v.
Problema 2
Un nucleo di massa M = 10−25 kg, inizialmente a riposo, decade emettendo un elettrone con velocità ve = 2.97 × 107
~ e ~ve formano un angolo di
m/s. Si osserva che dopo il decadimento il nucleo acquista una velocità di V = 312 m/s; V
◦
150 .
1. Mostrare che deve esserci una seconda particella emessa nel decadimento e calcolarne la quantità di moto (direzione e modulo; si trascuri la variazione di massa del nucleo).
Problema 3
Un elettrone penetra in un condensatore piano con velocità iniziale parallela
alle due lastre, a uguale distanze dalle due lastre. Ai capi del condensatore c’e’
una differenza di potenziale V = 10 V. Le lastre hanno lato l = 10 cm e distano
d = 2 cm.
1. Qual è la forza elettrostatica che agisce sull’elettrone dentro al condensatore? (si approssimi il campo dentro al
condensatore con quello di un condensatore infinito)
2. L’elettrone viene deflesso dal campo elettrico (si trascuri la forza di gravità). Quale velocità iniziale minima deve
avere l’elettrone per uscire dal condensatore senza toccare la lastra?
Problema 4
Un atomo di idrogeno è schematizzabile come un protone fisso in un centro ed un elettrone che gli ruota attorno in
un’orbita circolare di raggio r.
1. Mostrare che fra l’energia potenziale U dell’elettrone e la sua energia cinetica K vale la relazione: U = −2K,
per qualunque r.
2. Assumendo r = 0.53 × 10−10 m, quanto vale il momento angolare ` dell’elettrone?
3. Nel 1905 Bohr postulò che gli stati stabili dell’aromo di idrogeno sono solo quelli per cui ` = nh/(2π), dove n è
un numero intero, h una costante che vale h = 6.63 × 10−34 J·s. Con questa ipotesi, quanto vale r per n = 1?
1
Soluzione
Problema 1
Sul corpo agiscono la tensione del filo T e la forza peso. Dato che il moto si svolge su di un piano orizzontale, conviene
scomporre la tensione in componente verticale (chiamiamola y) e componente sul piano del moto.
1. Per la componente verticale, abbiamo T cos
√ θ − mg = may = 0, in quanto ay = 0 se il moto è sul piano. Si
ricava T = mg/ cos θ = 1.5kg · 9.81m/s2 /( 3/2) = 17 N.
2. La componente sul piano della tensione deve essere uguale alla forza centripeta per il moto circolare uniforme di
raggio r = l sin θ: T sin θ = mv 2 /r (non esiste altra forza nel piano).qDa qui, sostituendo il valore di T prima
p
√
trovato: mv 2 /(l sin θ) = mg sin θ/ cos θ, ovvero v = gl/ cos θ sin θ = 9.81m/s2 · 2m/( 3/2) · 0.5 = 2.38 m/s.
Problema 2
Per la conservazione della quantiti. moto, P~i = P~f , dove P~i = 0 è la quantità di moto prima della disintegrazione. Se
~ . Consideriamo
calcoliamo la somma p~ delle quantità di moto dopo la disintegrazione, troviamo p~ = p~e +P~ = me~ve +M V
~
il piano formato dai vettori p~e e P e prendiamo l’asse x lungo la direzione p~e : avremo px = me ve + M V cos 150◦ ,
py = M V sin 150◦ . Facendo il conto, si trova px = 0, py = 1.56 × 10−24 kg · m/s. Di conseguenza, dobbiamo ammettere
la presenza di un’altra particella, con quantità di moto −~
p, cioè in direzione ortogonale al moto dell’elettrone.
Problema 3
Il campo elettrico dentro al condensatore è costante, diretto ortogonalmente alle piastre, e vale E = V /d.
1. F = eV /d = 1.6 × 10−19 C · 10V /0.02m = 8 × 10−17 N .
2. Chiamiamo x la direzione parallela alle piastre e y la direzione ortogonale. All’interno del condensatore l’elettrone
si muove di moto parabolico x(t) = v0 t, y(t) = d/2 − 1/2at2 dove a = eV /me d è l’accelerazione. L’elettrone
esce all’istante t0 in cui x(t
p 0 ) = l,pse non ha ancora toccato la piastra: y(t0 ) ≥ 0. Tale condizione dà quindi
d/2 = 1/2at20 ovvero t0 = d/a = 0.02m · 9.1 × 10−31 kg/(8 × 10−17 N ) = 1.5×10−8 s. In tale tempo l’elettrone
esce se v0 ≥ l/t = 0.1m/(1.5 × 10−8 s) = 6.6 × 106 m/s.
Problema 4
1. Uguagliamo la forza di Coulomb all’accelerazione centripeta di un moto circolare uniforme: me v 2 /r = e2 /(4π0 r2 )
da cui me v 2 = e2 /(4π0 r). Il confronto con l’energia cinetica K = me v 2 /2 e l’energia potenziale di due cariche
+e e −e a distanza r: U = −e2 /(4π0 r), dimostra il risultato.
√
2. Dall’equazione del moto precedente si ricava la relazione fra v e r: v = e/ 4π0 me r.
p Inserendola nell’espressione
del
momento
angolare
per
il
moto
circolare
uniforme:
`
=
m
vr,
si
trova
`
=
e
me r/4π0 = 1.6 × 10−19 C ·
e
p
−34
9.1 × 10−31 kg · 0.53 × 10−10 m/(4 · 3.14159 · 8.85 × 10−12 C 2 /(N m2 )) = 1.05 × 10 J · s.
3. Riscriviamo l’equazione del moto come (me vr)2 /me r = e2 /(4π0 ), ovvero `2 /me r = e2 /(4π0 ), da cui r =
4π0 `2 /(me e2 ) = h2 0 /(πme e2 ). Sostituendo i valori si trova r = (6.63×10−34 J·s)2 ·8.85×10−12 C 2 /(N m2 )/(3.14159·
9.1 × 10−31 kg · (1.6 × 10−19 C)2 ) = 0.53 × 10−10 m. Tale valore è ovviamente lo stesso che al punto precedente,
visto che ` = h/(2π) ha lo steso valore trovato in precedenza.
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