Un esempio importante: Il dipolo elettrico. πε θ θ πε πε πε

Un esempio importante: Il dipolo elettrico.
E’ un sistema di due cariche q uguali, puntiformi ed opposte distanti fra loro una distanza d.
Calcoliamo, con il principio di sovrapposiz ione, il campo un punto P dell’asse del segm
congiungente le due cariche, a distanza r dallo stesso.
+q •
θ
P
r
•
d/2
−q •
r
ento
E−
θ
x
E+
ET
r
r
r
r
Se E+ e E− sono i campi elettrici generati rispettivamente da q+ e q− ⇒ ET = E+ + E−
con E+ = E− =
1
q
4πε 0 r + (d / 2 )2
2
.
r
r
Le componenti lungo x dei cam pi E+ e E− sono uguali ed opposte,
mentre le componenti
r
perpendicolare ad x sono uguali e concordi, quindi nel punto P il cam po ET è perpend icolare alla
(d / 2 )
asse x ed il suo modulo è ET = 2 E+ cos θ con cos θ =
⇒
2
2
(d / 2 ) + r
ET = 2
1
q
4πε 0 r + (d / 2 )
2
2
(d / 2 )
(d / 2 )2 + r 2
=
1
(
qd
4πε 0 (d / 2 )2 + r 2
)
3/ 2
.
Il caso interessante si presenta quando r >> d.
(
In tal caso (d / 2 ) + r 2
2
)
3/ 2
( )
≅ r2
3/ 2
= r3
⇒
ET =
1
qd
4πε 0 r 3
Osservazione importante: a grande distanza da un dipolo si ha che:
r
r
a) Il cam po dipende dal prodotto qd e non da q e d separatamente. La quantità p = qd (orientata
dalla carica negativa verso quella positiva) è detto momento di dipolo.
b) Esiste un cam po decr escente come 1/r3, conseguenza del fatto che il sistem a di cariche ha u na
carica totale Q = 0, ma momento di dipolo p ≠ 0.
2
DipolR in FDPSRHleWtricR XQLIRUPH
p = q d 0RPHQWRGLDipolR
Forza netta Nulla !!!
Torsione su un Dipolo
F
Il modulo del momento è:
τ = Fx sin θ + F (d − x) sin θ
= Fd sin θ = qEd sin θ
= pE sin θ
Punta verso lo schermo
 
τ = p× E

x
CM
F
θ
Lavoro fatto nella rotazione del dipolo:
f
f
i
i
W = ∫ F+ idl+ + ∫ F− idl−
F+ idl+ = F+ sin θ ( adθ ) = τ + dθ ;
f
F− idl− = F− sin θ ( adθ ) = τ − dθ .
quindi,
W = ∫ (τ + + τ − )dθ =
i
θ
θ
/2
/2
∫π τ dθ = π∫
θ
= − pE cosθ π / 2 = − p i E
Si vede che
U ≡ − pi E
pE sin θ dθ
Moto di cariche in campo elettrico.
Si devono solo applicare le leggi della dinamica. Se abbiamo un particella di massa m e carica q in
r
r
r
un campo E , essa risentirà di una forza F = qE ⇒
r
r
r
r F
r q r
F = ma ⇒ a = ⇒ a = E ricordandoci che q può essere positiva o negativa.
m
m
1) carica in campo uniforme con velocità iniziale parallela al campo
Moto rettilineo uniformemente accelerato
q r
E
m
r
r
a concorde con E se q positivo
r
r
a disconcorde con E se q negativo
r
−
a
+
a
•
q
con a =
2) carica in campo uniforme con velocità iniziale perpendicolare al campo
−
r
Moto parabolico con a =
q r
E
m
•
q
+
3) Dipolo in campo uniforme.
+
O•
F−
θ
−
θ
F+
r
r
F+ = q + E = qE
r
r
F− = q − E = −qE
r
r
r
F+ = F− = qE ⇒ F R = 0
quindi non c' è traslazione del dipolo
Le due forze generano un momento non nullo, infatti rispetto ad O, punto medio di d, abbiamo:
4
r
v
r
r
v
r
r
r
r
τ + = r × F+ τ − = r × F− con τ T = τ + + τ −
r
r
I due momenti τ + e τ − sono paralleli e concordi (perpendicolar e al piano del disegno ed entranti)
r
r
inoltre τ + = τ − =
r
r v
d
⎛d
⎞
qEsenθ ⇒ τ T = 2⎜ qEsenθ ⎟ = qdEsenθ ⇒ τ T = p × E
2
⎝2
⎠
Il dipolo risente di un m
omento che lo fa ruotare fino ad or
r
ientare il m omento di dipolo
r
r
p
parallelamente al campo E . In tale configurazione θ = 0 ⇒ τ T = 0 ed il dipolo resta in quiete.
4) Dipolo in campo non uniforme.
r
r
La prima azione del campo è di far ruotare il dipolo orientando p parallelamente al campo E .
r
F+
−
−
−
−
r
F+
r
p +
r −
F−
r
p +
+
−
r
F− −
+
+
−
+
+
+
La carica del dipolo nella zona dove il cam po è più intenso sente una forza, orientata verso la zona
di cam po più intenso, m aggiore di quella che sente l’altra carica, orientat a verso zone di campo
meno intenso. La risulta te delle forze è pertanto di versa da zero ed è orientata verso zone crescenti
del campo.
Conclusione: il dipolo prim a viene orient ato parallelam ente al cam po, poi attratto ve rso le zone
dove il campo è più intenso.
5
Campo E dalla legge di Coulomb
'LVWULEX]LRQHContinuD
FDULFKH
+
+
+
-
r- i + P
+
-qi
-
+
1
qi
E=
rˆ
∑
2 i
4πε 0 i ri
Sommatoria sulle
cariche discrete
r
dq
P
1 dq
E=∫
rˆ = ∫ dE
2
4πε0 r
 ρ dV

dq = σ dA
λ dL

(carica di volume)
(carica di superficie )
(carica lineare )
Integrale sulla distribuzione
continua di carica
Lamine cariche
σ (+) > σ (−)
E=cost in ogni regione
Potenziale Elettrostatico

Se si vuol conoscere il lavoro
 fatto dalla forza F quando la carica
q si sposta
 di un tratto dl , basterà calcolare il lavoro fatto dal
campo E0 su di una carica unitaria che si sposta dello stesso

tratto dl e poi moltiplicare tale lavoro per q
( per una carica unitaria !!!)
Il lavoro finito si otterrà integrando
 
P2 
W
  V  P E .dl  genericamente per carica non unitaria
1
q


Se il campo E0 è generato da una sola carica Q (campo
coulombiano) 

1 Qr
E0 
4 0 r 2 r