MATEMATICA GENERALE (A-K) -Base

MATEMATICA GENERALE (A-K) -Base
20/06/2003
PRIMA PARTE
1) Derminare il valore del parametro α > 0 in modo che
Z α
1
2x3
dx = .
4
6
1 3x + 1
2) Determinare i valori dei parametri a e b per cui la funzione
f (x) = e3x − ax2 + bx
ammette un flesso a tangente orizzontale nel punto x0 = 1.
3) Trovare massimi e minimi relativi e assoluti e i relativi punti di massimo
e minimo relativo e assoluto della funzione
3
2
f (x) = e(x −3x −9x+20)
nell’intervallo [−2, 4] .
4) Calcolare, usando la definizione, la derivata della funzione:
f (x) =
3x − 1
x+2
nel punto di ascissa x = 2.
5) Dopo aver enunciato il teorema di Lagrange, stabilire se è possibile applicare tale teorema alla funzione
p
f (x) = 3 |x − 2|
nell’intervallo [0, 3] .
1
SECONDA PARTE
6) Scrivere la formula di Taylor arrestata al III ordine (con resto secondo
Peano), centrata nel punto x0 = 1, della funzione
f (x) = e3x −
1
.
x
7) Dopo aver determinato graficamente il dominio della funzione
µ
¶
¢
¡
y − x2 + 3
f (x, y) = x2 − 4 log
+ 3,
x
tracciarne la curva di livello 3.
2
MATEMATICA GENERALE (A-K) -Base
Soluzione del tema del 20/06/2003
PRIMA PARTE
1) Poichè
Z
2x3
1
dx =
3x4 + 1
6
allora
Z
1
ovvero
α
Z
¢
¡
12x3
1
dx = log 3x4 + 1 + k,
4
3x + 1
6
¢¤α 1
1£ ¡ 4
2x3
dx =
log 3x + 1 1 = ,
3x4 + 1
6
6
¡
¢
log 3α4 + 1 − log3 = 1,
¢
¡
log 3α4 + 1 = 1 + log3,
3α4 + 1 = e(1+log3) ,
e(1+log3) − 1
α4 =
,
3
r
(1+log3) − 1
4 e
.
α=
3
2) Essendo
f (x) = e3x − ax2 + bx,
f 0 (x) = 3e3x − 2ax + b,
f 00 (x) = 9e3x − 2a,
e dovendo imporre
si ottiene il sistema
3) Poichè
si ha che
½
½
f 0 (1) = 0,
f 00 (1) = 0
f 0 (1) = 3e3 − 2a + b = 0,
f 00 (1) = 9e3 − 2a, = 0
½
b = 6e3 ,
a = 92 a3 .
¡
¢ 3
2
f 0 (x) = 3x2 − 6x − 9 e(x −3x −9x+20) ,
f 0 (x) > 0,
3
(ovvero la funzione è crescente) nell’insieme
(−∞, −1) ∪ (3, 4) ,
per cui l’andamento della funzione nell’intervallo in questione è
−2
−1
|%|
3
4
& |%|
Dal grafico tracciato è facile dedurre che i punti di minimo sono x = −2 e x = 3,
mentre i punti di massimo sono x = −1 e x = 4. Per stabilire quali fra questi
sono estremanti relativi e quali assoluti è necessari confrontare le quote:
f (−2) = e19 > f (3) = e−7
quindi x = −2 è punto di minimo relativo e f (−2) = e19 è minimo relativo,
mentre x = 3 è punto di minimo assoluto e f (3) = e−7 è minimo assoluto;
f (−1) = e25 > f (4) = e0 = 1
quindi x = 4 è punto di massimo relativo e f (4) = 1 è massimo relativo, mentre
x = −1 è punto di massimo assoluto e f (3) = e25 è massimo assoluto.
4) Per definizione
3(2+h)−1
3·2−1
f (2 + h) − f (2)
(2+h)+2 − 2+2
f (2) = lim
= lim
=
h→0
h→0
h
h
µ
¶
µ
¶
µ
¶
7h
7
1 5 + 3h 5
1 20 + 12h − 20 − 5h
1
= lim
−
= lim
= lim
=
.
h→0 h
h→0
h→0
4+h
4
h
(4 + h) 4
h (4 + h) 4
16
0
5) Poichè
0
f (x) =
e



1
(x−2)2
1
− √
3 3 (x−2)2
3
√
3
x>2
x<2
lim f 0 (x) = −∞ 6= lim+ f 0 (x) = +∞,
x→2−
x→2
la funzione presenta una cuspide in corrispondenza del punto x = 2 ∈ (0, 3) , e
non è quindi ivi derivabile. Ne segue che non è possibile applicare il teorema di
Lagrange nell’intervallo considerato.
4
SECONDA PARTE
6) Innanzitutto la formula richiesta è
1
1
f (x) = f (1) + f 0 (1) (x − 1) + f 00 (1) (x − 1)2 + f 000 (1) (x − 1)3 + o (x − 1)3
2
6
e quindi, essendo
1
,
x2
1
f 00 (x) = 9e3x − 2 3 ,
x
6
f 000 (x) = 27e3x + 4 ,
x
f 0 (x) = 3e3x +
si ha
¡
¢
¢
¢
1¡
2 1¡
3
3
f (x) = e3 −1+ 3e3 + 1 (x − 1)+ 9e3 − 2 (x − 1) + 27e3 + 6 (x − 1) +o (x − 1) .
2
6
7) Il dominio della funzione è determinato dalle soluzioni della disequazione
y − x2 + 3
> 0,
x
che identifica la parte di piano sopra la parabola y = x2 − 3 a destra dell’asse
y e la parte di piano a sinistra dell’asse y e sottostante la parabola y = x2 − 3.
La curva di livello 3 si detrmina poi risolvendo graficamente l’equazione
f (x, y) = 3,
ovvero
µ
¶
y − x2 + 3
= 0.
x
Le soluzione della disequazione in questine sono date dall’unione delle disequazioni
x2 − 4 = 0
¡ 2
¢
x − 4 log
e
y − x2 − x + 3
y − x2 + 3
= 1 =⇒
=0
x
x
(ovviamente compatibilmente con il dominio sopra determinato), da cui l’unione
delle rette
x = ±2
e della parabola
y = x2 + x − 3.
5